• No results found

Aspects - analyse van causale modellen

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Aspects - analyse van causale modellen"

Copied!
18
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

C 6019

A S P E C T - A N A L Y S E VAN C A U S A L E M O D E L L E N

(PADCOEFFICIENTEN, SIMULTANE VERGELIJKINGEN)

T h . J. F e r r a r i en J. Mol '

Inleiding

E r b e s t a a n een a a n t a l m e t h o d e n , die de mogelijkheid b i e -d e n om complexe r e l a t i e s uit -d e e c o n o m i e , biologie, sociologie, psychologie enz. t e b e s c h r i j v e n en t e a n a l y s e r e n ; veel g e b r u i k t e m e t h o d e n zijn de a s p e c t a n a l y s e en d e pad co efficient e n

-a n -a l y s e of d e -a n -a l y s e m e t d e s i m u l t -a n e v e r g e l i j k i n g e n uit d e e c o n o m i e . De m o d e l l e n w a a r o p d e z e a n a l y s e s b e r u s t e n en het gebruik zijn nogal v e r s c h i l l e n d ( F e r r a r i , 1965). De l a a t s t g e -noemde m e t h o d e wordt v o o r n a m e l i j k gebruikt om m i n of m e e r u i t g e w e r k t e h y p o t h e s e n t e t o e t s e n en p a r a m e t e r s t e kwantific e r e n . De a s p e kwantific t a n a l y s e k a n voor dit doel ook, zij. het in m i n d e r e m a t e , gebruikt worden; de a n a l y s e k a n e c h t e r goed t o e g e -p a s t w o r d e n om h y -p o t h e s e n o-p t e s t e l l e n of t e v e r b e t e r e n

( C a t t e l l , 1965).

Het m o d e l w a a r o p de a s p e e t - a n a l y s e is g e b a s e e r d , i s weinig ' g e s p e c i f i c e e r d . Het s y s t e e m is v e r d e r ook niet g e ï d e n t i f i c e e r d , w a a r d o o r de oplossing niet eenduidig i s en d r a a i i n g e n van het a s s e n s t e l s e l mogelijk zijn ( F e r r a r i , 1965). Dit i s d e o o r z a a k van vele moeilijkheden, die de i n t e r p r e t a t i e van d e u i t k o m s t e n van d e z e a n a l y s e s m e e s t a l o p l e v e r t . De o n d e r z o e k e r d o o r z i e t m o e i l i j k de b e t e k e n i s van d e v e r k r e g e n r e s u l t a t e n (Liberg en Mol, I 9 6 I ) . De r e s u l t a t e n van d e a n a l y s e s m e t s i m u l t a n e v e r g e -lijkingen zijn u i t e r a a r d g e m a k k e l i j k e r t e i n t e r p r e t e r e n .

In v e r b a n d h i e r m e d e is een vergelijking van de u i t k o m s t e n van beide a n a l y s e m e t h o d e n , t o e g e p a s t op dezelfde g e g e v e n s , v e r -h e l d e r e n d . Mol (I966) liet r e e d s zien, wat -het a a n t a l exogene v a r i a b e l e n in een e c o n o m i s c h m o d e l voor de u i t k o m s t e n van een a s p e c t - a n a l y s e b e t e k e n e n . In het volgende zullen wij het g e d r a g v a n b e r e k e n d e w a a r n e m i n g e n , d i e wij v e r k r e g e n hebben door in

een padcoefficienten-model één of m e e r p r i m a i r e o o r z a k e n (exogene of onafhankelijke v a r i a b e l e n ) k u n s t m a t i g t e v e r a n d e r e n , b e s t u d e r e n en m e t a s p e c t - a n a l y s e s o n d e r z o e k e n . De r e s u l t a t e n van d e z e a n a l y s e s z u l l e n wij v e r g e l i j k e n m e t de inhoud van het m o d e l w a a r v a n is u i t g e g a a n . D e z e vergelijking z a l d a n d e m o g e lijkheid geven een a a n t a l r e g e l s t e r f o r m u l e r i n g van m e e r g e -s p e c i f i c e e r d e m o d e l l e n en t e r b e -s t u d e r i n g van de u i t k o m -s t e n (draaiingen) op t e s t e l l e n .

De gegevens w o r d e n v e r k r e g e n uit een r e e d s e e r d e r b e s c h r e ven m o d e l over de invloed van een a a n t a l f a c t o r e n op h e t M g O -g e h a l t e van het -g r a s ( F e r r a r i , 1964). Dit m o d e l i s in fi-g. 1

w e e r g e g e v e n . Men ziet h i e r i n hoe de v a r i a b e l e n h u m u s g e h a l t e (x^),

1) R e s p . Instituut voor B o d e m v r u c h t b a a r h e i d , P r o f . van H a l l s t r a a t 3 Groningen en Instituut voor E c o n o m i s c h Onderzoek d e r

Uni-v e r s i t e i t , Oude B o t e r i n g e s t r a a t 44, Groningen.

(2)

-M g O - g e h a l t e (x ), K20 - g e h a l t e (x-,) en pH (x^) van d e grond het M g O - g e h a l t e (y-,) van het g r a s r e c h t s t r e e k s en via v e r a n d e r i n g e n in h e t p e r c e n t a g e k r u i d e n (y.,) en in het eiwitgehalte (y->) van

het g r a s beinvloeden. Dit m o d e l kan m e t . d e volgende s t r u c -tuurvergelijkingen_ w o r d e n w e e r g e g e v e n ). (1) y3 = a3 l X l + a3 2x2 + a3 3x3 + a3 4x4 (2) y ? = a2 l X l + a2 2x2 + a2 3x3 + b2 3y3 (3) y j = a1 2x2 + a1 3x3 + b ^ y - , + b1 3y3 In d e z e v e r g e l i j k i n g e n zijn x. de p r i m a i r e o o r z a k e n of e x o -gene v a r i a b e l e n uit d e e c o n o m i e . De v e r a n d e r i n g e n in d e

effecten y. onder invloed van v e r a n d e r i n g e n van d e z e onafhanke-lijke v a r i a b e l e n kunnen uit d e v e r g e l i j k i n g e n in d e g e r e d u c e e r d e v o r m b e r e k e n d w o r d e n ; h i e r i n i s t e l k e n s een effect a l s een functie van a l l e e n onafhankelijke v a r i a b e l e n u i t g e d r u k t . Voor de b e r e k e n i n g e n g e b r u i k t e n wij de p a r a m e t e r - w a a r d e n uit t a b e l 1, z o a l s zijn in een e e r d e r onderzoek gevonden w a r e n ( F e r r a r i , 1963). T a b e l 1. W a a r d e n van de p a r a m e t e r s uit de v e r g e l i j k i n g e n a31 = X'6 7 a32 =-°>23 a3 3 =-0,031 a3 4 = 5,26 a21 = a22 = a23 = b23 = 1, 2 en -0, 74 0, 1.1. 0,011 0,20 3 al2 -a13 = b13 = b12 -- 0,0038 0,0004 0,0041 0, 0083

