Berekening van de spanningsverdeling in de plastisch gedeformeerde zone bij het ponsproces

Berekening van de spanningsverdeling in de plastisch

gedeformeerde zone bij het ponsproces

Citation for published version (APA):

Zuurveen, F. (1964). Berekening van de spanningsverdeling in de plastisch gedeformeerde zone bij het ponsproces. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Laboratorium voor mechanische technologie en werkplaatstechniek : WT rapporten; Vol. WT0102). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1964

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

~

__

~-~7=~~!-;:.::::'~~~:~;;':~~e".

we,k,

I""t~c.h";~

" __ " __

~

__ " __

l

~

ap~~ van d. sectio: _~ _______ " ____ _

titel:

Bereken1ng van de spanningsverdeling in de plastisch. ged.foraeerde z4ne b1j het ponsproces"

auteur(s):

I "

___

~_F_._Z_u_un_

••

n~

____ . __ """_ I sectieleider:

I

hoogleraar: Pr f D P C

v--~---~----I 0 • rQ • • .ens rae

!

samenvatting-"

---i

I I

I

Voor een door een ru1t benaderde vorm van de

plas-tische z5ne bij het ponsen, wordt door een integratieproaes

d. spanning.verdeling berekendo Gebruik wordt hierbij ge-

i

maakt van twee 81multane partiels differentiaalvergelijkin-' , gen, die ontstaan z1jn uit de evenwichtsvoorwaarden voor

een elementair blokje werkstukmateriaalo

Voor het rekenen 1s met "vrucht gebruik gemaakt van I

de eleotronische d1g:i tale rekenm.achine I. B.!;. 1620 der

onderafdeling W1skundeo

r--;ognose

I " Door verf1jDing van de beginvoorwaarden moet de

prs-I

oie1e van de uitkomsten opgevoerd kunnen worden.

biz. 0 van 16 biz. rapport nr. 0102 codering: P 6a trefwoord: Ponsproces. 1964. publicatie in:

rapport nr. 0102 bl z. 1 van 16 bl z.

I

o Inhoud. Pagina1 5 10 15

20L

25 30 35 50 1. Inleiding

2.Het aneid.en der vereenvoudigde partiele dif'ferentiaal-vergelijHngen.

2.1. De niet vereenvoudigde differentiaalvergelijkingen

2.29 De aanname Tan de vervormingstoestand.

2.3.

De plaaticiteitevoorwaarde.

2.~. De vereenvoudigde partiele differentiaalvergelijkingen.

2 2 2 3 4 5

3.

Het vaatat.lIen van de beginvoorwaarden en de grenzen der

5

plaatische zane.

301.

De beginvoorwaarden voor ~

,.2.D. beginvoorwaarden voor ~

3.3.

De begrenzingen van de plastische zone.

3~4. De berekende numerieke gegevens.

4.

De

numerieke oplossingsmethode.

6.

4.1.

Het berekenen der karakteristieken.

4~2o De keuze van het integratienetwerk.

~.3. Het integratieproces.

Het to_passen van de ~igitale rekenmaohine.

5.10

Het programma 5.2. Het rekenen 5.'. De r •• ultaten Conolusie

7.

Geraadpleegde 1iteratuur.

Bijlagen

I

tim III

Bijlagen

IV

'1m

VI Rekenprogramma. Resu1 taten. 5 6 7 7 8 8 9 10 13 13 14 15 16 16

rapport nr. 0102 bIz. 2 van 1 o 10 Inleiding~ I 1Q IS 25 30 35 I 58

Door Ir.G.C.J.Romijn zijn indertijd onderzoekingen gedaan (zie rapport

006} d.d. april 1963), welke langs theoretisohe weg uit de

experimen-teel waargenomen orientatierichting der kristallieten in de gedeformeer-de z4ne in het plaatmateriasl bij het ponsen, gedeformeer-de sohuifspanningsvergedeformeer-de- I· ling 1n het midden dezer z6ne vsstlegden. De hieruit door integratie berekende ponskraoht werd vergeleken met de experimenteel gevonden waar-! de; dit allea voor drie versohillende indringdiepten van de pensnippel.

Voortbouwende op dit onderzoek wordt in dit rapport de totale spanningsverdeling berekend in de gehele plastisoh gedeformeerda zane, uitgaande van de evenwiohtsvoorwaarden voor een elementair deeltje in het werkstukmateriaal. Om dit probleem wiskundig oplosbaar te msken, zijn bepaalde aannamen gedaan, welke min of meer de werkelijkheid be-naderen. Voorts waren aannamen nodig om de startvoorwaarden te vinden voor het numer1eke integratieprooes en om de uitwerking van het pro-bleem door de digitale rekenmaehine der onderafdeling wiskunde, type

I.B.M.1620. niet te geoomplioeerd te maken.

