Het inverteren van een machtreeks

M t i m r j r man iR CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING

NN31545.0297

NOTA no 297, d.d. 6 april 1965

Het inverteren van een machtreeks

Ph. Th. Stol

Nota's van het Instituut zijn in principe interne

communicatiemid-delen, dus geen officiële publikaties.

Hun inhoud varieert sterk en kan zowel betrekking hebben op een

eenvoudige weergave van cijferreeksen, als op een concluderende

discussie van onderzoeksresultaten. In de meeste gevallen zullen

de conclusies echter van voorlopige aard zijn omdat het

onder-zoek nog niet is afgesloten.

Aan gebruikers buiten het Instituut wordt verzocht ze niet in

pu-blikaties te vermelden.

Bepaalde nota's komen niet voor verspreiding buiten het Instituut

in aanmerking.

V

*

1

-1» Inleiding

In numerieke bewerkingen wordt vaak gebruik gemaakt van de mogelijkheid een gegeven functie in een machtreeks te ontwikkelen.Bijvoorbeeld

y = f(x) = a + a,x + a_x + a_x + . , . + a x = Y a x (1)

"^ o 1 2 3 n - n n

Bij geschikte keuze van a. (i = 0, 1, 2, ...) kan f(x) met de voorgestel-de reeksontwikkeling door een eindig aantal termen, met een vooraf bepaalvoorgestel-de

nauwkeurigheid, worden benaderd, vooropgesteld dat aan alle benodigde voorwaar-den van convergentie voldaan is. In het volgende zal er van uitgegaan worvoorwaar-den

dat dit steeds het geval is.

Opgemerkt wordt dat de ontwikkeling (1) eenduidig is, dat wil zeggen dat er voor gegeven f(x) slechts eén reeks a. (i = 0, 1, 2, ...) bestaat, (KNOPP,

1956, pag. 103).

Een volgend probleem bij een numerieke bewerking kan zijn de inverse functie te bepalen en (1) expliciet te maken in x, dus af te leiden

x = f-^y) - bQ + bl Y + b2/ + ... + bnyn

en vast te stellen welke waarden aan de IJ'S moeten worden gegeven bij gegeven a's uit (1).

In de numerieke wiskunde is dit probleem formeel opgelost. Ook nu is de oplossing eenduidig (KNOPP, pag. 120), waarbij slechts behoeft te worden aan-genomen dat a. 4 0. Voor het berekenen van de inversereeks wordt geen gebruik gemaakt van convergentievoorwaarden. Wil het eindresultaat betekenis hebben dan zal voor elk geval afzonderlijk een onderzoek naar de convergentie moeten worden uitgevoerd.

In deze nota zullen de oplossingsmethoden worden besproken en wordt een systematische wijze van werken gegeven voor het berekenen van de b.'s. In de bijlagen wordt de uitwerking tot en met b gegeven.

2

-2. Oplossingen

Voor het gestelde probleem, het inverteren van een machtreeks, bestaat geen formule waarmee elke b direct in de gegeven a's kan worden uitgedrukt (KNOPP, pag. 122, voetnoot 2 ) . Slechts indien alle voorgaande b's zijn opge-lost kan de eerstvolgende b met een recursieformule worden uitgerekend. In symbolen is deze formule van een eenvoudige gedaante (15)«

Achtereenvolgens wordt dus elke b uitgedrukt in de a's, dus

\ = S Uo, a.j, a2, ..., an) , i = 0, 1 , 2 , ..., n

Een modificatie van de gegeven formule maakt het expliciet schrijven van de b's iets eenvoudiger, doch bij het uitschrijven van de recursieformules ont-staan toch spoedig zeer lange vormen die dit type oplossing niet aantrekkelijk maken.

Aangetoond zal worden dat met behulp van enkele hulptabellen een wat pret-tiger verlopend oplossingssysteem kan worden verkregen waarbij geen later weer wegvallende termen behoeven te worden uitgeschreven.

Vermeld kan worden dat HUTTE (1959) op pagina 96 de oplossing geeft tot en met de 5e graad. Indien de functie luidt

y = bx 2 3 k 5

+ ex + dx + ex + fxy + ...

dan zijn de co-factoren van y in x = f"" (y) achtereenvolgens

y : 1 2 y : - b y3: (2b2 - c) k 3 y : - (5b - 5bc + d) y5: (Mît* - 21b2c + 6bd + 3c2 - e) y : _ 7 (6b5 - 12b3c + Ub2d + 4bc2 - bc - cd + j f)

Alvorens de algemene oplossingen te behandelen wordt nog eerst een voor-beeld gegeven om de gang van zaken toe te lichten.

