Een methode voor de berekening van het dynamisch gedrag
van konstrukties met veel vrijheidsgraden
Citation for published version (APA):
Veldpaus, F. E. (1970). Een methode voor de berekening van het dynamisch gedrag van konstrukties met veel vrijheidsgraden. (DCT rapporten; Vol. 1970.023). Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1970
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at:
openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
VEEL V R I J H E I D SGRADEN
P.E. Veldpôus
NE
70-231.
Inleiding
Bij de statische analyse van een gekompliceerde konstruktie kan gebruik wor-
den genaakt van de eindige elementemethode om een stelsel lineaire, aige-
braïsche vergelijkingen af te leiden waarmee het gedrag van de konstruktie
voor statische problemen kan worden afgeleid.
B i jde dynarilische analyse van
de konstruktie kan van dezelfde methode gebruik worden gemaakt voor het
OPTstellen van een stelsel tweede orde differentiaalvergelijkingen in de varia-
bele
t.Een (eventueel) aanwezige demping kan in rekening worden gebracht.
In dit rapportje zullen wij ons bezig houden net een (voorlopige?) opzet van
een computer-gerichte berekening van het dynamische gedrag. Het opstellen van
de betreffende differentiaalvergelijkingen zal hierbij
-
niet ter sprake komen.
Na een (voor ongedempte systemen algemene) inleiding
in
hoofdstuk
2wordt
in hoofdstuk
3een methode gegeven om de algemene oplossing te bepalen voor
ongedempte systemen. In hoofdstuk
4 wordt een aantal opmerkingen gemakt
met betrekking tot de berekening van de partikuliere oplossing van gedempte
systemen. Hierbij zullen wij
onsbeperken tot visceuze densing en materiaal-
demping (hysterese-demping).
2 .
Algemeen
Bij de toepassing van de eindige elem-entenpethode
worden het dynamische en
statische gedrag van een konstruktie bestudeerd aan
dehand van een diskreet
model van die konstruktie. In de konstruktie worden hierbij een aantal pun-
ten, knooppunten genaamd, aangewezen. De gegeneraliseerde verplaatsingen van
deze knooppunten (deze verplaatsingen kunnen zowel verdraalinpen ais echte
verplaatsicgen zijn) worden gehuikt om het
FroUleemte beschrijven. De
verplaatsingen van een willekeurig punt van de konstruktie worden uitgedrukt
in de verplaatsingen van de knooFpunten.
Wij zullen hier niet ingaan op details van de elementenmethode, maar gebruik
maken van de resultaten ervan. Door toepassing van de methode kan voor kon-
strukties zonder demping een stelsel lineaire, tweede-orde dif
ferentiaalver-
gelijkingen worden afgeleid waarmee het dynamische en statische gedrag van
het diskrete model kan worden beschreven. Hierbij is reeds verondersteld dat
fysische en geometrische niet-lineariteiten geen rol spelen. Het stelsel
vergelijkingen luidt dan:
[:"
II2]*[J
+I"
1 Q122 22 0 1 2 0 2 2
3c
U
waarin gesteld is:.
u
:verplaatsingsvektor die alle niet voorgeschreven verplaatsingen
van alle knooppunten bevat
u
:verplaatsingsvektor die alle voorgeschreven verplaatsingen ongelijk
O
aan nul van alle knooppunten bevat
e
f
:vektor van de bekende belastingsgrootheden. De i..
komponent van f
O O
e
zal korresponderen met de i -komponent van u.
f
:vektor van de onbekende krachtgrootheden die nodig zijn om de voor-
geschreven verplaatsingen ongelijk aan nul te realiseren. De i
-
komponent van f korrespondeert met de i -komponent van u
.
e
e
O : s tij
f
heid smatr
i
ce
s MPIl2, M22
:massamatrices
9 1 1 94129 Q22
Uit de in de elementenrrethode gevolgde werkwijze kan eenvoudig worden aange-
I I ,
o,,,
M I
Ien
14symmetrisch zijn bij de hierboven
22
toond dat de matrices
Qgegeven afspraken voor de vektoren u, u
f en f.
o’ o
Wij zullen steeds veronderstellen dat minstens zoveel
knooppuntsverplaatsiqgeneen voorgeschreven waarde gelijk
ofongelijk aan nul bezitten dat beweging
als star lcchazm van de konstruktie (of een deel daarvan) is verhinderd. Een
beweging als star lichaam wordt hierbij gedefinieerd als een beweging van de
konstruktie
ofeerr deel van de konstruktie waarbij de in de konstruktie
op-gehoopte elastische energie niet verandere.
