Risicowaardering voor levensverzekeraars : een onderzoek naar de nauwkeurigheid van waarderingsmethoden van een garantie op een beleggingsverzekering

U

NIVERSITEIT VAN

A

MSTERDAM

ACTUARIËLE

W

ETENSCHAPPEN

B

ACHELORSCRIPTIE

Risicowaardering voor levensverzekeraars

Een onderzoek naar de nauwkeurigheid van

waarderingsmethoden van een garantie op een

beleggingsverzekering

Auteur:

M.A. M

ATTENS Studentnummer:10532617

Begeleider:

Drs. R. B

RUNING

AAG

23 juni 2016

Blok 5 en 6 2015/2016

Inhoudsopgave

1 Inleiding 3

2 Theoretisch kader 5

2.1 Het Black-Scholesmodel . . . 5

2.2 Garanties op beleggingsverzekeringen waarderen met het Black-Scholesmodel . . . 7

2.3 Alternatieven . . . 9

2.3.1 Benadering van de pdf van afhankelijke stochasten . . . 9

2.3.2 Voorgestelde waarderingsformule (VWF) . . . 10

2.4 Verdisconteringsmethoden en schatting van de rendementsvariantie voor Black-Scholes . . . 12

3 Opzet van het onderzoek 14 3.1 Kalibratie Black-Scholesmodel . . . 16 3.2 Kalibratie Monte-Carlosimulaties . . . 16 3.3 Intrinsieke waarde . . . 19 3.4 Teststrategieën . . . 19 4 Resultaten en Analyse 20 4.1 Koopsom . . . 20

4.2 Toekomstige premies en kosten . . . 22

4.3 Risicopremies . . . 25

6 Bibliografie 33 Appendices 35 A Appendix I 36 B Appendix II 37 C Appendix III 38 D Appendix IV 40 E Appendix V 42

1. Inleiding

Voor de opbouw van het pensioen hebben veel mensen in het verleden een beleggingsverzekering afgesloten. Bij zo’n verzekering betaalt een polishouder geld aan de verzekeraar die dit geld voor de polishouder belegt en op de einddatum van de polis wordt de waarde van deze beleggingen uit-gekeerd aan de polishouder. Voor de polishouder bestaat het risico dat er aanzienlijke waardever-mindering optreedt van het ingelegde geld door tegenvallende rendementen op de beurs. Daarom hebben enkele verzekeraars in het verleden veel beleggingsverzekeringen verkocht met een gega-randeerd jaarlijks rendement op het ingelegde geld, oftewel de verzekerde weet bij aanvang van de polis al wat het minimumbedrag is dat uitgekeerd zal worden op de einddatum (Bruning, 2016). In het kader van nieuwe wetgeving (i.e. Solvency II) moet de verzekeraar de marktwaarde van de risico’s die hij loopt inschatten. Hierdoor moet de verzekeraar een goede en bruikbare manier vinden om het risico te waarderen dat de gegarandeerde uitkering hoger is dan de fondswaarde op de einddatum van de polis. Om deze reden worden in dit onderzoek verschillende waarderingsme-thoden van een garantie op een beleggingsverzekering beoordeeld op nauwkeurigheid.

De meest accurate manier om de waarde van de garantie te bepalen is het gebruik van Monte-Carlosimulaties. Hierbij wordt het verlies op de einddatum van een polis voor de verzekeraar, dat gelijk is aan het maximum van nul en de garantie, verminderd met de fondswaarde, zo vaak ge-simuleerd dat er een accurate verwachtingswaarde kan worden berekend. Helaas is dit een vrij omslachtig methode, omdat het simuleren vaak voor veel (verschillende) polissen gedaan dient te worden en daarom erg veel tijd kan kosten. Derhalve wordt er gezocht naar analytische for-mules om zo modellen snel te kunnen kalibreren en tot waardebepaling te komen. Een van de mogelijke manieren om de verwachting van het verlies gegeven de hoogte van de gegarandeerde uitkering voor de verzekeraar te waarderen, is door dit te beschouwen als een optie. Voor

op-ties zijn waarderingsmodellen ontwikkeld, zoals het Black-Scholesmodel. Het is echter maar de vraag of het Black-Scholesmodel goed functioneert wanneer er toekomstige betalingen, zoals pre-mies of kosten in het spel zijn bij een beleggingsverzekering en deze apart worden gewaardeerd (Dijkshoorn, 2014). Omdat er al enkele waarderingsmethoden zijn ontwikkeld die (mogelijk) van toepassing zouden kunnen zijn, worden deze in dit onderzoek uitgelicht. Daarentegen staat een model dat een transformatie omvat van het door Dijkshoorn (2014) gebruikte model (gebaseerd op Black-Scholes), welke momenteel door verzekeraar ASR onderzocht wordt (voortaan te noemen de voorgestelde waarderingsformule of afgekort de VWF), centraal in dit onderzoek. De vraag is in hoeverre deze VWF tot een nauwkeurige waardebepaling komt van het verwachte verlies door het geven van een garantie. Dit wordt onderzocht door de uitkomsten van de waardering van de garantie te vergelijken met de waardering op basis van Monte-Carlosimulaties. Ook is het belang-rijk daarbij parameters, zoals de volatiliteit van het jaarlijks rendement te laten variëren, om zo tot een afgewogen oordeel te komen. Later wordt dieper ingegaan op de precieze wijze van kalibratie en de teststrategieën van het model.

Om te komen tot een afgewogen oordeel wordt vanwege het belang van het Black-Scholesmodel voor meerdere waarderingsmethoden, waaronder de voorgestelde waarderingsformule door ASR, in hoofdstuk 2 een beschrijving van dit model gegeven. Daarnaast wordt ingegaan op de resulta-ten van andere onderzoeken met betrekking tot verschillende waarderingsmethoden en wordt het idee achter de alternatieve waarderingsformule van ASR geschetst. In het derde hoofdstuk wordt ingegaan op de exacte modelopbouw van de VWF en wordt een recursieve waarderingsformule ge-specificeerd, op basis waarvan het Monte-Carlomodel gekalibreerd kan worden. Tevens worden de gebruikte databronnen en de manier waarop deze data gebruikt worden benoemd. Tot slot worden strategieën behandeld waarmee de nauwkeurigheid van het model kan worden getest. Hoofdstuk 4 behelst de resultaten van de kalibratie van de modellen. Daarnaast wordt er in dit hoofdstuk ook een analyse gegeven van deze resultaten. Dit gebeurt in een paragraaf-structuur met betrekking tot de productspecificaties. Allereerst wordt de situatie waarin een koopsom betaald wordt en er geen (toekomstige) kosten zijn behandeld, waarna er toekomstige premies en risicopremies aan het contract worden toegevoegd in de daaropvolgende paragrafen. Tot slot wordt in hoofdstuk 5 een conclusie getrokken uit het verrichte onderzoek met betrekking tot de nauwkeurigheid van de voorgestelde waarderingsformule.

2. Theoretisch kader

Het waarderen van een garantie bij een beleggingsverzekering staat dus, zoals beschreven in de in-leiding, centraal. Brennan en Schwartz (1976) beschrijven in hun studie hoe de evenwichtspremie voor een beleggingsverzekering met een garantie en met periodieke premiebetalingen kan worden berekend. Daarvoor proberen zij met behulp van een hedging-strategie een differentiaalvergelij-king af te leiden die alleen numerieke oplossingen heeft. In de studie van Brennan en Schwartz (1976) wordt expliciet opgemerkt dat een analytische oplossing voor het waarderen van de ga-rantie op de einddatum, dat aangemerkt kan worden als een putoptie voor de polishouder, niet bestaat. Helaas is een numerieke oplossing een ongewenst alternatief omdat, zo zegt Dijkshoorn (2014), een numerieke benadering voor grote polisbestanden erg veel tijd kost om door te rekenen. Dijkshoorn (2014) onderzoekt daarom of een analytische benadering met het Black-Scholesmodel enige nauwkeurigheid heeft wanneer er ook cashflows voorkomen binnen een beleggingsverze-kering na de afsluitdatum. Ook de voorgestelde waarderingsformule (VWF), zij het in indirecte vorm, maakt gebruik van het Black-Scholesmodel. Daarom wordt eerst een nadere beschouwing van het Black-Scholesmodel gegeven.

