• No results found

Een methode voor de berekening van het dynamisch gedrag van konstrukties met veel vrijheidsgraden

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Een methode voor de berekening van het dynamisch gedrag van konstrukties met veel vrijheidsgraden"

Copied!
14
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Een methode voor de berekening van het dynamisch gedrag

van konstrukties met veel vrijheidsgraden

Citation for published version (APA):

Veldpaus, F. E. (1970). Een methode voor de berekening van het dynamisch gedrag van konstrukties met veel vrijheidsgraden. (DCT rapporten; Vol. 1970.023). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1970

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

VEEL V R I J H E I D SGRADEN

P.E. Veldpôus

NE

70-23

(3)

1.

Inleiding

Bij de statische analyse van een gekompliceerde konstruktie kan gebruik wor-

den genaakt van de eindige elementemethode om een stelsel lineaire, aige-

braïsche vergelijkingen af te leiden waarmee het gedrag van de konstruktie

voor statische problemen kan worden afgeleid.

B i j

de dynarilische analyse van

de konstruktie kan van dezelfde methode gebruik worden gemaakt voor het

OPT

stellen van een stelsel tweede orde differentiaalvergelijkingen in de varia-

bele

t.

Een (eventueel) aanwezige demping kan in rekening worden gebracht.

In dit rapportje zullen wij ons bezig houden net een (voorlopige?) opzet van

een computer-gerichte berekening van het dynamische gedrag. Het opstellen van

de betreffende differentiaalvergelijkingen zal hierbij

-

niet ter sprake komen.

Na een (voor ongedempte systemen algemene) inleiding

in

hoofdstuk

2

wordt

in hoofdstuk

3

een methode gegeven om de algemene oplossing te bepalen voor

ongedempte systemen. In hoofdstuk

4 wordt een aantal opmerkingen gemakt

met betrekking tot de berekening van de partikuliere oplossing van gedempte

systemen. Hierbij zullen wij

ons

beperken tot visceuze densing en materiaal-

demping (hysterese-demping).

2 .

Algemeen

Bij de toepassing van de eindige elem-entenpethode

worden het dynamische en

statische gedrag van een konstruktie bestudeerd aan

de

hand van een diskreet

model van die konstruktie. In de konstruktie worden hierbij een aantal pun-

ten, knooppunten genaamd, aangewezen. De gegeneraliseerde verplaatsingen van

deze knooppunten (deze verplaatsingen kunnen zowel verdraalinpen ais echte

verplaatsicgen zijn) worden gehuikt om het

FroUleem

te beschrijven. De

verplaatsingen van een willekeurig punt van de konstruktie worden uitgedrukt

in de verplaatsingen van de knooFpunten.

Wij zullen hier niet ingaan op details van de elementenmethode, maar gebruik

maken van de resultaten ervan. Door toepassing van de methode kan voor kon-

strukties zonder demping een stelsel lineaire, tweede-orde dif

ferentiaalver-

gelijkingen worden afgeleid waarmee het dynamische en statische gedrag van

het diskrete model kan worden beschreven. Hierbij is reeds verondersteld dat

fysische en geometrische niet-lineariteiten geen rol spelen. Het stelsel

vergelijkingen luidt dan:

[:"

II2]*[J

+

I"

1 Q12

2 22 0 1 2 0 2 2

3c

U

(4)

waarin gesteld is:.

u

:

verplaatsingsvektor die alle niet voorgeschreven verplaatsingen

van alle knooppunten bevat

u

:

verplaatsingsvektor die alle voorgeschreven verplaatsingen ongelijk

O

aan nul van alle knooppunten bevat

e

f

:

vektor van de bekende belastingsgrootheden. De i..

komponent van f

O O

e

zal korresponderen met de i -komponent van u.

f

:

vektor van de onbekende krachtgrootheden die nodig zijn om de voor-

geschreven verplaatsingen ongelijk aan nul te realiseren. De i

-

komponent van f korrespondeert met de i -komponent van u

.

