Het vermoeden van Pe lczy´
nski
Thijs Mooren
Jul 2016
Bachelorproject
Begeleiding: prof. dr. J. van Mill
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
In deze scriptie zal het vermoeden van Pe lczy´nski worden bestudeerd. Het vermoeden van Pe lczy´nski gaat over de relatie tussen ‘mooie’ deelruimten van Banachruimten en hun dualen. In verband met het vermoeden van Pe lczy´nski bestuderen we het speciale geval van Banachruimten van de vorm C(K) met K een compacte Hausdorffruimte, met de bijzondere eigenschap dat deze erfelijk Lindel¨of maar niet erfelijk separabel is. Deze ruimte blijkt een tegenvoorbeeld voor het vermoeden te zijn. Om deze ruimte te bestuderen worden er artikelen van Kunen en Haydon gebruikt. Nadat in het eerste hoofdstuk het vermoeden wordt ingeleid, wordt in het tweede hoofdstuk de nodige ach-tergrond ge¨ıntroduceerd om de artikelen te doorgronden. In het derde hoofdstuk wordt het artikel van Kunen behandeld, waarin onder de aanname van de continuum hypothese een dergelijke ruimte wordt geconstrueerd. Daarna wordt uitgelegd hoe deze ruimte een tegenvoorbeeld voor het vermoeden van Pe lczy´nski is in het vierde hoofdstuk. In het vijfde hoofdstuk wordt uitgelegd hoe in het artikel van Haydon de ruimte wordt gecon-strueerd en in het laaste hoofdstuk wordt bekeken waarom de gecongecon-strueerde ruimten dezelfde ruimte zijn.
Titel: Het vermoeden van Pe lczy´nski
Auteur: Thijs Mooren, thijs.mooren@student.uva.nl, 10279040 Begeleiding: prof. dr. J. van Mill
Tweede beoordelaar: Prof. dr. A.J. Homburg Einddatum: Jul 2016
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
1 Inleiding 5 2 Achtergronden 6 2.1 Inleiding . . . 6 2.2 Oneindigheid . . . 6 2.2.1 Kardinaalgetallen . . . 7 2.2.2 Ordinaalgetallen . . . 9 2.3 Topologische achtergronden . . . 112.4 Functionaal analyse en maattheorie . . . 15
3 Kunen: A compact L-space under CH 19 3.1 Inleiding . . . 19
3.2 Voorbereidende lemma’s . . . 19
3.3 De constructie . . . 22
4 Het vermoeden van Pe lczy´nski 27 4.1 Het bewijs van het tegenvoorbeeld . . . 27
5 Haydon: On dual L1-spaces and injective dibual Banach spaces 29 5.1 De constructie . . . 29
6 Dezelfde ruimte 32
7 Populaire samenvatting 34
1 Inleiding
Het hoofddoel van deze bachelorscriptie is het bestuderen van het vermoeden van Pe lczy´nski. Het vermoeden is dat de stelling van Pe lczy´nski ook in omgekeerde richting geldt. De stelling van Pe lczy´nski luidt als volgt:
Stelling 1 (Pe lczy´nski). Zij Γ een verzameling met |Γ| = α, een oneindig kardinaal-getal, X een Banachruimte en l1(Γ) ,→ X een isomorfe inbedding. Dan is de ruimte M ({0, 1}α) isomorf inbedbaar in de duale ruimte X∗.
Hierbij is l1(Γ) de Banach ruimte van alle functies f : Γ → R zodat P
γ∈Γ|f (Γ)| < ∞
en M ({0, 1}α) de ruimte van alle reguliere, re¨ele Borel (of Baire) maten op {0, 1}α met eindige waarden en deze is isometrisch isomorf met (C({0, 1}α))∗ via de Riesz represen-tatiestelling. Voor verdere details verwijzen we de lezer naar het tweede hoofdstuk, waar de achtergronden van deze stelling worden gegeven. De stelling werd door Pe lczy´nski zelf bewezen en het vermoeden werd door hem bewezen voor α = ω. Later bewees Argyros voor α ≥ ω1 dat het vermoeden correct was indien Martin’s axioma aangenomen werd en
de continuum hypothese niet aangenomen werd. In deze scriptie zal echter bewezen wor-den dat onder aanname van de continuum hypothese er een compacte ruimte K is zodat l1(Γ), met |Γ| = ω1, niet isomorf ingebed kan worden in C(K), maar M {0, 1}ω1 isomorf
inbedbaar is in (C(K))∗.[8] Dit is een voorbeeld, dat voor een oneindig kardinaalgetal α = ω1, het vermoeden van Pe lczy´nski niet geldt.
Dit tegenvoorbeeld werd onafhankelijk geconstrueerd door twee personen. Ten eerste door Kunen, die op zoek was naar een compacte Hausdorffruimte die erfelijk Lindel¨of is, maar niet erfelijk separabel is. Zijn invalshoek was een puur topologische. De tweede persoon die de ruimte construeerde was Haydon. Hij was ge¨ınteresseerd in de functio-naalanalytische aspecten van de ruimte en in het vinden van een tegenvoorbeeld voor het vermoeden van Pe lczy´nski. Deze twee artikelen zullen dan ook centraal staan in deze scriptie. De opbouw van de scriptie is als volgt. In het volgende hoofdstuk zullen de achtergronden gegeven worden die nodig zijn om het vermoeden van Pe lczy´nski en de artikelen te begrijpen. Daarna zal er een hoofdstuk aan het artikel van Kunen worden gewijd. Hieropvolgend zal aangetoond worden hoe de door hem geconstrueerde ruimte een tegenvoorbeeld van het vermoeden van Pe lczy´nski is. Vervolgens zal er nader op het artikel van Haydon worden ingegaan en er zal in het laatste hoofdstuk ge¨eindigd worden met het verband tussen de artikelen nader toe te lichten.
Voor ik verder ga, wil ik graag Jan van Mill bedanken voor zijn begeleiding. Het was fijn om onder zijn supervisie aan deze scriptie te werken en om dingen te kunnen begrijpen die op het eerste gezicht onbegrijpelijk leken.
2 Achtergronden
2.1 Inleiding
In dit hoofdstuk zullen de achtergronden behandeld worden die benodigd zijn om de hoofdstukken over de artikelen van Kunen en Haydon en het vermoeden van Pe lczy´nski te begrijpen. Daarom zal dit hoofdstuk veelal bestaan uit definities. Verder zal er een aantal stellingen bewezen worden die later in de artikelen gebruikt worden. Ook zullen er stellingen worden gepresenteerd die niet bewezen worden omdat dit te veel ruimte in beslag zou nemen. Hiervoor wordt de lezer doorverwezen naar andere literatuur. Dit hoofdstuk zal bestaan uit drie secties. De eerste sectie zal verschillende begrippen over kardinaal- en ordinaalgetallen en de hierbijhorende verzamelingtheoretische achtergrond behandelen. De tweede sectie zal ingaan op een aantal topologische achtergronden en de derde sectie zal functionaalanalytische en maattheoretische achtergronden geven. Te beginnen met de sectie over kardinaal- en ordinaalgetallen.
2.2 Oneindigheid
In de artikelen van Kunen en Haydon wordt een ruimte gedefinieerd die steunt op veel begrippen omtrent ordinaalgetallen. Om hier een voorbereiding op te geven zullen in deze sectie de kardinaalgetallen en daarna de ordinaalgetallen kort worden gedefinieerd en zullen er een paar belangrijke stellingen hierover worden bewezen. Omdat de theorie over kardinaalgetallen en ordinaalgetallen steunt op het keuzeaxioma en de hieraan equi-valente welordeningsstelling, en omdat het aan deze twee equiequi-valente lemma van Zorn een rol speelt in het artikel van Kunen zullen deze eerst geformuleerd worden.
Hiervoor hebben we enkele definities nodig.
Definitie 1. Zij (X, ≤) een partieel geordende verzameling.
(a) Een keten in X is een deelverzameling van X die door ≤ lineair geordend wordt. (b) Een maximaal element in X is een x ∈ X zodat voor elke y ∈ X met x ≤ y geldt
dat x = y.
(c) (X, ≤) is een welgeordende verzameling (en ≤ heeft een welordening) als elke niet-lege deelverzameling van X een kleinste element heeft.
Stelling 2 (Keuzeaxioma). Als {Xi}i∈I een niet-lege familie van niet-lege topologische
ruimten is, dan is Q
Stelling 3 (Lemma van Zorn). Elk partieel geordende verzameling waarin elke keten een bovengrens heeft, heeft een maximaal element.
Stelling 4 (Welordeningstelling). Elke verzameling kan worden welgeordend.
Voor een uitgebreid bewijs van deze equivalenties verwijzen we naar hoofdstuk 8 in [5].
2.2.1 Kardinaalgetallen
We beginngen met de definitie van een kardinaalgetal. Dit is de equivalentieklasse van gelijkmachtige verzamelingen, oftewel verzamelingen waartussen een bijectie bestaat. De notatie voor het kardinaalgetal van de equivalentieklasse van een verzameling A is |A|. Definitie 2 (Kardinaalgetal). 1. 0 is het kardinaalgetal van ∅.
2. Voor elke n ∈ N is n het kardinaalgetal van {0, . . . , n − 1}. 3. ℵ0 is het kardinaalgetal van N.
4. Het kardinaalgetal van R is c.
Op de kardinaalgetallen kan als volgt een ordening worden gedefinieerd:
Definitie 3. Laat κ en λ kardinaalgetallen zijn, zeg κ = |A| en λ = |B|. Dan is κ ≤ λ dan en slechts dan als er een injectie f : A → B bestaat.
Met de volgende belangrijke stelling wordt deze ordening een parti¨ele ordening:
Stelling 5 (Stelling van Cantor-Bernstein). Laat κ en λ kardinaalgetallen zijn. Als κ ≤ λ en λ ≤ κ dan κ = λ.
Voor een bewijs verwijzen we naar lemma 1.6 en 1.7 in [5]. Met ≤ worden de kardinaal-getallen zelfs lineair geordend.
Stelling 6. Laat κ en λ kardinaalgetallen zijn. Dan geldt κ ≤ λ of λ ≤ κ.
Voor een bewijs van deze stelling verwijzen we de lezer naar stelling A.6 in [10]. En andere stelling waar gebruikt van gemaakt wordt is de volgende:
Stelling 7. Zij A een verzameling, en zij P(A) de machtsverzameling van A. Dan is |P(A)| = 2|A|.