Deze beperking is niet essentieel maar vereenvoudigt de analyse in Iiqge mate.
Indien aan deze beperking wordt voldaan kan op fysische gronden worden aan-
getoond dat de natrix
Qpositief is,
d.w.z.:1 1
t
u.cII.u
Ovoor alle
-
u
+
0‘;an
deze eigenschap zal veelvuldig gebruik worden gemaakt.
Uit
(2.1)volgt een stelsel inhoEOgene, lineaire, tweede-orde differentiaal-
vergelijkingen voor de onbekende verplaatsingsvector
u:-
..
12’u0
Q12*’0
N i i . Ü+
Q I 1 . U =f
-
M
O
terwijl de onbekende krachtgrootheden volgen uit:
1 1
(2.3)
..
22
O U 03 . D e b e p a l i n g van d e oplossing v o o r ongedempte systemen
D e t o t a l e oplossing van h e t s t e l s e l (2.3) wordt gespLFtst i n een homogene o p l o s s i n g en een p a r t i k u l i e r e oplossing, d i e géén d e e l v a n de hornogene op- l o s s i n g b e v a t . W i j koncentreren ons eerst op d e bepaling v a n d e homogene oplossing, d i e
"h.
genoemd z a l worden. D e v e k t o r u v o l d o e t aan:h
..
K I
.Uh i-QII'%
= 0 (3.1)Zoals bekend mag worden v e r o n d e r s t e l d kan een oplossing v a n d i t s t e l s e l worden gevonden door voor' U t e s t e l l e n : '
- *
h
-
u#) = Uh.C0S(Ut) ( 3 2 )
waardoor ( 3 . I ) kan worden overgevoerd i n :
(-w2M1 + Q ,
,).uh
= O ( 3 .">
U i t de symmetrie van
Y I 1
en Qi s en $ i l 1 semi-positief d e f i n i e t i s kan worden aangetoond d a t a l l e oplossinpen u2, U$,
.
. .
,~2
reëel en p o s i t i e f z i j n . R i e r i n i s E h e t a a n t a l komponentenen u i t h e t gegeven d a t Q p o s i t i e f d e f i n i e t
I I
1 1
-n
-
Uh en Uh' van d e v e c t o r e n u,
M a t a l l e oplossingen U? (i = i , 2 ,
...
n) g r o t e r dan nul z i j n h e e f t h e t s t e l s e l homogene v e r g e l i j k i n g e n (3.3)- t e s c h r i j v e n als:1
D e o p l o s s i n g van d i t eigenwaarde-probleem kan op meerdere manieren bepaald. I n h e t r a p p o r t
WE
TO-"TOELICHTING
BIJ DE tII'E-PRQCEDURESh e t z i n
worden EZGEN- F 7 b D E
PKûBLEEE
EN EIGENBD" wordt een-
i n onze ogen-
g e s c h i k t e , d i r e k t e methode gegeven w a a r b i j ten d e l e rekening kan worden gehouden m e t een even-_-.
t u e l e bandstruktuur van de macrices
'.FL
k o r t e s c h e t s van de gevolgde werkwijze. Voar nadere i n f o r m a t i e wordt verwe- zen naar h e t genoerrde r a p p o r t .
Omdat C!
h e t produkt van een linksonderrriatrix L en de getransponeerde van d i e matrix, zodat:
en Q
I 1
11''
ki~eronckïvoI@
eeii zeer symnetrisch en p o s i t i e f d e f i n i e t i s kan Q worden geschreven a l s1 1
1 1
I =
L.L
Q l 1 ( 3 . 5 )
Omdat d e matrix Q , , n i e t s i n g u l i e r is, i s L u i t e r a a r d ook n i e t - s i n g u l i e r , zodat
L-l
b e s t a a t . Door voorvermenigvuldiging van ( 3 . 4 ) rr-etL
- I v o l g t :M e t de d e f i n i t i e van een v e c t o r door: h
-
gaat
(3.6) over in het klassieke eigenwaarde-probleem:
( A-
xI).vh
= Owaarin de
Aterwijl
x
x
matrix
Avoldoet aan:
I
-1
' - 1 = A =L .M .L
I !I
wordt gegeven door:
1 = - w2
( 3 . 8 )
De berekende eigen(h0ek)frekwenties w.(i
1 = i , 2 ,...
n) worden zodanig genum-
merd dat geldt:
o
4 w 1 d w2<
w3
B...
