Stabiliteitsanalyse van een vliegwielconstructie

Stabiliteitsanalyse van een vliegwielconstructie

Citation for published version (APA):

Jongerius, N. A. (1986). Stabiliteitsanalyse van een vliegwielconstructie. (DCT rapporten; Vol. 1986.050). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

STABILITEITSANALYSE VAN EEN VLIEGWIELCONSTRUCTIE

N.A. Jongerius id.nr. 192260

Stageopdrôcht:

Uitgevoerd door: N . A Jongerius id.nr. 192260 Opdrachtgever:

BEgeleiderc:

Het bedrijf CCM is bezig aan d e ontwikkeling freze constructie kenmerkt zich door een kunst- v a n een vliegwielconstructie.

stoF vliegwiel. Ten gevolge van kruip treden hier- in na verloop van tijd onbalansen o p , die een

ontoelaatbaar g r o t e belasting o p d e lagers kunnen geven. Om dat te voorkomen is een elastische laag tassen vlieguiel en lagering aangebracht.

Echtzr, vanwege d e demping in de roterende elastische laag, kunnen instabiliteiten optreden. Om te o n d e r m e k u n of d e cntwoipen ccnstructie stabiel is in z i ~ n u e r k g e b i e d , is een numeriek= ctabiliteitsanalyse uitgevoerd.

Hiertoe worden eerst, onder d e nodige aannamen Czsals linuair stijfheibs- en dempingsgedtagl, de

bewsginas~~ergelijkingen v a n het systeem opge- steld.

ó z stabiliteit v 2 n dfo constructie bepaald, Dit gebeurt doar het berekenen v a n d e eigenwaarden en -vectorvn v a n het stelsol bewegingsvergslij-

Met behulp v a n uun camputorprogramma wordt de

kingen.

verschll9ende sgsteemparameters Cmassa’s, dem- pingen, stijfheden, hoeksnelheidl op de stabili- teit van d e bewegingen bepaald. Hieruit k a n dan ee1: Uctimaal stabizl gzbizd bepaald w o r d e n .

Verder trtorden de erFecten v a n variatie van d e

Het is mogelijk gebleken een thecretisch

stabiel gukied te vinden binnen de grenzen waarin de systeemparameters gevarieerd konàen worden. Echter, zelFs het optimale gebied blijkt extreem gevoelig v s o r kleine veranderingen in een aantal van die parameters, Ten tweede v o l d c e t dit

stabiele gebiec! weliswaar aan d e theoretische, maar nog lang niet aan Ge praktische stabiliteit-- EìSSn.

1 7 i 3

2 , 1

9 J

2 . 2

2 , J 2.3.1

2 , 3 * 2

5 5 E Element 1 1 : .i en m u r k u n A f 1 e i d i ng Matrices D e rct3i v a n d e gyeoscopietermen

2 . 5

2 . 5 . 1

2 . 5 . 2

Element

1 1 1 :

3s elastiszhe: tussenlaag Ken rr; e r tc: e z

Afleiding van stijfhelds- i3n denpingsmatiix 3

2

10 2 . 6

2,1i.1

2.6.2

12 12 13 L.€?

2 . 3

3

3.1 I n l e i d i n g 3 . 1 i3 3.3 3.3.1

3 . 3 . 2

3.3.3

9 . 2

i . 2 . 1

1 . 2 . 2 1.2.3 4.2.LI 1.4.3 5 f nleiding

Bepzifng v a n een p r a k t i c ~ 9 - 1 stabiel gebiei Fraktischa stabiliteit

Bepaling praktisch= stabilituit

-

36 37 38 i1 15

E i J 3u CCM is men bezig aan het ûntii;erp van interessant aan dit aztwerp z i j n h e t k u n s t s t o f :i.ilegwi&l d e elastische Laag tgssen it.lieg&iiel en iagers.

DE ~ j l a s t i s z h e laag is am d u v o l g ~ n d s rsden

a a n g e b r a c h t :

In h u t v l i e g w i u l kunnen ten cevalye van !cruig~ na verlsop van t i j d onbalansen optreden. Dit bewegingen van het vliegwiel in en om andere richtingen. !danneer de elastische laag niet aantirezig zou . z i j n > zouden deze exkra bewegingen g e v o l g d m o e t e n warden doar Ceen groot deel v a n 1

d~ rest v a n d e constructie, De i a g e r s zouden dan g r o t e krachten door rnoetun leiden. Mu de elas- tische laag aangebracht is, hoeft de rest van d s constructie hut vliegwiel minder te v o l g e n , zodat di~3 lagerbelasting minder is.