3

-3. Het inverberen van een vierde graads polynomium

Stel gegeven

2 3

k

y = a + a.x + a

0

x + a_x + a, x

O l d j 4

Dit gegeven kan worden herleid tot (verondersteld is dat a. ^ 0)

Y =

H A

= X +

X

2 +

X

3 +

X * (2)

a1 a1 al al

wat weer geschreven wordt tot

y = a x + a

p

x + a_x + a,x (2a)

met

a = 0

o

&1

= 1

(2b)

Gevraagd te bepalen

2 3

h

x = b^y

+ b ^ + b

3

y + b^y

De gang van zaken is nu

als volgt, waarbij de

ontwikkeling tot de

vierde macht beperkt blijft, daar het gegeven (2a) ook niet verder gaat.

2 3

k

y = a..x + a

p

x + a x + a. x

2 2 2 ^ 2 it

y = a.x + (2a.a

0

) x + (2a.a_ + a

0

) x

3 3 3

A / o

2 *

k

KO

'

y = a ^ + O a ^ g ) x

it it i+

k

-Deze ontwikkelingen worden nu in de volgende vorm geschreven (a.. = 1)

2

x =

y - a

2

x - a

3

x - a^x

2 3 2 ij.

y - ( 2 a ^ ) x - (2a.! a +

a.^

x

3 /

Q

2 v

k

y - O a ^ g ) x

h

y

(U)

Te beginnen met de eerste macht van x uit

(h)

wordt de oplossing als volgt

gevonden

x = y - a

0

x - a_x - a, x

(5)

elimineer x door substitutie en neem a = 1

x = y - a

2

{y - (2a

g

) x - (a

2

+ 2a_) x } - a x - a^x

(5a)

Verzamel naar de derde machten van x

2 2 3 3

h

x = y - a

2

y + (2a

2

- a ) x + (a

2

+ 2a

2

a - a^) x

(6)

elimineer x door substitutie van de derde gelijkheid in

{k):

x = y - a ^

2

+ (2a

2

- a

3

) {y

3

- (3a

2

) x } + (a

3

+ 2a

2

a

3

- a^) x (6a)

verzamel naar de vierde machten van x

x = y - a

0

y + (2a

c

- a,) y - (5a

g

- 5a

2

a

3

+ a^)

'2 "3

(7)

elimineer x door substitutie, waarmee de oplossing wordt verkregen

2 2 "3 3

h

x = y - a

2

y + (2a

2

- a

3

) y - (5a

2

- 5a

?

a + a^) y

(8)

5

-zodat dus

b o b1 b2 b

3

\ = = = = =

0

1

"

a

2 (9)

2 a

2 -

a

3

- (5a

2

- 5a

2

a

3

+ a^)

(zie oplossing uit HÜTTE in vorige paragraaf)

Een algemene oplossing kan bijvoorbeeld gebruik maken van

machtverheffings-2 3

k

formules waardoor de co-factoren van y, y , y , y , ... in (3) rechtstreeks

gevonden kunnen worden. Het gecompliceerde van de oplossingen vindt zijn

oor-zaak in het feit dat deze co-factoren steeds met de reeds verkregen oplossingen

moeten worden vermenigvuldigd. Dit is duidelijk in te zien door aan het

voor-beeld de oplossing voor de vijfde macht alsnog toe te voegen, wat in de

volgen-de paragraaf wordt uitgewerkt.

k.

De inverse van een 5e graads polynoom als die van de

ke

graad bekend is

De volgende bewerkingen moeten nu worden uitgevoerd

^ • 1 . Berekeningen co-factoren van x uit (3)1 welke zijn voor

y : a_ stel a. _.

5 1,5

2

y : a ^ + a

g

a + a ^ + a ^ stel

&

2 5

y : a

1

( a

1

a ^ a ^ + a ^ ) +

&

2

( a ^ + a ^ ) + a ( a ^ )

of a, ( a

2 >

)

+

a

2

(a^)

+

a

3

(a^) stel

a ^

y : a, (a

3

^) +

^

( a ^ ) stel a ^

Yy

&1

(a

U j U

) stel a

5 > 5

o

-Het samenvattend symbool voor deze ontwikkelingen is dus als volgt gede-finieerd:

a , , .J. of a j . n i •-,- (10)

macht van y, som indices aantal a's, som indices U.2. Vermenigvuldiging met voorgaande oplossingen

Aan (5) wordt dus toegevoegd uit de ontwikkelingen van y de term

- a,-x of, uitvoeriger, (zie (9)), - b. (a ) x

2 Aan (5a) wordt bovendien toegevoegd uit de ontwikkeling van y de term

(- a2) {- ( a . ^ + a2a3 + a ag + a ^ ) x }

zodat aan (6) verder wordt toegevoegd (zie(10))

+ a2 (ag ) of, (zie (9)),: - b2 (ag $) x5

3 5 Aan(6a) wordt dan weer toegevoegd uit y , de co-factor voor x

(2a2-a3)|- {a1(a2 ^)+a2(a2 3)+a3(a2 g)} _ | x , of "D3^a3 5^ x

zodat aan (7) al toegevoegd is

- b3 (a3 j 5) - b2 (a2)5) - b1 (a1>5)

