Coördinaatvrije beschrijving van de translatie en rotatie van een star lichaam

Coördinaatvrije beschrijving van de translatie en rotatie van

een star lichaam

Citation for published version (APA):

Sauren, A. A. H. J., Veldpaus, F. E., & Janssen, J. D. (1986). Coördinaatvrije beschrijving van de translatie en rotatie van een star lichaam. (DCT rapporten; Vol. 1986.054). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

-1-

Coördinaatvrije beschrijving van

de translatie en rotatie van een

star lichaam.

A. Sauren, F. Veldpaus, J. Janssen

Inhoudsopsave

Blz.

1 .

Vectoren.

2. Vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal.

3. Het optellen van vectoren.

4. Het inwendig product van twee vectoren. 5. Dyaden.

6. Tweede-orde tensoren.

7 . Uitwendig product van twee vectoren.

8 . De rotatietensor.

9 . Kinematica van een star lichaam.

3 4 5 8 3 13 15 19 22

- 3 -

1 .

Vectoren.

Alle informatie die nodig is om de positie van twee punten A en E t 0.V.

elkaar te beschrijven bestaat uit de richting en de lengte van het verbin-

dingslijnstuk AB van A naar B (Fig. 1.1.a). Het begrip "vector" omvat de

beide aspecten "richting" en "lengte".

De positievector van B t.o.v. A is voor te stellen als een pijl van begin-

punt A naar eindpunt I3 en wordt genoteerd als een symbool met een pijl er-

boven, bijv. AB of

;

(Fig. I. Ib). De rechte 1 door A en E heet draaer o f

werkliin van de vector. De r,zlch_ns van de vector is gelijk aan de richting

van de drager. De lencrte van &3 of

r'

wordt genoteerd als

I

IftBl

1

of

I

lr'l

1

en

is altijd een positief reëel getal. Behalve door zijn richting en lengte

wordt een vector ook gekenmerkt doos zijn

&.

Zo heeft de vector

824,

voor

te stellen door een pijl van E naar A (Fig. 1 . 1 ~ ) en op te vatten als de

positievector van A t.o.v. B, dezelfde richting en lengte als XB maar de zin +

is tegengesteld :

824

= -XE = -I.

Positievectoren zijn zgn. "vriie vectoren", d.w.z. dat evenwijdige verschui-

Fig. 1 . 2

ving van hun dragers niets verandert aan hun kenmerken. Evenwijdige ver-

schuiving van de drager 1 van de positievector

r'

uit Fig. 1 . Ib, bijv. van h

lengte, richting en zin van

z

veranderen niet; ook na verschuiving bevat alle informatie over de positie van B t.o.v. A.

Een speciale vector is de nulvector

8

: deze heeft lengte o . Andere bijzon-

dere vectoren zijn eenheidsvectoren : deze hebben lengte

1 .

Bewerkingen die zinvol zijn voor toepassing op vectoren, zijn vermeniavul- diqinq van een vector met een reëel getal, het optellen van vectoren, het projecteren van een vector en het roteren van een vector.

Projectie van een vector resulteert i.h.a. in een vector met een lengte en een richting die verschillen van die van de oorspronkelijke vector. De be- werking "projectie" is dus i.h.a. op te vatten als een combinatie van de be-

werkingen "vermenigvuldiging met een reëel getal" (Ireëel getall(1) en "ro-

tatie".

In het volgende wordt eerst nader ingegaan op de bewerkingen "vermenigvul- diging" en "optellen". Daarna komen de operaties "inwendig product van twee vectoren", "dyaden" en "uitwendig product van twee vectoren" aan de orde. Bij deze laatste operaties spelen projectie en rotatie een rol.

2. Vermeniavuldiainq van een vector met een reëel aetal.

Het product u; van een vector $ met een (reëel) getal u heeft dezelfde rich-

ting als

;

en tegengestelde resp. dezelfde zin als

?

alnaargelang uto resp.

a>o. Voor de lengte geldt

De kenmerken "richting" en "zin" enerzijds en "lengte" anderzijds zijn in de

notatie te scheiden als wij bedenken dat vermenigvuldiging van de vector

?+O

met het positieve getal 1 /

I I?

