A Comparison between Realistic Mathematics Education and Traditional Mathematics Education

Een Vergelijking tussen Realistic Mathematics Education en Traditioneel

Reken-Wiskundeonderwijs

De Effecten op de Cognitieve en Niet-Cognitieve Opbrengsten en op het Leerproces Universiteit van Amsterdam

Naam: Sanne de Kamper (10646086) Studie: Onderwijskunde

Vak: Bachelorscriptie

Begeleider: dr. E.J. Kuiper

Beoordelaars: dr. E.J. Kuiper & dr. J.A. Schuitema Aantal woorden: 9.987

Inhoudsopgave

Abstract……….2

1. Inleiding………....2

2. Methode………....5

3. Visie en uitgangspunten van RME………...6

4. Effecten op de cognitieve leeropbrengsten van leerlingen………..……….9

1. Leerprestaties van reguliere leerlingen………....9

2. Leerprestaties van laag presterende leerlingen………..10

3. Andere cognitieve leeropbrengsten………...12

5. Effecten op de niet-cognitieve leeropbrengsten van leerlingen………..……..………..15

1. Houding tegenover wiskunde van reguliere leerlingen……….15

2. Motivatie van laag presterende leerlingen……….16

6. Effecten op het leerproces van leerlingen………..……….18

7. Conclusie………21

8. Discussie……….23

Abstract

In recent years there has been a discussion between supporters of Realistic Mathematics Education (RME) and supporters of a more traditional mathematics teaching approach. This study tries to make a contribution to this debate. A brief overview is given of the vision and assumptions of RME. This study then reviews seventeen studies, which examine the effects of RME on cognitive and non-cognitive achievement and on the learning process of students. The results show a predominantly positive effect of RME on cognitive achievement of regular students. A positive effect has also been found on non-cognitive achievement, namely attitude towards mathematics, of these students. On the other hand, the traditional approach seems to be more effective on cognitive achievement and motivation of low achievers and students with learning and/or behavioral disabilities. This study shows that RME contributes to a meaningful learning process, which is characterized by a critical attitude and an active contribution to the instructions given. It can be concluded that RME is a positive development in mathematics education, but may not be a suitable method for every student.

1. Inleiding

Het Nederlands reken- en wiskundeonderwijs kent een geschiedenis met verschillende didactische stromingen. Vanaf de jaren ‘60 heeft een nieuwe stroming de overhand gekregen: Realistic Mathematics Education (RME). De realistische manier van reken- en wiskundeonderwijs heeft op grote schaal ingang gevonden in het Nederlands onderwijs met als initiatiefnemer professor Hans Freudenthal (Goffree et al., 2000). Freudenthal had kritiek op het traditionele docent-gecentreerd onderwijs dat tot 1968 de dominerende stroming was. De nadruk bij deze stroming lag op het herhalen van de oplossingsstrategie door de docent. Dit bracht volgens Freudenthal geen wiskundig inzicht bij en sloot niet aan op de belevingswereld van leerlingen (Ter Heege, 2008). Daarom introduceerde hij het realistisch reken- en wiskundeonderwijs. Bij dit onderwijs ligt de nadruk op ‘leren door te doen’ en de common sense van leerlingen. Er wordt gebruik gemaakt van realistische contexten en er wordt gestreefd naar een interactief construerend en samenhangend leerproces (Milo & Ruijssenaars, 2003). RME zou daarmee bijdragen aan het verhogen van de leerprestaties en de motivatie van leerlingen voor wiskunde.

De laatste jaren is er een discussie ontstaan in het reken- en wiskundeonderwijs in Nederland en wordt er kritiek geuit op het RME. Tegenstanders van RME pleiten voor een meer traditionele methode om leerlingen reken- en wiskundevaardigheden te leren. Zo zou het gebruik van contexten in RME ongelijkheid tussen leerlingen kunnen vergroten (Opmeer, 2005). Om te presteren zijn dan namelijk ook andere vaardigheden als begrijpend lezen en adequate algemene kennis nodig. Dit kritiekpunt wordt vooral aangehaald in de discussie rondom het onderwijs van laag presterende leerlingen, leerlingen in het speciaal onderwijs en leerlingen van niet-Nederlandse afkomst (Milo & Ruijssenaars, 2003). Een ander kritiekpunt betreft de volgorde van het leerproces binnen RME, namelijk eerst begrijpen en dan oefenen. Opmeer (2005) beargumenteert dat leerlingen pas inzicht

krijgen zodra zij iets kunnen en niet andersom; definities en procedures zouden daarom voor inzicht moeten komen. Van der Craats (2007) noemt ter aanvulling dat leerlingen inzicht krijgen in bepaalde wiskundige concepten tijdens het oefenen met (traditionele) standaardopgaven. Daarnaast noemt Van der Craats (2007) dat de vele verschillende oplossingsstrategieën die leerlingen te zien krijgen, voor verwarring kunnen zorgen. Voorstanders van het traditionele onderwijs benadrukken het belang dat leerlingen hebben bij het aanleren van maar één juiste oplossingsstrategie, gedemonstreerd door de docent.

Een voorstander van RME, Gravemeijer (2006), reageerde op de kritiek van Opmeer (2005). Opmeer (2005) betoogde dat het volgen van procedures en het geven van definities het effectiefst zijn voor het leren van wiskunde. Gravemeijer (2006) noemde hierop dat juist het geven van ‘betekenis en toepassingen’ effectiever is voor het leren en internaliseren van wiskunde. Jonge leerlingen zouden de abstracte (traditionele) oplossingsstrategieën niet kunnen begrijpen, omdat zij nog op een concreter denkniveau zitten (Ter Heege, 2008). Het gebruik van contexten zou de leerlingen helpen om bepaalde wiskundige concepten wel te kunnen inzien. Ter Heege (2008) noemt dat meer inzicht ook verkregen kan worden aan de hand van het ontdekkend leren dat RME stimuleert. De leerlingen maken zich de stof dan eigen en kunnen hun kennis in verschillende (wiskundige) situaties gebruiken. Door het gebruik van de wereld om leerlingen heen en het zelf laten zoeken naar oplossingen, zou RME bijdragen aan de zingeving en het begrip van de wiskunde. Deze kenmerken van RME zouden volgens Ter Heege (2008) ook de interesse en motivatie voor wiskunde van de leerlingen bevorderen.

Middels deze literatuurstudie wordt geprobeerd een bijdrage te leveren aan de discussie tussen voorstanders van de realistische dan wel de traditionele methode. Dit wordt gedaan door antwoord te geven op de volgende hoofdvraag: Wat is bekend over het effect van RME, in vergelijking met de traditionele reken- en wiskundemethode, op de cognitieve en niet-cognitieve leeropbrengsten en op het leerproces van leerlingen?. Deze hoofdvraag is opgesplitst in drie deelvragen: (1) Wat is bekend over het effect van RME, in vergelijking met de traditionele reken- en wiskundemethode, op de cognitieve opbrengsten van leerlingen?, (2) Wat is bekend over het effect van RME, in vergelijking met de traditionele reken- en wiskundemethode, op de niet-cognitieve opbrengsten van leerlingen? en (3) Wat is bekend over het effect van RME, in vergelijking met de traditionele reken- en wiskundemethode, op het leerproces van leerlingen?.

Het is gewenst meer duidelijkheid te krijgen over de effecten die RME en de traditionele reken-wiskundemethoden hebben op leerlingen om zo de voor- en nadelen van de methoden helder te hebben. Zoals eerder genoemd is, zijn er verschillende meningen over welke didactische strategie het effectiefst is in het leren van rekenen en wiskunde. Het is dus belangrijk om te weten wat de effecten van RME en de traditionele methode zijn op de cognitieve leeropbrengsten. Daarnaast worden in deze studie ook de effecten op niet-cognitieve opbrengsten, namelijk houding en motivatie, meegenomen. Uit studies blijkt dat er een wederkerig verband bestaat tussen bijvoorbeeld houding tegenover wiskunde en wiskundige prestatie (Ling Tsai & Walberg, 1983; Ma, 1997). Het effect op deze

factoren is dus belangrijk. Daarnaast zullen de effecten van RME en de traditionele methode op het leerproces van leerlingen meegenomen worden. Het is belangrijk om de nieuwe manier van werken, leren en denken van leerlingen te onderzoeken. Cobb en Yackel (1996) noemen namelijk dat het leerproces binnen RME nieuwe omgangsvormen vereist tussen leerlingen en docenten en dit kan van invloed zijn op het leerproces.