2.1

Het Black-Scholesmodel

Een beroemd model om opties mee te waarderen is het Black-Scholesmodel (BS), vernoemd naar de heren Fischer Black en Myron Scholes die dit model publiceerden in The Pricing of Options and Corporate Liabilities(1973). Dit model is gebaseerd op een aantal assumpties die ook wel de “ideale omstandigheden“ worden genoemd (zie Appendix I). Vanuit het idee dat het uitschrijven van voldoende callopties (oftewel short gaan) een risicoloze hedged positie kan creëren wanneer

iemand een aandeel in bezit heeft, dan is het duidelijk dat, gegeven dat het aantal callopties dat ie-mand short continu wordt aangepast aan veranderingen in de prijs van het aandeel1, het rendement op deze beleggingen gelijk moeten zijn aan de risicovrije rentevoet (1973, p.641). Door dit resul-taat leiden Black en Scholes (1973) een differentiaal vergelijking voor de prijs van een calloptie af die slechts één oplossing heeft. Deze oplossing geeft een model voor de waardering van een optie met een aantal invoerparameters die niet stochastisch worden verondersteld, nog afhankelijk van risicopreferenties. De lijst met invoerparameters is als volgt:

r De risicovrije rentevoet (intensiteit) K De uitoefeningsprijs van de optie

S(t) De waarde van de onderliggende activa op moment t T De einddatum van het optiecontract

σ2 De marktvolatiliteit van het rendement c De calloptieprijs

p De putoptieprijs

Gegeven deze parameters kan de marktwaarde van een calloptie geschreven worden als: c=Max(S(T)-K, 0)

En van een putoptie:

p=Max(K-S(T), 0)

Als N(d) de notatie is voor de cumulatieve distributie functie (CDF) van een normale verdeling, dan wordt het resultaat van Black en Scholes (1973) weergegeven door:

c=S(0)N(d1) − Ke−rTN(d2)

voor een calloptie en

p=Ke−rTN(−d2) − S(0)N(−d1)

voor een putoptie. Waarbij d1en d2gelijk zijn aan:

d₁= ln( S(0) K )+(r+σ 2 2 )T σ √ T en d₂= d1− σ √ T

Een van de belangrijke veronderstellingen van het BS-model is dat de kansverdeling van de waarde van de onderliggende activa lognormaal verdeeld is, met een constante variantieparameter (1973, p. 640). Het rendement op de onderliggende activa zou een random walk with drift zijn, oftewel:

∆S(t)

S(t) = µ∆t + σ ε

√ ∆t

waarbij ε standaard normaal verdeeld is en µ het verwachte rendement per tijdsperiode voortstelt. Echter, deze veronderstelling is mogelijk niet helemaal valide. Zo uiten Pastor en Stambaugh (2012) bijvoorbeeld kritiek op de aanname dat de variantie van dit rendement lineair stijgt in de duur van het optiecontract. Een ander punt van kritiek is dat extreme verliezen die mogelijk zijn onder deze aanname van lognormaliteit onwaarschijnlijk zijn bij voldoende risicospreiding. In het geval van voldoende diversificatie zou men alleen systemisch risico overhouden en, zo luidt de kritiek, zal de overheid bij extreme marktbrede verliezen ingrijpen (Cornell, 2009). Daardoor zul-len de meest extreme verliezen die onder de modelaannames wel mogelijk zijn in de praktijk niet voorkomen en begrenst de overheid als het ware de kansverdeling. Zo wordt de waarde van put-opties overschat en de waarde van callput-opties onderschat. Beide kritiekpunten zijn plausibel doch moeilijk te kwantificeren. Om deze redenen is het bij het beoordelen van modellen die gebaseerd zijn op het BS-model altijd van belang de vraag te stellen of er geen geschiktere, mogelijk meer geavanceerdere methodes beschikbaar zijn.

2.2

Garanties op beleggingsverzekeringen waarderen met het

Black-Scholesmodel

Een garantie op de einddatum bij een beleggingsverzekering is voor de polishouder equivalent aan een putoptie. Immers, de polishouder heeft op de einddatum het recht de onderliggende activa van zijn of haar beleggingspolis te verkopen tegen het maximum van de marktprijs en de garantie

die gegeven is door de verzekeraar. Wanneer de marktprijs hoger is dan de garantie, dan zal het recht tot verkoop door middel van de optie niet worden uitgeoefend. Echter, in het geval dat de marktwaarde onder de garantiewaarde ligt zal de verzekeraar zijn verlies moeten nemen. Dat de verzekeraar bereid is dit verlies te nemen heeft te maken met het feit dat bij het afsluiten van de polis (oftewel de putoptie) een toeslag op de premie is ontvangen. Wanneer de polishouder bij het afsluiten van de polis de premie in een keer als koopsom betaalt aan de verzekeraar, dan kan de prijs voor de garantie feilloos met behulp van de BS-formule worden bepaald.

Anders wordt het wanneer er periodieke betalingen in het verzekeringscontract zijn opgeno-men. Dit kan in de vorm van kosten zijn, maar ook en voornamelijk in de vorm van maandelijkse of jaarlijkse premies. Dijkshoorn (2014) toont aan dat bij toevoeging van toekomstige betalingen aan een beleggingsverzekeringspolis er aanzienlijke verschillen tussen de waardering op basis van MC-simulaties en waardering met behulp van het BS-model zitten. In het onderzoek van Dijks-hoorn (2014) worden alle toekomstige premies verminderd met de kosten beschouwd als aparte putopties. Voor elk ingelegd premiebedrag bouwt de polishouder in haar studie een deel van de ga-rantie op de einddatum op. Tevens is voor elk van deze putopties de looptijd van het optiecontract anders, want ook al is de einddatum voor al deze opties hetzelfde (namelijk de einddatum van de polis), het moment dat deze opties worden aangeschaft is (voor elke premiebetaling) anders.

Het probleem dat schuilt in deze waarderingsmethodiek is dat er afhankelijkheid tussen deze optiecontracten bestaat die nu niet wordt meegenomen. Dit komt doordat het garantiebedrag wel-iswaar gebaseerd is op de totale inleg, maar het rendement dat geboekt wordt op elke ingelegde spaarpremie anders is. Daardoor ontstaat de situatie dat een ingelegde spaarpremie die beter ren-deert dan een andere tranche van de spaarpremies eventuele verliezen zou kunnen compenseren op de einddatum, waardoor de verzekeraar geen verlies lijdt. In het waarderingsmodel dat Dijkshoorn (2014) beoordeelt, wordt de schatting van het verlies voor de verzekeraar door de garantie bere-kend door de waarde van elke ingelegde spaarpremie op de einddatum te vergelijken met het deel van de garantie dat gekoppeld is aan deze spaarpremie. Wanneer de waarde van de beleggingen die zijn aangekocht met deze spaarpremie hoger zijn dan het gekoppelde deel van de garantie is het verlies voor de verzekeraar op dit deel van de inleg gelijk aan nul. Het probleem is dan dat goed renderende beleggingen niet meer kunnen compenseren voor slecht renderende en dat er zo een overschatting van het verlies ontstaat. Dijkshoorn (2014) concludeert daarom dat waarderen door

het toepassen van BS op de afzonderlijke ingelegde premies onnauwkeurig is. Deze onnauwkeu-righeid komt voornamelijk ook tot uitdrukking in de relatieve fout van het BS-model wanneer er een risicopremie voor overlijdensrisico in rekening wordt gebracht aan de polishouder, waarbij er een vast bedrag wordt uitgekeerd bij overlijden en de voorziening is gebaseerd op de fondswaarde.

2.3

Alternatieven

2.3.1

Benadering van de pdf van afhankelijke stochasten

Een andere mogelijkheid om de verwachting van het verlies door een garantie op een beleggings-verzekering te modelleren wanneer er toekomstige betalingen in het spel zijn wordt aangedragen door Jori (2008). Omdat de fondswaarde op de einddatum een som van afhankelijke lognormaal verdeelde stochasten is, stelt Jori voor om de kansverdeling van de fondswaarde te benaderen met een Edgeworth approximatie met een lognormale verdeling. Hierbij wordt deze benadering zo ge-daan dat de eerste twee momenten van deze Edgeworth approximatie gelijk zijn aan de eerste twee momenten van de werkelijke kansverdeling van de som van afhankelijke lognormaal verdeelde stochasten (ondanks dat er geen analytische formule voor de kansverdeling bestaat kunnen wel de eerste twee momenten van deze stochast worden berekend). Met behulp van deze benadering voor de kansdichtheidsfunctie kan vervolgens de verwachte waarde van het verlies door de garantie be-rekend worden. Deze benadering van Jori (2008) blijkt bij een gegarandeerd rendement van twee procent per jaar en bij een niet al te hoge marktvolatiliteit een relatief kleine foutmarge te hebben ten opzichte van MC-simulaties.