e

e

O : s t

ij

f

heid smatr

i

ce

s M

PIl2, M22

:

massamatrices

9 1 1 9

4129 Q22

Uit de in de elementenrrethode gevolgde werkwijze kan eenvoudig worden aange-

I I ,

o,,,

M I

I

en

14

symmetrisch zijn bij de hierboven

22

toond dat de matrices

Q

gegeven afspraken voor de vektoren u, u

f en f.

o’ o

Wij zullen steeds veronderstellen dat minstens zoveel

knooppuntsverplaatsiqgen

een voorgeschreven waarde gelijk

of

ongelijk aan nul bezitten dat beweging

als star lcchazm van de konstruktie (of een deel daarvan) is verhinderd. Een

beweging als star lichaam wordt hierbij gedefinieerd als een beweging van de

konstruktie

of

eerr deel van de konstruktie waarbij de in de konstruktie

op-

gehoopte elastische energie niet verandere.

Deze beperking is niet essentieel maar vereenvoudigt de analyse in Iiqge mate.

Indien aan deze beperking wordt voldaan kan op fysische gronden worden aan-

getoond dat de natrix

Q

positief is,

d.w.z.:

1 1

t

u.cII.u

O

voor alle

-

u

+

0

‘;an

deze eigenschap zal veelvuldig gebruik worden gemaakt.

Uit

(2.1)

volgt een stelsel inhoEOgene, lineaire, tweede-orde differentiaal-

vergelijkingen voor de onbekende verplaatsingsvector

u:

-

..

12’u0

Q12*’0

N i i . Ü

+

Q I 1 . U =

f

-

M

O

terwijl de onbekende krachtgrootheden volgen uit:

1 1

(2.3)

..

22

O U 0

(5)

3 . D e b e p a l i n g van d e oplossing v o o r ongedempte systemen

D e t o t a l e oplossing van h e t s t e l s e l (2.3) wordt gespLFtst i n een homogene o p l o s s i n g en een p a r t i k u l i e r e oplossing, d i e géén d e e l v a n de hornogene op- l o s s i n g b e v a t . W i j koncentreren ons eerst op d e bepaling v a n d e homogene oplossing, d i e

"h.

genoemd z a l worden. D e v e k t o r u v o l d o e t aan:

h

..

K I

.Uh i-

QII'%

= 0 (3.1)

Zoals bekend mag worden v e r o n d e r s t e l d kan een oplossing v a n d i t s t e l s e l worden gevonden door voor' U t e s t e l l e n : '

- *

h

-

u#) = Uh.C0S(Ut) ( 3 2 )

waardoor ( 3 . I ) kan worden overgevoerd i n :

(-w2M1 + Q ,

,).uh

= O ( 3 .

">

U i t de symmetrie van

Y I 1

en Q

i s en $ i l 1 semi-positief d e f i n i e t i s kan worden aangetoond d a t a l l e oplossinpen u2, U$,

.

. .

,

~2

reëel en p o s i t i e f z i j n . R i e r i n i s E h e t a a n t a l komponenten

en u i t h e t gegeven d a t Q p o s i t i e f d e f i n i e t

I I

1 1

-

n

-

Uh en Uh' van d e v e c t o r e n u,

M a t a l l e oplossingen U? (i = i , 2 ,

...

n) g r o t e r dan nul z i j n h e e f t h e t s t e l s e l homogene v e r g e l i j k i n g e n (3.3)- t e s c h r i j v e n als:

1

D e o p l o s s i n g van d i t eigenwaarde-probleem kan op meerdere manieren bepaald. I n h e t r a p p o r t

WE

TO-

"TOELICHTING

BIJ DE tII'E-PRQCEDURES

h e t z i n

worden EZGEN- F 7 b D E

PKûBLEEE

EN EIGENBD" wordt een

-

i n onze ogen

-

g e s c h i k t e , d i r e k t e methode gegeven w a a r b i j ten d e l e rekening kan worden gehouden m e t een even-

_-.

t u e l e bandstruktuur van de macrices

'.FL

k o r t e s c h e t s van de gevolgde werkwijze. Voar nadere i n f o r m a t i e wordt verwe- zen naar h e t genoerrde r a p p o r t .