Allereerst wordt in deze studie de methode besproken die gebruikt is tijdens het zoeken naar geschikte literatuur. Daarna wordt een hoofdstuk gewijd aan een beschrijving van de visie en uitgangspunten van RME. Vervolgens wordt de beschikbare literatuur per deelvraag besproken in drie hoofdstukken. Het eerste hoofdstuk betreft literatuur over het effect van RME en de traditionele lesmethode op leerprestaties van reguliere leerlingen en leerlingen met leer- en/of gedragsproblemen, en op andere cognitieve leeropbrengsten. In het tweede hoofdstuk worden studies besproken naar het effect van RME en de traditionele methode op de houding tegenover wiskunde en de motivatie van leerlingen. In het derde hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van studies naar het effect van RME en traditioneel onderwijs op het leerproces van leerlingen. Daarna wordt in de conclusie antwoord gegeven op de deel- en hoofdvragen. Tot slot wordt in de discussie een kritische blik geworpen op de uitkomsten van deze studie en worden implicaties gedaan voor de praktijk en vervolgonderzoek.

2. Methode

Om antwoord te kunnen geven op de hoofd- en deelvragen is een literatuurstudie uitgevoerd. De literatuur is gezocht in de online databases van Google Scholar en PiCarta. Daarnaast is ook gebruik gemaakt van de digitale bibliotheek van de Universiteit van Amsterdam, waarbij gezocht werd in de databases van onder andere ERIC, PsycINFO en Web of Science. Er is gezocht op basis van de volgende kernbegrippen ‘student achievement’, ‘student motivation’, ‘student attitude’, ‘high achievers’, ‘high achieving students’, ‘gifted students’, ‘talented students’, ‘low achievers’, ‘low achieving students’, ‘classroom interaction’, ‘teacher competencies’, ‘teacher skills’, ‘classroom climate’, ‘classroom norms’, ‘student experience’, ‘student engagement’, en ‘student confidence’. Deze zoektermen werden gebruikt in combinatie met ‘Realistic Mathematics Education’ of ‘RME’. Om effectstudies te vinden waarin een vergelijking gemaakt wordt tussen RME en andere lesmethoden zijn de volgende zoektermen daaraan toegevoegd: ‘Conventional Mathematics Education’ en ‘Traditional Mathematics Education’. Ook is aan de hand van referenties in artikelen gekeken naar relevante onderzoeken voor deze literatuurstudie.

Wegens een beperkt aantal recente onderzoeken naar de effecten van RME, is ervoor gekozen alle onderzoeken mee te nemen die gedaan zijn vanaf de opkomst van RME begin jaren ‘60. Daarnaast zijn alleen studies geïncludeerd die een vergelijking maken tussen een methode gebaseerd op RME en een andere traditionele lesmethode. Ook zijn er eisen gesteld aan het design: het onderzoek moest een quasi-experimentele opzet hebben met een controlegroep. Wanneer in een studie de experimentele groep een lesmethode ontving die maar deels overeenkomt met de uitgangspunten van RME, is deze wel geïncludeerd om zo ook naar de effecten van specifieke onderdelen van RME te kunnen kijken. De zoektocht leverde in eerste instantie 31 studies op. Daarvan zijn achttien studies afgevallen. Door het uitsluiten van studies zonder quasi-experimentele opstelling zijn er in totaal dertien kwantitatieve studies overgebleven die gebruikt zijn bij het beantwoorden van de hoofd- en de eerste twee deelvragen. Daarnaast zijn nog drie kwalitatieve studies geïncludeerd om antwoord te geven op de derde hoofdvraag. Hierbij werd het criteria gehanteerd dat tijdens de studie minstens twee typen lesmethoden geobserveerd moeten zijn. In totaal zijn dus zestien studies geïncludeerd.

3. Visie en uitgangspunten van RME

Hans Freudenthal wordt gezien als de grondlegger van het realistische reken- en wiskundeonderwijs (Realistic Mathematics Education, RME) dat sinds 1970 de overhand heeft gekregen in Nederland. In die tijd waren de klassen steeds heterogener geworden, steeds meer kinderen met verschillende achtergronden zaten samen in één klas. Freudenthal ondervond dat er weinig of geen aandacht besteed werd aan individuele problemen en verschillen in wiskundekennis van leerlingen. Het traditionele onderwijs voldeed volgens hem niet, regeltjes werden snel vergeten en het inzicht in wiskundige concepten ontbrak. Freudenthal zocht daarom naar contexten die meer inzicht konden geven en voor leerlingen automatisch wiskundige activiteiten opriepen (Goffree et al., 2000).

De algemene visie van Freudenthal kenmerkt zich door het zien van wiskunde als een human activity (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Hierbij staat het ‘leren door te doen’ centraal, met andere woorden het actief oplossen van en zoeken naar problemen in de wereld. De visie van Freudenthal kenmerkt zich daarnaast ook door de focus op de common sense van leerlingen, de wiskundige kennis die leerlingen als vanzelfsprekend zien in de wereld om hen heen (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Freudenthal streefde ernaar dat leerlingen nieuwe kennis als vanzelfsprekend gingen zien. Hij ging ervan uit dat zodra de nieuwe kennis een deel uitmaakt van het gezond verstand, de leerlingen in staat waren om deze kennis toe te passen en erop verder te bouwen. Door het zelf uitvoeren en ontdekken en het redeneren vanuit de algemene kennis van de leerling zelf, ervaart de leerling de uitkomsten van het leerproces als eigen kennis. De leerling kan op deze manier een dieper begrip krijgen van de wiskunde. Het doel is dat de leerling betekenisvolle kennis opdoet en geen tweedeling ervaart tussen de wereld om zich heen en de wiskunde (Gravemeijer & Doorman, 1999).

Het RME is gebaseerd op de visie van Freudenthal en valt onder de constructivistische leertheorie (Fosnot, 2005). Het constructivisme gaat er vanuit dat leerlingen actief kennis construeren. Treffers noemt de volgende vijf belangrijkste uitgangspunten van RME (Milo & Ruijssenaars, 2003): (1) het gebruik van realistische contexten, (2) guided reinvention, (3) het mathematiseren aan de hand van modellen, (4) een interactief leerproces, en (5) de samenhang vinden tussen (sub)domeinen. Deze vijf uitgangspunten van RME zullen in de volgende alinea’s nader worden toegelicht.

Het eerste uitgangspunt betreft het gebruik van realistische contexten binnen RME. Met het woord realistisch wordt “zich realiseren wat de betekenis is” bedoeld (Ter Heege, 2008). Om dit te verwezenlijken, moet de wiskunde die onderwezen wordt aansluiten bij de belevingswereld van leerlingen. Contexten helpen hen bij het maken van de vertaalslag tussen de belevingswereld en de wiskunde. De contexten hoeven niet direct uit de realiteit te komen, zolang het voor de leerling zelf maar betekenisvol is (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Ter Heege (2008) noemt dat het gebruik van problemen uit de belevingswereld de wiskundige interesse van leerlingen kan bevorderen.

Het aanmoedigen van leerlingen om zelf (nieuwe) oplossingsstrategieën te bedenken valt onder het tweede uitgangspunt, namelijk guided reinvention. Binnen het RME worden leerlingen

geacht zelf oplossingen te ontdekken voor wiskundige problemen door te redeneren vanuit de kennis die zij al hebben (Ter Heege, 2008). De leraar speelt hierbij een belangrijke rol als gids voor de leerlingen. Hij/zij ontwerpt de leerroute die de leerling aan de hand van contexten af zal leggen. Door kritische vragen te stellen en een discussie te starten wordt de leerling aangezet tot nadenken over de juiste oplossingsstrategie. Op deze manier wordt wiskunde een human acitivity en heeft dit volgens Ter Heege (2008) een dieper wiskundig inzicht als eindresultaat. Daarnaast kenmerkt het leerproces zich door het geven van eigen input van de leerlingen tijdens de guided reinvention. De leerling beschouwt dan de uitkomsten als eigen verdiensten en als eigen verantwoordelijkheid (Gravemeijer, 1995).

Het derde uitgangspunt van RME betreft het mathematiseren door middel van modellen. Mathematiseren is het organiseren van problemen in de realiteit of in de wiskunde, dus het organiseren van de oplossing, de route naar nieuwe kennis (Ter Heege, 2008). Mathematiseren is volgens Freudenthal nodig om guided reinvention mogelijk te maken. Freudenthal spreekt daarnaast over modellen, die nodig zijn om te kunnen mathematiseren (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Modellen zijn weerspiegelingen van de realiteit waarin de probleemsituaties vragen om een wiskundige aanpak. Deze modellen moeten flexibel zijn zodat ze steeds op een meer abstracte manier ingezet kunnen worden. De leerling krijgt dankzij deze modellen meer grip op de achterliggende wiskundige concepten en zo meer inzicht in zijn/haar wiskundekennis (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003).

