Synchronisatie: van beta tot gamma Naar een integratie van adaptieve synchronisatie in sociale netwerken

(Azzenza et al., 2011)

Tania Huijben

10206507

Sander Westerveld

10190155

Jonas Schepens

10111115

Synchronisatie: van beta tot gamma

Naar een integratie van adaptieve synchronisatie in sociale netwerken.

ABSTRACT - Synchronisatie, het proces of het resultaat van iets gelijktijdig maken, is een fenomeen wat te zien is in zowel de levensloze als levende natuur. In de biologie worden modellen van synchronisatie gebruikt om samenwerking tussen organismen te beschrijven. Dit biedt een fundamenteel andere kijk op samenwerking. In dit onderzoek zijn deze inzichten geïntergreerd met de sociologie om hier in de toekomst ook sociale netwerken mee te kunnen beschrijven. Dit onderzoek laat zien dat het model van Assenza et al. (2011) hiervoor geschikt is na integratie met de interpretatie van Bruggeman (2014) dat de koppelingssterkte in het model geïnterpreteerd kan worden als de mate van solidariteit. Dit betekent dat deze parameter niet langer als constante ingesteld moet worden; mensen hebben namelijk een verschillende mate van solidariteit. Dit onderzoek laat dat zien een aanpassing van de koppelingssterkte, als gevolg van deze nieuwe interpretatie, invloed heeft op het synchronisatie-gedrag van het netwerk.

2014

16

Inhoudsopgave

Inleiding ... 3

Theoretisch Kader ... 5

Synchronisatie ... 5 Synchronisatie in de natuur ... 5 Kuramoto model ... 8

Sociologische interpretatie Kuramoto model ... 9

Het model van Assenza et al. (2011) ... 10

Sociologische interpretatie Lambda in het model van Assenza ... 11

Methode ... 13

Resultaten ... 14

Conclusie & Discussie ... 22

Inleiding

Hoe komt samenwerking tot stand? Hoe weten individuen, mensen en dieren, elkaars handelingen zo te coördineren dat het eigenbelang overwonnen wordt en er

collectieve actie1 _{ontstaat? Dit zijn vragen waar biologen en sociologen zich al lange} tijd intensief mee bezighouden. Op dit moment wordt voornamelijk de speltheorie gebruikt om hier een verklaring voor te vinden. De speltheorie probeert dit te verklaren door de afweging tussen de kosten en baten van individueel versus collectief belang te onderzoeken. Deze theorie is echter ontoereikend (Bruggeman, Interview over sociologische interpretatie van sycnchronisatie, 2014). Hij bevat nog steeds een black box voor de verklaring hoe het omslagpunt van individueel belang naar collectief belang tot stand komt en gaat uit van rationeel handelende actoren. Vooral in de sociale wetenschappen wordt deze theorie echter nog steeds veel gebruikt. In de biologie daarentegen wordt sinds enkele jaren ook op een

fundamenteel andere manier naar samenwerking gekeken (Stogatz & Stewart, 1993). In termen van synchronisatie in een netwerk; de tendens om hetzelfde te doen op hetzelfde tijdstip. Deze term komt voornamelijk uit de natuurkunde. Rond 1665 beschreef Christiaan Huygens voor het eerst hoe twee maritieme klokken

synchroniseerden (Huygens, 1932). Als er op deze manier naar de wereld gekeken wordt, is er op veel manieren een dergelijke tendens naar orde te zien. Metronomen die op een beweegbare plaat gezet worden, gaan tegelijkertijd tikken, vuurvliegjes in Zuidoost Azië synchroniseren hun lichtpulsen, neuronen synchroniseren hun

vuurritme, mensen kunnen hun klapritme synchroniseren tijdens applaus en mensen kunnen sycnrhoniseren in emotionele opwinding tijdens een ritueel (Konvalinka et al. 2011; Moussaid et al. 2009; Tyrell et al. 2006). Yoshiki Kuramoto stelde in 1975 een wiskundig model op om deze fenomenen te kunnen beschrijven (Kuramoto, 1975). In dit model wordt gesimuleerd hoe oscillatoren (abstracte periodieke trillingen)

synchroniseren bij een bepaalde koppelingssterkte en faseverschil. Volgens socioloog Jeroen Bruggeman (2014) is dit model ook aantrekkelijk om sociale fenomenen te beschrijven. De speltheorie en evolutie van coöperatie bestuderen vooral de voorwaarden en overgang van de overheersing van samenwerkers tot mee-lifters (Nowak, 2006; Floria et al., 2009), terwijl synchronisatie-modellen

overgangssituaties en gradaties van samenwerking beschrijven (Bruggeman, 2014). In overgangssituaties naar samenwerking (ontstaan van protest, oorlog of revolutie) zijn afwegingen van kosten en baten minder relevant en moeilijk in te schatten, omdat mensen hun individualiteit verliezen door interactierituelen. Hierdoor kan een andere invalshoek, die van de mate van synchronisatie, waardevol zijn. In het artikel van Bruggeman (2014) ‘Solidarity, synchronization and collective action’ bepleit hij waarom het standaard Kuramoto model voor synchronisatie in de sociologie gebruikt kan worden. Daarnaast laat hij zien hoe een bepaalde structuur van het netwerk invloed heeft op de mate van synchronisatie. Dat deze structuur; de topologie, de manier waarop deeltjes met elkaar verbonden zijn, belangrijk is voor de

1 _{Collectieve actie is “een samenwerking om iets tot stand te brengen dat geen van hen op}

eigen kracht voor elkaar kan krijgen en waar zij allemaal voordeel van kunnen hebben, zelfs degene die niet meegewerkt hebben. Als de één ervan gebruik maakt, heeft de ander daardoor niet minder, en niemand kan er van uitgesloten worden” (Swaan, 2007).

eigenschappen van het netwerk, is in de natuurkunde al wijdverbreid bekend (review artikel adaptieve netwerken,) (Assenza et al., 2011). Daarom is het interessant om gebruik te maken van adaptieve netwerkmodellen; modellen waarbij zowel de structuur als de eigenschappen van het netwerk invloed op elkaar hebben en zich door de tijd heen ontwikkelen (review artikel adaptieve netwerken) (Assenza et al., 2011). In de neurobiologie zijn deze processen al langer bekend, waarbij de interactie tussen neuronen toe en af kan nemen afhankelijk van de vuurritme snelheid van een neuron, waardoor er stabilisatie van het vuurritme op kan treden (Turrigiano & Nelson, 2004). Daarnaast worden deze adaptieve modellen momenteel op allerlei manieren verder ontwikkeld. Eén van deze adaptieve netwerkmodellen is in 2011 ontwikkeld door Assenza et al. (2011). Zij bouwden in het standaard Kuramotomodel een feedback-loop in die rekening houdt met homofilie (banden tussen

gelijkgestemden worden groter) en homeostase (de som van alle banden blijft altijd gelijk). Assenza et al. (2011) suggereren dat dit model gebruikt kan worden voor sociale netwerken. Daarom zou het interessant zijn om dit model te integreren met het model van Bruggeman (2014).