Aan (8) wordt toegevoegd uit y 9 de co-factor voor x

"3 C C

- (5a2 - 5a2a3 + a^) {- (a^ )} x , of - b^ (a^ J x

Uit (8) wordt dan tenslotte de co-factor b gevonden door te verzamelen

- 7 naar 5e machten van x dus

b5 = - a5 - b2a2 j 5 - b3a3 j 5 - V u

Een symmetrische uitdrukking is dan tenslotte

Vs.5

+

Vu.5

+

»3*3,5

+

V2.5

+

Vl.5

=

°

Alvorens hieruit b op te lossen enkele opmerkingen over het symbool a. .

5. Het gebruik van het symbool a. .

In (10) is het symbool a. . gedefinieerd als een som van al die producter die uit i elementen a bestaan waarvan de som van de indices j is. De reek:; is gebracht in een vorm (2) of (2a) waarvoor geldt dat

a = 0 en a„ *= 1

o 1

Uit (9) volgt dan nog bovendien dat b = 0 en b„ = 1

o 1

Voor het symbool a. . gelden nu de volgende eigenschappen

•*- »0

5 . 1 . a. . = 1 Namelijk voeg die a a n t a l l e n van i elementen a samen >ra^rvsü de som van de indices i i s . Bijvoorbeeld voor a, , i s e r a l v a s t een term die hierr.*n. voldoet

a1a1a1a1 = 1, £i = k

Voor het verkrijgen van de overige moet er dan minstens een element met index 0 bij zijn doch a = 0 en deze termen leve-ren geen bijdrage meer in de som van de producten.

8

-5,2. a. . = O indien j < i

Namelijk voeg i elementen a samen zodat de som van de indices j is. Daar j kleiner is dan i is er steeds minstens één element met index 0 bij doch a = 0 en de som van producten dientengevolge ook.

6. De berekening van b uit (11)

De berekening verloopt het vlotst door na uitschrijven van de samenvatten-de symbolen over te gaan op a = 1, ap = b, a_ = c, a. = d, enz.

Achtereenvolgens komt er dus

a1 , 5= a 5 = e a = aiai,. + apa-3 + a3ap + akai = 2 b c + 2 à a3 , 5 = S1 ( a2 , U} + a2 ( a2 , 3) +.a3 ( a2 , 2} waarxn waarin 2 a2 k = a1a3 + a?a2 + a3a1 = b + 2 c a2 , 3 = ala2 + a2al = 2 b a2 , 2 = ' ( b2 + 2c) + b (2b) + c = 3b2 + 3c X ï = a1 ( a3 , ^ + a2 ( a3 , 3} a 3 , ^= a1 ( a2 , 3) + a2 ( a2 , 2 ) = a1 ( a ^ g + a ^ ) + &2 = 3b a3 , 3 = 1 3b + b = kb 57

9

-Met de reeds gevonden waarden van b uit (9) namelijk

b1 = b2 = b3 = \ ° -1 - b 2b2 - c (5b3-5bc+d)

komt er dus voor (11) of (12):

b = - e + b (2bc + 2d) - (2b2 -c) (3b2 + 3c) + (5b3 - 5bc + d) (Ub)

Wat in schema wordt uitgewerkt tot

b c bd - 1 + 2 + 2 - 6 + 3 - 6 - 20 + k + 2 0 + 3 - 1 - 2 1 + 6 + '\k + 3 en dus b = lUb - 21b2c + 6bd + 3c2 - e 6. De algemene oplossing

Uit (12) volgt dat de algemene oplossing de volgende gedaante zal hebben: b + b a . + b „ a „ + . . . + b_a_ + b0a_ + a = 0

n n-1 n-1 ,n n-2 n-2,n 3 3,n 2 2,n n (13)

Deze oplossing is een modificatie van die van KNOPP die de volgende

10

-leiding geeft (pag. 121).

Stel gegeven

y = x + a x + a_x +

met i n v e r s e

2 3 x = y + t>2y + t>3y + .,

zodat geschreven kan worden

o o 2 3 2

y = (y + b

2

y + b y +...)+ a

g

(y + b

g

y + b y + ...) +

(1*0

waaruit volgt dat in het rechterlid alleen de term y moet overblijven en de

co-factoren, verzameld naar gelijke machten van y, moeten dan de waarde 0 opleveren.

Hieruit volgt nu dat zal moeten gelden voor de co-factor van

b

2

+ a

2

0

b3 + a2 ( b1b2 + b2b1 ) + a 3 = °

b + a_bn + a_b + . . . + a .. b . + a = 0

n 2 2 , n 3 3,n n-1 n - 1 , n n (15)

Ook uit deze recursie formule volgt de waarde van b indien die van de

° n

(n-1) voorafgaande b*s bekend zijn.

