Hoofdstuk 6: Oppervlakte en inhoud

(1)

Hoofdstuk 6:

Oppervlakte en inhoud.

V_1.

a. De diagonaal van de hele puzzel is 12 2 . De zijde van het vierkant is dan 1

412 2 3 2 . De oppervlakte van het vierkant is 3 2 3 2 18  ; dat is het 18 1

1448 deel van de hele puzzel. b. De driehoek rechtsboven en het parallellogram.

c. De oppervlakte van de grote driehoeken is 1

4144 36 cm2 en de oppervlakte van de twee kleinste driehoeken is 9 cm2_.

d. De rechthoekszijden van de grote driehoeken zijn 6 2cm, van de middelste driehoek 6 cm en van de kleinste driehoeken 3 2cm. De zijden van het parallellogram zijn 6 bij 3 2cm.

e. 1

2 6 3 9

rode driehoek

Opp     en Oppparallellogram   6 3 18

V_2.

a. De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

b. 1 1

2 2 6 4 12

vlieger

Opp  AC BD     cm2_.

c. Dan is de oppervlakte ook 12 cm2_.

V_3. a. 1 1 1 7 1 6 6 4 12 4 ( ) 9 9 5 wit Opp           b. 7 1 12 6 32 Omtrek     

c. Bovenste driehoek is een gelijkzijdige driehoek met zijde 3. De hoogte van die driehoek is 1

2

1 3. Dus de oppervlakte is 1 1 1 2 3 12 3 2 4 3. De oppervlakte van de onderste driehoek is 1 1

2  3 3 42 .

V_4.

a.

b. De diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar. 2 2 6 5 11 10 11 33,17 ABCD BM Opp       c. ₆2 _4,52 _15,75 _{9 15,75 35,72} ABCD BM    Opp    2 2 6 5,5 5,75 _ABCD 11 5,75 26,38 BM    Opp   

d. Nee. Als AC groter wordt, wordt de oppervlakte juist kleiner; de ruit wordt steeds dunner.

V_5. a. PQ en RM lopen evenwijdig. b. _PQ__12, _RM __6, _QR__{6 2} _{en PM} _ ₆2__{(6 2)}2 __{6 3} 1 2 6 6 2 6 6 2 54 2 PQRM Opp      

(2)

V_6.

a. De hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijde 8 is 4 3. 1

2 8 4 3 16 3

ABT

Opp     cm2_.

b. AC 8 2

c. _AT2__TC2 _ _AC2_{. De zijden voldoen aan de stelling van Pythagoras, dus}__ATC_₉₀o_.

d. _h_ _AT2__AM2 _ ₈2__{(4 2)}2 __{4 2}

e. De straal van deze cirkel is 4. Omtrek 2 4 8 f. De straal van deze cirkel is 4 2. 2

(4 2) 32

Opp   

1.

a. I  8 12,5 12 1200  cm3_. b. De inhoud is hetzelfde gebleven.

2. a. _AC _ ₅2_₄2 _₃ 1 2 3 4 6 ABC Opp     b. IABC DEF.   6 3 18 3. a. _h_ ₃2_₂2 _ ₅ _b. . 6 5 ABC DEF I   4. a. _I _{  }_ _{5 10 250}2 _ _ b. _{4 8 128}2 middelste I      en _{3 6 54}2 rechter I     

(3)

5. a. 1 1 2 2 4 2 2 2 AS  AC   _ES _ ₄2__{(2 2)}2 __{2 2} b. I   4 4 2 2 32 2 6. a. d120 d2 0,80 20 16  d3 0,80 16 12,8  b. I1   10 4 4002   2 2 8 4 256 I      2 3 6, 4 4 163,84 I      c. 256 400 0,64 en 163,84256 0,64 

  ; de inhoud neemt steeds met 36% af.

7.

a. ABCD.H en BCGF.H

b. De drie piramiden hebben een zijvlak als grondvlak en een ribbe als hoogte. c. I_kubus    4 4 4 64, dus de inhoud van één piramide is 64 1

3 213 d.

-e. De piramiden hebben hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte (de hoogte staat loodrecht op het grondvlak) en dus ook dezelfde inhoud.