Hzt toepassen van de elastische laag heeft echter ook een nadeel: behalve ski jfheid b e z i t h e t materiaal arr;k een niet te verwaarlozen h ~ ~ e e l h e i d dumping. Gezien de elastische laag

m e t het vliegwiel meeroteert, treedt ruterende

dumping op. Dit kan aanleiding zign tot instabi- liteiten,

Of de beweginger; instabiel worden, is afhan- k e l i , j k van d e çgcteemparamzters: hoeksnelheid van

gen van de v e r s c h i l i e n d e onder2elen v s n de con- structie *

HEt is dan ook wenseii3k waarden v o o r de systeemparameters te v i n d z n , lilûarvfi6ir d e v l i e g -

Eit is reeds een keer op analytische w i g z e

gebeurd daûr d r . i r . F a van de V z n E

3

1 ,

In deze

studie zal d u analyse op numeriuke 1;asis worder; u i t g e v o e r d .

vliucwielconstructie czis figuur

1,jJlz

3 3 . ~.

gEf5't n a a s t dE ii2ta"cie Gm de SLJmmetrie-aS nog

het vlizgwiul: En massa's, stijfhudan En derr;pin-

- .

wielcnnstructiu zo stabi27 Z n g e l r J k w u i k t ,

W i e r t ~ e z c e t e ~ eerst d u ~ u ~ e g i n g s : + ~ ~ r g ~ l i ~ - kingen worden opgesteid. In h o o f d s t u k

2

riiordt dit

onder de nodige aannamen gedaan, waarna een

c m F i o n t a t l e met de analytische methode ~ ~ 7 g j t . oF d s constructie stabiel is door het oplossen van het Yigenwaardenprcbleem. Dit gubeurt met benul- van een cornputorprogramma. üoor d e

beyaling van de sigenwaarden en -vectoren is een bestaand programna gebruikt CTRAP~SF E

2

7 1 . Om het systeem enigszins eenvoudig in te kunnen voeren, is h e t programma aangepast. D i t wordt verder in hoofdstuk 3 Seschreven,

-E-

I

2 . 3 . 2

itatrkces D e n p i n g s E a t r i x : c

(i1

-

1,

o

0

Q

O

0 -1

o

o

o

o

0

o

o

0

o

6 o 8

o

Q Q 8

3

-i-

- i-oassa BT. rotatiatuaaghzduz Iri,

-8-

-

s d

21

E3

2

s i 3 Matrices De hij d e rztcr Massamatrix : nie

9

o

o

o

o

k) mt 6

o

o

Q k . e h ~ r a z d e natricas z i j n dar;:

o

6

r

8

o

- a - d

o

o

o

o

cd 8

o

o

Q

0

0

o

DE alastisc5s tassErt?az=,g rucr-dt lineair elastisch er: lineair Gzapund veronderstel5 s

2 . 5 . 2

FiLisidLr;g var: s t i j r h e i d s - en d e m p i n g s r n a t ï i x

Uanneer d e c o n s t a n t e rototiesnelheid U S O is, kunne;; d e bawegingen v a n tls tussenlaag S e s u h r e v ~ l r : t*lcarôen L ? o l y e r i s :

L L

,$ v o l g t : M e t : , I

-

c en -63 8

o

Q

7 . E

2

Zztrices

Ir, vectornatatie w o r d t de door de onbalansen cpgewskte exitatie: i

I

i

1

o

LIficr rzpreszntatie t , c a ii a h z t v a s t e a s s e n k r u i s C E I , E 2 , E J > geldt:

E

,

o

'i

Het ~ntkoppelde stelsel I , w a a r i n OE afwijkendz i n t e r n e dempingctermen voorkomen

bestaat uit t w e symmetrische matrices m

-

E; en a-cymmetrisehe m a t r i x

-

K ~

-17-

De stijfheidsmatrix is ecf?ter elfeen n i c t syrnmetriscb w a t b e t î e F t de interne dempinys- termen. Er v û f g t dan:

r

MTH

= mcc/q 2

Be m o i r i x die hiervoor v ~ l y t uit =ie v e r a a i i j - kirigen van CCfl, is S E gztranspünaurdz van die,

a m l g e n d ~i:t d e verpliikingen van d e LH. Uit d z eigenschap:

volgt dan dat de oplocsingen volgens beide stelsels overeenkomen E

Conciuuie:de stabilF~eitsgebieden, bepaald dücr fCE,l:unnen als referentie dienen i w u r de bereikte n t i m e r i e k u resultaten uit deze apdracht.

Inleiding

Urn een uitspraak uver de stabiliteit v a n de constructie te k u n n e n doen, dienen d e

eigenwaarden en -vectoren v â n het hûmûyene deel van het in het v o r i g e cleel afgeleide stelsel bepaald te w c r l l e n .

gernaal~rt v a n het prcigramma TRFINSF

121.

Dit programma heelt de mogelijkheid de massa-, lezen. Dezs matrices z i j n afhankelijk v a n een zevenentwintigtal parameters. tioor het beirekenen van de matrices, en h ~ t genereren van de

benodigde i n v o e r f i l e wordt sen programma geschreven,

IL)a een beperking van het aantal variabelen, en

het samenvoegen va;? het invoerprogramma en TRANSF ontstaat een bruikbaar, interactiel programma

D i t gebeurt numeriek. Er is hiervoor gebruik

dernpings- en çtijfheidsmatrix v i a een file in + i e

Opmerking: B i j h e t s c h r i J v e n van een programma kan een aantaal symbolen moeilijk

v e n m r k t icioriien

.

Er is rüveel m o g e l i ~ k geprobeerd de criginzlu variabelen te behouden, bus

wordt b i bijvuorkeeid El,

In F'artran geldt echter d e volgende a F s p r - a a k :

G-H,O-Z z i j n rzals, I-N r i j n i n t r d g e r s , D i e n t e n g e v a l g e verandert bv d e fé in een 5 : de 1"1 tiiraïdt e m T , BT! C ; G ~ de I

wordt een T.