Een beperking van het model van Jori is dat het zich alleen beperkt tot de situaties dat de in rekening gebrachte risicopremies onafhankelijk zijn van de fondswaarde. Vaak wordt het risicoka-pitaal voor de verzekeraar berekend door het verschil te nemen tussen de uitkering bij overlijden en de fondswaarde (de aangehouden voorziening). In het geval dat de risicopremie wel fondswaar-deafhankelijk is, aldus Dijkshoorn (2014), kan het gebruik van de benaderingsmethode van Jori (2008) leiden tot onderschatting van het risico voor de verzekeraar. Immers, wanneer het rende-ment tegenvalt, zal het risicokapitaal voor de verzekeraar groter worden en zal deze een hogere risicopremie in rekening moeten brengen aan de polishouder. Daardoor zal de fondswaarde nog

verder afnemen, waardoor de kans toeneemt dat het garantiekapitaal op de einddatum niet gehaald wordt en daarmee ook het verwachte verlies voor de verzekeraar toeneemt. Om deze reden is Jori’s benadering niet in alle gevallen even bruikbaar, maar in sommige situaties, afhankelijk van hoe de verzekeraar zijn risicopremies berekent, is het mogelijk een betere waarderingsmethode dan de door Dijkshoorn (2014) beoordeelde methode met BS.

2.3.2

Voorgestelde waarderingsformule (VWF)

Een mogelijke verbetering ten opzichte van een benadering met BS is de voorgestelde waarde-ringsformule (VWF) die onderzocht wordt door ASR. Deze formule waardeert de Time Value Of Guarantees(TVOG) en is afgeleid van de volgende equivalentie:

IW+ TV OG = Optiepri js

Hierbij is IW de intrinsieke waarde van de optie. De definitie van de intrinsieke waarde van een optie (dat in dit geval de intrinsieke waarde van de garantie voor moet stellen) is de waarde die de optie zou hebben als de waarde van de onderliggende activa zich volgens een deterministisch scenario zou ontwikkelen. In het geval dat deze optie een garantie van een beleggingsverzekering op de einddatum voorstelt zou de optiewaarde mogelijk kunnen worden benaderd met de volgende formule:

IW+ TV OG = IW + BS(σ2) − BS(x)

waarbij x in de limiet naar nul nadert. De IW kan als volgt worden berekend:

e−rTMax(_kp_x(G − S(T )), 0)

Hierbij wordt de fondswaarde op de einddatum (S(T)) berekend door bijvoorbeeld gebruik te ma-ken van de Solvency II risicovrije rendementscurve of een andere risicovrije rendementscurve en G staat voor het gegarandeerde bedrag. Verder stelt kpx de k-jarige overlevingskans van de

po-maar dat de polishouder op de einddatum niet meer in leven is. In zo’n geval zal de verzekeraar geen verlies lijden op de gegeven garantie, omdat deze polis niet meer bestaat door overlijden en er dus geen geld op de einddatum hoeft te worden uitgekeerd. Deze IW-waarde kan dus berekend worden omdat alle parameters bekend kunnen worden verondersteld.

De TVOG is de stochastische waardering van de garantie. Deze waardering van de garantie zou benaderd kunnen worden door het verschil te nemen tussen de waardering van de garantie (uitgesplitst in delen als er toekomstige betalingen verbonden zijn aan de polis) met het BS-model, gegeven de waargenomen variantie op het jaarlijks/maandelijks fondsrendement, en de waardering met het BS-model wanneer deze variantie naar nul nadert. Hierbij werkt de waardering met het BS-model op dezelfde wijze als de methode die Dijkshoorn (2014) getest heeft en al eerder be-schreven is.

De verwachting bij het testen van de VWF is dat deze een verbetering zal opleveren ten op-zichte van de benadering met BS. Door de afhankelijkheid tussen rendementen op de premies voor het behalen van het gegarandeerde bedrag op de einddatum heeft Dijkshoorn (2014) laten zien dat de benadering met BS een overschatting van het risico oplevert. Logischerwijs zal BS met een vo-latiliteitsparameter naderend naar nul ten minste gelijk zijn aan de IW van de garantie2, waardoor de overschatting van het risico door de VWF kleiner is ten opzichte van de benadering met BS. In het geval van een beleggingsverzekering met koopsom is het duidelijk dat de VWF werkt:

IW+ TV OG = IW + BS(σ2) − BS(x) = e−rTMax(kpx(G − S(T )), 0) +

kpx(Ge−rTN(−d2) − S(0)N(−d1)) −kpx(Ge−rTN(− limσ →0d2) − S(0)N(− limσ →0d1))=3 kpx(Ge−rTN(−d2) − S(0)N(−d1)) = BS(σ2) = optiepri js

Dit komt overeen met de equivalentie van de optieprijs en de som van de TVOG en de IW. De derde gelijkheid volgt uit het feit dat S(T) in de formule voor de intrinsieke waarde berekend wordt met

2_{Immers, lim}

σ →0BS(σ ) geeft een benadering voor het deterministische scenario dat de IW voorsteld.

Desalniet-temin kan er ook in het deterministische situatie geen rendementscompensatie tussen premies plaatsvinden (denk aan verschillende risicovrije rentes voor verschillende looptijden).

3

kpx(Ge−rTN(− limσ →0d2) − S(0)N(− limσ →0d1)) nadert in de limiet naar e−rTkpx(G − S(T )) als S(0) ≤ Ge−rT

en anders naar 0. Merk op dat deze uitdrukking voor een koopsom dus gelijk is aan e−rTMax(kpx(G − S(T )), 0),

behulp van deterministische rentevoeten vanaf het heden en dus is S(T) terugverdisconteerd gelijk aan S(0). In het geval dat er toekomstige betalingen worden toegevoegd lijkt het uitvoeren van deze transformatie een positieve invloed te kunnen hebben op de foutmarge van de waardering van de garantie. Daarentegen zou het zo kunnen zijn dat deze manier om de TVOG te waarderen net zo ver afwijkt van een juiste waardering (op basis van MC-simulaties) als de waardering met het BS-model, zoals getest door Dijkshoorn (2014). Het testen van deze VWF komt in latere hoofdstukken uitgebreid aan bod.

2.4

Verdisconteringsmethoden en schatting van de

rendements-variantie voor Black-Scholes

Omdat geld op verschillende momenten niet dezelfde waarde vertegenwoordigt is het gebruikelijk geldstromen te verdisconteren naar het heden of een ander moment in de toekomst. Er zijn echter meerdere manieren waarop verdisconteerd kan worden, namelijk deterministisch en stochastisch4. Wanneer het rendement op een investering onafhankelijk is van het risicovrije rendement, zo sug-gereert Dijkshoorn (2014), is het onlogisch een stochastische rentevoet toe te passen. Anderzijds, voor investeringen met een laag risico die een rendement hebben dat sterk gecorreleerd is met de risicovrije rentevoet zou het toepassen van stochastische verdisconteringsfactoren gepaster zijn (Dijkshoorn, 2014, p. 8,9). Voor dit onderzoek wordt alleen gebruikgemaakt van deterministische verdisconteringsfactoren, omdat rendementsvolatiliteit van aandelen sterk kan verschillen van ren-tevolatiliteit (Dijkshoorn, 2014, p.9). Dit impliceert een lage correlatie tussen de ontwikkeling van de fondswaarde en de ontwikkeling van de rentetermijnstructuur (2014, p.9).