8.

a. De diagonaal van het grondvlak is 36 2 m. lengte opstaande ribbe: 2 2

(18 2) 22 33,65m. b. hoogte opstaand vlak: 2 2

18 22 28, 43m. Totale glasoppervlak: 1 2 4  36 28, 43 2046,62 m2_. c. 1 2 3 36 22 9504 I     m3_. 9. a. _{5 8 200}2 cilinder I      en 1 5 2 3 5 8 663 kegel I       b. 1 3 kegel cilinder I  I , dus 1 3 33 %. 10.

a. BGF.M is een piramide met grondvlak BGF en hoogte FM: 1 1

. 3 2 3 4 3 6

BGF M

I      

b. VBGM is een gelijkbenige driehoek met BM 3 2 en _{BG MG}_ _ ₃2_₄2 _₅_. De hoogte van deze driehoek is 2 1 2 1

2 2 5 (1 2)  20 4,53 1 2 3 2 4,53 9, 60 BGM Opp     c. 1 . 3 9, 60 ( , ) 6 BGM F I   d BGM F  6 3 9,60 ( , ) 1,87 d BGM F _  _

(4)

11. a. b. 1 2 20 10 10 1000 prisma I      _en 1 1 1 3 2 20 10 10 3333 piramide I      

De totale inhoud dat is weggelaten is ongeveer 1333 cm3_. c. I_blok 40 30 20 1333 22667    cm3_. 12. a. 2 2 1 10 5 5 3 r    b. 2 2 2 10 4 84 r    c. Icilinder1  (5 3) 1 752   235,6 en Icilinder2   ( 84) 1 842   263,9 13. a.

b. totale inhoud binnenste cilinders: 1932,1 c. totale inhoud buitenste cilinders: 2246,2 d. Het gemiddelde is: 2089,2

e. 1 4 3 2 3 10 2094, 4 halve bol I     14. a. 4 3 2 3 2 103 33,51 bal I      cm3_en ₄ ₂2 ₁₆ _{50, 27} bal Opp      cm2_.

b. Er kan maar één laag balletjes in de doos; 5 in de lengte en 4 in de breedte: 20 balletjes. c. I_doos20 16 4 1280   cm3_en 20balletjes 20 33,51 670, 21 I    _cm3_. nummer van het plakje 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 straal van de buitenste cilinder 19 6 51 8 75 84 91 96 99 10 straal van de binnenste cilinder 0 19 6 51 8 75 84 91 96 99 inhoud van de binnenste cilinder 0 59,7 113,1 160,2 201,1 235,6 263,9 285,9 301,6 311,0

(5)

De inhoud van de 20 balletjes is 670,21₁₂₈₀ 52, 4% van de inhoud van de doos. 15. 2 r 40000 2 6 2 6366 0,30 4 6366 153 10 land r km Opp  km      

(6)

16.

a. In een cilinder en een halve bol. b.

c. I_cilinder   0,7 1,1 1,692  m3_en 1 4 3

2 3 0,7 0,72

halve bol

I     m3

De inhoud van de glasbak is ongeveer 2,41 m3_. d. _Opp_₂___{0,7 4}_ ___0,72 __10,6_m2_.

Daarvoor is 10,6₈ 0,75 1 liter verf nodig.

17. 4 3 3r 500 1 3 3 500 3 4 119, 4 119, 4 4,92 r r      2 4 4,92 305 Opp   m2_. 18. a. _r3 _₁ _b. 4 3 3r 1 2 1 6 1 1 6 r Opp cm      3 3 4 0,62 r r    2 4 0,62 4,84 Opp   cm2

De oppervlakte wordt dan 6 4,84₆ 100% 19, 4% kleiner.

19.

a. Omtrek 2 5 10 31, 4cm.

b. De uitslag van de mantel is een rechthoek van 31,4 cm bij 11,2 cm c. De oppervlakte van de cilindermantel is 31, 4 11, 2 352  cm2_.

20.

a. 1 2

2 20 200

mantel halve cirkel

Opp Opp      cm2_.

b. Omtrek_grondcirkel Omtrek_{halve cirkel}  1₂ 220 20  cm.

2 20 10 grondcirkel grondcirkel r r cm     c. AT 20 en MT 15. 2 2 20 15 5 7 13, 23 grondcirkel r     en Omtrek_grondcirkel 25 7 10  7 83,12 cm. d. Ongeveer het 10 7

2 20  0, 66-ste deel van de cirkel wordt gebruikt. 2

0, 66 20 831, 2

kegelmantel

(7)

21.

a. De straal van de uitslag is ₁₀2_₄2 _ _{116 10,77}_ De omtrek van de grondcirkel is 2 4 8 cm. De uitslag van de kegelmantel is het ₂_{ }8₁₁₆ 0,37-ste deel van de hele cirkel. De hoek van de uitslag van de kegelmantel is 0,37 360 o133,7o

b. Oppkegelmantel 0,37  116 135,34 cm2. c. 225o_{is het}225 5

360 8-ste deel van de cirkel. De omtrek van de grondcirkel van de kegel is

5

82 12 15   . De straal van de grondcirkel van de kegel is dan r152 712 en de hoogte

2 1 2 3

2 4

12 (7 ) 87

h   .