De parômetzrlijst wcïdt daardacr als

5dolgt ( z i e ook agpendix 1 3 : Massa ' s : TS,TUl,TS2,TC3

TR,TRl,TR2,TR3

TU, Tul, TU2 I T U 3

Dempingen: E l , 3 U z 3 F I

BE,BEW,EET,BEFI Stijfheden: SL,SW,SFT

Azrn h ~ t programma worden d e volgende eisen

-

Het moet e e n g z g e v e n s l i l e met daarin de s y s - gesteld:

teernparaneters f m o s c o ’ c , riempingen, s t i j f h e d e n

er; h c ; e k s n e l h e i d U l maken gewenst uijzigen

kunnen c a m e n c t e l P m

- H z t moet dezv filz kunnen i n l e z e n e g des-

-

moet n m b , % J . deze parameters d e matrices

-

Het m ~ e t =en i n v o z r f i l z voer 1EAN3F Rakzn

- H e t ~ a e t t p & r u i k e r c v r i e n d e l i j3: z i j n

-F

Met b u v e n s t a a n d z e i s e n wordt d e Frogrammaopbouu

3 . 3

TGt nt; t o u hebben liie d e I? traagheden, de 7

d e n r ; i ~ ? g e n : d e 7 s t i j f h e d a n EG d e h~eksnelheid als

echtEr

27

gist h u l e r n a a l w a a r .

o n a f h c n k e l i 3 k e paîameters g e z i e n , D a t is

1,3.1 Massa's

Manneer v a n een z m s t r u u t i z d z massa rotatietraaghzdun csk veranderen. Cndei d z aanname dat m a s s a v u r a n d e r i n y niet s a m e n y a a k m u t Constructievzrandering, gaan we uit v a n een

lineaire relstie t u s s e n de rztatietraaghedzn ~ s c i l , T r f : i > ~ 3 n T v C i 3 e n e ï z i g d s en Ts r e s p . T r r e s p . Tv a n d e r z i j d s :

? +fri;iand~r.t, >"r z i r l l e n in het a i ~ e m ~ e n d e

I

3 . 3 . 2

S t i j f h e d e n

Hellaas is in ciz aannamen v a n SFI en S E F I in relatie tok S I resp. SF: w a a r s c h i j n L i j k een faut

gesloi-;en. Dit k e F t echter geen i n v 1 ~ i e d ap d e

r e s t ~ ô n de studie: daarin wort2,t alleen gukzken naar hiv o n t k o p p e l d e stelsu?s v o o r t r a n s l a t i e s Czie Faragraaf F l 8 l I : zn daarin komen SFI en SE11 n i e t voor.

E r iiiosdt aengenornen d z t d e verhouding wan d e dempingszoefficienLen ii7 d z verschillends

richtingen D F - Z T Y E ? ~ karnen rn~t du verhoudingen van de stijfhedun in d i z richtingen.

Hieruit r v u l g t 7- dus _:

N e t behula v a n dit proijramms is, b e h o u d ~ n c enkele klelr~-te wijzigingen, de stabiiliteits- analyse var: het volgende deet uitgevoerd.

Li a 1 Inleidinq

Nu hat invoerprogramva geschreven is. ka? het =igenligke i*rerk beginnen: de ilurnerieke stabili- teitca-aiyse.

De 3edc;elrng is, sen gebied aF t e Yakenun v ü o r

=ie v e ~ s c h i l l u n d e partmetzrs, ~ a a ~ i n de vliss.t;ial- constroctie acceptabel stabiel sal m i j n .

Ter oriëntatie imrderi daarvoor eerst een aantal zsgenaamde i n v l o e d s l i j n e n kepaald. Uit

z i j n lijnen, die het e f f e c t vsn hut varreren v s n een parsmetar c g d u stabiliteit w e s r g e v e n , bii u

cunstant h o u d u n van d e andere variabelen.

gezocht naar een gebied w a r ae constructie

stabiel is, En kan a f b a k e r i i n g van dit g e b i e d vüm verschil lende s e t s parameters plaatsvinden.

fils derde stap kunnen lil% de parameters zo gaan kiezen, d a t er een z o groot mogelijk stabiliteifs- gsbiud uitrolt.

Uitzindelijk u o r d t bekeken w a t het praktisch nut van de gevcnden gebieder? is.

..

Aon de hand van doze l i j n e n k i c r d t dan gericht

Opmerking: E i j h e t bepalen van de i n v l o e d s l i j n e n worden s t e e d s drie instabiele

eigenwaarden g e v o n d e n . Twee daarvan behoren bij translerende eigenvormen,

een hi^ een roterznde,

1"lngvsrmen van translerende eri rsteiende hutiieEi;ingsn treden niet als zigznvorrrr OF,

omdat de beschrijvende stelsels ontkoppeld s i , j n ,

12 i2e h u s c h i k h a r e t i . j d i n i7et k a d e r van deze stas:e was niet toereikend VDCSL e e n vslledige analyse 72 Een rapport ~3an d r , ir. F v.tl.Usn C?_1 geeft

a a n l e i d i n g t e veronderstellen & a t de roterende instabiliteit eunvoudig t e verholpe? is d o o r het iwoerer? vart demping in de cardanlagers.

