Het toepassen van versnellingsopnemers voor het bepalen
van de versnelling en de positie van een star lichaam
Citation for published version (APA):
van Hoogstraten, P. A. A. (1987). Het toepassen van versnellingsopnemers voor het bepalen van de versnelling en de positie van een star lichaam. (DCT rapporten; Vol. 1987.017). Technische Universiteit Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987
Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl
providing details and we will investigate your claim.
Wet toepassen van versnellingsopnemers
voor hef: bepalen van de versnelling en
de positie van een s t a r lichaam
P.A.A. van Hoogstraten
Verslag van stage 4K815
februari 1987
begeleiding:
dr.ir.A.A.H.J.Sauren ir.L.J.N.C.Dortmans
Uitgaande van een artikel van Padgaonkar ( 4 9 7 5 ) is een tweetal methoden geformuleerd om de versnelling van een star lichaam te bepalen met behulp van een aantal (lineaire) versnellingsopnemers.
De eerste methode maakt gebruik van zes, volgens een bepaalde geometrie geplaatste, opnemers en resulteert in een zestal vergelijkingen; drie algebraïsche vergelijkingen en drie differentiaalvergelijkingen. De tweede methode is een uitbereiding hiervan. Door het toevoegen van nog drie
opnemers kunnen de drie differentiaalvergelijkingen worden omgezet in drie aigebrakche vergelijkingen. Dit biedt grote voordelen wat betreft de
oplosbaarheid van het door meetfouten verstoorde proces en heeft een gunstige invloed op de verwerkingssnelheid van de meetresultaten.
Het bepalen van de positie op grond van de behandelde methoden voor het bepalen van de versnelling blijkt vrijwel onmogelijk. In het
oploscingsprsces zullen namelijk strijdigheden ontstaan als gevolg van allerlei onvermijdelijke toevallige en systematische meetfouten.
Daarom is een minimaliseringsformulering opgezet die deze problemen kan omzeilen. Deze formulering leidt echter tot een vierde orde niet-lineaire
tensor-differentiaalvergelijk~ng en deze vergelijking is moeilijk oplosbaar. Met enige voorzichtigheid kan worden geconcludeerd dat versnellings-
opnemers, zoals verwachtf geschikt zijn voor het bepalen van de versnelling van een star lichaam, maar dat voor het bepalen van de positie beter naar een andere methode kan worden gezocht.
[I] Veldpaus,F.E. (1982)
Tensoren. Enige onderwerpen uit de tensorrekening
vakgroep Technische Mechanica, afdeling der Werktuigbouwkunde Technische Hogeschool Eindhoven
[2] So1,E.J. (1983)
Kinematics and Dynamics o f Multibody Systems
Proefschrift, afdeling Fundamentele Werktuigbouwkunde Technische Hogeschool Eindhoven
[3] Hayes,W.C. (e.a. 1 (1983)
Leg Motion Analysis During Gait by Multiaxial Accelerometry: Theoretical Foundations and Preliminary Validations
Journal of Biomechanical Engineering, ~09.105, augustus 1983
pp.283-289
[ 4 ] Mital,N.K.(e.a.) (1983)
Computation of Rigid-Body Rotation in Three-Dimensional Space From Body-Fixed Linear Acceleration Measurements
Journal of Applied Mechanics, vo1.46, december 1979 pp.925-930
[ 5 ] Padgaonkar,A.J. ( e . a ) (1975)
Measurement of Angular Acceleration o f a Rigid Body Using Linear Accelerometers
Journal of Applied Mechanics, september 1975 pp.552-556
Hoofdstuk 1: f 1.1: f 1.2: f 1.3: f 1.4: Hoofdstuk 2: f 2.1: f 2.2: f 2.3: 2.4: Hoofdstuk 3: f 3.1: f 3.2: f 3.3:
fc
3.4: f 3.5: f 3.6: Hoofdstuk 4:De kinematica van een star lichaam
Basisdefinities 1
De oriëntatie van de bases 2
De positie van een willekeurig punt van het lichaam 3
De versnelling van een willekeurig materieel punt 4
Het meten van de versnelling van een star lichaam
Het meten van versnellingen met een versnellingsopnemer 7
Het meten van de versnelling van een star lichaam met zes opnemers
Het meten van de versnelling van een star lichaam met negen opnemers
Het bepalen van de positie op hasis van de versnellingen
Alternatieve methode voor het bepalen van posities Formulering van het minimaliseringsprobleem
Variatie van de functionaal
DE^ variatie van J ten gevolge van 6 2
De variatie van J ten gevolge van bS
De variatie van J ten gevolge van 6R
Resulterende vergelijkingen en voorwaarden uit het variatieproces
Conclusies
Bijlage A: Uitwerkingen van paragraaf 1 . 2