Bewijs. Definieer f : P(A) → {0, 1}A door f (B) = χB, waarbij χB de karakteristieke
functie is van B. Dan is f een bijectie.
Dit leidt tot de stelling van Cantor waarvoor voor het bewijs verwezen naar A.14 in [10]. Stelling 8. Zij κ een kardinaalgetaal. Dan κ < 2κ.
Later zullen we het bewijs geven dat ≤ een welordening is op de klasse van alle kardi-naalgetallen. Maar we merken hier op dat er voor elk kardinaalgetal κ er een kleinste kardinaalgetal κ+ groter dan κ bestaat: de opvolger van κ. Hiermee komen we bij de laatste stelling over kardinaalgetallen:
Stelling 9. 2ℵ0 = c
Bewijs. We merken eerst op dat |R| = |(0, 1)|. Bij elke x ∈ (0, 1) kunnen we een rij hxnin van nullen en enen kiezen zo dat x = P∞n=1xn2−n (een binaire representatie
van x). Bij sommige x-en kunnen we kiezen uit twee rijen: 12 kan gerepresenteerd worden door (1, 0, 0, . . .) en door (0, 1, 1, . . .). In dit geval wordt de rij gekozen die op nullen eindigt. Dit geeft een goedgedefinieerde injectieve afbeelding van (0, 1) naar {0, 1}N. Om injectiviteit aan te tonen hebben we nodig dat als hx
nin = hx,nin dan
geldt x = x,. Maar we hebben x = P∞
n=1(xn· 2−n) en x, = P∞n=1(x ,
n· 2−n). Dus
hxnin= hx,nin⇒P∞n=1(xn· 2−n) =P∞n=1(x,n· 2−n) ⇒ x = x,.
Om na te gaan of de afbeelding goedgedefinieerd is moeten we kijken of ´e´en x niet op twee rijen kan worden afgebeeld. Om dit na te gaan bekijken we x z.d.d. x · 2j ∈ N met
j ∈ N. Dit zijn de x-en die we naar twee rijen kunnen sturen. De rijen die tot aan de j-de term gelijk zijn, bij de j-de term een nul of een ´e´en hebben en dan respectievelijk een staart met ´e´enen of een staart met nullen. Hier kiezen we de optie met de nulstaart. Voor elk ander geval kunnen we stellen dat als x → hxnin en x → hx,nin dat we niet
kunnen hebben hxnin 6= hx,nin. Stel namelijk dat xj 6= x,j dan is er i > j z.d.d. xi = x,i
of er is z.v.v.a. een k > j z.d.d. xj = xk omdat we anders zouden hebben x · 2j ∈ N. In
het eerste geval hebben we ∞ X n=1 xn· 2−n− ∞ X n=1 x,n· 2−n = |x − x ,| > 2−i .
En in het tweede geval ∞ X n=1 xn· 2−n− ∞ X n=1 x,n· 2−n = |x − x ,| > 2−j.
Omgekeerd definieert hxnin→P∞n=1xn·3−neen injectie van {0, 1}Nnaar (0, 1). Want
we hebben nuP∞
n=1xn· 3−n, en dus geldt voor xj 6= x,j:
∞ X n=1 xn· 3−n− ∞ X n=1 x,n· 3−n = |x − x ,| > 3−j.
Dit kan gezien worden als dat het tweederde deel van de drie delen waarin het interval elke keer opgedeeld wordt leeg blijft. We hebben dus niet zoals bij de omgekeerde afbeelding dat rijen die op nullen of op ´e´enen eindigen bij eenzelfde punt horen. Pas nu de stelling van Cantor-Bernstein toe.
Met dit alles kunnen we nu de Continuumhypothese formuleren die een centrale rol speelt in het artikel van Kunen.
Continuumhypothese 1. ℵ1 = 2ℵ0.
En de gegeneraliseerde vorm:
Continuumhypothese 2 (Gegeneraliseerd). Voor elk oneindig kardinaalgetal κ geldt κ+ = 2κ.
2.2.2 Ordinaalgetallen
De kardinaalgetallen vormen de opmaat voor de ordinaalgetallen. Ordinaalgetallen be-perken zich tot verzamelingen die lineair geordend zijn (X, ≤). Tussen twee lineair geordende verzamelingen kunnen afbeeldingen worden gedefinieerd die de orde bewaren. Als deze orde-bewarende afbeelding een bijectie is, spreken we van een orde-isomorfisme. Orde-isomorfie is een equivalentierelatie op de klasse van lineair geordene verzamelingen. De equivalentieklasse, [X, ≤], van een lineair geordende verzameling (X, ≤) noemen we het ordertype. Als de verzameling welgeordend is, dan noemen we dit ordertype het ordinaalgetal van (X, ≤).
Definitie 4 (Ordinaalgetal). 1. 0 is het ordinaalgetal van ∅. 2. Voor elke n ∈ N is n het ordinaalgetal van {0, . . . , n − 1}. 3. ω0 of ω is het ordinaalgetal van N.
Met de extra structuur die we hebben doordat we nu werken met lineair geordende verzamelingen, kunnen we een ordening op de ordinaalgetallen defini¨eren. Hiervoor hebben we wel de definitie van een beginstuk nodig.
Definitie 5 (Beginstuk). Zij (X, ≤) een geordende verzameling. Een deelverzameling A van X heet een beginstuk van (X, ≤) als voor alle a ∈ A en alle x ∈ X met x ≤ a geldt dat x ∈ A.
Het is makkelijk in te zien dat elk interval van de vorm (←, a) een beginstuk is.
Definitie 6 (Ordening). Laat α en β ordinaalgetallen zijn, zeg α = [X, ≤] en β = [Y, ≤]. Dan is α ≤ β dan en slechts dan als er een orde-bewarende f : X → Y bestaat zo dat f [X] een beginstuk van (Y, ≤) is.
Stelling 10. De ordinaalgetallen worden geordend door ≤.
Bewijs. Laat α = [A, ≤] en β = [B, ≤] ordinaalgetallen zijn, dan er valt aan te tonen dat α ≤ β of β ≤ α. We gaan recursief proberen een injectieve afbeelding f : A → B te maken. We beginnen a0 het minimum van A naar b0 het minimum van B te sturen. Zij
nu a ∈ A, a > a0, en neem als inductiehypothese dat f (x) zodanig gedefinieerd is voor
alle x < a dat er geldt dat f (x,) ≤ f (x) ≤ f (x,,) als er geldt dat x,≤ x ≤ x,,, maar dat
f (x) nog niet gedifinieerd is voor x ≥ a. Definieer Ba = {f (x) : x < a}. Als Ba 6= B
definieer
Als we dit voor alle a ∈ A kunnen doen dan is f een orde-bewarende afbeelding en is f [A] een beginstuk van (B, ≤) en hebben we dus α ≤ β. Indien dit niet kan hebben we op geen gegeven moment Ba= B en kunnen we wegens de injectiviteit van f de inverse
afbeelding f−1als orde-bewarende afbeelding gebruiken z.d.d. f−1[B] een beginstuk van (A, ≤) is en daarmee β ≤ α.
Het is zelfs zo dat het volgende geldt:
Stelling 11. De ordinaalgetallen worden welgeordend door ≤.
Bewijs. Deze stelling zal bewezen worden door gevalsonderscheid te maken. Zij O een verzameling van ordinaalgetallen, dan heeft O een minimum. Kies een familie A van representanten voor O. Neem ´e´en (A, ≤A) in O vast en zij O
0
de verzameling van (B, ≤B)
in O met [B, ≤B] ≤ [A, ≤A].
(a) Als O0 = {(A, ≤ A)} dan geldt voor alle A0 ∈ A dat [A, ≤A] ≤ [A0 ≤A0] en dus
min O = [A, ≤A].
(b) Voor elke (B, ≤B) in O
0
ongelijk aan (A, ≤A) is er een punt aB∈ A zodat B isomorf
is met (←, aB). Want omdat [B, ≤B] ≤ [A, ≤A] is er een injectieve orde-bewarende
afbeelding f : B → A zodat f [B] een beginstuk van A is. We kunnen aB zo kiezen
zodat (←, aB) het betreffende beginstuk is. Hiermee hebben we een bijectie tussen
dit beginstuk en B, omdat een afbeelding surjectief op zijn beeld is. En dus zijn B en (←, aB) isomorf.
(c) Als B zo is dat aB minimaal is, dan geldt dat voor alle B
0
met B0 6= B dat aB ≤ aB0. En dan geldt wegens het orde-isomorfisme dat [B, ≤B] ≤ [B
0
, ≤B0] voor
alle B0 ∈ O, oftewel [B, ≤B] = min O.
Hierna zullen we nog enkele stellingen en een definities weergeven. Voor het bewijs van de stellingen verwijzen we naar appendix A van [10].
Stelling 12. Zij α een ordinaalgetal. (a) α < α + 1
(b) α + 1 is de opvolger van α.
Definitie 7. (a) Voor elk odirnaalgetal α is ℵα het kleinste kardinaalgetal groter dan
elke ℵβ (β < α).
(b) Voor elk ordinaalgetal α is ωα het kleinste ordinaalgetal van kardinaliteit ℵα.
Definitie 8. Zij α een ordinaal getal. Dan is W (α) = {β : β < α}. W (α) heet de voorgangersverzameling van α.
Stelling 13. [W (α), ≤] = α.
Hieruit volgt dat er ℵ1 veel aftelbare ordinaalgetallen zijn. Immers de aftelbare
or-dinaalgetallen vormen W (ω1) = {α : α < ω1} en deze verzameling heeft kardinaliteit
ℵ1. Deze verzameling zullen we in het artikel van Kunen terugzien. Dit sluit het
ge-deelte over kardinaal- en ordinaalgetallen af. We zullen ons nu bezighouden met enkele topologische onderwerpen.