2. Het atla~dan dar vereenvoudigde partiele differentiaalvergelijk1ngen.

2.1. De ~et vereenvoudigde differentiaalvergelijkingen.

---

---We besohouwen in een oylinderooordina-: tiestelsel ( r",z), met als z-as de hartlijn van de ponsnippel, een ele-mentair blokje werkstukmateriaal. Op de vlakken loodrecht op de coordinaat-assen in een bepaald punt werken de in fig.1 aangegeven positieve span-ningen, welke de spanningstoestand in het beschouwde punt volledig bepalen. Op grond van het momentenevenwicht van het blokje vinden we dat

't' _r<9

=

'r _{, r} tt'

=

't' en t - 1:'

t ~z zty rz - zr, zodat er zes onbekenden

over-blijven. Ne.en we nu verder aan, dat het probleem axiaalsymmetrisch/ 1s om de z-as. dan vinden we dat

rr

='t = 0 en't'

=

't'

=

0, )'

r<lJ ~r z~ <S}z

zodat a.ls enige onbekende schuifspanning 't'

=

1:' overblijft,

zr rz welke we verder als ~ zullen aanduiden.

r---~~-.---__I

o 5 10 20 30 50

rapport nr. 0102 _{bIz. 3 van l6b}

_lZ.1

:~le kunnen nu Toor het blokjet zoals aangegeven in fi;02, het

even-.

i

wicht opschrijven in r- en z- richting I

i

( de ~ - richting levart geen re8ultaat~

I~

I'L

daar door de veronderstelde axiaal-sym- . metrie de partiele afgeleiden naar ~ nul zijn). We vinden dan als resultaat de twee volgende partiele differentiaa! vergelijkingen: werkplaatlt.chn I.k in G t G , b(O en '1": r z "

ott'

+ -

_ar

+ = 0 r r-

-b

or ClJ r ••••••••••••••• ( 1 ) = o •••••••••• (2)

Zoalc bekend mag worden verondersteld. geldt voor een axiaal- ,

I

symmetrisch probleem een bepaald verband voor de vervormingen

j

in radiale en tangenti;;le richting, dat in ons geval luidt: I

G

_r

=

~r

( r x

E~)

...•..•....••••••••••••••••• (3)

J

Deze vergelijking levert ons echter nog een partiele differen _j

,

tiaalvergelijking in de onbekende spanningen, terwijl we juia~

de vergelijkingen (1) en (2) proberen te vereenToudigen. We veronderstellen daarom:

£ ~= 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • " • • • • • • • • • • • • • • • • ( 4) i een aannam., die strikt genomen slechts voor r _ co zou gel- ; den. We vinden dan het eenvoudige verbano tussen de 6 'a:

b<j=t<Gr+b_z) ••••••••••••••••• · •••••••••••••• (5)

onder de volgende aannamen:

a. De plastische. deformatie is veel grater dan de elastische. ; i b. Het volume blijft constant gedurende de plastische defor-

I

matie.

o

5 10 20 35 50 rapport nr. 0102

G,

biz. 4 van 16blz. De plasticiteitsvoorwaarde. ~ ~

-

~

-

~

-

~

-

-

- -

-

-Volgens de bezwijktheorie van Huber en Henckey, welke be

ken veronderstelt indien de gedaanteveranderingsenergie gclijk is aan die tijdens het bezwijken bij de trekproef, vinden we

ale bezwijkYoorwaa.'rde bij ll9.ngenomen ideale trekkrom:ne (dUB

zonder vervormingsversteviging) volgens fig.3:

v(

G r - b

~

)

~

+ (b 1 - b z ) 2 + (b r -.z) 2 = 6K2 f..

-fig. 3. be wa.a.rin K

=

-'13

.,----;c2

=

±Vl-

~ K •••••• ~ •••••••••• (6) de plasticiteitsconstante 1 so

Subat1tueren we (5) in (6) dan vinden we:

• r

2;

b z • !

\11-

~

...

(7)

~~

Benaderen we het verloop

K2

1:'

ale funct1e van ~.

door een vierkant i.p.v. een cirkelboog (zie fig.4), dan hou-+

=

-G

.6"

2K ••••••••••••••••••••••••••••• (8)

den we over _{r z}

V,_,!l

t

K2. We hebben hier dUB de invloed van de I

schuifspanning op de plasticiteitsvoor-: 1

_'1: K

waarde verwaarloosd. Vol gene de bezwijk. hypothese vol gens Hohr-iuest zouden we bij deze benadering gevonden hebben

G -6 =+b =+ l,7 K •••••••• (9)

r z s

-Dit worot geillustreerd door fi'5.5 met. de spanningscirlcel van Mohr. dad 1auJ.era laatstgenOemde breukhypothese bezwijken veronderetelt, als de maximale schuifspanning gelijk is aan di

T

t

bij de trekproef. in ons geval ge1deali:

secrd door fig. 3.

I---~----.---.---.---~-\

01- 51-10 I-1~ I - 25- 30-

501-rapport IV. 0102 bIz. 5 van 16 bIz.

I

2.4. ~e_T!r!e~y!u~i&d! E&~t!e!e_d!f!e~e~t!a!1!e~g!l!j~~~!n!

Subetitueren we de gevonden verbanden tussen de 6 • at n.l. (5)

en (8) in de reeds gevonden partiel. differentiaalvergel1jk:1nga~

(1) en (2), dan houden we over ala onbekenden b (verder ga- I

z

noead 6) en~ en vinden:

06'

_az

at"'

'1"

+ ~r +

lr

=

o~ ••••••••••••••••••••••• (lO)

Ob

o'l

K

~ + ~ +

=

o~ ••••••••••••••••••••••• (11)

or o z - r

Daze vergel1jkingen zullen we als baeisvergelijkingan gebruiken

bij ona integratieprooee voor b en ~ voor de gehele plast1aohe

dine. De normaalapanningen b _r en b zijn hier dan uit te

be-<y rakenen m.b.vo (5) en (8).

Het vast.tallen van de beginvoorwaarden en de grenzen der plast1ache

.!!!!..

Om het probleem oplosbaar te maken, is het noodzakelijk de waarden

der onbekeoden 6 en ~ te kennen lange een lijn in het r - z vlak,

welke Diet aamenvalt met een z.g. karakteristieke lijn ( hierop word1

verderop nog nader ingegaan), Genomen i8 het lijnatuk r

=

R, van

&=0 tot z-h. Zie fig. 6, waar tevens de ligging van het nulpunt van

het coordinatiestelsel is aangegeven.