Bijlage E: Matrixrepresentaties van tensoren A en B Bijlage C: Hoeksnelheids- en hoekversnellingsvectoren
Bijlage D: De symmetrie van tensor S
Bijlage E: Uitwerking van formule (3.3.4) Bijlage F: Uitwerking van formule (3.5.1)
9 13 15 16 18 20 21 21 23 25 8. 1 18.2 8.5 B. 6 8.7 B. 10
= vector
= eenheidsvector = nulvector
= kolom van drie getallen
= rij van drie getallen
= kolom van drie vectoren
= getransponeerde kolom (=rij) van drie vectoren
=
[g,
,e2,s3]
; basisvectoren van basis bevestigd aan star lichaam+o *o *o
= [elte2,e3] ; basisvectoren van basis vast in de ruimte
= inwendig produkt van twee vectoren
= uitwendig produkt van twee vectoren = dyadisch produkt van twee vectoren = triade
26Cd
= tetradeA = tweede orde tensor
I = tweede orde eenheidstensor
0 = tweede orde nultensor
A-' Ac /As AZ AeIB A:IB
= inverse tensor van tensor A
= geconjugeerde tensor van tensor A = symmetrisch deel van tensor A = scheefsymmetrisch deel van tensor A
= inwendig produkt van twee tensoren
= dubbelinwendig produkt van twee tensoren
A
= aâtrix Ket âfiiietiiìg (3*3:-
I = eenheidsmatrix ( 3 * 3 )Vanuit het knieproject van de vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde van de Technische Universiteit Eindhoven kwam de volgende vraagstelling:
Bekijk in hoeverre het mogelijk is om met (lineaire) versnellingsopnemers, bevestigd op een star lichaam, de versnelling en de positie van dit starre lichaam te bepalen. Op basis van een aantal artikelen is getracht enkele methoden te formuleren, die aan deze vraagstelling zouden kunnen voldoen.
Bij het uitvoeren van deze opdracht heb ik dankbaar gebruik gemaakt van de hulp van dr.ir.F.Veldpaus, ir. L.Dortmans, dr.ir.A.van de Ven en in het bijzonder dr.ir.A.Sauren.
Hoofdstuk
1 :
De kinematica van een star lichaam$1.1: Basisdefinities
De beweging van een star lichaam kan worden beschreven met behulp van twee rechtsdraaiende, orthonormale bases. De eerste basis is vast aan het starre lichaam bevestigd. In de onderstaande figuur zijn de basisvectoren
* - s +
“1’ e2f “3 en de oorsprong O van deze basis weergegeven.
star lichaam
fig 1.1: definitie v.d. bases
Naast deze met het lichaam meebewegende basis wordt ook een basis gedefiniëerd, die een vaste positie in de Euclidische ruimte inneemt.
Deze basis wordt gekenmerkt door de bovenindex o . De basisvectoren van beide bases worden opgeslagen in een kolom van vectoren:
-4 De positie van het staïïe lichaâm ~ o r d t bepaald doûï de positievector a van oorsprong O t.o.v. O’ en de oriëntatie van e t.o.v. e -s +o
.
$1.2 De oriëntatie van de bases
-t
De oriëntatie van basis e t.o.v. basis
eo
is weer te geven met behulp van een orthogonale rotatietensor IR : zie [I]5 .-.
a.
, c (1.2.1)
In bijlage A.l is afgeleid dat voor de tijdsafgeleide van deze uitdrukking geldt:
c z
(1.2.2)
De inverse van een rotatietensor is gelijk aan de geconjugeerde van deze tensor:
Bovendien geldt: dek(@) = tl
Gebruikmakend van deze eigenschap kan worden aangetoond dat de tensor R*Rc
een scheefsymmetrische tensor moet zijn. Dit is afgeleid in bijlage A.2. Een willekeurige scheefsymmetrische tensor A bezit een zogenaamde
axiaalvector
a,
die als volgt kan worden gedefinieerd: (zie [l])+ - t i
A * u = i * u ;
;r
willekeurig Er kan dus worden gesteld:(1.2.4)
(1.2.5)
4
De vector w is de axiaalvector van de tensor R4R". Deze vector kan worden opgevat als de hoeksnelheidsvector.
-9 +o
Voor de oriëntatie van e t.o.v. e is nu het. volgende gevonden:
+T -t OT
e = W e e
m, z
. 3 De positie van een willekeuris Dunt van h t Pichaam
(1 -2.6) (1 - 2 . 7 )
fig 1.2: positievectoren van punt P
Be positie van de lokale oorsprong O t.o.v. de globale oorsprong O* kan
worden weergegeven met de vector a.
Vector
15
geeft de positie van een materigel punt P t.o.v. de oorsprong Oaan, terwijl de vector r de pcsitie van hetzelfde punt t.o.v. het vaste punt
0
' weergeeit. In figuur
I.
2 is te zien dat. geldt:4
-9
4 - 9 - 9
r = a + b (1.3.1)
De vectoren in deze vergelijking kunnen naar believen in componenten worden uitgeschreven t.o.v. basis e of basis 3
20
Zo geldt bijvoorbeeld VOOK vector
if
:t 4 -9 -+
b = bT; = gTb = b e t b e t b3e3
h r " C h 1 1 2 2 ; bT = [bl b2 b3]
; boT= [by b; bi] ( 1 . 3 . 2 ) oT+o= ;oTbo, bo;ot bo;o
1 1 2 2 3 3
= b e
h h z z
..