TYPE I TYPE 2

Llezs paiamztar hz-ft een Flink eFFect G P d e stabiriteik: een daling i n U e d e m p i n g geef2 een

fcrse v u r h a g i n g van hat t ~ e l a d u e l van d e

eigenwaarden.

..

Ean d a l i n q vtn 5% is d u s stakiliszrind Dit is als volgt t e v e r k i z r e n :

De insta5iliteit wordt verucrsaakt door de roterende denging in het s y s t e e m . Wanmer deze dempingsccnstante klziner m r d t , is te

v z r s a c h t e n dat m k d e i n s t & i l i t e i t m i n d e r

i m r d t - Immers, i n h e t limietgewal d a t BE = O ,

is E T geen r o t e r e n d e demying meer, s n z i J n de

-z3-

Het gebruikte criterium vûor al dan niet stabiel veronderstellen van het systeem! is het teken 1 3 3 3 de resle dzlen v 2 n de eigenwaarden v a n

h e t cgstuem.

Wanneer een of meer eigenwaarden e e n pcsitief reeel deel hebben, is d e eigentrilling instabiel.

Zodoende geeft d e invloed v a n d a variatie v a n een parameter op h e t reële deel v a n de

eigenuaarden een idee over de invloed 03 de stabiliteit.

Wp grond van bovenstaande redenering is het Dssitieve r & l e deel van de "instabiele" eigen- waarden uitgezet t e g e n d e variatie van een

parameter.

Eerst zal echter nzg een korte beschouwing gegeven worden over d e optredende eigenvormen.

LI.2.1 Eigenvormen

In d e volgende paragrafen szllsn steeds kweu eigenwaarden een p r i s i t i e f reeel d e e l b l i j k e n te hebben.

b l i j k t dat eik var; ciu eigenuaarden :mm een speciaal tgpa Seweginj staat. ge r u l l z n deze in het vervslg t g p e 1 resp. t g p e 2 nsemvn,

Eil naderu besckouwrng van deze e i g e n v z r r n e n

Type 1

Tgpe

2

Deze eigenvorm i h l o k j e s l i j n l gedraagt zich ongeveer 2s :

Wok nu draaizn statortrotor-centrum en v l i e g - wielmiddelpunt o m de c a r s p r o n g h e e n , maar nu bevinden z i j zich tsgenover elkaar. (Zie

9 . 2 . 3 i j a r i a t i e van du stijfheid v a n de elastische ZtLSSEniEIâg ( E l l i

VARIATIE STIJFHEID TUCCENLRFIG (SE

(Cl))

FIGUUR

12

Een taename v/an d e stijfheid yeeft blijkhaar een v z r l a r ; i n g v a n de positleve reele delen, dus

881; verbetering v a n de stabiliteit,

Om dit mechzni-rne enige plausihilit-it vsrlenen,

u i t w i j k v e r h o u d i n g berekend. Dit is de v e i - h o u d i n g tussen d e beweging v a n h e t v l i e g w i z l t , n . ' k , de aarde en d e beweging van d e s t a t a r t . o . v . du aarde, Deza verhouding wordt verkregen uit de eigenvectorun 8

Wânneer bovenstaand mechanisme waar is, moet de

u i t w l , j k v u r h o u d i n g afnemen h i j toenemende stijfheid.

is a:s FunctiU wan de stijfheid de

Bij g e l i j k b L i j v e n d z vliegwieluitwigking t.o.v de aards zal d e stator door d e sti.jvere veren

g e d w a n g e n wcrden verder uit ts zwaaien: de lLikL!i,>kVZrhCILlding TlSiE?Kik O F . {zie tabEl 1 3

7.9 E 7 8 . 1 E7 3 - 8 E7 1.2 EB 1.3 ie 1 . 9 EB 1.5 EB 1.7 EB 1 . B E 8 d O 50 70 FIGUUR 13

Dit karnt v e r n o e d e l i , j k doordat er dan meer e n e r g i e gedissipeerd w r d t door de o p h a n g i n g .

Hierdccr hoeFt de tussenlaeg min.áar energis on te zetter;, ei7 w o r d t de eigenvorm minder instabiel.

-27-

VRRIRTIE STIJFHEID WHRVGING

(SI U 2 1 1

a

FIGUUR

14

Mogelijke verklaring Ctype 1 3 : -Instabiliserend effect

cp

‘c?eT?ame v a n de stijFheid Sekekent minder g r o t e uitwijkingen van s t a t o r t . o . v . aarde, en dus

miades enzrgiedicsipatie Soar de aphangrubhers.

Cit impliceert ;neer omzetting ir; de tussenlaag, d u s de constructie is stahielar.

-StaSiliserend eFEic3ct I t y p u

21:

Ce situatie wardt weergegeven in figuur 9 .

Uanneer nil d e s t i , g f h u i d 31 g r s t e r iitsrdt, zal de stator centrischer gaar; lopen, D i t betekent dan, dat d e s t a t a r ook centris=hur t.a.v. het

vlizcjwiel zal óraaien. Oe uitwijkingen w a n de statar t . s . v . h e k v l i e g w i e b zijn dan kleiner,

dus zal er minder energiedissipatie plaatsvinden in de dempers: d e constructie wordt s t a b i e l e r .