Samenwerking disciplines

Wat namelijk opvallend is in de literatuur over sociale netwerken is de scheiding tussen verschillende disciplines. Natuurkundigen ontwikkelen deze adaptieve nieuwe modellen over synchronisatie en doen vaak de suggestie dat deze gebruikt kunnen worden om sociale fenomenen te beschrijven, maar doen dit zonder sociologen. Sociologen schrijven wel over fenomenen van synchronisatie, maar vooral

kwalitatief (zie Collins; interaction ritual chains, 2004). Bruggeman (2014) maakte een start om een synchronisatie model vanuit de natuurkunde in de sociologie te introdcueren. Hij bezit echter niet de kennis om het ingewikkelder, maar realistischer model van Assenza te programmeren. Bovendien doet hij een suggestie voor een aanpassing van het model op basis van zijn sociologische interpretatie van het model, zonder de samenwerking met iemand uit de natuurkunde. Een werkelijke integratie, zoals we deze tussen biologie en natuurkunde, hebben gezien, is tot nu toe nog uitgebleven. Daarom zullen in dit onderzoek de disciplines natuurkunde, biologie en sociologie geïntergreerd worden om de input en output van het model van Assenza et al. (2011) op de juiste manier te kunnen interpreteren en suggesties te kunnen doen voor aanpassingen. De volgende onderzoeksvraag zal hierbij centraal staan:

Kan de interpretatie van Bruggeman (2014), dat de koppelingssterkte Lambda in het Kuramoto model als solidariteit geinterpreteerd kan worden om sociale netwerken te beschrijven, toegepast worden op het adaptieve netwerk model van Assenza et al. (2011)?

Opbouw onderzoeksverslag

Om deze hoofdvraag te beantwoorden wordt allereerst synchronisatie beschreven in de levenloze en de levende natuur, waarbij duidelijk wordt dat synchronisatie voordeel oplevert voor individuele organismen. In deze disciplines wordt synchronisatie al succesvol gesimuleerd, mede met behulp van het lineare synchronisatie model van Kuramoto, dat verder wordt aangepast en bestudeerd binnen de sociologie. Dit model wordt uitgelegd en sociologisch geinterpreteerd. Het verder ontwikkelde adaptieve model van Assenza et al. (2001) lijkt meer sociale

processen te simuleren. Dit model inclusief de parameter coupling strength wordt ook beschreven sociologisch geinterpreteerd.

Vervolgens zullen wij in het praktische deel met behulp van de behandelde theorie, het model van Assenza aangepassen door de paramater koppelingssterkte op

verschillende manier in te stellen, waaronder als een normale verdeling. Hiermee kan het menselijk fenomeen van heterogene ontvankelijkheid voor invloeden van de staat van andere mensen worden geimplementeerd in de simulatie. In het model leiden deze aanpasiingen tot een andere dynamiek. De resultaten met en zonder aanpassing worden vergeleken, waarna er een conclusie en discussie volgt.

Theoretisch kader

Synchronisatie

Synchroon is samengesteld uit de griekse woorden συν (sýn) 'samen' en χρόνος (chrónos) 'tijd'. Daarmee is synchronisatie gedefinieerd als het proces of het resultaat van iets gelijktijdig maken. Bijzondere voorbeelden van synchronisatie vind je in de vorm van spontane organisatie zoals bij de klokken van Huygens. Deze levenloze objecte lijken samen te werken aan een gezamenlijk ritme.

In 1665 zag Christiaan Huygens, ziek in bed, dat zijn nieuwste uitvinding, twee grote maritieme klokken, tegelijk tikten. Zelfs als hij de pendulum van een van de twee verstoorde, liepen de klokken binnen een half uur weer tegelijk. Dit was één van de eerste gedocumenteerde waarnemingen van synchronisatie (Bennet et al., 2002).

Synchronisatie in de natuur

Er bestaat een grote diversiteit aan synchronisatie in de levenloze natuur. Fascinerend is echter de analogie met levende systemen waar synchronisatie ook

alomtegenwoordig is (Pikovsky et al., 2003). Ritmes binnen de levende natuur passen zich ook aan door interacties, waardoor op diverse schalen synchroon gedrag ontstaat. Pacemaker cellen in het hart, neuronen in de hersenen en individuen zoals vuurvliegjes die interacteren door middel van lichtflitsen zijn allemaal in staat tegelijkertijd, oftewel synchroon, signalen af te vuren. Daarnaast kan synchronisatie ook ruimer worden geinterpreteerd; als gelijktijdig gedrag dat wordt waargenomen binnen vogelzwermen of visscholen. Hierbij wordt synchronisatie gezien als organismen die zich uitgelijnd bewegen met dezelfde richting.

Zwermen

Een uitdaging is om synchronisatie van levende objecten te begrijpen en na te bouwen. Vroeger werd gedacht dat het zeer georganiseerde synchrone gedrag van vogels en vissen bijna onmogelijk te begrijpen was (Figuur 1)(Pikovsky et al., 2003). Het bijzondere is namelijk dat de dieren, ondanks dat ze geen leider hebben die het gedrag organiseert en individuen moeilijk kunnen communiceren met de hele groep, ze zich toch als collectief weten te organiseren. Uit een simpele simulatie, bestaande uit drie regels, blijkt dit gedrag te beschrijven en biedt dit een nieuw inzicht om deze

complexe samenwerking te begrijpen (Figuur 2) (Moussaid, 2009). Deze regels zijn: lijn uit bij een juiste afstand tot de buurman, wijk uit naar de buurman als deze te ver weg is en wijk af van de buurman als deze te dicht bij komt. Door kleine fluctuaties aan te brengen in de reacties van de dieren ontstaat al snel een zwermgedrag in een computersimulatie. Merkwaardig is dus dat de organisatie niet van bovenaf wordt opgelegd maar organisatie tot stand komt door alle kleine interacties tussen vele individuen.