4 w(3.1
I )n
De bij deze-e3genfrekwenties
behorende eigenvectoren zijn v l ,
v2,
...
vn.
Deze kunnen steeds orthonormaal gekozen worden zodat:
I
v..vj
=Lj
(i,j
=i92,3
*...
n)
;'
i
j
:Kronecker-delta
1
-
Door substitutie van het verband
(3.7)tussen
vh
en %-volgt voor de eigen-
tri
11
ingsvormen u
], U2' "'U n :I I 1
u..L.Lu.
u..Q.u
=1
J
ij
'ij
waarin het verband tussen u.
1en v.
1uiteraard wordt gegeven door:
' - 1u.
=L
'Vi1
( 3 . 1 3 )
( 3 . 1 4 )
De vectoren u l ,
u2,...un zijn de eigenvectoren behorende
b i jhet stelsel
( 3 . 4 ) .Uit (3.4) volgc~
verder:
(3.15)
Ter wille van de overzichtelijkheid worden de eenheidsvectoren (kolomsgewij-
ze) opgeborgen in de matrix
E:( 3 . IS)
Uit (3.13) en (3.15) volgt dan direkt:
I E.QI1.E = I : e e n h e i d s ( d i a g o n a a 1 ) n t r i x
E.K
'
.E
=R
1 1(3.
I ? )(3.18)
Hierin is
A(griekse hoofdletter lambda) een diagonaalmatrix van orde n*n,
waarvan de komponenten gedefinieerd zijn door:
- 5 z
1'
Van de berekende eigenfrekwenties
wl,...,
...
u kan gebruik worden gemaakt
OEhet stelsel differentiaalvergelij
-
u2
nkingen (2.3) in sterke mate
tevereenvoudigen. Hiertoe wordt een transfor-
matie van variabelen toegepast door introduktie van de vector
w(t):en eigentrillingsvormen u
n
w(t) =
E-l.u(t)
;u(t)
=E.w(t)
Deze definitie is zinvol omdat de matrix
Ezeker niet singulier is; er geldt
voor E - ~ :
-1
'
E
=E.Q,,
(3.21)
Door voorvermenigvuldiging van (2.3) net
Een substitutie van u(t) volgens
(3.20) volgt:
(3.22)
Het oorspronkelijke stelsel gekoppelde diff
erentiaalvergelijkingen is door
deze transformatie overgevoerd in n ongekoppelde differentiaalvergelijkingen
Voor de
i
e
-konponent van w, w[il, geldt:
+ wcíl
=Li
{
f
-
ql2.u0-
M
;i
= 1 , 2 ,...,
n(3.23)
O
De bepalkg van de oplossing van deze vergelijking behoeft geen verdere toe-
lichting, omdat alle oplossingstechnieken voor
standaard-één-massa-veer-systemen kunnen worden toegepast.
De oplossing van de verplaatsingsvector
uwordt dan gegeven door:
u
=E.w(t)
(3.24)
e
zodat de i -komponent van
u,u
[
<
]
wordt bepaald
door:(3.25)
~
Bij de hiervoor gegeven berekeningen moeten wij ons wel realiseren dat de
berekeningen betrekking hebben
ophet diskrete model van
d ewerkelijke
kon-struktie. De verplaatsingen van een willekeurig punt van de konstruktie
worden uitgedrukt in de Verplaatsingen van een beperkt aantal knooppunten
door min of neer arbitraire hypothesen te poneren over het verloop van de
verplaatsingen tussen de knooppunten. Dit alles impliceert dat de gegeven
berekening slechts tot benaderingsoplossingen kan leiden. Nu blijkt
datmeestal een groot aantal (vuistregel: ongeveer
-ntot
In)eigenfrekwenties
voor praktische doeleinden voldoende nauwkeurig berekend.
worden als de
hypothesen over het verplaatsingsveld voldoen aan een aantal eisen. Vij zullen
1
niet ingaan op deze eisen;
zie hiervoor bijv. het kollegediktaat van
Prof. J.F. Besselkng (T.H.D.) "Numeriek Spcrnnings- en Trillingsonderzoek"
en de dissertatie van
8.Visser "Finite Elen-ent
Nethod
in Deformation
and Heat Conduction Problen?s"(T.H.D.,
1968).