-2E-

I

Contruie: Itanneel- d e vaergaande v e r k l a r i n g e n van de optredende v e r a n d e r i n g e n in de

eigenwoardun correct z i , j n , z a 7 dit ook moeten blijken uit de eigenvormen. Lsie zettzr: u e ~ r de uitwijkverhoudinnen v

u i t als Functie v a n de stijfheid. Zie

tabel 2. TREEL.

2

S&F jfheid U i t w i j k i n g s v e r h . Type

2

1

.YB7 i . Y 3 1 1 . 3 7 8 1.325

1.278

1 .?Ta

Ue eerste twee waarden voor type 1 ontbreken orrdat daar h s k reële d e e l nog riegatiel is.

V a s r t y p e 1 z i e n M E d a t de

uitwigki~gsverhaudinc toeneemt, dus dat het

vliegwiel excentrischer ten opzichte van d e crardg! en d z s t a t o r kûrnt Ce liggen. DE dwmpevs warden meer uitgerekt h i j dezelrde frequentie, dus het destabiliserende ef-ect tri9rct-k invloedrijker.

U o m t g p Z z i e n w e de verhouding kleiner w o r d u n . De stator Ir@ ten g z v o l g e van de stijvere v ~ r m centrischer t.o.v. de aarde, SE

dus cenirrscher - L . O . L T . h e 2 viiegwielCzre figuur E l ? . Be kietriegirÎg uiordt d u s stabieler.

-29- n 8 - 8 -

2 -

N - ! U

Y a 2 , 5 Uariatie van d e ctatermassa TS

J U U n u i u U tlr

i

A 50 70 90 190 930 150 ->

V A R

I AT I

ECOEFF

o EX1

FIGUUR

15 -Stabiliserend e r ' E u c t

B i j deze type 1-beweging (zie f i g u u r 9 3 zal b i j tûenemende massa van d e stator, deze verder

uitwijken bij dezelfde uitwijking van het

vliegwiel t , c i . v , d e aarde, en zodaende centraler in het vliegwiel komen tu l i g g e r ; . D e demper tussen stetor en vliegwiel kriJgt minder grote uitwijkingen te vertilerken, dus de invloed van

inkerne demping neemt ai: de constructie wordt stabizier,

-30-

T A I E L 3

t j i t w i j k i n g s v e r h .

B i 2 tgpe I zier: w e weer een afname v a n d u u i t u i , j k i n g van vliegwiel t . o , i- I de aaide tegen- aver de uitwijking v a n stator C . G . V . aarde. Dit betekent een kleinere demperuitsizy tussen stator

é3n v l i e g w i e l : s n dus rnizder instabiel*

S i j t g p e E? t i ~ ~ r d t d e verhouding steeds groter ï!e u i t w i f k i n g v a n het vliegwiel w o r d t dus steeds

groter, waordoor de deïl;pers tussen s t a t o r en vliegwiel meer te verduren k r i ~ g e n : d e beweging i m r d t instabielar

'VRRI AT I E RCJT!3RMRCSR (TRI

V o o r verklerivg van d e 3ptrede3de tendenzen

a i e d a v ook c5u vzrigz paragraai?"

i . z 1 . E ] Uariatie van d e vliegwielmassa fTU1

Resaltzar:

!4ìRIRÏIE VLIEGWIELMASSA (T'P1

-n--&--%-: 3 4 I---- .4 -E=--&

b l G ~ L . a t i i L 1 3 ~ i E S f f L . I G L i E L I L

Dit e i F ~ ! c t i 5 als v o l g t plausikel te naken, Het ia d u t y ~ u 1 Seweging die destabiliseert. Wanné3er de vliegwielmassa groter u a r d t zal het vlieg!~ielmiddelpunt meer uit gaan slingeren H i e r d a ~ r k s m t het vliegwiel excentrischer t . a . v . d e s t a t o r - te liggen. De dempers w a r d e n meer in- gedrukt, de interne demping wordt h o g e r t ~ l n d e

-32-

8 -

2 -

Zoäoende worz?rn dc! bewegingen van het v?iegwiel

t . o . v . de s t a t o r kleiner, trueút er bus minder i;?terne demping on, en is d e constructie s t a - bieler.

A l s zantrcle van hovanstaande redenering wordt d e

u i t w i ~ ~ i n g s v u r h o u d i n 6 als functie van du vlieguielmassa g s g e v B n . Ziz tabel

2 .

Wocr de eigei7vorrn v a n type 1 n e e n t úe u i t w i f - k i n g s v e r h o u d i n g t o e , ~n is 6us instabieler b i J grotere massa3 voor e i g e n v o r m van t y p e 2 geldt net het omgekeerde.

vliegwbulmassa gedragen zich dus als verwacht.

De eigenvoLmvera~deringen als f t l n c t i e van d e

42.

Variatie van de haeksnelheid <CIM>

Rust; n t, .A W

H

i

O

8oMl 5OûQ loo00 12000 lM##l 43ooo 14OOO 15oM3 16000 17oM) -> HBEKSNELHE I D CBNW/MI Nf

-33-

E e n ssijging van de hoeksnelhzil h e e f t dus een behaarlijk instabilisErende i n v l o e d . nit is oak W Y L t e verwachten, omdat d e i n s t a b i l i t e i t ,juist veroorzaakt irioidt d c o r d e E-oter-znds demr;ing, en daar z i t de hoeksnelheid l i n e a i r in Czie blz.