Het stimuleren van een interactief leerproces is een vierde uitgangspunt van RME. Tijdens het leerproces vindt door middel van interactie constructie van kennis plaats (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). De leerlingen moeten discussiëren, uitleggen, beargumenteren en anderen begrijpen om tot (nieuwe) oplossingsstrategieën te komen (Gravemeijer, 1995). Deze interactie kan zowel tussen de docent en leerling plaatsvinden, als tussen leerlingen onderling. Dit is volgens Freudenthal ook een voorwaarde voor guided reinvention (Gravemeijer, 2005). Om deze interactie effectief te laten verlopen moet de communicatie in de klas gedragen worden door afspraken, een nieuw ‘didactisch contract’ is nodig tussen leerlingen en docent (Gravemeijer, 1995). Cobb en Yackel (1996) spreken over sociale normen en sociale wiskundenormen die opgenomen zijn in dit contract. Sociale normen zijn (on)afgesproken regels over hoe leerling en docent zich gedragen tijdens het leerproces, bijvoorbeeld dat leerlingen verwachten dat ze hun antwoord moeten verantwoorden en uitleggen aan de klas. De sociale wiskundenormen zijn wiskunde-specifiek en betreffen bijvoorbeeld wat gezien wordt als een correcte/volledige wiskunde uitleg of hoe je een opgave juist moet interpreteren (Cobb & Yackel, 1996). Volgens Gravemeijer (1995) nemen leerlingen deze normen over en kunnen ze ook hun eigen normen gaan ontwikkelen. Dit heeft als gevolg dat leerlingen hun eigen leerproces meer vorm kunnen geven en kunnen sturen.

Tot slot, het vijfde uitgangspunt betreft het vinden van samenhang tussen (sub)domeinen. Freudenthal vond het belangrijk dat leerlingen het ‘grotere plaatje’ leerden zien en wilde daarom de samenhang tussen (sub)domeinen van de wiskunde benadrukken (Goffree et al., 2000). Van den

Heuvel-Panhuizen (2003) spreekt van drie shifts in kennis die plaats kunnen vinden: in context, in (sub)domeinen en in functie. De shift in context is vaak de eerste stap, hierin ondervindt de leerling dat hetzelfde model ook op andere contexten toegepast kan worden. De shift in (sub-)domeinen is de realisatie dat deze ook in andere domeinen van de wiskunde gebruikt kan worden. De uiteindelijke shift in functie is dat de leerling het model flexibel kan gebruiken en manipuleren in verschillende contexten en situaties. Na deze drie shifts is een dieper begrip ontstaan van de wiskunde en ervaart de leerling de kennis als common sense (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Deze kennis kan hij/zij nu toepassen in verschillende probleemsituaties, daarnaast fungeert de kennis als een startpunt voor het leren van nog diepere wiskunde.

4. Effecten op de cognitieve leeropbrengsten van leerlingen

In dit hoofdstuk wordt ingegaan op de effecten van RME en de traditionele reken-wiskundemethoden op de cognitieve leeropbrengsten van leerlingen. De studies die besproken worden vergelijken de leerprestaties van leerlingen die reken-wiskundeonderwijs kregen volgens de principes van RME met de leerprestaties van leerlingen die een andere (traditionele) reken-wiskundemethode onderwezen kregen. Deze traditionele methode wordt gekenmerkt door een docent-gecentreerde didactische strategie, waarbij de docent lesgeeft door middel van het geven van definities en procedures die de leerlingen moeten reproduceren. Aan de hand van de resultaten van deze studies kan iets gezegd worden over de effectiviteit van de lesmethoden in het aanleren van rekenen en wiskunde. In dit hoofdstuk wordt dus ingegaan op de eerste deelvraag: Wat is bekend over het effect van RME in vergelijking met de traditionele reken-wiskundemethode op de cognitieve leeropbrengsten van leerlingen?. In deze eerste paragraaf worden studies naar het effect op leerprestatie van reguliere leerlingen besproken. Daarna zullen studies behandeld worden waarin dit effect is onderzocht op laag presterende leerlingen en leerlingen met leer- en/of gedragsproblemen. In de laatste paragraaf worden studies naar het effect van RME en traditioneel reken-wiskundeonderwijs op andere cognitieve leeropbrengsten besproken.

1. Leerprestaties van reguliere leerlingen

In deze paragraaf worden studies besproken naar het effect van RME in vergelijking met de traditionele reken-wiskundemethode op de leerprestaties. Aan deze studies hebben leerlingen deelgenomen uit het reguliere basis- en middelbaar onderwijs.

Zubainur, Veloo en Khalid (2015) hebben het effect onderzocht van deze twee lesmethoden op leerprestatie bij leerlingen uit de 5th _{grade van een basisschool in Indonesië. De}

leerlingen ontvingen ofwel de RME methode of de traditionele methode. Het onderwerp van instructie in deze studie betrof de eigenschappen van kubussen en balken. Door middel van een pre-test en een post-test werden de 25 leerlingen in de controlegroep en de 25 leerlingen in de experimentele groep getoetst op hun kennis. De toets bestond uit acht items en betrof onderdelen als ruimtefiguren identificeren en oppervlakten berekenen aan de hand van realistische problemen. De resultaten tonen een significant verschil tussen de groepen: de experimentele groep scoorde beter op de prestatietoets dan de controlegroep. Zubainur et al. (2015) concluderen dat de RME methode dus effectiever is in het verhogen van de leerprestaties.

Een ander onderzoek naar het effect op leerprestaties is uitgevoerd door Özkaya en Karaca (2017a). Ook hieraan namen leerlingen uit een 5th grade deel. De leerlingen waren afkomstig van een Turkse middle school en werden random verdeeld over de controle- en experimentele groep. De 23 leerlingen uit de experimentele groep kregen instructie gebaseerd op RME en de 22 leerlingen uit de controlegroep kregen de traditionele instructie. In dit onderzoek had de instructie betrekking op de natuurlijke getallen en bewerkingen. Het effect van de twee lesmethoden op academisch succes is

gemeten in een pre-test post-test design. De prestatietoets bestond uit 25 multiple-choice items die over de lesstof van de instructie gingen. Uit de resultaten bleek dat de experimentele groep beter presteerde dan de controlegroep. Op basis daarvan concluderen Özkaya en Karaca (2017a) dat RME effectiever is dan de traditionele methode.

Ook Zakaria en Syamaun (2017) hebben onderzoek gedaan naar de effectiviteit van RME. De 61 deelnemende leerlingen kwamen van een high school in Indonesië. Eén klas van 31 leerlingen, waaraan RME onderwezen werd, werd toegeschreven aan de experimentele conditie. Een andere klas van 30 leerlingen kregen het reguliere onderwijs dat gebaseerd was op de traditionele reken-wiskundemethode. Deze klas werd gebruikt als controlegroep. In dit onderzoek werden leerprestaties gemeten aan de hand van een prestatietoets als post-test. De toets bestond uit vijftien multiple-choice vragen en vijf open vragen over het onderwerp logica. Uit de resultaten bleek dat de klas met de op RME gebaseerde instructie hoger scoorde dan de controlegroep. Zakaria en Syamaun (2017) concluderen dat RME bijdraagt aan het verhogen van leerprestaties van leerlingen.

Uit de drie bovengenoemde studies blijkt een positief effect van RME op de leerprestaties van leerlingen. In vergelijking met de traditionele reken- en wiskundemethoden, draagt RME bij aan hogere leerprestaties van reguliere leerlingen uit het basis- en middelbaar onderwijs.

2. Leerprestaties van laag presterende leerlingen

Zoals al eerder genoemd is, zijn er twijfels over de effectiviteit van RME op de leerprestaties van laag presterende leerlingen en leerlingen met leer- en/op gedragsproblemen besproken (Milo & Ruijssenaars, 2004). Daarom worden in deze paragraaf de studies besproken die het effect van RME vergelijken met de traditionele reken- en wiskundemethode op de leerprestaties van deze specifieke groep leerlingen.

Kroesbergen en Van Luit (2003) hebben een meta-analyse uitgevoerd waarbij in totaal 58 studies zijn meegenomen. In deze studies zijn de effecten van verschillende lesmethoden onderzocht op de leerprestaties van leerlingen met speciale onderwijsbehoeften. De studies die meegenomen zijn in deze meta-analyse zijn gepubliceerd tussen 1985 en 2000. In totaal hebben 2509 leerlingen deelgenomen aan de studies met een gemiddelde leeftijd van 8,6 jaar. Het betrof leerlingen die moeite hebben met het leren van wiskunde en op een lager niveau presteren dan leeftijdgenoten. In de meta-analyse is nagegaan of bepaalde interventiekenmerken, oftewel kenmerken van de reken-wiskundemethoden, bij hebben gedragen aan het verhogen van de leerprestaties. Er is onder andere nagegaan of de kenmerken van RME, zoals deze eerder beschreven zijn in hoofdstuk 2, effect hadden op de leerprestaties. Uit de resultaten van de meta-analyse blijkt ten eerste dat expliciete instructie het effectiefst is in het aanleren van basisvaardigheden bij deze leerlingen. Expliciete instructie werd omschreven als instructie gegeven door de docent waarbij hij/zij de oplossingsstrategie uitlegde en demonstreerde voor de klas. Daarnaast droeg expliciete instructie ook bij aan het probleemoplossend vermogen. Ten tweede is het opvallend dat er geen significant effect werd gevonden van RME op de

leerprestaties. Kroesbergen en Van Luit concluderen dat RME niet bijdraagt aan hogere leerprestaties van laag presterende leerlingen. De (traditionele) expliciete instructie droeg daarentegen wel bij aan de leerprestaties van deze groep leerlingen.