V e r v o l g e n s o n d e r z o e k e n wij op welke wijze de effecten in dit m o d e l v e r a n d e r e n , w a n n e e r één o o r z a a k (x_) v e r a n d e r d wordt

en d e a n d e r e o o r z a k e n constant blijven. Wij- gaan dit ook na bij v e r a n d e r i n g e n van twee onafhankelijke v a r i a b e l e n (x_ e n x , ) m e t c o n s t a n t e w a a r d e n van x-, en x ^ . T e n s l o t t e zullen wij nagaan, wat v e r a n d e r i n g e n in d r i e en m e e r onafhankelijke v a r i a b e l e n

b e t e k e n e n . Wij s i m u l e r e n op d e z e wijze de r e a c t i e van d e

natuur op bepaalde v e r a n d e r i n g e n . Op de zo v e r k r e g e n gegevens z u l l e n a s p e c t - a n a l y s e s t o e g e p a s t w o r d e n , w a a r v a n d e r e s u l t a t e n m e t de inhoud van het u i t g a n g s m o d e l v e r g e l e k e n w o r d e n .

Uit d e z e v e r g e l i j k i n g e n z u l l e n enkele c o n c l u s i e s g e t r o k k e n kunnen w o r d e n .

R e a c t i e van de afhankelijke v a r i a b e l e n op v e r a n d e r i n g e n van een of m e e r onafhankelijke v a r i a b e l e n

Wij geven de v a r i a b e l e x , een a a n t a l (20) w a a r d e n , d i e volgens t o e v a l gekozen zijn en binnen het v a r i a t i e g e b i e d van het o o r s p r o n k e l i j k e onderzoek liggen. De w a a r d e n van y , , y_ en y , , d i e bij d e z e 20 w a a r d e n v a n x , h o r e n , m o e t e n v e r v o l g e n s

1) In d e z e en volgende v e r g e l i j k i n g e n wordt het niveau (constante t e r m ) buiten beschouwing g e l a t e n .

(3)

3

-berekend w o r d e n . D a a r wij in dit geval a l l e e n m e t v e r a n d e r i n g e n in Xo t e m a k e n hebben, is e e n s y s t e e m van v e r e e n v o u d i g d e v e r g e l i j k i n g e n nodig, n. 1. : (4) y3 = a3 3x3 ( 5 ) y2 = a 23x3 + b2 3y3 ( 6 )Y l = a1 3x3 + b1 2y2 + b1 3y3 H i e r i n heeft vergelijking 4 r e e d s d e g e r e d u c e e r d e v o r m . D e z e is voor d e a n d e r e v e r g e l i j k i n g e n a l s volgt: (5a) y2 = ( a2 3 + a3 3b2 3) x3 (6a) Y l = ( au + a2 3b1 2 + a3 3b1 2 + a3 3b1 3) X3.

Met de a a n n a m e dat d e natuur volgens de p a r a m e t e r w a a r d e n uit t a b e l 1 z a l r e a g e r e n , w o r d e n d e z e v e r g e l i j k i n g e n :

(4b) y3 = - 0,031 x3 (5b) y2 = 0, 0048 x3 (6b) y j = 0, 0003127 x3

Wij kunnen nu m e t behulp van d e z e v e r g e l i j k i n g e n d e w a a r -d e n van y , , y~ en y , bij -de 20 v e r s c h i l l e n -d e w a a r -d e n van x ,

u i t r e k e n e n . T a b e l 2 geeft enkele u i t k o m s t e n .

T a b e l 2. De m e t d e v e r g e l i j k i n g e n 4b, 5b en 6b b e r e k e n d e w a a r d e n van y - , y2 en y , bij enkele w a a r d e n van x_

w a a r n e m i n g 1 2 3 - - - 20 v a r i a b e l e n x3 16.7 122 50 185 y3 -5,18 -3,78 -1,55 5,74 y2 0,80 0,59 0,24 0,88 y'j 0,052 0,038 0,016— 0,058 Een o n d e r z o e k e r z a l over het a l g e m e e n onbekend m e t de a c h t e r d e z e g e t a l l e n liggende samenhang zijn. Het is d a n zijn opgave om d e z e samenhang t e a c h t e r h a l e n . Wij e c h t e r kennen d e z e s a m e n h a n g . Een eenvoudige bewerking l e e r t ons dan, dat d e

g e t a l l e n in de tweede r i j 0 , 031 m a a l de o v e r e e n k o m s t i g e g e t a l -l e n uit d e e e r s t e r i j zijn; d e g e t a -l -l e n in d e r i j van y2 zijn

w e e r - 0 , 155 m a a l de g e t a l l e n uit de t w e e d e r i j enz. De r i j e n (en kolommen) uit d e z e t a b e l zijn dus van e l k a a r afhankelijk; indien d e g e t a l l e n uit een r i j gegeven zijn, kunnen d e g e t a l -l e n in d e a n d e r e r i j e n m e t behu-lp van d e z e v e r h o u d i n g s g e t a -l -l e n b e r e k e n d w o r d e n . Dit betekent wiskundig,, dat d e rang van d e z e m a t r i x van g e t a l l e n gelijk a a n 1 i s .

Voor een goed b e g r i p van de r e s u l t a t e n van een a s p e c t -a n -a l y s e is d e m e e t k u n d i g e •weerg-ave v-an het b e g r i p r-ang v-an b e l a n g . Uitgangspunt is h i e r b i j de w e e r g a v e van de c o r r e l a t i e s t u s s e n d e 4 v a r i a b e l e n in een 2 0 d i m e n s i o n a a l l o o d r e c h t a s s e n

-s t e l -s e l , w a a r i n d e 20 w a a r n e m i n g e n a l -s a -s -s e n fungeren.