111

*

9 . 2 , I O Conclusies uit de invloedslijnen.

Maar aanleiding van de voorgaande resultaten kunnen di3 v o l g u n d e uitspraken warden gedaan.

-

De stabiliteit wordt verbeterd dcor:

.

Uerlaging van de demping v a n de

, Lierlaging van de hoeksnelheid van hei

, Uerhoging van d e stijfheid v a n d e

.

Uerhoging v a n de demping v a n de tussenlaag

vliegwiel m h a n g i n g ophanging

-

Over de variatie van de overige parameters is nog nizt te zeggen a f z e stabiliserend,

instabilisereqd, af misschien w e l np Seide manieren & t e r k t . Dat n a 1 nog n a d e r andernac5t moeten worden.

Er is nu van een aantal parameters bekend w a t d e invlaer! is a p d e stabiliteit.

Nu moet nog busaald. w o r d m :

l i af # er wel een scabiei g e b i e d is

In d e volgende paragraaf zal dit uitgezocht uiorden.

-

Opmerking: ier verificatie v a n d e b e p a a l d e ctzfji- liteitcgrenzen is s r een ânalytische stabiliteitsbes~houwing voorhanden, uitgevoerd voor CCY d o o r d r , i r . F

v . d . ven f 7 3 .

Na een evaluatie en een c~rrectie van

deze analyse [zie Q p p ~ n d i c e s 5 en Ei geven n u n e r i e k e en analytischz

F'räncjezisn tie analytische methode van

v . d . Ltsn v e e l C r e k e n I t i . j d S e s p ä a r t , zullen de stabilitzitsgrenrun hiernu=

bepaald worden. S e s z h o u w i n g dezslfde u i t k o m s t e n . In de g r a f i e k e n is d e d e m p i n s c v e r h o u d i n g E31i5E

<=p2.!/":1

aitgezet tegen d e h o e k s n e l h e i d , B o v e n d e l i J ; t s n is de ccnstructie stabiel, ercnder i n s t ~ b i e l .

In e l k z grafiek wcrr2t voor een a a n t a l waarder: van e e n p z r z n e t e r d e stabiliteitcgrens beïekend.

In d e grafiekun z i ~ n d e grenzen a l s een rechte

lijn, OF a l s bestaande uit trueu rechten getekend. Git Lineair= v e r b a n d tussen dempingsvurhauding en hoeksnelheid is een goede benâcierir;g v a n h e t

werkelijk gedrag v a n k e t v l i e g w i e l m o d g b . In de

analytische stabiliteitsbecc~ouwing E 7 3 z i j n een aantal vzrwaailozingen gedaan? waarrdocr d e

linsaire relätie volgde. In r i p p e n d i x 6 is e e n ordebeschouwing g e h o u d e n die last zien dat de v e r w a a r i s z i n g e n t e r e c h t 2 i j n

N

STRBILITEITSGRENZEN

VOOR

VERCHILLENDE

WRRRDEN

URN

C î

T M + T S - 3 2 0 E K G I p TV-1 8 0 E K G I 9 S E - I 6 4 E 7 C N / m J

o m 400 6M3 800

1m 1m

14M3 1600 1m

m

2200 2400 ->

HOEKSNELHEID

CRAD/CECI

L ' i t d e lijnen blijkt, dat b i j v a r i a t i e v a n 51

beide in paragraaf 3 . 2 . 5 gencexds E f f e c t e n EUI?

rol spelun: tot cp zukere hoagtu v z r g i u o t het

stahiliteitcgehied b i j toename v a n d e stijfheid, maar dan neemt h ~ t weer a f , Er m e t dus ergens

ESF o ~ t i m u m z i j n . Uit optimum zal W O T ~ E T ; b e p a a l c t in paragraai 9 . 9 . Z m

Hier is v o o r ~ u n aanka: waarden v a n du massa

v a n stator + r s t m het stabiliteitsgebiud

getekend.

neze massa's kunnen sam2n gevarieerd worden,

omdat alle277 du S E E v a n aeze t w ~ e i n de liergeli_?-

kingen voorkomt, niet de termen apart,

n I u

-

P a \ N a Y A I

w

a

STABILITEITSGRENZEN

VueIR VERSCHo UARRDEN VRN TS+TR

T V - 1 8 0 I K G I S E - S 1 - I + 4 E 7 C N / m l

1

FIGUUR

20

ET geldt h i e r dat het stabiliteltsgebied kleiner wardt wanneer de statsrtrctormassä trr~ri~ernt; b i i J k b a i r i is a l l e e n het destabili- 5 e r z n J e n u c k i n i s r n e d c m i m n r i n het Ozszh~uude Faiaveteigebred.

STABILITEITSGRENZEN

VBBR

VERSCHQ bJAARDEN

VAN

TU

n I U e \ N e W \ v m A I o

200

400 600 800 11300 1200 1400 1600 18c70 2ooo 22w3 2400 ->

HBEKSNELHEID

CRADíCECI FIGUJR 21

-39-

M e kunnen nu aan d e hand van du conclusies uit d e y2Tig.- -q ; & ~ - ~ g ~ - ~ g ~ ~ - j i . ss$2

.z;r

gy;zizt .-.$?i@

ij]*;

stabiel gebied z v e k e n .

d a a r b i g , dat ze in het geheie toerengebied onder een dempingsverhouding v a n û PO n o e t blijven! omdat hoger praktisch niet haalbaar is.