1

I

een eenduidig bepaalde eenheidsvector

e"

-5-

Voorbeeld

--___-____-

1 : positievectoren van punten op een rechte.

Gegeven de rechte 1 met daarop de punten A , B i C en D op de in Fig. 2.1

Fig. 2.1

aangegeven afstanden. Is

"r

de positievector van B t.o.v. A dan geldt voor de

bij 1 behorende eenheidsrichtingsvector

en dan zijn de positievectoren van A, B en D t.o.v. C te schrijven als

cii

= a$ i

ci5

= 3ae 4 en

cd

=

-

9.

_(2.4)

3. Het optellen van vectoren.

We breiden Fig.l.lb uit met de punten C en C' tot het parallelogram ACBC'

(Fig.3.la). De positie van A t.o.v. 13 is op te vatten als de positie van C

a

A

t.o.v. A plus de positie van B t.o.v. C (Fig.3.lb):

A B = A? 9 C; _(3.11

maar ook als de positie van C ' t.o.v. A plus de positie van B t.o.v. C '

(Fig.3.1~) :

( 3 . 2 )

Omdat de overstaande zijden van het parallelogram ACBC' door evenwijdige

verschuiving in elkaar zijn over te voeren, zijn de ermee corresponderende

vrije vectoren identiek, dus

(3.3)

Hiermee volgt de in Fig.3.ld geschetste paralleloqramreuel voor de optelling van vectoren.

Ilogybgg.b-2 : vectorrepresentatie van een rechte.

We willen de Pigging van de rechte (uit voorbeeld 1 (Fig.S.1)) in de

o

d' fQ)

Fig. 3.2

3-dimensionale ruimte t . o . v . een willekeurig punt O beschrijven in vectorno-

tatie. De eenheidsvector $ legt de richting van

1

vast (zie voorbeeld 1 ) .

Als

tor

?

van een willekeurig punt P op 1 (Fig.3.2b):

de positievector is van punt A t.o.v. O dan geldt voor de positievec-

+ + +

-1-

Dit is de zgn. parametervoorstelling van

1

met

tingsvector en o( de parameter.

de steunvector,

e

de rich-

~ ~ g y b ~ ~ & ~ - 3 : vectorrepresentatie van een plat vlak.

Fig. 3.3

We willen de ligging van het platte vlak door de niet op &&n lijn liggende

punten A, P en Q (Fig.3.3) t.o.v. een willekeurig punt O beschrijven in vec-

tornotatie. Na invoering van de eenheidsvectoren

el

en e2, de rechte

1

door

A en i? en de rechte

m

door A en Q is de positievector

$

van een willekeurig

punt W in het vlak t.o.v. A te schrijven als een lineaire combinatie van

8,

en es :

-b

-b

( 3 . 5 )

waarin a en f3 reële getallen zijn (zie ook Fig. 3,3). Voor de positievector

van W t.o.v. O geldt dan

+ - b +

r = s + p

waaruit met ( 3 . 5 ) de parametervoorstelling van het vlak volgt :

(3.6) (3.7) - b - b -b -b r = s

+

ael

+

$es. -b -b -b

s Heet weer de steunvector, el en e2 de richtingsvectoren en a en $ de para-

4. Inwendis product van twee vectoren.

Stel we willen in de in Fig. 4.1 geschetste situatie de projectie van de

vector

2

op de rechte 1 bepalen. De rechte i is de drager van de vector

$#6.

Voor de eenheidsrichtingsvector van 1 geldt dan

Fig. 4.1.

De bewerking "bepaal de lenqte van de projectie van

2

up de rechte 1 met

richtingsvector wordt genoteerd als ge; en levert (zie Fig. 4. I) :

met O<W<T , (4.2)

eo; Wordt genoemd het "inwendig product" van

2

en

product" van

2

en

z.