2.3 Topologische achtergronden
In dit deel zullen we de topologische terminologie die nodig is om de hoofdstukken over de artikelen van Kunen en Haydon te begrijpen behandelen. Ook zullen we een aantal stellingen die gebruikt worden in de artikelen hier bewijzen. Voor het artikel van Kunen geldt dat het hoofddoel is een L-ruimte te construeren. Daarom beginnen we met de definitie hiervan. Hiervoor hebben we echter eerst een paar andere definities nodig. Definitie 9 (T3-ruimte). Een topologische ruimte X heet een T3-ruimte als voor elke
gesloten deelverzameling F van X en elke x /∈ F er open verzamelingen U en V bestaan zodat x ∈ U, F ⊆ V en U ∩ V = ∅
Definitie 10 (T4-ruimte). Een topologische ruimte X heet een T4-ruimte als voor elk
tweetal disjuncte gesloten deelverzamelingen F en G van X er open verzamelingen U en V bestaan zodat F ⊆ U, G ⊆ V en U ∩ V = ∅
En een lemma dat hierbij hoort:
Lemma 1. Elke compacte Hausdorff ruimte is T4, en dus ook T3.
Bewijs. Zij A en B gesloten disjuncte deelverzamelingen van X. Omdat X een compacte ruimte is zijn ze compact. Kies a ∈ A vast. En kies voor elke b ∈ B disjuncte open Ub
en Vb zodat a ∈ Ub en b ∈ Vb. Dit kan omdat X Hausdorff is. Dan is B ⊆S{Vb: b ∈ B}
en is er dus een eindige B0 ⊆ B zodat B ⊆ S{Vb : b ∈ B0} vanwege de compactheid. Deze overdekking van B noemen we Za. Definieer vervolgens Wa=T{Ub: b ∈ B0}, dan
is Waeen open omgeving van a en Wa∩ Za= ∅. We hadden hier de compactheid nodig
om er zeker van te zijn dat het aantal verzamelingen waarover we de intersectie nemen eindig is en dus de intersectie weer open is. Als Waen Zazo geconstrueerd worden voor
elke a ∈ A dan is A ⊆ S{Wa : a ∈ A} en dus is er wederom een eindige A0 ⊆ A zodat
A ⊆S{Wa : a ∈ A0}. Deze verzameling noemen we W . Zij Z =T{Za : a ∈ A0}, dan
geldt B ⊆ Z, W en Z zijn open en W ∩ Z = ∅ zoals gewenst.
Definitie 11 (Lindel¨of). Een topologische ruimte X heet Lindel¨of als elke open over-dekking een aftelbare deeloverover-dekking heeft.
Definitie 12 (Separabiliteit). Een topologische ruimte X is separabel als deze een af-telbare, dichte deelruimte heeft.
Definitie 13 (Erfelijkheid). Een eigenschap van een topologische ruimte X heet erfelijk als elke deelverzameling A ⊆ X deze eigenschap ook heeft.
Met deze definities kunnen we nu een L-ruimte defini¨eren.
Definitie 14 (L-ruimte). Een L-ruimte is een T3-ruimte die erfelijk Lindel¨of is, maar
niet erfelijk separabel.
Voor het construeren van een L-ruimte wordt er in een voorbereidend lemma gebruik gemaakt over een bijna Luzin ruimte. Voor de definitie van een bijna Luzin ruimte hebben we de definities van nergens dicht en CII nodig.
Definitie 15 (Nergens dicht). Een deelverzameling A van een topologische ruimte X heet nergens dicht als A◦= ∅.
Een definitie die hier nauw mee samenhangt en ook terugkomt is mager.
Definitie 16 (Mager). Een deelverzameling A van een topologische ruimte X heet mager als er een rij hAnin van nergens dichte verzamelingen bestaat met A ⊆SnAn.
Definitie 17 (CII). Een topologische ruimte voldoet aan het tweede
aftelbaardheidsaxi-oma als deze een aftelbare basis heeft. Dit wordt een CII-ruimte genoemd.
Definitie 18 (Bijna Luzin ruimte). Een topologische ruimte X is bijna Luzin als elke nergens dichte verzameling CII is in de deelruimtetopologie.
Verder spelen de volgende drie definities een rol in het artikelen:
Definitie 19 (Countable chain condition). Een topologische ruimte X heeft de countable chain condition, kortweg c.c.c., als elke paarsgewijs disjuncte collectie van niet-lege open deelverzamelingen van X aftelbaar is.
Definitie 20 (Gδ en Fσ verzameling). 1. Een deelverzameling van een ruimte heet
een Gδ-verzameling als deze te schrijven is als een doorsnede van aftelbaar veel
open deelverzamelingen.
2. Een deelverzameling van een ruimte heet een Fσ-verzameling als deze te schrijven
is als een vereniging van aftelbaar veel gesloten deelverzamelingen.
Definitie 21 (0-dimensionaal). Een ruimte X is 0-dimensionaal als deze een basis be-staande uit clopen verzamelingen heeft. Waarbij een clopen verzameling een verzameling is die open en gesloten tegelijk is.
In beide artikelen zijn de twee voornaamste technieken die gebruikt worden om de ruimte te construeren, de inverse limiet en transfiniete inductie. We beginnen met de definitie van een inverse limiet en een stelling over compactheid met betrekking tot inverse limie-ten. Hiervoor hebben we echter kennis nodig over productruimlimie-ten. Omdat later ook de basis van deze productruimten een rol spelen worden deze ook hier gedefinieerd.
Definitie 22 (Product). Als {Xi : i ∈ I} een familie verzamelingen is, dan is het product
Q
i∈IXi gedefinieerd als de verzameling van alle keuzefuncties van I naar
S
i∈IXi. Dat
wil zeggen: x ∈Q
i∈IXi dan en slechts dan als x : I →
S
i∈IXi en x(i) ∈ Xi voor elke
i. Waarbij x(i) vaak genoteerd wordt als xi.
Definitie 23 (Projectie). Een afbeelding pi :Qj∈IXj → Xigedefinieerd door pi(x) = xi
wordt een projectie genoemd
Definitie 24 (Productruimte). We noemen elke verzameling van de vorm p−1i [U ], met U open in Xi een open strook. De producttopologie opQi∈IXi is de topologie T met de
familie S van alle open stroken als subbasis. We noemen (Q
i∈IXi, T ) de productruimte
van de familie {Xi, Ti}i∈I, waarbij Ti de bij Xi horende topologie is.
Definitie 25 (Basis voor productruimte). Als S is zoals in de vorige definitie, defini¨eren we S< = {T S0 : S0 eindig en S0 ⊆ S}. Dan is S< een natuurlijke basis voor de
pro-ducttopologie. Een element van deze basis kunnen we schijven alsTn
k=1p −1 ik [Uk], waarbij Uk∈ Tik. We kunnen Tn k=1p −1
ik [Uk] ook schijven als
Q
i∈IOi, waarbij Oi= Uk als i = ik
en Oi = Xi anders. Zulke verzamelingen worden eindige blokken genoemd. De
fami-lie B van eindige blokken wordt ook wel de kanonieke basis voor de producttopologie genoemd.
Hierbij is nog een lemma van belang.
Lemma 2. Als I oneindig is en elke Xi bevat minstens twee punten, dan bevatQi∈IXi
geen ge¨ısoleerde punten
Bewijs. Elke open verzameling O bevat een basis-open verzameling en dus is pi[O] 6= Xi
voor maar eindig veel i ∈ I. Omdat I oneindig is, is er dus zeker een i zodat pi[O] = Xi
twee punten bevat.
Met deze kennis over productruimten kunnen we de inverse limiet defini¨eren. Hierbij volgen we de definitie uit [11].
Definitie 26 (Inverse limiet). Een inverse rij is een rij van paren hXα, παα01iα0<α1<β,
waarbij β ≤ ω1, van ruimten Xα en continue functies παα01 : Xα1 → Xα0. De ruimten Xα
worden de co¨ordinaat ruimten genoemd en de afbeeldingen πα1
α0 de bindingsafbeeldingen.
De inverse limiet van de inverse rij hXα, παα01iα0<α1<β wordt genoteerd als
lim
←−hXα, παα10iα0<α1<β,
en is gedefinieerd als de volgende deelruimte van het product van de Xα:
{x ∈ Y
α<β
Soms wordt de inverse limiet van een rij hXα, παα10iα0<α1<β genoteerd als Xβ. Voor elke
α < β zal de restrictie tot Xβ van de projectie op de α-de factor van het product
Q
α<βXα genoteerd worden als πα. Deze functie heten de projecties van de inverse rij.
Een stelling over inverse limieten waar gebruik van wordt gemaakt is de volgende: Stelling 14. 1. De inverse limiet van een rij compacte ruimten is compact.
2. Zij hXα, παα01iα0<α1<β, waarbij β ≤ ω1, een inverse rij van compacte ruimten, met
surjectieve bindingsafbeeldingen. Dan zijn de projecties van hXα, παα10iα0<α1<β ook
surjectief.
Bewijs. 1. Om dit te bewijzen is het voldoende om op te merken dat de inverse limiet van de rij hXα, παα01iα0<α1<β een gesloten deelruimte van de productruimte
Q
α<βXα is. En aangezien deze ruimte compact is, (dit zullen we later aantonen
met de stelling van Tychonoff) is een gesloten deelruimte ook compact. Dus de compactheid van de inverse limiet volgt uit compactheid van de co¨ordinaat ruimten. 2. Dit is een eenvoudig gevolg van de compactheid van de co¨ordinaat ruimten en de
sujrectiviteit van de bindingsafbeelding.
Behalve de inverse limiet speelt zoals gezegd tranfiniete inductie een rol bij de con-structie van de ruimte. Dit is een uitbreiding op de ‘normale’ aftelbare inductie naar welgeordende verzamelingen.
Transfiniete inductie 1. Zij P (α) een eigenschap gedefinieerd op alle ordinaalgetallen α. Stel dat als P (β) waar is voor alle β < α, dat dan ook P (α) waar is, dan hebben we met transfiniete inductie dat P waar is voor alle ordinaal getallen.
Het bewijs valt meestal in drie stappen uiteen: 1. De basisstap: bewijs dat P (0) waar is.
2. De opvolgingsstap: bewijs dat voor elk opvolger α + 1, P (α + 1) volgt uit P (α) en indien nodig P (β) voor alle β < α.
3. Het limietgeval: bewijs dat voor elk limietordinaal λ, P (λ) volgt uit [P (β) voor alle β < λ]
Dit be¨ındigd het deel over inverse limieten en transfiniete inductie. We zullen ons nu bezig houden met de specifieke ruimte die een rol speelt in de constructie van de ruimte, de cantorverzameling: {0, 1}N. In deze sectie zal aandacht besteed worden aan de stelling
van Tychonoff die zegt dat het product van compacte ruimten compact is en dit zullen we gebruiken om aan te tonen dat een product van aftelbaar veel metrizeerbare compacte ruimten metrizeerbaar en compact is.