(4)

-De v a r i a b e l e n zelf w o r d e n h i e r i n a l s v e c t o r e n afgebeeld. In fig. 2 zijn d e a s s e n van a l l e e n 3 w a a r n e m i n g e n uit t a b e l 2 g e tekend; in werkelijkheid liggen de 4 v e c t o r e n in een 2 0 d i m e n -sionale r u i m t e . Het blijkt nu, dat de 4 v e c t o r e n in dit geval s t e e d s dezelfde of d e t e g e n g e s t e l d e richting hebben; de r i c h t i n g e n vallen s a m e n . Dit betekent, dat d e c o r r e l a t i e s absoluut zijn en + 1 of - 1 zijn. De ligging van d e z e 4 v e c t o r e n k a n dus in een

e e n d i m e n s i o n a l e r u i m t e w o r d e n b e s c h r e v e n . D e z e e e n d i m e n s i o nale v e c t o r e n c o n f i g u r a t i e komt o v e r e e n m e t d e e e n d i m e n

-sionale stippënfigüur"in een n o r m a l e c o r r e l a t i e - w e e r g a v e , w a a r i n d e v a r i a b e l e n a l s a s s e n figuren.

Het feit, dat de v a r i a t i e in d e d r i e afhankd ijke v a r i a b e l e n d o o r één onafhankelijke v a r i a b e l e v e r o o r z a a k t w o r d t , heeft dus tot gevolg gehad dat d e rang van de m a t r i x van gegevens 1 en de v e c t o r e n c o n f i g u r a t i e e e n - d i m e n s i o n a a l i s . De r u i m t e van het g e m e e n s c h a p p e l i j k b e w e g i n g s p a t r o o n (Mol, 1964) heeft een d i m e n s i e van 1. H i e r b i j is op t e m e r k e n , dat het feitelijk g e d r a g van d e v a r i a b e l e n m e t 3 v e r g e l i j k i n g e n moet w o r d e n w e e r g e g e v e n . De r u i m t e van de v e c t o r e n c o n f i g u r a t i e geeft i n f o r m a t i e over dit a a n t a l vergelijkingen, niet over d e a a r d van d e z e v e r g e l i j k i n g e n . De o n d e r z o e k e r , d i e m e t een a s p e c t - a n a l y s e dit a a n t a l heeft bepaald, heeft de vrijheid v e r s c h i l l e n d e i n t e r p r e t a t i e s a a n dit b e w e g i n g s p a -t r o o n -t e geven.

Wij l a t e n v e r v o l g e n s d e v a r i a b e l e n x_ en x2 uit het m o d e l onafhankelijk van e l k a a r v e r a n d e r e n . De v a r i a b e l e n x , en x , blijven d a n constant en kunnen in d e v e r g e l i j k i n g e n 1, 2 en 3 buiten

oe-schouwing g e l a t e n w o r d e n . De g e r e d u c e e r d e v e r g e l i j k i n g e n zijn a l s volgt: x . (7a) y3 = a3 2x2 + a ^ (8a) y2 = (a22 + a3 2b2 3)x2 + (a23 + a3 3b2 s)x3 (9a) Y l = (a12 + a2 2b1 2 + a ^ b . , ^ + a ^ b ^ ) x2 + ( an + a2 3b1 2 + a3 3b2 3b1 2 + a ^ b ^ ) X3.

Wij n e m e n w e e r aan dat het m o d e l r e a g e e r t volgens d e g e g e -vens uit t a b e l 2 en k r i j g e n d e volgende vergelijkingen:

(7b) y3 = - 0 , 230 x2 - 0, 031 x3 (8b) y2 = 0, 0640 x2 + 0, 0048 x3

(9b) y j = - 0 , 0 0 4 2 1 x2 + 0,00031 xy

Met behulp van d e z e v e r g e l i j k i n g e n w o r d e n de w a a r d e n van y3, y2 en y , voor 20 w a a r d e n van x , en van x2 u i t g e r e k e n d . T a b e l 3 geeft enkele u i t k o m s t e n . T a b e l 3. De m e t de vergelijkingen 7b, 8b en 9b b e r e k e n d e w a a r d e n 2 3 20 122 50 — 185 15 21 - 6 - 7 , 2 3 - 6 , 3 8 — 7, 12 1,55 1,58 1,27 - 0 , 0 2 5 - 0 , 0 7 3 0,032 v a n ^ 3 ' ^2 w a a r n e m i n g v a r i a b e l e n x3 • x2 * 3 y2 * 1 en y , bi 1 167 . 21 - 1 0 , 0 1 2, 15 - 0 , 0 3 7

(5)

—5 ••

Het feit dat d e z e gegevens zijn o n t s t a a n door v e r a n d e r i n g e n in 2 onafhankelijke v a r i a b e l e n , m a a k t dat de rang van d e m a t r i x van g e t a l l e n 2 i s . Men k a n d e g e t a l l e n van elke r i j b e r e k e n e n i n -d i e n -de g e t a l l e n van 2 r i j e n gegeven zijn. De c o r r e l a t i e s t u s s e n de g e t a l l e n in de r i j e n (variabelen) kunnen nu ook m e t de h i e r boven b e s c h r e v e n methode b e s t u d e e r d w o r d e n . D e z e samenhan -gon zijn in figuur 3 getekend, w a a r i n d e d r i e w a a r n e m i n g s a s s e n om t e k e n t e c h n i s c h e r e d e n e n w e g g e l a t e n zijn. De v e c t o r e n ( v a r i a -belen) blijken nu niet in een e e n - d i m e n s i o n a l e r u i m t e t e liggen, m a a r in een t w e e - d i m ens ionaal vlak uit t e w a a i e r e n . De v a r i a b e l e n x , en x , zijn niet g e v o r r e l e e r d en de r i c h t i n g e n van d e z e v e c t o r e n

zijn d a n ook onderling l o o d r e c h t . De v a r i a b e l e y2 is ire t d e v a r i a b e l e n x2 en x-, positief g e c o r r e l e e r d , y_ d a a r e n t e g e n negatief. T e n s l o t t e i s y-, negatief m e t x2 en positief m e t x , g e c o r r e l e e r d .