3.1.

De

_-

_-

be~nToorwaarden

_-

_-

voor

6 •

~

-

-

-

~ ~

-

~

-

--I

Aangenomen wordt. dat de

6

-verdeling lanEs

het onderste begrenzingsvlak Tan ponsnip-pel en werkstukmateriaal, dUB voor z=h,

I

parabolisch ie, a18 functie van r ; met

6

=

0 en

~br

=

0 voor r

=

o. Hieruit is

I

R

r fig. 6. dan bij gegeven ponskracht F t deze

para-boliache vardeling volledig hepaald~'aangenomen dat ar geen

wrijving tussen de oylindervlakken van de ponsnippel en werk-stukmateriaal optreedt} daar dan moet gelden:

Sf10 -15 f- 2.5f-30 f- 40- 45-50 rapport nr.

0102 biz. 6 van 16 biz.

R

F &:

-1

b

(r,z = h).

21"<'

rd.,. ••••••••••.•.•••••.•••••••

(12)

o

met F positief genomen. indian de ponsnippel op druk wordt

be-laate Nemen we verder aan, dat de 6 - verdeling in het midden

van de plastische z~ne constant is als funotie van z, dan is

hiermede G bepaald langs het lijnatuk r=R voor 0 f z ~ h, zie

figo

7.

door:

( r=R t 0 ~ z ~ h ) = e ••••••••••••••••••••••••••••••••• ( 13)

3.2.

De beginvoorwaarden voor "t.

~

-

-

-

~

- -

- - -

-

-

-

-De Torm van het ver100p 't (r=R, 0 ~ z ~ h ) nemen we parabolisch

&an en gelijkvormig met het geniddelde van de verI open van ~

voor de theoretische zeskante, vierkante en cirkel vormige kris-i

talvorm, als weergegeven in de figuren

29,30

en 31 van het

reeds genoemde rapport 0063.

Dit parabolisch verband hogen we dan ~et een bepaald constant

bedrag OPt zod~t de volgende betrekking geldt, aangenomen dat

geen 'vrijving optreedt tussen de cylindervl~cen van werkstuk-materiaat en ponsnippel en snijplaat:

h

F

=

['t"(

r :: R, "2;) 21tH dz ... (14)

o

Hiermede is dan It;' bepaald langs het lijnstuk r=R voor

0" z"

h t

zie fig. 8, door :

1:' ( r=R , 0 ~ ~ ~ 'h )

=

a z 2 + b z + 0 . . . ( 15 )

fig. 7 fig. 8

rapport nr. 0102 biz. 7 van 16b1Z.1 r---~---~ 01- 51-10 I -1$ I -20 ~ 25

-30 -S5

-

50-Aangenomen is voor deze begrenzing de ruitvorm, daar deze vrij redel1jk met de werkelijke vorm oyereenstemt en bovendien in

het rekenprogramma makkelijk te verwerken is. De oneindig

klei-ne breedte van de zane voor z=o en

z=h

beantwoordt aan het

1

I

I

L

fig.

9.

theoretische geval van ponsen met

on-,eindig smalle snijtleet. Zie fig. 9.

De h.rekende numerieke geGevens.

-

-

-

-

- -

- -

-

-

- -

---

-

-In bat rapport 0063 is uitgegaan van drie indringdiepten van de ponsnippe1, dus voor drie verschi21ende waarden van b.

Lange experimentele wag werd hier gevonden:

I. v~~r h _{= 3.20 mm}

·

·

F ::: 4300 kgf

II. voor h ::: 3,04 mm

·

·

F ::: 411-00 kg!

III. voor b = 2,80 In.'1l : F ₌ 4200 kgf

Hieruit en uit de onder

3.2.

genoemde figuren uit het rapport

w.rd Toor de verschillenje gevallen gevonden voor e,a,b en c:

I. e

₌

- 109,5 a. ::: _5.4 b = - 11,8 c :: 43,2

II. e ::: _{- ll?,l} a ₌ 8,2 b ::: _{- 24,9} c = 58,8

III. e :: _{- 107,0 a} :: _1.5 b

=

-

4,2 _c :: _49,8

TOO r 't' en (; in kgf / rrun 2 en 'Z. in mtn.

Voor d ward gevonden door opmeten uit de miorofoto's in

rap-port 0063 in de drie gevallen d ::: 0,7 mm.

Voor 6

_{s '}

werd gevonden 87 kgt/mm2 a.la gemiddelde voor de drie

geval1en, bepaald m.b.v~ de grafieken van fig. 29.30.31,24 en

22 uit rapport 0063. Gerekend is daarom met de

plasticiteits-§..7. 2

oonstante k

=

:::

50,3 kgf/mm •

'13

rapport nr. 0102 biz. 8 van 16 biz. o

4Q

De numerieke op1oss1ngsmethode. 5 1Q 15 20 25 30 35 50

4.1.

Het berekenen der karakteristieken.

-

-

~

-

-

-

- -

-

- -

- -

- -

-Behalve de reeds gevonden partiele differentiaa1verge1ijkingen (10) en (11), bestaan ook nog de volgende verbanden voor kromnen in de vlakken

6

(r,z) en 'l (r,z):

dE)

=

06

_rr

dr + ~: dz ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• (16)

d 't'

=

l !

_~r dr +

*

dz •••••••••••••••••••••• a • • • • • • • • • • • • • • C17)

Ste11en we

aG

_dr

= p, bz 06

=

q,

ot" _

~r -

s.