In dit systeem kan een buur een waargenomen richtingsfluctuatie versterken met zijn eigen richting maar juist ook afdempen, afhankelijk van het aantal dieren dat reageert op de fluctuatie. Met deze feedbacksystemen en andere genoemde essentiele

elementen kan er een dynamisch gedrag van synchronisatie ontstaan dat niet uiteenvalt.

Figuur 1: Echte zwerm Figuur 2: Simulatie van een zwerm.

Voordeel samenwerking

De reden van de synchronisatie van de vogels, vissen of andere synchoniserende organismen is te vinden in het nut voor het individu. Een individu dat zoveel mogelijk voordeel voor zichzelf uit zijn omgeving haalt en zo zijn overlevingskans en reproductie vergroot (Nowak, 2006). Een voordeel van synchronisatie in een grote groep is dat informatie over een predator snel kan worden doorgegeven, waarna deze makkelijker door iedereen ontweken kan worden. De synchronisatie als zwerm is een complexe wederkerigheid van samenwerking, waarbij een individu zelfs andere groepsgenoten kan helpen die hij niet waarneemt door zelf een predator te ontwijken, waardoor de rest van de groep de predator sneller kan ontwijken. Het is dus geen directe wederkerigheid, ik help jou, dus jij helpt mij (Nowak, 2006). Het is

wederkerigheid waarbij sommige dieren meer investeren dan andere en de interacties in de tijd veranderen.

Deze wederkerigheid van elkaar helpen kan met het gebruik van modellen over coöperatie begrepen worden, waarbij duidelijk wordt dat individuen in grote groepen netto voordeel kunnen hebben, waardoor samenwerkende individuen bestaan in plaats van mee-lifters. Bij de zwerm dieren is het echter moeilijk om te begrijpen en te kwantificeren wat precies de kosten, de baten en de interacties per individu zijn. Dit probleem leidt ertoe dat het moeilijk is de ontwikkeling van de groep naar samenwerkers te voorspellen.

Een andere manier om naar samenwerking van dieren en vervolgens mensen te kijken is puur het (mathematisch) beschrijven uit wat voor regels of processen complexe samenwerking, zoals synchronisatie, bestaat dat voordeel opleverd en

hiermee de fitness verhoogd. Met het simuleren van synchronisatie kunnen gradaties van samenwerking en omslagpunten worden beschreven.

Vuurvliegjes

De wonderbaarlijke synchronisatie van lichtflitsritmes van vuurvliegjes (Pteroptyx

malaccae) in Zuid-Oost Azie is ook een duidelijk voorbeeld van zelf-organisatie dat

voordeel opleverd (figuur 3)(Tyrrell et al., 2006). De vuurvliegjes zitten vaak in grote groepen in bomen langs de rivierbanken en zenden vrijwel tegelijkertijd lichtflitsen uit. Tyrell et al. geven verschillende hypothesen voor de reden van het gedrag, waaronder het voordeel voor mannelijke vuurvliegjes die gezamenlijk vurend, beter zichtbaar zijn voor vrouwtjes en hen daardoor beter aantrekt. De flitsritmes van de vliegen zijn autonoom oftewel niet dissipatief waarvoor er een interne energiebron wordt gebruikt. Middels de flitsen kunnen de vliegen elkaars ritme beinvloeden doordat de het licht ook bij buren aankomt, waardoor hun eigen gedrag wordt aangepast. De interacterende ritmes van de van vliegen worden voorgesteld in de wiskunde als gekoppelde oscillatoren. De anologie met de klokken van Huygens is hier sterk, doordat er duidelijk periodiek gedrag is dat wordt aangepast door interacties.

De abstracte voorstelling van de vuurvliegjes kan synchonisatie net als die van zwermen via wiskunde simuleren, waar bij het ontstaan van synchronisatie sterkere gradaties van samenwerking te zien zijn. Een primitief model voor de synchronisatie van vuurvliegjes is het Kuramoto model (Acebrón et al., 2005), aangezien bijvoorbeeld het flitsritme van een vuurvliegje met enige vertraging lijkt te worden gereset bij een binnenkomende lichtflits. In het Kuramoto model is dit gradueel. Maar er zijn ook beter toepasbare modellen die Acebrón beschrijft. Assenza et al (2001) hebben ook een model ontwikkeld uit het Kuramoto model dat dynamisch gedrag en neuronen beschrijft.

Figuur 3: Synchronisatie bij Figuur 4: De simulatie van synchronisatie vuurvliegjes vuurvliegjes

Uit het voorgaande blijkt dat er enorme vooruitgang is geboekt in het beschrijven van complexe samenwerking in niet-menselijke systemen door biologie en natuurkunde te integreren. Dit heeft er aan bijgedragen dat we nu op het punt staat om deze inzichten toe te passen om de complexe samenwerking van mensen te beschrijven. Samenwerking bij mensen

Sociologie is de wetenschap die onderzoekt hoe mensen met elkaar samenleven. Er is geen consensus over de methode die hiervoor gebruikt moet worden en er zijn vele verschillende soorten sociologische theorieën te onderscheiden (Abend, 2008). Het beschrijven van samenwerking in termen van synchronisatie is echter nog een

onontgonnen gebied in de sociologie (Bruggeman, E-mail over sociologische interpretatie van lambda, 2014). Bruggeman (2014) maakt in zijn artikel ‘Solidarity, synchronization and collective action’ de eerste stap om deze theorie te ontwikkelen. Hij legt hierin de link tussen de theorie van Collins (2004) over interactierituelen en het Kuramoto model. Volgens hem kan de theorie van Collins worden opgevat als een kwalitatieve beschrijving van synchronisatie.

“Collins contends that rituals are powerful because they instigate social interaction based on bodily co-presence and mutual emotional attunement. When engaged in rituals, individuals feel solidarity with one another and imagine themselves to be members of a common undertaking; they become infused with emotional energy and exhilaration; they establish and reinforce collective symbols, moral representations of the group that ought to be defended and reinforced; and they react angrily to insults toward or the profanation of these symbols” (over Collins ‘Interaction Ritual

Chains, 2004 in: Calhoun, 2012, blz. 32)

Volgens Bruggeman (2014b) is dit een interessante theorie, maar het is niet meetbaar en het kan geen voorspellingen doen. Door dit te koppelen aan een wiskundig model, wordt het concreter en kan deze theorie werkelijk bevestigd of weerlegd worden. In zijn artikel worden verschillende interpretaties en suggesties gedaan. Om inzicht te krijgen in de interpretatie van Bruggeman (2014) en dit inzicht met het complexere model van Assenza te kunnen integreren, is ten eerste een uitleg van het Kuramoto model nodig.