Het inwendig product is een qetal (scalar) d a t de van

een teken voorziene lenclte van de projectie van

2

op 1 representeert. Infor-

matie over de richting van de geprojecteerde vector bevat het inwendig pro-

duct niet. Deze richting is uiteraard gelijk aan die van

;

zodat we de ge-

projecteerde vector kunnen schrijven als

of ook wel het "scalair

3+ -4

àv

= eeoa (4.3)

Het inwendig product is een lineaire bewerking zodat voor een willekeurig

reëel getal o: geldt

(4.4)

m.a.w. voor het inwendig product van

2

en $ geldt

Door in ( 4 . 6 1

2

en

6

onderling te verwisselen is onmiddellijk in te zien d a t

geldt

(4.71

Het inwendig product van een vector met zichzelf levert het kwadraat van zijn lengte, immers

Voor orthogonale vectoren, d.w.z. vectoren met onderling loodrechte dragers, volgt

5 . Dvaden.

In 4. hebben we gezien dat de projectie

2'

van een vector

2

op een rechte

met eenheidsrichtingsvector

g

te schrijven is als

-e--+ 3 -b

eeea = a'

.

(5.11

We hebben hiermee feitelijk een nieuwe bewerking gelntroduceerd die aan

2

toevoegt de geprojecteerde vector (lengte en richting)

a'.

Het inwendig pro-

duct van de vectoren

e"

en

a', ;*;,

voegde aan

2

slechts toe de lenate van de

geprojecteerde vector

a'

.

Formeel is (5.1) op te vatten als het inwendig

product van de zgn. dvade en de vector

a.

Het effect van

g e

werkend op

2

is blijkbaar een richtingsverandering (rotatie) èn een lengteverandering (in

(5.2)

+

dus voorvermenigvuldiging en navermenigvuldiging van

e&

met a leveren het-

zelfde resultaat.

Voorbeeld

_{___-_--_---}

4

Beschouw de dyade

z2e,

waarin

el

en

e,

orthogonale eenheidsvectoren zijn met

als drager de

x-

resp. y-as van een Carthesisch coördinatenstelsel, zie Fig.

5.1. Is,een vector waarvan de drager een hoek q~ (0

i

tp

i

IT) maakt met de

Fig. 5.1.

positieve x-as. Navermenigvuldiging van

:,e,

met

2

levert de vector

c

vol-

gens

( 5 . 3 )

-1 1-

-b -a

c Is op te vatten als te zijn ontstaan door de projectie van a op de x-as,

g g f

over a/2 radialen linksom te roteren (Fig. 5.2). Evenzogoed kan inen

c

interpreteren als het resultaat van een rotatie van

a

over !!

-

ip radialen

linksom in combinatie met een verandering van de lengte van a met een factor cos(rp1 *

Voorvermenigvuldiging van

ezel

met

a

levert de vector

d

volgens

2+

( 5 . 4 )

Deze vector kan op soortgelijke manieren als bij

c

gehanteerd, geïnterpre-

teerd worden. Uit vergelijking van ( 5 . 3 ) en (5.4) volgt onmiddellijk d a t al-

tijd (d.w.z. mits

a#b)

zal gelden

a#;,

m.a.w. voorvermenigvuldiging en na-

vermenigvuldiging van de dyade

g2gl

met eenzelfde vector leveren verschil-

lende resultaten (vergelijk dit met (5.2)).

+ - b + +

Beschouw de som van twee dyaden elelte2e2 (feitelijk gedefinieerd door

( 5 . 5 ) ) waarin el en

g2

dezelfde vectoren als in voorbeeld 4 zijn. r Is een

vector waarvan de drager een hoek 6 ( O

i

If

i

IT) maakt met de positieve y-as

+ i.

Fig. 5.3.

i . 4 + i .