T e r w i j l de s a m e n h a n g e n t u s s e n d e v a r i a b e l e n (bewegingspatroon) uit het e e r s t e voorbeeld m e t 1 onafhankelijke v a r i a b e l e m e t een e e n -d i m e n s i o n a l e r u i m t e b e s c h r e v e n kon-den w o r -d e n , hebben wij nu een t w e e - d i m e n s i o n a a l vlak nodig om de s a m e n h a n g e n onder invloed van 2

onafhankelijke v a r i a b e l e n t e b e s c h r i j v e n . De rang 2 komt m e t een

t w e e - d i m ens ionaal b e w e g i n g s p a t r o o n o v e r e e n . D e o n d e r z o e k e r , onbekend m e t het o n t s t a a n s m o d e l , k a n nu d e c o n c l u s i e t r e k k e n , dat het a a n t a l

onafhankelijke v a r i a b e l e n 2 is g e w e e s t en dat het a a n t a l v e r g e l i j k i n g e n van het m o d e l gelijk a a n het t o t a a l a a n t a l v a r i a b e l e n m i n u s het a a n t a l onafhankelijke v a r i a b e l e n of d i m e n s i e s van d e v e c t o r e n c o n f i g u r a t i e (rang) i s g e w e e s t . Ook nu w e e r geldt dat hij v e r s c h i l l e n d e i n t e r p r e -t a -t i e s a a n d e z e v e r g e l i j k i n g e n en s a m e n h a n g e n kan geven.

Het is in analogie m e t het bovenstaande gemakkelijk in t e z i e n , dat m e n een d r i e d i m ens ionaal b e w e g i n g s p a t r o o n krijgt bij v e r a n d e r i n -gen van 3 onafhankelijke v a r i a b e l e n enz. Men kan d a a r o m d e vol-gende r e g e l o p s t e l l e n : het a a n t a l v e r g e l i j k i n g e n in een s y s t e e m i s gelijk a a n het a a n t a l v a r i a b e l e n minus de d i m e n s i e van d e v e c t o r e n c o n f i g u r a t i e ; d e z e d i m e n s i e i s j*elijk a a n het a a n t a l onafhankelijke v a r i a b e l e n .

Met behulp van d e z e r e g e l kan een o n d e r z o e k e r nagaan of het door h e m o p g e s t e l d e m o d e l , dat hij wil t o e t s e n , in o v e r e e n s t e m m i n g m e t de werkelijkheid i s ; van d e a n d e r e kant k a n hij d e kennis over d e d i m e n s i e van het b e w e g i n g s p a t r o o n en over d e v a r i a b e l e n die h i e r i n m e e v a r i ë r e n g e b r u i k e n om een m e e r g e s p e c i f i c e e r d m o d e l a l s h y p o -t h e s e op -t e s -t e l l e n . D e z e r e g e l k a n ook gebruik-t w o r d e n voor een b e -t e r e i n t e r p r e t a t i e van de u i t k o m s t e n van d e a s p e c t - a n a l y s e .

A s p e e t - a n a l y s e en d r a a i i n g

De a s p e c t a n a l y s e beoogt het a a n t a l d i m e n s i e s van d e v e c t o -r e n c o n f i g u -r a t i e v a s t t e s t e l l e n en a a n t e g e v e n in welke m a t e de va-ri«» a b e l e n in e e n b e p a a l d b e w e g i n g s p a t r o o n m e t e l k a a r samenhangen* Door de a n a l y s e wordt d e v e c t o r e n c o n f i g u r a t i e a l s een p r o j e c t i e op een l o o d r e c h t a s s e n s t e l s e l ( r e f e r e n t i e s t e l s e l ) , m e t dezelfde o o r sprong a l s de v e c t o r e n , w e e r g e g e v e n . De ligging van dit r e f e r e n t i e s t e l s e l t e n opzichte van de v e c t o r e n c o n f i g u r a t i e is van de a n a l y s e -methode ' afhankelijk ( H a r m a n , I960, Seal 1964). Het m o d e l van d e a s p e c t - a n a l y s e is n i e t - g e ï d e n t i f i c e e r d ( F e r r a r i , 1964), zodat d e v e r k r e g e n oplossing niet p r i n c i p i e e l i s . Door d r a a i i n g van het r e f e -r e n t i e s t e l s e l is elke oplossing t e v e -r k -r i j g e n , w a a -r b i j d e o n d e -r l i n g e

x) Wijhebben s t e e d s de o r i n c i p a l factor m e t h o d e van Hotelling t o e g e p a s t . " """"*"""""

(6)

-r i c h t i n g d e -r v e c t o -r e n en de d i m e n s i e van het bewegingspat-roon b e s t a a n blijvcnJDeze o n d e r i d e n t i f i c a t i e e n d e d a a r m e e s a m e n h a n g e n d e o p l o s s i n g s -mogelijkheden is o o r z a a k van vele i n t e r p r e t a t i e m o e i l i j k h e d e n . Een

vergelijking t u s s e n d e inhoud van het gegeven m o d e l en d e r e s u l t a t e n van een a s p e e t - a n a l y s e t o e g e p a s t op uit dit m o d e l b e r e k e n d e gegevens wijst op d e mogelijkheid om een identificatie door een bepaalde d r a a i ing t e v e r k r i j g e n . D e z e vergelijking is t e v e n s nuttig om d e m o g e l i j k -h e d e n en b e p e r k i n g e n van de a s p e c t - a n a l y s e a a n t e geven.

Wij beginnen m e t een bewerking van d e g e g e v e n s , die v e r k r e g e n zijn door v e r a n d e r i n g e n van 2 onafhankelijke v a r i a b e l e n x , en x-,

(tabel 3); d e v e r a n d e r i n g e n van x-, en x_ zelf zijn onafhankelijk van e l k a a r . De o n d e r z o e k e r wordt v e r o n d e r s t e l d onbekend m e t d e z e a c h t e r g r o n d t e zijn en t r a c h t m e t een a s p e c t - a n a l y s e i n f o r m a t i e over het o n t s t a a n van d e samenhang t u s s e n de v a r i a b e l e n t e k r i j g e n . H i e r t o e w o r d e n d e c o r r e -l a t i e - c o ë f f i c i ë n t e n t u s s e n d e v a r i a b e -l e n b e r e k e n d (tabe-l 4). T a b e l 4 . C o r r e l a t i e c o e f f i c i e n t e n , b e r e k e n d uit de volledige t a b e l 3 x2 00 X3 0 1,00 y3 - 0 , 74 - 0 , 6 8 1,00 y2 + 0 , 8 9 0 , 4 7 - 0 , 9 6 1,00 y l - 0 , 8 9 0 , 4 4 0, 35 - 0 , 5 9 1,00 x2 x3 y3 y2 yl D e z e c o r r e l a t i e m a t r i x v r a a g t weinig c o m m e n t a a r , d e a c h t e r -grond is ons i m m e r s bekend; het ontbreken van c o r r e l a t i e s t u s s e n d e onafhankelijke v a r i a b e l e n X2 en x , was t e v e r w a c h t e n , wij hadden ze i m m e r s onafhankelijk van e l k a a r l a t e n v a r i ë r e n . ' Wij zijn m e e r g e i n t e r e s s e e r d in d e r e s u l t a t e n van een op d e z e m a t r i x t o e g e p a s t e a s -p e c t - a n a l y s e (tabel 5). T a b e l 5. C o r r e l a t i e c o e f f i c i e n t e n a. t u s s e n a s p e c t en v a r i a b e l e n . A s p e c t V a r i a b e l e x2 x3 y3 y2 yi A s p e c t b i j d r a g e (eigenwaarde) F l 0 , 9 4 0, 35 - 0 , 9 2 0,99 - 0 , 6 8 3, 30 F ; - 0 , 0, - 0 , 0, 0, 1, l 35 94 38 12 73 70 S 2 om a. i m 1, 1, 1, 0, 1, 5, 01 01 00 99 00 00