Kuramoto model

Vergelijking (1) is het kuramoto model en zal stap voor stap toegelicht worden.

𝜃̇𝑖= 𝜔𝑖+ ∑ 𝑠𝑖𝑛(𝜃𝑗− 𝜃𝑖) 𝑁

𝑗=1

(1)

Het netwerk bestaat uit een N aantal periodieke trillingen, oftewel oscillatoren, op te vatten als de actoren in het netwerk. In de biologie en sociologie is dit dus een zeer abstracte voorstelling van

bijvoorbeeld neuronen, vuurvliegjes of zelfs mensen. Deze actoren hebben bepaalde eigenschappen die resulteren in een kenmerkende frequentie, ωi, met een bepaalde fase θi.

Deze oscillatoren zijn verbonden met alle anderen in het netwerk door middel van een zwakke koppeling.

De eerste term aan de rechterkant van vergelijking (1?) (rood) is de frequentie van de desbetreffende oscillator. Noem deze oscillator i.

De tweede term beschrijft in welke mate oscillator i door de anderen wordt

beinvloed. Noem de anderen oscillator j met j={1,2,...,N}. De grote van de interactie wordt bepaald door het faseverschil: sin(θi-θi). Stel θj = θi, dan sin(0)=0. Bij geen faseverschil is er dus geen interactie. Oscillator i staat in verbinding met alle andere

oscillatoren. Deze heeft dus N-1 verbindingen. Door het somteken worden al deze interacties opgeteld. Dit bepaald uiteindelijk hoeveel de frequentie van oscillator i wordt beinvloed.

Om de synchronisatie in een netwerk te kwantificeren is de orde parameter bepaald. Parameter r varieert hierin van 0 tot 1, waarin 1 volledig synchroon is.

𝑟(𝑡)𝑒𝑖𝛹(𝑡)= 1 𝑁∑ 𝑒 𝑖𝜃𝑗(𝑡) 𝑁 𝑗=1 (2)

Sociologische interpretatie Kuramoto model

Socioloog, Jeroen Bruggeman (2014) suggereert dat het Kuramotomodel gebruikt kan worden om uitbarstingen van collectieve actie onder vijandige omstandigheden beter te voorspellen. Hij gebruikt de wiskunde in dit model om te beschrijven hoe dingen met elkaar interacteren en interpreteert het model als synchronisatie in emotionele opwinding of intenties tot handelen (Bruggeman, 2014). De mate van synchronisatie tussen deze actoren wordt bepaald door het verschil in emotionele opwinding of intenties tussen mensen; hoe meer mensen van elkaar verschillen, des te groter de invloed. In het Kuramoto model is dit voor elk deeltje hetzelfde. Bruggeman (2014) merkte op dat een foutieve aanname is in sociale netwerken; mensen verschillen immers van elkaar. Hij bepleit daarom dat de lambda,

geïnterpreteerd als de mate van solidariteit, een verdeling moet zijn. Solidariteit, de mate waarin mensen zich verbonden voelen met de groep als geheel, bepaalt namelijk ook voor een groot deel de onderlinge banden en beïnvloeding tussen mensen2_{. Deze groepssolidariteit kan gezien worden als een}

vermenigvuldigingsfactor van onderlinge solidariteit. Door lambda in het Kuramoto model voor elke eenheid een andere waarde te geven, zal elk deeltje in een andere mate door anderen beïnvloed worden.

Daarnaast laat Bruggeman (2014) zien dat de topologie3 _{van het netwerk van invloed} is op de synchronisatie die optreedt. Hierbij gaat hij er vanuit dat de topologie van het netwerk niet veranderd. Echter, de topologie in echte netwerken is constant aan verandering onderhevig (Assenza et al., 2011) (Stehlé, Barrat, & Bianconi, 2010) (Gross & Blasius, 2008). Volgens Assenza et al. (2011) kan daarom beter een adaptief netwerkmodel gebruikt worden; “to graphs where topology co-evolves with the dynamical process taking place on top of them, thus creating a feedback loop between structure and dynamics” (Assenza et al., 2011). Zij hebben in het originele Kuramoto model een feedback loop ingebouwd gebaseerd op homofilie en

homeostase. Homofilie is het principe dat mensen hun banden versterken met mensen waar ze op lijken (McPherson, Smith-Lovin, & Cook, 2001). Uit het onderzoek van McPherson, Smith-Lovin and Cook (2011) blijkt dat het homofilie principe (door

2 _{Als mensen zich identificeren met dezelfde (abstracte) ideologie, zullen ze zich beter met}

elkaar kunnen identificeren. Mensen met een verschillende ideologie zullen zich, ongeacht in hoeverre hun mening eigenlijk op elkaar lijkt, niets van elkaar aantrekken. De ander hoort immers bij een ander kamp, dus zal wel slecht volk zijn (Bruggeman, 2014)

allerlei sociodemografische, gedragingen en interpersoonlijke eigenschappen) netwerkbindingen als het huwelijk, vriendschap, werk, advies, ondersteuning, informatie-overdracht, uitwisseling, co-lidmaatschap en andere relaties structureren.

Homeostase is het principe dat iedereen ongeveer evenveel tijd besteed aan zijn of

haar sociale netwerk. Mensen met een groot sociaal netwerk hebben minder intensieve banden dan mensen met een kleiner sociaal netwerk (Time as a limited resource: Communication strategy in mobile phone networksGiovanna Miritelloa, b, Corresponding author contact information, E-mail the corresponding author, Esteban Morob, c, d, Rubén Laraa, Rocío Martínez-Lópeza, John elchambera, Sam G.B. Robertse, Robin I.M. Dunbarf). Als men de band met één persoon versterkt, zal er minder tijd over blijven voor iemand anders en deze band dus zwakker worden. Het principe van homophilie is ook bekend onder de naam Hebbian learning in de neurologie waarbij neuronen die vergelijkbare reacties op stimuli vertonen sterker met elkaar geassocieerd raken (Turrigiano & Nelson, 2004), een vorm van positive feedback die ook bij zwermen te zien is als versterking van richtingsfluctuaties. Homeostase wordt tegenwoordig ook gezien als essentieel voor de stabilisatie van de vuurritme snelheid van neuronen, waarbij interacties met stimulerende neuronen sterker worden bij een te langzaam ritme en zwakker worden bij een te snel ritme, een vorm van negatieve feedback dat ook bij mensen te zien is als het negeren van oninteressant gedrag wanneer al veel mensen dit gedrag vertonen.