(Fig. 5.3). elelte2es Navermenigvuldigd met levert de vector

4

volgens

+ + + * + i. - b - B + + +

*

+ + + -+ + * q = (e e +e e )er _{1 1 2 2} = e e or _{1 1} t e _{2 2} e rr = (e or)e

1

₁

+

(e2er)e2

(5.5)

+ + + - P

De som van de dyaden e,eq+e2e2 voegt aan elke vector zichzelf toe. Eenvoudig

is na te gaan dat vbdr- o f navermenigvuldiging van de dyadensom hetzelfde

resultaat levert.

+ + t +

Vervangen we in voorbeeld 5 de dyadensom door e e -e e

kend op

Deze dyadensom wer- 1 2 2 1 '

levert de vector

d

volgens

- ce,erie,

+ t - + - b 4

*

t + +

u = ( e e -e e ) * y = (e2er)el

I 2 2 1 (5.8)

Fig. 5.4.

Met (5.5) en (5.6) volgt uit Fig. 5.4 dat

om over 1r/2 radialen te roteren. De lengtes van

;

en

?

zijn gelijk.

Verwisseling van de volgorde waarin de vectoren in de dyadische producten

voorkomen levert ezel-ele2 hetgeen vaak genoteerd wordt als

ontstaat uit

E

door deze rechts-

-13-

+ + + + + - b + - * c + + t + c + + + +

( e e - e e _{2 1 1 2} f = ( e e - e e l _{1 2 2 1} o f ( e e - e e l = ( e e - e e _{2 1 1 2 1 2 2 1}

1

( 5 . 9 )

in woorden: de dyadensom in het linkerlid is de qeconiuqeerde van die in het

rechterlid en omgekeerd. De geconjugeerde van ele2-esel voegt aan

vector - + - h + 4 toe de + + + + + + - b + + + 4 + (e e -e e ) e r = (el*r)e2

-

(e2*r)e

1

= -u 2 1 1 2 (5. IO)

-6

ontstaat uit

gemakkelijk na te gaan dat

door rotatie linksom van over r f 2 radialen. Verder is

+ + - b + c - * + + + + -b

t*(ele2-e2el) = (e e -e e _{1 2 2 1} )er = u

.

(5.11)

Voorvermenigvuldiging van de conjugeerde som met

taat als navermenigvuldiging met

Voor het dyadisch product

beeld 5 geldt dat zij gelijk zijn aan hun geconjugeerde. Daarom leverde in

die gevallen voor- en navermenigvuldiging hetzelfde resultaat. De dyade

&è

en de dyadensom elel+e2e2 worden symmetrisch genoemd. Nadere beschouwing van

de relaties (5.9) voor de dyadensom ele2-e2e, leert dat haar geconjugeerde

gelijk is aan de oorspronkelijke som vermenigvuldigd met - 1 . Relatie (5.10)

is hiermee consistent. De dyadensom ele2-e2e, wordt scheefsymmetrisch ge- noemd.

levert hetzelfde resul- van de oorspronkelijke som.

+ + + +

(5.2) en voor de dyadensom e,el+e2e2 uit voor-

+ - b + - b

- b + + - b

+ + - b +

6 . Tweede-orde tensoren.

In 5 hebben we gezien dat bewerking van een vector met (sommen van) dyades

neerkomt op rotatie van de drager enfof verandering van lengte van de vec-

tor. Dyades of sommen van dyades zijn daarom op te vatten als zgn. tweede-

orde tensoren.

Een tweede-orde tensor A is een lineaire afbeelding die aan een vector

2

een

vector i; toevoegt volgens:

A .

Speciale tensoren zijn de eenheidstensor I en de nultensor O:

+ - *

ïea = a en

oe:

=

d

v

a

.