Omdat C!

h e t produkt van een linksonderrriatrix L en de getransponeerde van d i e matrix, zodat:

en Q

I 1

11''

ki~eronckï

voI@

eeii zeer symnetrisch en p o s i t i e f d e f i n i e t i s kan Q worden geschreven a l s

1 1

1 1

I =

L.L

Q l 1 ( 3 . 5 )

Omdat d e matrix Q , , n i e t s i n g u l i e r is, i s L u i t e r a a r d ook n i e t - s i n g u l i e r , zodat

L-l

b e s t a a t . Door voorvermenigvuldiging van ( 3 . 4 ) rr-et

L

- I v o l g t :

M e t de d e f i n i t i e van een v e c t o r door: h

-

(6)

gaat

(3.6) over in het klassieke eigenwaarde-probleem:

( A

-

xI).vh

= O

waarin de

A

terwijl

x

x

matrix

A

voldoet aan:

I

-1

' - 1 = A =

L .M .L

I !

I

wordt gegeven door:

1 = - w2

( 3 . 8 )

De berekende eigen(h0ek)frekwenties w.(i

1 = i , 2 ,

...

n) worden zodanig genum-

merd dat geldt:

o

4 w 1 d w2

<

w3

B

...

4 w

(3.1

I )

n

De bij deze-e3genfrekwenties

behorende eigenvectoren zijn v l ,

v2,

...

vn.

Deze kunnen steeds orthonormaal gekozen worden zodat:

I

v..vj

=

Lj

(i,j

=

i92,3

*...

n)

;

'

i

j

:

Kronecker-delta

1

-

Door substitutie van het verband

(3.7)

tussen

vh

en %-volgt voor de eigen-

tri

11

ingsvormen u

], U2' "'U n :

I I 1

u..L.Lu.

u..Q.u

=

1

J

i

j

'ij

waarin het verband tussen u.

1

en v.

1

uiteraard wordt gegeven door:

' - 1

u.

=

L

'Vi

1

( 3 . 1 3 )

( 3 . 1 4 )

De vectoren u l ,

u2,...u

n zijn de eigenvectoren behorende

b i j

het stelsel

( 3 . 4 ) .

Uit (3.4) volgc~

verder:

(3.15)

Ter wille van de overzichtelijkheid worden de eenheidsvectoren (kolomsgewij-

ze) opgeborgen in de matrix

E:

( 3 . IS)

Uit (3.13) en (3.15) volgt dan direkt:

I E.QI1.E = I : e e n h e i d s ( d i a g o n a a 1 ) n t r i x

E.K

'

.E

=

R

1 1

(3.

I ? )

(3.18)

Hierin is

A

(griekse hoofdletter lambda) een diagonaalmatrix van orde n*n,

waarvan de komponenten gedefinieerd zijn door:

(7)

- 5 z

1'

Van de berekende eigenfrekwenties

wl,

...,

...

u kan gebruik worden gemaakt

OE

het stelsel differentiaalvergelij

-

u2

n

kingen (2.3) in sterke mate

te

vereenvoudigen. Hiertoe wordt een transfor-

matie van variabelen toegepast door introduktie van de vector

w(t):

en eigentrillingsvormen u

n

w(t) =

E-l.u(t)

;

u(t)

=

E.w(t)

Deze definitie is zinvol omdat de matrix

E

zeker niet singulier is; er geldt

voor E - ~ :

-1

'

E

=

E.Q,,

(3.21)

Door voorvermenigvuldiging van (2.3) net

E

en substitutie van u(t) volgens

(3.20) volgt:

(3.22)

Het oorspronkelijke stelsel gekoppelde diff

erentiaalvergelijkingen is door

deze transformatie overgevoerd in n ongekoppelde differentiaalvergelijkingen

Voor de

i

e

-konponent van w, w[il, geldt:

+ wcíl

=

Li

{

f

-

ql2.u0

-

M

;

i

= 1 , 2 ,

...,

n

(3.23)

O

De bepalkg van de oplossing van deze vergelijking behoeft geen verdere toe-

lichting, omdat alle oplossingstechnieken voor

standaard-één-massa-veer-

systemen kunnen worden toegepast.