Een ander interessant onderdeel van de BS-waarderingsmethode is de schatting van de te gebruiken variantie. In Appendix G van de masterscriptie van Dijkshoorn (2014) wordt de

vola-4_{Bij stochastisch verdisconteren wordt veelal uitgegaan van een versie van het volgende algemene model (Kim,}

2001, p.4):

drt= (α + β rt)dt + δ rγtdε

waarbij α, β , δ en γ constanten zijn en ε een standaard normale verdeling volgt. Onder anderen Brennan en Schwartz (1980, p.912) hebben een model voorgesteld voor het modeleren van de rentevoeten dat onderdeel is van deze familie van modellen.

tiliteit geschat door de steekproefvariantie van de jaarlijkse rendementen met tien jaarlijkse waar-nemingen te berekenen. Cornell (2009, p.6,7) benadrukt dat juist een goede inschatting van de toekomstige marktvolatiliteit nodig is en dat dit niet per se gerelateerd hoeft te zijn aan histori-sche observaties. Daarom zou een model met een stochastihistori-sche variantie mogelijk gepaster zijn, zij het dat het BS-model dan niet langer gebruikt kan worden. In het kader van het testen van het BS-model merkt Dijkshoorn (2014) op dat het erg belangrijk is dat dezelfde variantie wordt gebruikt voor zowel de MC-simulaties als voor de BS-benadering. Het testen van het BS-model is namelijk alleen mogelijk als de aangenomen werkelijkheid van de MC-simulaties op dezelfde parameters en assumpties zijn gebaseerd (zie Appendix I). Vanuit dit oogpunt wordt bij het testen van de VWF in dit onderzoek dezelfde schatting van de volatiliteit als referentiekader gebruikt die Dijkshoorn (2014, p.37) berekend heeft op basis van reële fondsrendementen tussen 2004 en 2013. Tevens wordt in dit onderzoek de nadruk gelegd op het maken van dezelfde aannames voor zowel de BS-benadering als de MC-waardering omtrent de te gebruiken rentevoet, om zodoende op de meest zuivere manier de modellen met elkaar te kunnen vergelijken.

3. Opzet van het onderzoek

Zoals eerder in de inleiding aangehaald wordt de VWF op nauwkeurigheid beoordeeld door deze te staven aan MC-simulaties. Het verzekeringsproduct dat hiervoor gebruikt wordt om te beoordelen wordt gespecificeerd in appendix II. Verder wordt er gebruikgemaakt van data met betrekking tot sterftecijfers van het Actuarieel Genootschap (AG sterfteprojectie 2014) en de rentetermijnstruc-tuur (DNB rentetermijnstrucrentetermijnstruc-tuur voor pensioenfondsen d.d. 4 april 2016). Om de fondswaarde op moment t te kunnen berekenen, wordt gebruikgemaakt van een recursieve formule. Bij het opstel-len van deze formule wordt verondersteld dat er geen kosten voor de tussenpersoon of enige andere eerste kostenworden gemaakt. Tevens wordt aangenomen dat er geen kans op afkoop of royement bestaat. In de hieronderstaande tabel staan de specificaties van de voor de waarderingsmethodes gebruikte variabelen:

Symbool Berekening Beschrijving CFWk (1 − AanK) ∗ (Pk−V Kk− RPk) Cashflow in jaar k

CFW_Tk ert∗(T −t)_∗CFWk _{De waarde van de k-de cash flow op}

moment T (de einddatum)

G_k (1 + g)T−k∗CFWk _{Het k-de deel van de garantie op de}

einddatum IW tpxDV(T )(G − (1 −VerK) ∗

T−1

∑

k=0

CFW_Tk) De intrinsieke waarde van de garan-tie

DV(t) e−r(t)∗t De t jarige disconto voet Pt tpxPbruto,t De betaalde premie in jaar t

V K_{t t}p_xV K_bruto,t De vaste kosten in jaar t

RP_t max(tpxqx+te− ftRKt, 0) De risicopremie in jaar t; hier is

de index voor het gesimuleerde pad (MC) weggelaten

RK_t 200.000 − FWt−1 Het risicokapitaal in jaar t

r_{t cd−t}1 log(_DVDV(t)_(cd)) De risicovrije rentevoet op moment t (cd = contractduur = T)

f_t − De een jarige forward in jaar t

r(t) − De risicovrije t jarige rente volgens

de risicovrije rendementscurve

g 2% Het gegarandeerde jaarlijkse

rende-ment

AanK 0.5% Aankoopkosten als percentage van

de waarde van de aan te schaffen ac-tiva

VerK 0.5% Aankoopkosten als percentage van

de waarde van de aan te schaffen ac-tiva

3.1

Kalibratie Black-Scholesmodel

De VWF-methode berust op het waarderen van delen van de garantie op de einddatum als ver-schillende opties. Deze garantie kan daarom worden uitgedrukt als Gtotaal =

T−1

∑

t=0

G_t. Hier wordt G_tbepaald door de ingelegde premie verminderd met de kosten, die vervolgens rendeert tegen het gegarandeerde jaarlijkse rendement tot de einddatum. De variabele BS wordt gedefinieerd als:

BS(S(0), Ge−rT, T, σ2) = Ge−rTN(−d2) − S(0)N(−d1)

De verwachting van het verlies voor de verzekeraar (BS(σ2)) wordt dan gegeven door: (T∑−1

t=0

BS((1 − AanK) ∗ (Pt−V Kt− RPt),Gt_DV(t)∗DV (n), (T − t), σ2) ∗ DV∗(t))Tpx

Waarbij DV∗(i) de i-jarige verdisconteringsfactor (of discontovoet) is met een aangepaste renteter-mijnstructuur (zie het kader in paragraaf 3.2). Verder geldt:

V K_TBS₋₁= V KT−1+VerK ∗ T−1

∑

t=0

(1 − Aank) ∗ (Pt−V Kt− RPt) ∗ ert∗(T −t)

voor het BS-model, waarbij V Kt gedefinieerd is zoals in tabel 3.1. Dit resultaat kan dan worden

gebruikt voor de VWF:

IW+ TV OG = IW + BS(σ2) − BS(x)

waarbij de IW, zoals in het theoretisch kader benoemd, op een deterministische wijze wordt bere-kend en x in de limiet naar nul nadert.

3.2

Kalibratie Monte-Carlosimulaties

Voor de kalibratie van het MC-model wordt het verwachte actuarieel verdisconteerde verlies gedefini-eerd als: MC=_n1 sim nsim ∑ i=1 Max(Tpx∗ GT− (1 −VerK) ∗ FWT,i, 0) ∗ DV (T )

Het aantal keer dat de fondswaarde FWT,i wordt gesimuleerd (nsim) is voor deze studie gelijk aan

FW_i,k=      k ∑ t=1 (1 − AanK) ∗ (P_t−V K_t− RP_t)) ∗ e(rt−σ 2 2 )∗(k−t)+σ ε √ k−t _{Als 0 < k ≤ cd} 0 Anders

waarbij ε standaard normaal verdeeld is en cd de afkorting is voor contractduur. Bovenstaande formule maakt gebruik van een recursief element, te weten de risicopremie RPt, die berekend wordt

aan de hand van de formule weergegeven in tabel 3.1. Dit is een goede numerieke manier om de optieprijs te schatten en daarom kan de waardering van de TVOG met het BS-model vergeleken worden met een goede inschatting van de TVOG:

TVOG = MC - IW

Een speciaal aandachtspunt voor het simuleren is de te gebruiken rentevoet. Omdat in het BS-model de rentevoet rt te herleiden is uit DV(T )_DV(t) (dit is de verdisconteringsfactor voor de garantie

naar moment T-t), dient voor de Brownian-motion van het MC-model voor de premies in jaar t deze rentevoet gebruikt te worden (zie tabel 3.1). Voor het kalibreren van beide modellen wordt het softwarepakket Matlab gebruikt.

§ Rentetransformatie

Zoals hierboven opgemerkt dient er mogelijk een rentetransformatie te worden toege-past om BS en MC te kunnen vergelijken. Voor de Brownian-motion is het afleiden van de te gebruiken rente als volgt:

e−rt∗(cd−t) ₌DV(cd) DV(t) ⇒ rt= 1 cd−tlog( DV(t) DV(cd))

Hier is DV de normale discontovoet. Nu ontstaat er een probleem met betrekking tot de juiste discontovoeten voor de BS-opties naar moment t=0. Dit is duidelijk in het geval dat σ = 0 geldt (of dat σ naar nul nadert) en de waarde van de garantie deterministisch bepaald kan worden. De verdisconteerde waarde (naar moment t=0) van de BS-optie waarbij de premie wordt betaald op moment t=k heeft de volgende uitdrukking:

e−r∗(k)∗k(e−rk∗(cd−k)_G− S

Waarbij Sk gelijk is aan de premiebetaling op moment t=k. Voor MC volgt de volgende

uit-drukking:

e−r(cd)∗cdE(G − S_ke(rk−12σ

2_{)∗(cd−k)+}√_{cd−k∗σ ∗ε}

) = e−r(cd)∗cd(G − S_kerk∗(cd−k)₎

waarbij ε standaard normaal verdeeld is. Opgemerkt dient te worden dat deze uitdrukking opgaat in het geval de intrinsieke waarde van de optie positief is en σ naar nul nadert. In zo’n deterministisch geval zouden de uitdrukkingen voor MC en BS gelijk moeten zijn aan elkaar, maar dit vraagt om een speciale rentetermijnstructuur r∗(t) om de BS-opties mee te verdisconteren. Gelijkstellen levert het volgende resultaat:

e−r(cd)∗cd(G − S_kerk∗(cd−k)_{) = e}−r∗(k)∗k_(e−rk∗(cd−k)_G− S

k) ⇒

r∗(k) =1_klog(e−rk∗(cd−k)G−Sk

G−Skerk∗(cd−k)