De inverse A-' van een tensor A is gedefinieerd door

-

A ' V A = I

Voor de seconiuseerde Ac van A geldt:

;QAQ$ = $*ace:

a,

i;

Een tensor heet symmetrisch als

c A = A (6.2) (6.3) (6.4) (6.5)

(vergelijk met $; uit (5.2) en de dyadensom uit voorbeeld 5 ) en scheefsvm-

metrisch als

(veïyelijk K ~ A de Uyudensm uit voorbeeld 6 ) . Een scheefsymmetrische tensor

A zoals gedefinieerd door (6.6) voegt aan een vector

âfb

t o e een vector

c#6

volgens

+ - P

Aoa=c (6.7)

die een bijzondere eigenschap heeft. We beschouwen daartoe het inwendig pro-

duct

2.;

= a ~ A * a . Volgens (6.4) moet gelden

en dus met (6.6)

+ . -3 + +

-15-

m.a.w.

+ - 9 - e +

arc = -a*c

.

(6. IO)

Aan deze relatie kan alleen dan voldaan zijn als geldt ;*:=O, dus:

. $ . + + - e

als &*a = c en A = -A & dan aec = O (6.11)

in woorden: een scheefsymmetrische tensor A voegt aan elke vector

af8

een

vector

c

toe die loodrecht staat op

a

(vergelijk met voorbeeld 5 ) .

Een soortgelijke bewerking die aan twee vectoren

a'$8

en

$#8

een vector

e

toevoegt welke loodrecht staat op

2

en

6

(dus = = O) is het zgn.

uitwendig product van gelicht.

en

5.

Dit wordt in de volgende paragraaf nader toe-

7. Uitwendicí product van twee vectoren.

De mogelijkheid om bij twee gegeven vectoren

2

en

6

op eenduidige wijze een

derde vector te definiëren die loodrecht staat op de eerste twee wordt gebo-

den door het zgn. uitwendig product o€ vectorproduct. Bij de introductie

hiervan gaan we weer uit van de in Fig. 4 . 1 geschetste situatie, zie Fig.

7. I . Het uitwendig product van

a

en

e

wordt genoteerd als

;*;

en is

Fig. 7.1.

( 7 . 2 )

n'

Is per definitie een eenheidsvector in de richting loodrecht op die van

a

en

e.

De zin van

i

volgt uit de kurketrekkerregel: neem een kurketrekker met

de as loodrecht op de drager van

a

en op de drager van

e".

Draai de kurke-

trekker over de kleinste hoek (cp in Fig. 7. I , dus O

<

cp

<

T ) van

à

naar

e.

De richting waarin de kurketrekker beweegt, geeft de zin van

n'.

Analoog

volgt dat voor

( 7 . 3 )

de kurketrekkes van

e

naar

a'

gedraaid moet worden en dit resulteert in een

eenheidsvector

i'

met een zin tegengesteld aan die van

n'

(zie ook Fig. 7.11,

dus

- b - b + - b

e*a = -a*e

.

Het uitwendig product is een lineaire bewerking zodat

- b * - b - b

a*ae = aa*e

( 7 . 4 )

( 7 . 5 )

Hiermee vinden we voor het uitwendig product van een vector met zichzelf

- b - b

a*a =

û

( 7 . 7 )

-17-

( 7 . a )

Fig. 7.2.

a

I lal I

1

I

sin(tp1 en dus aan het oppervlak van het parallelogram dat wordt

opgespannen door

2

en $ (zie Fig. 7 . 2 ) . Omdat

n

de eenheidsvector loodrecht

op

a

en $ is, is

I

(a*61

I

bbk gelijk aan de inhoud van het parallelopipedum

dat wordt opgespannen door

2,

6

en

n.

Het inwendig product van de vector

a*$

met een vector

c',

ook wel het tripel-

product van

:,

$ en

;

genoemd, is een reëel getal waarvoor geldt:

( 7 . I O )

waarbij $ de kleinste hoek is tussen de dragers van

n

en

c

(zie Fig. 7 . 3 ) .

Substitutie van ( 7 . 1 0 ) in ( 7 . 9 ) levert dus

( 7 . 1 1 )

+ + +

in woorden: het tripelproduct a*bec is gelijk aan het product van het opper-

vlak van het parallelogram opgespannen door en

s,

nl.

I lal I

1161

I

sin(tp1,

Fig. 7.3.

van

c

op de drager van

fi.