A l s vector $ ten opzichte van basis
e
wordt uitgeschreven, dan bevat debijbehorende kolom b slechts konstanten, immers de positie van punt P t.o.v.
deze basis verandert niet omdat het lichaam, waarvan punt P deel uitmaakt, star is.
h
h
§1.4 De versnellins van een willekeuri4 materieel punt
In de vorige paragraaf is gevcmden dat
- + + i + + T r = a t b = a t e b met b konstant h - , h dus geldt: ir = a t b = a t e b i i i i T
( S T b = 6 )
h a , h h % S $ $ ' i T en : r = a t b = a t e b . " h (1.4.1) (1.4.2)Met behulp van relatie ( 1 . 2 . 7 ) kan voor vergelijking (1.4.1) ook worden geschreven: i + i T i r = a t e b = a t
(w'
*
eT)b -*i en WOK vergelijking (?.4.2): - 9 . * s , T rD 4 i T r = a t e b = a t (:*
eT
+
w*
e )b z z . . ..c (1.4.3)( 1 . 4 . 4 )
In de tweede en derde term van het rechterlid van deze vergelijking komen uitwendige produkten vocir. Al eerder is gesteld dat een scheefsymmetrische tensor A voldoet aan:
- ? + +
& e u = a * u ;
2
willekeurig ( 1 . 2 . 4 )met
2
: de axiaalvector behorend bij tensor IAConform deze vergelijking kan voor de uitwendige produkten in (1.4.4) worden gesteld :
Vergelijking ( 1 . 4 . 4 ) gaat nu over in:
( 1 . 4 . 5 ) ( 1 -4.6)
(1.4.73
( 1 . 4 . 8 )
De tensoren A en IB moeten worden opgevat als scheefsymmetrische tensoren waarvan respectievelijk
2
en de bijbehorende axiaalvectoren zijn. Deze vectoren worden ook wel hoeksnelheidsvector en hoekversnellingsvector genoemd.Er kan een relatie worden afgeleid tussen tensorA en de rotatietensor R.
Er geldt immers:
..
-+
Tensor A kan, evenals zijn axiaalvector w , worden uitgeschreven t.o.v. basis
e
..
of basiseo.
..
+ -9 -+ -9
/ A = ~ A
...
e ;
..
w = Z T w = w e t w e t w e c c 1 1 2 2 3 3-+ +oTwo- O-% O-+O O-+ - w e t w e + w e +OT O 30 z L 1 1 2 2 3 3 A = e & e ; w = e L L ( 1 . 4 . 9 ) (1.4.101 De matrixrepresentaties hebben :
en
'
A
van tensor A blijken de volgende vorm t eDit is afgeleid in bijlage B.
Het voorgaande kan ook met tensor U3 worden uitgevoerd:
-+T + i * - b - - + - - + m, L 1 1 2 2 3 3 @ = e e ; w = Z T ; = w e t w e t w e i
wielt
'o*o ' O + O . O + w e+
w e +OT O +O z c 2 2 3 3 B = eB
e ; w = z c ( 1 . 4 . 1 1 ) (1.4.12) ( 1 - 4 . 1 3 ) ( 1 . 4 . 1 4 ) ' o - oo
-wB =
' O ' o "1Vergelijken we matrix
B
metA
en matrixBo
met'
A
dan mag daaruit worden geconcludeerd datB
=i
enBo=
2.
Er geldt namelijk dat ;i =-
dw$
enO
Hoofdstuk 2: Het meten van de versnellinq van een star lichaam
j 2 . 1 : Het meten van versnellinqen met. een versnellinqsopnemer
In het punt P van h e t starre lichaam wordt een versnellingsopnemer geplaatst. Deze, ideaal Veronderstelde, versnellingsopnemer meet versnellingen in de richting van de eenheidsvector
n.
n
fig 2.1: plaatsing van een versnellingsopnemer
De versnellingsopnemer levert een (scalair) signaal. De opnemer meet de component in n -richting van de vector +
"r
dus:i - t
signaal = S = r
*
n ( 2 . 1 . I ) Voor de eenheidsvectorn
geldt, evenals voor vector $, dat de kolom n alleen konstanten bevat wanneern
wordt uitgeschreven t.o.v. basise
:.-.
.-.
met n kcmstant
z
In $1 - 4 is afgeleid dat voor geldt:
3 - t
r = a
+
(B+
h~ 1 . g
(2.1.2)
Voor het signaal S volgt dan :
+ G r ; +
De vectoren n, r r a en h en de tensorenA en ü3 worden nu uitgeschreven "+ t . o . v . de basis e:
."
( 2 . 1 . 4 ) t T-, n = n e - z T-, -*T = b e = e b - c *i* * 5 + +T-opmerking: eee
-
I
; de eenheidsmatrix5
-Substitutie in vergelijking ( 2 . 1 . 4 ) levert:
; n is konstant *. dus ; b is konstant
..