De hiervoor gelanceerde bewering voor de berekende eigenfrekwenties zal
i.h.a. niet gelden voor de berekende eigentrillingsvormen. Het aantal vol-
doende nauwkeurig bepaalde eigentrillingsvormen zal waarschijnlijk kleiner
zijn dan
-n.De laatste bewering is
zovoorzichtig geformuleerd omdat niet
vaststaat
opgrond van welk kriterium of welke kriteria eer, uits-raak over
de nauwkeurigheid van de berekende eigentrillingsvormen kan worden gedaan.
Eet nadruk wijzen
wij
erop dat het voorgaande een fysische achtergrond
heeft, nl. de hypothesen over het verloop van de verplaatsingen. Het zal
duidelijk zijn
datvoor grote stelsels differentiaalvergelijkingen (n groot)
afrondingsfouten bij de berekening een grote
rol kunnen gaan spelen.
Ookdan blijkt dat de laagste eigenfre
In het kader van deze opmerkingen
kan men zich afvragen wat het nut is van
de gepresenteerde berekeningen. Dit nut blijkt indien wij ons realiseren
dat bij de dynmische analyse van een konstruktie i.h.a. slechts een vrij
beperkt aantal van de laagste eigenfrekwenties en bijbehorende eigentril-
lingsvormen van interesse zijn. Juist deze zullen echter voldoende nauw-
k e m i g worden berekend
a l sn voldoende groot
is.1
3
ties het nauwkeurigste berekend worden
4 .
Systemen net demping
Wij zullen ons in dit hoofdstuk beperken
totde analyse van de gedwongen
beweging van konstrukties met harmonisch variërende belastingvector
fen/of harwonicch variërende vector van voorgeschreven verplaatsingen ongelijk
aan nul,
u.
Het stelsel differentiaalvergelijkingen (2.1) moet dan worden aangevuld met
een term die afhangt van de snelheidsvectoren
Uen
U :O O O
LIl
uO] +[""
t 1 2 ' UR
I 2 2 2 1 2R
2 2R
De matrices R
R
ez R
zijn de dempingsmatrices. Tot nu toe hebben wij
nog geen uitspraak gedaan over de aard van de optredende demping. brij zullen
11' 1 2 2 2
- 7 -
Voor elk der matrices R
(i,j
= 1 , 2 )geldt dan:
ij
I
= p
+
-.I)Rij
ij
ij
( 4 . 2 )waarin de matrices P
P
en P
de visceuze demping karakteriseren ter-
wijl de matrices
4 -3en
-Dvolgens Snowdon de materiaaldenping
1
w 1
22 122w
11'
w 12 u 22l l y D I 2 , D22
zijn onafhankelijk van
w.11'
P t 2 ' p22 enkarakteriseren.
PVolgens Snowdon geldt bovendien:
Dij
-
- ".Qij(i,j
= 1 , 2 ) ( 4 . 3 )waarin
aeen materiaalkonstante
i s .De grootheid w is de hoekfrekwentie van de harmonisch variërende belasting-
en verplaatsingsvector.
Wij
veronderstellen dat
€en
ugeschreven zijn in
de v o m :
O oiwt)
f
=R
(3
.e
ee
o
iwt)
ú = i: (U.e
oe
o
( 4 4 ) ( 4 5 )Het
symbool Aboven een grootheid geeft aan dat de betreffende grootheid
kompiex
kan zijn.