Een praktische eis z a n de stabiliteitsgrens is

? t S 3 , Z E e r s t e optimalisatie: Stijfheden en dempingen

In eerste instantie mijn de massa’s van stator, fztor en vlieguiel vastgelegd i n hst

o n t u e r p van d e constructie. Be2e zullen w e aanvan- kelijk dan oak coi;stant h ~ u d o n ,

Dok de s t i j i h s i d von de tussenlaag is een a n t w e r p k e u z u . DEZE waarde komt v a n t i i t de sis een

z o laag mogeliJke lagerbelasting te k r i , j g e n t t ; c % e n skator en rotor.

De enig mogeligke pararneter wordt Dan de ski jfhaid v a n de ûphanging a

De optimalisstie is a l s volgt gedaan:

Wan de twee criteria die een ra1 spelen, i% eerst du ene dominant, dan de andere. Deze criteria zijn waarden sioor de minimale d e m p i n g s v e r h o u d i n g

die vereist is voor stabiliteit. Het ene

criterium wordt grcter hij taene~ende stijfheid van d e ophanging, de andere k L e i n e r . Wanneer nu d i e stijfheid gevondun w o r d t , wâarhij de

k : r i t i s c h e dempingcverhoudingen volgens beide =isen e v ~ n groot mi:a, is ket Grootste, stabiele gebied gevonden.

In tabel 5 is v o o r een aantal waarden van d e

stijFheid van d~ ophanging de waarde van de beide criteria genoteerd. De tabel stûpt uanneer de zkminantie ~ v e r g a ~ t vai7 het 8i-m z ä a r het âriderz critzrim,

TABEL. 5

-

PFIRRMETERS 7 L I J N 8 1 S E T S + T R Ï V E - I 1e4E7 391E7 320 480 1 1 1 e 4 E 7 297E7 265 180 crit,

2

> \ N -

FIGUUR

22 I 1 1 218E7 5cOE7 265 180 I V 516E7 9 e 3 E 7 , 265 180 5 - c 1 - t o -

* -

N - c3 I 1 I I I I 1 I I I I L I 0

200

400 w30 800 io00 1200 1400 1600 1800 2ow 2200 2400

-UI- -

Ye bijbehcrende minimaal benodigde deqpir;gs- verhouding is ongeveur 10. Dit is echter ook de b = ~ v e n g r u n s van het praktisch hzâlbare. Er dienen nog parameters te worden gevarieerd n m het

stabiliteitsgehied te vergroten.

Opmerking: Zoals in t a b e l 5 te Z i e r ; is, zijn de

criteria zeer gevoelig voor kleine variaties in de stijfheid 51, Dit betekent, dat vanr*lege te verwachten invloeden als Labricage-

onnauwkeurigheden en veroudering, het vrijidel i l n m o g e l i j k is een bijna

optimaal stabiliteitcgebied te verwezenlijken. Een praktisch zeer nadelig punt

2 . 3 . 2 Tweede oatimalisatie: Licktere statcr+r=tcr

lioigens CCM is het in principe mogelijk de statortrotormassa te v z r k a g e n tot Z E S t k g ? e

Wacneer ue d i t d a m : en dan de optimale ophang- s t i l r h e i r i bepoizc, vinden W E l i j r : I 1 in fisuur

2 1 .

N U ligt de gehele stabiliteitsgr~ms net in he+ vereists gebied ander de maximale dengiKgsver-

I-iaudinjtj. H e t is echter ncg maar ~ a r g i r i a a l . 3 a a x m 1s vErdere vergraticg VZT-I het stakiliteitsgekred noodzakelijk.

'-i.!km.3 flerde optimalisatie: Hogsrs lagerbelastingen DE e n i g e nng te variëren i*raarda is de

stijfheid van du t u s s e n l a a g (de vliegwielmassa ligt absoluut vastl. Er moeten dus concessies gedaan w o r d e n aan de lagerbelasting.

Toename v a n deze stijfheid geeft sen

behoorlijks v e r g r a t i r g van het stabiele geSie5. tioor heide isiaarden ligt de stabiliteitsgrens ruim binnen het ver%ist,e gebied

We hebben dus nu thenretisch een bruikbaar stabieî gebied ~;ev=nt2!ur;. [?L dit osk praktisch

9 . 5 Becalina van EUR praktisch stabiel gzbi&!

9.5.1 Praktische stabiliteit

In het voorgaande is zen theoretiszhe grens

vuoc d e stabiliteit bepaald. Deze. grens was de

configuratie waârcp sun af meer eigznwaardzn uin resul deel O hadden, en d e rest van de

eigenwaarden c 1 m nzgatief r e e e l deel.