De oplossing van de verplaatsingsvector

u

wordt dan gegeven door:

u

=

E.w(t)

(3.24)

e

zodat de i -komponent van

u,

u

[

<

]

wordt bepaald

door:

(3.25)

~

Bij de hiervoor gegeven berekeningen moeten wij ons wel realiseren dat de

berekeningen betrekking hebben

op

het diskrete model van

d e

werkelijke

kon-

struktie. De verplaatsingen van een willekeurig punt van de konstruktie

worden uitgedrukt in de Verplaatsingen van een beperkt aantal knooppunten

door min of neer arbitraire hypothesen te poneren over het verloop van de

verplaatsingen tussen de knooppunten. Dit alles impliceert dat de gegeven

berekening slechts tot benaderingsoplossingen kan leiden. Nu blijkt

dat

meestal een groot aantal (vuistregel: ongeveer

-n

tot

In)

eigenfrekwenties

voor praktische doeleinden voldoende nauwkeurig berekend.

worden als de

hypothesen over het verplaatsingsveld voldoen aan een aantal eisen. Vij zullen

1

(8)

niet ingaan op deze eisen;

zie hiervoor bijv. het kollegediktaat van

Prof. J.F. Besselkng (T.H.D.) "Numeriek Spcrnnings- en Trillingsonderzoek"

en de dissertatie van

8.

Visser "Finite Elen-ent

Nethod

in Deformation

and Heat Conduction Problen?s"(T.H.D.,

1968).

De hiervoor gelanceerde bewering voor de berekende eigenfrekwenties zal

i.h.a. niet gelden voor de berekende eigentrillingsvormen. Het aantal vol-

doende nauwkeurig bepaalde eigentrillingsvormen zal waarschijnlijk kleiner

zijn dan

-n.

De laatste bewering is

zo

voorzichtig geformuleerd omdat niet

vaststaat

op

grond van welk kriterium of welke kriteria eer, uits-raak over

de nauwkeurigheid van de berekende eigentrillingsvormen kan worden gedaan.

Eet nadruk wijzen

wij

erop dat het voorgaande een fysische achtergrond

heeft, nl. de hypothesen over het verloop van de verplaatsingen. Het zal

duidelijk zijn

dat

voor grote stelsels differentiaalvergelijkingen (n groot)

afrondingsfouten bij de berekening een grote

rol kunnen gaan spelen.

Ook

dan blijkt dat de laagste eigenfre

In het kader van deze opmerkingen

kan men zich afvragen wat het nut is van

de gepresenteerde berekeningen. Dit nut blijkt indien wij ons realiseren

dat bij de dynmische analyse van een konstruktie i.h.a. slechts een vrij

beperkt aantal van de laagste eigenfrekwenties en bijbehorende eigentril-

lingsvormen van interesse zijn. Juist deze zullen echter voldoende nauw-

k e m i g worden berekend

a l s

n voldoende groot

is.

1

3

ties het nauwkeurigste berekend worden

4 .

Systemen net demping

Wij zullen ons in dit hoofdstuk beperken

tot

de analyse van de gedwongen

beweging van konstrukties met harmonisch variërende belastingvector

f

en/of harwonicch variërende vector van voorgeschreven verplaatsingen ongelijk

aan nul,

u

.

Het stelsel differentiaalvergelijkingen (2.1) moet dan worden aangevuld met

een term die afhangt van de snelheidsvectoren

U

en

U :

O O O

LIl

uO] +

[""

t 1 2 ' U

R

I 2 2 2 1 2

R

2 2

R

De matrices R

R

ez R

zijn de dempingsmatrices. Tot nu toe hebben wij

nog geen uitspraak gedaan over de aard van de optredende demping. brij zullen

11' 1 2 2 2

(9)

- 7 -

Voor elk der matrices R

(i,j

= 1 , 2 )

geldt dan:

ij

I

= p

+

-.I)

Rij

ij

ij

( 4 . 2 )

waarin de matrices P

P

en P

de visceuze demping karakteriseren ter-

wijl de matrices

4 -3

en

-D

volgens Snowdon de materiaaldenping

1

w 1

22 122

w

11'

w 12 u 22

l l y D I 2 , D22

zijn onafhankelijk van

w.