Kroesbergen, Van Luit en Maas (2004) hebben op basis van deze meta-analyse vervolgonderzoek gedaan naar het verschillende effect op leerprestaties tussen (traditionele) expliciete instructie en constructivistische instructie, die meer overeenkomst met de principes van RME. De 265 deelnemers aan het onderzoek waren leerlingen uit het speciaal onderwijs en laag presterende leerlingen uit het Nederlandse basisonderwijs. Zij waren afkomstig van dertien reguliere basisscholen en elf speciale basisscholen. De leerlingen zijn geselecteerd op hun lage wiskundeprestaties op een nationale toets en zaten in verschillende groepen. De gemiddelde leeftijd van de leerlingen was 9,7 jaar. De duur van de interventie was vier tot vijf maanden, waarin de participanten 30 lessen kregen over vermenigvuldigen. De leerlingen werden verdeeld over drie groepen: een groep met constructivistische uitleg (N = 85), een groep met expliciete uitleg (N = 83) en een controlegroep met de reguliere uitleg (N = 97). De constructivistische uitleg is vormgegeven naar de uitgangspunten van RME. Tijdens de uitleg moesten de leerlingen actief meedoen en de eigen wiskundekennis construeren onder begeleiding van de docent. De groep met de expliciete uitleg werd onderwezen met een meer traditionele lesmethode, waarbij de docent de juiste oplossingsstrategie klassikaal demonstreerde. De reguliere uitleg bleek vaak een mengeling te zijn van constructivistische en expliciete uitleg. De docenten pasten zich aan aan de behoeften van de leerlingen. De post-test bestond uit twee snelheidstoetsen betreffende de basisvaardigheden van vermenigvuldigen, waarvan één mondeling en één op papier, en twee toetsen betreffende probleemoplossend vermogen waarbij de opgaven bestonden uit verhaaltjessommen of moeilijkere vermenigvuldigingen. Uit de resultaten bleek dat de leerlingen die de expliciete instructie hadden gekregen een significant grotere vooruitgang lieten zien in het doen van vermenigvuldigingen en het probleemoplossend handelen. Kroesbergen et al. (2004) concluderen dat laag presterende leerlingen meer baat hebben bij de expliciete instructie waarbij maar een beperkt aantal strategieën gepresenteerd worden, dan de constructivistische instructie, waarbij juist veel verschillende strategieën aan bod komen die zowel goed als fout zijn.

Kroesbergen en Van Luit hebben in 2005 nog een onderzoek gedaan waarbij leerlingen met een lichte verstandelijke beperking (mild mental retardation) deelnamen. De 69 leerlingen waren afkomstig van speciale basisscholen in Nederland. De gemiddelde leeftijd van de leerlingen was 10,3 jaar. Kroesbergen en Van Luit (2005) hebben het effect onderzocht van één van de uitgangspunten van RME, namelijk guided reinvention, wat in dit onderzoek guided instruction genoemd werd, op leerprestatie. Guided instruction houdt in dat de instructie volledig afhangt van de input van leerlingen. De docent stuurt en begeleidt de discussies die er ontstaan en stelt kritische vragen over de oplossingsstrategieën van de leerlingen. Door middel van deze aanpak zouden de leerlingen zelf tot nieuwe oplossingsstrategieën moeten komen. De 35 leerlingen in de experimentele groep werden onderwezen met deze methode. De 34 leerlingen uit de controlegroep leerden aan de hand van

expliciete/directe instructie, waarbij de docent oplossingsstrategieën introduceert en uitlegt en de input van leerlingen beperkt wordt. De instructie had betrekking op vermenigvuldigen en werd twee keer per week gegeven in een periode van vier maanden. Het effect van guided instruction werd gemeten in een pre-test en post-test middels prestatietoetsen, waarvan één snelheidstoets die uit 40 makkelijke vermenigvuldigingsopgaven bestond om automatisme te meten en één toets die uit 20 moeilijkere ‘verhaaltjessommen’ bestond. Uit de resultaten bleek geen verschil tussen de twee groepen op het gebied van automatiseren, beide groepen zijn significant verbeterd. Wat betreft vermenigvuldigingsvermogen en het gebruik van adequate oplossingsstrategieën is er een verschil gevonden in het voordeel van de groep met de expliciete instructie. Kroesbergen en Van Luit (2005) concluderen dat expliciete instructie een grotere bijdrage levert aan het verhogen van leerprestaties van licht verstandelijk beperkte leerlingen dan de constructivistische instructie.

Bishara (2015) heeft onderzoek gedaan naar de leerprestaties van leerlingen in het speciaal onderwijs in Israël. In deze studie werd het effect van actief onderwijs, overeenkomend met principes van RME, vergeleken met traditioneel onderwijs. De leerlingen zaten in 4 klassen van 10 leerlingen, twee klassen kregen actief onderwijs aangeboden de andere twee klassen traditioneel onderwijs. Bij de actieve methode lag de nadruk op interpersoonlijke relaties, het onafhankelijk leiden van het eigen leerproces en het adaptief leren. Dit onderwijs komt overeen met uitgangspunten van RME die in hoofdstuk 2 genoemd zijn, zoals guided reinvention en interactief leerproces. De traditionele methode bestond uit een docent-gecentreerde expliciete instructie aan alle leerlingen. De ontwikkeling van de leerprestaties van de leerlingen werd gemeten middels een pre-test aan het begin van het jaar en een post-test aan het eind van het schooljaar. Uit dit onderzoek bleek dat de leerlingen die de actieve lesmethode onderwezen kregen significant meer verbeterden dan de leerlingen die traditionele methode kregen. Bishara (2015) concludeert dat de actieve methode, waarbij samenwerking en actieve bijdrage leveren aan het eigen leerproces centraal staan, bijdraagt aan hogere leerprestaties bij leerlingen met speciale onderwijsbehoeften.

Samengevat zijn de effecten van RME op leerprestatie binnen het regulier onderwijs in de beschikbare literatuur overwegend positief. Daarentegen zijn de effecten die gevonden zijn in studies onder laag presterende leerlingen niet zo eenduidig. Drie onderzoeken tonen een positief effect aan van expliciete instructie op de leerprestaties. Eén studie toont dat actief, op RME gebaseerd, onderwijs bij kan dragen aan hogere leerprestaties bij deze groep leerlingen.

3. Andere cognitieve leeropbrengsten van leerlingen

In deze paragraaf worden studies besproken die het effect van RME hebben onderzocht op andere cognitieve opbrengsten dan leerprestaties. Als eerste worden vaardigheden besproken die bijdragen aan de ontwikkeling van het individu, namelijk realistisch en kritisch denkvermogen. Deze vaardigheden kan de leerling gebruiken om in de echte wereld problemen te kunnen analyseren en oplossen. Daarna worden twee vaardigheden genoemd die prestatieverhogend zouden kunnen werken,

namelijk het bedenken van juiste/logische oplossingsstrategieën en het gebruiken van de wiskundige intuïtie. Deze vaardigheden zijn belangrijk, omdat het de leerlingen zowel binnen als buiten de wiskundeklas verder helpt. De studies die besproken worden tonen het effect van RME op deze verschillende cognitieve opbrengsten.

Ten eerste hebben Verschaffel en De Corte (1997) het effect van RME onderzocht op het gebruik maken van realistische kennis en common sense van leerlingen. Hierbij gaat het erom of leerlingen in staat zijn om realistische oplossingsstrategieën te bedenken en antwoord te geven op ‘verhaaltjessommen’. De leerlingen die hebben deelgenomen aan dit onderzoek waren verspreid over drie groepen. Eén groep van negentien leerlingen ontving de experimentele conditie, zij werden onderwezen met de RME methode. De andere twee groepen fungeerden als controlegroep en bestonden uit respectievelijk achttien en zeventien leerlingen. Zij werden door middel van de reguliere traditionele reken-wiskundemethode onderwezen. De leerlingen waren tussen de tien en twaalf jaar oud en waren afkomstig van een basisschool in Vlaanderen. De pre- en post-test bestonden uit vijftien ‘verhaaltjessommen’ waarbij rekenvaardigheden nodig waren. De antwoorden van de leerlingen werden beoordeeld op de haalbaarheid in de echte wereld, dus of de gegeven uitwerkingen ook daadwerkelijk zouden werken in de praktijk en niet alleen op papier. Uit de resultaten blijkt dat leerlingen die onderwezen werden met RME beter in staat waren om realistisch juiste antwoorden te geven in vergelijking met de leerlingen uit de controlegroep. Het blijkt dus dat RME bijdraagt aan een realistische aanpak bij het oplossen van problemen.

