MULO-B Meetkunde 1911 Algemeen

Uitwerkingen Meetkunde MULO-B 1911 (

1

_uur)

Opgave 1.

We tekenen bij de gegeven _ABCde lijnen KM //ABdoor C, KL BC// door A en tenslotte LM//ACdoor A. Zo ontstaat

KLM

 .

Omdat AL BC AC BL//  // is ALBC een parallellogram, dus BC AL(1).

Omdat AB CK BC AK//  // is ABCK een parallellogram, dus BC AK(2).

Uit (1) en (2) volgt, dat AK AL. // AD BC AD KL KL BC  _{ }   , dus AD staat

loodrecht op KL en deelt KL doormidden, dus AD is middelloodlijn in KLM .

Op analoge wijze kunnen we bewijzen, dat CF en BE ook middelloodlijnen zijn in KLM . Omdat de drie middelloodlijnen in een driehoek door één punt gaan, gaan dus de drie hoogtelijnen in _ABCook door één punt.

Opgave 2.

Stel AD DB x  .

2 2 2 2 ₁₆₉ 2 ₁₆₉ 2

AD CD  AC CD  x CD x .

Voor de oppervlakte O van _ABCgeldt: 1 2

( )

O _ABC  AB CD 

2 2

1

22x 169x  x 169x , dus geldt volgens het gegeven 2 169 60 x x  _169x2_x4 _{3600 x}4_169x2_{3600 0.} Stel 2 2 1,2 169 28561 14400 169 3600 0 2 x  p p  p   p     1,2 169 119 114 12 25 5 2 p    p  x  p   . x

De basis is dus gelijk aan 10 of 24.

Opgave 3.

We moeten construeren 2 2

x a ab b . Nu geldt _a2_{ab b} 2 _{ (a b )}2_ab

Nu geldt _{x c}2_ab.

Stel _c2 _{d , hetgeen overeenkomt met 1:c c d : . We kunnen ddus construeren als vierde}

evenredige van 1, c en c.

Nu geldt x d ab

Stel ab e , hetgeen overeenkomt met 1:a b e : . We kunnen dus e construeren als vierde evenredige van 1, a en b.

Nu geldt _{x d e x}2 _{ d e, hetgeen overeenkomt met 1:x x d e} _{: (}  _).

We kunnen dus uiteindelijk x construeren omdat deze middelevenredig is tussen 1 en (d e ). Deze laatste constructie zien we hieronder.