11'

P t 2 ' p22 en

karakteriseren.

P

Volgens Snowdon geldt bovendien:

Dij

-

- ".Qij

(i,j

= 1 , 2 ) ( 4 . 3 )

waarin

a

een materiaalkonstante

i s .

De grootheid w is de hoekfrekwentie van de harmonisch variërende belasting-

en verplaatsingsvector.

Wij

veronderstellen dat

en

u

geschreven zijn in

de v o m :

O o

iwt)

f

=

R

(3

.e

e

e

o

iwt)

ú = i: (U

.e

o

e

o

( 4 4 ) ( 4 5 )

Het

symbool A

boven een grootheid geeft aan dat de betreffende grootheid

kompiex

kan zijn.

Uit

( 4 . 1 )

kan een stelsel differentiaalvergelijkingen worden afgeleid voor

de onbekende verplaatsingsvector

u(t) :

..

s.

M I I * U +

( P I i

+ -.Q ).& + QII.U =

f

O

-

Yl2.U0

-

( P r 2 +-

31z)lio

-

QI2'U0

w

1 1

( 4 * 6 )

terwijl de krachtvector

f,

na de berekening van

u ( t ) ,

kan worden berekend

uit:

1 1

..

a

1 B a +

(

P

,

,

-t --Q

) + U

+ Q22.~o € = M12.ü

+

( P I 2 +- +

QI2.U

+ 3 22 w 22 o ( 4 . 7 )

De (partikuliere) oplossing van stelsel

( 4 . 6 ) ,

die geen delen van de homoge-

ne (uitdenipende) oplossing bevat zal zijn van de vorm:

iu

t)

u =

R (û.e

e

Bij substitutie in

( 4 . 6 )

kan

+ (

( 4 . 8 )

voor

U

worden afgeleid:

( 4 . 9 )

Om

dit nogal gekompliceerde stelsel te vereenvoudigen maken wij weer gebruik

van

d e

in het vorige hoofdstuk voor het engedempte systeem berekende eigen-

vectoren en eigenwaarden.

(10)

Door de d e f i n i t i e :

-1

A

W = E .u A ( 4 . i o )

; u =

E.%

1

en voorvermenigvuldiging van (4.9) m e t de matrix E v o l g t ( z i e ook hoofdstuk.

3 ) :

( 4 . 1 I )

A

Voeren w i j ter a f k o r t i n g de komplexe clatrix C in, g e d e f i n i e e r d door:

E ) = A

+

i . ~ .

n I

c

=

(I

-

w2n)

+

i(a1

+

UEP

I 1 ( 4 . 1 2 )

dan kan d i t s t e l s e l worden overgevoerd i n :

n

c.w

=

2

w a a r b i j ^r v o l d o e t aan:

? = E i f o

-

( Q 1 2

-

w2>f

12

).U o

-

i(aQ12 + wPl2).Û0} ( 4 . 1 4 ) W e l l i c h t z i j n er rekenprocedures af t e l e i d e n waarmee h e t s t e l s e l komplexe v e r g e l i j k i n g e n ( 4 . 1 3 ) I s op t e lossen. Er i s op d i t moment b i j h e t rekencen- trum

ons dat w i j n i e t h e t neest g e s c h i k t z i j n OE zo'n procedure t e gaan o p s t e l l e n .