Het model van Assenza et al. (2011) heeft deze twee principes als volgt in het Kuramotomodel ingebouwd;

Het model van Assenza et al. (2011)

Assenza et al. (2011) hebben het kuramoto uitgebreid met een terugkoppelings mechanisme. De basisprincipes zijn dus hetzelfde dit model is echter adaptief. Door de terugkoppeling ontstaat er een dynamiek tussen de topologie van het model en de synchronisatie. Een eigenschap die ook veel in sociale netwerken wordt

waargenomen.

θ̇i= ωi+ λ ∑ Wijsin(θj− θi) N

j=1

(3)

Zie Kuramotomodel voor toelichting van de basis. In dit model zijn twee nieuwe parameters. De koppelingsconstante 𝜆 en het feedback mechanisme Wij.

Koppelingsconstante 𝜆 bepaald onder andere hoe groot de invloed kan zijn van de andere oscillatoren. Deze parameter kan geïnterpreteerd worden als de 'mate van ontvankelijkheid voor andere oscillatoren'; hoeveel kan i beïnvloed worden door j (in hoeverre iemand in staat is om door anderen beïnvloed te worden). Bij Assenza et al. (2011) is deze constante gelijk voor iedereen. De sociologische complicaties hiervan worden later besproken.

Ẇij(t) = Wij(t)[si∙ pijT(t) − ∑ N

l=1

Wil(t) ∙ pilT(t)] (4)

Deze bepaald hoe sterk de koppeling is tussen oscillator i en j. Hoe meer de

oscillatoren op elkaar lijken hoe sterker hun koppeling wordt. In de randvoorwaarden is echter bepaald dat de totale som van alle koppelingen van een oscillator (si) gelijk moet blijven. Dus als een koppeling sterker wordt, moeten zijn andere koppelingen zwakker worden. Op deze manier concurreren alle inkomede interacties met andere oscillatoren voor de beschikbare middelen. Dit is geilustreerd in figuur (5). Het feedback mechanisme is mathematisch als volgt beschreven.

In hoeverre i en j synchroon zijn wordt bepaald door pij. Deze ligt tussen 1, synchroon, en 0, asynchroon. pijT(t) = | 1 T∫ t t−T ei[θj(τ)−θi(τ)]_{dτ| (5)}

Figuur 5: Op t=0 zijn alle koppelingen even sterk. De oscillatoren hebben een andere kleur. twee hebben een andere tint blauw en verschillen weinig, de ander is rood en verschilt veel van de ander. Op t=t(1) Wordt door homofilie de koppeling tussen de oscillatoren die op elkaar lijken sterker. De koppeling tussen de anderen moet daardoor zwakker worden. Vervolgens worden de oscillatoren beinvloed door hun buren. De blauwen een stuk meer dan de rode door de verschillende koppelingen.

Sociologische interpretatie Lambda in het model van Assenza

In het model van Assenza et al. (2011) wordt lambda als een constante parameter gelijk voor alle nodes voorgesteld. Bruggeman (2014) interpreteerd deze lambda in het Kuramotomodel voor sociale netwerken als de mate van solidariteit en

concludeert dat dit een verdeling moet zijn.

Deze conclusie kan echter niet zo maar overgenomen worden in het model van Assenza. In dit model zit namelijk al ingebouwd dat de bindingen tussen mensen verschillen ten gevolge van het homofilie principe; zij bouwden al in dat mensen een sterkere band krijgen als ze op elkaar lijken. In dit model heeft dat ook tot gevolg dat mensen weer meer op elkaar gaan lijken als gevolg van deze sterkere band. Uit de socioloigie weten we echter dat dit voor veel eigenschappen niet opgaat. Als het gaat om overtuigingen of intenties om bepaalde handelingen te verrichten, kan dit

inderdaad zo gezien worden. Maar voor veel eigenschappen die sociale netwerken clusteren geldt dit niet. McPherson, Smith-Lovin and Cook (2011) concludeerden dat sociale netwerken zich vooral cluseren naar ras, ethniciteit en leeftijd. De sociale banden tussen mensen die hierin op elkaar lijken, kunnen inderdaad sterker worden. Maar door sterkere banden kunnen mensen niet meer hetzelfde ras, ethniciteit of

leeftijd krijgen, zoals nu ingebouwd is in het netwerk van Assenza.

Om het iets concreter te maken, volgt hier een voorbeeld waaruit blijkt hoe mensen tijdens een ritueel letterlijk kunnen synchroniseren in hun emotionele opwinding. Konvalinka et al. (2011) deden een experiment bij een vuurloopritueel in een klein dorpje in Spanje waar elk jaar veel mensen uit het dorp en toeristen op af komen. Uit het experiment bleek dat kennissen of kennissen van kennissen van de vuurlopers tijdens het ritueel steeds meer dezelfde emotionele opwinding, gemeten in hartslag, gingen vertonen als de vuurlopers en dat de toeristen hier ongevoelig voor bleven. Als dit teruggekoppeld wordt naar het model van Assenza; ongeacht het verschil in de staat van emotionele opwinding (de toeristen en dorpelingen vertoonden aan het begin evenveel verschil in emotionele opwinding), synchroniseren de dorpelingen wel en de toeristen niet. Blijkbaar is er nog een extra factor die hier voor zorgt. Mogelijk kan dit gezien worden als solidariteit; de mensen uit het dorp voelen zich solidair met iedereen in hun dorp en zijn daarom gevoelig voor elkaars emotionele opwinding (grote lambda, dus grotere synchronisatie). De toeristen, voelen zich niet of weinig solidair, hebben een lage lambda of lambda van nul en zij zullen, ongeacht hun verschil of overeenkomst in emotionele opwinding, ongevoelig blijven voor die van de deelnemers aan het ritueel.