Het gevolg is dat de absolute waarde van (a"*$)ec

gelijk is aan het volume van het parallelopipedum opgespannen door

gf

(zie Fig. 7.3).

en

c

Voorbeeld

---

6: vectorrepresentatie van een plat vlak.

Keren we terug naar de beschrijving van het platte vlak in voorbeeld 3 (Fig.

3.3). We hebben in voorbeeld 3 gezien dat de vectorrepresentatie van een

plat vlak in de 3-dimensionale ruimte t.o.v. een punt O geformuleerd kan

worden in termen van een steunvector

2

van O naar een punt van het vlak en

twee niet evenwijdige eenheidsvectoren

-

de richtingsvectoren

g1

en e

het vlak.

-+

-

in

2

We kunnen dat vlak echter ook definiëren door te eisen dat elke vector

6

( 3 . 5 )

FE

het v l a k loodrecht staat op de normaal op het vlak. A l s

2

een vec-

tor is loodrecht op het vlak, moet gelden dat de projectie van

p

op

aan nul is

(p

en

n

zijn orthogonaal) zodat wij met (3.5) en (4.9) kunnen

schrijven

gelijk

( 7 . 1 2 )

Hieraan moet voldaan worden voor willekeurige or en 6 en dat kan alleen als

el*n = e en = O . We hebben dus een vector nodig die loodrecht ap

ê1

en

g2

staat. M.b.v. het uitwendig product

van

de richtingsvectoren kunnen we een

eenheidsnormaalvector definiëren:

- + + + e

2

-19-

Met ( 3 . 6 ) kan de eis (7.121 omgewerkt worden tot de voorwaarde waaraan de

positievector

E

van een willekeurig punt in het vlak t.o.v. O moet voldoen,

nl.

+ 3 +

(r-slen = O met ( 7 . 1 4 )

8. De rotatietensor.

Zij R een tensor die aan een willekeurige vector

x

een vector

y

toevoegt zo-

danig dat I l X l l =

l l ~ l l ,

dus

+.+ + +

Merk op dat de in voorbeeld 6 besproken dyadensom ele2-e2e1 voldoet aan

(8.1). Uit ( 8 . 1 ) volgt

Hieraan wordt voldaan als

R ~ = ~I R

.

(8.31

Wat geldt er nu voor KeK"? Stel ReRC = A dan geldt (R@RC)*R = AcR. Hieruit

volgt met ( 8 . 3 ) : R = AeR en dus A = R*Rc = I. Er geldt dus voor een tensor

volgens ( 8 . 1 ) :

Tensoren die voldoen aan (8.4) heten orthonormaal. De orthonormaliteit van K

volgt dus uit de eis dat de lengten van de oorspronkelijke vector

2

en zijn

afbeelding gelijk zijn. Er zijn twee soorten afbeeldingen denkbaar waarbij

dit het geval is nl. spiegelingen en rotaties. Een orthonormale tensor re-

presenteert daarom df een spiegeling, 6f een rotatie òf een combinatie van

Hoe kunnen we nu nagaan of een gegeven tensor R, die voldoet aan ( 8 . 4 1 , een "echte" rotatietensor is, die alleen rotaties en geen spiegeling beschrijft?

We beschouwen daartoe drie willekeurige vectoren

2,

b'

en

?.

De enige eis

waaraan

2,

6

en

c

moeten voldoen is dat hun dragers verschillende richtingen

hebben. Deze vectoren spannen een blokje op, zie Fig. 7 . 3 . In 7 hebben we

gezien dat de van een teken voorziene inhoud van dit blokje gegeven wordt

door (;*$)e?. Rotatie van

2,

6

en levert de vectoren (gesteld dat R een

rotatietensor is):

-t +* +* + +*

Rea = a

,

Re6 = b R*c = c

.

(8.51

Omdat de vectoren

8 ,

oriëntatie van

2,

b'

en

c'

dezelfde zijn als die van a

,

b

lengten van de vectoren ook niet veranderen zal het volume van het blokje,

opgespannen door

2,

en

c

dezelfde rotatie ondergaan zal de onderlinge

+* +*

en

c'".