Het onderzoek van Palinussa (2013) heeft betrekking op de ontwikkeling van het wiskundig kritisch denkvermogen. Dit kritisch denkvermogen houdt in dat leerlingen beslissingen kunnen nemen op basis van wiskundig logische redeneringen. Ze kunnen problemen opsporen, aan elkaar relateren, analyseren en oplossen. 106 Indonesische leerlingen uit de 7th _{grade hebben deelgenomen aan het}

onderzoek. De experimentele groep bestond uit 52 leerlingen, zij leerden volgens de RME methode. De controlegroep bestond uit 54 leerlingen, zij ontvingen het reguliere traditionele curriculum. Aan de hand van een pre-test en post-test design is de ontwikkeling van het kritisch denkvermogen gemeten. Uit de resultaten blijkt dat de experimentele groep een grotere verbetering liet zien dan de controlegroep. Palinussa (2013) concludeert dan ook dat RME een groter effect heeft op de ontwikkeling van het kritisch denkvermogen dan de traditionele methode.

Een ander onderzoek is gedaan naar het effect van RME op de oplossingsstrategieën die leerlingen bedenken. Dickinson en Eade (2005) hebben verschillende oplossingsstrategieën geanalyseerd van leerlingen uit 7th _{en 8}th _{year van Engelse middelbare scholen. In de experimentele}

groep zaten 315 leerlingen die onderwezen werden met de RME methode. De controlegroep bestond ook uit 315 leerlingen van verschillende middelbare scholen die een traditionele methode gebruikten. De leerlingen die deelnamen aan het onderzoek van Dickinson en Eade (2005) hebben verschillende prestatietoetsen gemaakt. Om de opgaven te kunnen maken, was redenerend vermogen en begrip van wiskundige concepten nodig. Er werd vastgesteld of de strategieën die de leerlingen gebruikt hadden

wel of niet logisch zijn. Dus of de strategieën tot een juist antwoord leidden of hadden kunnen leiden als de leerling bijvoorbeeld geen rekenfouten had gemaakt. Uit de analyse bleek dat de leerlingen uit de experimentele groep vaker een strategie gebruikten die wiskundig logisch was, in vergelijking met de leerlingen uit de controlegroep. Dickinson en Eade (2005) stellen dat de leerlingen die onderwezen werden met de RME methode meer begrip hadden van de achterliggende concepten en daarmee tot oplossingsstrategieën konden komen die tot een juist antwoord (kunnen) leiden.

Wanneer tijdens het oplossen van wiskundige problemen logisch redeneren even niet lukt, kunnen leerlingen, volgens Hirza en Kusumah (2014), terugvallen op hun wiskundige intuïtie. In deze studie van Hirza en Kusumah (2014) is de ontwikkeling van deze wiskundige intuïtie onderzocht. De intuïtie bestaat uit redeneringen die onbewust en direct plaatsvinden en kan beschreven worden als een bepaald ‘onderbuikgevoel’. De redeneringen hoeven niet per se wiskundig onderbouwd te zijn, maar kunnen wel helpen met het oplossen van de problemen. De leerlingen die hebben deelgenomen aan dit onderzoek waren afkomstig van twee basisscholen in Indonesië en zaten in de 5th grade. De experimentele groep bestond uit 82 leerlingen, aan deze groep werd de RME methode onderwezen. De controlegroep bestond ook uit 82 leerlingen, zij kregen de traditionele methode. De ontwikkeling van de wiskundige intuïtie werd gemeten in een pre-test en post-test design. Uit de resultaten blijkt een significant verschil tussen de twee groepen. Hirza en Kusumah (2014) concluderen dat RME een grotere bijdrage levert aan de ontwikkeling van wiskundige intuïtie dan de traditionele methode.

Vaardigheden als wiskundige intuïtie, kritisch denk- en redeneringsvermogen en het gebruik van eigen realistische kennis komen overeenkomen met de doelen van RME (Milo & Ruijssenaars, 2003). De vier studies die genoemd zijn tonen een positief effect van RME in vergelijking met traditionele reken-wiskundemethoden op deze vaardigheden, die bij kunnen dragen aan hogere leerprestaties en individuele ontwikkeling van leerlingen.

5. Effecten op de niet-cognitieve opbrengsten van leerlingen

Zoals al eerder genoemd is, blijkt er een wederkerig verband te zijn tussen bijvoorbeeld houding tegenover een vak en leerprestatie voor dit vak (Ling Tsai & Walberg, 1983; Ma, 1997). Het is dus belangrijk om te onderzoeken wat er bekend is over het effect van lesmethoden op de niet-cognitieve leeropbrengsten. In dit hoofdstuk wordt daarom ingegaan op de tweede deelvraag Wat is bekend over de effecten van RME in vergelijking met traditionele reken-wiskundemethoden op de niet-cognitieve opbrengsten van leerlingen?. In de eerstvolgende paragraaf worden studies naar het effect op de houding tegenover wiskunde besproken, deze zijn gedaan onder reguliere leerlingen. In de paragraaf daarna wordt een studie naar het effect op motivatie van laag presterende leerlingen besproken.

1. Houding tegenover wiskunde van reguliere leerlingen

In deze paragraaf worden onderzoeken besproken naar het effect van RME in vergelijking met traditionele reken-wiskundemethoden op de houding van reguliere leerlingen.

Üzel en Mert Uyangör (2006) hebben de effecten van deze lesmethoden onderzocht op de houding tegenover wiskunde van leerlingen. Zij hebben 73 leerlingen onderzocht uit de 7th _{class van}

een Turkse basisschool. De 36 leerlingen in de controlegroep kregen instructie gebaseerd op de traditionele methode, de 37 leerlingen uit de experimentele groep kregen instructie gebaseerd op de RME methode. Om de houding van de leerlingen tegenover wiskunde te meten werd gebruik gemaakt van een vragenlijst, de Mathematics Attitudes Scale (MAS), die 26 items met een vijf-punt Likertschaal bevatte. Uit het onderzoek met een pre-test post-test design bleek dat de experimentele groep significant hoger scoorde op de post-test. Hieruit werd geconcludeerd dat de RME instructie bijdraagt aan een positievere houding tegenover wiskunde.

Ook in het eerdergenoemde onderzoek van Özkaya en Karaca (2017a) is de houding tegenover wiskunde onderzocht bij leerlingen in de 5th _{grade. Deze leerlingen waren afkomstig van een Turkse}

middle school, dit was voor 2014 gelijk aan de 7th class van de basisschool (Özkaya & Karaca, 2017a). De experimentele groep kreeg instructie gebaseerd op RME en de controlegroep kreeg het reguliere traditionele curriculum. Ook hier werd gebruik gemaakt van de MAS in een pre-test post-test design om het effect op de houding te meten. De resultaten wezen erop dat de houding van de twee groepen significant verschilde in het voordeel van de experimentele groep. Özkaya en Karaca (2017a) concluderen daarom dat de RME methode effectiever is in het ontwikkelen van een positieve houding van leerlingen in vergelijking met de lesmethode uit het reguliere onderwijs.

Zakaria en Syamaun (2017) hebben ook onderzoek gedaan naar de houding van leerlingen tegenover wiskunde. In deze al eerder genoemde studie werden leerlingen van een high school in Indonesië onderverdeeld in een controlegroep en een experimentele groep. Het effect van de verschillende methodes op de houding tegenover wiskunde werd gemeten met behulp van een post-test vragenlijst. Deze Fennema-Sherman Mathematics Attitude Scale (FSMAS) bevatte 48 items met

een vijf-punts Likertschaal. Tijdens de data-analyse werd geen verschil gemeten tussen de experimentele en de controlegroep. Zakaria en Syamaun (2017) kwamen tot de conclusie dat de RME methode niet heeft bijgedragen aan een verandering in de houding van de leerlingen.