Wij z u l l e n ons daarom b i j de bepaling van d e o p l o s s i n g van ( 4 . 1 3 ) ro_oeten r i c h t e n op de op d i t moment beschikbare p r o c e

s t e l s e l s v e r g e l i j k i n g e n w a a r b i j d e optredende grootheden alIeEaaì reëel z i j n . v o o r

C,

w

en F wordt geschreven:

van de

T.F.E.

i n ieder g e v a l n i e t zo'n procedure aanwezig.

zet

L i j k t es voor h e t oplossen van g r o t e

n C = A

+

i . B (A,K reëel)

V

= x

+

i . y 2

F

=

r

I

+

i.r (x,y reeel) (rl,

r2

reëel)

Door s u b s t i t u t i e van ( 4 . 1 5 )

...

(4.17) i n ( 4 . 1 3 ) v o l g t dan:

zodat x

(A

+

iB) (x + i.y) 3

(Ax

-

E.y)+i(Bx

+

AY) = r

1

+

2.r 2

en y z i j n t e berekenen u i t :

-B -A

Door i n v u l l e n van de matrices A en E v o l g t u i t e i n d e l i j k :

I

-

U 2 R

[-@I

-

wE.P

I 1

.E

1

-a1 -

WE.PTI.E

-(I

-

w-24)

]I:]

=

[-Ij

( 4 . 1 3 ) ( 4 . 1 5 )

( 4 . 16)

(4.17) (4. IS) (4.19) (4.20)

(11)

- 9 -

D e i n h e t l i n k e r l i d van d i t s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n optred-ende matrix kan

s i n g u l i e r worden. Indien b i j v . d e m e t de i -eigenfrekwentie-korresponderende

e i g e n t r i l l i n g s v o r m ongedenpt i s (a=0 en a l l e komponenten van d e i -rij en ie-kolom van ;.€'

worden o p g e l o s t a l s d e f r e k w e n t i e van de harmonische e x c i t a t i e , w , g e l i j k i s aan d i e eigenfrekwentie. Op f y s i s c h e gronden i s d l t zonder meer v e r k l a a r - baar, oIodat d e g e s c h e t s t e s i t u a t i e Borrespondeert E e t d e s i t u a t i e d i e o p t r e e d t b i j h e t aanstoten i n d e eigenfrekwentie van een ongedenpt één-massa-veersgs- teem. M e t d e gekozen aanzet ( 4 . 8 ) voor een p a r t i k u l i e r e o p l o s s i n g van de bewegingsvergelijkínngen ( I r . 6) kan dan geen o p l o s s i n g worden hepaald.

I n d i e n d e h i e r v o o r g e s c h e t s t e situatie n i e t o p t r e e d t is, eveneens op £ g s i s c h e gronden, d u i d e l i j k d a t h e t s t e l s e l

regie,

lineaire v e r g e l i j k i n g e n t o t een o p l o s s i n g kan worden gebracht. Eet i s verder d u i d e l i j k dat in s i t u a t i e s d i e

de g e s c h e t s t e s i t u a t i e "benaderen" deze o p l o s s i n g m e t g r o t e v o o r z i c h t i g h e i d gehanteerd z a l moeten worden omdat h e t s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n dan "ill conditioned'c z a l z i j n en afrondingsfouten d e r e s u l t a t e n e s s e n t i e e l kunnen beznvloeden.

b r i j z u l l e n h i e r n i e t ingaan op e n k e l e

-

nogal v o o r de hand liggende

-

ver- f i j n i n g e n d i e kunnen worden Elangebracht i n de rekenprocedures m l g e n s Crout

( z i e RC-informaties) en d i e d e hijzondere struktuur van d e te i n v e r t e r e n r c a t r i x i n rekening brengen.

Indien er a l l e e n maar materiaaldemphg o p t r e e d t z a l

P

g e l i j k z i j p - aan nul, Deze s i t u a t i e t r e e d t

-

E i j benadering

-

op in Bonstrukties, waarin d e elemen-

ten d o o r l a s s e n m e t e l k a a r z i j n uerEonden en waarin geer, andere, s p e c i a a l daarvoor ingebomde cimqen&e elementen optreden. D e v e r g e l i j k i ï g e ï ì ( 4 . 2 0 ;

. e

e

.E g e l i j k aan n u l ) dan kan d i t s t e l s e l . v e r g e l i j k i n g e n n i e t

1 1

9 1

r .