Stelling 15 (Stelling van Tychonoff). Zij {Xi}i∈I een familie van niet-lege topologische
ruimten, en zij X de productruimte. Dan is X compact dan en slechts dan als elke Xi
Voor het bewijs van deze stelling verwijzen we naar stelling 6.11 in [10]. Ook geldt dat een product van aftelbaar veel metrizeerbare ruimten metrizeerbaar is.
Stelling 16. Zij (X1, d1), (X2, d2) . . . metrische ruimten en definieer X := Qn∈NXn.
Voor x ∈ X en n ∈ N laat xn de n-de co¨ordinaat zijn van x, zodat x = hxnin∈N.
Definieer
d(x, y) := sup
n
min{(dn(xn, yn), n−1}(x, y ∈ X)
Dan is d een metriek op X. De topologie die d induceert is de producttopologie, oftewel als hxnin∈N een rij is in X en x ∈ X, dan geldt
d(xn, x)−−−→ 0 ⇐⇒ dn→∞ n(xn,i, xi)−−−→ 0 (i ∈ N).n→∞
Voor een bewijs verwijzen we naar stelling 2.2 in [2]. Als we deze twee stellingen samen-voegen krijgen we de voor ons relevante stelling.
Stelling 17. Een product van aftelbaar veel metrizeerbare compacte ruimten is metri-zeerbaar en compact.
Als we deze stellingen toepassen op {0, 1} met de natuurlijke metriek waarin d(0, 1) = 1, hebben we dat de Cantorverzameling een compacte metrische ruimte is. Verder hebben we met lemma [2] dat deze ruimte geen ge¨ısoleerde punten bevat. Dit be¨eindigd het onderdeel over de topologische achtergronden.
2.4 Functionaal analyse en maattheorie
Behalve de topologische aspecten heeft de geconstrueerde ruimte een aantal maattheo-retische en functionaalanalytische eigenschappen. Voor een beter begrip hiervan zullen we nu een aantal definities en stellingen hierover geven. Voor het begrijpen van het vermoeden van Pe lczy´nski zullen ook een aantal begrippen uit de functionaalanalyse en de maattheorie ge¨ıntroduceerd moeten worden. Dat zal hier gebeuren. Te beginnen met de definitie van een Banachruimte.
Definitie 27 (Banach ruimte). Een ruimte X is een Banach ruimte als dit een ge-normeerde ruimte is, die compleet is ten aanzien van de door de norm ge¨ınduceerdede metriek.
In deze scriptie zullen een aantal belangrijke Banachruimte van belang zijn. Deze worden nu ge¨ıntroduceerd en een aantal stellingen zullen weergegeven worden zonder dat deze bewezen worden. Dit omdat de bewijzen te veel ruimte in beslag zouden nemen. Definitie 28 (Lp-ruimte). Zij (X, F , µ) een maatruimte. Als 1 ≤ p < ∞, bestaat de ruimte LP(X, F , µ) uit alle µ-integreerbare functies op X zodat
Z
X
Strict gesproken is dit de ruimte van equivalente functies modulo nul functies. Een makkelijkere notatie is Lp(X) of soms Lp als de onderliggende maatruime bekend is. De ruimte L∞ is de ruimte van alle functies die essentieel begrensd zijn. Dit zijn alle meetbare functies zodat er een positief getal 0 < M < ∞ bestaat met,
|f (x)| ≤ M a.e. µ.
Als de onderliggende ruimte X een ruimte bestaande uit rijen is en de maat de telmaat is dan worden de ruimten weergeven als lp. Dit houdt in dat l1de ruimte van convergerende rijen is en l∞ de ruimte van begrensde rijen is. Verder wordt lpα geschreven om aan te
geven dat de rijen van lengte α zijn.
En een andere ruimte die bekeken wordt is C(X), de ruimte van continue functies over X met de supremum norm. In het geval K een compacte Hausdorff ruimte is schrijven we C(K) voor hetzelfde. We schrijven M (K) voor de ruimte van alle eindige re¨eelwaardige reguliere Borel maten op K. Als X een Banachruimte is dan wordt X∗ geschreven voor de duale ruimte, dat wil zeggen X∗ = {f :→ R : f is continu en lineair}. Een belangrijke stelling over duale ruimten en de M (K) is de Riesz-representatie stelling. Stelling 18. De duale ruimte C(K)∗ is isometrisch isomorf met M (K) via het isomor-fisme T : M (K) → C(K)∗ gegeven door (T (µ)) (f ) =R f dµ.
Voor een bewijs van deze stelling verwijzen we de lezer naar stelling 10.17 in [2]. De support van een maat λ ∈ M (K) wordt genoteerd als supp(λ) en is de verzameling van alle x ∈ K waarvoor λ(U ) > 0 voor elke open verzameling die x bevat. Een niet-negatieve waarschijnlijkhiedsmaat µ ∈ M (K) is een strikt positieve maat op K met supp(µ) = K. Een maatruimte (X, F , µ) heet atoomloos als er geen A ∈ F is waarvoor {B ∈ F : B ⊂ A} = {A, ∅}. Een maat ν heet absoluut continu met respect tot een maat µ als µ(A) = 0 impliceert dat ν(A) = 0 voor elke A ∈ F . Dit wordt genoteerd als ν µ. Twee maten ν en µ heten singulier als er een verzameling N ∈ F bestaat zodat ν(N ) = 0 = µ(NC). We schrijven hiervoor ν⊥ν. Twee maten zijn singulier als ze disjuncte support hebben.
Zij verder {Xi}i∈I een familie van Banachruimten. Dan is Pi∈IL Xi
p de ruimte
van alle x = (xi)i∈I met xi ∈ Xi voor alle i ∈ I, waarvoor kxk = Pi∈Ikxikp
1p < ∞. In het geval p = 1 hebben we dat P
i∈Ikxik < ∞. Verder zijn er nog een aantal
standaardstellingen van belang die we niet zullen bewijzen, omdat dit te veel ruimte in beslag zou nemen.
Stelling 19 (Radon-Nikod´ym stelling). Zij ν en µ twee maten op een meetbare ruimte (X, F ). Als µ een σ-eindige maat is, dan zijn de volgende uitspraken equivalent
1. ν(A) =RAf (x)dµ voor een a.e. unieke meetbare f 2. ν µ.
Stelling 20 (Lebesque decompositie stelling). Zij µ en ν twee σ-eindige maten op een meetbare ruimte (X, F ). Dan bestaat er een unieke decompositie ν = ν0 + ν1 zodat
Voor een bewijs van deze stellingen verwijzen we naar 19.2 en 19.9 in [9]. Dan wordt nog gebruikt gemaakt van de volgende stellingen, die wederom zonder bewijs zullen worden weergegeven.
Stelling 21. Zij (X, F , µ) een eindige maatruimte, zodat µ atoomloos is en L1(µ) se-parabel. Dan is L1(µ) isometrisch isomorf met L1{0, 1}ω.
Stelling 22. Zij (X, F , µ) een eindige maatruimte. Dan is l1ω1 niet isomorf inbedbaar in L1(µ).
Voor bewijs van deze stellingen verwijzen we de lezer naar stelling 5 van paragraaf 14 in [7] en de tweede stelling is een gevolg van stelling 14 in dezelfde paragraaf. Verder is nog van belang wat een Maharam type is, en de bijhorende stelling van Maharam. Daar gaan we hieronder op in. Hiervoor is nodig te weten wat een Boolse algebra is. Hiervoor geven we geen definitie, maar verwijzen we naar paragraaf 40 in [3] waar dit duidelijk uitgelegd wordt. Zonder kennis over Boolse alebra’s is het volgende ook goed te begrijpen. Het belangrijkste om te weten is dat een Boolse algebra het mogelijk maakt een algebra¨ısche structuur, te weten additie en multiplicatie, toe te kennen aan machtverzameling van een ruimte X. Voor we hier aan toekomen zijn nog een paar maattheoretische definities van belang.
Definitie 29 (Verwaarloosbaar). In een maatruime (X, F , µ) heet een deelverzameling A van X verwaarloosbaar als µ∗(A) = 0. Waarbij µ∗(A) = inf{µ(E) : A ⊆ E ∈ F }. Definitie 30 (Compleet). Een maatruimte (X, F , µ) is compleet als alle verwaarlosbare verzamelingen meetbaar zijn.
Definitie 31 (Semi-eindig). Een maatruimte (X, F , µ) is semi-eindig als wanneer E ∈ F en µ(E) = ∞ er een F ∈ F is zodat F ⊆ E en 0 < µ(F ) < ∞.
Definitie 32 (Waarschijnlijkheidsruimte, totaal eindig, σ-eindig). Een maatruimte (X, F , µ) is een waarschijnlijkheidsruimte als µ(X) = 1; totaal eindig als µ(X) < ∞ en σ-eindig als X overdekt kan worden door een rij van verzamelingen met een eindige maat. Definitie 33 (Maatalgebra). Zij (X, F , µ) een maatruimte. De maatalgebra is het Boolse algebra quotient U = F /{E : µ(E) = 0} samen met een aftelbaar additieve functionaal U → [0, ∞] ge¨ınduceerd door µ. Verder geldt als X totaal eindig is, er een natuurlijke metriek ρ op U gedefinieerd kan worden door
ρ(E·, F·) = µ(E 4 F ) = Z
|χE− χF| dµ ∀E, F ∈ F .
In dit geval is max(ω, d(U)) = max(ω, d(L1(X))). Hierbij is d(X) de dichtheid van de ruimte, oftewel het kleinste kardinaalgetal van een dichte deelverzameling van X. In het bijzonder is U is separabel dan en slechts dan als l1(X) separabel is.
Definitie 34 (Maharam type). Als X totaal eindig is, is d(U) het Maharam type van X. X is homogeen als d(B) = d(U) voor elk niet-nul hoofdideaal B van U.
Stelling 23 (Stelling van Maharam). Als (X, µ) een homogene waarschijnlijkheidsruimte is, en U de bijhorende maatalgebra, dan is ofwel U = {0, 1} of λ = d(U) ≥ ω. In dit tweede geval is U isomorf, als maatalgebra, met de maatalgebra van {0, 1}λ, waarbij {0, 1}λ de standaard productmaat heeft. In dit geval is L1(X) ∼= L1({0, 1}λ) en L∞(X) ∼=
L∞({0, 1}λ). Verder geldt dat als (X, µ) een totaal eindige maatruimte is, er een aftelbare partitie hXiii∈I van X in meetbare verzamelingen bestaat, zodat elke (Xi, µi) homogeen
is, met µi P(Xi) voor elke i ∈ I.
Voor verder informatie verwijzen we de lezer naar A6F in [1] en voor een bewijs van de stelling van Maharam naar stelling 8 van paragraaf 14 in [7]. Nu de basis is gelegd kan er begonnen worden aan de artikelen die centraal staan in deze scriptie. Te beginnen met het artikel van Kunen.
3 Kunen: A compact L-space under CH
3.1 Inleiding
In het artikel van Kunen [6] wordt onder aanname van de Continuum Hypothese (CH) een compacte L-ruimte geconstrueerd. Dit is een T3 ruimte die erfelijk Lindel¨of (EL)
is, maar niet erfelijk separabel. Hiervoor neemt Kunen een ruimte die Hausdorff is en geen ge¨ısoleerde punten heeft en bijna Luzin is en toont aan dat deze ruimte EL is. Dat wordt in het eerste lemma bewezen.
Daarna gaat Kunen op zoek naar een ruimte met deze eigenschappen die niet er-felijk separabel. Hiervoor wordt een Baire waarschijnlijkheidsmaat op een compacte, 0-dimensionale, Hausdorff ruimte gebruikt en de aannames dat de ruimte geen atomen onder deze maat bevat, de maat strikt positief is en verder dat alle nergens dichte ver-zamelingen maat nul hebben en CII zijn. In het tweede lemma wordt bewezen dat
een dergelijke ruimte een L-ruimte is. Verder worden er een vijftal equivalenties voor deelverzamelingen van deze ruimte bewezen.
Daarna komt de hoofdmoot van het artikel in de stelling dat de CH een compacte L-ruimte impliceert. Hiervoor worden er een L-ruimte en een maat gecontstrueerd die aan de aannames van het tweede lemma voldoen. De twee voornaamste technieken die hiervoor toegepast worden, zijn de inverse limiet en de transfiniete inductie. Van de constructie wordt ge¨est dat voor de co¨ordinaat ruimtes in de inverse rij geldt dat
1. de maat in een voorliggende co¨ordinaat ruimte de ge¨ınduceerde maat van elke volgende ruimte via de projectieafbeelding is,
2. elke co¨ordinaat ruimte geen atomen bevat,
3. en dat de maat op elke co¨ordinaat ruimte strikt positief is.
3.2 Voorbereidende lemma’s
Door middel van transfiniete inductie wordt bewezen dat de inverse limiet van zulke co¨ordinaat ruimtes de gewenste ruimte is. Het meeste werk ligt in de opvolgingstap in de transfiniete inductie. Hieropvolgend zullen de lemma’s en de stelling van het artikel diepgaander behandeld worden. Te beginnen met het lemma dat aantoont dat bijna Luzin een voldoende eigenschap is om een EL ruimte te krijgen onder bepaalde aannames.
Lemma 3. Als X een Hausdorff ruimte zonder ge¨ısoleerde punten is en bijna Luzin is, dan is X EL.
Bewijs. Ten eerste heeft X de countable chain condition (c.c.c.). Om dit in te zien neem {Uα : α < ω1} een collectie van disjuncte niet-lege open verzamelingen, dan kunnen we
pα ∈ Uα kiezen en krijgen zo {pα: α < ω1}. Deze verzameling is nergens dicht want het
is een puntsverzameling, waarin de punten discreet zijn omdat ze gescheiden worden door open verzamelingen en X geen ge¨ısoleerde punten bevat. Er geldt dus {pα : α < ω1}◦=
∅. Nu dit een nergens dichte verzameling is heeft deze een aftelbare basis omdat X bijna Luzin is. Omdat de punten discreet zijn is de verzameling {pα: α < ω1} aftelbaar, wat
een tegenspraak oplevert met {α : α < ω1} en dus kan {Uα : α < ω1} niet bestaan.
Met gebruik van de c.c.c. kan aangetoond worden dat X EL is. Neem namelijk een collectie van open deelverzamelingen U zodanig dat Y =S U . Deze collectie is niet per se disjunct, maar elke collectie verzamelingen heeft een maximale paarsgewijze disjuncte deelcollectie. Dit is een toepassing van het lemma van Zorn op de keten die door middel van inclusie ontstaat beginnende met twee disjuncte verzamelingen. Defini¨eer dus de deelcollectie W = {W : W 6= ∅, open en ∃ U ∈ U z.d.d. W ⊂ U } en pas hier hier het lemma van Zorn op toe om V1, de maximale disjuncte deelcollectie van W, te krijgen.
Deze is V1 is aftelbaar met de c.c.c. Neem nu voor elke V ∈ V1 een U ∈ U met V ⊂ U
en noem de collectie die zo ontstaat U1.
Verder is S V1 dicht in Y . Stel namelijk van niet, dan bestaat er y ∈ Y \S V1 en
een Uy ∈ U met y ∈ Uy. Dan is Uy\S V1 niet leeg en zit in W, want dit is een open
deelverzameling van Uy. Deze verzameling is disjunct met alle deelverzamelingen van
V1, dus als we deze metS V1 samenvoegen krijgen we een grotere paarsgewijs disjuncte
deelverzameling. Dit is in tegenspraak met de maximaliteit van S V1. Maar S V1 ⊂
S U1⊂ Y , dus S U1 is ook dicht in Y .
Nu U1 dicht in Y is geldt dat S U \ S U1 = Z nergens dicht is en dus CII en daarmee
Lindel¨of. Om dit in te zien, neem een aftelbare basis B voor Z en zij Z een open overdekking van Z. Dan kunnen we voor elke z ∈ Z een Bnz ∈ B en een Znz ∈ Z kiezen,
met Bnz ⊂ Znz. Nu is de S Bnz een aftelbare overdekking van Z en {Znz : Bnz ⊂ Znz}
is een aftelbare deeloverdekking van Z. We noemen deze aftelbare deeloverdekking U2.
Als we nu V = U1∪ U2 nemen dan geldt dat S V = S U en V is aftelbaar.
Een ander lemma dat later nodig zal zijn is het volgende:
Lemma 4. In een 0-dimensionale EL-ruimte X vallen de Baire en Borel σ-algebra’s samen.
Bewijs. We schrijven Baire(X) en Borel(X) voor de Baire en Borel σ-algebra’s respec-tievelijk. We beginnen met bewijzen dat in X elke gesloten verzameling A een Gδ
verzameling is. Neem A gesloten in X neem een x ∈ X \ A. Omdat X \A open is, is er een clopen Cx z.d.d. x ∈ Cx ⊂ X \ A. Doe dit voor alle x ∈ X \ A. Dan is
de S{Cx : x ∈ X \ A} een overdekking van X \ A en kan uitgedund worden tot een
aftelbare deeloverdekking C. Nu geldt A = T{X \ Cx : Cx ∈ C} met elke X \ Cx
clo-pen. Dit is een aftelbare doorsnede van clopen verzamelingen. Hieruit volgt dat elke gesloten verzameling te maken is uit een doorsnede van aftelbaar veel clopen
verzame-lingen en dus Borel(X) ⊆ Baire(X). Omdat clopen verzameverzame-lingen gesloten zijn geldt ook Baire(X) ⊆ Borel(X). Dus we hebben Baire(X) = Borel(X)
En dan nog het lemma dat bewijst dat als een ruimte aan de eerdergenoemde eigen-schappen voldoet, dat deze ruimte dan een L-ruimte is. Het volledige lemma luidt als volgt:
Lemma 5. Zij X een compacte, 0-dimensionale Hausdorff ruimte, µ een Baire waar-schijnlijkheidsmaat op X en stel dat dat de X onder µ geen atomen bevat, dat µ strikt positief is en verder dat alle nergens dichte verzamelingen maat nul hebben en CII zijn,
dan is X een L-ruimte.
Bewijs. Het is bewijs hiervan is zeer kort omdat het meeste werk al in het eerste lemma is gedaan. Eerst dient opgemerkt te worden dat een compacte Hausdorff ruimte T3
is, zie lemma [1]. Verder geldt omdat per aanname dat X bijna Luzin is en X geen ge¨ısoleerde punten heeft, dit omdat een ge¨ısoleerd punt een positieve maat heeft in een strikt positieve waarschijnlijkheidsmaat, is X EL. Dat X niet separabel is volgt uit het feit dat elke separabele verzameling Y ⊂ X nergens dicht is. Dit wordt bewezen in het bewijs van de volgende vijf equivelenties over deelverzamelingen van X.
Lemma 6. Voor alle Y ⊂ X geldt dat de volgende vijf uitspraken equivalent zijn: (a). Y is nergens dicht in X
(b). µ(Y ) = 0 (c). Y is CII
(d). Y is separabel (e). Y is mager.
Bewijs. De implicatie (a) ⇒ (b) volgt uit de aannames. Voor (b) ⇒ (a), neem aan dat µ(Y ) = 0 en zij Un(n ∈ ω) open Fσverzamelingen met Y ⊂TnUnen µ(Un) & 0. Dit kan
omdat µ regulier is. Omdat Un\ Unnergens dicht is, geldt per aanname µ(Un\ Un) = 0.
Neem nu F =T nUn, dan hebben we Y ⊂ F en µ(F ) = µ( T nUn) = µ( T n(Un\ Un) ∪ T nUn) = µ( T n(Un\ Un)) + µ( T
nUn) = 0 + 0. Waarbij de laatste stap gemaakt kan
worden wegens de disjunctie van de verzamelingen en er geldt µ(T
n(Un\Un)) = 0 omdat
µ(Un\ Un) = 0 voor alle n ∈ ω en µ(TnUn) = 0 omdat µ(Un) & 0 en µ(TnUn) ≤ µ(Un)
voor alle n ∈ ω. Omdat we een strikt positieve maat hebben geldt nu dat F◦ = ∅ en dus is Y nergens dicht.
We hebben nu (a) ⇔ (b). Uit de aannames volgt (a) ⇒ (c). Verder geldt er (c) ⇒ (d). Zij B namelijk een aftelbare basis voor Y . Kies voor elke niet-lege B ∈ B een punt pB ∈ B. Dan is D = {pB: B ∈ B} dicht in Y . Want als O open en niet-leeg in X is dan
Om (d) ⇒ (a) te bewijzen neem D ⊂ Y vast, met D dicht in Y en D aftelbaar. Omdat D aftelbaar is geldt µ(D) = µ(S
npn)(n ∈ ω). Omdat een maat σ-additief is, is dit gelijk
aan P
nµ(pn)(n ∈ ω) = 0. We hebben al (b) ⇒ (a) en dus is D nergens dicht in X. Nu
D dicht is in Y is Y ook nergens dicht in X. Verder geldt dat (a) ⇒ (e) uit de definitie van mager volgt. Neem namelijk de rij Y, ∅, ∅, . . . En (e) ⇒ (b) volgt uit (a) ⇒ (b). Elke nergens dichte verzameling heeft maat nul dus een deelverzameling van een rij van nergens dichte verzamelingen ook.
3.3 De constructie
Nu het voorbereinde werk gedaan is kunnen we kijken naar de hoofdstelling van het artikel namelijk:
Stelling 24. De Continuum hypothese impliceert dat er een compacte L-ruimte is Bewijs. Door middel van een inverse limiet zullen een ruimte X en een maat µ worden geconstrueerd die aan de aannames van het vorige lemma voldoen. Inductief worden zo de ruimtes Xα voor ω ≤ α ≤ ω1 en bijhorende Baire waarschijnlijkheidsmaten µα
geconstrueerd. Deze ruimtes zullen de co¨ordinaatruimten van de inverse limiet zijn. De inverse limiet Xω1 en bijhorende maat µω1 zullen de gewenste ruimte en maat zijn. Elke
Xα zal een gesloten deelverzameling van 2α zijn. Dus voor α < ω1 zullen alle Borel en
Baire deelverzamelingen hetzelfde zijn, zoals eerder aangetoond. Verder als α ≤ β dan is πβα de natuurlijke projectie van 2β op 2α; dus er geldt πβα(f ) = f |α. Van de constructie
wordt ge¨eist dat:
1. als α ≤ β dan Xα = παβ(Xβ), oftewel elke voorliggende ruimte wordt geheel
te-ruggetrokken to elke volgende ruimte. En verder dat µα(Y ) = µβ((πβα)−1Y ) voor
welke Baire deelverzameling Y van Xα ook. Oftewel er wordt ge¨eist dat µα de
ge¨ınduceerde maat van µβ via de projectie παβ is.
Verder moet voor elke co¨ordinaatruimte Xα en bijhorende maat µα gelden dat de
ruimte geen atomen bevat onder de bijhorende maat en dat de maat strikt positief is, oftewel:
2. voor elke α, µα({p}) = 0 voor alle p ∈ Xα, en
3. voor elke α, µα(K) > 0 voor alle niet-lege clopen K ⊂ Xα.
Nu kan er transfiniete inductie toegepast worden. Te beginnen met het geval dat γ > ω een limietordinaal is. In dit geval ligt de constructie vast, want dit zijn precies de inverse limieten
lim
←−(Xα, φα)α met ω ≤ α < γ.
Xγ = {f ∈ 2γ : ∀α < γ(f |α∈ Xα)}.
Dit is is de inverse limiet die op Xγ terugtrekt en is dus per constructie uniek en
compact. Verder geldt wegens compactheid dat als K clopen is in Xγ, er een α < γ en
een clopen L ⊂ Xα is, zodat K = (πβα)−1(L). Om dit te bewijzen eerst een lemma.
Lemma 7. Als (Xn, fn)n≥1 een inverse rij is zodat Xn voor elke n ∈ N compact en
0-dimensionaal is en Xω de inverse limiet is en U clopen is in Xω, dan is er een N ∈ N
en een C clopen in XN z.d.d.
U = (πωN)−1(C).
Bewijs. Dit is een eenvoudig gevolg van de definitie van de producttopologie en de com-pactheid van alle beschouwe ruimten.
We kunnen in dit lemma n ∈ N vervangen door α < γ, omdat Xγeen limietordinaal en
compact is en we dus op eenzelfde manier kunnen indexeren voor de eindig veel clopen basisverzamelingen voor K ⊂ Xγ. Nu kan µ(K) gedefinieerd worden als µα(L). Deze
definitie hangt niet af van de gekozen α, want voor α0 > α geldt voor K0 ⊂ Xα0 dat
dit (παα0)−1(L) is en dus µ(K0) gedefinieerd kan worden als µα(L). Verder als α0 < α,
dan moet vanwege 1. voor K0 ⊂ Xα0 gelden dat µα0(K0) = µα((πα
α0)−1K0). Aangezien
µ hiermee gedefinieerd is op de clopen deelverzamelingen van Xγ en eindig optelbaar,
en door compactheid daarmee σ-optelbaar is, kunnen we stellen dat µ uitgebreid kan worden tot een unieke Baire waarschijnlijkheidsmaat µγ op Xγ. Het is duidelijk dat de
maat nog steeds geen atomen bevat en positief is en daarmee voor de limietgevallen het gewenste bewezen is.
Dan geldt voor de basisstap van de inductie dat de constructie probleemloos gestart kan worden als Xω = 2ω genomen wordt en voor µω de gebruikelijk product maat op
2ω genomen wordt (waarbij in 2 = {0, 1}, {0} en {1} kans 12 worden gegeven). Aan de condities van lemma 5 dat de ruimte geen atomen bevat en dat de maat strikt positief is voldaan. Voor alle p ∈ Xω geldt namelijk dat µω({p}) = 12ω = 0 en voor alle
niet-lege clopen K ⊂ Xω geldt dat µω(K) = 12 a
· 1ω−a > 0 (vanwege de manier waarop
basiselementen in de productruimte zijn gedefinieerd), met a een eindig getal.
Voor de opvolgingsstap zijn deze twee condities ook voldaan. Dus wordt er gefoccused op de condities dat alle nergens dichte verzamelingen maat nul hebben en CII zijn. Dit
zal gedaan worden doordat alle gesloten verzamelingen uiteindelijk een inwendige krijgen en door ervoor te zorgen dat gesloten nergens dichte verzamelingen maar aftelbaar vaak gesplitst worden. Hiervoor is de CH nodig om de relevante verzamelingen te tellen. Er wordt hiermee een aftelling {Fα
ξ : ξ < ω1} van alle gesloten deelverzamelingen gemaakt
van 2α voor ω ≤ α < ω1. Hiervoor wordt er een surjectieve afbeelding g opgesteld van
ω1 naar ω1× ω1 zodat g(β) = (α, ξ) impliceert dat α ≤ β. Wat hier gebeurt is dat in de
eerste co¨ordinaat alle ruimtes worden afgeteld, en in de tweede co¨ordinaat alle gesloten verzamelingen van de betreffende ruimte. Dit zijn er ook ω1 omdat elke ruimte een
open verzamelingen uit verenigingen van maximaal aftelbaar veel basiselementen, dus kan het aantal open verzamelingen afgeschat worden met ωω = ω1. Als complement van
de open verzamelingen zijn er even veel gesloten verzamelingen. Er is nodig dat de functie impliceert dat α ≤ β, zodat we weten dat we aan slag gaan met een reeds gedefinieerde ruimte. Dus omdat we per opvolger maar ´e´en verzameling kunnen aanpassen zorgt dit ervoor dat we weten dat we op het einde alle verzamelingen gehad hebben.
Om ervoor te zorgen dat alle nergens dichte verzamelingen maat nul krijgen zal er ge¨eist worden dat
4. voor elke β < ω1 : als g(β) = (α, ξ), Fξα⊂ Xαen µα(Fξα) > 0, dan is er een gesloten
C ⊂ (παβ)−1(Fξα) zodat µβ(C) > 0 en
Xβ+1= Xβ× {0} ∪ C × {1}.
Er wordt dus een gesloten verzameling met positieve maat, Fξα, gepakt in Xα en
deze wordt teruggetrokken tot Xβ, de ruimte die door de aftelling aan de verzameling
gekoppeld is. Een kopie van een deelverzameling C van Fξα wordt dan naast de Xβ in
Xβ+1 gelegd, zodat deze clopen is in de deelruimte topologie (in C × {0} is het de hele
deelruimte en dus clopen) en daarmee een inwendige verschaft aan het teruggetrokken beeld van Fξαin Xβ+1, oftewel (παβ1)−1(Fξα)◦6= ∅. Er wordt hier de voor de hand liggende
idenctificatie van 2β+1 met 2β× 2 gemaakt.
Om er verder voor te zorgen dat nergens dichte verzameling CII zijn wordt er ge¨eist
dat
5. voor elke β < ω1, en alle α, ξ ≤ β: als Fξα ⊂ Xα en µα(Fξα) = 0, dat dan geldt
Xβ+1∩ ((παβ)−1(Fξα) × {1}) = ∅.
Dus als de verzameling (Fξα) al in de aftelling geweest voordat Xβ is bereikt en deze
maat 0 heeft dan wordt er ge¨eist dat deze niet meer gesplitst wordt. Maar omdat dit voor alle β < ω1 geldt wordt (Fξα) maar aftelbaar vaak gesplitst.
Om na te gaan of deze twee eisen mogelijk zijn wordt er een vaste β < ω1 gekozen en
wordt (α, ξ) = g(β) genomen. Als het niet zo is dat zowel Fξα⊂ Xα en µα(Fξα) > 0 dan
is de eerste eis een lege bewering en dus waar en kan de tweede eis bewerkstelligd worden door Xβ+1 = Xβ× {0} te nemen. Dus we nemen aan dat Fξα ⊂ Xα en µα(Fξα) > 0 en
zij dan
D = (παβ)−1(Fξα) \[{(πβδ)−1(Fδη) : δ, η ≤ β en Fδη ⊂ Xδ en µδ(Fδη) = 0}.
Hier wordt ervoor gezorgd dat de verzamelingen van maat nul die al eerder behandeld zijn niet alsnog gesplitst worden. Nu is D een Baire verzameling van positieve µβ maat,
dus zij E ⊂ D gesloten zijn met µβ(E) > 0. Deze E bestaat omdat µβ een reguliere
maat is. Zij dan
Dan geldt dat µβ(C) = µβ(E) > 0 en verder
∀K ⊂ Xβ[(K clopen en µβ(C ∩ K) = 0 ⇒ C ∩ K = ∅].
Dan weten we dus dat niet-lege clopen deelverzamelingen van C × {1} positieve maat hebben. Voor Xβ+1 = Xβ × {0} ∪ C × {1} defini¨eren we µβ+1 door C in twee¨en te
splitsen, dus als A ⊂ C
µβ+1(A × {0}) = µβ+1(A × {1}) =
1
2µβ(A),
en als A ⊂ Xβ \ C dan defni¨eren µβ+1(A × {0}) = µβ(A). Nu is per constructie aan
de eisen 1 - 5 voldaan. Zij nu X = Xω1 en µ = µω1, dan rest te verifi¨eren dat aan de
aannames van lemma 5 is voldaan. Het is duidelijk dat X met deze maat atoomloos is en dat de maat strikt positief is. Om aan te tonen dat elke nergens dichte deelverzameling een inwendige krijgt nemen we een nergens dichte Y ⊂ X. Doordat we een strikt positieve maat hebben en geen atomen heeft, heeft X de c.c.c. Want stel X zou de c.c.c. niet hebben, neem dan {Uα : α < ω1} een collectie van paarsgewijs disjuncte niet-lege
open verzamelingen. Nu is de maat strikt positief, dus ∀α < ω1 geldt dat µ(Uα) > n1
voor een n ∈ N. Maar dan krijgen we vanwege de disjunctie en additiviteit van de maatP
α∈ω1µ(Uα) = ∞ in tegenspraak met het feit dat we een waarschijnlijkheidsmaat
hebben.
Hieruit volgt dat er een nergens dichte gesloten Gδ, G ⊂ X, met Y ⊂ G bestaat.
Om-dat Y nergens dicht is en dus geen inwendige heeft is X \Y dicht in X. In dit complement van Y kunnen we een keten van niet-lege paarsgewijs clopen disjuncte deelverzamelingen {Cα : α ∈ I} maken. Te beginnen met een clopen deelverzameling C1, deze is per
defi-nitie disjunct. De keten kan gevormd worden met als parti¨ele ordening inclusie, zodat S Cα ≤S Cβ als S Cα ⊂S Cβ. Nu is er met het lemma van Zorn een maximale keten en deze is met de c.c.c. aftelbaar en geldt er Y ⊂ G = T Cc
α met Y dicht in G. We
hebben namelijk enerzijds dat y ∈ Cαc voor alle α en dus Y ⊂T Cc
α. En anderzijds stel
dat ∃x ∈T Cc
α\ Y . Dan is G0 =T Cαc\ Y niet-leeg, clopen en paarsgewijs disjunct met
Cα, α ∈ I en zouden we deze toe kunnen voegen aan de keten, in tegenspraak met de
maximaliteit van de keten.
Aangezien G de doorsnede is van aftelbaar veel clopen verzamelingen is er een α < ω1
zodat G = (πω1
α )−1(F ) voor een gesloten F ⊂ Xα, analoog aan lemma 7. Zeg F = Fξα,
en neem β ≥ α vast met, g(β) = (α, ξ). Als µα(F ) > 0 en C is zoals in 4., dan zou
(πω1
β+1)
−1(C × {1}) een clopen deelverzameling van G zijn en kan dus niet G al bepaald
zijn door de terugtrekking vanaf Xα. Dus µα(F ) = 0. En daarmee µ(G) = 0 en ook
µ(Y ) = 0.
Om verder aan te tonen dat elke nergens dichte verzameling CII is, zij Y, G, F, α en
ξ zoals boven; dan, zoals we hebben gezien geldt µα(F ) = 0. Zij δ = max(α, ξ). Als
β ≥ δ, zij Fβ = (πβα)−1(F ). Door 5. in de constructie hebben we dat
(πββ+1|F
β+1) : Fβ+1
een injectieve afbeelding is, en dus een homeomorfisme wanneer δ ≤ β ≤ ω1. In het
bijzonder hebben we dat G = Fω1 homeomorf is met Fδ en dus is G en daarmee is
Y CII. Hiermee is de opvolgingsstap behandeld en daarmee is de transfiniete inductie
klaar.
In het volgende hoofdstuk zullen we bekijken hoe deze ruimte een tegenvoorbeeld is voor het vermoeden van Pe lczy´nski.
4 Het vermoeden van Pe lczy´
nski
Het hoofddoel van dit verslag is het bestuderen van het vermoeden van Pe lczy´nski. We vermelden hier eerst de stelling van Pe lczy´nski nog een keer . Het vermoeden is dat de stelling in omgekeerde richting ook geldt. De stelling luidt alsvolgt:
Stelling 25 (Pe lczy´nski). Zij α een oneindig ordinaalgetal, X een Banachruimte en l1α ,→ X een isomorfe inbedding. Dan is de ruimte M ({0, 1}α) isomorf inbedbaar in de duale ruimte X∗. In het bijzonder geldt L1{0, 1}α,→ X∗ en l1
2α ,→ X∗.
4.1 Het bewijs van het tegenvoorbeeld
Het vermoeden van Pe lczy´nski is dat als de ruimte M ({0, 1}α) en in het bijzonder L1{0, 1}α isomorf inbedbaar is in de duale ruimte X∗, dat dan ook l1
α ,→ X isomorf
inbedbaar is in X. Echter levert de ruimte die door Kunen geconstrueerd is een tegen-voorbeeld voor dit vermoeden voor het geval α = ω1. We zullen om dit te bewijzen
achtereenvolgens een aantal dingen aantonen. Ten eerste geldt er dat |X| = ω1. Merk
namelijk op dat voor elke z ∈ Xω, geldt dat {z} = Fα(z)ω voor een bepaalde α(z) < ω1.
Dit omdat µω({z}) = 0 omdat µω atoomloos is. Vanaf deze co¨ordinaatruimte wordt
deze verzameling niet meer gekopieerd dus is πα(z)β injectief op (πωβ)−1(z) als β ≥ α(z).
Ook πα(z) is dus injectief op de deelverzameling (πω)−1(z) van X. Aangezien Xα(z) een
compacte metrizeerbare ruimte is geldt dat |Xα(z)| ≤ ω1 en dus is |(πω)−1(z)| ≤ ω1.
Hieruit en uit de gelijkheid
X = [
z∈Xω
(πω)−1(z)
kan afgeleid worden dat |X| = ω1.
Verder geldt er dat µ een homogene maat van type ω1 is. Er kan een afbeelding
ρ : X → {0, 1}ω1 gedefinieerd worden door
(ρ(x))n= (πωx)n (n < ω) (ρ(x))γ = rγ(π(γ+1)x) (ω ≤ γ < ω1). Waarbij rγ(x) = ( 0 als x ∈ Xγ× {0} 1 anders.
Dan is ρ Baire meetbaar, want het is een continue functie en induceert het een isometrie van L1(µ) op L1(λω1). En dus is µ homogeen van type ω1.
We hebben al aangetoond dat elke µ-nul vermameling metrizeerbaar is, zie lemma 6 van het vorige hoofdstuk, en hiermee kunnen we aantonen dat een maat ν die niet gelijk aan de nulmaat is op X is homogeen van type ω1 is dan en slechts dan als ν absoluut
continu is met respect tot µ. Als ν namelijk een maat is op X ongelijk aan de nulmaat die singulier is met respect to µ, dan is er een compacte deelverzameling F van X met µ(F ) = 0, ν(F ) 6= 0. We weten dus dat F metrizeerbaar is. Omdat een compacte metrizeerbare ruimte geen maat van type ω1 kan dragen is ν niet homogeen van type
ω1. Met dit kunnen we aantonen dat (C(X))∗ isometrisch isomorf is met
L1([0, 1]ω1) M X ω1 ⊕L1([0, 1] ! M l1(ω1) ! 1 .
Bewijs. Met de Riesz-representatie stelling kunnen we C(K)∗ = M (K) schrijven. We zullen aantonen dat {µ} ∪ {νa : a < ω1} ∪ {δx : x ∈ K} een maximale familie van
paarsgewijs orthogonale maten zijn in M (K). Hierbij is µ de bij de geconstrueerde ruimte horende maat. De νa voor a < ω1 leven op de µ-nul verzamelingen in deze
ruimte. En δx is de gebruikelijke Dirac-maat, met δx(x) = 1 en δx = 0 anders. Dan
volgt uit de stelling van Radon Nikod´ym en de Lebesgue decompositie stelling dat M (K) isomorf is met L1(µ)M X a∈A ⊕L1(νa) M l1(ω1) ! 1 .
Voor verdere details hierover verwijzen we de lezer naar paragraaf 14, met name stellingen 9, 10 en 13 in [7]. Er geldt namelijk dat L1(µ) isometrisch isomorf met L1(λω1) (of equivalent, met L
1([0, 1]ω1)). Dit volgt uit de stelling van Maharam, dat
µ een atoomloze maat is en dat de dimensie van L1(µ) ω1 is. En er geldt voor elke νa
dat dit een atoomloze maat is, waarvan de support een compacte metrische ruimte is zodat L1(νa) isometrisch isomorf is met L1[0, 1] met stelling 21. Verder hebben we dat
|A| = ω1. Voor een uitebreid bewijs hiervan verwijzen we de lezer naar stelling 3.1 in [4]
Met dit bewijs hebben we dat het vermoeden van Pe lczy´nski niet kan kloppen voor α = ω1. We hebben namelijk dat C(X) geen deelruimte bevat die isomorf is met l1(ω1).
Stel namelijk van wel. Dan hebben we met de stelling van Pe lczy´nski dat l21ω1 isomorf
inbedbaar is in M (K). Maar met stelling 22 kan l1ω1 niet ingebed worden in L1(ν) als ν een eindig maat is, dus ook niet l12ω1. En aangezien we te maken hebben met een
5 Haydon: On dual L
1
-spaces and
injective dibual Banach spaces
In de vorige hoofdstukken hebben we het artikel van Kunen bestudeerd waarin een bepaalde ruimte werd geconstrueerd. Deze ruimte was een L-ruimte. Verder is deze ruimte een weerlegging van het vermoeden van Pe lczy´nski voor α = ω1. Dit werd
eigenlijk pas in dit artikel van Haydon aangetoond. Haydon construeert een soortgelijke ruimte als Kunen. In dit hoofdstuk zal de constructie van Haydon worden gepresenteerd. We zullen zien dat deze constructie veel gelijkenissen vertoont met de constructie van Kunen. In het volgende hoofdstuk zal dan ook aangetoond worden dat het daadwerkelijk dezelfde ruimten zijn.