Dit zou vergeleken kunnen worden met de interpretatie van Bruggeman (2014b) van de invloed van solidariteit; lambda als een vermenigvuldigingsfactor van onderlinge beïnvloeding. Als het model van Assenza gebruikt zou worden om protesten of de totstandkoming van samenwerking te beschrijven, zou de mate van gedeelde emotionele opwinding of intenties als de mate van onderlinge synchronisatie beschreven worden. Lambda, geïnterpreteerd als solidariteit, fungeert dan als een onafhankelijke vermenigvuldigingsfactor. Hiermee komen we dan tot de volgende geïntergreerde interpretatie van lambda:

Lambda, de koppelingssterkte in het model van Assenza et al. (2011) kan in sociale netwerken geïnterpreteerd worden als solidariteit waarbij deze de maat aangeeft voor de ontvankelijkheid voor de invloed van de staat (emotionele opwinding of intentie tot handelen) van anderen.

Deze geïntergreerde interpretatie is tevens ook de hypothese voor de hoofdvraag. Om te onderzoeken of dit inderdaad een juiste interpretatie is, zal eerst concreet

uitgezocht moeten worden of de invloed van lambda in overeenstemming is met de verwachting op basis van solidariteit. Hiervoor zullen de volgende hypotheses in dit onderzoek getest worden.

De verwachting is dat iemand op weinig solidariteit kan rekenen van anderen wanneer deze zelf ook niet bereid is zich aan te passen. Daarom is de kans groot dat een deeltje met lambda nul, een einzelganger wordt. Behalve als iemand toevallig al grotendeels de mening van anderen deelt; dan zullen anderen een sterke band met hem krijgen en zal hij een soort leider worden (in overeenstemming met de suggestie van Assenza, mail, 2013).

Hypothese 1: Eén node met λ=0 wordt een leider of een individu, afhankelijk van zijn

Daarnaast zal een hoge lambda er voor zorgen dat deze zich gemakkelijk aanpast aan anderen. Deze kan daardoor sneller met anderen synchroniseren.

Hypothese 2: Eén node met λ=5 vormt een cluster, een hub, en zal synchronisatie

versnellen.

Tot slot zal er getest worden wat de invloed is van een normaalverdeling van lambda. Volgens Bruggeman (2014) is de mate van solidariteit namelijk normaal verdeeld over een netwerk. Omdat mensen, deeltjes, tot een verschillende mate in staat zijn tot synchronisatie, wordt er verwacht dat er een ander synchronisatie-gedrag optreedt. Hypothese 3: Een normaalverdeling van lambda zorgt voor ander

synchronisatie-gedrag dan bij een gelijke Lambda voor alle nodes.

In de methode zal uitgelegd worden hoe deze hypotheses getest worden en aan de hand van deze resultaten zal geconcludeerd worden of de algemene hypothese in overeenstemming is met de onderzoeksvraag.

Methode

Het model is in Matlab geschreven en gebaseerd op het model van Assenza et al. (2011).4 _{Het script is te vinden in Appendix 1. Eerst worden de eigenschappen van} het netwerk behandeld, vervolgens de oscillatoren en de order parameter en ten slotte de verschillend gekozen koppelingssterkten.

Netwerk

Door computationele beperkingen heeft het netwerk 25 nodes (N=25). Deze zijn allemaal met elkaar verbonden. De sterkte van deze verbindingen zijn geinitialiseerd als Wij(t0)=1/N. De dynamiek werd telkens bestudeert in 15000 tijdstappen van 0.02.

Oscillatoren

De frequenties ωi(t0) werden willekeurig uit een uniforme verdeling getrokken in een interval van [-½,½] met random initiele fases θi(t0) in het bereik [-pi,pi].

Order parameter

Voor de order parameter is de standaard kuramoto versie gebruikt. De grote r(t) ∈ [0,1] kwanitficeert de mate van synchronisatie van de N oscillatoren.

Koppelingssterkte

Om hypothese 1 te testen, zal het model gerund worden waarbij λ=0 voor één node en de overige nodes λ=0.6. Gekeken wordt of het aantal clusters dat er uit komt, overeenkomt met het aantal lambda’s met waarde nul. Ook zal het verloop van de

verschillende fasen geplot worden om het gedrag van de oscillator met λ=0 goed te kunnen bekijken.

Om hypothese 2 te testen, zal het model gerund worden waarbij λ=5 voor één node en de overige nodes λ=0.6. Gekeken wordt of het aantal clusters of hubs dat er uit komt, overeenkomt met het aantal lambda’s met waarde vijf. Ook zal het verloop van de verschillende fasen geplot worden om het gedrag van de oscillator met λ=5 goed te kunnen bekijken.

Om hypothese 3 te testen, zal het model gerund worden waarbij λ willekeurig uit een normale verdeling wordt getrokken met het gemiddelde 0.6. De standaardafwijking zal een keer 0.1 zijn en een keer 0.3.

Resultaten

Om de verschillende hypothesen te testen zijn de volgende resultaten verkregen. Elke getoonde grafiek is geverifieerd aan meerdere simulaties met dezelfde instellingen. Alleen waar de lambda getrokken werd uit een normaalverdeling leverde dit telkens andere resultaten op.

𝛌= 0.6

Figuur 6. Grafiek van de Kuramoto order parameter r over de tijd t met λ= 0.6 voor alle nodes. Er ontstaat een periodieke oscillatie van r. Dit duidt erop, en een plot van theta in Figuur 7 bevestigt dit, dat er twee groepen oscillatoren zijn ontstaan met een andere frequentie. Op het moment dat deze elkaar passeren, lijkt het systeem zeer synchroon. Als ze maximaal uit elkaar staan, is de synchronisatie minimaal.

Figuur 7. Grafiek van de fase over de tijd t met λ= 0.6 voor alle nodes. Er ontstaan duidelijk twee groepen. Eén groep heeft een negatieve frequentie, de ander een positieve. De lijnen die evenwijdig lopen behoren tot een groep, ze verschillen echter een heel ‘rondje’ als oscillatie. Ze hebben elkaar bijvoorbeeld ingehaald.

𝛌= [0;0.6;0.6;...]

Figuur 8. Grafiek van de Kuramoto order parameter r over de tijd t waarbij één node λ= 0 heeft en de rest λ= 0.6. De periodiciteit, zoals in figuur 6, is duidelijk verstoord. De plot van theta geeft meer duidelijkheid.