Uit
( 4 . 1 )kan een stelsel differentiaalvergelijkingen worden afgeleid voor
de onbekende verplaatsingsvector
u(t) :..
s.M I I * U +
( P I i
+ -.Q ).& + QII.U =f
O-
Yl2.U0-
( P r 2 +-31z)lio
-
QI2'U0
w1 1
( 4 * 6 )
terwijl de krachtvector
f,
na de berekening van
u ( t ) ,kan worden berekend
uit:
1 1..
a
1 B a +(
P
,
,
-t --Q) + U
+ Q22.~o € = M12.ü+
( P I 2 +- +QI2.U
+ 3 22 w 22 o ( 4 . 7 )De (partikuliere) oplossing van stelsel
( 4 . 6 ) ,die geen delen van de homoge-
ne (uitdenipende) oplossing bevat zal zijn van de vorm:
iu
t)u =
R (û.e
e
Bij substitutie in
( 4 . 6 )kan
+ (
( 4 . 8 )
voor
Uworden afgeleid:
( 4 . 9 )
Om
dit nogal gekompliceerde stelsel te vereenvoudigen maken wij weer gebruik
van
d ein het vorige hoofdstuk voor het engedempte systeem berekende eigen-
vectoren en eigenwaarden.
Door de d e f i n i t i e :
-1
AW = E .u A ( 4 . i o )
; u =
E.%
1
en voorvermenigvuldiging van (4.9) m e t de matrix E v o l g t ( z i e ook hoofdstuk.
3 ) :
( 4 . 1 I )
A
Voeren w i j ter a f k o r t i n g de komplexe clatrix C in, g e d e f i n i e e r d door:
E ) = A
+
i . ~ .n I
c
=(I
-
w2n)
+i(a1
+
UEPI 1 ( 4 . 1 2 )
dan kan d i t s t e l s e l worden overgevoerd i n :
n
c.w
=2
w a a r b i j ^r v o l d o e t aan:
? = E i f o
-
( Q 1 2-
w2>f12
).U o-
i(aQ12 + wPl2).Û0} ( 4 . 1 4 ) W e l l i c h t z i j n er rekenprocedures af t e l e i d e n waarmee h e t s t e l s e l komplexe v e r g e l i j k i n g e n ( 4 . 1 3 ) I s op t e lossen. Er i s op d i t moment b i j h e t rekencen- trumons dat w i j n i e t h e t neest g e s c h i k t z i j n OE zo'n procedure t e gaan o p s t e l l e n .
Wij z u l l e n ons daarom b i j de bepaling van d e o p l o s s i n g van ( 4 . 1 3 ) ro_oeten r i c h t e n op de op d i t moment beschikbare p r o c e
s t e l s e l s v e r g e l i j k i n g e n w a a r b i j d e optredende grootheden alIeEaaì reëel z i j n . v o o r
C,
w
en F wordt geschreven:van de
T.F.E.
i n ieder g e v a l n i e t zo'n procedure aanwezig.zet
L i j k t es voor h e t oplossen van g r o t en C = A
+
i . B (A,K reëel)V
= x+
i . y 2F
=r
I+
i.r (x,y reeel) (rl,r2
reëel)Door s u b s t i t u t i e van ( 4 . 1 5 )
...
(4.17) i n ( 4 . 1 3 ) v o l g t dan:zodat x
(A
+
iB) (x + i.y) 3(Ax
-
E.y)+i(Bx+
AY) = r1
+
2.r 2
en y z i j n t e berekenen u i t :
-B -A
Door i n v u l l e n van de matrices A en E v o l g t u i t e i n d e l i j k :
I
-
U 2 R[-@I
-
wE.P
I 1.E
1
-a1 -
WE.PTI.E-(I
-
w-24)
]I:]
=[-Ij
( 4 . 1 3 ) ( 4 . 1 5 )
( 4 . 16)
(4.17) (4. IS) (4.19) (4.20)- 9 -
D e i n h e t l i n k e r l i d van d i t s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n optred-ende matrix kan
s i n g u l i e r worden. Indien b i j v . d e m e t de i -eigenfrekwentie-korresponderende
e i g e n t r i l l i n g s v o r m ongedenpt i s (a=0 en a l l e komponenten van d e i -rij en ie-kolom van ;.€'
worden o p g e l o s t a l s d e f r e k w e n t i e van de harmonische e x c i t a t i e , w , g e l i j k i s aan d i e eigenfrekwentie. Op f y s i s c h e gronden i s d l t zonder meer v e r k l a a r - baar, oIodat d e g e s c h e t s t e s i t u a t i e Borrespondeert E e t d e s i t u a t i e d i e o p t r e e d t b i j h e t aanstoten i n d e eigenfrekwentie van een ongedenpt één-massa-veersgs- teem. M e t d e gekozen aanzet ( 4 . 8 ) voor een p a r t i k u l i e r e o p l o s s i n g van de bewegingsvergelijkínngen ( I r . 6) kan dan geen o p l o s s i n g worden hepaald.