-
I-
I-
I I ( 2 . 1 . 5 ) ( 2 . 1 . 6 )Nu blijkt d a t het uitschrijven van alle vectoren en tensoren t.o.v de basis
e
grote voordelen biedt:c
-po
Zouden sommige vectoren of tensoren in basis
e
en andere in basis e zijnc m.
de rotatietensor IR in de vergelijking, immers de basisvectoren van de ene basis zouden in de basisvectoren van de andere basis moeten worden
uitgedrukt met behulp van vergelijking (1.2.6):
Z T = ~ e e -b oT
e c e 5
(1.2.6)
Dit maakt vergelijking (2.1.6) nodeloos ingewikkeld.
Zouden alle vectoren en tensoren worden uitgedrukt t.o.v. basis
g:
dan5
waren de kolommen no en bo
Ook deze complexiteit is onnodig.
i.t.t. de kolommen n en b niet langer konstant.
c 5 “i z
$2.2 Wet meten van de versnellins van een star lichaam met zes opnemers
De versnelling van een star lichaam zoals dat in figuur 1 . 2 is geschetst wordt volledig bepaald door twee vectoren:
2
*
de (lineaire) versnellingsvector a*
de hoekversnellingsvector w i3
Deze twee vectoren leveren, Uitgeschreven t.o.v. e of
eo,
zes componenten die bepaald moeten worden. Overigens zullen in deze paragraaf alle vectoren en tensoren worden uitgeschreven t.o.v. basis e.5 5
4
z
i G -b
Zijn de componenten van w en a t.o.v. basis e bekend, dan kan van elk punt
-
van het starre lichaam de versnelling worden uitgerekend met behulp van vergelijking (1.4.4):(1.4.4) ii
De kolommen W en a worden bepaald m.b.v. versnellingsopnemers. Eèn versnellingsopnemer (zie fig 1.3) levert èèn differentiaalvergelijking:
e c
In deze vergelijking zijn alleen a en w onbekenden, immers het signaal C
5 c
wordt gemeten, kolommen b en n zijn bepaald door de geometrie en de matrices & en
B
(=&I worden volledig bepaald door w en w .c 1c
c a,
Wet moet dus in principe mogelijk zijn om met zes versnellingsopnemers zes differentiaalvergelijkingen te vinden waaruit de zes onbekenden kunnen
worden opgelost. Om fouten in de berekening van die onbekenden zoveel mogelijk te voorkomen is het zinvol om te streven naar zo eenvoudig mogelijke vergelijkingen. Deze kunnen worden verkregen door een gunstige keuze van de geometrie, dus van de kolommen n en b.
De onbekende kolom a kan op een eenvoudige manier worden gevonden wanneer b = O
.
Dan geldt immers:c * c 5 -( 2 . 2 . 2 ) T *' § = n a c c
Drie versnellingsopnemers in oorsprong O leveren kolom a als oplossing van * het stelsel: T '* S = n a 1 - 1 z T '* S = n a 2 - 2 5 T * * S = n a 3 - 3
-
S . = signaal van opnemer i
= kolom behorend bij de
1
eenheidsrichtingsvector van opnemer i
Door de drie eenheidsrichtingsvectoren
zi
(i=l, 2 , 31
gelijk aan de basis- vectoren ei te kiezen wordt het bovenstaande stelsel vereenvoudigd tot: -+S = a
3 3
( 2 . 2 . 3 )
De kolom a wordt nu direkt bepaald door 3 meetsignalen, afkomstig van drie
a.
opnemers in oorsprong O . Het plaatsen van drie afzonderlijke opnemers in die oorsprong is onmogelijk, vandaar dat gebruik moet worden gemaakt van BBn driedimensionale opnemer.
Het is gewenst dat de drie differentiaalvergelijkingen afkomstig van de overige drie versnellingsopnemers zo min mogelijk termen bevatten. Door de richtingsvectoren
g4,
n5 en n6 evenwijdig aan de basisvectoren e te kiezen,zal per vergelijking slechts &&n element van kolom a optreden. De bijdrage van de eerste term van het rechterlid van ( 2 . 2 . 2 ) is zo tot het minimum beperkt.
-@ -+ -?
h
.*
De tweede term van het rechterlid van (2.2.2) kan als volgt worden uitgeschreven: '6 n ( B + A A ) b = [ n n n h c 1 2 3 -w +w w w 2 +w
1 s
w1
[hl/ ( 2 . 2 . 4 ) 2 2 3 2 3 1 2 -w -w-i
+w wI
I
b2I
2 2 1 2 3 w 3 +w I 2 w -w3-w1 -w 2 +w 1 3 w w 1 2 3 +w w -w2-w2 2 11
lb3]Wil de bijdrage van de tweede term ook uit slechts èèn element bestaan, dan moeten de kolommen ni en bi (i=4,5,6) slechts &én component ongelijk a a n nul
bevatten. Door deze keuze treedt
in
vergelijking ( 2 . 2 . 1 ) bf B&n term van de vorm 1-w -w 1 bf èèn term van de vorm (26 +w w 1 op. Van deze twee texmen i sde laatste het meest geschikt omdat deze altijd vergelijkingen met
eenduidige oplossingen oplevert. Dit geldt niet voor de eerste term, immers die bevat kwadraten.