Figuur 9. Grafiek van de fase over de tijd t waarbij één node λ= 0 en de rest λ= 0.6. De constante lijn in het middel van het figuur representeert de oscillator metλ=0. Deze lijkt voor 2 anderen even een leider, maar al snel haakt er een af en uiteindelijk dwaalt ook de ander af. Het is dus toch een ‘individu’ geworden. Als een oscillator geen 'moeite' doet om zich aan te passen dan zal zijn koppeling met de anderen uiteindelijk enorm afnemen.

𝛌= [5;0.6;0.6;...]

Figuur 10. Grafiek van de Kuramoto order parameter r over de tijd t waarbij 1 node λ=5 en de rest λ=0.6. De periodiciteit is hetzelfde als in figuur 6, maar de gemiddelde synchronisatie ligt hoger. De oscillator met λ= 5 blijkt te fungeren als bemiddelaar en trekt de andere oscillatoren sterker naar één frequentie.

𝛌 getrokken uit normaalverdeling met standaardafwijking 0.1

Ook bij deze kleine standaardafwijking blijkt er een groot verschil in resultaten.

Figuur 12. Grafiek van de Kuramoto order parameter r over de tijd t waarbij λwillekeurig uit een normale verdeling is getrokken met een gemiddelde van 0.6 en een standaardafwijking van 0.1. synchroniseert snel, maar grote variatie. Dit komt door twee ongeveer gelijke groepen die tegen elkaar in bewegen.

Figuur 13. Grafiek van de fase over de tijd t waarbij λwillekeurig uit een normale verdeling is getrokken met een gemiddelde van 0.6 en een standaardafwijking van 0.1.

Figuur 14. Grafiek van de Kuramoto order parameter r over de tijd t waarbij λwillekeurig uit een normale verdeling is getrokken met een gemiddelde van 0.6 en een standaardafwijking van 0.1. Synchroniseren duurt redelijk lang, maar uiteindelijk een hele hoge gemiddelde synchronisatie. Dit komt doordat het gros een negatieve frequentie krijgt en dus in één groep zit.

Figuur 15. Grafiek van de fase over de tijd t waarbij λwillekeurig uit een normale verdeling is getrokken met een gemiddelde van 0.6 en een standaardafwijking van 0.1.

𝛌 getrokken uit normaalverdeling met standaardafwijking 0.1

Meerdere simulaties geven dezelfde dynamiek. Met een grote spreiding van lambda lijkt synchroniseren een stuk moeilijker. Er ontstaan meerdere groepen en het duurt langer voordat deze een constante frequentie hebben gevonden.

Figuur 16. Grafiek van de Kuramoto order parameter r over de tijd t waarbij λwillekeurig uit een normale verdeling is getrokken met een gemiddelde van 0.6 en een standaardafwijking van 0.3. Er ontstaat nog geen duidelijk synchronisatie patroon.

Figuur 17. Grafiek van de fase over de tijd t waarbij λwillekeurig uit een normale verdeling is getrokken met een gemiddelde van 0.6 en een standaardafwijking van 0.3. Meerdere groepen zijn zichtbaar en het duurt lang voordat een constante frequentie ontstaat.

Figuur 18. Grafiek van de Kuramoto order parameter r over de tijd t waarbij λwillekeurig uit een normale verdeling is getrokken met een gemiddelde van 0.6 en een standaardafwijking van 0.3.

Figuur 18. Grafiek van de fase over de tijd t waarbij λwillekeurig uit een normale verdeling is getrokken met een gemiddelde van 0.6 en een standaardafwijking van 0.3.

Conclusie & Discussie

Uit dit onderzoek is gebleken dat synchronisatie een interessante insteek biedt om samenwerking te beschrijven. De reeds succesvolle integratie van biologie en natuurkunde heeft modellen ontwikkeld die nieuw inzicht bieden in hoe individuen door synchronisatie elkaars handelingen weten te coördineren tot collectief gedrag en wat het mogelijke voordeel hiervan is. Deze intergratie heeft er tevens voor gezorgd dat deze modellen steeds complexer gedrag kunnen beschrijven, waardoor we nu op het punt zijn aangekomen om ook menselijke samenwerking te beschrijven. Dit biedt mogelijk in de toekomst de mogelijkheid om protesten en opstanden beter te

begrijpen. Bruggeman (2014) maakte een start met het introduceren van het Kuramoto synchronisatiemodel in de sociologie. Hij concludeerde dat de

koppelingssterkte geïnterpreteerd kan worden als de mate van solidariteit, en dus de waarde van een normaalverdeling moet hebben, en dat de topologie van het netwerk het synchronisatie-gedrag beïnvloedt. Hij gebruikt hiervoor echter een model met een statische topologie, terwijl er ook adaptieve modellen zijn vanuit de biologie en natuurkunde die bijvoorbeeld neuronensynchronisatie beschrijven. Assenza et al. (2011) hebben een dergelijk model ontwikkeld, gebaseerd op twee interessante sociale en neurale principes; homofilie en homeostase. In dit onderzoek is een werkelijke integratie van natuurkunde, biologie en sociologie gedaan door te onderzoeken of de interpretatie van Bruggeman (2014), dat de koppelingssterkte Lambda in het Kuramoto model als solidariteit geinterpreteerd kan worden om sociale netwerken te beschrijven, toegepast kan worden op het adaptieve netwerk model van Assenza (2011).

Na een integratie van inzichten vanuit de verschillende disciplines kwam de volgende interpretatie tot stand.

Lambda, de parameter koppelingssterkte in het model van Assenza et al. (2011) kan in sociale netwerken geïnterpreteerd worden als solidariteit waarbij deze de maat aangeeft voor de ontvankelijkheid voor de invloed van de staat (emotionele opwinding of intentie tot handelen) van anderen.

Deze interpretatie wordt ondersteund door de resultaten van de getestte hypotheses. Het blijkt dat mensen oftewel eenheden, die niet solidair zijn met anderen, een kleine kans hebben om een leider te worden en bijna altijd een einzelganger worden. Een eenheid met een grote lambda, iemand met een hoge mate van solidariteit, wordt een hub; krijgt een centrale positie in het netwerk. Dit komt overeen met de aanname in het onderzoek van Assenza et al. (2011). Zijn beginfrequentie is echter niet

belangrijk voor de uiteindelijke frequentie die de hub krijgt. Hij past zich aan, wellicht vanuit solidariteit.

Mensen zijn verschillend, dus voor het beschrijven van een sociaal netwerk licht het voor de hand om lambda uit een normaalverdeling te trekken. Dit heeft grote gevolgen voor de dynamiek van de synchronisatie in een netwerk. Door deze

implementatie werd de uitkomst van het model onvoorspelbaar. Ook duurde het langer voordat er synchronisatie plaats vond. Synchronisatie bleef beperkt waardoor er meerdere groepen ontstonden.