) +r(cd)∗cd_k =cd_k r(cd) −cd−k_k r_k

Voor de gebruikte continue verdisconteringsvoet DV(t) in dit onderzoek blijkt dat r∗(k) = r(k)

Maar indien er discrete verdisconteringsvoeten zouden worden gebruikt geldt: r∗(k) = cd_kr(cd) + log(1 + r(k)) −cd_klog(1 + r(cd)) ≈ r(k)

Dit resultaat (een continuïteitsaanpassing voor discrete discontovoeten) is mogelijk niet het meest intuïtief voor normale toepassing, doch belangrijk voor een juiste waardering in een de-terministische situatie. Aangezien voor kleine waardes van σ de waardering op basis van BS moet naderen naar de waardering op basis van MC (omdat ze dan allebei op een deterministi-sche manier waarderen) wordt voor dit onderzoek gebruikt gemaakt van speciale discontovoe-ten DV∗(t) = e−r∗(t)∗t voor het BS-model (merk op dat DV∗(t) = DV (t) doordat er continue verdisconteringsvoeten gebruikt worden).

3.3

Intrinsieke waarde

Zoals eerder in paragraaf 2.3 benoemd is de intrinsieke waarde van een optie de waarde die een optie heeft wanneer de onderliggende activa volgens een deterministisch scenario renderen. Om-dat er voor MC en BS met een aangepaste wordt gerekend is het gepast dit door te voeren voor de berekening van de intrinsieke waarde. Cashflows worden in een obligatie geïnvesteerd met een vaste couponrente r_k (voor de k-de cashflow). Dezelfde methodiek wordt gebruikt voor een fondswaardeprojectie die aangewend wordt om voor BS risicopremies te bepalen. Tevens is deze fondswaardeprojectie de basis voor het berekenen van de verkoopkosten voor het BS-model (zie ook: berekening IW in tabel 3.1).

3.4

Teststrategieën

Om te onderzoeken hoe goed de VWF werkt in bepaalde onderscheidende situaties wordt de re-latieve fout van het model berekend door verschillende invoerparameters te gebruiken. Er zou kunnen worden verondersteld dat een reële schatting van de toekomstige volatiliteit σ2 van het rendement gebaseerd is op historisch waargenomen rendementen zoals berekend door Dijkshoorn (2014), dat 2.54873% is. Dit is de waargenomen volatiliteit van een fonds waarvan de samenstel-ling van het fondsvermogen voor zestig procent uit aandelen, dertig procent uit obligaties en tien procent uit banktegoeden bestaat. Echter, deze waarde zou kunnen veranderen in de toekomst. Ge-geven de contractspecificatie wordt daarom getest hoe goed de VWF de TVOG waardeert wanneer de marktvolatiliteit σ2 groter of juist kleiner wordt. Er worden drie verschillende invoerwaarden voor σ2getest, namelijk 1%, 2.54873% en 6%. Daarbij is het belangrijk dat de volatiliteit die ge-bruikt wordt bij de MC-simulaties gelijk is aan de volatiliteit die gege-bruikt wordt voor de kalibratie van het BS-model. Ook zou het kunnen zijn dat de VWF een heel andere foutmarge heeft voor kortere looptijden. Daarom wordt de VWF ook getest voor twee verschillende looptijden, name-lijk tien en dertig jaar. De resultaten van dit onderzoek worden benoemd in het hieropvolgende hoofdstuk.

4. Resultaten en Analyse

In dit hoofdstuk wordt beschreven tot welke resultaten het onderzoek is gekomen en wordt een analyse gegeven van deze resultaten door stap voor stap aspecten van een beleggingsverzekering toe te voegen. De situaties dat er slechts een koopsom betaald wordt, dat er jaarlijkse premies zijn verminderd met kosten en de situatie dat daaraan ook nog een risicopremie wordt toegevoegd worden nader beschouwd in aparte paragrafen. Hieraan dient te worden toegevoegd dat de waarde van de garantie is aangepast aan de totale hoeveelheid premie die betaald wordt in de afzonderlijke situaties. In de situatie van de koopsom wordt er slechts een keer premie van 8.000 euro betaald, terwijl in de situatie met toekomstige premies juist jaarlijks tot de einddatum dezelfde premie van 8.000 euro wordt betaald.

In elke paragraaf worden de resultaten gepresenteerd in een tabel, waarin vermeld staat wat de optiewaarderingen (BS, MC en de VWF), de absolute verschillen, de procentuele afwijking tus-sen de waardering van de garantie op basis van het BS-model en het MC-model, de waardering van de TVOGs, de intrinsieke waarde van de garantie en de relatieve afwijking van de optiewaardering gebruik makend van de VWF ten opzichte van MC zijn.

4.1

Koopsom

In het geval dat er slechts een koopsom betaald wordt en er geen toekomstige (jaarlijkse) kosten zijn geeft de theorie aan dat BS een exacte waardering geeft voor het verlies op de einddatum van de garantie. Ook bleek, in paragraaf 2.3, dat de waarde van BS in de volatiliteitsparameter nul nadert naar de intrinsieke waarde van de optie. Dit wetende zou het verschil in de waardering voor de TVOG tussen de BS-methode en de MC-methode in waarschijnlijkheid moeten naderen

naar nul. Voor dit onderzoek zijn, zoals eerder vermeld, 100.000 paden gesimuleerd en kunnen er nog kleine stochastische afwijkingen zijn. In onderstaande tabel staan de resultaten voor de koopsomsituatie met een contractduur van 10 jaar:

Volatiliteit BS MC VWF Abs. verschil MC

en BS Abs. verschil MC en VWF 1% 1210,01 1211,50 1210,01 1,49 1,48 2.54873% 1220,92 1220,20 1220,92 -0,72 -0,72 6% 1423,20 1418,20 1423,22 -5,02 -5,00

Volatiliteit TVOG BS TVOG MC IW Rel. verschil MC

en BS Rel. verschil MC en VWF 1% 0,00021 1,4850 1.210,01 0,1227% 0,1227% 2.54873% 10,9078 10,1911 1.210,01 -0,0587% -0,0587% 6% 213,2081 208,1904 1.210,01 -0,35256% -0,3526%

Tabel 4.1 10 jaar contractduur

Hierbij moet een positief verschil in de laatste twee kolommen van de tabel geïnterpreteerd worden als een onderschatting van het verwachte verlies op de einddatum van BS ten opzichte van MC en een negatief verschil als een overschatting. In bovenstaande tabel is het duidelijk dat er geen verschil zit tussen de benadering met de VWF en de benadering met BS. Voor 30 jaar zijn de resultaten vergelijkbaar:

Volatiliteit BS MC VWF Abs. verschil MC

en BS Abs. verschil MC en VWF 1% 1.705,61 1.706,50 1.705,61 0,89 0,89 2.54873% 1.745,36 1.748,39 1.745,36 3,03 3,03 6% 2.164,01 2.161,98 2.164,01 -2,03 -2,03

Volatiliteit TVOG BS TVOG MC IW Rel. verschil MC en BS Rel. verschil MC en VWF 1% 0,0139 0,9049 1.705,6 0,05224% 0,05224% 2.54873% 39,7637 42,7888 1.705,6 0,17333% 0,17332% 6% 458,4083 456,3809 1.705,6 -0,09369% -0,09368%

Tabel 4.2 30 jaar contractduur

Duidelijk is dat BS in de koopsomsituatie zonder kosten goed werkt en dat de verschillen nagenoeg gelijk aan nul zijn. Het gebruiken van de VWF in deze situatie is dan ook niet van toegevoegde waarde ten opzichte van de BS-methode.