.

rmnen dan een v e e l eenvoudiger vorm zan, n l . : I - w 2 A -a1

*

x

-I-iiil]

[J

=

[-::I

( 4 . 2 1 )

Omdat e l k d e r optredende matrices de vorm h e e f t van een d i a g o n a a l m a t r i x i s d e o p l o s s i n g van d i t s t e l s e l eenvoudig t e bepalen. E r g e l d t :

*

waarin D een

*

D =

diagonaalmatrix i s d i e g e d e f i n i e e r d i s door: {(1+a2)I

-

w2A(2-w2A

$1

( 4 . 2 2 ) ( 4 . 2 3 )

(12)

*

zodat voor de komponenten van

D

kan worden geschreven:

1

.

Sij

.k

D[i,j]

=

(i+a2)

-

2 . ( 3 2

+

( 3 4

i

1

De dimensieloze frekwentie-grootheid

v .

is gedefinieerd door:

1 w

v.

=

-

1 w . 1

(4.24)

(4.25)

(4.26)

Uit (4.22) en (4.25) volgt dat de komponenten van x en y gelijk. zijn aan:

x

[

i

]

= 1

v.')

1

.r

1

[i]

+

a.r2[i]

]

(1-v;2)2 +

a

2

(4.27)

( 4 . 2 8 )

Bij harmonische excitatie

en

energiedissipatie door alléén materiaaldenping

is uit (4.27) en (4.28) zeer eenvoudig de gedwongen beweging af te leiden.

De berekening wordt niet essentieel moeilijker =aar wel véél bewerkelijker

indien ook visceuze demping optreedt. Indien het stelsel lineaire vergelij-

kingen (4.20) een oplossing heeft zal die oplossing van de volgende vorm

zijn:

1x1

=

I

LYJ

(4.29)

waarbij de matrices

C

en D volgen uit de matrices

4%

en

R uit vergelijking

(4.19).

Uit

( 4 . 1 6 ) ,

(4.10)

en

( 4 . 8 )

volgt dan uiteindelijk voor de totale verplaat-

singsvector u(t)

van de konstruktie:

u ( t ) =

E.x.cos(wt)

-

P.y.sin(wt)

=

E

{x.cos(wt)

- y.sin(wt))

( 4 . 3 0 )

De ie-koqonent van

u,

u(;

1,

kan dus worden gegeven door:

( 4 . 3 1 )

e

waarin a[j]

en

@[i]

de amplitude en fasehoek zijn van de j eigentrillings-

vorm. Er geldt:

(4.32)

(13)

-

1 1

-

B i j een a a n t a l beschouwingen i s d e oer p e r i o d e of een d e e l d e r p e r i o d e

g e d i s s i p e e r d e e n e r g i e een i n t e r e s s a n t e g r o o t h e i d . D e per p e r i o d e door v i s c e u z e denping of materiaaldemping a f g e v o e r d e e n e r g i e s t e l l e n w i j p e l i j k aan

A

Voor

A v o l g t u i t ( 4 . 1 ) : d d '

R

"1

[Io]

d(wt)

R22

(4.. 3 4 )

I n d i e n v o o r d e v e c t o r van voorgeschreven (harmonisch veranderende) v e r p l a a t s i n g e n wordt geschreven:

u = x .cos(wt)

-

O O ( 4 . 3 5 )

v o l g t n a e n i g rekenwerk voor A d :

t 1 I ? ? l ?

A

= -.U xER E.x

+

2x R

EX

+

x .R . X +

yER

E

+ 2y

R

E

+ d 2Tr

i"

1 1

o

12

o

22

o

1 1

Y

o

12 y

( 4 . 3 6 )

I n d i e n w i j ons beperken t o t s i t u a t i e s waarin a l l e v o o r g e s c h r e v e n v e r p l a a t s i n g e n n u l z i j n , zodat u = x

-

= O, dan g e l d t :