D e coëfficiënten a. zijn een m a a t voor d e s t e r k t e vari d e c o r r e -im

l a t i e t u s s e n a s p e c t en v a r i a b e l e n en lopen van + 1, 00 tot - 1, 00. Het k w a d r a a t van een coefficient m a a l honderd geeft a a n welk g e d e e l t e van d e t o t a l e v a r i a n t i e van d e v a r i a b e l e m e t het betreffende a s p e c t s a m e n -hangt; de som van d e z e k w a d r a t e n i s d a a r o m 1 (totale v a r i a n t i e ) .

(7)

7

-D e o o r s p r o n k e l i j k e c e r r e l a t i e - c o e f f i c i e n t t u s s e n 2 v a r i a b e l e n kan uit het inwendig p r o d u c t d e r betreffende r i j e n t e r u g b e r e k e n d w o r d e n , dus de c or r e l a t i e c o efficient r~ ~ t u s s e n de v a r i a b e l e n x-, en x~ i s

gelijk a a n : 0, 94 x 0, 35 + (0, 35 x 0, 94) = 0 enz. De e i g e n w a a r d e t e n slotte is een m a a t voor de t o t a l e v a r i a n t i e die m e t een a s p e c t s a m e n -hangt.

Een vergelijking t u s s e n het m o d e l van figuur 1 z o n d e r d e v a r i a -belen x , en x . en het m o d e l van de a s p e e t - a n a l y s e (figuur 4) geeft a a n , dat m e n uit d e a s p e c t a n a l y s e nooit de o o r s p r o n k e l i j k e i n f o r

-m a t i e t e r u g v e r w a c h t e n -m a g . Het o o r s p r o n k e l i j k e -m o d e l i s g e k e n -m e r k t d o o r k e t t i n g r e a c t i e s ; d e z e ontbreken in het m o d e l van d e a s p e c t a n a -l y s e . Het m o d e -l m e t de padcoefficienten bjevat i n f o r m a t i e over de s t e r k t e van d e afzonderlijke invloeden, de mogelijïceom d e z e t e r u g t e b e r e k e n e n ontbreekt in het m o d e l van de a s p e c t - a n a l y s e . D e a s p e c t - a n a l y s e geeft w e i i n f o r m a t i e over het g e m e e n s c h a p p e l i j k v a r i ë r e n van d e v a r i a b e l e n , v e r d e e l d over d e v e r s c h i l l e n d e a s p e c t e n . Men k r i j g t h i e r v o o r een m a a t in p e r c e n t a g e s van de t o t a l e v a r i a n t i e : 88 % van d e v a r i a n t i e van x2 gaat s a m e n m e t 12 % van de v a r i a n t i e van x_, m e t 85 % van d e v a r i a n t i e in y , enz. Hetzelfde geldt voor d e gegevens in a s p e c t 2; h i e r i n wordt de van a s p e c t 1 onafhankelijke v a r i a n t i e van de v a r i a b e l e n b e s c h r e v e n .

De gegevens van t a b e l 5 l a t e n zien, dat d e v a r i a n t i e van a l l e v a r i -a b e l e n volledig m e t d e beide -a s p e c t e n b e s c h r e v e n w o r d t ; de som v-an d e k w a d r a t e n is s t e e d s gelijk a a n 1. Dit is g e h e e l volgens de v e r w a c h t i n -gen, volgend uit d e e e r d e r gegeven r e g e l : 2 onafhankelijke v a r i a b e l e n m o e t e n 2 a s p e c t e n of b e w e g i n g s p a t r o n e n geven.

Niet volgens d e v e r w a c h t i n g i s d e aanwezigheid van c o r r e l a t i e s t u s s e n een a s p e c t e n d e onafhankelijke v a r i a b e l e n x2 en x~. Wij hebben

i m m e r s d e z e v a r i a b e l e n onafhankelijk van e l k a a r l a t e n v a r i ë r e n , h e t -geen in c o r r e l a t i e c o e f f i c i e n t e n t u s s e n b e i d e v a r i a b e l e n gelijk a a n nul tot uiting k o m t . Men mag d a a r o m voor een c a u s a l e i n t e r p r e t a t i e niet d e s i t u a t i e hebben, dat beide v a r i a b e l e n binnen een a s p e c t toch t e g e -lijk v a r i ë r e n . De o o r z a a k is in het feit gelegen, dat de p r i n c i p a l factor m e t h o d e elke a s van het r e f e r e n t i e s t e l s e l zó legt, dat de t o t a l e m e t d e z e a s s a m e n h a n g e n d e v a r i a t i e s t e e d s zo groot mogelijk i s . Men k r i j g t dan een oplossing van figuur 5, w a a r i n de r e f e r e n t i e - a s s e n niet m e t de x v e c t o r e n uit figuur 3 s a m e n v a l l e n . Een x v e c t o r m o e t dan m e t 2 r e -f e r e n t i e - a s s e n b e s c h r e v e n w o r d e n .

Dit p r o b l e e m k a n opgelost w o r d e n door t o e p a s s i n g van een d r a a i i n g ; wij hebben i m m e r s g e z i e n dat een d r a a i i n g s t e e d s geoorloofd i s . Men denkt h i e r b i j d i r e c t a a n een zodanige d r a a i i n g , dat de a s s e n en de

x - v e c t o r e n in dit geval s a m e n v a l l e n . H i e r d o o r verdwijnen d e c o r r e l a t i e s t u s s e n a s p e c t en d e niet r e l e v a n t e x v a r i a b e l e n . Men b e r e i k t e h i e r

-d o o r , -dat -d e a s p e c t e n volle-dig gei-dentificeer-d w o r -d e n . Men heeft -d a n een eenduidige oplossing v e r k r e g e n , w a a r v a n d e c a u s a l e i n t e r p r e t a t i e geen moeilijkheden o p l e v e r t . Het r e s u l t a a t van d e z e d r a a i i n g ziet m e n in t a b e l 6.