,~ b't'

=

t, dan kunnen we vier

vergelijkingen in p,q,s en t opschrijven: d6 = pdr + qdz d't = Sdr + tdz 'I:

-

-

= q ₊ r •••••••.••••••••••••••••••••• ( 18)

-

K +

-

= p r + t

We vinden de karakteristieken door de coefficientendeterminant nul te stellen: dr ds 0 0 0 0 dr doz. 1 1 = 0 0 0 • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (19) 1 0 0 1 Uitwerken geeft: 2 -(dr) + (dz) 2

=

0 dz d r ;;,. -+

1... 20

( ) o 0

De karakterietieken z~Jn dus lijnen onder 45 en -45 met de r-as Het gebied waarin oplossingen voor b en 't' ~~nduidig vastge1egd zijn door de gegeven beginvoorwa~rden wordt dan begrensd door de karakterietieken door de puntcn ( R,o) en (R,h) in het r,z-v1ak en 1s gearceerd aangegcven in fi~Jur 10. Daar voor de gekozen

~ ruitvormi~e begrenzi~g voor de p1astisch~

werkplaatatechnlek

zane (zie fig.9) steeds d ( h, is de oplossing door onze gegevens volledig bepaald.

..

o 5 10 20 25 30 35 45 50

rapport nr. 0102 _{biz. 9 van16 blZ.l}

4~2. De keuze van het integratiewerk.

-

- -

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-Het integreren der partiele differentiaalvergelijkingen oyer het plastische gebied is mogelijk door het aanbrengen van een notwerk.Door gebruik te make~ van differentiequotienten worden dan de onbekenden

rr

en 6 in ieder punt van het netwerk bereke d, uitgaande van de startwaarden op de lijn r=R. Verkleining van d steek van het netwerk dient dan conve~ntie op te leverent

van ~en 6 in ieder punt naar een bepaalde eindwaarde.

In het algemeen is int~gratie langs de karakterietieken,

I

dus het gebruik van een netwerk bestaande uit de karakteristie- ' ken, het meeet nnuwkeurig omdat men feitelijk slechts te maken heett met ~en afgeleide n.l. die in de richting der karakteris-tieken. Zijn de uitgangsvergelijkingen evenwel eenvoudig van gedaante, dan verdient een neb7erk van lijnen evenwijdig aan de ooordinaatassen de voorkeur. ',dj zullen nagaan wat de vergelij- i

i kingen worden, indien geintegreerd zou worden langs de karakte~a-tieken.

Het stelsel vergelijkingen (18) heeft een eenduidige

op-loasing voor PQ q, $ en t, als de coefficientendeterminant on-gelijk nul is. Er zijn evenwel ook oplossingen moon-gelijk, ala deze determinant en een determinant, welke be halve het aantal ooeffioientkolommen minus·· een, ook de kolom der linlter1eden be-vat, beiden ge1ijk nul zijn. Er geldt dan, naast (19) tevena:

d6 dr dz 0 d't' 0 0 dr 't

-

-

0 1 1 = o ••••••••••••••••••••••• (21) r - K + -_r 1 0 0

Dit levert na uitwerken op:

d6 dr !

.!f

(dr)2 +! dr dz + d't'dz

=

0 . . . (22)

r r

Het resultaat (20) levert ons,gesubstitueerd in (22) de twee volgende vergelijkingent welke ,s;eldgn voor de karakteristieken

o _ lr5 :

onder reapectievelijk + 45 en

o 5 1Q 15 25 30 SOr-rapport nr. 0102 bl z. 10 van 16 bl z. dz 1 - d-G d'r

C

K 't' ) d~ ••••••••••••••••••• (23)

-

_dr

=

+ = + -_r

-

-

_r dz -1---d6 d't' (- K + ! ) _{d~ ••••••••••} Q • • • • • • ' (24)

-

_dr = +

=

₊ -r r

Er is evenwel geen redan om a3n te nemen, dat het rekenwerk met

deze vergelijkingen eenvoudiger wordt din met de

uitgangsverge-lijkingen (lO)en (11).

Dit, teaamen met het feit, dat bij een netwerk volgens de karak-teristieken de begrenzingen van de plastische z8ne moeilijker zijn vast te stellen bij het integratieprocea, heeft ona doen

besluiten ean netwerk te kiezen van lijnen evenwijdig aan de r -i

en z - as. !·~oeilijkheden i. v.m. voortplanting van

discontinul-teiten in de beginvoorwaarden zijn hierbij niet te vrezen. daar de begin'f'oorwaarden gegeven zijn ala "nette" functieso

4.3.

Ret integratieproces.

d

Er wordt een netwerk aangebracht met stapgrootte ~ in

r-richting en

~

in z-richtinG. Een punt in het netwerk wordt aan

AU i

geduid door de getallen i en j, welke beide slechts gehele getal~

i

len kunnen zijn van de getallenrij 1,2, 3, ••• 2 n + 1u Zie fig.

11.

-

i

Het proces conv~eert slechts ale de

steek in r-richting kleiner ot gelijk

is aan die in de z~richtingt dus als

d <. h

~

- In •••••••.•....•••.

(25) waaraan in ona geval dua voldaan is, daar d

<..

h •

We gaan uit van de bekende waarden va 't' en b voor de koloID j

=

n + 1 en be

rekenen daaruit door voorwaartse differentia de kolorn j= n+2 en

door achterwaartse differentia de kolom j = n. lviet centrale dif

ferenties worden dan de overige kolommen berekend~

Bij langdurige voor- of achterwaartse differentiee is het ge-T88r Toor instabiliteiten aanwezig.

t---~---~---.---~~---__l

0 5 -10 1-- 1520 -25 f 30 35 - 4045

-rapport nr. 0102 blz.11 van16 biz.