De inhoud van de kegel: 1 1 2 3 3 (7 )2 874 552 I      cm3_. 22. a. Opp  2  (3, 6 0,01) 223,6 0, 01 2, 2 0, 01 0, 01312    mm2_. b. Opp4schijfjes   2  (3, 6 0,01) 223,6 0, 01 8,8 0, 01 0,02805    mm2. c. 4 0,01312 0,02805 _{4 0,01312}_  100% 46,6% minder zuurstof. 23. a. 1 2 3 5 12 100 kegel I       en 1 2 3 2 5 6 100 dubbele kegel I        b. 10 2 26 13 65 kegel Opp  _    en 10₂ ₂ 2 2 2 2 6 5 2 ( 6 5 ) 78,1 dubbele kegel Opp            24. a. KL NM 7,5 en NK LM 10. b. met 4.

c. OppABCD 30 40 1200  en OppKLMN 7,5 10 75  d. OppABCD 16OppKLMN

e. IABCD G.  13 1200 60 24000  en IKLMN G.   13 75 15 375 De inhoud van piramide ABCD.G is 64 keer zo groot als de inhoud van piramide KLMN.G.

25.

a. De inhoud is 729 keer zo groot; dan is de zijde 1 3

729 9 keer zo groot.

b. De oppervlakte van de grote kubus is 81 keer zo groot. Voor de kleine kubus is dan 0,18

(8)

26. zijden: 5 : 7 : 9

Oppervlakte: 25 : 49 : 81 Opp_middelste  49₂₅ 44 86, 24 en Opp_grootste  81₂₅ 44 142,56

Inhoud: 125 : 343: 729 I_middelste 343₁₂₅20 54,88 en I_grootste ₁₂₅72920 116,64

27.

a. De straal van de grondcirkel van de bovenste kegel is twee keer zo klein. De inhoud is dus 3

2 8 keer zo klein. Het 1₈ deel van de kegel zit in de bovenste helft.

b. Voor het leeglopen van 1₈ deel van de kegel is 15 seconden nodig. De zandloper loopt dus helemaal leeg in 8 15 120  seconden.

28.

a. I_vaas    1₃ 12 12 28 1344 cm3_.

b. De hoogte van de piramide is 28 cm. Er wordt 7 cm weggelaten, dat is het 1₄ deel. De ribben van de piramide zijn dus ook 25% korter.

c. De ribben verhouden zich als 4:3 en de inhoud als 64:27. De inhoud van de kleinere vaas is dan 27641344 567 cm3.

d. Ivaas114 14 30 1344 4536    cm3. Het gewicht van deze vaas is: 4,536 400 1814, 4  g

2 14 14 23 576 3941

vaas

I      cm3_{. Het gewicht van deze vaas is:}_{3,941 400 1576, 4}  _g

29.

a. Als de lengte 4 keer zo groot is, dan is de inhoud ₄3 _₆₄_{keer zo groot. De tijger weegt dan} ongeveer 288 kg.

b. De oppervlakte is ₄2 _₁₆_{keer zo groot: De vacht van de tijger is ongeveer}_{16 16 240}_ _ _dm2 c. De warmteafgifte moet even groot zijn als de warmte productie. Een dier dat k keer zo groot is geeft k2_{keer zo veel warmte af en produceert k}3_{keer zo veel warmte. Hij moet dus minder} eten. Een kleiner dier heeft dus meer voedsel nodig.

d. De tijger is 64 keer zo zwaar als de kat. De draagkracht van de poten moet dus ook 64 keer zo groot zijn. De oppervlakte van de poten is slechts 16 keer zo groot. De tijger moet dus ook dikkeren poten hebben.

30.

a. De lengte van de vader is 2 keer zo groot. Het volume van de vader is dan 8 keer zo groot. Het volume van Boy moet met 8 vermenigvuldigd worden.

b. Henk zou 8 16 128  kg moeten zijn. c. -31. a. MC MD 9 (straal) _CD_{ }₂ ₉2_₆2 __{6 5} b. 1 2 6 5 6 18 5 40, 25 MCD Opp      cm2_. c. 18 6 5 2 (18 ( )) 6 94, 25 ABCD Opp      cm2_.

(9)

32.

a. BE en DF staan loodrecht op het grondvlak, dus B en E hebben dezelfde afstand tot ADF.

b. ABD is een gelijkzijdige driehoek: d B AD( , ) 3 3 (zie de voorkennis).

c. 1 1 . 3 2 6 6 3 3 18 3 ADF E I       d. 1 1 . 3 2 6 3 3 3 9 3 ABD E I       e. 1 1 . 3 (6 3 2 6 3) 3 3 27 3 BDFE A I        

f. IBDFE C. IBDFE A. 27 3 Dus de inhoud van het hele lichaam is 54 3.