De resultaten laten ook zien dat, in tegenstelling tot het Kuramoto model, past het model wat hier besproken is zijn topologie wel aan aan de dynamiek van

synchronisatie. Doordat de koppelingssterkte Lambda deze dynamiek beinvloed, wordt ook de topologie veranderd door de koppelingssterkte. Dit biedt interessante mogelijkheden voor verder onderzoek. De stap van 25 nodes naar 300 is zeer belangrijk. Hieruit moet blijken of de resultaten in een groter netwerk wezenlijk verschillen.

Tot slot kan er uit dit onderzoek geconcludeerd worden dat er nog vele

mogelijkheden tot verbetering zijn. Het is vooral interessant om in een vervolg onderzoek de uitkomsten van het model de vergelijken met empirische data over protesten en opstanden. Op deze manier kan er daadwerkelijk onderzocht worden of de uitkomsten van het model realistisch zijn en welke parameters daar voor aangepast moeten worden.

Om af te sluiten nog een speculatie. Dit inzicht over samenwerking als synchronisatie biedt een heel nieuw perspectief op organisatie. De regeringsplannen over de

participatiemaatschappij en haar vraag naar meer eigen organisatie van bijvoorbeeld zorg en sociale zekerheid in netwerken, leidt tot nieuwe vormen van zelforganisatie van onderop. Daarnaast beginnen steeds meer jongeren voor zichzelf en gebruiken hun netwerk om hun eigen plannen te organiseren. De macht van grote bedrijven en de democratische invloed van de overheid worden bekritiseerd waardoor mensen beginnen met het uitvoeren van hun eigen ideeen en plannen. De enorme kracht van het internet om dit allemaal te katalyseren leidt tot veel en snelle interacties tussen de individuen, waardoor ideeen sneller en makkelijker kunnen worden gerealiseerd en collectieve actie dichter bij is. De enorme dynamiek die ontstaat bij het zelf

ondernemende jonge publiek is bijvoorbeeld te zien in Hubs, waar zij bijeen komen. Het voordeel van wisselende samenwerking leidt een een groeiende bedrijvigheid binnen dynamische netwerken. Om te begrijpen hoe deze dynamsiche samenwerking veranderd en tot stand komt is het nodig om dit versimpeld voor te stellen als

bijvoorbeeld gekoppelde oscilatoren die in staat zijn tot synchronisatie zoals dit in de biologie is gedaan. Door middel van deze basis kunnen er langzamerhand steeds meer processen uit sociale netwerken worden geimplementeerd waardoor het makkelijker wordt samenwerking te simuleren.

Referenties

Acebrón, J. A., Bonilla, L. L., Vicente, C. J. P., Ritort, F., & Spigler, R. (2005). The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena.

Reviews of modern physics, 77(1), 137.

Assenza, S., Gutiérrez, R., Gómez-Gardeñes, J., Latora, V., & Boccaletti, S. (2011). Emergence of structural patterns out of synchronization in networks with competitive interactions. Scientific reports, 1.

Bruggeman, J. (2014a, Januari 28). Solidarity, synchronization and collective action. Retrieved from Cornell University Library: http://arxiv.org/abs/1312.6809 Bruggeman, J. (2014b, Februari 9). E-mail over sociologische interpretatie van

lambda. (T. Huijben, Interviewer)

Swaan, A. d. (2007). Hoe mensen gezamenlijk taken volbrengen: Collectieve actie. In A. d. Swaan, De Mensenmaatschappij (pp. 95-99). Amsterdam: Bert B. Tyrrell, A., Auer, G., & Bettstetter, C. (2006, December). Fireflies as role models for

synchronization in ad hoc networks. In Proceedings of the 1st international

conference on Bio inspired models of network, information and computing systems (p. 4). ACM.akker

Huygens, C. 1932 Oeuvres completes de Christiaan Huygens, vol. 17, pp. 156-189. The Hague: Martinus Nijhoff. (Includes works from 1651-1666.)

Kuramoto, Yoshiki (1975), H. Araki, ed., Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics 39, Springer-Verlag, New York, p. 42.

Bruggeman, J. (2014c, Januari 30). Interview over sociologische interpretatie van sycnchronisatie. (T. Huijben, Interviewer)

Gross, T., & Blasius, B. (2008). Adaptive coevolutionary networks: a review.

Journal of the Royal Society, 259-271.

Floría, L. M., Gracia-Lázaro, C., Gómez-Gardeñes, J., & Moreno, Y. (2009). Social network reciprocity as a phase transition in evolutionary cooperation.

Physical Review E, 79(2), 026106.

Konvalinka, I., Xygalatas, D., Bulbulia, J., Schjodt, U., Jegindo, E.-M., Wallot, S. & Roepstorff, A. (2011). Synchronized arousal between performers and related spectators in a fire-walking ritual. Proceedings of the National Academy of

Sciences, 8514-8519.

Koster, F., Stokman, F., Hodson, R., & Sanders, K. (2007). Solidarity through networks. The effects of task and informal interdependence on cooperation within teams. Employee Relations, 117-137.

Homophily in Social Networks. Annual Reviews, 415-444.

Miritello, G., Moro, E., Ruben Martnez-Lopez, L.R., Belchamber, J., Roberts, S.G.B., & Dunbar, R.I.M. (2013) Time as a limited resource:

Communication strategy in mobile phone networks. Social Networks, 35-89. Moussaid, M., Garnier, S., Theraulaz, G. & Helbing, D. (2009), Collective

Information Processing and Pattern Formation in Swarms, Flocks, and Crowds. Topics in Cognitive Science, 469–497.

Pikovsky, A., Rosenblum, M., & Kurths, J. (Eds.). (2003). Synchronization: a

universal concept in nonlinear sciences (Vol. 12). Cambridge university

press.

Stehlé, J., Barrat, A., & Bianconi, G. (2010). Dynamical and bursty interactions in social networks. Physical review, 1-4.

Turrigiano, G. G., & Nelson, S. B. (2004). Homeostatic plasticity in the developing nervous system. Nature Reviews Neuroscience, 5(2), 97-107

Strogatz, S. H., & Stewart, I. (1993). Coupled oscillators and biological synchronization. Scientific American, 269(6), 102-109.