(8)

-T a b e l 6. C o r r e l a t i e c o e f f i c i e n t e n a. t u s s e n a s p e c t en A s p e c t V a r i a b e l e x2 X3 ^ 3 y2 * 1 v a r i a b e l e n , F l 1,00 0 - 0 , 73 0,89 - 0 , 8 9 na j - j . i l d r a a i i n g F2 0 1,00 - 0 , 6 8 0,46 0,44 2 Som a. i m 1,00 1,00 1,00 1,00 0,99 E e n c a u s a l e i n t e r p r e t a t i e van de na d e z e d r a a i i n g v e r k r e g e n r e s u l t a t e n is nu gemakkelijk t e geven, zij het s t e e d s m e t de r e e d s e e r d e r b e s p r o k e n b e p e r k i n g e n . De b e t e k e n i s van d e z e d r a a i i n g k o m t nog d u i d e l i j k e r tot uiting, indien m e n m e t m e e r d i m e n s i o n a l e a s s e n -s t e l -s e l -s t e m a k e n heeft. Wij zullen dit d e m o n -s t r e r e n m e t een v o o r b e e l d , w a a r i n 4 onafhankelijke v a r i a b e l e n x , , x2, x_ e n x - opgenomen w a r e n

en het a s s e n s t e l s e l v i e r - d i m e n s i o n a a l i s . De a s p e c x - a n a l y s e l e v e r d e d e gegevens van t a b e l 7 op.

T a b e l 7. C o r r e l a t i e c o e f f i c i e n t e n a. t u s s e n a s p e c t en v a r i a b e l e n ; i m c gegevens b e r e k e n d uit d e v e r g e l i j k i n g e n 1, 2 en 3. A s p e c t Fl F2 F3 F4 Som a V a r i a b e l e Xj 0 , 8 3 - 0 , 3 9 - 0 , 0 4 0,40 1,00 x2 - 0 , 5 4 - 0 , 6 1 0,18 0,55 .1,00 x - 0 , 0 7 0,62 - 0 , 3 0 0,72 1,00 x4 0,12 0 , 3 1 0 , 9 3 0 , 1 4 .1,00 y3 0 , 9 3 - 0 , 2 3 0,29 0,02 1,00 y2 - 0 , 9 1 0,31 0,26 0,01 0,99 y'j 0,68 0 , 7 3 - 0 , 0 4 0 , 0 1 1,00 A s p e c t b i j d r a g e (eigenwaarde) ' ' ' ' ' Het r e s u l t a a t van d e z e a n a l y s e is t e l e u r s t e l l e n d . W e l i s w a a r b e -d r a a g t h e t a a n t a l a s p e c t e n volgens verwachting 4 - het a a n t a l onafhan-kelijke v a r i a b e l e n b e d r o e g i m m e r s 4 - de c a u s a l e a c h t e r g r o n d van de v e r g e l i j k i n g e n 1, 2 en 3 d a a r e n t e g e n is g r o t e n d e e l s v e r d w e n e n . Het i s moeilijk zelfs m e t onze v o o r k e n n i s enkele a s p e c t e n c a u s a a l t e d u i d e n . Een r e l a t i e f groot g e d e e l t e van de v a r i a n t i e i s in a s p e c t 1 t e r e c h t

g e k o m e n . Elk a s p e c t heeft b e t r e k k e l i j k hoge c o r r e l a t i e s m e t m e e r d a n een x - v a r i a b e l e . Identificatie en d a a r m e d e d e definitieve oplossing w o r d e n w e e r v e r k r e g e n door t o e p a s s i n g van een zodanige d r a a i i n g , dat de r e f e r e n t i e - a s s e n m e t d e x - v e c t o r e n s a m e n v a l l e n . Men k r i j g t

een oplossing d i e in o v e r e e n s t e m m i n g m e t d e uitgangspunten i s . T a b e l 8 geeft het r e s u l t a a t van d e z e d r a a i i n g .

(9)

-T a b e l 8. C o r r e l a t i e c o e f f i c i e n t e n a. t u s s e n a s p e c t en v a r i a b e l e n , A s p e c t V a r i a b e l e Xl X2 X3 X4 ^ 3

yz

* i na d r a a i i n g ; g eg •Fl 1,00 0 0 0 0,86 - 0 , 8 8 0,29 F2 0 1,00 0 0 - 0 , 30 0, 36 - 0 , 8 1 evens b e r 1, 2 en F3 0 0 0 1,00 0, 32 0 , 2 3 0 , 2 7 ekend uit d e v e r g e l i 3 F4 0 0 1,00 0 - 0 , 2 8 0,19 0 , 4 3 Som a. u n 1,00 1,00 1,00 1,00 1,01 0 , 9 9 1,00 D e b r u i k b a a r h e i d van de u i t g e v o e r d e d r a a i i n g en d e juistheid van het d r a a i i n g s p r i n c i p e k o m e n uit dit r e s u l t a a t duidelijk n a a r v o r e n . De d r a a i i n g heeft een identificatie van d e a s p e c t e n gegeven, t e r w i j l d e i n t e r p r e t a t i e is v e r e e n v o u d i g d . Een landbouwkundige b e s c h r i j v i n g van d e r e s u l t a t e n valt buiten d e opzet van dit. a r t i k e l .

De v e r k r e g e n r e s u l t a t e n hebben d e b e t e k e n i s van d e volgende g e d r a g s l i j n getoond. Ten_behoey§_van d ^ g a u s a l e , interp_r_etatie m o e t op_ de_met_de_asp_ec_t-analy s e Jierkr_egen g e g e v e n s s t e e d s een_draai-_ ÏS-S_w2ï4§5SPëSëPS-Slis. J j ë t c j i t ^ i u m _ b i j _d,ez.e draaiing, m o e t bij, de

onafhankelijke YS-li^^L^i _ .LtSS.6.1!»» ^ ^ r v a n h$ï A^talJ»£?Ü.H. i § A3J1 5ë-^P'i5•LS®y°i1^i1_ä?B22t.e_1:i.• Men t r a c h t elke r e f e r e n t i e - a s zo goed mogelijk m e t een onafhankelijke v a r i a b e l e t e l a t e n s a m e n v a l l e n ; h i e r b i j m o e t e n de c o r r e l a t i e s t u s s e n het a s p e c t en de a n d e r e onaf-hankelijke v a r i a b e l e n zo k l e i n mogelijk gehouden w o r d e n . Het effect van d e h i e r u i t r e s u l t e r e n d e d r a a i i n g wordt t e n s l o t t e voor a l l e v a r i a b e l e n b e r e k e n d . D e z e d r a a i i n g , w a a r v o o r wij d e naam c a u m a x d r a a i i n g v o o r s t e l l e n , beoogt d e a s p e c t e n t e i d e n t i f i c e r e n en 3 ë " m o g e -fijkfieid tot c a u s a l e i n t e r p r e t a t i e m a x i m a a l t e m a k e n .

