Werktekst A: Vraag en aanbod
Het aanbod: vergelijking (1)
In deze werktekst bestuderen we een product waarvan de productietijd ongeveer één jaar in beslag neemt. Het zou bijvoorbeeld kunnen gaan over een landbouwgewas dat vóór de winter gezaaid wordt en in de volgende zomer geoogst wordt of over varkens die vetgemest worden. Om te bepalen of ze al dan niet met de productie zullen starten, houden de producenten (onder meer) rekening met de prijs van het product. Omdat de productietijd ongeveer één jaar bedraagt, beïnvloedt de prijs op een zeker ogenblik de grootte van het aanbod ongeveer één jaar later. We stellen de (totale) aangeboden hoeveelheid (door alle producenten samen) over n jaar voor door a en de prijs over n jaar door n p . Dan hangt n a af vann
1 n
p . We zullen er van uitgaan dat het verband gegeven wordt door
1 4 30 n n p a voor alle n1.
De vraag: vergelijking (2)
De consumenten houden bij hun aankoop (onder meer) rekening met de prijs van het product. We nemen aan dat het hierbij gaat over de prijs op het moment van hun aankoop. We stellen de (totale) gevraagde hoeveelheid (door alle consumenten samen) over n jaar voor door v . We weten dat n v afhangt vann
n
p . We zullen er van uitgaan dat het verband gegeven wordt door
n
n p
v 1505 voor alle n1.
Het evenwicht: vergelijking (3)
Een laatste veronderstelling die we maken, is dat elk jaar alles verkocht wordt dat aangeboden wordt, d.w.z. dat
n
n a
v voor alle n1.
Concreet betekent dit het volgende. De hoeveelheid die aangeboden wordt, ligt vast: het graan is vóór de winter geplant en moet in de volgende zomer geoogst en verkocht worden, de varkens zijn vetgemest en het vlees dient op de markt aangeboden te worden, … Om er voor te zorgen dat vraag en aanbod in evenwicht met elkaar komen, zal men de prijs laten dalen of stijgen. Dat is niet voor alle producten een realistische veronderstelling. Soms zal men er bijvoorbeeld de voorkeur aan geven de prijs niet te laten dalen, maar zal men voorraden opbouwen. Wij veronderstellen hier dus dat dat niet gebeurt, bijvoorbeeld omdat het een bederfbaar of modegevoelig product betreft.
Het begin: vergelijking (4)
We veronderstellen dat de prijs nu 25 geldeenheden bedraagt, m.a.w. 25
0
p .
Hoe evolueert de prijs?
de prijs van nu bepaalt het aanbod van volgend jaar
om vraag en aanbod volgend jaar in evenwicht te brengen, wordt de prijs van volgend jaar aangepast de prijs van volgend jaar bepaalt het aanbod over twee jaar
om vraag en aanbod over twee jaar in evenwicht te brengen, wordt de prijs over twee jaar aangepast …
We zullen in deze werktekst onderzoeken hoe de prijs evolueert.
Bij de werkwijze die hierboven geschetst is, onderzoek je de evolutie van de prijs door elk van de bovenstaande vergelijkingen om de beurt te gebruiken. Je kan de prijsevolutie echter op een efficiëntere manier onderzoeken door de eerste drie vergelijkingen te combineren tot één (recursieve) vergelijking (differentievergelijking) die een rechtstreeks verband geeft tussen p en n pn1.
1. Stel deze recursieve vergelijking op en geef de beginvoorwaarde.
Berekeningen met rijen op het basisscherm
2. Hoeveel bedraagt de prijs binnen één jaar? En binnen twee jaar?
3. Onderzoek hoe de prijs de volgende twintig jaar evolueert. Maak hierbij gebruik van de ANS-knop van je rekentoestel.
4. Op een gegeven moment lijkt er een evenwicht te ontstaan. Hoeveel bedraagt de evenwichtsprijs?
Tabellen en grafieken
Je kunt recursieve voorschriften in je rekentoestel invoeren. Hiervoor moet je eerst de juiste MODE instellen. Druk op de [MODE]-toets en kies op de vierde regel SEQ (van ‘sequence’, het Engels voor rij) en druk [ENTER] om je keuze te bevestigen.
Als je nu de [Y=] - toets indrukt, verschijnt in het venster o.a. ‘u(n) =’ in plaats van het bekende ‘Y1=’. 5. Vul op de plaats van ‘u(n)=’ de recursieve vergelijking in. Voor de rekenmachine wordt de veranderlijke p dus u. u vind je bij [2nd][u] en de veranderlijke n verschijnt bij de [X,T,,n]-toets.
Stel ook de beginwaarde van n in (nMin) en de beginwaarde van u (u(nMin)).