4.2

Toekomstige premies en kosten

Wanneer er jaarlijkse premies zijn gedurende de hele looptijd van het contract waarvan jaarlijkse vaste kosten en aan- en verkoopkosten afgetrokken worden, is BS niet langer een goede analytische manier om het verlies op de einddatum te waarderen. Dit is terug te zien in de resultaten:

Volatiliteit BS MC VWF Abs. verschil MC

en BS Abs. verschil MC en VWF 1% 5.084,11 5.044,99 5.085,31 -39,11 -40,32 2.54873% 5.500,78 5.350,47 5.501,98 -150,31 -151,51 6% 7.432,30 7.323,51 7.433,50 -108,79 -109,99

Volatiliteit TVOG BS TVOG MC IW Rel. verschil MC

en BS Rel. verschil MC en VWF 1% 45,720 5,404 5.039,59 -0,77 % -0,79 % 2.54873% 462,394 310,885 5.039,59 -2,73 % -2,75 % 6% 2.393,913 2.283,922 5.039,59 -1,46 % -1,48 %

In tabel 4.3 is te zien dat de resultaten van de VWF voor de contractduur van 10 jaar voor alle drie de variëteiten van de volatiliteit niet of nauwelijks nauwkeuriger zijn dan wanneer er gewaardeerd wordt met BS. Opvallend is dat de afwijking tussen BS en MC relatief klein is en het verschil tussen de TVOG op basis van BS en de TVOG op basis van MC vergelijkbaar klein is. Dit zou toevallig kunnen zijn door gekozen kostenpercentages, maar nadere bestudering lijkt erop te wijzen dat dit relatief weinig verschil maakt. Wanneer de aan- en verkoopkosten met drie procentpunt worden verhoogt (0.5% ⇒ 3.5%) slaat het negatieve verschil van de waardering (in σ = 6%) om in een licht positief verschil van 1% (onderschatting van het verwachte verlies door BS). In alle geteste gevallen leidt BS tot een overschatting van het risico ten opzichte van MC. Dit kan worden verklaard door het feit dat goed renderende premies in het BS model niet slecht renderende premies kunnen compenseren (zie paragraaf 2.2) en zodoende stijgt het verwachte verlies ten opzichte van waardering op basis van MC, waarbij deze compensatie wel plaats kan vinden.

Wanneer de volatiliteit laag is behoren BS en MC naar elkaar toe te naderen in waardering (zie ook het kader over rentetransformaties in paragraaf 3.2). In tabel 4.3 is te zien dat voor een lage volatiliteit het relatieve en absolute verschil tussen MC en BS erg klein is (i.e. 0,77% ≈ 39 euro). Wanneer de volatiliteit groter is ontstaan er ook grotere afwijkingen, maar een betere benadering lijkt de VWF niet te geven. De afwijking tussen de de optiewaarderingen door de TVOG eerst te waarderen met de VWF is steeds ongeveer even groot als de afwijking tussen BS en MC.

Volatiliteit BS MC VWF Abs. verschil MC

en BS Abs. verschil MC en VWF 1% 13.200,91 12.462,12 12.887,56 -738,79 -425,44 2.54873% 16.337,17 15.650,65 16.023,82 -686,52 -373,17 6% 26.182,39 25.662,53 25.869,04 -519,86 -206,51

Volatiliteit TVOG BS TVOG MC IW Rel. verschil MC en BS Rel. verschil MC en VWF 1% 616,777 191,335 12.270,79 -5,60 % -3,30 % 2.54873% 3.753,034 3.379,864 12.270,79 -4,20 % -2,33 % 6% 13.598,254 13.391,742 12.270,79 -1,99 % -0,80 %

Tabel 4.4 30 jaar contractduur

Voor een condractsduur van 30 jaar is het opvallend dat het relatieve verschil tussen MC en BS kleiner wordt wanneer de volatiliteit groter wordt. De absolute fout daalt iets, waardoor ten opzichte van de geschatte waarde van de optie de fout steeds kleiner wordt als de rendementsvola-tiliteit (σ ) toeneemt. Dat de absolute fout groter is voor kleine volarendementsvola-tiliteiten dan voor grote heeft te maken met het feit dat de gebruikte dertig jaars risicovrije rente veel hoger ligt dan de gegaran-deerde rente van 2%. Wanneer een beleggingsfonds na 25 jaar niet zo goed gerendeerd zou hebben is het van belang dat er rendementscompensatie kan plaatsvinden indien het fonds de laatste jaren van de contractduur beter presteert. Zoals eerder opgemerkt is dit bij BS niet mogelijk. Nu is het geval dat door de hoge geïmpliceerde een jaars rente (na 20 jaar) de laatste optiecontracten (bijna) geen waarde meer vertegenwoordigen bij lage volatiliteiten. Immers door de hoge risicovrije rente die tegen het einde van de contractduur geldt is de kans dat er verlies wordt geboekt op het laat-ste deel van de inleg zeer beperkt. Dat juist deze hoge rente op het einde kan compenseren voor eventuele verliezen in het verleden wordt niet meegenomen in BS en leidt daarom tot grotere over-schattingen voor lage volatiliteiten.

Wanneer de volatileit groter wordt ontstaan er ”natuurlijkere” verschillen. Met natuurlijk wordt bedoeld dat het risico voor latere jaren dusdanig toeneemt met betrekking tot het halen van het garantiekapitaal van de BS-opties dat ondanks de hogere rente deze delen van de garantie ook voor aanzienlijke verliezen zouden kunnen zorgen voor de verzekeraar. Hierdoor nadert de waarde van de som van de BS-opties, in relatieve zin, meer naar de werkelijke waarde van het verwachte verlies (MC). De VWF vertoont een kleinere relatieve afwijking dan BS ten opzichte van MC. Desalniettemin lijkt de TVOG gewaardeerd met de VWF nog steeds tot overschatting van het ver-wachte verlies te leiden.

4.3

Risicopremies

Wanneer er een overlijdensrisicoproduct verbonden is aan de beleggingsverzekering worden ri-sicopremies in rekening gebracht. Deze riri-sicopremies zijn bij de waardering op basis van BS gebaseerd op een risicokapitaal dat berekend is met behulp van een deterministische fondswaar-deprojectie. Voor MC is het risicokapitaal stochastisch, in de zin dat het afhankelijk is van hoe de betaalde premies verminderd met de kosten gerendeerd hebben. Het probleem dat zich bij BS voordoet is dat bij aanvang van het contract niet duidelijk is of de geprojecteerde risicopremie in jaar t ook overeenkomt met de daadwerkelijk in rekening gebrachte risicopremie in jaar t. Dit is een duidelijk manco van de waardering met BS, maar de geprojecteerde risicopremie kan dienen als best-estimate voor de werkelijk in rekening gebrachte risicopremie. In tabellen 4.5 en 4.6 is te zien hoe nauwkerig de VWF het risico waardeert.

Volatiliteit BS MC VWF Abs. verschil MC

en BS Abs. verschil MC en VWF 1% 5.022,60 4.978,86 5023,79 -43,74 -44,92 2.54873% 5.434,44 5.190,27 5.435,63 -244,17 -245,36 6% 7.343,07 6.739,54 7.344,26 -603,53 -604,72

Volatiliteit TVOG BS TVOG MC IW Rel. verschil MC

en BS Rel. verschil MC en VWF 1% 45,208 0,284 4.978,58 -0,87 % -0,89 % 2.54873% 457,048 211,690 4.978,58 -4,49 % -4,51 % 6% 2.365,675 1.760,960 4.978,58 -8,22 % -8,23 %

Tabel 4.5 10 jaar contractduur

In tabel 4.5 is te zien dat de afwijking voor grotere σ steeds negatiever wordt. Wanneer de resultaten in tabel 4.5 vergeleken worden met de resultaten in tabel 4.3 zit er een aanzienlijk gro-tere foutmarge in de waardering op basis van de VWF en BS wanneer risicopremies in rekening worden gebracht. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat het toevoegen van risicopremies een

grotere afhankelijkheid tussen de cashflows (en hoe deze renderen) veroorzaakt dan deze was in het model met slechts toekomstige premies en kosten. Een goed renderende premie compenseert nu (bij MC) namelijk niet alleen voor tegenvallende resultaten op andere tranches van de inleg, maar reduceert ook de risicopremie die van toekomstige premies wordt afgetrokken. Dit wordt wel afgetopt op nul, oftewel in dit model worden geen negatieve risicopremies aan de polishouder uitgekeerd (zie tabel 3.1). Doordat in dit onderzoek een dertig jarige man als uitgangspunt is geno-men zijn de risicopremies door lage overlijdenskansen tijdens de contractduur (maximaal 30 jaar) ook vrij laag. Het grote effect van het toevoegen van risicopremies aan het model dat Dijkshoorn (2014) waarnam is hierdoor mogelijk beperkt.