Opgemerkt wordt dat in (13) de omgekeerde substitutie heeft plaatsgevonden.

Daar de b*s weer in de a's moeten worden uitgedrukt verloopt de oplossing

vol-gens (13) eenvoudiger, zoals kan worden geconcludeerd door de volgende

uitwer-king te vergelijken met de berekening van b in paragraaf 5«

11

-T. De berekening van b_ uit (15)

De berekening verloopt als volgt:

b

5

=

-

a

2

b

2,5 *

a

3

b

3,5 " *k\? "

a

5

afgeleid werd de ontwikkeling voor de a. . i n paragraaf 6 die nu dus voor b. .

wordt

b

2,5

= 2 b

2

b

3

+ 2

\

b

3 j 5

= 3 b

2 +

3 b

3

\ 5

Ub,

en dus

2 3

2

v t ü

2

ü

3

T C U

V

"

"3

V J Ü

2

+ 3 b

3

)

~

% "

Hü

2' '

*5

b , = - a

0

(2b

0

b

0

+ 2b, ) - a

0

(3b^ + 3b^) - a,,

(kb.) -

a,

Invullen van de voorgaande oplossingen van b. uit (9) en het noteren in

enkele letters leidt tot

b » - b{2(-b)(2b

2

-c) + 2(-5b

3

+5bc-d)} - c{3(-b)

2

+ 3(2b

2

-c)} +

- d{U(-b)} - e

Het vormen van producten van voorgaande oplossingen kan iets meer rekenwerk

vergen dan in de vorige oplossing. De uitwerking wordt

b = - b {- lUb

3

+ 12bc - 2d} - c {9b - 3c} + Ubd - e

en dus weer

b = ll»b - 21b

2

c + 6bd + 3c

2

- e

12

-De beide type oplossingen kunnen dienen voor het uitvoeren van een con-trole op de uitgevoerde berekeningen.

Een derde berekeningsmogelijkheid wordt in de volgende paragrafen voorge-steld. Het uitwerken van de symbolen a. . of b. .is dan niet meer nodig, met

enkele hulptabellen kan dit schematisch vooraf plaatsvinden. Wel blijft het noodzakelijk vermenigvuldiging met voorgaande oplossingen toe te passen.

8. Enkele hulpstellingen en definities

Per definitie geldt voor het volgende symbool

m m!

f

r

l

r

2

r

3 )

r

f' V

r

3

]

Een macht van een som van twee termen wordt nu als volgt ontwikkeld

o 3 .. _ . r . r0 n=2

< *

+

y)

3

- l

f

r 3 r

\ x V

2

, I r. = 3

r

r

r

2

\

r

1

r

2

}

i=1

uitgewerkt / 3 \ o 3 ± / 3 '; 1 2 / 3 \ 2 1 / 3 \ 3 c \o 3 / x y + ( i 2 / x y + (2 l ) x y + ( 3 o ! x y 3 A o 2 A o 2 ,. 3 y + 3xy + 3x y + x

Nu nog eens voor een som vank termen van de volgende specifieke gedaante 2 "3 h "3 (ax + bx + ex + dx )

V / 3 \ , x

r

1 ,. 2v

r

2 , 3v

r

3 /.

hJk

n

r

k *• /> r r r \ ( a x ) ( b x ' (ex ) J (dx ) , £ *\. = 3

• ^ r ^ r ^ p

r

2

r

3

r

UJ i=1

x

57

13

-of

? / 3 \

r

l / 2

r

3 / U

r

1

+ 2 r

2

+ 3 r

3

+ kr

k

) i \

a b c d x

r ^ ^ . r . r ^ i

r

1 *2

r

3

r

U ;

In het algemeen kan een dergelijke ontwikkeling a l s volgt worden

gefor-muleerd.

m x. r^ r r.+2r_+ . . . +nr n

V / m \ , 1 2 n» 1 2 n v

) / \(a. a„ . . . a ; x , ) r . = m

L

•; r , r_ . . . r 1 2 n ' .

Ln

i

r , r . . . , r 1 2 n / 1=1

9. Uitwerking van de inversie

Het inverteren van de reeks (1) verloopt zoals in paragraaf 3 is

aangege-ven. Achtereenvolgens "worden berekend

2 3 m

y, y , y , •••» y

Uit deze uitdrukkingen worden dan achtereenvolgens gelijke machten van x

afgeplitst. Zo bevat

y de volgende machten van x: 1, 2, 3, U, ..., n

2

y de volgende machten van x: 2, 3, *t, ...» n, ...

y de volgende machten van x: 3,

h

t

..., n, ...

y de volgende machten van x:

k,

..., n, ...

y de volgende machten van x: n, .

waarbij de machten van x tot en met de n-de in rekening worden gebracht.