6. Maak een tabel en een grafiek van de evolutie van de prijs en controleer hiermee de bevindingen die je eerder deed (om de evenwichtswaarde te controleren zul je nMax voldoende hoog moeten nemen). Voor de grafiek moet je nog een goed tekenvenster kiezen. Met nMin en nMax geef je aan welke
termen van de rij berekend zullen worden. PlotStart en PlotStep gebruik je om aan te geven welke termen getekend zullen worden. Met PlotStart stel je in vanaf welk element van de rij het tekenen moet starten. Omdat we u(0), het eerste element van de rij, ook willen laten tekenen, moet je PlotStart op 1 zetten (of laten staan) Omdat we alle termen van de rij willen laten tekenen , moet PlotStep op 1 staan. Met [GRAPH] wordt de grafiek van de recursieve vergelijking gemaakt. Met [TRACE] kun je, zoals bij functies, ‘over de grafiek lopen’.
De instellingen voor de tabel kun je aanpassen met [2nd] [TBLSET]. De tabel wordt gemaakt als je op [2nd] [TABLE] drukt.
7. Voer dit expliciete voorschrift in in je rekenmachine voor de rij v(n) (zonder de beginwaarde te specificeren) en controleer aan de hand van de tabel en de grafiek dat de rijen u(n) en v(n) gelijk zijn. 8. Maak een spinnenwebdiagram. Hiervoor moet je eerst een instelling aanpassen: druk [2nd]
[FORMAT], kies op de eerste regel WEB en bevestig met [ENTER]. In het Y=-scherm mag je het expliciete voorschrift verwijderen. Het tekenvenster moet je wel aanpassen (op de horizontale as wordt nu niet langer de tijd maar ook de prijs uitgezet). Een goed tekenvenster vind je in de onderstaande schermafdrukken:
Druk op [GRAPH] om de start van het spinnenwebdiagram te laten maken. Druk vervolgens op [TRACE] en verschillende keren op het pijltje naar rechts om het spinnenwebdiagram af te werken.
Antwoorden
1. pn 0.8pn1 36, p0 252. p116, p2 23.2
3. de prijs schommelt, de schommelingen worden kleiner en kleiner (de schommelingen zijn gedempt), er is een limietwaarde
4. 20
5. Dit is het ingevulde scherm. Let er op dat je het goede minteken gebruikt en dat je de letter u intypt zoals aangegeven in de opgave.
6. Een goed tekenvenster is het volgende:
We krijgen een beter beeld van de grafiek als we de opeenvolgende puntjes laten verbinden. Dat doe je door in het Y=-scherm met de cursor op de regel van ‘u(n)=’ helemaal vooraan te gaan staan en door met [ENTER] de tekenstijl aan te passen.
7.
Werktekst B: De wondere wereld van de recursievergelijking
1
(1
1)
n n n
t
at
t
De recursieve vergelijking uit het voorbeeld en uit werktekst A zijn van de vorm tn atn1 , die web
kunnen omwerken tot 1 tn a tn1 . In deze nieuwe vorm is het linkerlid een lineaire combinatie vanb
n
t en tn1. Daarom spreken we in dit verband van lineaire recursieve vergelijkingen. Nu onderzoeken we
een recursievergelijking die niet lineair is en laten we zien dat de wereld van de niet-lineaire recursieve voorschriften veel gevarieerder is dan die van de lineaire.
We onderzoeken recursieve voorschriften van de vorm tn atn1(1tn1), waarbij a een getal voorstelt. Nieuw bij deze recursievergelijking is dat in het rechterlid een product staat van twee factoren die tn1
bevatten.
1. Welke lijnen zal je te zien krijgen op een webdiagram? Neem a2,5.
2. Maak een webdiagram van de rij met beginwaarde 0,1 en beschrijf het verloop ervan in woorden. Verklaar wat je vaststelt zoveel mogelijk op basis van het recursieve voorschrift.
3. Onderzoek de stabiliteit van de twee (!) evenwichtsposities. We nemen nu a3,5.
4. Bereken met de hand het verloop van de rij met beginwaarde 5 7.
5. De onderstaande schermafdruk toont het spinnenwebdiagram van de rij met beginwaarde 5
7. Geef een verklaring voor wat er misloopt.
6. Onderzoek met de hand en met de rekenmachine het verloop van de rij met beginwaarde 3 7. Noem ( ) 3,5 (1f x x x) en f x2( ) f f x( ( )).
7. De onderstaande figuur toont de grafiek van f en de eerste bissectrice. Je kan narekenen dat de2
snijpunten optreden bij de x-waarden 3 7,
5 7 en
6
7 (en 0). Het is geen toeval dat dit de getallen zijn uit de vragen 5 en 6. Geef een goede verklaring!
8. Onderzoek en verklaar het verloop van de rij met beginwaarde 0.1. Je moet ver genoeg in de rij gaan (ongeveer tot rangnummer 40) om te zien wat er te zien is.
Antwoorden
1. De rechte y x (zoals steeds) en de parabool y ax (1x).2. Helemaal in het begin stijgt de rij, daarna schommelt de rij. De schommelingen worden steeds kleiner en de limietwaarde is 0,6. Om dit vast te stellen; kun je gebruik maken van een tabel en/of een webdiagram (inzoomen om het verloop te zien voor termen met een groter rangnummer!).