In tegenstelling tot Dijkshoorn (2014), die beredeneerde dat het in rekening brengen van ri-sicopremies gebaseerd op een constante uitkering bij overlijden zou leiden tot een onderschatting van het verwachte verlies door BS (ten opzichte van MC), lijkt hier meer sprake te zijn van struc-turele overschatting door BS. Er zijn echter wel enkele belangrijke verschillen aan te merken die debet zouden kunnen zijn aan de verschillende bevindingen. Zo is er in dit onderzoek een hoger gegarandeerd jaarlijks rendement aangenomen, de aan- en verkoopkosten zijn aanzienlijk lager ge-steld en de waardering met MC is mogelijk iets accurater doordat het aantal simulaties veel groter is (factor 10). Ook lijken er andere aannames over de rentetermijnstructuur en de toepassing ervan gemaakt te zijn dan in dit onderzoek.

Op de vraag of de VWF in het geval van risicopremies en een contractduur van 10 jaar voor deze beleggingsverzekering (zie appendix II) een nauwkeuriger resultaat geeft dan BS lijkt negatief te kunnen worden geantwoord. Er zijn geen verbeteringen ten opzichte van BS, maar juist (heel) kleine verslechteringen zichtbaar. Deze zijn in de orde van grootte van honderdsten van procenten (oftewel ongeveer 1 euro) voor alle geteste volatiliteiten en lijken niet materieel (mogelijke afron-dingsfouten, zie ook het kader over de intrinsieke waarde en BS(0) op pagina 28 waaruit blijkt dat de IW in dit geval gelijk zou moeten zijn aan BS(0)).

Een andere opvallende statistiek in tabel 4.5 is dat MC een TVOG schat die bijna gelijk is aan nul. Vaker simuleren lijkt erop te wijzen dat er ook (licht) negatieve TVOGs door dit mo-del kunnen worden geschat. In het kader hieronder wordt uitgelegd waarom de TVOG altijd ten minste nul moet zijn. Vanuit deze gedachte is het beter deze (licht) negatieve waarde als nul te beschouwen.

§ TVOG

Zou het zo kunnen zijn dat in bepaalde situaties de intrinsieke waarde van een optie groter is dan de optieprijs? Of treedt er dan een arbitragemogelijkheid op? Een mogelijke aanpak voor dit probleem is door de put-call pariteit voor een Europese optie nader te beschouwen. Deze pariteit kan, wanneer er geen dividend wordt betaald op een aandeel, in de volgende vorm worden weergegeven (Berk DeMarzo, 2011, p.684):

c+ G ∗ e−rT = p + S0

Hier stellen c en p de prijzen van een calloptie en putoptie voor van een Europese optie met dezelfde onderliggende activa en dezelfde uitoefenprijs. S0 en G stellen de huidige prijs van

het asset en respectievelijk de uitoefenprijs van de opties voor. Wanneer deze pariteit wordt herschreven kan de intrinsieke waarde van een (Europese) putoptie worden afgeleid:

IW = e−rT(G − erTS₀) = G ∗ e−rT − S0= p − c

Oftewel: de intrinsieke waarde (zoals de in dit onderzoek gebruikte definitie) van een gewone putoptie is gelijk aan de prijs van de putoptie verminderd met de prijs van een calloptie. Hier-uit volgt dat de prijs van een calloptie negatief zou moeten worden wanneer de intrinsieke waarde van de putoptie groter zou worden dan de putoptieprijs. Alleen in dat geval is de TVOG negatief. Echter, wanneer de prijs van een calloptie negatief zou zijn ontstaat er een arbitragemogelijkheid, immers kan men geld toe krijgen door het recht tot kopen (tegen prijs G) aan te schaffen. De winst door dit contract aan te schaffen is daarom altijd positief en is dus een arbitragemogelijkheid. Dit komt in een goed functionerende markt (zonder transac-tiekosten) normaal gesproken niet voor. Om deze reden is een negatieve TVOG uitgesloten. Hier is nog geen overlevingskans aan toegevoegd. Voor het geval het over een garantie op een beleggingsverzekering gaat zou het resultaat zijn dat:

IW =_kp_x(p − c)

Hiervoor is de conclusie hetzelfde. In Appendix III wordt een verdieping van de (wiskun-dige) afleiding van het resultaat gegeven. In Appendix IV wordt ingegaan op het geval dat de

intrinsieke waarde van een putoptie anders gedefinieerd is.

Daarnaast is ook voor een looptijd van 30 jaar het verwachte verlies gewaardeerd:

Volatiliteit BS MC VWF Abs. verschil BS

en MC Abs. verschil MC en VWF 1% 13.055,55 12.225,13 12.742,20 -830,42 -517,07 2.54873% 16.167,38 14.682,99 15.854,03 -1.484,39 -1.171,04 6% 25.925,70 23.243,93 25.612,35 -2.681,77 -2.368,42

Volatiliteit TVOG BS TVOG MC IW Rel. verschil BS

en MC Rel. verschil MC en VWF 1% 614,171 97,103 12.128,03 -6,36 % -4,06 % 2.54873% 3.725,997 2.554,955 12.128,03 -9,18 % -7,39 % 6% 13.484,322 11.115,902 12.128,03 -10,34 % -9,25 %

Tabel 4.6 30 jaar contractduur

Wanneer de resultaten worden vergeleken met tabel 4.4, waarin geen risicopremie in het model is meegenomen, valt op dat ook voor een contractduur van 30 jaar de foutmarges van zowel BS als de VWF veel groter zijn geworden. Omdat de volatiliteit van de onderliggende kansverdeling voor de asset prijs lineair toeneemt in de contractduur, is het nog belangrijker dat er compensatie kan plaatsvinden tussen de rendementen op de cashflows (door de grotere schokken die van toepassing zijn op de waarde van de onderliggende activa ten opzichte van een contractduur van 10 jaar). Hierdoor neemt de overschatting door het BS-model toe ten opzichte van een contractduur van 10 jaar. Deze grotere overschatting lijkt in grote mate invloed te hebben op de nauwkeurigheid van de VWF, welke ook grotere overschattingen laat zien ten opzichte van een contractduur van 10 jaar.

§ Intrinsieke waarde en BS(0)

Wat in tabellen 4.3 en 4.5 al zou kunnen zijn opgevallen is dat voor kortere looptijden de intrinsieke waarde van een optie nagenoeg gelijk is aan BS met een volatiliteit die naar nul nadert (BS(0)). Immers, de verschillen tussen BS en MC en de verschillen tussen VWF en MC zijn bijna hetzelfde. Dit resultaat is niet geheel toevallig, gegeven de gebruikte continue dis-contovoeten (zie ook het kader over rentetransformatie in hoofdstuk 3). De gebruikte formule voor de intrinsieke waarde is

IW =Tpx T−1 ∑ k=0 (Gk− erk∗(T −k)Sk)e−r(T )∗T, waarbij ∑T_k=0−1Gk= G Indien erk∗(T −k)∗ G

k> Sk∀k geldt, oftewel wanneer de garantie wordt opgedeeld in stukjes en

elk van de putopties een positieve intrinsieke waarde heeft, dan kan BS(0) geschreven worden als: BS(0) =Tpx T−1 ∑ k=0 (e−rk∗(T −k)_G k− Sk)e−r ∗_(k)∗k

Hier kan worden opgemerkt dat r∗(k) zo is gekozen dat BS(0) precies gelijk is aan de in-trinsieke waarde, immers voor elk moment k is verondersteld dat de verdisconteerde waarde van de opties in een deterministisch scenario gelijk aan elkaar moesten zijn voor MC en BS. Maar omdat in een deterministisch scenario (σ = 0) de TVOG gelijk aan nul moet zijn, geldt MC=IW=BS(0).

Anders wordt het wanneer de intrinsieke waarden van de optiecontracten voor BS(0) niet allemaal groter dan nul zijn. Zoals eerder opgemerkt, kan het zo zijn dat voor langere contract-duren de risicovrije forward rates flink hoger liggen dan de gegarandeerde rente. In zo’n geval worden de gegeven garanties op sommige toekomstige premiebetalingen waardeloos. Juist de compensatie van eventuele tegenvallende rendementen met de hogere rentes aan het einde van de contractduur zorgen ervoor dat de intrinsieke waarde van de garantie (in een determinis-tisch scenario) daalt, terwijl BS deze compensatie niet toestaat. Omdat voor contractduren van 30 jaar de waarden van alle BS-optiecontracten in een deterministisch scenario gelijk aan nul worden (de forwards over 25 jaar zijn volgens de gebruikte risicovrije rentecurve aanzienlijk hoger dan de gegarandeerde 2%) wordt in dergelijke gevallen BS(0) groter dan de IW en wordt

een deel van de overschatting van het BS-model (waargenomen in alle in dit onderzoek onder-zochte gevallen) in de volatiliteitsparameter σ > 0 gecompenseerd bij het gebruik van de VWF (doordat IW-BS(0)<0).