Bij ontwikkeling boven de vierde macht zijn dus onder andere alle

1U

-toren van de vierde graads termen nodig. Deze worden als volgt verkregen

Uit y

É [r r : . . . } K

1 a

2

2

••')

X 1 *1 »rp» • • • \ 1 2 * \ > r„+2r0+ . . . n 1 (16)

met als nevenvoorwaarde

r. + 2rn + ... + nr = k 1 2 n (17) d i t geeft de b i j d r a g e

/

1

\ k

io 0 0 1 V

= a , x Vervolgens uit y 2

I .

**•] »**p» • / 2 \ '_{\ /} r« r r i r2 !ri r2 • " Ha1 a2 r.+2r0+ ... n \ 1 2 o _ . x , ) r. = 2 / 1

weer met de nevenvoorwaarde dat de exponent van x gelijk aan k is

f 2 '\ 2 k f 2 'O 2 0 01 a2X 11 0 1 0 ala3X

/ 2 . Ï 4 (a2 + 2 a ^ )x

Vervolgens uit y weer slechts een term

/ 3 \ 2 k [2 1 0 0) a1a2X =

Tz

—S

Tenslotte u i t y de term

/ 1» \ Xh

U o o I

\ / a.-x =

TT

a.x

57

15

-Het blijkt dat de cofactoren hiermede vrij gemakkelijk kunnen worden

ver-kregen en wel zonder het uitschrijven van alle samenstellende factoren. In

fei-te wordt dit gedaan in de polynomiaal coëfficiënfei-ten. De uitwerking hiervan kan

heel geschikt in tabelvorm plaatsvinden, hetgeen zelfs aanbeveling verdient daar

op den duur de beide voorwaarden (.16) en (17) tot een groot aantal

mogelijkhe-den voert.

10. De oplossing in tabelvorm

De voorwaarden waaraan de exponenten r. moeten voldoen voor het vinden van

1

alle termen die tezamen de co-factor van n

e

macht van x bepalen; uit

1 2 m

y » y »•>••» y »

z

i J

n

r

1

+ r

2

+ r

3

+ T

k

+

'"

+ T

n~

1

'

2> 3

' ••*'

m

r. + 2r_ + 3r

0

+ 4r, + ... + nr = n

1 2 3

h

n

Dit systeem van twee vergelijkingen kan, na aftrekken, worden geschreven

als volgt, waarin wordt gevraagd alle oplossingen te bepalen die voldoen aan:

r

2

+ 2r + 3r^ + .... + (n-l) r

n

= n-1, n-2, n-3, ..., n-m (18)

en

n

r = m -

l

r. » 0 (19)

1

i=2

1

-dus

n

m >

l

r, (20)

i=2

Het opstellen van alle oplossingen verloopt nu in principe als volgt.

Al-lereerst worden die oplossingen van (18) bepaald die een constante som tot

uit-komst hebben. Teneinde er voor zorg te dragen geen oplossingen over te slaan

wordt met de kleinste gelijke sommen begonnen en de tabel van rechts ingevuld

16

-(zie onderstaande hulptabel waarin de procedure wordt toegelicht). Bijvoorbeeld bij het bepalen van de r.'s waarvoor de som Tir... = 6 wordt onder r„ begonnen,

i L 1+1 7

en daarna teruggewerkt. Wordt bijvoorbeeld ingevuld r. = 1, dan moet dit nog worden aangevuld met r_ + 2r_ = 6 - 3r = 3. De oplossingen voor dit geval

staan reeds eerder uitgewerkt en kan worden overgeschreven uit het voorgaande gedeelte van de tabel.

In de bijlagen wordt een volledige tabel gegeven tot en met r1 p.

Voorbeeld bepalen gelijke sommenE ir

i+1 g e l i j k e som

I

ir

i+1

0 1 2 3 k r2+ 2 r3+ 3 rl t+ I ^ r5 0 1 0 1 2 0 0 1 1 1 3 0 0 0 1 1 0 1 0 2 2 1 4 h L i 0 1 1 2 1 2 3 1 2 2 3 k h g e l i j k e som i r . „ 1+1 5 6 rg+ 2 r + 3 r ^ + U r5+ 5 r g + 6 r 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 3 1 5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 2 1 1 1 3 0 1 2 2 k 1

6

L x 2 2 3 3 k 5 1 2 2 3 2 3 U lt 5 6

Met behulp van deze tabel worden nog enkele volgende oplossingen voor b. gegeven. Ter controle werden deze oplossingen ook met de eerder besproken me-thoden berekend, (zie bijlagen)

Hoewel de hoeveelheid schrijfwerk voor het verkrijgen van verdere oplos-singen aanmerkelijk toeneemt geeft de volgende rekenwijze de mogelijkheid op

17

-een systematische wijze de co-factoren b van de inversereeks uit te drukken in de co-factoren a van de oorspronkelijke reeks.