I

Daar we deze echter slechta voor twee stappen toepassen, behoev4D

we in ons geval 5een moei1ijkheden te verwachten.

We gebruiken b1j het integratieprooes de vo1gende

expli-oiete verge1ijk.ingen voor 1:". j en 6 i '

1., ,J: Voer j

=

n + Z :

..

-.

-

--

-

-

-'t', . - 't'1 . 1.1J tJ- 1

d/

_tn + b -6 't" 1 + 1,j-1 i - 1,j - 1 + i,j-l

=

0 h/n r waaruit b i ,3 . . 6 1 ,J-1 +

, r

i + 1.j-1 - ' l 1-1,j-l

d/

Zn hln + k

- - =

_r 0 waaruit b _i , = 6 ' i j - d('t'" , _1:" ) _ .J , - 1

iii

1+1.J-1 i-1.j-1, + Voor j

=

n:

-

-

....

-

...

Ti ' 1 -_,J+ "t, , _{1..J +}

d/

_Zn waaruit 1:'i ·=1'i _{,J ,J+} ' I ₊ "1 ' 1- b _,J+ i _{• J} ' d/~ waaru1t 'T1,j+l = 0 r •••••• (27) b1.',J'= bi,J'+l+..,g (T . T ) +

~nr·d

••••••• (29) ~ i+l.j+l t-1,j+l - • 'J

---

oor n + 3 f j ~ 2n+ 1 :

...

--'t'1 ' - T. '..., 6. 1 ' 1- 6_{1 1 ' 1} __ -:~,~J~~1.~'wJ~-~c. + 1.+ .J- - ,J- + din hln

=

0 waaruit d ~i

_.J=

' 'T. ' 2 - -h (6 1 1 . 1-6, 1 ' 1 ) 1.,J- + tJ- 1.- 9J- ~1.j_1·d

--

....

(30) nr

lQ I- lSI-25 I-30 I- SOl-rapport nt. 0102 k -lICO r biz. 12vln 16 biz.

I

6" _{i,j= i,j-2} b -

!! (

_h 'L _i+1,j-l .. 'T _i-l,J-1 . ) +- k, d _{nr ••••••••} (n) _~

V~~r 1 ~ j ~ n -1:

...

_

...

_--

..

rr. .

2- "t". -{ ]. ,J+ ]. LII& d +

In

waartdt waaruit (6" 1+1,j+1-6 i-1,j+l) +

rr

i •j+1 ·d .... (}2) nr k - II: 0 r 6" 1,j == bi ,j+2 +

~

( 1:' i+l,j+l- tt'1_1,j+l )

!

nr k.d •••••

(33)

-werkplaotltechnlek I t.chnlsch. hog.school eindhoven

5 10 -15 ! 20 - 25-30 ~ 35-j I

t

rapport nr. 0102. biz. 13 van 16 blL

I

Ret toepassen vatedigi tale rekenmachine.

werle plaatltechn 1.1e

Ret ~r2g!:~.

Ret programma in zijn uiteindelijke Torm, geechreven in

For-tran, is weergegeven op de bijlagen I , l l en I I I .

Aanvankelijk was het programma zo opg •• teld, dat de twee

on-bekenden 't' en 6' in ieder punt alle in het geh.ugen . . rden

opsenomen. Bovendien werden alle ui tgerekend. waarden ui tge"t11 t.

Ret bleek echter, dat het niet mogelijk was het netwerk op daze manier voldoende te verfijnen. daar de gehaugencapacitei1 der machine snel werd oversehreden. Het uittypen sou Teort. te veel tijd vereisen.

In de defi.ni tieve versie werd slechts een geheugan&rnl7

van 65x4 getallen Toor beida onbekenden Toorge.chreven.Ret

was zo mogelijk de waarden n

=

4,

n

=

8,

n =

16,

en n •

32

te gebruiken. E5n kolom der array .erd gebruikt voor d,

waar-den op de lijn j

=

n + I. op de middenlijn due. De twee volgel.

de kolommen werden gebruikt voor de lijnen j -

2

en j -

I

ala

j te berakenen was voor de rechterheltt, of voor de lijnea

j + 2 en j + 1 ale j te berekenen wae veor de linkerheltt.

Na het berekenen van de waarden j, werden deze in de vierd.

kolom geplaatst. Vervolgens werd de derde koloa verplaat8t

naar de tweede en de vierde naar de derde, waaraa de vol~ende

8tap veor j werd uitgerekend en weer in de Tierde koloa

se-plaatst.

Voorts werd het uittypen zo voorgeschreven, dat dit

slechta gebeurde Toor het oorapronkelijk netwerk van n •

4.

Dus bij n = 8 t n = 16 of n = 32 werd door ean teat aagegaau

of het berekende punt op het netwerk wan n •

4

lag en ala

dit zO was,vervolgens uitgetypt. Zo hoeiden slechta

82

getal-len te worden u1tgetypt.

De mogelijkheid om te kiezen tussen het + of - taken in 4.

formule (11'. werd in het programma gebracht door het invo.·

ren van de grootheid tt welke ken sijn + 1 voer b - 6

_r

_z

=

+2K

en - 1 Toor 6 _r - &; _z = - 2K.

o 5 1Q 15 20 25 30 35 45 50 i rapport nr. 0102

I

I

bIz. 14 van 16 bIz. \

Per ponsband werden ingevoerd de grootheden geval,a,b.c,e,h.

f.1 (

i.p.v. k) en

R.

zodat due drie stellen gegevens op de pon -band aanwezig waren. De grootheden d,t en n werden ingetypt.

da~r deze eenvoudig te varieren moesten zijno

Om bij het controleren van de oonT~entie met toenemende

n niet alle 82 waarden te hoeven laten uittypen, werd d.m.v.

sense switch 1 de mogelijkheid geboden alleen de uitkomsten

voor j = 1 en j = 2n + 1 uit te typen.