Omdat de

en

cf

dezelfde waarde (inclusief het teken) hebben als

=+*

+* +*

dat opgespannen door a

,

b en c :

of

(8.6)

( 8 . 7 )

+ + +

a*b*c

De uitdrukking in het linkerlid van ( 8 . 7 ) is een getal dat niet beïnvloed

wordt door (invariant is voor) de keuze van de vectoren

2,

b'

en

c,

onder

voorwaarde dat hun dragers verschillende richtingen hebben. De waarde van

het: getal wordt blijkbaar volledig bepaald door de tensor R zeif. E e t in het

linkerlid van ( 8 . 7 ) gedefinieerde getal wordt daarom een invariant van R ge-

noemd, gewoonlijk aangeduid als de determinant van R en verkort genoteerd als det(R). Voor een rotatietensor R geldt dus

-21-

9. Kinematica van een star lichaam.

Een - met name bij biomechanisch onderzoek

-

veel voorkomende vraagstelling

in algemene

zin

is de volgende: Gegeven een star lichaam dat beweegt in de

driedimensionale ruimte. Hoe kan de beweging van het lichaam rip een compacte

en overzichtelijke manier wiskundig beschreven worden? Vaak kan volstaan worden met het antwoord op de vraag: hoe kunnen de standen, die het lichaam gedurende zo’n continue beweging op een aantal discrete tijdstippen inneemt, wiskundig aan elkaar gerelateerd worden?

In het volgende worden globale lijnen geschetst waarlangs gekomen kan worden

tot wiskundige betrekkingen, als boven bedoeld, in termen van vectoren en tensoren. We zullen de standen van een star lichaam beschouwen op twee tijd- stippen, zeg t=tl en t=t2. We gaan er vanuit dat op het lichaam n (-3) pun-

ten Po,Plr...,Pn-l op de een of andere manier gemarkeerd zijn. Kiezen we nu

kkn punt van het lichaam, bijvoorbeeld Po, dan kunnen we door meting

Fig. 9 . 1 . =+I

zowel de positievector pi van punt Pi t.o.v. Pg op t=tl bepalen alsmede de

positievector

ri

van Pi op t=t2 t.o.v. Pg op t=tl (zie Fig. 9 . 1 ) . De stand

van het lichaam op t=t2 t.o.v. de stand op t=t, Ligt nu volledig vast omdat

we de stand op t=tl kennen (in termen van de positievectoren pi) Cn de posi-

ties r. van de punten Pi op t=t2 t.o.v. Po op t=tl. We kunnen nu de positie-

vector pi van Pi op t=t2 t.o.v. Po op datzelfde tijdstip bepalen uit

3 -*I 3 l = + 2 ( 9 . 1 ) i i i

Omdat het lichaam star

maar niet qua lengte

v

gezien hebben, dat zij

'2

=

~ . $ f

met

pl

+2

i 1

is zullen de vectoren en p . alleen qua richting

n elkaar verschillen. Da, betekent, zoals wij in 8

via een rotatie in elkaar overgevoerd kunnen worden:

RC*R = I en det(R) = I (9.2)

-b

Voor de positievector

ri

van Pi op t=t2 t.o.v. Po op t=t, geldt volgens

(9.1):

+ -b +2

ri

= ro+pi

en met (9.2)

(i=l ,...,n-I met -3)

.

-b -b

+I

ri = ro

+

R.pi

(9.3)

(9.4)

In woorden: de stand van een star lichaam op tijdstip t=t2 t.o.v. de stand

van datzelfde lichaam op tijdstip t=t, wordt volledig vastgelegd door een

i

transiatievector

(go)

en een rotatietensor (RI

.

De positievector

Ii

van een

punt Pi op t=t2 t.o.v. een punt Po op t=tl is dus op te vatten als het re-

sultaat van een translatie

(;o)

plus een rotatie (via R) van de oorspronke-

4 1