Literatuur

KNOPP, IC, 1956 - Infinite sequences and series. New York, Dover Publications (translated by F. Bagemihl)

HÜTTE, 1959 - Mathematische formein und Tafeln. Berlin (I.C.W. 11/133, p.96) Aantekeningen bij de bijlagen

Bijlage 1

Deze bijlage bevat alle gelijke sommen t/m 10 volgens vergelijking (18): pag. 15. Deze hulptabel geeft dadelijk alle combinaties en machten van de a. (= b, c, d, ) die in de inverse reeks voorkomen.

Bijlage 2

Deze bijlage bevat een schematisch rekenvoorbeeld voor het bepalen van b^ met behulp van bijlage 1. De kolommen waarboven staat "Uit hulptabel, bij-lage 1" worden het eerst ingevuld. Daarna wordt ingevuld de waarde van

(m - 2 r. ) en wordt het parautatissymbool berekend volgens pag. 12 waarna de

vorige oplossingen worden ingevuld. Tenslotte worden in tabelvorm de nieuwe termen met de voorgaande oplossingen vermenigvuldigd en vindt sommatie plaats. Bijlage 3

Als bijlage 2 voor b„. Bijlage k

De berekening van b/- volgens de oplossing van KNOPP (formule (15), pag. 10). Bij het toepassen van dit type oplossing kunnen nog met voordeel de deel-resultaten b. . apart berekend en verzameld worden (zie bijlage 5).

Bijlage 5

Enkele uitgewerkte en in a. (= b, c, d, ) uitgedrukte ontwikkelingen van b. ..

i,J

18

-Bijlage 6

In deze bijlage staan de co-factoren vermeld voor een inverse reeks tot , 10

en met y

Ten einde de opsomming overzichtelijk te houden zijn de samenstellende

3 termen xn groepen bxjeen gevoegd en wordt geschreven voor bxjvoorbeeld b , bc

en d de meer algemene reeks b o, bc, b d. Een zekere regelmaat in het geheel valt niet te ontkennen, doch er is vanaf gezien deze nader te onderzoeken. Wel blijkt steeds dat in de n co-factor alle termen van de (n-l)ste weer optreden, nu vermenigvuldigd met b en met andere constanten. Tevens komt dan weer een aan-tal nieuwe termen voor.

Deze bijlage geeft dus de oplossing van het probleem: Indien gegeven is dat

2 3 ï* 5 §" 7 8 T~9 . 10 y = x + bx + ex + dx + ex' + fx + gx' + hx + ix? + jx bepaal dan x = y + b2 y + b3

_y

₃

₊

\

_{y +}

+ b10y

10

waarin b. = f. (b, c, d, e j) met i = 2, 3, U, ... 10.

Voor elk speciaal geval zal nagegaan moeten worden of x = x(y) conver-geert en zo ja binnen welk interval dat het geval is. In deze nota is slechts de formele rekenwijze aangegeven.

o f CO I N f-. I A -4-TA U CM (^ CO c^ vO I A -* r A CM ^ X - H V u W c M O + • H . U • H ^-N II *-• T• T• V * -• -• -• -• V V T " • • • • *r • • CM s r " r -" * ~ i ( \ l • K - r A <r- • CM - ^ r f f t i n t^r O J c \ j t A C M t^r A 3 i A t^r A < t m 3 i n ^ O C ^ -I N * r • r -• -• v V* • • . • r v T -• -• . r - -• -• c -• - -• ( \ l r -• ^ - . CM v - • -cf pT\ CM * r . ^ r - « C M . ^ - K N • r - • C\J -o- < f\) r r o iPi • CM -=J- *J3 co T - C J P J r A W f A - d - C M l A f A - t l A f O i - t f ^ - i A ^ O - ï l A ^ N c O 00 O S-, ^ CO s-, I A -* I A U CM U •J^ co I N V Û I A -3-r a CM r -X M A J V H o T - • + • u • H -w_Y G \^/ II • O O <r v- T-• CM <r- CM CM ^~ • r-• V" I A r - CM I A PA *• r . CM * -. - r -. CM - * T* C\J CM rf\ -tf--* *-• s r • r * r -• r - . ( \ | r • v • C\J *-. K> i A •c- CM CM rO\ N > -#• m I A • r~ • • T - r -• -• -• -• ( \ | r r . r - • • %r < I A ( \ l r • r - - C M » ^ - K \ . C M - = f \ D r ( M C \ l f A C \ ) r A ^ - K > ^ t i A v £ i ^D