Ten slotte is er nog een onderzoek gedaan door Karaca en Özkaya (2017b) naar de houding van leerlingen. Er deden 45 leerlingen uit de 5th grade van een Turkse basisschool mee aan het onderzoek. De klas met de experimentele conditie bestond uit 23 leerlingen, zij kregen les van een docent die getraind was in de RME methode. De klas die als controlegroep werd gebruikt, bestond uit 22 leerlingen. Deze klas kreeg les volgens het reguliere traditionele curriculum. De lessen betroffen het onderdeel getallen en bewerkingen en de studie duurde in totaal zeven weken. Alle leerlingen vulden de Mathematics Self report Inventory (MSRI) in, bestaande uit 33 items met een vijfpunts-Likertschaal. De test omvatte vier domeinen: (1) interest value, dit betreft het plezier in wiskunde, (2) practicality value, dit had betrekking op de praktijkwaarde van de wiskunde, dus of de leerling vond dat de kennis nuttig en bruikbaar was voor het halen van zijn/haar persoonlijke doelen, (3) achievement value, hierbij werd gekeken naar hoe belangrijk de leerling het vond om een opgave correct uit te voeren, en (4) personal value, dit refereerde naar de negatieve gevoelens die wiskunde kan oproepen, zoals faalangst. Uit de resultaten van de pre-test en post-test blijkt dat de experimentele groep significant beter scoorde dan de controlegroep op interest value, practicality value en personal value. De controlegroep scoorde hoger op de achievement value. Op basis van deze resultaten concluderen de auteurs dat de RME methode kan bijdragen aan het plezier in wiskunde, kan aansluiten bij de persoonlijke doelen van de leerlingen en angstgevoelens voor wiskunde kan verlichten. De RME methode heeft volgens de zelfrapportages niet bijgedragen aan het vergroten van de prestatiewaarde voor de leerlingen, wat inhoudt dat de leerlingen het niet belangrijker vonden om goed te presteren.

Samengevat tonen drie studies een positief effect van RME op de houding van leerlingen tegenover wiskunde van reguliere leerlingen. Eén studie toont daarentegen geen verschillend effect van RME en traditioneel onderwijs op de houding.

2. Motivatie van laag presterende leerlingen

In deze paragraaf wordt een onderzoek besproken waar laag presterende leerlingen en leerlingen met leer- en/of gedragsproblemen aan hebben deelgenomen. In plaats van onderzoek naar het effect op de houding tegenover wiskunde, betreft dit onderzoek het effect van RME op de motivatie van leerlingen voor dit vak.

Het eerdergenoemde onderzoek van Kroesbergen, Van Luit en Maas (2004) heeft ook betrekking op de mate van motivatie voor wiskunde van leerlingen uit het speciaal onderwijs en laag presterende leerlingen in het regulier onderwijs. De leerlingen werden zoals al is genoemd in drie groepen verdeeld: een groep met constructivistische uitleg, een groep met expliciete uitleg en een controlegroep met de reguliere uitleg. De mate van motivatie werd gemeten aan de hand van de

Motivational Mathematics Questionnaire (MMQ), die bestond uit 40 items. De items betroffen zeven verschillende motivatieschalen: (1) ego orientation, het beter willen presteren dan klasgenoten, (2) task orientation, het willen leren van nieuwe vaardigheden, (3) traditional beliefs, onderwezen willen worden volgens de traditionele uitgangspunten, (4) constructivist beliefs, onderwezen willen worden volgens de constructivistische uitgangspunten, (5) external attributions, toeschrijven van succes/falen aan externe factoren zoals de moeilijkheid van de opgave, (6) effort attribution, toeschrijven van succes/falen aan de hoeveelheid inspanning die de leerling heeft geleverd, en (7) self-concept, het inschatten van de eigen wiskundige vaardigheden. Uit de resultaten blijkt dat de leerlingen die de expliciete uitleg kregen significant hoger scoorden op ego orientation dan leerlingen die de constructieve of reguliere uitleg kregen. Kroesbergen et al. (2004) relateren deze uitkomst aan de focus op het geven van een juiste oplossingsstrategie tijdens de expliciete instructie, in vergelijking met de focus op de taak zelf tijdens de constructivistische uitleg. Er zijn geen andere motivatieverschillen gevonden tussen de drie groepen. Daarom concluderen Kroesbergen et al. (2004) dat de constructivistische uitleg en de expliciete uitleg evenveel bijdragen aan de motivatie van deze leerlingen.

In dit onderzoek werd aangetoond dat RME en de traditionele reken-wiskundemethode geen verschillend effect hebben op motivatie van laag presterende leerlingen en leerlingen met leer- en/of gedragsproblemen. Hieruit blijkt dat RME een minder positief effect heeft op deze leerlingen dan op de reguliere leerlingen. Dit bleek ook uit de studies naar de effecten op de cognitieve leeropbrengsten bij reguliere en laag presterende leerlingen.

6. Effecten op het leerproces van leerlingen

In dit hoofdstuk wordt ingegaan op de derde deelvraag Wat is bekend over het effect van RME, in vergelijking met de traditionele reken-wiskundemethode, op het leerproces van leerlingen?. Het leerproces betreft de manier van werken, leren en denken van leerlingen. Er worden drie kwalitatieve studies besproken waarin leerlingen uit het reguliere onderwijs zijn geïnterviewd en hun leerproces is geobserveerd.

Cobb, Gresalfi en Hodge (2009) hebben elf leerlingen in de 8th _{grade van een school in de}

Verenigde Staten geobserveerd en geïnterviewd. Tijdens het onderzoek namen de leerlingen deel aan twee typen wiskundelessen. De algebra-lessen, waarin de leerlingen vergelijkingen leerden oplossen, betrof een docent die een traditionele manier van lesgeven hanteerde. De docent demonstreerde de juiste oplossingsstrategie op het bord, waarna de leerlingen deze moesten reproduceren tijdens het maken van de huiswerkopdrachten. De andere lessen werden gegeven aan de hand van een reken-wiskundemethode die overeenkomt met de uitgangspunten van RME. Deze lessen, waarin leerlingen een dataset leerden interpreteren en analyseren, werden gegeven door een docent die de leerlingen de gebruikte strategieën liet uitleggen en verantwoorden tijdens klassikale discussies. De leerlingen hebben van beide docenten 41 lessen gekregen, verspreid over veertien weken. Cobb et al. (2009) onderzoeken het leerproces aan de hand van de ontwikkeling van identiteiten. Het doel was om te onderzoeken hoe de leerlingen zich identificeerden met de wiskundige activiteiten en wat het voor hen betekende om deze uit te voeren. Cobb et al. (2009) hebben tijdens het onderzoek gekeken naar de ontwikkeling van twee soorten identiteiten van de leerlingen. Ten eerste noemen de auteurs de normatieve identiteit: de normen die ontstaan in de klas en beschrijven hoe een effectieve wiskundestudent zich dient te gedragen. De normatieve identiteit verschilt per klas en ontstaat door interacties tussen leerlingen en docent. In dit onderzoek werd met name aandacht besteed aan de autoriteitsverhouding in de klas en de mate van autonomie van de leerlingen, ook wel agency genoemd. Ten tweede is er gekeken naar persoonlijke identiteit: de mate waarin de studenten zich daadwerkelijk identificeren met deze normen. De persoonlijke identiteit gaat dus over of leerlingen de normen zien als van zichzelf óf dat zij deze zien als normen die opgelegd worden door een ander, bijvoorbeeld de docent. Cobb et al. (2009) hebben opgenomen video’s van de lessen geobserveerd en de leerlingen geïnterviewd om de ontwikkeling van de twee identiteiten te analyseren. Uit de analyse blijkt dat de normatieve identiteit verschilde tijdens de verschillende lessen. Tijdens de algebra-lessen werden leerlingen beperkt in de mogelijkheid zich te kunnen identificeren met de wiskundige activiteiten. De agency van de leerlingen werd namelijk gelimiteerd tot enkel het toepassen van de voorgeschreven oplossingsstrategie. Daarnaast bleek de autoriteit voornamelijk bij de docent te liggen. Tijdens de lessen met de RME methode werden leerlingen gestimuleerd zelf oplossingsstrategieën te ontdekken, zelf de data te interpreteren en dus zelf inzicht te vergaren in het probleem. Tijdens deze lessen werd ruimte gegeven aan de agency van de leerlingen, zij hadden meer autonomie over het eigen leerproces. De autoriteit tijdens deze lessen lag zowel bij de docent als bij de leerlingen, zo

stelden bijvoorbeeld ook leerlingen kritische vragen. Naast verschillen in de normatieve identiteit, waren er ook verschillen in de persoonlijke identiteit die leerlingen ontwikkelden tijdens de twee type lessen. Uit de video’s en de interviews bleek dat de leerlingen tijdens de algebra-lessen zich voornamelijk verplicht voelden de juiste antwoorden te geven voor de docent. Het uitvoeren van de wiskundige activiteit zagen zij dus als een norm opgelegd door een ander, en niet door zichzelf. Tijdens de lessen met RME bleek daarentegen dat de leerlingen vaker handelden vanuit een norm die zij zichzelf hadden opgelegd en zagen ze het belang van de stof in. Samenvattend bleek uit dit onderzoek dat tijdens de instructies die gebaseerd waren op de RME methode, in vergelijking met de traditionele methode, de agency van de leerlingen meer ruimte kreeg tijdens het leerproces, de autoriteit in de klas meer verdeeld was en de leerlingen de normen zagen als van zichzelf om zo zelf het leerproces vorm te geven.

Ook Cobb, Wood, Yackel en McNeal (1992) hebben observaties gedaan van twee verschillende type lessen. De eerste analyse werd gedaan over een docent en haar leerlingen uit de 3th grade. De lesmethode die door de docent gebruikt werd, werd door Cobb et al. (1992) school mathematics genoemd. Bij deze methode ligt de nadruk niet op het uitleggen en verantwoorden van verschillende strategieën, maar op het toelichten van de juiste oplossingsstrategie van de docent. Deze docent zou als een meer traditionele docent beschouwd kunnen worden. De methode van de andere docent werd gezien als inquiry mathematics, die onderzoekend leren stimuleert en meer overeenkomt met de RME methode. Deze docent gaf les aan leerlingen uit de 2nd _{grade en liet leerlingen veel}

uitleggen en hun strategieën onderbouwen. Cobb et al. (1992) hebben de twee klassen vergeleken op het gedrag dat de leerlingen vertoonden tijdens de instructies die gegeven werden. Hierbij is gelet op de mate waarin de leerlingen de stof begrepen, een betekenisvol leerproces doormaakten en hoe de autoriteit in de klas verdeeld was. Een betekenisvol leerproces vond volgens Cobb et al. (1992) plaats wanneer er sprake was van constructie van kennis dat tot stand kwam door interacties tussen leerlingen en de leerlingen de uitkomsten van het leerproces als betekenisvol ervoeren. De geobserveerde lessen betroffen instructies van de docent over de positiewaarde van tientallen en eenheden van twee-cijferige getallen. Uit de observaties bleek dat de leerlingen in de klas met de traditionele docent, leerden door het succesvol volgen van de uitleg van de docent. Tijdens de instructie vond geen interactieve constructie van kennis plaatst, Cobb et al. (1992) noemen dit leerproces daarom niet betekenisvol. De autoriteit in deze klas lag voornamelijk bij de docent zelf, de docent was de enige die de juistheid bepaalde van de wiskundige activiteiten van de leerlingen. De docent van de 2nd _{grade liet de leerlingen op een andere manier de stof begrijpen, omdat zij de eigen}

strategie moesten uitleggen en verantwoorden. Tijdens deze interactie tussen docent en leerling, maar ook tussen leerlingen onderling ontstond gezamenlijke constructie van kennis en daarmee begrip van de stof. Dit wijst op een betekenisvol leerproces volgens Cobb et al. (1992). De autoriteit in deze klas lag zowel bij de docent als bij de leerlingen. Leerlingen beoordeelden elkaar op de juistheid van gegeven oplossingsstrategieën, stelden kritische vragen en daagden elkaar uit.

De studie van Desforges en Cockburn (1987) betreft zeven docenten uit het basisonderwijs, die gedurende drie weken intensief geobserveerd en geïnterviewd zijn. De docenten stonden bekend als innovatief en pasten verschillende lesmethoden toe tijdens de lessen. Desforges en Cockburn (1987) hebben gekeken welke reken-wiskundemethoden door de docenten gebruikt werden en wat de effecten ervan waren op het leerproces van de leerlingen. De belangrijkste constateringen van Desforges en Cockburn (1987) met betrekking tot het leerproces worden besproken. Wanneer de docenten les gaven volgens de principes van RME, stimuleerde dit de leerlingen om kennis te raadplegen die zij al eerder hadden opgedaan. Bij opgaven waarbij de juiste oplossingsstrategie niet voor de hand lag, werden de leerlingen aangemoedigd zelf een geschikte strategie te vinden. De docent stimuleerde het (her)ontdekken van de oplossingsstrategie, ofwel guided reinvention. Daarnaast bleek dat de leerlingen moeite hadden met de hoeveelheid vrijheid die zij kregen. Bij opgaven vroegen zij meermaals om hulp en aanwijzingen aan de docent. De openheid van de leersituatie probeerden zij op deze manier te beperken. Wanneer de docenten les gaven op een meer traditionele wijze, reageerden de leerlingen enthousiast als de docent hen voorzag van concrete uitleg en kant-en-klare oplossingsstrategieën en de leersituatie minder open was. Uit de interviews bleek dat leerlingen de opgaven ook konden maken met een versnelde/verkorte strategie in plaats van de uitgelegde strategie, desondanks hielden zij toch de uitgebreide strategie van de docent aan. Leerlingen die de wiskundige concepten goed begrepen werden dus niet uitgedaagd de kennis te herontdekken. Leerlingen die de strategie van de docent wel konden kopiëren, maar geen dieper begrip hadden werden soms niet opgemerkt. Misvattingen over de wiskundige concepten bleven daardoor (langer) bestaan.

Samenvattend blijkt uit twee besproken studies dat leerlingen meer agency en autoriteit ervoeren over hun leerproces en meer interacteerden met de leerlingen wanneer zij onderwezen werden met RME. Uit de derde studie blijkt dat de leerlingen aangespoord werden zelf oplossingsstrategieën te bedenken en dat de leerlingen soms moeite hebben met de openheid van de activiteiten. Daarnaast toont deze studie dat de leerlingen niet altijd uitgedaagd werden door de traditionele lesmethode en dat misvattingen konden blijven bestaan.

7. Conclusie

Dit literatuuronderzoek is uitgevoerd naar aanleiding van de discussie die plaatsvindt in het Nederlands reken- en wiskundeonderwijs over de voordelen van realistisch rekenen en wiskunde (RME) dan wel de traditionele docent-gecentreerde reken- en wiskundemethode. Huidig onderzoek geeft antwoord op de vraag wat de effecten zijn van RME, in vergelijking met de traditionele reken-wiskundemethode, op cognitieve en niet-cognitieve leeropbrengsten en op het leerproces van leerlingen.

De eerste deelvraag had betrekking op wat er bekend is over het effect van RME, in vergelijking met de traditionele methode, op de cognitieve leeropbrengsten van leerlingen. Uit de resultaten blijkt dat de leerprestaties van leerlingen die onderwezen werden met RME in het algemeen hoger zijn in vergelijking met de leerprestaties van leerlingen die onderwezen werden met een meer traditionele methode. Dit lijkt met name het geval te zijn bij leerlingen in het reguliere basis- en middelbaar onderwijs. Daarentegen blijkt uit de resultaten dat RME geen positief effect heeft op de leerprestaties van laag presterende leerlingen en leerlingen met leer- en/of gedragsproblemen. Uit de onderzoeken blijkt dat expliciete instructie, wat overeenkomt met de traditionele lesmethode, een positiever effect heeft op leerprestaties van deze leerlingen dan dat lesmethoden hebben die overeenkomen met de principes van RME, zoals constructivistische instructie en guided reinvention. Uit één onderzoek blijkt echter een positief effect van RME op leerprestaties van deze groep leerlingen. Daarnaast is het effect van RME onderzocht op vaardigheden die bij kunnen dragen aan hogere leerprestaties en aan de ontwikkeling van de leerlingen. RME blijkt, in vergelijking met traditioneel reken-wiskundeonderwijs, positief bij te dragen aan vaardigheden als kritisch denken en wiskundig intuïtief en logisch redeneren. Ook blijkt dat leerlingen die met RME onderwezen werden, beter in staat waren logische oplossingsstrategieën te bedenken dan leerlingen die onderwezen werden met de traditionele methode.

Vervolgens had de tweede deelvraag betrekking op wat er bekend is over het effect van de lesmethoden op de niet-cognitieve leeropbrengsten van leerlingen. Hierbij is het effect op de houding van leerlingen tegenover wiskunde en de motivatie voor het vak onderzocht. De meeste onderzoeken wijzen uit dat leerlingen een positievere houding tegenover wiskunde ontwikkelen en meer plezier hebben in wiskunde wanneer zij middels de RME methode les kregen. Uit één onderzoek bleek echter geen verschil in houding tussen de verschillende groepen. Daarnaast toonde de studie onder laag presterende leerlingen en leerlingen met gedrag- en/of leerproblemen geen verschillend effect op motivatie van een constructivistische instructie, overeenkomend met RME, of een expliciete instructie, overeenkomend met traditioneel onderwijs,

Ten slotte zijn drie onderzoeken besproken om antwoord te geven op de derde deelvraag, die betrekking had op wat er bekend is over het effect van RME, in vergelijking met de traditionele lesmethode, op het leerproces van leerlingen. Uit de observatiestudies blijkt dat de leerlingen, die onderwezen werden met RME, de autoriteit met de docent deelden, autonomie hadden over het

leerproces en een betekenisvol leerproces doormaakten. De leerlingen stelden elkaar kritische vragen, moesten hun strategie uitleggen en verantwoorden, en construeerden gezamenlijk kennis. De leerlingen hadden soms moeite met de openheid van de op RME gebaseerde activiteiten. Bij de traditionele methode lag de autoriteit bij de docent en was er geen sprake van een betekenisvol leerproces bij de leerlingen. Daarnaast bleek er wel enthousiasme te zijn voor de deze methode bij de leerlingen. Het geven van de juiste oplossingsstrategieën, daagde de leerlingen niet uit om zelf deze oplossingsstrategieën ook te manipuleren. Daarnaast werden misvattingen bij leerlingen soms niet opgemerkt.