Dit reeie d e e l is narnelijk een maat voor d e C s e ~ e l duel > G I va? de butrefFende u i g e r i v o r m . u i t d e m p i n g i;ref;el dzel < Of af upslingzring

Praktisch betekent reuel dzzl Q dus

uitdsmping binnun e i r i d i g e t i j d . Wanneer d i t reels dzel u z h t a r b=i,jn-. C is, m a a r = m g :.ml nzgatiaf, zal d e g i t d z m p t i , j d erg l a n a z i j r . . ( i ' i u figuzr

23)

FIGUUR

23

FIGUUR

24

i n g e v o e r d . Deze grootheid m e m t men ual het logcrithmicck decrement,

-23-

02 eigEnvsrm ~ ~ r t f t pr&tisci7 stahiel v u r o n d u r - steld als v ~ o r hut bijbehorend logarithmisch decrzment daita geldt:

Delta 13.3

am

tot een praktisch stabiel gebied te komen

is in plaats van de grens: reeel deal <

0

de grsns: delta > 0 . 3 genomen. Dit lei (lijn I Q i verticale Elijkbaar gebied.

d d e echter in het meest g ~ n s t i s e n grafiek 213 al t o t een vrijwel l i j n vlakbig de corcprong.

is e r geen bruikbaar pïaktisch s

g e v a l tábiei

Om t ~ c h enigszins een zicht te krijgen hoe snel d e trillingen u i t d e n ; p s n ir; het v z r e i s t e gebied (tussen de stippellijnen? is voor eerr aantsl punten in d i t gebied het logarithmisch decrement uitgzrekznd. Het resultaat is

?,.IUSr,nUg7":'U;Ï i?? f i p b i i l r 2 5 ,

O 200 400 6w3 800 ?[Mo 12w3 1LooD 9600 48ûû 2ooo 2200 24iB

->

HBEKSNELHEID

CRRD/SECI

In ;?ut Seszhowde yebied zijn d u

lugarithmische decrementen veel kleiner clan V O G T

stabiliteit in praktische zin vereist is. Ter verduidelijking is hieronder in figuur: 26 d e trilling uitgezet, die volgt b i J een log. d e c r .

v a n 0 . 0 4 6 , Uergeiijking met f i g u u r

26,

die een Log. i ? a c r . van 0 . 3 (de grenswaardel

v e r t e g e ~ w c û r d ~ g d ~ m a a k t het v e r s c h r l duidelijk.

FIGUUR

26 i'

Opmerking: QE theoretische stabiliteitsgrens v z n reeel deel O ii; maLhankelijk var; de

dempingen van ti;rsenlaag en ophanging, zolang d e verhct-;ding tussen deze

dempingen maar consta3t blijft.

Uoor de praktische grens delta = 0.3

hoeft dit echter niet t u gelden.

Sterker: het geldt niet. Een controle- 5erekEning Czie appendix 7'1 suggereert dat het praktische stabiele gebied groter w o r d t naarmate de teller en ncemer van de (constante2 dempings- verhouding groter worden.

Daarom is bi^ het bepalen van d z optimale stabiliteitsgrenzen Czie figuur

211

de in praktijk groatst ncgelijke waarde wmr d e demping v a n de ophangrubbers genomen:

De vliegwielccnstrüctie die in het vooryaandz beschouwd is, is hoogstwaorszhijnlijk te kritisch om praktisch bruikbaar te zijn,

De csnslrüctie is o p twee plaatsen aeer kritisch: 1 5 De cptredende eigentrillingen dempen veel

langzamer uit dan geuunst ic.

21

Het maximale theoretische stabiliteitsgebied is z e e r gevoelig voor variaties in met name de stijfheid van de ophanging. Een zeer kleine variatie bleek al een behoorlijke verkleining van het bepaalde stabiliteits- gebied te geven. DOOT effecten als fabricage- onnauwkeurigheden, en materiaalveroudering kan het gei=lande theoretisch stabiele gebied in wzrkelijkheid waarschijnlijk niet hereikt

worden, laat staan gehandhaafd voor langere

tijd a

Een constructieve verandering die een behoor- lijke vernindering van de interne dernpingsinvloe- den teweeg brengt lijkt derhalve noodzakeligk,

Een overzicht vcrn d e gebruikte stencils en dictaten.

Interne d e m p i n g Dr.1r.A. de Kraker Stencil

Enige onderwerpen uit de toegepaste dgnamica: Ratatie van een s t a r l i s h s a r n om een v a s i punt

i n drie aimensies; gyroscopische eff'ecten I ~ K - . I L - . R ~ d e Kraker

Stencil

Egnamisch gedrag vliegwizl D r , i r B F . v . d . Liun Stuncil 5 .januari '86 f a t a l g i g u s EEZKS Rubberkechiek G T ~ - ~ o c u m e n t a t i e c e n t r u m nr.20.05 Staoiliteits-nderzûek

Elr.ir. I;. v . d . Ven

Stencil

TCI

u4

=

fi&

- 7

I---

-1

E,,

-e+-

‘&,+

i

I

1

L

_I_ t

I

i

1

-A

I

4 1

1-2

-L

I

ti7

e w

-‘---i

I

-A.

3c

-

-1

I

1

-.jea

I

--tÏ

L2fJ

-r,

I

L e

I

o

o

o

U

I- ---

' 4

1

CI

c

I *

A3.8

/

VLiECWIEL

1

C a a r n a a s t z i j n WE: de zonina1e waarcien van cis s y s t e e m j a r a m e t e r s bakznd:

Massa 5 :

Lilizgwial

Denpii-igen:

Elastische ophanging: