Regeling van een hydrolager voor de vering met preview van een trekker-oplegger combinatie

Regeling van een hydrolager voor de vering met preview van

een trekker-oplegger combinatie

Citation for published version (APA):

Vijverstra, F. J. (1991). Regeling van een hydrolager voor de vering met preview van een trekker-oplegger combinatie. (DCT rapporten; Vol. 1991.039). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1991

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Regeling

van

een hydrolager VOQF de vering

met

preview

van

een trekker-oplegger comb inat

ie

door: Fred Vijverstra

I

Eindhoven, mei 1991

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwkunde

Vakgroep Fundamentele Werktuigkunde

Begeleider: Ir. R. Huisman

Samenvatting 1

Samenvattinq

i

In dit verslag hs een onderzoek gedaan naar de regeling van een hydrolager voor de vering van een trekker-oplegger combinatie. Hierbij is gekeken naar zowel actieve vering met preview als naar semi-actieve vering met preview. De resultaten van beide veringen zijn vergeleken met een passief systeem voor de stap als ingangssignaal. Bij het vergelijken van de verschillende systemen zijn de maxima van de veerweg, de bandindrukking, de chassisversnelling, de actuatorkracht en het actuatorvermogen van belang.

Uit de resultaten van de passieve vering met hydrolager blijkt het nut van het hydrolager. De chassisversnelling wordt b i j een passief systeem met hydrolager namelijk met 50% gereduceerd t.o.v. een passief systeem zonder hydrolager. Het nadeel van het hydrolager is dat de veerweg toeneemt t.o.v. het passieve systeem zonder hydrolager.

Actieve vering met preview geeft zoals te verwachten is de beste resultaten. Zowel de chassisversnelling als de veerweg kunnen aanmerkelijk gereduceerd worden. Dit kost echter een groot actuatorvermogen. Door over te stappen op semi-actieve vering met preview wordt dit actuatorvermogen buiten beschouwing gelaten. De resultaten bij semi-actieve vering met preview z i j n echter n i e t beter dan de resultaten b i j pocsheve vering.

De optimale actuatorkracht die b i j semi-actieve vering met preview gebruikt is, heeft een merkwaardig verloop. Dit verloop wordt berekend met een bepaalde regelstrategie, die ontwikkeld is voor actieve vering. Verder heeft de instelling van de dempingsconstante van het hydrolager weinig invloed op de resultaten. Deze twee omstandigheden kunnen wel eens de oorzaak zijn van de niet ZQ goede resultaten bij semi-actieve vering met preview.

Inhoudsopgave 2 InhoudsoDqave Samenvatting Inhoudsopgave Symbolenli j st 1. Inleiding 2 . Wet voertuigmodel 2.1. Het hydrolager

2.2. Het voertuigmodel met hydrolager

2.3. Het nut van het hydrolager

3. De strategie

3.1. Strategie voor de instelling van b,

3.2. De regelstrategie

4. Actieve vering met preview

4.1. Inleiding

4 , 2 . Berekening van x ( t ) en rit)

5. Semi-actieve vering met preview

5.1. Inleiding

, 5.2. Bepaling van x ( t )

5.3. Bepaling van b,

6 , Passieve vering

6.1. Inleiding

6.2. Het voertuigmodel voor passieve vering

7. De resultaten

7.1. De weegmatrices

7.2. De resultaten bij passieve vering

9 12 15 18 18 21 23. 25 25 26 28 28 30 30

Inhoudsopgave 3

7.3. De resultaten bij actieve vering met preview 3 1

7.4. De resultaten bij semi-actieve vering met preview 33

3 6 8. Conclusies

9. Aanbevelingen 3 7

Literatuurlijst 3 8

Bijlage A. De toestanasbescBrijving van het voertuigmodel 39

B. Het programma voor actieve vering met preview 42

C . et programma voor semi-actieve vering met

preview 48

D. Het passieve voertuigmodel 55

59

Symbolenli j st 4 Svmbolenliist Scalars A bi b r bs F Fhydro f Fhydro Fhydro I J 'i kv i ml m2 m3 Pl qi TP te t f t0 Y f Yf Y L P tb X Verdringeroppervlak Dempingsconstanten Regelbare dempingsconstante Viskeuze leidingsweerstand Kracht

Kracht van het hydrolager, tij dsafgeleiden

Leidingstmagheid Kwadratisch criterium veerstij fheden

Volumetrische stijfheid van kamer i Leidinglengte Asmassa Chassismasca Vloeistofmassa in de leiding Actuatorvermogen Druk in kamer 1 Weegfactoren Previewtij d

Begintijd van de resporisie Eindtijd van de responsie Eindtijd van het wegen Begintijd van het wegen

Indrukking van de verdringer

Verplaatsing en snelheid van de olie

Verplaatsing en snelheid van het

Verplaatsing, snelheid en versnelling in de leiding wegdek van de as Eenheden In2 Ns/m Ns/m Ns/m5 N N f N/sf N/s2

Symbolenlijst 5

Y 2 f

Y p

Y 2 Verplaatsing, snelheid en versnelling m, m/s, m/s2

van het chassis

Y3f Y3f Y 3 Verplaatsing, snelheid en versnelling m, ny's, m/s2

van de vrijheidsgraad tussen het hydrolager en de demper b,

bv, Volumeverandering van kamer 1 m3

AV2, AV2

,

AV2 Volumeverandering van kamer 2

,

tijdsafgeleiden m3/ s2

P Soortelijke massa van de olie kg/m3

m3, m3/s, Vectoren Fdemp h r, I: s , 8 Snieuw 'nieuw u o p t U w, Ta x, h Xn i euw fcn i euir xO Y Matrices

Werkelijke krachtsvector die door de veer en de

Vector die bij het bepalen van Uopt gebruikt is Vector die bij het bepalen van Uopt gebruikt is,

Vector die bij het bepalen van r gebruikt is, de

Nieuwe vector die s vervangt, de tijdsafgeleide Actuator ingangsvector

Optimale actuatorkrachtsvector

Wegdek verstorlngsvector, de tijdsafge1ei.de Toestandsvector, tijdsafgeleide

Nieuwe toestandsvector, nieuwe tijdsafgeleide Beginwaarde van de toestandsvector

üitgangsvector

demper geleverd wordt

de tijdsafgeleide

tijdsafge1ei.de

A, B, C, D, E Matrices gebruikt voor de toestandsbeschrijving

Q t R Weegmatrices gebruikt in het criterium J

v,

F, p

!

Hoofdstuk 1. Inleiding 6

1. Inleidinq

De vering van een voertuig is van groot belang voor het comfort. van de passagiers en de wegligging van het voertuig. Hierbij moet een afweging gemaakt worden bij de instelling van de vering. Een slappe vering is noodzakelijk om een goed comfort te verkrijgen, terwijl voor een goede wegligging een stijve vering nodig is. Om een goed comfort te verkrijgen kan ook gesteld worden dat de volgende drie bewegingen

van

het voertuig gereduceerd moeten worden: de dans-

,

de domp- en de rolbeweging (zie figuur 1.1).

dansbeweging

t

I

rolbeweging

-0

h dornpbeweging

Figuur 1.1: De dans-, domp- en rolbeweging.

In het geval van een trekker-oplegger combinatie is vooral de dompbeweging van de kabine zeer vervelend voor de chauffeur. De dompbeweging van de kabine wordt voor een groot deel veroorzaakt door de verticale beweging van de achterkant van de trekker. Door nu alleen de achterkamt van de trekker te modelleren, kan volstaan worden met een zogenaamd "warter @ar!* model ( z i e figuur 1.2). De twee weergegeven massa's stellen de asmassa (ml) en de chassismassa

(m2) voor. Als tussen het chassis en de as alleen veren en dempers zitten, waarvan de eigenschappen (zoals veer- en dempings- constanten) tijdsinvariant zijn, dan noemt men dit een passieve vering, B i j een semi-actieve vering kunnen de eigenschappen van de veren en dempera wel aangepast worden, maar er kan geen emergie aan het systeem toegevoerd worden. Actieve vering heeft nu de mogelijkheid om m.b.v. een actuator energie aan het systeem toe te voeren. Deze actuator genereert een kracht volgens een bepaalde

Hoofdstuk 1. Inleiding 7

F~gpxur 1.2: Het ltquarter cart1 model.

In [1] is een methode bedacht om deze actuatorkracht te berekenen. Bij het bepalen van deze kracht F wordt de informatie van het wegdek voor het voertuig meegenomen: de preview. De optimale actuatorkracht F die hierbij bepaald wordt, wordt ook wel Uopt genoemd. Hoewel de resultaten van deze actieve vering goed zijn, is het nadeel dat het benodigde vermogen van de actuator te groot is. Het idee is nu om bovengenoemde actieve vering te vervangen door een semi-actieve vering met een hydrolager, zodat nauwelijks energie meer toegevoerd hoeft te worden. In een afstudeeronderzoek bij de vakgroep WQC is de gewenste overdracht van een vering tussen as en chassis b i j een BAF truck berekend bn het frequentiedomein. Het hydrolager blijkt nu deze overdracht redelijk te kunnen benaderen. Om het hydrolager te kunnen regelen, is de dempings- constante b, van het hydrolager instelbaar gemaakt. In hoofdstuk 2

is aangegeven wat het nut van het hydrolager is en hoe de werking is.

Met doel van deze opdracht is om een onderzoek te doen naar de regeling van een hydrolager, waarbij gebruik gemaakt wordt van preview. Het probleem is hoe de dempingsconstante b, van het hydrolager ais functie van de t i j d ingesteld moet worden. De resultaten van de vering met het hydrolager worden bekeken voor de

Hoofdstuk

1.

Inleiding 8 stap als ingangssignaal. Deze resultaten kunnen vergeleken worden met de resultaten uit [i], waarbij wordt gekeken naar:

1) de maximale positieve veerweg ( ~ ~ - y , ) ~ . Deze mag niet groter

2) de minimale negatieve veerweg ( ~ ~ - y ~ ) ~ . Deze mag niet kleiner

3) de maximale positieve bandindrukking (yl-yo)

4 ) de minimale negatieve bandindrukking (yl-yo)m. 5) de maximale chassisversnelling ly21mx.

6 ) de actuatorkracht F en het actuatorvermogen P.

zijn dan 14 em.

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 9

2. Het voertuimodel

2.1. Het hydrolager

Een hydrolager is een hydraulisch-elastisch element, dat in de voertuigtechniek vaak wordt gebruikt als motorophanging. In figuur

2.1 is een principetekening van het hydrolager weergegeven.

F

Figuur 2.1: Het hydrolager.

drager, verdringer

kamer 1

s t e u n

kamer

2

kanaal.

Kamer 1 en kamer 2, die via een kanaal met elkaar in v e r l a i n d h q

staan, zijn beide uitgevoerd met een flexibele wand. De verdringer die beweegbaar is t.o.v. de steun (het chassis)

,

verplaatst de olie van kamer 1 door het kanaal naar kamer 2. De kracht F wordt doorgeleid naar de steun. Door de verende en dempende werking ontstaan een stijfheid en demping die frequentie-afhankelijk zijn. Door de elasticiteit van de wand in kamer 1 en 2, de stromings- weerstand in het kanaaltje en de massatraagheid van de stroming in het kanaaltje uit te drukken in termen van volumeveranderingen en druk, is het volgende principeschema en hydraulisch netwerk af te leiden (zie figuur 2.2).

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 10

A

'1

I D

Figuur 2.2: Het hydraulische model van het hydrolager.

In geval van evenwicht levert dit systeem (voor de afleiding zie

[ 2 f ) : waarin AVl b v 2 k v l k v 2 P l bS I

= de volumeverandering van kamer 1

= de volumeverandering van kamer 2

= volumetrische stijfheid van kamer 1

= volumetrische stijfheid van kamer 2

= druk in kamer 1

= traagheid van de vloeistof in de leiding = viskeuze ieiâingsweerstanu

De volgende definities zijn te gebruiken om het hydraulische model om te zetten naar een mechanisch model:

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 11 I k1 = kvl.A2 k2 = kv2.A2 m3 = I . A ~ m e t I = ~ L / A bl = b , . A 2

x

= AVJA y = AVJA F = P , / A

Door toepassing van bovenstaande definities ontstaan de volgende bewegingcvergelijkingen:

(2.10)

(2.11)

Het massa-veersysteem dat door deze vergelijkingen beschreven wordt, is weergegeven in figuur 2.3.

k l

I,

X

b l

7.-

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 12

In deze figuur is het regelgedeelte van het hydrolager buiten beschouwing gelaten. Het regelgedeelte bestaat uit een veer in serie met een regelbare demper, die samen weer parallel staan met het gedeelte dat in figuur 2.3 is getekend. Dit getekende stuk wordt ook wel het frequentie-afhankelijke gedeelte genoemd. Hoe het geregelde gedeelte er constructief uitziet, is een ander probleem waar men in de vakgroep WOC op dit ogenblik mee bezig is.

2.2. Het voertuigmodel met hydrolager

Be situatie aan de achterkant van een trekker is te modelleren m.b.v. een "quarter cart1 model. In figuur 2.4 is het voertuigmodel met hydrolager weergegeven. Het hydrolager bestaat nu zowel uit het

frequentie-afhankelijke gedeelte als uit het regelgedeelte.

'

1

k2

y3T

I

m2

1

! I k, = 3600.103 N/m I

$

= 80.103 N/m i = 400.103 N/m

k3

k4 = 8000.103 N/m I b, = 0.05.103 Ns/m b2 b2 = 17.5.10~ NS/~~P

",

= 2.350 kg

m i

m2 = 8650 kg rn3 = 800 kg

'

1

'Oi

I

1

k O

Figuur 2 . 4 : Het voertuigmodel met hydrolager.

Met dit voertuigmodel is echter het dynamische gedrag van het voertuig niet te onderzoeken, omdat door de beweging van m3 extra traagheidskrachten ontstaam, d i e in werkelijkheid helemaal. niet

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 13

vloeistofverplaatsing door het kanaaltje van het hydrolager. De werkelijke massa van de olie in het kanaaltje is slechts enkele honderden grammen en mag dus geen invloed hebben op de massatraagheid van het hydrolager. A l s met het bovenstaande model gesimuleerd zou worden, dan wordt de invloed van de kracht van de demper b, op het chassis (m,) verandert door de beweging van ra3, terwijl in werkelijkheid de kracht van de demper b, rechtstreeks wordt doorgeleid naar het chassis,

Het hierboven genoemde probleem is op te lossen door het frequentie-afhankelij ke gedeelte van het hydrolager in het model van figuur 2.4 te vervangen door een kracht die door het hydrolager geleverd wordt. Deze kracht wordt Fhydro genoemd, Het zoeken is nu naar een verband tussen deze kracht F,,,,, en de verplaatsing

x

van

de verdringer van het hydrolager. Voor het bepalen van dit verband wordt gebruik gemaakt van de vergelijkingen (2.10) en (2.11). Laplace-transformatie van deze vergelijkingen levert:

(2.12)

Het elimeneren van Y(s) uit deze vergelijkingen geeft het volgende verband :

m, s +b,s +kl +k,

X ( s ) = Fhydz-o ( s,

kl (m3s2+b1s+k2)

(2.14)

De veer en de regelbare demper (het regelgedeelte van het hydrolager) uit figuur 2 . 4 worden vervangen door een actuator, die een kracht F levert. Waarom dit gedaan wordt, zal in hoofdstuk 3 besproken worden. In figuur 2.5 is het nieuwe voertuigmodel weergegeven.

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 14

k3

Figuur 2.5: Het simulatiemodel.

De bewegingcvergelijkingen van dit model zijn:

Uit figuur 2.5 volgt nog een extra vergelijking als randvoorwaarde:

Het verband (2.14) geeft een extra vergelijking voor F,,,,, en x. Uit figuur 2.5 volgt dat als het hydrolager tussen de as en het chassis geplaatst wordt,

x

vervangen moet worden door y3-y2. De extra vergelijking is:

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 15

~

De vergelij kingen (2.15)

,

(2.16)

,

(2.17) en (2.18) kunnen omgeschreven worden naar de volgende toestandsbeschrijving:

X = AX + Bu + Ew, X ( t o ) = Xo

y = cx + Du

(2.19) (2.20)

De toestand moet uit 7 componenten bestaan omdat er gebruik is gemaakt van 3 tweede-orde vergelijkingen en 1 eerste-orde vergelijking. De volgende toestand is gekozen:

u = [Fl, w =

[ Y ( ) ] ,

Y = Verder is gekozen:

1

Y1 -Yo y2 -y1 9 2

De matrices A,B,C,D en E zijn m.b.v. deze definities uit de toestandsvergelijking (2.19) en de uitgangsvergelijking (2.20) te bepalen. In bijlage A zijn deze matrices weergegeven,

2.3. Het nut van h e t hydrolager

Zoals reeds eerder is opgemerkt veroorzaakt het hydrolager een demping die frequentie-afhankelijk is. In figuur 2.6 is de demping van het hydrolager (zonder het regelgedeelte) in serie met de demper h2 uitgezet tege-. do f r e q - l o ~ t f e ,

I

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 16

f

L..."

.-...

-"....i.

...

...

li

....

"

...

I.-.

L."

-

..

-.-..--...

..

Figuur 2.6: Demping van het hydrolager in serie met demper b,.

De itdip" in het verloop van de demping (van het hydrolager in serie met de demper b,) bevindt zich bij de frequentie van 9 Hz. Bij aanstoting van het hydrolager met deze frequentie gaat de olie in het kanaaltje resoneren. Bij resonantie van de olie kan de verdringer van het hydrolager gemakkelijk ingeduwd worden. Hierdoor zal de demper b, niet inveren en kan dus geen kracht opbouwen. Het gevolg is dat de demper b, niet dempt. Bij een frequentie van 9 Hz wordt het chassis nu niet aangestoten door de as, omdat de krachten t.g.v. een snelheidsverschil tussen as en chassis niet worden doorgeleid,

De verticale beweging van het chassis wordt bij een frequentie van

9 Hz dus tegengegaan. Dit is nodig omdat deze verticale beweging de dompbeweging van de motor veroorzaakt. De dompbewegingvan de motor heeft op zijn beurt weer een slechte invloed op het comfort van de kabine. De domp-eigenfrequentie van de motor is 9

Hz,

waarmee verklaard is waarom de lidip" in het verloop van de demping zich bij

9 Hz bevindt.

Bij lage frequenties zal de demper b, wel weer dempen, omdat de beweging v a n de olie Pn ket kanaaltje nu wordt opgevangen door de stijfheden k,, en k,, van resp. de kamers i en 2. Hierdoor kan de

Hoofdstuk 2. Het voertuigmodel 17

demper b, nu wel een kracht opbouwen. Demping bij lage frequenties is noodzakelijk om de eigentrilling van het chassis tegen te gaan

(de eigenfrequentie van het chassis is bij een DAF truck ongeveer

2 H z )

.

Bij hoge frequenties wordt ook gedempt, omdat de olie in het kanaaltje als het ware stilstaat. De olie kan namelijk de hoge frequenties van de trilling niet volgen, omdat de olie niet zo snel door het kanaaltje heen en weer kan bewegen. Demping bij hoge frequenties is noodzakelijk om de eigentrilling van de band te dempen (de eigenfrequentie van de band is bij een DAF truck ongeveer 12 Hz)

.

Hoofdstuk 3. De strategie 18

3. De Strateaie

3.1. Strategie voor de instelling v a n b,

De vraag is hoe de regelbare demper in het voertuigmodel als functie van de tijd ingesteld moet worden. Het idee voor het oplossen van dit probleem bestaat uit twee stappen:

1) In het voertuigmodel worden de veer en regelbare demper

vervangen door een actuator, die een kracht F levert. Het optimale verisop vam F kam nu bepaald worden met eem bepaalde regelstrategie.

2) Nu wordt bekeken of dit optimale verloop van F ook bereikt kan worden met een door de regelbare demper geleverde kracht.

In [i] is een regelstrategie voor het bepalen van het optimale verloop van de actuatorkracht F bepaald. Het resultaat uit [i]

wordt in de volgende paragraaf gegeven.

3.2. De regeistrategie

De optimale actuatorkracht Uopt wordt gevonden door het minimaliseren van het volgende kwadratische criterium J:

Hierin is [t,,t,J het tijdsinterval waarover J geminimaliseerd wordt. Bij h e t minimaliseren v a n J moet voldiaiin worden aan:

Hoofdstuk 3. De strategie 19

X = AX + BU + Ew, X( to) = Xo

y = CX + DU

In het vorige hoofdstuk zijn x, u,

w

en y bepaald, Q en R zijn weegmatrices die symmetrisch en semi-positief definiet

zijn.

Het minimaliseren van J komt neer op het minimaliseren van y2, (y,-y,)

,

(y,-yo) en F. Merk op dat niet de maxima van deze grootheden

geminimaliseerd worden. Het resultaat dat in 613 is gevonden voor

de optimale actuatorkracht luidt als volgt:

Uopt = -V-' (BTP+DTQC) X + V-'BTr

waarin

FTP + PF + G

-

PHP = O

Hierbij zijn de volgende definities gebruikt

V = DTQD -I- R, V = VT, V > 8 P = A

-

B V - ~ B ~ Q C G = C T ( Q

-

QDV-lDTQ) C H = BV-'BT, H = H T h = EW A, = F

-

HP (3.4) ( 3 - 8 1 43-53) (3.10) (3.11) (3.12) (3.13)

Vergelijking (3.4) bestaat uit een gedeelte dat gebaseerd is op toestandsteruckoppelin~ en een gedeelte dat gebaseerd is op het toekomstige wegdek, dat met een previewtijd T, vooruit bekeken

Hoofdstuk 3. De strategie 20

wordt. In ons geval is de previewtijd 1/8 s. Vergelijking (3.5) is een algebraische ricatti vergelijking met als oplossing P. De vergelijkingen (3.6) en (3.7) zijn beide eerste-orde differentiaalvergelijkingen met resp. een eindvoorwaarde en een beginvoorwaarde.

Hoofdstuk 4 . Actieve vering met preview 21

4 . Actieve verina met Dreview

4.1. Inleiding

In het vorige hoofdstuk is beschreven hoe de actuatorkracht bij actieve vering met preview moet worden berekend. Deze strategie moet nu worden geïmplementeerd in een computerprogramma. Alleen de bepaling van

x

en r zal besproken worden. De rest van het programma spreekt voor zich en zal geen moeilijkheden opleveren.

4.2. Berekening van x(t) en r(t)

De responsie van het voertuigmodel met als inganssignaal een stap willen we bekijken over het tijdsinterval [tbrt,]

.

Op het tijdstip t, is x(t,) bekend en moet r(tb) uitgerekend worden met vergelijking

(4.1). Hierna worden r(t) en x(t) elke A t seconden berekend totdat

het eindtijdstip te bereikt is. r(t) kan berekend worden door terugintegratie over het tijdsinterval [t,t+T,], met als randvoorwaarde r (t+T,) =Px (t+T,) Zie vergelij king (4.1)

.

De eindvoorwaarde r(t+T,) wordt nu gelijk genomen aan nul, dus r(t+T,)=O. Dit mag als de previewtijd T, groot genoeg is en als de reële delen van de eigenwaarden van As voldoende negatief zijn om ervoor te zorgen dat r(t+T,) is uitgedempt op het tijdstip t. De eisen waaraan T, en A, moeten voldoen zijn gegeven in [l]. In [l]

is bepaald dat als T,>lc de eindvoorwaarde r(t+T& geen invloed meer

heeft. In ons geval is T, 1/8s, zodat de eindvoorwaarde eigenlijk niet verwaarloosd mag worden. Voor de eenvoud wordt dit toch gedaan. x(t) kan berekend worden door integratie van vergelijking

(4.2) over het tijdsinterval [t-At,t] met als beginvoorwaarde

Hoofdstuk 4 . Actieve vering met preview 22

x(t-At) :

De berekening van x(t) kan pas uitgevoerd worden als r(t) bekend is.

Omdat in PC-Matlab terugintegratie niet mogelijk is, moet vergelij king ( 4 . 1 ) omgeschreven worden naar een differentiaalvergelijking met een beginvoorwaarde. Dit kan bereikt worden door een nieuwe variabele in te voeren:

Hieruit volgt verder dat

r ( t * ) = - S ( t + T p - t * ) ( 4 . 4 )

Vergelijking (4.3) en ( 4 . 4 ) ingevuld in (4.1) levert:

Door nu een nieuwe tijdsas te definieren als tt=t+T,-t*, volgende vergelijking te verkrijgen:

is de

Vergelij king (4.6) is een eerste-orde differentiaalvergelijking met

beginvoorwaarde s (U! j =û. s (tt j woràt berekend door integratie van

verge1 ij king (4.6) over het tijdsinterval [ O , Tp]

,

waarbij dit tijdsinterval telkens bij een volgende stap een A t opschuift. B i j

Hoofdstuk 4 . Actieve vering met preview 23

naar t. Aan het einde van de integratie van vergelijking ( 4 . 6 ) over het interval [O,Tp] is dus s ( T p ) bekend. Er geldt dan:

Voor het genererenvan resultaten wordt een stap als ingangssignaal genomen. Voor het oplossen van ( 4 . 6 ) moet echter de afgeleide van dit ingangssignaal ingevuld worden, want w is gedefinieerd als w=[yo]. Om het programma voor willekeurige yo geschikt te maken, moet niet de afgeleide maar het ingangssignaal zelf ingevuld worden. Dit is op te lossen door een nieuwe toestand te kiezen. Als

de afgeleide van de stap nu gedefinieerd wordt als Q, dan moet de volgende vergelijking opgelost worden:

Kies nu de volgende toestand

De afgeleide van de nieuwe toestand is:

( 4 . IO)

Vergelijkingen ( 4 . 9 ) en (4.10) ingevuld

in

( 4 . 8 ) levert een nieuwe differentiaalvergelijking, waarin alleen de stap en niet de

afgeleide van de stap voorkomt.

(4.11)

2 4 Hoofdstuk 4 . Actieve vering met preview

Hierin is s(0) = O . Voor de berekening van x(t) treedt hetzelfde probleem op, nl. dat

w

in vergelijking ( 4 . 2 ) een impuls is. Door een nieuwe toestand te kiezen en

w

weer als een stap te definieren, is dit op dezelfde manier op te lossen.

xnieuw(t*) = x(t*)

-

E s s ( t * )

Hierin is

w

dus een stap en niet de afgeleide. differentiaalvergelijking wordt:

2nieuw(t*) = A S n i e U w ( t * ) + Hr(t*) + A g w ( t * )

met als beginvoorwaarde

Xnleuw( t - A t ) = X( t - A t )

-

EW( t-At)

(4.13)

De nieuwe

(4.14)

(4.15)

In bijlage 3 is het programma voor de responsies bij actieve vering met preview gegeven.

Hoofdstuk 5. Semi-actieve vering met preview 25

5. Semi-actieve verinct met Preview

5.1. Inleiding

Bij semi-actieve vering met preview wordt de actuator vervangen door een veer en een regelbare demper. De vraag is nu hoe de dempingsconstante b, van de regelbare demper als functie van de tijd ingesteld moet worden. Om dit op te lossen wordt eerst met de methodiek van het vorige hoofdstuk een UOpt bepaald. Bij de bepaling van Uopt treedt t.o.v. de actieve vering een verandering op in de bepaling van x(t) o In paragraaf 5.2 is deze verandering aangegeven.

Nadat Uopt bepaald is, moet b, zodanig ingesteld worden dat de gewenste Uopt zo goed mogelijk gevolgd wordt. Dit zal in paragraaf

5.3 besproken worden. I

I

5.2. Bepaling van x(t)

Voor het bepalen van Uopt met vergelijking ( 3 . 4 ) zijn r(t) en x(t) nodig. De bepaling van r(t) kan b i j semi-actieve vering op dezelfde manier als in het vorige hoofdstuk gebeuren, dus volgens vergelijking (4.1). De bepaling van x(t) kan

nu

echter miet met

gebeuren, omdat bij de afleiding van (5.1) in deze vergelijking Uopt is gesubstitueerd (zie [i] voor deze afleiding). De Uopt moet geleverd worden door de veer en de regelbare demper, maar als deze de Uopt niet kunnen leveren (bijv. als voor de demper een Uopt berekend is waarbij de demper energie moet toevoeren) dan wordt met

(5.1) een hele andere x(t) berekend, dan in werkelijkheid optreedt.

Hoofdstuk 5 . Semi-actieve vering met preview 26

Hierin is u(t) nu niet de gewenste Uopt, maar de werkelijke kracht die door de veer en de regelbare demper geleverd wordt. De werkelijke kracht wordt ,,,F genoemd. De oplossing x(t) is te vinden door integratie van ( 5 . 2 ) over het tijdsinterval [t-At,t]. Om dit

te kunnen uitvoeren moet het verloop van u en w over dit tijdsinterval bekend zijn. Het verloop van w over het tijdsinterval levert geen probleem op, want w is het bekende wegdekverloop. Voor het verloop van u moet echter de volgende aanname gemaakt worden: u op het tijdstip t-At is bekend (nl. ,,,F op dit tijdstip) en wordt over het hele tijdsinterval [t-At,t] constant gehouden. Dit is nodig omdat u(t-At) de laatst berekende waarde is, terwijl het verloop over het gehele tijdsinterval bekend moet zijn. Deze aanname is gerechtvaardigd als At maar klein genoeg is.

5.3. Bepaling van b,

In figuur 5.1 is aangegeven hoe uit het verloop van Uopt de bijbehorende b, bepaald kan worden.

Hoofdstuk 5. Semi-actieve vering met preview 27

üit deze figuur zijn twee vergelijkingen voor Uopt af te leiden:

Elimineren van

p4

uit vergelijking ( 5 . 4 ) door substitutie van vergelij king (5.3 ) levert:

Uit deze vergelijking kan b, opgelost worden. Het probleem is nu dat niet elke Uopt door de demper en veer gerealiseerd kan worden. Als bij een bepaalde UOpt bijvoorbeeld een negatieve b, wordt berekend, is dit niet te realiseren door de demper. Wordt een positieve b, berekend uit (5.5) dan is de werkelijke kracht die door de veer en de demper geleverd wordt (Fdm) gelijk aan de gewenste IJop,. Wordt echter een negatieve b, berekend dan wordt b,

gelijk gemaakt aan nul en is FdeW ook nul.

Met de werkelijke krachten die op de demper werken en het Eulerschema is een uitdrukking voor

fJopt

te vinden. Omdat Fdw(t+At) wordt bepaald uit b,(t+At) is bij de bepaling van b,(t+At) uit (5.5)

Als At maar klein y e n ~ e y is, is deze benadering te rechtvaardigen. In bijlage C is het programma voor de semi-actieve vering weergegeven.

Hoofdstuk 6. Passieve vering 28

6. Passieve verinq

6.1. Inleiding

Om enige uitspraken te kunnen doen over het nut van actieve en semi-actieve vering moeten de resultaten van deze beide veringen vergeleken worden met de passieve vering. Het verschil tussen passieve en semi-actieve vering Ps dat b i j passieve vering de regelbare demper vervangen is door een demper met een tijdsinvariante dempingsconstante.

6.2. Het voertuigmodel voor passieve vering

Het voertuigmodel dat voor een simulatie met passieve vering is te gebruiken verschilt in zoverre met het model van figuur 2 . 5 dat de actuatorkracht F vervangen is door een demper en een veer (zie figuur 6.1)

.

k 3

Hoofdstuk 6. Passieve vering 29

Voor dit model gelden de volgende vergelijkingen:

De hierboven genoemde vergelijkingen zijn om te schrijven naar de toestandsbeschrijving (zie vergl. (3.2) en (3.3)). T.O.V. de toestand

x

die voor het model van figuur 2.5 is gebruikt, wordt de

toestand x voor het passieve model uitgebreid met één component:

Verder is gekozen:

Hiermee zijn de matrices A, E, en C uit de toestandsvergelijking en de uitgangsvergelijking te bepalen. In bijlage D zijn deze matrices weergegeven. Het programma voor de passieve vering is tevens in deze bijlage gegeven.

I i 3 0 Hoofdstuk 7. De resultaten 7. De resultaten 7.1. De weegmatrices

De weegmatrices Q en Rmoeten symmetrisch en semi-positief definiet z i j n . Verder geldt dat V=DTQD+R>O moet zijn. De weegmatrices zijn als volgt gekozen:

Met deze matrices worden F, (y,-y,,), (y2-y,) en y2 t.o.v. elkaar gewogen. Omdat het om de relatieve waarden van de weegfactoren gaat, is voor r de waarde 1 gekozen. Door nu de waarden voor q,, q2 en q., te varieren, kunnen verschillende responsies bereikt worden.

7.2. De resultaten b i j passieve vering

Omdat bij passieve vering de regelstrategie niet van toepassing is, zijn de resultaten niet afhankelijk van de weegfactoren. De recultaten b i j passieve vering zijn alleen afhankelijk van de instelling van de dempingsconstante b, (zie figuur 6.1). In tabel

7.1 zijn de resultaten b i j drie verschillende dempingsconstanten weergegeven. Hierbij is gekeken naar de eisen zoals die in hoofdstuk 1 gegeven zijn, Alleen de actuatorkracht en het actuator- vermogen zijn natuurlijk niet van belang. In deze tabel zijn tevens de resultaten gegeven

van

de passieve vering Z Q ~ ~ S d i e in [i]

~ I ! l

i

i 1 ~

I

i

I i ! 1 j ! i Hoofdstuk 7 . De resultaten 31 10e3 5.0 -7.1 5.9 -11.5 10.1 50e3 4.8 -7.1 5.3 -11.4 10.4 2000e3 4.7 -7.1 4.9 -11

.

2 11.1 met [i] 3.1 -7.1 3.0 -9 18.8

Tabel 7.1: Resultaten van de passieve vering voor verschillende dempingsconstanten b,.

In bijlage E zijn de responsies voor b3=50.103 Ns/m weergegeven in figuur E. 1 t/m E. 5. Naast (y,-y,) (y2-y,) en

g2

zijn ook yl en y2 weergegeven.

Uit tabel 7.1 volgt dat een passieve vering met hydrolager niet aan de eis voldoet dat de maximale negatieve veerweg (y2-yl)m niet kleiner mag zijn dan -9 cm. Verder valt op dat bij een passieve vering met hydrolager de veerweg (y2-yl) groter is dan bij een passieve vering zonder hydrolager volgens [l]. De versnelling van het chassis y2 wordt bij passieve vering met hydrolager echter wel gereduceerd t.o.v. de passieve vering volgens El], wat het nut van het hydrolager nog eens aangeeft. Uit tabel 7.1 blijkt ook dat variatie van de dempingssonstante b, weinig invloed heeft ~p de resultaten,

7.3. De resultaten bij actieve vering met preview

Bij het variëren van de weegfactoren is telkens een vaste combinatie q, en q, genomen, waarna q3 zo wordt gevarieerd dat aan de eis van (y2-y1)m wordt voldaan. Deze eis blijkt het meest kritisch te zijn. De volgende tabel geeft de vaste combinaties q, en q2 weer, die onderzocht zijn. Tevens is hierbij de q, gegeven waarvoor ( ~ ~ - y , ) ~ niet kleiner is dan -9 cm.

Hoofdstuk 7 . De resultaten 32 q2 q3 le13 le13 le13 le12 le12 le12 le10 le8 le12 le13 le14 le12 le13 le14 le14 le14 niet mogelijk le9 le10 niet mogelijk le9 le10 le10 le10

Tabel 7.2: Combinaties bij actieve vering waarvoor q3 zo

gevarieerd kan worden dat aan de eis van ( ~ ~ - y ~ ) ~ voldaan wordt.

Bij het vergelijken van de resultaten tussen de hierboven gegeven combinaties is gebleken dat de combinatie van ql=le12, q2=le14 en q3=le10 d e beste resultaten geeft. In bijlage E zijn in de figuren

E.6 t/m E.12 de responsies voor deze combinatie weergegeven. Bij

deze simulaties is voor A t 0.005 s genomen. Overigens is nog op te merken dat de verschillen tussen de laatste drie combinaties in tabel 7.2 klein zijn. De combinatie ql=le12 en q2=le14 wordt nu verder bekeken. In tabel 7.3

zijn

de resultaten gegeven voor verschillende q3's bij de vaste combinatie q, en q2. In deze tabel zijn tevens de resultaten gegeven van de actieve vering zonder hydrolager volgens [l] voor q,=le13, q2=le12 en q3=0 (Tp=1/8s).

le12 le14 le10 4.8 -5.8 1.7 -8.7 5.6

le12 le14 le9 4.9 -6.3 2.5 -7.4 8.5

lei2 le14 5e8 4.9 -6.3 2.7 -7.2 10

l e i 2 i e l 4 ie8 4 . S - 6 . 8 2 . 8 -6.8 i2

volgens [l] 3.2 -3.8 2 . 8 -5.8 10

Tabel 7 . 3 : Resultaten bij actieve vering met preview voor vaste combinatie q1=le12 en q,=le14 en voor verschillende q3.

Hoofdstuk 7 . De resultaten 33

Het blijkt nu dat als aan de eis van (y2-y,),,,,, niet kleiner dan -9 cm is voldaan, de versnelling tot 5.6 m/s2 wordt gereduceerd. Als gesteld wordt dat de versnelling 1y21mx gelijk moet zijn aan de versnelling bij passieve vering met hydrolager, dus 10 m/s2, dan wordt de maximale negatieve veerweg (y2-y,), ongeveer -7 cm. In vergelijking met de passieve vering is dit voor (yz-y,),,,,, een reductie van 5 cm.

7.4. De sesultaten b i j semi-actieve vering met preview

Bij het variëren van de weegfactoren wordt net a l s in de vorige paragraaf een vaste combinatie q, en q2 genomen, waarna q:, zo gevarieerd wordt dat aan de eis betreffende ( ~ ~ - y , ) ~ wordt voldaan. De gevonden combinaties zijn in tabel 7 . 4 weergegeven.

q 1 q 2 q3 le12 le14 le6 le12 le15 le6 le12 le16 le10

le13 le15 le9 le13 le16 le13

Tabel 7.4: Combinaties bij semi-actieve vering waarvoor q3

zo

gevarieerd kan worden dat aan de eis van (y2-y1), wordt voldaan.

Verder is nog gekeken naar de vaste combinatie q, en q,, die in tabel 7.5 gegeven zijn. Deze combinaties leverden bij variatie van q, geen goede resultaten op. De versnelling ly21mx werd bij deze combinaties namelijk v e e l te groot,,

Hoofdstuk 7. De resultaten 34 le13 le12 le13 le13 le13 le14 le14 le12 le14 le13

Tabel 7 . 5 : Combinaties bij semi-actieve vering waarvoor variatie van q3 geen goede resultaten geven.

Na vergelijking van de resultaten van de combinatie's gegeven in tabel 7.4 blijkt dat de combinatie van q1=le12, q2=le14 en q3=le7 de beste resultaten geeft. In tabel 7.6 zijn de resultaten van deze vaste combinatie voor verschillende q, gegeven.

le12 le14 le5 4.2 -7.1 3.4 -9.2 58

le12 le14 le6 4.2 -7.1 3.4 -9.2 58

le12 le14 le7 4.1 -7.1 3.4 -9.2 54

le12 le14 le8 3.8 -7.1 5.7 -9.9 46

le12 le14 le9 4.4 -7.1 3.4 -10.8 26

le12 le14 le10 4.8 -7.1 2.0 -11.5 13

le12 le14 lel1 4.8 -7.1 1.8 -11.7 10.5

Tabel 7 . 6 : Combinatie bij semi-actieve vering met preview voor de vaste combinatie q1=le12 en q2=le14 met

verschillende q3 e

Het blijkt dat als aan de eis van ( ~ ~ -niet kleiner dan y ~ ) ~ -9 cm wordt voldaan, de versnelling ly21mx groot wordt, namelijk 54 m / s 2 . Wordt de versnelling

IyZlmax

gelijk gemaakt aan 10 m/c2 dan wordt de veerweg ( ~ ~ - y , ) ~ -12 cm. Deze waarde komt overeen met de waarde gevonden bij passieve vering. Ook voor de andere eisen komen de waaràen overeen met üe waarüen ûie bij passieve vering gevonäen zijn. Voor de weegfactoren q1=le12, q,=le14 en q3=le7 zijn in de figuren E.13 t/m E.20 de resultaten weergegeven. Voor A t is weer

Hoofdstuk 7. De resultaten 35

,

zeer grillig is (zie figuur E.16 en E.20). Voor dit merkwaardige verloop heb ik geen verklaring kunnen vinden.

In het verloop van U,,, (zie figuur E.13) doet zich iets merkwaardigs voor, want op het tijdstip t=0.2 s heeft Uopt een negatieve waarde. Men zou verwachten dat bij het begin van de stap op t=0.2 s Uopt een positieve waarde heeft, want bij een positieve waarde van Uopt worden de as en het chassis naar elkaar toe getrokken. Hierdoor zou de stap enigszins worden opgevangen. Bij actieve vering met preview heeft Uopt zoals verwacht op t=0.2 s wel een positieve waarde, Doordat UOpt op t=0.2 s een negatieve waarde heeft, heeft b, op dit tijdstip een positieve waarde ongelijk aan nul (zie figuur E.19). Voor de responsie zou het beter zijn om b, op t=0.2 s gelijk aan nul te maken, zodat dan de stap niet wordt doorgegeven aan het chassis. Hieruit volgt dat de regelstrategie die voor actieve vering met preview goede resultaten geeft, bij semi-actieve vering met preview niet automatisch goede resultaten geeft. Men kan zich dus afvragen of de strategie voor het bepalen van b, wel zo toegepast mag worden.

Dat semi-actieve vering met preview geen verbetering geeft t.o.v. passieve vering is wel te verklaren. Bij passieve vering is namelijk gebleken dat variëring van de dempingsconstante b, bijna geen verschil geeft voor de resultaten (zie tabel 7.1). Bij semi- actieve vering met preview wordt nu deze dempingsconstante regelbaar gemaakt, maar dit zal dan weinig nut hebben, Alleen preview kan nog nut hebben door op t=0.2 s de dempingsconstante nul te maken, maar met de hierboven toegepaste strategie zal het verloop van U,,, dit niet gebeuren. De preview werkt wel want 1/8 s voordat de stap bereikt wordt, wordt de dempingsconstante b, nul gemaakt !

Hoofdstuk 8. Conclusies 36

8 . Conclusies

1) Een hydrolager in een passief systeem heeftt.0.v. een passief

systeem zonder hydrolager een reductie van ongeveer 50 % voor de maximale chassisversnelling

I

yz

I

max tot 10.4 m/s2 tot gevolg. Deze reductie gaat echter wel gepaard met een verkleining van (y2-y1)m tot -11.4 cm. Dit is in een passief systeem zonder hydrolager -9 cm.

2) Actieve vering met preview voor een hydrolager geeft goede resultaten. Hierbij kan de maximale chassisversnelïing

I

y2

I

max

tot 5.6 m/s2 gereduceerd worden, terwijl voldaan is aan de eis

dat ( ~ ~ - y , ) ~ niet kleiner mag zijn dan -9 cm. Net als in [l] is ook in dit geval het benodigde vermogen te groot. Het piek- vermogen is namelijk 400 kW (zie figuur E.lO).

3) Bij semi-actieve vering met preview worden dezelfde resultaten verkregen als bij passieve vering met hydrolager, dus ly21,,=

10.5

m/s2

met (y2-y,)m=-11.7 cm. Wordt aan de eis van (y2-yl)m

voldaan, dan neemt de versnelling 1y21max toe tot 54 m/s2.

4 ) Varisring van de dempingsconstante b, in het regelgedeelte van het hydrolager h e e f t weinig invloed op de responsies, Bit is misschien een verklaring waarom semi-actieve vering met preview geen verbetering geeft t.o.v. passieve vering.

5) Het verloop vam Uopt bij semi-actieve vering met preview is niet ideaal. Men kan zich hierbij afvragen of de methodiek uit [l]

voor semi-actieve vering wel nuttig is.

6 ) Preview heeft in het geval van semi-actieve vering weinig nut. Dit wordt veroorzaakt door ket niet-ideale verloop van IJopt.

Hoofdstuk 9. Aanbevelingen 37

9 . Aanbevelinqen

1) Het toepassen van een andere regelstrategie voor semi-actieve vering met preview, zodat het verloop van U,,, verbeterd wordt. Door een goed verloop van Uopt zullen de resultaten bij semi- actieve vering met preview beter worden.

2) Een onder- en bovengrens voor b, introduceren, zodat het verloop van b, minder grillig wordt. Verder kan gekeken worden naar andere soorten dempers, zoals bijvoorbeeld een on/off demper.

3) Er kan gekeken worden of

UOpt

op een andere manier bepaald kan worden.

4 ) Het toepassen van andere spoorwegovergang.

5) De previewtijd T, heeft

ingangssignalen, zoals een talud of een

nvloed op de resultaten bij actieve en semi-actieve vering met preview. In dit verslag zijn de simulaties uitgevoerd met een T, van 1/8 s. Er kan nu gekeken worden naar de resultaten bij variërende T,.

6) Het *8qua~ter car1# model vervangen d ~ een ~ Ithalf r car88 msdel. Het voordeel van een "half cars1 model is dat tevens de dompbeweging gemodelleerd is.

Literatuurli j st 3 8

Literatuurlijst

I _{1 Huisman,} R., An _{investigation into the theoretical feasibility}

of active suspensions with preview.

Rapport WFW 90.042, Technische Universiteit Eindhoven, 1990.

2 Liebregts, R., Het hydrolager, theorie en toepassing als motorophanging.

Intern rapport 55250/89-413, DAF Trucks, Eindhoven, 1990.

3 Kok, J., Werktuigkundige Regeltechniek 2.

Bijlage A. De toestandsbeschrijving van het voertuigmodel 39

Bijlage A. De toestandsbeschriivina van het voertuiumodel

, _{De vergelij kingen die uit het voertuigmodel van figuur 2.5 afgeleid} zijn, luiden als volgt:

Deze vergelijkingen kunnen omgeschreven worden naar een toestands- beschrijving. De volgende toestand is gekozen:

Verder is gekozen:

M.b.v. deze definities zien de toestands- en uitgangsvergelijking er als volgt uit:

Bijlage A. De toestandsbeschrijving van het voertuigmodel 40

2

= A X + BU + EW (A.7)

I

I m e t

(E t *V) - % i l

--

7: O

,

o

,

~ O O O =a -9 O O 7: T O O =3 O 0 O 0 O 0 O O O

o

O O *T-- =a

Bijlage B. Het programma voor actieve vering met preview 42

Bijlage B. Proaramma voor actieve verina met sreview

echo on clear pack % % STAGEOPDRACHT HYDROLAGER %

% INGANGSSIGNAAL IS EEN STAP %

% De getallen ql, 92 en 9 3 voor de weegmatrix Q zijn variabel % en moeten nog ingevoerd worden:

% ql = 1E12; 92 = 1E14; 93 = 1E10; % % Modelparameters % kO = 6.536; kl = 360033; k2 = 80E3; k3 = 400E3; bl = 50; b2 = 17.533; ml = 1350; m2 = 8650; m3 = 800; % % Tussenvariabele in matrix A % a = (kl/m2)+( (kl+k2)/m3) : %

% Toestandsbe9chri3ving V Q Q ~ het model v a n het HYDROLAGER

% A = [ O

o

O P 8 8 o 0 0 0 - 1 1 0 0 O O O i -1 (-i/b2) O -kO/ml k3/ml O O O (-l/ml) O O -k3/m2 O O O (l/m2) O O (-kl*k3)/m2 (-kl*k2)/m3 O (kl*bl)/m3 a (-bl/m3)] ; O O O kl O (-kl/b2) -1 % B = [ O O l/b2 l / m l -l/m2 kl/b2 -kl/m2] ; % E = [-i O O O O O O]'; % c = [ l o o o

o o o

% 0 1 0 0 0 0 0 O -k3/m2 O O O l/m2 O ] ;

43 Bijlage B. Het programma voor actieve vering met preview

D = [ O O -l/mZ]'; % % Weegmatrices Q en R % Q = [ql O O

o

9 2

o

o o

q31: % R = [i]; %

% Matrices n o d g voor het bereaxenen van Uopt % V = P)O*Q*D+R; F = A-B/V*D'*Q*C; G = C'*(Q-Q*D/V*D'*Q)*C; H = B/V*B' : %

% Het oplossen van de Wiccati-vergelijking % en het berekenen van Ag

%

P = are(F,H,G); Ag = F-H*P; %

% STAP als Ingangssignaal %

% Bepaling r m.b.v. lsim voor een stap als ingangssignaal.

% Voor het oplossen van de diff. vergl. moeten we

nu

de afgeleide % van het STAP-signaal invullen. Dit is een impuls die echter niet % gegenereerd kan worden in matlab. We lossen dit op door een % nieuwe toestand te definieren, zodat niet de afgeleide maar de % funktie zelf ingevoerd moet worden. Na de berekening dient de % oude toestand weer genomen te worden. De omzetting is als volgt: % % spunt'=Wg'*s'-Ag'*P*E*w % % Tp is de previewtijd % SO is de beginvoorwaarde % Tp = 0.125: Al = Ag'; %

% Door omzetting nieuwe B1 %

Bl = Ag'*P*E; @I = eprC9(7,79:

D1 = zeros(7,l)t %

% Bepaling van r op t=O %

tster = [0:1/160:Tp];

Bijlage B. Het programma voor actieve vering met preview 44 % % omkeren van WO % for i=1:21 u0(1,21+1-i) = wO(1,i); end % % Randvoorwaarde % SO = -P*E*uO(l,l); [yyl,sl]=LSIM(A1,B1,Cl,Dl,uO,tster,SO); %

% Teruggaan naar oude toestand % s = s1

+

(P*E*uO) : r(1,:) = ~(21,:): clear s1 clear s clear yyl %

% Bepaling van Uopt voor t=O. Hiervoor hebben we x0 nodig % x0 is de beginvoorwaarde

%

x ( 1 , : ) = [ O o

o o o

o 03;

Uopt(1,:) = -inv(V)*(B1*P+D1*Q*C)*x(l,:) I

+

inv(V)*BI*r(l,:)':

%

% Bepaling van het vermogen %

y3punt = -(l/b2)*x(1,6)

+

(l/b2)*Uopt

+

x(1,4); dy = x(l,5)-y3punt;

PP(1,:) = Uopt(l,:)*dy; %

% Bepaling van yyyl en yyy2 op tijdstip t=O %

yyyl(1,:) = X(1,l)

+

wO(1,l):

yyy2(1,:) = x(1,2)

+

x ( 9 , l )

+

wO(1,P); %

% Bepaling van r op meerdere tijdstippen % tel = O; % f o r tb=0.005:0.005:1.0 te = tb

+

Tp; T = [tb:1/160:te]; hT = 8*@S%*stepfun(T;0.2); % tel = tel+l % % srnkerem vam

w

% f o r j=1:21

Bijlage B. Het programma voor actieve vering met preview 45 u(1,21+i.-j) = w(î, j) i end % % Randvoorwaarde % SS = -P*E*u (1,l) i

[yyl, sl)=LSIM(Al, B1, C1, D1 ,u, tster, ss) i

%

% Teruggaan op oude toestand % s = sl

+

(P*E*u) I i r(tb*200+1,:) = ~(21,:); clear s1 clear s clear yyl %

% Bepaling van x m.b.v. de hierboven berekende r % B2 = eye(7); % % Nieuwe

w

bepalen % TX = [tb-O.005:0.005:tb]; wx = 0.071*stepfun(Tx,0.2); % % Randvoorwaarde % xrand = x(tb*200,:)

-

E*wx(l,l); %

% Nieuwe r bepalen, die we rx noemen %

rx

= [r(tb*200,:)' r(tb*200+1,:)']; %

% Door nieuwe toestand verandert nu ook ux (zie aantekeningen) %

ux =

H*rx

+

Ag*E*wx;

%

[yy2

,

zl] =LSIM(Ag, B2, eye ( 7 , 7 )

,

zeros (7,7) ,ux, Tx, xrand) i

%

% Teruggaan op oude toestand %

z

= zl

+

(E*wx) i x(tb*200+1, : ) = z(2, : ) i clear z clear zl clear yy2 % % Bepaling Uopt % Uopt(tb*200+1, :) = -inv(V)*(B1*P+D1*Q*C)*x(tb*200+l,:) I +

. .

inv(V) *B1*r(tb*200+1, :) I i

46

Bijlage B. Het programma voor actieve vering met preview

%

% Berekening van het vermogen PP uit Uopt %

y3punt(tb*200+1) = -(l/b2) *x(tb*200+1,6)+(l/b2)*Uopt(tb*200+1)

+

.

dy = x(tb*200+1,5)-y3punt(tb*200+1) ; PP(tb*200+1,:) = Uopt(tb*200+1,:)*dy; %

% Bepaling yyyl en yyy2 %

yyyl(tb*200+1,:) = x(tb*200+1,1)

+

~ ( 1 ~ 2 ) ;

yyy2(tb*200+1,:) = x(tb*200+1,2)

+

x(tb*200+1,1)

+

wx(l,2); end

%

% Het plotten van de resultaten %

% We plotten eerst Uopt % t s 1s de simulatietijd.

% Deze moet overeen komen met de grootte van Uopt %

ts = [0:0.005:1.0];

plot(ts,Uopt),title(~ql=le12 q2=le14 q3=le10 t=0,2')

..

meta plot1

%

% Berekening van de uitgang y %

yy = C*xl

+

D*Uopti; y = yy';

%

% Responsie van yl-y0 %

plot (ts,y (: ,1) ) ,title ( 'ql=le12 q2=le14 q3=le10 t=O. 2 I )

,

meta plot2 %

% Responsie van y2-y1 %

plot(ts,y(:,2)),title(~ql=le12 q2=le14 q3=le10 t=0.2'), meta plot3

%

% Responsie van y2dubbel % x(tb*200+1,4) ; xlabel('t[s]'), ylabel(lUopt[N]l),grid,pause

.

.

xlabel('t[c]'2,yaabeb('yl-yO~m]1~.~rid,pause

.

.

xlabel(~t[s]~),ylabel(~y2-yl[m]~),grid,pause p l s t o t c . y o r . 3 ) ) . t i t P e i ' 9 1 = l e l e q2=1e14 q3=ae10 t=8.2'), 0 0 xlabel(~t[s]~),ylabel(~y2dubbel[m/sA2]~),grid,pause meta plot4 %

% Responsie van het vermogen %

Bijlage B. Het programma voor actieve vering met preview 47

~ ~~ ~ _ _ _ _ _

xlabel( 't[s] I ) ,ylabel( IP[Nm/s] I ) ,grid,pause

meta plot5 %

% Responsie van yyyl %

w=O.O71*stepfun(ts, 0.2) :

plot(ts,yyyl,ts,www),title(1ql=le12 q2=le14 q3=le10 t=0.2#),

..

meta plot6

%

% Responsie van yyy2 %

plot(ts,yyy2,tc,www),title('ql=lel2 q2=le14 q3=le10 t=Q.2'),

..

meta plot7

~ l a b e l ( ~ t [ s ] I ) ,ylabel( lyl[mJ I ) ,grid,pause

Bijlage C . Het programma voor semi-actieve vering met preview 48

Bijlage C . Eet moaramma voor semi-actieve verina met Preview echo on clear pack % % STAGEOPDRACHT HYDROLAGER %

% INGANGSSIGNAAL IS EEN STAP %

% De getallen ql, 92 en 93 voor de weegmatrix Q zijn variabel % en moeten nog ingevoerd worden:

% ql = 1E12; 92 = 1E14; 93 = 1E7; % % Modelparameters % k O = 6.5E6; kl = 360033; k2 = 80E3; k3 = 400E3; k4 = 8E6; bl = 5 0 ; b2 = 17.533; ml = 1350; m2 = 8650; m3 = 800; % % Tussenvariabele in matrix A % a = (kl/m2)+( (kl+k2)/m3) ; %

% Toestandsbeschrijving voor het model van het HYDROLAGER % A = [ O O O 1 0 0 0

o o o

-1 1

o o

O O O 1 -1 (-l/b2) O -kO/ml k3/ml O O O (-l/ml) O O -k3/m2 O O O (l/m2) O O O O kl O (-kl/b2) -1 O (-kl*k3)/m2 (-kl*k2)/m3 O (kl*bl)/m3 a (-bl/m3) 3 ; % B = [ O O Ips2 l / m l

-l/m2

kl/b2 -kl/m2] ; % E = [-1 O O O O O O ] ' ; % C =

E1

O 8 O 8 O O 0 1 0 0 0 0 0 O -k3/m2 O O O l / m 2 O ] ;

Bijlage C. Het programma voor semi-actieve vering met preview 4 9 % D = [ O O -l/m2]'; % % Weegmatrices Q en R % Q = [ql O O

o

92

o

0

o

931; % R = [i]; %

% Matrices nodig voor het berekenen van Uopt % V = D'*Q*D+R; F = A-B/V*D'*Q*C; G = C'*(Q-Q*D/V*D'*Q)*C; H = B/V*B'; %

% Het oplossen van de Riccati-vergelijking % en het berekenen van Ag

% P = are(F,H,G); Ag = F-H*P; % % % % % % % % % % % % % % % %

STAP als Ingangssignaal

Bepaling

r

m.b.v. lsim voor een stap als ingangssignaal.

Voor het oplossen van de diff. vergl, moeten we nu de afgeleide van het STAP-signaal invullen. Dit is een impuls die echter niet gegenereerd kan worden

in

matlab. We lossen dit op door een nieuwe toestand te definieren, zodat niet de afgeleide maar de funktie zelf ingevoerd moet worden. Na de berekening dient de oude toestand weer genomen te worden. De omzetting is als volgt:

cpunt'=Ag'*s'-Ag'*P*E*w Tp is de previewtijd SO is de beginvoorwaarde Tp = 0.125; Al = Ag'; %

% Door omzetting nieuwe B1 %

BI = Ag' * P E ;

C1 = eye(7,7); Dl = zeros(7,l); %

% Bepaling van

r

op t-O %

I

Bijlage C. Het programma voor semi-actieve vering met preview 50

W O = 0.071*stepfun(tster,O.2); % % omkeren van W O % f o r i=1:21 u0(1,21+1-i) = wO(1,i); end % % Randvoorwaarde % S O = -P*E*uO(l,l); [yyl,sl]=LSIM(A1,B1,Cl,Dl,uO,tster,sO); %

% Teruggaan naar oude toestand % s = sl

+

(P*E*uO)

';

r(1,:)

= ~(21,:); clear sl clear s clear yy1 %

% Bepaling van Uopt voor t=O. Hiervoor hebben we x0 nodig % x0 is de beginvoorwaarde

%

Uopt(1, :) = -inv(V)*(B1*P+D1*Q*C)*x(l,:) I

+

inv(V)*B1*r(l,:)

';

%

% Bepaling van yyyl en yyy2 op tijdstip t=O %

x(1,:) = [ O o

o o

o

o

O];

yyyl(1,:) = x(1,l)

+

wO(1,l);

yyyl(1,:) = x(i,2)

+

x(1,l)

+

wO(1,l);

a

% Bepaling van de regelbare dempingsconstante br. De eerste keer % nemen we Fpunt nul

%

y2puntQ1) = x ( 9 , 5 ) ;

y3punt(l) = (-l/b2)*x(1,6)

+

(l/b2)*Uopt(l,:)

+

x(1,4); br(1) = O ;

br (1) = Uopt (1, : ) / (y2punt (1) -y3punt (1) ) ; if (y~punt (i) -y3punt (1) ) == O

else end % if br(1) > O else end %

% Bepaling van r op meerdere tijdstippen Fdemp(i] = üopt(31,:) t

br(1) = O; Fdemp(1) = O ;

Bijlage C. Het programma voor semi-actieve vering met preview 51 % tel=O; % for tb=O.Q05:0.005:1.Q te = tb

+

Tp; T = [tb:1/160:te]; w = 0.071*stepfun(T,0.2); % tel=tel+l % % omkeren van

w

% for j=1:21 u(l,21+1-j) = w ( 1 , j ) : end % % Randvoorwaarde % S S = -P*E*u(l,l);

[yyl, sl] =LSIM(Al, B1, C1, D1 ,u, tster, ss) ; %

% Teruggaan op oude toestand % s = sl

+

(P*E*u) ; r(tb*200+1, :) = ~(21,:); clear sl clear s clear yyl %

% Bepaling van

x

m.b.v. toestandsrelatie % B2 = eye(7) ; % % Nieuws

w

bepalen % TX = [tb-Q.005:0.005:tb]; wx = 0.071*stepfun(Tx,0.2) ; % % Randvoorwaarde % xrand = x(tb*200,:)*

-

E*wx(l,l); %

% Nieuwe Kr bepalen. Kr is de Uopt van het vorige tijdstip die over % het hele interval constant wordt gehouden.

%

Kr = [Fdemp(tb*LOO) Fdemp(tb*200)] ; %

% Door nieuwe toestand verandert nu ook ux (zie aantekeningen) %

ux = B*Kr

+

A*E*wx; %

Bijlage C. Het programma voor semi-actieve vering met preview 52

[ yy2, zl] =LSIM (A, B2, eye ( 7 , 7 )

,

zeros ( 7 , 7 )

,

ux, Tx, xrand) i

%

% Teruggaan op oude toestand % z = zl

+

(E*=) l i x(tb*200+1,:) = ~(2,:); clear z clear zl clear yy2 % % Bepaling Uopt % Uopt(tb*200+1,:) = -inv(V)*(Bt*P+D1*Q*C)*x(tb*200+l,:)

'+

. .

%

% Bepaling yyyl en yyy2 % yyyl(tb*200+1,:) = x(tb*200+1,1)

+

~ ~ ( 1 ~ 2 ) i yyy2(tb*200+1,:) = x(tb*200+1,2)

+

x(tb*200+1,1)

+

Wx(1,2); % % Bepaling van br % y2punt(tb*200+1) = x(tb*200+1,5) i y3punt(tb*200+1) = -(l/b2)*x(tb*200+1,6)+(i/b2)*Fdemp(tb*200)

+

. o x(tb*200+1,4) i % if tb == O. 005 Upunt (tb*200+1) = O; else

Upunt (tb*200+1) = (Fdemp(tb*200)

-

Fdemp(tb*200-1) )/O. 005;

end % if (y2punt(tb*200+1) - ( (l/k4)*Upunt(tb*200+1))-y3punt(tb*200+1) ) == O else inv(V)*B1*r(tb*200+1,:) ' i br(tb*200+1) = O ; br(tb*200+1) = Uopt(tb*200+1, :)/(y2punt(tb*200+1)

-

.

( (l/k4) *Upunt (tb*200+1) ) -y3punt (tb*200+1) ) ; end % if br(tb*200+1) > O else Fdemp(tb*200+1) = br(tb*200+1) *(y2punt(tb*200+1)

-

. .

br(tb*280+1) = 6; Fdemp(tb*200+1) = O; ( (l/k4) *Upunt (tb*200+1) ) -y3punt (tb*200+1) ) i end end %

% Het plotten van de resultaten %

Bijlage C. Het programma voor semi-actieve vering met preview 53

% We plotten eerst Uopt % ts is de simulatietijd.

% Deze moet overeenkomen met de grootte van Uopt %

ts = [0:0.005:1.0];

plot (ts ,Uopt) ,title ( I ql=le12 q2=le14 q3=le7 t = O .2 I )

,

.

.

meta plot1

%

% Berekening van de uitgang y %

yy = C*x' -i- D*Fdemp;

~label(~t[s]~),ylabel('uopt[N]~),grid,pause

y = y y ' r

%

% Responsie van yl-y0 %

plot(ts,y(:,l)),title('ql=lel2 q2=le14 q3=le7 t=0.2'),

..

meta plot2

%

% Responsie van y2-y1 %

plot(ts,y(:,2)),title('ql=lel2 q2=le14 q3=le7 t=0.2'),

..

meta plot3

%

% Responsie van y2dubbel %

plot(ts,y(: ,3)) ,title( 'ql=le12 q2=le14 q3=le7 t=0.2'),

.

meta plot4

%

% Responsie van w y 1 %

www=O .O7 l*stepf un (ts

,

O. 2 ) i

plstjts,yyyl,ts,wwwj ,titPe(:qi=PelL q%=Pel4 q3=fe7 t=8.2'),

..

xlabel('t[s] I ) ,ylabel(lyl[m]l) ,grid,pause meta plot5

%

% Responsie van yyy2 %

plot (ts, yyy2, ts, www)

,

title ( ql=le12 q2=le14 q3=le7 t = O

.

2 I )

,

. .

meta piot6

%

% Het plotten van de variabele dempingsconstante br %

plot(ts,br),title(1ql=le12 q2=le14 q3=le7 t=0.2'),

..

meta plot7

%

xlabel(gt[s] 8 , ,yfabeP( @yl-yO[m] I ) ,grld,pause

~ l a b e l ( ~ t [ s ] I ) ,ylabel( 1y2-yl[m] I ) ,grid,pause

~label(~t[s]~),ylabel('y2dubbel[m/s*2]~),gr~d,pause

xlabel( It [SI I ) ,ylabel( 'y2[m] I ) ,grid,pause

Bijlage C. Het programma voor semi-actieve vering met preview 54

% Het plotten van Fdemp %

plot (ts, Fdemp) ,title (

*

ql=le12 q2=le14 q3=le7 t=û. 2

'

)

,

. .

meta plot8

Bijlage D, Het passieve voertuigmodel 55

Bijlage D. Het Dassieve voertuimodel

Voor het model uit figuur 6.1 gelden de volgende vergelijkingen:

(D.3)

D e hierboven genoemde vergelijkingen zijn om te schrijven naar een toestandsbeschrijving, De volgende toestand is gekozen:

Verder 1s gekozen:

B i j l a g e D. Het passieve voertuigmodel 56

-

-1 O

o

Q O O O E = 0 - met A = y =

cx

O O O O 1 0 O O O O

-1 1

[l. Q Q Q Q Q Q Q

o

1 0 0 0 0 0 0

'_[

o --

k3 0 - k4 O 0

-

l o

m , m ,

m2 (D. S i 9 (D.12)

Bijlage D. Het passieve voertuigmodel 57

Hieronder is het programma voor passieve vering gegeven: echo on clear pack % % STAGEOPDRACHT HYDROLAGER %

% INGANGSSIGNAAL IS EEN STAP

%

% We gaan nu het gedrag simuleren van het hydrolager in een passief % systeem. Dit betekent dat de actuator wordt weggelaten.

% % Modelparameters % kO = 6.536; kl = 360033; k2 = 80E3; k3 = 400E3; k4 = 8000E3; bi = 50; b2 = 17.533; br = input( 'br='); ml = 1350; m2 = 8650; m3 = 800; % % Tussenvariabele in matrix A % a = (kl/m2)+( (kl+k2)/m3) ; %

% Toestandsbeschrijving voor het model van het HYDROLAGER ZONDER % ACTUATOR % A = [ O O O O 1 0 O O 0

o o

0 -a a

o o

O O O -k4/b2 1 -1 (-l/b2) O O O O (-(k4/br)-(k4/b2)) 1 -1 -l/b2 O -kO/ml k3/ml O -k4/ml O O (-l/ml) O O -k3/m2 O k4/m2 O O (l/m2) O O (-kl*k3)/m2 (-kl*k2)/m3 (kl*k4)/m2 O (kl*bl)/m3 a (-bl/m3)] ; O O O (-k4*kl)/b2 kl O (-kl/b2) -1 % E = [-i O O O O O O O]'; % c = [i û o 6 0 6 8 6 0 1 0 0 0 0 0 0 O -k3/m2 O k4/m2 O O l/m2 O]; % T = [0:0.005:2.0]; w = 0.071*stepfun(T,0.2);