Eerst ward nagegaan welke waarde .... an t gekozen.m.oest worden en

bij welke waarde van n voldoende con .... ~ntie optrad. Dit werd

gedaan door voor geval 1 voor respectievelijk t = + 1 en t= -1

de waarden van ~en 6 voor j

=

1 en j

=

2ft + 1 uit te rekenen

voor de mogelijke waarden van n, nl.

4,8,16

en

32w

Verschillende t leverde alleen verschillende waarden van G op

Voor t

=

+ 1 werd gevonden ( zie tig. 12):

r

middenlijn dblinkerhelftl

<

~b

m:iddenlijnl

<-j6"

rechterhelttl

Voor t

= -

1 werd gevonden:

:11;

linkorhelftl )J6" middenlijn(:>

db

rechtorhelttl

Daar voor t

= -

1 bovendien ge1dt

I

I

Fig.12.

-b )6', want G - G ::

at

leek he

z r z r

bater met de werke1ijkheid in

over-eenstomming om to kie.en t _{= - 1.}

Vermeld moet nog worden, dat voor dit geval ge .... onden werd:

t + 1: _{Ibn +} 1,2n +

1\-lb

n + 1,11 2 Toor ₌ I : 10,895 kgt/mm • Ibn _1tll

-jE>

2 voor t ₌ .. 1: 11 :: 3.211 kgt/mm • + n + 1,2 +

Dus voor t

= -

1 treden minder grote Terschi11en Tan

G

over he

plastische gebied op.

1Q ~ 15-20 30 I -35 I -

45"-rapport nr. 0102 biz. 15van 16b1Z.1

De OOJl"'~'''Ultie bleek voor T'iets minder goed te zijn dan voor , ,

maar tooh nog zeer bevredigend. Voor ~ werd gevonden ( voor t

=

1

en t

= -

1

dezelfde waarden ) voor respectievelijk n

=

4,

n

=

8,

n

=

16 en n

=

32:

voor j -=

1,

41,699

voor j

=

2n + 11 36,289 ;

41,70

8

36,.281 ;

De oonv~ntie is dus kwadratisch ala tunotie Tan de atapgroott.

Besloten werd n

=

16 te kiezen.

Het u1tToeren van het gehele proeea voor n

=

32 bleek .en tijd

van ongeveer 20 minuten te vereisen.

De gewenate 82 waarden werden vervolgens berekend en uitgetypt

voor t

= -

1 en n

=

16.

Tenslotte werd nagegaan wat er zou gebeuren, indien d

>

h zou

worden gekozen. Daartoe werd v~~r geval 1 het r~enproce. met

oompleet uittypen uitgevoerd voor d

=

6,4;

t

=

-1

en n

=

4,

n

=

8,

n

=

16

of n

=

32.

Na sterk oplopen der waarden bij toenemende At bleek Toor n

=

32

Toor de kolommen j

=

1, j

=

2, j

=

8,

j •

9

zelta het door het

format aangegeven gebied van - 999,999 tot +

999,999

voor de uit·

getypte waarden te worden overschreden, daar deze opliepen tot

W . d

ongeveer 10 • Hieruit is dus gebleken dat voor stapgrootte

-;n

h

groter dan stapgrootte

-.n

inderdaad instabiliteiten opt red en.

»e resultaten.

-_

...

__

...

-

...

-Op de bijlagen IV,V en VI zijn de door de rekenmachine u1tgetypt4 resultaten weergegeven, voor respectievelijk geval I, II en III. De waarden zijn per koloID in groepen uitgetypt. de eenheid ia

kgf/mm2o Ernaast zijn de ermee eorresponderend. plaataen in het

netwerk voor n

=

4 weergegeven.

! 6. Conolusie.

50-Het rekenprooes blijkt inderdaad te eonv.,eren en wiekund1g bevredigen(e resultaten op te leveren. Aangenomen moet worden, dat d. absolute waar· den der onbekenden de werkelijkheid niet zaer dicht benaderen. Door de grove aanaamen die gedaan zijn om tot de beg1nToorwaarden te komen,

zullen de werkelijke waarden liggen in deg9b1eden

%

20 kgt/mm2 om de

0

-1Q

f-rapport nr. 0102 blz.16 van16

biLl

berekande waarden voor

6

en

-

+

5

kgf/mm2 om die Toor'l" •

De overeenstemming van het verloop der ber.kende waarden met de

\,erkelijkheid zal echter beter zijn. Redelijk lijkt de veronderetelling,

dat de atwijking in het verschil van de uiterste w&arden voor j = 1 en

j

=

9, niet mear zal zijn dan

~

0,5 kgf/mm20

Door het opvoeren der precisie_v waarmee de beginvoorwaarden van 6

bekend zijn, moet de totale nauwkeurigheid opgevoerd kunnen worden. Het name moet dit mogelijk zijn door door proefnemingen meer te weten te komen over de normaalspanningsverdeling t.saen ponsnippelonderzijde en

werkstukmateriaal. Hierdoor is dan de 6 - verdeling voor de middellijn

15 I - beter te benaderen. 2S I-- 30145 -7.,Geraad»*eegde 1iteratuur. E.P.Unksov W.Praver. . Ph.O.Hodge •. werlcplootltechnlek

An engineering theory of plasticity, uitgave Butterworth, 1961.