33. a. A M_{E N}'_'  MT_NT 4,5 6 2,5 4,5 2,5(6 ) 15 2,5 2 15 7,5 h h h h h h h        

De hoogte van de piramide is 13,5 cm. b. IABCD T.    13 9 9 13,5 364,5 cm3.

c. IABCD EFGH. 364,5   13 5 5 7,5 302 cm3. d. Nee.

34.

a. Er zijn 48 driehoeken.

b. AE is de lichaamsdiagonaal van een kubus met ribbe 4. M is het midden van AE.

1

2 4 3 2 3

AM   

c. De driehoekjes zijn gelijkbenig met basis 4 en twee gelijke benen van 2 3 cm.

d. e. MN 4 en FE4 2 1 2 4 4 2 8 2 FMEN Opp    

f. Bij elk van de acht hoekpunten van de kubus liggen drie van zulke piramiden. Dus er zijn 24 piramiden.

g. 3 1 2

3

8 24 4 2 256

trickstar

(10)

T_1.

a. De straal van de grondcirkel is 2. I_cilinder    2 10 402   cm3_. b. IAPHD BQGC. IbalkIPEH QFG.        4 4 10 12 3 4 4 136 cm3. c. Dan moet van APHD.BQGC nog een prisma er af gehaald worden.

1

. 136 2 3 4 4 112

APQB RHGS

I       cm3_.

T_2.

a. Neem de afmetingen in dm: I_cilinder   1,5 3,9 27,62  dm3_(liter). b. c. 10_h ₆15__h 2 2 1 1 3 3 15 10(6 ) 60 10 5 60 12 1,5 1,8 1,0 1, 2 3,0 midden h h h h h cm I   liter                d. I_melkbus 27, 6 3, 0   1,0 0,9 33, 42  liter. T_3.

a. De straal is 10 cm. De lengte van de paal zonder halve bol is 230 cm.

2 1 4 3

2 3

10 230 10 74.351

paal

I        cm3_.

Het gewicht van de paal is ongeveer 0,074 2200 163,6  kg.

b. 1 2

2

2 10 130 4 10 8796

paal

Opp        cm2_.

Voor 25 palen is er 25 0,8796 ₈ 2,75 liter verf nodig.

T_4.

a. Het lichaam ABC.DEF bestaat uit een prisma met grondvlak ABC en hoogte 2 en een piramide met een grondvlak van dezelfde vorm en hoogte 4.

1 1 1 2 12 5 2 3 2 12 5 4 100 I           b. 1 2 3 12 6 288 kegel I      

c. De straal van de uitslag van de kegelmantel is ₁₂2_₆2 _ _{180 6 5}_ _{. De omtrek van de} grondcirkel van de kegel is 2 12 24   . Dat is het ₂_{ }24₁₈₀ 0,89-ste deel van de omtrek van de uitslag. De oppervlakte van de uitslag van de kegelmantel is 0,89  ( 180)2 506

T_5.

a. I_I      1 1_{3 2} 6 6 6 36

b. De zijden van de grote piramide (I en II samen) zijn 2 keer zo groot als de kleine piramide (I). De inhoud van de grote piramide is dus ₂3_₈_{keer zo groot.}

c. I_II  8 36 36 252  I_V

De delen III en IV zijn ook gelijk. 12 8 36 23

2 576

III IV

(11)

T_6.

a. De zijde van het vierkant is 6 2: Opp_vierkant (6 2)2 72 cm2_. b. De zijde van de gelijkzijdige driehoek is 6 2: 1

2 6 2 3 6 18 3

driehoek

Opp     cm2_.

c. Opp_{kubo octaeder}_  6 72 8 18 3 432 144 3    cm2_.

d. 3 1 1 3 2 12 8 6 6 6 1440 cubo octaeder I _         cm3_. T_7. a. _BK _ ₆2__0,52 _ _{36, 25}__HL_en_KH _ ₄2__4,52 _ _{36, 25}__LB b. _KL_ ₆2_₄2_₄2 _ ₆₈_en_BH _ ₆2_₄2_₅2 _ ₇₇ c. BKHL is een ruit. d. 1 2 68 77 36,18 BKHL Opp     cm2_.

e. De straal van deze cirkel is 1 2 2

2 4 6  13. 2

( 13) 13

Opp    en Omtrek2 13

T_8.

a. Neem aan dat de kubus een ribbe heeft van 1. 3 4 3 3 3 4 1 0,62 r r r       2 6 1 1 6 4 0,62 4,84 kubus bol Opp Opp        

De oppervlakte van de kubus is dus groter.

b. De straal van de uitslag wordt _r2__{(2 )}_h 2 _ _r2_₄_h2 De omtrek van de grondcirkel blijft 2r