L
."
2 2
u v w u v
Er zijn slechts zes combinaties n. en bi (i=4,5,6) die aan alle voorgaande
eisen voldoen: ( 2 . 2 . 5 )
Uit deze zes combinaties moeten er drie worden gekozen. Als voorbeeld zijn combinatie I, I1 en
111
gebruikt. Met deze combinaties wordt de volgende configuratie verkregen:I
fig 2 . 2 : voorbeeld van een opstelling met zes opnemers
Deze opstelling levert de volgende zes vergelijkingen, waarvan de eerste drie vergelijkingen de kolom a bepalen.
-
-
- cl-
a ls2
= a+
a ( w3 4- w1w2 ) s4-
a 2s5
= a3 + F3 ( - W 2 + w1w31
..
2 .* 3 S 3 = a-
S = a + y ( w + w 2 w 3 ) 6 3 1 - ( 2 . 2 . 6 )Dit stelsel is te herschrijven tot een stelsel van drie vergelijkingen:
( 2 . 2 . 7 )
Met dit. stelsel (en beginvoorwaarden) zijn kolommen w en W te bepalen.
$ 2 . 3 Het. meten van de versnellinq van een star lichaam met neqen opnemers
In de vorige paragraaf is gebleken dat de versnelling van een star lichaam met zes opnemers te bepalen is. Het gebruik van zes opnemers resulteert in een stelsel van zes vergelijkingen, waarvan er drie differentiaal-
vergelijkingen zijn.
opnemers de differentiaalvergelijkingen kunnen overgaan in lineaire
algebraische vergelijkingen. Dit heeft natuurlijke als nadeel dat er drie extra opnemers met bijbehorende apparatuur nodig zijn en dat de te verwerken meetdata met de helft toeneemt. Verder ontstaat het gevaar dat er door de overbepaaldheid strijdigheden ontstaan. Het grote voordeel van deze methode is dat bij het berekenen van de hoekversnellingsvector geen numerieke
integratie hoeft plaats te vinden. Ten eerste scheelt dit fors in rekentijd. Ten tweede vindt er geen accumulatie van meetfouten, veroorzaakt door de integratieprocedure, plaats.
In deze paragraaf zal worden aangetoond dat met negen versnellings-
Voor de drie extra versnellingsopnemers moet een zo gunstig mogelijke positie en werkingsnichting worden gevonden. Dit is echter eenvoudig: In $ 2 . 2 zijn zes combinaties n
eisen. Drie van die combinaties zijn nog niet benut. Deze drie kunnen nu worden toegepast. Een mogelijke opstelling is dan:
en b. genoemd, die voldoen aan alle gestelde ,i - 1
Deze opstelling levert negen vergelijkingen: (59 S5= a3
+
f3 (-W2+
w w f 1 3 ( 7 ) S7= a l f 6 :-W3+
w1w2) ( 2 . 3 . 1 )1
- >
( I Q ) P3 = ( S 4 - S ) - w1
82
1 2
->
(11) W2 =-
(C3-
S 5 ) i- W1W31
Y- >
(13) W3 =-
0- >
(12)
W l =-
fS6-
S 3 )-
w2w3 1 (Cl-
s
1 f itl w 712
( 8 ) S8= a,+
E ( W2+
w w1
1 3->
(14) W2 = F_1
(S8-
SI)-
w1w3 1 rl- >
(15) Wl =-
( S 2-
S g ) f w2w3Vergelijking in ( 1 ) , ( 2 ) en (3) leveren kolom a.
Sommatie van respectievelijk (IQ) en (131,
(11)
en ( 1 4 1 ,(12)
en (15) levert een lineair stelsel van drie vergeliikingen:*
( 2 . 3 . 2 )
Met dit laatste stelsel kan op zeer eenvoudige wijze de kolom W worden
$2.4: Het bepalen van de Positie OP basis van de versnellinsen
In $2.2 en $ 2 . 3 zijn twee methoden besproken waarmee de hoekversnellings- vector W te bepalen is. In principe is het nu mogelijk om na een
tijdsintegratieproces uiteindelijk de positievector te bepalen, mits de randvoorwaarden goed gedefinieerd zijn. Voorwaarde is wel dat het meetproces ideaal is. In werkelijkheid zal er tijdens het meten en het verwerken van de meetresultaten altijd sprake zijn van systematische en toevallige
afwijkingen. Deze afwijkingen kunnen resulteren in strijdigheden tijdens het oplossen van vector
S.
-
Hieruit kan worden geconcludeerd dat de twee besproken methoden niet ge schikt zijn voor het bepalen van posities. Daarom is getracht een
alternatief te formuleren. De grondgedachte van deze alternatieve methode is dat de afwijking tussen meetsignalen en berekende resultaten (respektieve-
lijk S en ; zie $2.1 1 gedurende het tijdsinterval waarin gemeten wordt minimaal moet zijn, wil de best mogelijke benadering voor vector ;f worden gevonden.