Theory of perfectly plastio solida, uitgave Chapman and Hall, 1951.

Numerioal solution of ordinary and partial differential equations, uitgave Pergamon, 1962.

C PLASTICITEITSPROBLEEM PONSPROCES

1 fORMAT (F 7.2)

2FORMAT

(I 4)

ACCEPT TAPE 2, GEVAL

TYPE 29 GEVAL

29FORMAT (6H GEVAL,

laI)

ACCEPT TAPE 1,A,B,C,E,H,Pl,R

ACCEPT 1,0, T

62ACCEPT 2,N

DIMENSION TAU(65,4),SIGMA(65,4}

M-2*N+l

NA-2*N/8

FN-N

H2tN-H/(2. *FN)

OH-D/H

02-0/2.

02H-0/(2.*H}

tNR==FN*R

TPLD-T*PL *0

FNR2-FNR*2.

02NR-0/tNR2

TPFN-TPLD/tNR2

00

3

l-l,M

FI-T

TAU(I~')-A*«FI-l.)*H2tN)**2+B*(FI-l.)*H2tN+C

3s

I

GMA

I, 1 )-E

TYPE

,N,D,T

6FORMAT (//3H N-,12,3H D-,F4.2,3H T-,F4.1)

TYPE 60

60fORMAT (/3X3HTAU6X5HSIGMA/)

IF (SENSE SWITCH

1)

4,9

4TYPE 5

.

5FORMAT (21H WAARDEN

OP

MIDDENLYN/)

00 63 l-l,M

IF (T-l-(I-l)/NA*NA) 63,7(63

1TYPE 8,TAU(1,1),SIGMA(T{lJ

8

FORMAT

(F 8.3,2X F 8.3)

63CONTINUE

9MA-2*N

~ijldqc ..L

00

10

1-2,MA

TAU(I,2)-TAU(I,1)+(SIGMA(I+l,1}-SIGMA(l-t,1»*D2H+TAU(I,t)*02NR

10SIGMA(I,2)-S(GMA(I,1)+(TAU(I+l,1)-TAU(I-l,1»*02H+TPFN

TYPE

~9

49FORMAT (/20 H WAARDEN

1I

NKERHELFT/)

I F (SENSE SWI

TCH

1)

11,

16

11lF (N-4) 16,12,16

1200

15

1-2,MA

131F (l-I-(I-l}/NA*NA) 15,14,15

l~TYPE

8,TAU(I,2),SIGMA(t,2)

1SCONTI NUE

1600

'7

1-2,MA

TAU(

3)-TAU(I,2}

17SIGMA{1,3l-SIGMA(I,2)

DO 64

l-l,M

TAU(I,2l-TAU(I,1)

64SIGMA(I,2)-SIGMA(I,1)

19J-N-l

51MB-N-J+2

MC-N+J

00

20 I-MB,M<:

FJ-J

TAU(I,4>-TAU(I,2)+(SIGMA(I+l,31-S IGMA (I-l,3)j*OH

TAU(I,4)=TAU(I,4)+TAU(I,3)*O/(FNR-(FN-FJ)*02

SIGMA(I,4)-SIGMA(I,2)+(TAU(I+l,3)-TAU(I-l,3) *OH

20S1 GMA (1,4 )-51 GMA (1,4 )+TPLO/( FNR- (FN-F J )*02) .

IF (SENSE SWITCH 1 ) 21,25

211F (J-l-(J-l )/NA*NA) 25,22,25

22TYPE 70

7()fORMAT

(1

H )

00

24

1-Ma,MC '

IF (l-l-(I-l)/NA*NA) 24,23,24

23TYPE

8,

TAU(

1,4)

,SI GMA (1,4)

24CONTINUE

25MH=MB-l

MI-MC+l

00

26 I-MH,MI

TAU(I,2)-TAU(I,3)

26SIGMA(I,2)-SIGMA{I,3)

DO

65

I =MB,MC

TAU(I,3)-TAU{I,4)

65SI GMA(I,3)-SIGMA(I,4)

J-J-l

I F(J-I) 44,51,51

44 IF(SENSE SWITCH 1)28,27

27

l-N+l f>~la.qe

n

TYPE 8,TAU(I,3),SIGMA(I,3)

,

28

00

30 1-2,MA

TAU(I,2)-TAU(I,l}-(SIGMA{I+l,1)-SIGMA(I-t,1»*02H-TAU{I,1)*02NR

30 SIGMA\I,2)=SIGMA(I,1)-{TAU(I+l,1)-TAU(I-l,1»*02H-TPFN

TYPE

50

50 FORMAt(/21H WAAROEN RECHTERHELFT/)

IF(SENSE SWITCH 1)31,35

31 IF(N-4)35,32,35

32

00

34 1-2,MA

IF(I-I-(I-l)/NA*NA)34 33,34

33 TYPE 8,TAU(I,2),SIGMA{I,2)

34 CONTINUE

35

00

36 1-2,MA

TAU(I,3)-TAU(I,2}

36SIGMA(I,3)-SIGMA(I,2}

00

66 I-I,M

TAU(I,2}-TAU(I,1)

66SIGMA(I,2)-SIGMA(I,I)

MD-N+3

00

68

J-MO,M

MF=J-N

MG-3*N-J+2

00

37 I-MF,MG

FJ-J

TAU(',4).TAU{',21-{S'GMA('+l,3>-S'GMA('-l,3l}*OH

TAU(I,4)-TAU(I,4 -TAU(I,3)*0!(FNR+(FJ-FN-2. *02)