De limietwaarde kan je vinden door het snijpunt te bepalen van de parabool met de eerste bissectrice. Het feit dat de rij (na een aanloopperiode) gedempt schommelend verloopt, houdt verband met het feit dat de raaklijn in het snijpunt richtingscoëfficiënt 0,5 heeft. Als de termen zeer dicht bij de limietwaarde genaderd zijn, kunnen we de parabool vervangen door de raaklijn. En een rechte met richtingscoëfficiënt tussen 1 en 0 zorgt voor een gedempt schommelend verloop.)
3. De parabool en de eerste bissectrice hebben twee snijpunten, die dus twee evenwichtswaarden opleveren: 0 en 0,6. Als we een beginwaarde nemen in de onmiddellijke omgeving van 0,6, dan convergeert de rij(gedempt schommelend) naar 0,6 (verklaring: denk aan de redenering met de raaklijn bij de vorige vraag!). Dit evenwicht is stabiel (of: aantrekkend). Als de beginwaarde exact gelijk is aan 0, dan zijn alle termen van de rij gelijk aan 0. Nemen we echter een beginwaarde in de onmiddellijke omgeving van 0 maar niet exact gelijk aan 0, dan convergeert de rij niet naar 0. Als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het dus niet terug naar zijn evenwicht. Dit evenwichtspunt is niet stabiel (of: afstotend).
4. De rij is constant.
5. De machine werkt met een decimale benadering van de breuk en start bijgevolg met een beginwaarde die niet exact gelijk is aan 5
7. Omdat het evenwicht niet stabiel is, raken de termen die de machine berekent steeds verder van de echte (evenwichts)waarde verwijderd. Na een groot aantal stappen levert dit zichtbare verschillen op.
6. De termen van de rij nemen afwisselend de waarde 3 7 en
6
7 aan. We zeggen dat zo’n rij periode 2 heeft. Nu doen er zich geen problemen voor bij de berekening met de rekenmachine.
7. De recursievergelijking die we bestuderen, kunnen we schrijven als tn f t(n1). De x-waarden
waarvoor ( )f x geven aan welke beginwaarden een constante rij opleveren. Dat hebben wex
hierboven geregeld gebruikt om evenwichtspunten te bepalen. De functie f komt tevoorschijn2
wanneer we t uitdrukken in functie van de term die twee plaatsen voordien staat:n
1 2 2 2
( ) ( ( )) ( )
n n n n
t f t f f t f t .
De x-waarden waarvoor f x2( ) geven ons dus de beginwaarden van de rijen waarvoorx
0 2 4 6 ...
t Vanzelfsprekend geldt dan ook t t t t1 We krijgen dan m.a.w. een rijt3 t5 t7 ...
met periode 2. Dat verklaart waarom 3 7 en
6
7 van de partij zijn. Als de beginwaarde 5
7 is, zijn alle termen van de rij aan elkaar gelijk. Dan klopt de voorwaarde hierboven natuurlijk ook.
8. Na een aanloopperiode komen dezelfde vier getallen steeds terug: (afgerond) 0,87500, 0,38282, 0,82694 en 0,50088. Het klopt niet helemaal, want een aantal decimalen veranderen nog. Maar naarmate je verder gaat in de rij blijven meer en meer decimalen gelijk.
De rij ‘convergeert’ als het ware naar een ‘stel limietgetallen met periode 4’. We kunnen dit stel terugvinden op de manier van vraag 7. Noem f x4( ) f f f f x( ( ( ( )))) (een veeltermfunctie van graad 16!). De snijpunten van de eerste bissectrice met de grafiek van f bepalen de rijen met periode4
(hoogstens) 4. De onderstaande figuur (links) toont de grafiek. Als we de gepaste delen uitvergroten (zie bijvoorbeeld de middelste en de rechtse figuur), zien we dat er in het totaal 7 snijpunten zijn.
We kennen reeds drie van deze snijpunten, namelijk deze met x-coördinaat 3 7,
5 7 en
6
7. En voor de overige vier verwachten we de periodiek terugkerende waarden uit de rij hierboven te zien. Dat klopt effectief. De onderstaande figuur toont dat voor één van deze vier.
Wat experimenteren leert dat er geen rijen zijn die op de lange duur steeds meer lijken op de rij met periode 2 uit vraag 6, terwijl heel veel rijen op de lange duur steeds meer lijken op de rij met periode 4. De verklaring daarvoor is dezelfde als die voor het al dan niet stabiel zijn van een evenwicht. De raaklijnen aan de grafiek van f in de bewuste vier snijpunten met de eerste bissectrice hebben4
allemaal dezelfde richtingscoëfficiënt, namelijk (afgerond) 0,03 , in absolute waarde kleiner dan 1. Daarom is dit stel van 4 aantrekkend. De raaklijnen aan de grafiek van f in de punten met eerste2
coördinaat 3 7 en
6
7 hebben (beide) richtingscoëfficiënt 1,25 , in absolute waarde groter dan 1. Het stel van 2 is daarom afstotend. Het is overigens niet moeilijk om analytisch aan te tonen dat de vier (resp. twee) raaklijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben en om de richtingscoëfficiënt van de twee raaklijnen analytisch uit te rekenen.).