Hoofdstuk 3 : Alternatieve methode voor het bepalen van posities
$ 3 . 1 : Formulerina van het minimaliserinasprobleem
4"
-
fig 3 . 1 : de gebruikte configuratie
A l s uitgangspunt voor de volgende afleiding dient een star lichaam, dat voorzien is van n versnellingsopnemers in de punten Pi(i=lt..,n).
bekijken dit systeem in de referentieconfiguratie t=to en in de huidige configuratie t=te.
We
+ +
Er geldt weer :
ti=
2
+
si
ri= ri(t)a 4
á = ä (t)
-+ +
bi= IR e boi
sOi#
ijOi(t1Differentiatie van ( 3 . 1 . 1 ) naar de tijd levert:
$ - b $ - b ' +
ri= a
+
bi= a tiR*boi( 3 . 1 . 1 )
( 3 . 1 . 2 )
( 3 . 1 . 3 )
( 3 . 1 . 4 )
In de meetpunten Pi(i=l,..,n) wordt per meetpunt Pi de absolute versnelling gemeten in de richting
ni.
Voor vectorni
geldt:-b -b
ni=
Renoi ;itnilI
-b = ifnoitt -b =1
(3.1.6) Het signaal Si dat van de opnemer in punt Pi afkomstig is, zou moetenvoldoen aan :
. + - b
S.= n e r (3.1.7)
i i i
Aan deze gelijkheid zal door allerlei (meetlfouten slechts toevallig worden voldaan. Op basis van dit gegeven is het volgende minimaliseringsprobleem op te stellen :
Tijdens het meten gedurende het interval [tofte] moet de afwijking
I
I Si- nisril f,
gesommeerd over alle opnemers, minimaal zijn. Anders geformuleerd:+ $
De volgende functionaal moet minimaal zijn.
Jo= f te [ E (Si- ;fieri) $ 2
3
dt i=lto
(3.1.8)
Het minimaliseren van de functionaal Jo moet de best mogelijke benadering voor de vector
a
en de rotatietensor IR opleveren. De tensor IR moet echter een orthogonale tensor zijn, dus als nevenvoorwaarde moet gelden:IR.IRC=If (3.1.9)
Voor een rotatietensor geldt verder: det(íR} = +I (3.1.10)
Voorwaarde (3.1.9) kan in rekening worden gebracht door i.p.v. functionaal
Jo nu functionaal J te minimaliseren: te J = Jo 4-
f
[ (RC.IR-IC) : 31
dt t O ( 3 . I . 11)De tensor $ kan worden opgevat als een tensor met zg. Lagrange-multi- plicatoren. Deze tensor mag scheefsymmetrisch worden verondersteld. De verklaring hiervoor wordt gegeven in bijlage D.
Voorwaarde ( 3 . 1 . 1 0 ) wordt niet in de functionaal meegenomen. Voor een willekeurige orthogonale tensor geldt dat de determinant gelijk is aan + I .
(zie [ 1 ] 1 . Is de determinant - 1 , dan is er sprake van een spiegelingstensor. Wanneer de determinant van een orthogonale tensor
t1
is, is deze tensor een rotatietensor. Uit de aard van de gemeten signalen zal volgen dat IR een rotatietensor en geen spiegelingstensor is, dus de determinant van Rzal (theoretisch) t 1 zijn.
3 3 . 2 : Variatie van de functionaal
Het minimaliseren van de functionaal J uit mogelijke benadering opleveren voor de vector
Dit minimaliseren vindt plaats door de funct
3 . 1 . 1 1 ) moet een zo goed
2
en de tensorR.
onaal te variëren naar resp.
a",
IR en $ en vervolgens voor alle mogelijke variaties 52, 6$ en 6R te eisen dat de variatie áJ van de functionaal gelijk aan nul is.Voor de variatie 6J geldt:
- + - + - ? - + -+ -+ n i=
1
( 3 . 2 . 2 ) te 6S = j [ 2 1 ((Si- nier. j(-Gn. rr-
n. o 6 r ) i c 1 i i i i O t t ( á R c 4 l t RC*6R) : $ t (RC*R-
li) : b$3
dt = OVoor twee willekeurige tensoren A en IB geldt
[I]
Ac: IB = A : '5 dus : (6!RC.!R) : s+
(RC.á!R) :s
= (6RC*IR) : s t (blRC.R)C: % = (6RC.IR) : $ t (BRC.R) :sc=
2((6RC*R) :$1
(immers%=F,
zie $ 3 .I
1 (3.2.3) (3.2.4)Voor (3.2.2) volgt na substitutie van (3.2.41, (3.1.5) en (3.1.6):
(3.2.5)
De vectoren
toi
engOi
zijn constante vectoren. Zij worden door de gekozen beginconfiguratie bepaald. De variatie 6J is 6 J = öJ; n öJ; = 2Ite
[ i i= 1ook te schrijven als:
+
6Jfi t 6JR met :variatie van J t.g.v. 6;
te
f [ (tRC.IR
-
IC) : 66]
dtvariatie van J
t.a,v.
8%Aan vergelijking (3.2.1) wordt voldaan wanneer geldt:
In de volgende paragrafen zullen de drie eisen uit (3.2.71 worden uitgewerkt.
$3.3: De variatie van 3 ten qevolse van 62
Eis : dus : of: 3 n G . . j t tni*(a+R*boi)-Si} (iR*noi) =
d
i= 1n
..
..
1 IR*
c
{n.*(a+R*i; . ) - S . j ; =if
o i i oi i= 1 (3.2.7) (3.3.1) (3.3.2)De rotatietensor IR is orthogonaal. Uit lRC*IR=I[: volgt dat de rotatietensor niet gelijk aan de nultensor is. Daarom is (3.3.2) equivalent met:
of met (3.1.6):
(3.3.3)
In bijlage E zijn de drie termen van deze vergelijking uitgewerkt. Het blijkt dat (3.3.4) te herformuleren is tot:
(3.3.5) n met: IN = E
[i!clii!oi~
i= 1 n i=? + I en: s =-
E [si;fOilDe term ~ o i ~ o i ~ o i i s een zogenaamde triade. Deze triade wordt toegelicht in bijlage E . 2
$3.4: De variatie van J ten aevolae van 6%
(3.4.1)
dus: (iRC*R)-II = O
Dit is de orthogonaliteitseigenschap waaraan de rotatietensor moet voldoen'
$3.5: De variatie van J ten aevolae van MR
In bijlage F is afgeleid dat deze eis is om te werken tot de volgende vergelijkingen: (3.5.2) - t 3
-
d2..
n[R. i aiboinoi + + t -( IR* i a.n .b . ) t IR*$ = 0 voor to<t<te
1 o 1 o 1
i= 1 dt2 i=l
3 li .* -t
met ai= (lRrnoi)o(a+(R.boi)
-
Sirandvoorwaarden: ( 1 )
n
i= 1
R. i aiioiifoi = é) voor t=to en t=te
d - t . *
(2) -S(R* t a.n .b . ) = a) voor t=to en t=te
i= I 1 o 1 o 1
Uit vergelijking (3.5.2) kan tensor $ worden geëlimineerd. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de symmetrie van deze tensor.
Na eliminatie worden de volgende vergelijkingen verkregen:(zie bijlage F)
( [ R e e i ) . ( r j p t l F j ) - (
(&k)
*
(eC*5)
p-i
2 cRC.a*h-(iRC*kerB)C}tB-iiC=
o
(3.5.3 1+ +
met: lFj = i a.n . b
I 01 oi i=l
Tensor B is in bijlage F herleid tot:
4 5 = 2*Re31M t fP:(kc*R)
-
Q n + met: 3~ = I: noinoii;oi i= 1 n + + -t + 4~ = t noiboinoiboi i= 1 (3.5.4) + + Q = i s.n .b i 01 oi i= 1$3.6: Resulterende veraeliikinsen en voorwaarden u i t het variatieproces (3.6.1) (3.6.2) n met: R = I:
[B
.n
. I i;l 3M = 6[B
.n
,i;
. I
o1 o 1 o 1 o 1 o 1 i= 1eis: Re08 = O voor t=to en t=te
= O
d -(R.B)
dt voor t=to en t=te
n
Q = 1 sincii30i
i= 1
ti
Met (3.6.2) kan een uitdrukking voor de vector a worden gevonden, waarin alleen noi,
(3.5.4) levert een vergelijking voor de tensor 8 waarin eveneens alleen deze grootheden voorkomen. Deze uitdrukking tenslotte kan worden gesubstitueerd in (3.6.3) en dat levert een vierde orde, niet-lineaire tensor-
differentiaalvergelijking iniR. Naast de onbekende rotatietensor iR en zijn tijdsafgeleiden komen in deze differentiaalvergelijking alleen bekende grootheden voor. ( s . wordt geneten, noi en worden bepaald door de geometrie van de meetopstelling)
+ -b
R
,
en s. voorkomen. Substitutie van deze uitdrukking in1 1
-b
Hoofdstuk 4 : Conclusies
Versnellingsopnemers kunnen vrij eenvoudig worden toegepast bij het bepalen van de versnelling van een willekeurig star lichaam. Door het aantal
opnemers en de werkrichting hiervan gunstig te kiezen is het mogelijk om te voorkomen dat de beschrijvende vergelijkingen differentiaalvergelijkingen worden.
Het bepalen van de positie van een star lichaam met behulp van
versnellingsopnemers is veel gecompliceerder. De in hoofdstuk 2 besproken methode voor het bepalen van versnellingen leent zich, door het optreden van allerlei fouten in het meetproces, niet voor het bepalen van posities omdat de meetfouten leiden tot strijdigheden in het oplossingsproces.