Om antwoord te geven op de hoofdvraag worden de bevindingen nog eens samengevat. RME blijkt een positief effect te hebben op leerprestatie en houding van reguliere leerlingen. Voor laag presterende leerlingen en leerlingen met gedrag- en/of leerproblemen wordt soms een groter effect gevonden van traditionele reken- en wiskundemethoden dan RME. Het leerproces van leerlingen wanneer zij RME onderwezen kregen, wordt gekenmerkt door een kritische, actieve houding van leerlingen. Het leerproces wordt getypeerd door de interactieve constructie van betekenisvolle kennis en de autonomie die de leerling erover heeft. Er werd opgemerkt dat leerlingen moeite hebben met de openheid waarin lesgegeven wordt. Uit deze resultaten kan geconcludeerd worden dat RME bijdraagt aan zowel cognitieve als niet-cognitieve leeropbrengsten en een betekenisvol leerproces stimuleert, maar dat deze methode wellicht niet geschikt is voor elke leerling.

8. Discussie

In deze literatuurstudie is onderzoek gedaan naar de effecten van Realistic Mathematics Education (RME) en de traditionele reken-wiskundemethode om zo een bijdrage te leveren aan de discussie binnen het reken- en wiskundeonderwijs. Uit de resultaten blijkt een overwegend positief effect van RME op cognitieve en niet-cognitieve leeropbrengsten van reguliere leerlingen uit het basis- en middelbaar onderwijs. Dit resultaat wordt niet gevonden bij laag presterende leerlingen en leerlingen met leer- en/of gedragsproblemen. Het blijkt dat deze groep leerlingen soms meer baat heeft bij een traditionele reken- en wiskundemethode, waarbij expliciete instructie als didactische strategie gehanteerd wordt. Deze bevinding is opvallend aangezien niet elke leerling binnen het Nederlands onderwijs dus profiteert van RME, terwijl dat momenteel wel de dominerende reken- en wiskundemethode is.

De positieve effecten van RME bij reguliere leerlingen kunnen veroorzaakt worden door verschillende kenmerken van RME. Het gebruik van realistische contexten, het leren om oplossingsstrategieën zelf (her) te ontdekken (guided reinvention) en het leren mathematiseren kan positief hebben bijgedragen aan het begrip van leerlingen. Het gebruik van contexten en het gebruik van verschillende oplossingsstrategieën vragen echter om meer vaardigheden van de leerlingen, zoals woordenschat en tekstbegrip. Leerlingen met speciale onderwijsbehoeften presteren vaak niet alleen laag op wiskundeprestaties, maar ook op andere disciplines zoals taal en hebben moeite met structureren (Bishara, 2015). Dit zou een verklaring kunnen zijn voor het verschil in leerprestaties tussen reguliere leerlingen en laag presterende leerlingen wanneer zij met RME onderwezen worden (Milo & Ruijssenaars, 2003). Dit verband moet echter wel met voorzichtigheid geïnterpreteerd worden, omdat er geen apart onderzoek naar gedaan is.

Daarnaast kan het interactieve aspect van RME hebben bijgedragen aan een betekenisvol leerproces van de leerlingen. Door de interactie construeren leerlingen gezamenlijk hun kennis. Daarbij moeten leerlingen hun strategieën uitleggen en beargumenteren en stellen zij anderen kritische vragen. Er zijn dus nieuwe sociale normen en sociale wiskundenormen ontstaan in de klas. Deze bevinding komt overeen met die uit het onderzoek van Yackel, Rasmussen en King (2000). In dit onderzoek wordt geconcludeerd dat dankzij de sociale interactie, de leerlingen een betekenisvol leerproces doormaakten. Hierbij moet wel rekening gehouden worden met één van de resultaten van het onderzoek van Desforges en Cockburn (1987). Het bleek namelijk dat de leerlingen niet het nut inzagen van de discussies die gevoerd werden in de klas. De leerlingen wilden graag zo snel mogelijk klaar zijn met het schoolwerk en discussies vertraagden volgens hen. Dit inzicht is wel belangrijk om het leerproces daadwerkelijk betekenisvol te laten zijn.

RME heeft als uitgangspunten onder andere guided reinvention en interactief leren waarbij het leerproces voor een groot deel afhankelijk is van de input van de leerlingen. Uit de resultaten van deze literatuurstudie blijkt dat de leerlingen daadwerkelijk actief input geven tijdens de instructie. Ook blijkt dat de leerlingen een positievere houding tegenover wiskunde ontwikkelen en meer autonomie

of agency ervaren over hun leerproces wanneer zij met de RME methode onderwezen worden. Uit onderzoeken blijkt dat de mate waarin leerlingen agency ervaren, bij kan dragen aan de motivatie voor en de betrokkenheid bij het leren van een vak. Reeve en Tseng (2011) hebben dit effect van agency op motivatie onderzocht bij leerlingen van een high school in Taiwan. Zij komen tot de conclusie dat leerlingen die meer kunnen bijdragen aan de instructie, een grotere motivatie ontwikkelen voor het schoolwerk. Het resultaat van Reeve en Tseng (2011) komt dus overeen met het resultaat van deze literatuurstudie; de leerlingen ervaren agency en het effect op de houding van leerlingen is positief. Of de mate van agency daadwerkelijk heeft bijgedragen aan de motivatie van leerlingen, daar kan geen uitspraak over gedaan worden. Er is meer onderzoek nodig waarin het effect van RME op agency en motivatie onderzocht wordt in het wiskundeonderwijs.

Een kritische noot moet geplaatst worden bij de bevindingen die betrekking hebben op de andere cognitieve leeropbrengsten. Uit de resultaten blijkt dat leerlingen een kritische houding aannemen en leren logisch en redenerend na te denken. Hierbij moet opgemerkt worden dat de RME methode de ontwikkeling van een kritische en onderzoekende houding niet alleen als doel heeft, maar ook als middel gebruikt om het onderwijs vorm te geven. Uit dit resultaat kan dus worden opgemaakt dat RME de eigen opgelegde doelen weet te behalen. Deze doelen zijn echter niet de belangrijkste doelen van de meer traditionele lesmethoden, daar ligt bijvoorbeeld meer nadruk op automatiseren en discipline.

Bij deze literatuurstudie moet ook een paar kanttekeningen geplaatst worden. Zo was er minder recente literatuur over de effecten van RME beschikbaar dan van tevoren verwacht was. Daardoor zijn alle studies meegenomen, en heeft er geen selectie plaatsgevonden op basis van publicatiejaar. Daarnaast beschrijven de onderzoeken veelal de eerste vier uitgangspunten van RME; het gebruik van contexten, guided reinvention, mathematiseren en interactie. Het vijfde uitgangspunt, het vinden van samenhang tussen (sub)domeinen, is niet onderzocht. De lesstof in de gebruikte studies betrof namelijk meestal maar één subdomein binnen de wiskunde, zoals vermenigvuldigen of ruimtelijk inzicht. Er is niet gemeten of de leerlingen anders presteerden op domeinoverstijgende toetsen.

Een andere kanttekening betreft de beschikbaarheid van een gering aantal onderzoeken onder verschillende groepen leerlingen. De literatuur beperkt zich tot op heden tot onderzoeken naar het effect van RME op reguliere leerlingen of laag presterende leerlingen en leerlingen met leer- en/of gedragsproblemen. Onderzoeken naar andere groepen leerlingen, zoals hoog presterende (hoogbegaafde) leerlingen en leerlingen van niet-Nederlandse afkomst zijn niet gevonden. Het is wel belangrijk om ook deze groepen leerlingen te onderzoeken: (1) het blijkt dat er verschil kan bestaan tussen leerlingen met een verschillend prestatievermogen, (2) daarnaast worden de sterkere leerlingen misschien niet genoeg uitgedaagd (Opmeer, 2005), en (3) RME eist middels het gebruik van contexten andere vaardigheden van leerlingen waar bepaalde groepen leerlingen misschien meer profijt van hebben dan anderen.