D i s c u s s i e

De a s p e c t - a n a l y s e biedt mogelijkheden, m a a r heeft ook een a a n t a l b e p e r k i n g e n w a a r v a n m e n zich s t e e d s bewust moet blijven. De a n a l y s e heeft het n a d e e l , dat het m o d e l weinig g e s p e c i f i c e e r d

en n i e t - g e i d e n t i f i c e e r d i s . In dit opzicht is zij s t e e d s d e m i n d e r e van een m e e r g e s p e c i f i c e e r d c a u s a a l m o d e l . De r e e d s g e m a a k t e v e r -gelijking t u s s e n het m o d e l van figuur 1 en dat van figuur 4 geeft een duidelijk beeld van de v e r s c h i l l e n en van wat m e n van een a s p e c t -a n -a l y s e m -a g v e r w -a c h t e n . De -a n -a l y s e biedt -a -a n d e -a n d e r e k-ant de

o n d e r z o e k e r d e mogelijkheid n i e t - g e s p e c i f i c e e r d e samenhang t u s s e n vele v a r i a b e l e n tegelijk t e b e s t u d e r e n , w a a r d o o r hij i n f o r m a t i e over r e l e v a n t e v a r i a b e l e n en r e l a t i e s k r i j g t . H i e r d o o r b e s t a a t de mogelijk-heid m e e r g e s p e c i f i c e e r d e m o d e l l e n op t e s t e l l e n . Het hangt van o n d e r z o e k e r en van p r o b l e e m af in welke m a t e d e a n a l y s e b r u i k -b a r e r e s u l t a t e n k a n o p l e v e r e n .

In dit verband is d e beantwoording van d e v r a a g belangrijk of d e r e s u l t a t e n van een a s p e e t - a n a l y s e , a l of niet m e t d r a a i i n g , s t e r k door s t o r e n d e o m s t a n d i g h e d e n beinvloed w o r d e n . Men kan h i e r b i j denken a a n de b e t e k e n i s van bepaling s fout en, van c o r r e l a t i e s t u s s e n de onafhankelijke v a r i a b e l e n enz. A n d e r e moeilijkheden hebben b e -t r e k k i n g op de v a s -t s -t e l l i n g van he-t a a n -t a l a s p e c -t e n en d e fei-telijke

(10)

-u i t v o e r i n g van de c a -u m a x - d r a a i i n g . Wij z-ullen in het \ o l g e n d e enkele van d e z e punten behandelen; wij v e r w i j z e n voor het p r o b l e e m van d e v a s t s t e l l i n g van het a a n t a l a s p e c t e n n a a r d e betreffende l i t e -r a t u u -r ( H a -r m a n , I960).

Wij hebben gezien, dat de caumax d r a a i i n g d e onafhankelijke v a r i a b e l e n a l s c r i t e r i a n e e m t ; m e n neemt zoveel v a r i a b e l e n a l s e r a s -p e c t e n zijn. In d e l i t e r a t u u r zijn een a a n t a l d r a a i i n g s m e t h o d e n bekend die geen o n d e r s c h e i d t u s s e n onafhankelijke en afhankelijke v a r i a b e l e n m a k e n ; d e m e e s t bekende is de d r a a i i n g tot d e eenvoudige s t r u c t u u r . Een k e u z e over de a l s c r i t e r i a t e n e m e n v a r i a b e l e n b"élioè1lïlrâ^n~nTerbij niet t e m a k e n ; a l l e v a r i a b e l e n w o r d e n opgenomen en d e d r a a i i n g k a n z o n d e r t u s s e n k o m s t van de o n d e r z o e k e r uitgevoerd w o r d e n . De c a u -m a x - d r a a i i n g v r a a g t d a a r e n t e g e n van d e o n d e r z o e k e r een s t e l l i n g n a -m e over de t e v e r w a c h t e n en de feitelijke inhoud van d e a s p e c t e n , over d e onafhankelijke v a r i a b e l e n d i e in d e a n a l y s e opgenomen m o e t e n w o r d e n en die a l s c r i t e r i a van d e d r a a i i n g m o e t e n d i e n e n . Een a u t o m a t i s c h e oplossing wordt h i e r niet v e r k r e g e n . Is d e k e u z e van de v a r i a b e l e n , w a a r o p g e d r a a i d m o e t w o r d e n , e e n m a a l gedaan, dan is d e d r a a i i n g zelf

g r a f i s c h gemakkelijk uit t e v o e r e n .

V/ij hebben enkele b e r e k e n i n g e n over d e invloed van fouten (standaard-afwijkingen ongeveer 15 % ) en van c o r r e l a t i e s t u s s e n d e onafhankelijke v a r i a b e l e n u i t g e v o e r d . H i e r u i t bleek, dat d e z e s t o r i n g e n een g e r i n g e invloed h a d d e n en dat d e a s p e e t a n a l y s e t a m e l i j k c o n s i s t e n t e r e s u l t a t e n o p l e v e r t . T e r i l l u s t r a t i e geven wij het r e s u l t a a t van eert a s p e c t -a n -a l y s e ( n -a d r -a -a i i n g ) v-an gegevens v-an het m o d e l uit figuur 1, w -a -a r i n d e onafhankelijke v a r i a b e l e n b e t r e k k e l i j k s t e r k e c o r r e l a t i e s ( 0 , 2 0 , - 0 , 4 5 , 0, 64, - 0 , 53, 0, 20 en - 0 , 27 ) hadden. Het r e s u l t a a t wordt in t a b e l 9

gegeven. T a b e l 9«* C or r e l a t i e c o efficient en a. t u s s e n a s p e c t en v a r i a b e l e n , na d r a a i i n g ; m o d e l m e t c o r r e l a t i e s t u s s e n d e onafhanke-lijke v a r i a b e l e n A s p e c t V a r i a b e l e Xl x2 x3 X4 ^3 ^2