I n d i e n d e h i e r v o o r g e s c h e t s t e situatie n i e t o p t r e e d t is, eveneens op £ g s i s c h e gronden, d u i d e l i j k d a t h e t s t e l s e l
regie,
lineaire v e r g e l i j k i n g e n t o t een o p l o s s i n g kan worden gebracht. Eet i s verder d u i d e l i j k dat in s i t u a t i e s d i ede g e s c h e t s t e s i t u a t i e "benaderen" deze o p l o s s i n g m e t g r o t e v o o r z i c h t i g h e i d gehanteerd z a l moeten worden omdat h e t s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n dan "ill conditioned'c z a l z i j n en afrondingsfouten d e r e s u l t a t e n e s s e n t i e e l kunnen beznvloeden.
b r i j z u l l e n h i e r n i e t ingaan op e n k e l e
-
nogal v o o r de hand liggende-
ver- f i j n i n g e n d i e kunnen worden Elangebracht i n de rekenprocedures m l g e n s Crout( z i e RC-informaties) en d i e d e hijzondere struktuur van d e te i n v e r t e r e n r c a t r i x i n rekening brengen.
Indien er a l l e e n maar materiaaldemphg o p t r e e d t z a l
P
g e l i j k z i j p - aan nul, Deze s i t u a t i e t r e e d t-
E i j benadering-
op in Bonstrukties, waarin d e elemen-ten d o o r l a s s e n m e t e l k a a r z i j n uerEonden en waarin geer, andere, s p e c i a a l daarvoor ingebomde cimqen&e elementen optreden. D e v e r g e l i j k i ï g e ï ì ( 4 . 2 0 ;
. e
e
.E g e l i j k aan n u l ) dan kan d i t s t e l s e l . v e r g e l i j k i n g e n n i e t
1 1
9 1
r .
.
rmnen dan een v e e l eenvoudiger vorm zan, n l . : I - w 2 A -a1
*
x-I-iiil]
[J
=[-::I
( 4 . 2 1 )
Omdat e l k d e r optredende matrices de vorm h e e f t van een d i a g o n a a l m a t r i x i s d e o p l o s s i n g van d i t s t e l s e l eenvoudig t e bepalen. E r g e l d t :
*
waarin D een*
D =
diagonaalmatrix i s d i e g e d e f i n i e e r d i s door: {(1+a2)I-
w2A(2-w2A$1
( 4 . 2 2 ) ( 4 . 2 3 )*
zodat voor de komponenten van
Dkan worden geschreven:
1
.
Sij
.k
D[i,j]
=(i+a2)
-
2 . ( 3 2
+
( 3 4i
1De dimensieloze frekwentie-grootheid
v .is gedefinieerd door:
1 w
v.
=-
1 w . 1(4.24)
(4.25)
(4.26)
Uit (4.22) en (4.25) volgt dat de komponenten van x en y gelijk. zijn aan:
x
[
i
]
= 1v.')
1.r
1[i]
+a.r2[i]
]
(1-v;2)2 +
a
2(4.27)
( 4 . 2 8 )
Bij harmonische excitatie
enenergiedissipatie door alléén materiaaldenping
is uit (4.27) en (4.28) zeer eenvoudig de gedwongen beweging af te leiden.
De berekening wordt niet essentieel moeilijker =aar wel véél bewerkelijker
indien ook visceuze demping optreedt. Indien het stelsel lineaire vergelij-
kingen (4.20) een oplossing heeft zal die oplossing van de volgende vorm
zijn:
1x1
=I
LYJ
(4.29)
waarbij de matrices
Cen D volgen uit de matrices
4%en
R uit vergelijking
(4.19).