SIGMA{I,4)-SIGMA 1,2)-(TAU(I+l,3)-TAU(I-l 3 )*OH

37SIGMA(I,4)-SIGMA

1,4)-TPLO/(FNR+(FJ-FN-2o~*02)

IF(SENSE SWITCH 1)38,42

38IF{J-l-(J-l)/NA*NA}42,39,42

39 TYPE 70

IF(I-l-(I-l )/NA*NA)41,40 41

40 TYPE 8, TAU{ 1,4) ,51 GMA{

1,4)

41 CONTINUE

42 MJ-MF-1

MK-MG+l

00 43 I-MJ,MK

TAu{I,2)-TAu{I,31

435IGMA(I,2}-SIGMA(I,3)

00

61

I-MF

,MG

TAU(I,3)-TAU(I,4)

61

SIGMA(I,3)-5IGMA(I,4)

68

CONTINUE

IF(SEN5E SWITCH 1)46,45

45

l-N+l

..

TYPE 8,TAU{I,3),SIGMA(I,3)

46 PAUSE

IF{SEN5E SWITCH 2)62,1

END

G£VAL 1 TAu SIGt-1A \,/AARDEN OP HIDDENLYN

43.200 -109.500

39.344 -} 09.500

37.216 -109.500

36.816 -109.500

38.144 -109.500

41 .200 -} 09.500

45.984 -109.500

520496 -109.500

60.736 -1.09.500

WAARDEN LINKERHELFT

40.086 -111 ".048

37.920 -110.666

3 7 .51 3 -1 1 0 .. 2 85

38.865 -109.904

41 .975

-109~522 46~844

-109.141

53.472 -108.760

38.734 -111 .854

38.320 -111.085

39.696 -1

10~315

42.A63 -109.546

47.820 -108.776

39.;241

-111.899

40.642 -110.734

43.A68 -109.570

41 .708 -111.1 61

\l/AARDEN RECHTERHELFT

38".708 -107.978

36.616 -108.353

36.223 -108".727

37.528 -109.102

40

.532 -109".477

45.234 -109.852

51 .634 -110.226

36.11 9

35.732

37.016

39.968

44.590

35'.339

36.601

39.504

36.281

-107-.226

-107.969

-108.712

-109.455

-110.1

~)3

-107.223

-i O;~.328

,-"'" 433

-

~ \.~ ~.

-107 .. 950

BltTLAJE IV. Indices. j 5 4 1 6 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 ? 8 3 4 5 6 7 4 5 6 5 2 3 4 :3 ,-o 7 8 3 4 5 6 7 4 5 6 5

.

I-q - 8

---.

J

GEVAL 2

TAu

SIGMA

ARDEN CP HIDDENLYN

8

AI

800 -1 1 2". 1 00

0.522 -112".100

4.612 -112.100

1.070 -1

1

2".1 00

9.897 -11 2 ".1 00

1.092 -112".100

4.654 -112".100

0.585 -1

1

2". 1 00

8.885 -11 2.1 00

~RDEN

LINKERHELFT

1-.485

).470

1.865

)-.671

1.887

).513

I

.550

>.487

~

",,81

7

".601

~".839

; .531

-114.635

-114.085

-113.535

-112.985

-112.435

-111.885

-111 .335

-116.107

-114.997

-113.887

-112.776

-111 .666

:.931

-1

16.485

~.693

-114.804

I

.953 -113.1 24

.953 -115.740

RDEN RECHTERHELFT

! ~

71

5

-1

09.60

8

~

90

7

-1 1 0". 1

48

-.426 -110-.689

-.273 -111 .229

".447 -111.770

-.. 949 -112".310

.778 -112.851

-.349 -1

08~230

".927 -109.302

~

793

-110.374

.948 -111 .446

.390 -112.518

568 -107.939

453

-109".533

589 -111 .127

248 -108.706

j .5 3 2 1 6

J

7

\

8 9 Tndices. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 4 .5 6 7 8 3 4 .5 6 7 4 .5 6 .5 2 3 4 5 6 7 I) 3 4 5 6 7 4 5 6 .5 bI.J.iJAGE

v.

.

L

,

8

.

J

102-BIJLAGE VI.

GEVAL

~ _Indi.ces. TAU SI GMA j i .

1AARDEN OP MIDDENLYN

49-.800

-107.000

]

1

48:513 -107.000

2

47 .595

-107-.000 ₃

47-.043 -107.000

5

4-46.860 -107.000

₅

47.043 -107".000

\

6

47.595

-107~000 ₇

48.513 -107".000

8

49.800 -107.000

₉

vJAARDEN LI NKERHELFT

49.389 -108-.166

~

48-.454 -108-.073

₃

47".893

-107-.980

_4-

4-47.706 -107.888

_{5 •}

47-.893 -107".795

6 (.. ₉

48".454

-107~702 ₇

49.389 -107 .609

8 49~368

-109.166

1

3

48-.796 -108.979

4

48-.606 -108.792

3 5

48".796 -108.604

6

49.368 -108.417

"

49.757 -109.995

}

2 4-

.

49.563 -109.712

₅

J

49.757 -109.429

6

50.579 -110.650

1 ₅

WAARDEN RECHTERHELFT

47-;.690 -105.854

2

46.787 -105.945

3

46-.246 -106.036

4

46-.065 -106.127

6 ₅

46-.246 -106.218

6

46-.787 -106.309

7

47.690 -106.400

8

46-.030 -104.908

3

45-.497 -105.089

4

45-.320 -105.269

7 5

45-.497 -105.450

6

46.030 -105.630

7

-44-.797 -104.157

I

4

44-.622 -104.426

8 ₅

44.797 -104.694

6

43.970 -103.596

9 5