r - s- v- V CO v- ^- K- v- *-C M *-C M r r r r r r r « \ O l n n i r r r r c- . c\J T- . r- • . v- . i n n i r . • CM s- . 10, c\l ^ • J K M V r K\ . v - - P O ^ j - . v - • <M s- CTN i n . 0 0 . s- r ^ . <M -a- vo *- . (V 4 - r ifi ü-\ N . ftl 4 v c <» o Wc\j V i l v m a i m w m j - i M j f t K x j - i A W i A m j i - j - i A ï D m ^ m ^ i n j f i A ^ c ^ j - ^ i A v D ^ o N i B i A v D N m a v o W ^ T ~ ^ ~ Ç -v- r - v" r - v C\J r - V r - v •v-IA Ol OJ r ï - r r X T- • rA C\J r - - ^d- K\ C\J V (M . s r KN • v . C\J ^ T V . OJ r K \ I A . - ^ f A « C N J ^ J - v ^ ^ - r A l A r ^ C ^ f-i S Wol V » r t \ l < \ i i < \ ( \ J r A ^ - C \ J K > f f \ 4 - t r \ r A r ^ - t 4 - L r \ ^ r O 4 - i A 4 - i A ^ 0 N i r \ \ i > [ ^ a ) { > w.

I A II S I C W OD c C T-<1) E " O) to 4J ^ | +> j a • H 3 I

s

X> I A + rA j a I A 1 \~ CM 1 ^J-X I -» _\~ t-, > <D bD v-^ \ Q X I CM T ) rA o CM <M O X I t» X I J 3 T Ï X I O X I CM CM ^ - v ^ f A v O - * I A •a o T- o o CM o o r - o *~ O 0 ^ ~ 0 r A ^ ~ o CM O ^~ O W C M v j W O O O r- O r o l CM rA -=*- v u CM CM V fA CM V CM V* T" o X I •a o o I A X I I A X I X I •o CM X ) CM O X I <H 'bO .5 •P • H 3 r -r A - * 1 1 O r - CM I A 1 1 O CM Q V" r - RS 1 CM Q CM I A 1 1 1 T rA r v D O m 1 1 CM <r-r~ r CM K> 4 - I A \ 0 O II \~ 1 « CM 3 -1 c o CM 00 CM \— « V l I • a o

8

W 3 •a

CU bO ca ii > è ca CM o W LA -f PA CM CU c-. II c a> bO •5 o * - i a . o / - ~ - i C T -tä S II M <a co - p - ^ < M C M : a > o o M eu . x i r -co • P CU O , bC r H CO 3 r H X ! T T » -rt + > X I • H 3 • H M W À i H S3 V CO • p CU O . t£ r - i CO 3 r-i • P a • H 3 M O O o f, W CU 3 g O C M ; CM " f-, X I ^~ M CO • ~ N « s <M M T -M O -[ H v D M L A M < f M r A M <M M M bO C M O • a o X I CO • H M e W<M v s + • H M • H W r - A I X I T -bD r s -O O O o o o *-v O X I S3 1 T 3 CU O X I C M CM CM CM s -* - O T - O O s - o o O T - O O O v A l CM v A l I A PA X I V A l X I A l O A l A l - O X I ü X I CU PA r A \0 r A v -v - O r - A l o O N O c - O O V v CM I A A l CM v PA •* - a - m X ) X I <u i CM O PA + 2 Ü 7 CM° O X I S3 r -l A CM + 1 f A - 3 " X I X I L A - * I r -PA O CM X I X I T j X I O - * A l - * O L A V s -S v O r -m r o C M o V - CM PA P A 3 PA CM T CJ T -- = f LA PA CM ^ 0 X I <M 1 S3 + O X I r^ + CM S3 0 0 CM 1 • O CM X I 8 ₁ o PA S3

t

₊ L A X I CM ^ i -X I v O ^-L A *-v O ^~ /-% cf ca M > CU bO *~s S>-S3 T o r ~ o r^-o 13 PA X I 03

8

i S i PA I v O + PA 1 vl3 L A O * r S & % 1 « o L^-+ C i CM o n v | > 1 - = t £A O CM R A l ^ W K \ J f I A vO N 1" 8 ? o CO « * CM W bO I CU CO + PA <M X I co CU A l X I PA I 8 o PA I A I

Bijlage 4. De berekening van de cofactor b, uit £ a.b. ,=0, b. .=1, b. .=0 voor i > j , b = 1

D . _ -J 1 1 , © 1 , 1 1 , 0 " b1,6 • b6 b2,6 = bl( bl , 5} + b2( b1 , 4} + b 3 ( bi ,5 } + Vbi ,2 } + b5( b1 , 1} = b1b5 + b2b4 + b b? + b4b2 + b$bi = 2b5 + 2b2b4 + b3 \ 6 = Vb2,5) + b2( b2 , 4) + b 3 ( b2 , 3) + b4 = b1(b/ ]b4 + b2b3 + b3b2 + b^) + b2(b ib5 + b2b2 + b^) + b3(b ib2 + b^) + b4 = 2b4 + 2b2b3 + 2b2b3 + b3 + 2b2b3 + b4 = b3 + 6b2b3 + 3b4