Uit
( 4 . 1 6 ) ,(4.10)
en
( 4 . 8 )volgt dan uiteindelijk voor de totale verplaat-
singsvector u(t)
van de konstruktie:
u ( t ) =
E.x.cos(wt)
-
P.y.sin(wt)
=E
{x.cos(wt)
- y.sin(wt))
( 4 . 3 0 )De ie-koqonent van
u,u(;
1,
kan dus worden gegeven door:
( 4 . 3 1 )
e
waarin a[j]
en
@[i]
de amplitude en fasehoek zijn van de j eigentrillings-
vorm. Er geldt:
(4.32)
-
1 1
-
B i j een a a n t a l beschouwingen i s d e oer p e r i o d e of een d e e l d e r p e r i o d e
g e d i s s i p e e r d e e n e r g i e een i n t e r e s s a n t e g r o o t h e i d . D e per p e r i o d e door v i s c e u z e denping of materiaaldemping a f g e v o e r d e e n e r g i e s t e l l e n w i j p e l i j k aan
A
VoorA v o l g t u i t ( 4 . 1 ) : d d '
R
"1
[Io]
d(wt)R22
(4.. 3 4 )
I n d i e n v o o r d e v e c t o r van voorgeschreven (harmonisch veranderende) v e r p l a a t s i n g e n wordt geschreven:
u = x .cos(wt)
-
O O ( 4 . 3 5 )
v o l g t n a e n i g rekenwerk voor A d :
t 1 I ? ? l ?
A
= -.U xER E.x+
2x R
EX+
x .R . X +yER
E+ 2y
RE
+ d 2Tri"
1 1
o12
o22
o1 1
Y
o12 y
( 4 . 3 6 )
I n d i e n w i j ons beperken t o t s i t u a t i e s waarin a l l e v o o r g e s c h r e v e n v e r p l a a t s i n g e n n u l z i j n , zodat u = x
-
= O, dan g e l d t :O O
-
yo1 1 1 T
A
= -.U Tr {x.ERl ] E . x +yERI
l E . ~ ]
d 2
Door i n v u l l e n van d e r e s u l t a t e n u i t h e t b e g i n van d i t hoofdstuk v o l g t :
z o d a t A g e l i j k i s aan: d
1 1 I 1
Ad = { a ( i x + ;y)
+
w(x.EP 1 1 E.x+
y.EP1 1
E.y)}
( 4 . 3 7 ) ( 4 . 3 8 ) ( 4 . 3 9 ) T r l
2
r . 1De term -.a(xx
+ yy)
brengt d e t e n g e v o l g e van materiaaldemping g e d i s s i p e e r d e e n e r g i e in rekening t e r w i j l &~rw(x.EP : ?. .
E.x + y.EP
E.y)
d e d o o r v i s c e u z e demping1 1
1 1
a f g e v o e r d e e n e r g i e i n rekening b r e n g t .
2
De p e r p e r i o d e a f g e v o e r d e e n e r g i e kan worden u i t g e d r u k t i n d e bekenden rdoor d e o p l o s s i n g
(4.29)
voor x en y i n t e v u l l e n . Er v o l g t : en r I 1 .F.r 1 + r5.Lr2
( 4 . 4 0 ) w a a r i n d e matrixF
i s g e d e f i n i e e r d door:F
= C.B.C+
D.B.D ( 4 . 4 1 )Indien a l l e e n materiaaldemping o p t r e e d t v o l g t voor F:
*
F
= a.D*
metD
v o l g e n s (4.23). B i j u i t s c h r i j v e n v o l g t i n d i t g e v a l : (4.12) (4.43)U i t d e formules ( 4 . 3 9 ) , (4.40) en (4.41) kan d e per p e r i o d e g e d i s s i p e e r d e e n e r g i e worden bepaald.
Op f y s i s c h e gronden kan p l a u s i b e l worden gemaakt d a t de a a r d van d e optredende demping n i e t e r g i n t e r e s s a n t z a l z i j n voor d e h i e r v o o r gegeven berekening, m i t s d i e demping z e e r k l e i n i s (d.w.z. v e e l k l e i n e r dan d e k r i t i s c h e demping). Een e v e n t u e e l aanwezige v i s c e u z e demping nag dan v o o r d e berekening van de v e c t o r e n x en y worden vervangen door materiaaldemping, m i t s d e per p e r i o d e
de e n e r g i e g e l i j k i s . H e t omgekeerde is u i t e r a a r d ook g e l d i g .
Van deze bewering z a l i n een a a n t a l s i t u a t i e s met v o o r d e e l gebruik kunnen worden gemaakt, b i j v . b i j de a n a l y s e van h e t dynamische gedrag van gereedschapswerk- tuigen.