5.1 De constructie
In stelling 3.1 van het artikel van Haydon [4] wordt de ruimte geconstrueerd en aange-toond dat het een tegenvoorbeeld voor het vermoeden van Pe lczy´nski is. Hierin wordt in het bewijs begonnen met een constructie. De eerste stap is een compacte ruimte T te nemen met een waarschijnlijkheidsmaat µ hierop. Verder is K = (Kn)n∈ω omdat Xω
de c.c.c. heeft en met het lemma van Zorn (het bewijs hiervan is hetzelfde als aan het einde van het derde hoofdstuk waar bewezen wordt dat X de c.c.c. heeft en dat en de keten die in het complement van Y wordt gemaakt), een rij van gesloten disjuncte deelverzamelingen van T die voldoet aan
Kn= supp (µ|Kn) (n ∈ ω)
µ [
n∈ω
Kn = 1.
De eerste eis komt overeen met de eis van Kunen dat elke niet-lege clopen verzameling een positieve maat heeft, al wordt er hier met gesloten verzamelingen gewerkt. Dit maakt geen verschil vanwege het samenvallen van de Borel en Baire σ-algebra’s. De tweede eis zorgt ervoor dat de vereniging van de rij de support van de hele ruimte is. Hierna wordt TK als deelverzameling van T × R gedefinieerd als volgt:
(T × {0}) [
n∈ω
Kn× {2−n} .
Dan is TKcompact, want T is compact en Kn, voor n ∈ ω, is als gesloten deelverzameling
T , gegeven door π : TK→ T ; (t : x) → t continu per definitie van de producttopologie. De maat µK op TK wordt net als door Kunen gedefinieerd door µ in twee¨en te delen, dat wil zeggen
µK= 1 2
X
n∈ω
µ|Kn ⊗ δ(0) + δ(2−n).
Daarna wordt ˜π, de door π ge¨ınduceerde functie op de maat µK, gedefinieerd. Kunen definieert niet explicitet een dergelijke functie. Het beeld van ˜π(µK) is dan µ. Verder geldt vanwege de manier waarop µK is gedefinieerd dat als T = supp µ dat dan ook TK= supp µK. Net als bij Kunen zal de geconstrueerde ruimte X de inverse limiet zijn van een rij
Xα, παβ
ω≤α≤β<ω1
compacte ruimten, ge¨ındiceerd door ordinaalgetallen α met ω ≤ α < ω1. Deze ruimten
zullen verder metrizeerbaar zijn. Ook worden er waarschijnlijkheidsmaten µα
gedefini-eerd op Xα, deze zullen net als bij Kunen aan de eis voldoen dat
µα = ˜παβ(µβ)
en µ wordt ook gedefinieerd als de waarschijnlijkheidsmaat op de inverse limietruimte X. Wederom wordt er πα geschreven voor de kanonieke afbeelding X → Xα.
Zoals bij Kunen wordt er begonnnen met te stellen dat Xω = {0, 1}ω en µω = λω,
dit is de normale productmaat net als bij Kunen. Verder wordt er ook een aftelling (Fξω)ξ∈ω1 van de compacte µω-nul deelverzamelingen van Xω genomen. Kunen telde alle
gesloten verzamelingen af, hier wordt er alleen gekeken naar de verzamelingen met maat nul. Later zal aangegeven worden dat dit hetzelfde resultaat oplevert. Hierna begint de transfiniete inductie. Er wordt gesteld dat de constructie tot een bepaald ordinaalgetal, δ, is gedefinieerd. Namelijk dat voor alle ruimten Xβ er continue surjecties παβ,
waar-schijnlijkheidsmaten µβ en aftellingen (Fξβ)ξ∈ω1 van de compacte µβ-nul verzamelingen
gedefinieerd zijn voor alle α, β, met ω ≤ α ≤ β < δ. Dan wordt opgemerkt dat in het geval dat δ een limietordinaal is, Xδ en µδ de inverse limietruimte met daarbijhorende
waarschijnlijkheidsmaat zijn, παδ de natuurlijke bepaalde afbeelding is en is er een af-telling (Fξδ)ξ∈ω1 van de compacte µδ-nul verzamelingen. Dit levert net als bij Kunen
opgemerkt geen complicaties op.
De opvolgerstap, het geval δ = γ +1, heeft meer voeten in de aarde. Hiervoor wordt de deelverzameling E =S
α,ξ≤γ(π γ
α)−1(Fξα) van Xγbekeken en opgemerkt dat dit een µγ-nul
verzameling is. Het is namelijk de terugtrekking op Xγ van alle verzamelingen met maat
nul, die in de voorliggende ruimten liggen van de inverse rij. Dus per constructie van de maat µγ is dit weer een verzameling met maat nul in Xγ. Verder nemen ze de rij K,
zoals eerder gedefinieerd (K(γ) = (Knγ)n∈ω), van disjuncte compacte deelverzamelingen
van Xγ\ E die voldoet aan Knγ= supp (µγ|Knγ) en
µ [
n∈ω
Dan worden
Xγ+1 = XγK,
µγ+1 = µKγ,
πγ+1γ = π,
zoals aan het begin van de constructie gedefinieerd. Dus de verzamelingen Knγworden in
Xγ+1 gekopieerd en de maat wordt over de twee kopie¨en verdeeld, met π de natuurlijke
projectie op Xγ. Verder wordt er nog een afbeelding rγ : Xγ+1 → {0, 1} gedefinieerd als
volgt
rγ(x) =
(
0 als x ∈ Xγ× {0}
6 Dezelfde ruimte
De constructie van de ruimte van Haydon lijkt heel veel op die van Kunen. Toch zijn er een aantal kleine verschillen. De vraag die in dit deel bekeken wordt is of de ruim-tes die geconstrueerd worden toch dezelfde zijn. Hiervoor worden de constructies stap voor stap naast elkaar gelegd. In beide gevallen gaat het om een inverse limiet en is de beginruimte {0, 1}α en de waarschijnlijkheidsmaat die hierop wordt gedefinieerd is de normale productmaat λω. De πβα vertolken de rol van de bindingsafbeeldingen en
de maat µα is de door µβ via παβ ge¨ınduceerde maat. Kunen merkt op dat de maat
atoomloos is en strict positief. De inverse limiet steunt in beide gevallen op de CH en er wordt gebruikt gemaakt van transfiniete inductie. Met gebruik van de CH wordt er in beide gevallen een aftelling van deelverzamelingen van de beginruimte, en ook de vol-gende co¨ordinaatruimten van de inverse rij, gehanteerd. In het geval van Kunen worden de gesloten deelverzamelingen afgeteld. In het geval van Haydon de compacte deelver-zamelingen met maat nul. Omdat het om compacte ruimten gaat vallen de gesloten en compacte verzamelingen samen. Een verschil is dus dat Haydon alleen de verzamelingen met maat nul aftelt.
Voor de transfiniete inductie, waarbij de beginsituatie dus hetzelfde is, wordt in beide gevallen opgemerkt dat in het geval γ een limiet ordinaalgetal is, de constructie geen pro-bleem oplevert. Hier kan voor πγα de natuurlijke afbeelding gekozen worden en wordt µγ
de door (πγα)−1 ge¨ınduceerde maat. Dus wordt er geconcentreerd op de opvolgingsstap.
Hier verschillen de constructies van elkaar. Bij Kunen is het doel om ervoor te zorgen dat gesloten verzamelingen uiteindelijk een inwendige krijgen en dat nergens dichte ge-sloten verzamelingen maar eindig vaak gesplitst worden. Bij Haydon worden compacte verzamelingen met maat nul maar eindig vaak gesplitst en worden verzamelingen die de maat dragen gekopieerd. Als we nog een naar de precieze constructie kijken zien we veel gelijkenissen.
In Haydon worden de opvolgruimte gedefinieerd door het complement van een ruimte van maat nul, E = S
α,ξ≤γ(π γ
α)−1[Fξα], op te delen in een rij disjuncte compacte
deel-verzamelingen. Deze E komt in het artikel van Kunen overeen met de verzameling die weggehaald wordt uit Fα
ξ zodat D onstaat. Want
D = (παβ)−1[Fξα] \ [ δ,η≤β n (πδβ)−1[Fηδ]; Fηδ⊂ Xδ en µδ(Fηδ) = 0 o .
De indicering verschilt maar het is dezelfde verzameling omdat Haydon alleen de verzamelingen met maat nul aftelt. Deze opdeling in de rij compacte disjuncte deel-verzamelingen heeft de eigenschap dat elke deelverzameling zijn eigen support is, Knγ=
van de gehele ruimte, µγ Sn∈ωK γ
n = 1. Dit komt in Kunen overeen met de manier
waarop van de deelverzameling E de deelverzameling C wordt gemaakt. We hebben namelijk
C = E \[{K ⊂ Xβ : K is clopen en µβ(E ∩ K) = 0} .
Hierdoor geldt dat
∀K ⊂ Xβ[(K clopen en µβ(C ∩ K) = 0) ⇒ C ∩ K = ∅] .
Oftewel C = supp (µβ|C). In het geval van Kunen wordt dan ook een kopie van deze
deelverzameling C in de opvolgende ruimte geplakt, door Xβ+1 = Xβ × {0} ∪ C × {1}
te defini¨eren. In het artikel van Haydon worden alle compacte disjuncte verzamelingen gekopieerd en in de opvolgende ruimte geplakt,
Xγ+1 = (Xγ× {0})
[
n∈ω
Kn× {2−n } .
Het maakt geen verschil dat in het geval van Kunen de opvolgruimte 2β× 2 is en in het geval van Haydon een deelruimte van Xγ× R. Via de functies rγ wordt dit verschil
namelijk rechtgetrokken. Ook de maat die gedefinieerd wordt is dezelfde. Allebei wordt de maat in de opvolgende ruimte gedefinieerd door de maat over de twee kopie¨en te verdelen, als de verzamelingen gekopieerd worden. Al met al kunnen we dus concluderen dat ook al wordt er iets andere notatie gebruikt, dezelfde ruimte wordt gedefinieerd door Kunen en Haydon.