O O

-

yo

1 1 1 T

A

= -.U Tr {x.ERl ] E . x +

yERI

l E . ~ ]

d 2

Door i n v u l l e n van d e r e s u l t a t e n u i t h e t b e g i n van d i t hoofdstuk v o l g t :

z o d a t A g e l i j k i s aan: d

1 1 I 1

Ad = { a ( i x + ;y)

+

w(x.EP 1 1 E.x

+

y.EP

1 1

E.y)}

( 4 . 3 7 ) ( 4 . 3 8 ) ( 4 . 3 9 ) T r l

2

r . 1

De term -.a(xx

+ yy)

brengt d e t e n g e v o l g e van materiaaldemping g e d i s s i p e e r d e e n e r g i e in rekening t e r w i j l &~rw(x.EP : ?

. .

E.x + y.EP

E.y)

d e d o o r v i s c e u z e demping

1 1

1 1

a f g e v o e r d e e n e r g i e i n rekening b r e n g t .

2

De p e r p e r i o d e a f g e v o e r d e e n e r g i e kan worden u i t g e d r u k t i n d e bekenden r

door d e o p l o s s i n g

(4.29)

voor x en y i n t e v u l l e n . Er v o l g t : en r I 1 .F.r 1 + r5.L

r2

( 4 . 4 0 ) w a a r i n d e matrix

F

i s g e d e f i n i e e r d door:

F

= C.B.C

+

D.B.D ( 4 . 4 1 )

(14)

Indien a l l e e n materiaaldemping o p t r e e d t v o l g t voor F:

*

F

= a.D

*

met

D

v o l g e n s (4.23). B i j u i t s c h r i j v e n v o l g t i n d i t g e v a l : (4.12) (4.43)

U i t d e formules ( 4 . 3 9 ) , (4.40) en (4.41) kan d e per p e r i o d e g e d i s s i p e e r d e e n e r g i e worden bepaald.

Op f y s i s c h e gronden kan p l a u s i b e l worden gemaakt d a t de a a r d van d e optredende demping n i e t e r g i n t e r e s s a n t z a l z i j n voor d e h i e r v o o r gegeven berekening, m i t s d i e demping z e e r k l e i n i s (d.w.z. v e e l k l e i n e r dan d e k r i t i s c h e demping). Een e v e n t u e e l aanwezige v i s c e u z e demping nag dan v o o r d e berekening van de v e c t o r e n x en y worden vervangen door materiaaldemping, m i t s d e per p e r i o d e

de e n e r g i e g e l i j k i s . H e t omgekeerde is u i t e r a a r d ook g e l d i g .

Van deze bewering z a l i n een a a n t a l s i t u a t i e s met v o o r d e e l gebruik kunnen worden gemaakt, b i j v . b i j de a n a l y s e van h e t dynamische gedrag van gereedschapswerk- tuigen.

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Het blijkt lastig te zijn om com- postparameters te vinden die de mate van ziektewering voorspellen voor substraten waarin deze com- post wordt toegepast.. Dit geldt ook voor

Activiteit Aantal verbrede % van het totale bedrijven per activiteit aantal verbreders Agrarisch natuurbeheer 21.550 69 Recreatie 2.540 8 Zorg 370 1 Stalling 3.830

Op die manier wordt de ziekteverspreiding door de stal geminimaliseerd, wordt de overlast in de afge- voerde mest beperkt en blijft de piepschuimkever- populatie beheersbaar met

(iv) Stel, een boodschap van 1000 0en en 1000 1en gaat niet slechts ´e´en keer, maar drie keer over de verbinding voordat de ontvanger hem leest (dus A → B → A → B)?. Zal de

Matrices A en B zijn rij-equivalent alleen maar als ze door het toepassen van rijoperaties in dezelfde rij-echelon vorm kunnen worden

De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire

Een verzameling van twee vectoren { v 1 , v 2 } is lineair afhankelijk dan en slechts dan als tenminste ´ e´ en vector een veelvoud is van de andere.. De verzameling is

De doelstelling van dit onderzoek is het ontwikkelen van een in de praktijk bruikbare richtlijn om primaire waterkeringen, al dan niet voorzien van constructieve elementen, met