\6 =

b

l

(b

3,5

) +

W

+ b

~

= b ~l

W

+ b

2

( b

2,3

) +

\ |

+ b

2J

b

1

( b

2,3

) + b

2

+ b

'_

Q

b i

(b b

3 +

b

2

b

2

• b

3

b >

+

b (

b i

b

2 +

b^)

+

b

3

j

+

b

2 |

_b

i

(b

i

b

2 +

b ^ ) + b

2 = 2b, + b2 + 2b2 + b , + 2b2, + b„ + b 3 2 2 3 2 2 3 = 6b2 + 4b3 + b . b5 , 6 = bi( b4 , 5} + b2

*

b

1 L

b

1

(b

3,4

) + b

2_!

+ b

2

= b = b = 5b fb f b (b„ , ) + b0 j + b j + b„ 1 ! 1 L 1 2,3 2 J 2 J 2 t b Fb (b b + b b ) + b "]+ Kl* b„ 1 | 1 L 1 1 2 2 1 2 J 2 j> 2 b6 , 6 = 1 waaruit volgt a b - + a (2b + 2 b?b4 + hJ + a^b? + ^b?b? + 5 b4^ + a4^8 b2 + ^b3 ^ + a5^5 b2^ + a6 = °

overgang op reeds verkregen oplossingen en énkele l e t t e r s geeft

b6 + b ) 2d4b - 21b2c + 6bd + 3o2 - e) + 2(-b)(-5b5 + 5bc - d) + (2b2 - c )2 V + + c f - b3 - 6b(2b2-c) + 3(-5b5 + 5bc - d) l + d l 6b2 + 4(2b2 - c) ? - e(5b) + f = 0 dus

z

b6 1 1 b5 28 10 4 +42 b3c -42 -10 - 4 -1-12 -15 -84 b2d 12 2 6+8 28 bc2 6 1 6 15 +28 cd -3 -4 -7 be -2 -5 -7 f 1 +1 = 0

Bijlag; 5.

Uitkomsten van deelberekeningen ten behoeve van de oplossing volgens formule (15) pag. 10.

b2 ,5 » "2 b \ » - "3b 3 b = -14b + I2bc - 2d '5 2 K c = 9b - 3o \ 5 » "4 b 4 2 2 h , , = 42b - 56b c + i4bd + 7c - 2e 2 . 6 3 b„ , = -28b + 21bc - 3d 3'6 2 b, , = 14b - 4c 4,6 b5,6 = "5 b b = -132b + 240b c - 72b2d - 72bc2 + lbcd + 1obe - 2f ' 4 2 2 b,. „ = 90b - 108b c + 24bd + 12c - 3e 3.7 3 b. = -48b + 32bc - 4d '? 2 bc = 20b - 5c 5j7 b6,7 « "6 b

bû CO :? c o > • H

~-° °

LA -3" X I X> CM O r A r A + 1 l ^ -x i o CM o co ^-₊ T 3 toi <0 X I (M X I

P »

+ 1 X ) „ • o o X I <r + , o CM O o X I CM VT 1 • ö «> o o X I CM t^- co i + b D <M O a xi 00 T -+ i O Ti I A <M X) X I O I A er* er* C^ -=f 1 + X I o 13 OJ X I X I X I X I CM X I g > C - I A CA CM CO 0 > ^O t A -d- ai v- -3- x-1 + x-1 + x-1 0 0 X I T3 a> X) T3 xi o X I I A -* CT> 1 + CM CM X I O X I I A vO I A + 1 CD <n O O X I o X I o crv o 1 + .c bfl O X I X I cr> v-+ i bO - P a • H *- . T -X I X I T -1 CM X I O o X I X I X I T-. IM 1 r A X I X I CM X I L A 1 -* X I ." LIS .+ T 3 O X I T -1 I A CM X I X I -=r r-_{V - CM} .+ 1 L A X I

s

v.() + o o o X I + CU o X I *-1 X I o -=J- [ A X I X I CM O-• * CO 1 + v£> X I •Ö CM X I CO CM 1 O 1 o X I 1 ^ -+ •a o o X I + •n o X I T-1

t \ l ( > L J m i f \ co TJ Ü o O X> X! X> CM I A t O O O O CO O CM (Al Ü (Ai Jd O ^r T 3 <AI O X J o v£> v£) C4 O - Q L'A UA j o XI o CM C M ° X> vO O CM O X> co CM o O £1 O O L r rc\ CM £1 XI X I A O C O O <J. O CO vj_ CO c o o o L A X I CM j n o x> .c O v CM co vO -co -*--3- o> N. 1 -X ! -X> I A \— O O L3 J3 rc\ CM XI XI • H r -• o O X ! T