Wat dat betreft biedt de methode uit hoofdstuk 3 betere perspektieven. Deze methode resulteert echter in een vierde orde niet-lineaire tensor- differentiaalvergelijking en deze is zeer moeilijk oplosbaar. Indien oplossen mogelijk is I zal het oplossingsproces veel rekentijd kosten.
De randvoorwaarden zullen zeer nauwkeurig moeten worden vastgelegd.
Omdat de stageperiode op dit punt al ruimschoots verstreken is, is op al deze facetten niet nader ingegeaan. Echter, de voorlopige eindconclusie, dat voor het bepalen van de positie van een star lichaam betere methoden
beschikbaar zijn, lijkt gerechtvaardigd. Bij deze andere methoden kan dan worden gedacht aan fotografische of beeldverwerkende methoden.
Biilase A: Uitwerkinsen van Paraaraaf 1.2
Biilase A.l
Differentiëren naar de tijd levert het volgende:
De basis
eo
heeft een vaste positie in de ruimte dusBo=
b.
* * . . ,
Er resteert dus:
Hierin kan vergelijking (A. 1 ) worden gesubstitueerd.
* c +T
Dit levert
eT=
IR.~R * e(A.3)
(A.4)
Biilase A.2
Omdat R een orthogonale rotatietensor is, geldt:
w
0 IRc= IT (A.5)Differentiatie naar de tijd levert:
i.
IRc + R.
ic
=Ii
= CD (A.6)Voor een scheefsymmetrische tensor A geldt: Ac= -44. Dit blijkt ook voor de tensor
(a
IRC) te gelden, dus mag worden geconcludeerd dat(k
e Wc) eenBiilaae B: Matrixrepresentaties van de tensoren A en IB B.l: Tensor A
Tensor A moet voldoen aan:
I I Matrixrepresentatie t. o . v.
e
-,-+ + - +
Ala = w*a ;
2
willekeurig (B. 1 )T.O.V. basis
e
geldt: A =e
* -, r. -+ + -+ -+ w = F w = w e
+
w e+
w e - , - 1 1 2 2 3 3 .* +T -# -+ -+ a = e a = a e+
a e t a3e3 - . " 1 1 2 2Voor het linkerlid van vergelijking (B.l) volgt nu:
Het rechterlid kan als volgt worden uitgewerkt:
+ - + + -+ +
w*a = (WIZ1+ w2è2+ w3e31
*
(alel+ a2e2+ a3e3)-+ -+ -+
= (w2a3- w a )e t(w3al- w,a3)e2 +(wla2- ~2al)e3 3 2 I
Gelijkstelling van vergelijkingen (8.5) en (B.6) levert:
Omdat 4 en
A
scheefsymmetrisch zijn volgt direkt uit (B.7)Conclusie:
2 I Matrixrepresentatie t. o . v.
eo
.uEr wordt uitgegaan van de volgende vergelijkingen:
+ +OT o- o+o o*o 0'0 w = e w - w e + w e t w e
1 1 2 2 3 3
..d-.
+ 4oT 0- o+o o+o o+o
a = e a - a e + a e + a 3 e 3 - . * 1 1 2 2
Volkomen analoog aan het voorafgaande volgt nu:
(B.9)
(B. IO) (B.ll)
Tensor IB
Door in het voorafgaande de tensor A te vervangen door de tensor IB en
vector
immers de verbandenAea = w*a en iBea = w*a zijn van dezelfde vorm.
4
te vervangen door UI worden de matrixrepresentaties van û3 gevonden, + + + + + +
Er zal dus gelden:
- -
o
-w3
w2IiJ3
o
-li1Biilaue C: Hoeksnelheids- en hoekversnellinusvectoren
De hoeksnelheidsvector
;
en de hoekversnellingsvectoruitgeschreven t.o.v. basis
e
of basiseo.
kunnen worden 1 1 + basis e L
3
= e T w 1 *.., en dus := o
+o +oTwo basiszo;
."
w = e ..,..A dus : G = - ( w ) d .., dt-.
o d w = - ( W O ) .., dt..
+ +T wantgT
= w*e .., .., wantZ
*
=ti
voor alle a ( C . 1 ) ( C . 3 ) (C.4) ( C . 5 )Bijlacre D: De symmetrie van tensor !E
Voor een willekeurig dubbefinwendig produkt van twee tweede orde tensoren geldt [ 13 :
De index s duidt op het synunetrische deel van de tensor, terwijl de index z het scheefsymmetrische deel aangeeft, dus:
As=
'
( A +Ac) 2Wanneer tensor 4 symmetrisch is, geldt:
A : B = A s : BS
De tensoren W*Rc en IE zijn symmetrisch, dus:
4 : $ =
(11.2)
f D . 3 )
fD.4)
Door te veronderstellen dat S symmetrisch is, wordt dus geen extra beperking aan het dubbelinwendige produkt (#?egtC- Hl :$ uit
13.1.11
1 opgelegd.Bijlacre E: Uitwerkina van formule (3.3.4)
I J-
(E.
12)t o
k?
= o
#