Een vergelijking t u s s e n d e z e r e s u l t a t e n en die van t a b e l 8 toont a a n , dat d e aanwezigheid van b e t r e k k e l i j k s t e r k e c o r r e l a t i e s t u s s e n de onafhankelijke v a r i a b e l e n de inhoud van de a s p e c t e n niet wezenlijk v e r a n d e r d heeft. 1 1 -F l 0 , 8 9 0, 11 - 0 , 2 7 0,22 0 , 7 4 - 0 , 9 0 0,09 F2 - 0 , 0 3 0,95 - 0 , 2 7 - 0 , 0 7 - 0 , 10 0, 32 - 0 , 8 5 F3 0,45 0 , 2 3 - 0 , 0 3 0 , 9 7 0,59 - 0 , 12 0, 11 F4 - 0 , 13 - 0 , 2 0 0 , 9 5 - 0 , 0 2 - 0 , 2 8 0,28 0, 51 Som a. i m 1,01 .1,00 1,01 1,00 1,00 1,00 1,01

(11)

1 1

-Sam envatting

Een a a n t a l w a a r n e m i n g e n w e r d e n k u n s t m a t i g v e r k r e g e n door d e onafhankelijke v a r i a b e l e n in een m o d e l over de invloed van een a a n a a n t a l b o d e m f a c t o r e n op het MgOgehalte van g r a s v e r s c h i l -lende w a a r d e n t e l a t e n a a n n e m e n . Met behulp van dit m o d e l konden de w a a r d e n van de afhankelijke v a r i a b e l e n b e r e k e n d w o r d e n . V e r v o l g e n s w e r d e n op d e z e gegevens a s p e c t - a n a l y s e s u i t g e v o e r d , w a a r v a n de r e s u l t a t e n v e r g e l e k e n w e r d e n m e t de inhoud van het m o d e l .

Het blijkt, dat het a a n t a l a s p e c t e n gelijk is a a n het a a n t a l onafhankelijke v a r i a b e l e n . Z o n d e r t o e p a s s i n g van een d r a a i i n g k u n n e n d e r e -s u l t a t e n moeilijk g e i n t e r p r e t e e r d w o r d e n . D e z e d r a a i i n g rnoet volgen-s het c a u m a x - p r i n c i g e uitgevoerd w o r d e n : de mogelijk voor een c a u s a l e i n t e r p r e f a t i e wor3t zo groot mogelijk g e m a a k t door uitvoering van een d r a a i i n g , w a a r b i j elke r e f e r e n t i e - a s z o v e e l mogelijk op een onafhankelijke v a r i a b e l e g e d r a a i d w o r d t . Men b e r e i k t h i e r m e d e een identificatie van het m o d e l van de a s p e c t - a n a l y s e . De u i t k o m s t e n w o r d e n s l e c h t s in g e r i n g e m a t e door het o p t r e d e n van w a a r n e m i n g s f o u t e n en door de aanwezigheid van c o r r e l a t i e s t u s s e n d e onafhankelijke v a r i a b e l e n beinvloed.

(12)

C a t t e l l , R . B . F e r r a r i , T h . J . P i j l , H. and Venekamp, J . T , F e r r a r i , T h . J . F e r r a r i , T h . J. F e r r a r i , T h . J. H a r m a n , H. H. L i b e r g , A . H. J. and Mol, J. Mol, J . Mol, J. Seal, H. N . F a c t o r a n a l y s i s : an i n t r o d u c t i o n t o e s s e n t i a l s . B i o m e t r i c s 21 (1965) 190-215, 4 0 5 - 4 3 5 . F a c t o r analysis in a g r i c u l t u r a l r e s e a r c h . Neth. J. A g r i c . S c i . 5 (1957) 2 1 1 - 2 2 1 .

C a u s a l s oil-plant r e l a t i o n s h i p s and path coefficients. P l a n t and Soil 19_ (1963) 8 1 - 9 6 . A u s w e r t u n g b i o l o g i s c h e r K e t t e n p r o z e s s e m i t

Hilfe von Pfadkoeffizieriten. B i o m e t r i s c h e Z e i t s c h r i f t 6 (1964) 8 9 - 1 0 2 .

Models and t h e i r t e s t i n g : c o n s i d e r a t i o n s on t h e methodology of a g r i c u l t u r a l r e s e a r c h .

Neth. J . A g r i c . S c i . 13 (1965) 366-377. M o d e r n factor a n a l y s i s . Chicago (1963). Multiple factor a n a l y s i s a s a method of

a g r i c u l t u r a l r e s e a r c h . Neth. J . A g r i c . Sei. 9 (1961) 269-280. ~ Modèles d ' e x p l o i t a t i o n s a g r i c o l e s . C. E . E. Collection é t u d e s . S e r i e A g r i c u l t u r e N r . 13. B r u x e l l e s (1964). De e c o n o m i s c h e o n d e r z o e k e r en zijn r u i m t e . Economie 30 (1966) 361-376. M u l t i v a r i a t e s t a t i c t i c a l a n a l y s i s for b i o l o g i s t s . London (1964). Groningen, juni 1966

(13)

F i g u u r 1. C a u s a a l m o d e l van d e invloed van 4 onafhankelijke v a r i a b e l e n ( p r i m a i r e oorzaken) op 3 afhankelijke v a r i a b e l e n (effecten) F i g u u r 2. V e c t o r e n c o n f i g u r a t i e bij 1 onafhankelijke v a r i a b e l e F i g u u r 3. V e c t o r e n c o n f i g u r a t i e bij 2 onafhankelijke v a r i a b e l e n F i g u u r 4. A s p e c t a n a l y s e - m o d e l m e t 3 afhankelijke en 2 onaf-hankelijke v a r i a b e l e n F i g u u r 5. Ligging van r e f e r e n t i e - a s s e n en v e c t o r e n c o n f i g u r a t i e , d o o r a n a l y s e gegeven.

(14)

pH

MgO.geholte X3 grond « . g e h a l t e x2 grond hu musgehalte Xi grond ruw. eiwit-g e h a l t e Ya g fas k r u i d e n , gehalte M gO. gehalte yi gras f i g . I -.&•:. F« »aooi

(15)

.!£>•.**

f i g . 2

(16)

l i *

f i g . 3

-f

(17)

Ö!.

f i g .

4

(18)

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica.. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica.. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Universiteit

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica.. Universiteit

De rol die de tweede afgeleide speelt voor functies van ´ e´ en variabele, wordt overgenomen door het 2-de orde polynoom in de Taylorontwikkeling van een functie f van

Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze geen

Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze geen informatie.. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica. Universiteit