Analyse: Metrische ruimten en reeksen
Theorie: Schriftelijk examen met mondelinge toelichtingProfessor Sioen
Vraag 1
a) Schets (beschrijf zonder bewijs) de constructie van een totaal geordend lichaam (ℝ, +,∙ , ≤). Hoe definieer je de absolute waarde op ℝ?
b) Hoe wordt ℚ ingebed op ℝ? Toon aan dat ℚ dicht is in ℝ.
c) Definieer de begrippen metrische ruimte, Cauchyrij, convergentie en volledigheid. Toon dat ℝ (met Euclidische metriek) volledig is.
Vraag 2
a) Definieer het begrip samenhang van een metrische ruimte. Geef enkele equivalente karakterisaties en bewijs deze.
b) Definieer de begrippen puntsgewijze en uniforme convergentie.
c) Formuleer de stelling i.v.m. de volledigheid van (ℬ(𝑋, 𝑌), 𝑑∞) en geef het bewijs. Formuleer
ook het lemma dat je gebruikt met bewijs. Wat met (𝒞(𝑋, 𝑌), 𝑑∞)?
Vraag 3
a) Geef de stelling en het bewijs van de Cauchy √.-test.
b) Wat is de uniforme convergentie van een functiereeks? Geef stelling en bewijs van de Weierstrass M-test
c) Bewijs dat er een rij polynoomfuncties bestaat op ℝ, zodat hun restricties tot [0,1] uniform convergeren naar de √.-functie. Geef de stelling van Stone-Weierstrass zonder bewijs.
![(b) Definieer een homomorfisme φ : Z[X] → Z[i] door φ(f ) = f (i). Laat zien dat de kern van f gelijk is aan het ideaal (X](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)