Voor een contractduur van 30 jaar lijkt het gebruik van de VWF de voorkeur te genieten boven BS. De afwijkingen zijn aanzienlijk kleiner (variërend van 1 tot ongeveer 2.5 procentpunt kleinere afwijking; het verschil tussen de kolommen 5 en 6 van tabel 4.6) dan BS heeft ten opzichte van de aangenomen werkelijkheid van MC. Toch zijn de relatieve verschillen tussen de waardering van de TVOG met de VWF en de waardering met MC aanzienlijk. Ondanks de verbeteringen die zichtbaar zijn door de VWF als waarderingsmethode te gebruiken in plaats van BS voor lange contractduren, is het daarom nog steeds de vraag of de VWF geprefereerd zou moet worden boven BS. Er zou namelijk misschien beter gezegd kunnen worden dat beide methoden voor de waarde-ring van het verwachte verlies door de afgifte van een garantie bij dergelijke contracten beter niet gebruikt zouden kunnen worden.

5. Conclusie

In dit onderzoek stond de beoordeling van een voorgestelde waarderingsformule (VWF) centraal. Deze formule zou mogelijk accurater zijn dan een Black-Scholes optiewaarderingsmodel (BS) voor de waardering van het verwachte verlies op de einddatum door een gegarandeerd rendement. Aangezien deze formule een transformatie is van waarderen met een BS-model is de foutmarge van een BS-model ten opzichte van simulaties (Monte Carlo), wat wordt beschouwd als een nauw-keurige waarderingsmethode, als referentiekader gebruikt voor de beoordeling van de VWF.

Allereerst is beoordeeld of een rentetransformatie noodzakelijk is om MC als referentiekader te kunnen gebruiken voor het BS-model en daarmee ook de VWF. Deze transformatie komt voort uit het idee dat in een volledig risicovrij scenario BS en MC het risico voortvloeiend uit de garantie exact hetzelfde zouden moeten waarderen. Op basis van deze getransformeerde rentetermijnstruc-tuur kunnen de waarden van de BS-opties in de toekomst verdisconteerd worden naar het heden. Gebleken is dat het toepassen van een getransformeerde rentestructuur niet nodig is wanneer con-tinue verdisconteringsvoeten worden gebruikt.

Gebleken is dat in de onderzochte gevallen de VWF alleen bij langere contractduren een sig-nificant beter resultaat laat zien dan BS. Dit bleek te maken te hebben met de continue verdiscon-teringsvoeten (waardoor geen rentetransformatie (continuïteitsaanpassing) nodig bleek), waardoor voor kortere looptijden de VWF (ongeveer) hetzelfde resultaat geeft als waarderen met BS. Bij langere looptijden blijkt BS(0) groter te worden dan de intrinsieke waarde, waardoor een deel van de waargenomen overschatting van BS(σ ) wordt gecompenseerd. Een opzienbarende conclusie is dat bij hoge gegarandeerde rendementen (bij de gebruikte rentecurve in dit onderzoek ongeveer 3 % en hoger) het gebruik van de VWF in plaats van BS geen toegevoegde waarde heeft. Dit komt doordat de intrinsieke waarde van de garantie dan voor looptijden tot (ten minste) 30 jaar gelijk is

aan de het BS-model in volatiliteitsparameter nul en de VWF dan gelijk is aan de waardering met BS.

Een ander punt van aandacht, dat ook samenhangt met de looptijd van het contract, is het feit dat voor het model met toekomstige premiebetalingen, maar waar geen risicopremie in reke-ning wordt gebracht, voor lange contractduren een grote relatieve afwijking voor lage volatiliteiten wordt waargenomen in dit onderzoek. Dit wordt veroorzaakt doordat de (een en meer jarige) forwards, volgens de gebruikte risicovrije rentecurve, na ongeveer 25 jaar groter bleken dan het gegarandeerde rendement van 2%. Helaas kan in het BS-model geen compensatie plaatsvinden (door hogere risicovrije rentes) en leidt dat voor lage volatiliteiten tot grote overschattingen. Deze bevinding is ook gerelateerd aan het feit dat BS(0) groter kan worden dan de intrinsieke waarde van de garantie. Juist wanneer de volatiliteit groter wordt verdwijnt het effect van de hoge rentes en ”de zekere compensatie” die MC wel toelaat en BS niet. Daardoor ontstaat er een patroon van grotere nauwkeurigheid (voor zowel BS als de VWF) wanneer de volatiliteit stijgt.

Dat de VWF betere inschattingen geeft dan BS voor langere looptijden blijkt (bij de contract-specificaties die gebruikt zijn in dit onderzoek) zowel op te gaan in het geval dat er wel als geen risicopremie in rekening wordt gebracht. Echter, in het geval dat er slechts een koopsom betaald wordt is de VWF geen toevoeging op het BS-model, omdat het BS-model dan volgens de theorie en ook blijkens de resultaten in dit onderzoek een goede waardering voor het verwachte verlies geeft.

Tot slot kan er op basis van dit onderzoek getwijfeld worden aan de bruikbaarheid van de VWF. In veel gevallen blijkt de VWF op een exact dezelfde manier te waarderen als BS. Voor de lange looptijden van 30 jaar in dit onderzoek bleek de VWF vaak wel betere waarderingen op te leveren dan BS, maar desalniettemin bleven de afwijkingen ten opzichte van MC significant groot. Of het verstandig is deze VWF in de praktijk te gebruiken voor het waarderen van risico’s en deze op marktwaarde te waarderen (zoals Solvency II veronderstelt) is daarom maar zeer de vraag. Na-der onNa-derzoek zal moeten uitwijzen of er situaties bestaan waarin de VWF accuraat de garantie kan waarderen.

6. Bibliografie

Berk, J., & DeMarzo, P. (2011). Corporate Finance (2e ed.). Harlow, Groot-Brittannië: Pearson Education.

Black, F., & Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Poli-tical Economy, 8(3), 637-654. Geraadpleegd van http://www.jstor.org/stable/pdf/1831029.pdf?_= 1460049352169

Brennan, M. J., & Schwartz, E. S. (1976). The pricing of equity-linked life insurance policies with an asset value guarantee. Journal of Financial Economics, 3(3), 195-213. Geraadpleegd van http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304405X76900039

Brennan, M. J., Schwartz, E. S. (1980). Analyzing Convertible Bonds. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 15(4), 907-929. Geraadpleegd van http://www.jstor.org/stable/pdf/2330567. pdf?_=1465473152290

Bruning, R. (2016). Syllabus Verslaglegging Levenactuariaat. Amsterdam, Nederland: UvA.

Cornell, B. (2009). Warren Buffett, Black-Scholes and the Valuation of Long-dated Options. Ge-raadpleegd van http://people.hss.caltech.edu/~bcornell/PUBLICATIONS/2009%20Warren%20Buffet% 20Black-Scholes%20and%20Long%20Dated%20Options.pdf

in-surance policies with future payments. Geraadpleegd van http://www.scriptiesonline.uba.uva.nl/ 569652

Kim, Y. (2001). Option Pricing under Stochastic Interest Rates: An Empirical Investigation. Ge-raadpleegd van http://www.math.chuo-u.ac.jp/~sugiyama/06/06-09.pdf

Jori, A. (2008). Valuation of guaranteed unit linked contracts. Geraadpleegd van http://www. actuaries.ch/mitgliedschaft/bulletin.htm?bulletin_id=2

Pastor, L., & Stambaugh, R. F. (2012). Are Stocks Really Less Volatile in the Long Run? The Journal of Finance, 67(2), 431-478. Geraadpleegd van http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/ j.1540-6261.2012.01722.x/full

A. Appendix I

Voor de afleiding van het Black-Scholes model is een aantal assumpties gemaakt die door Black en Scholes (1973, p.640) worden beschreven als “de ideale omstandigheden“. Deze aannames zijn:

• De kortetermijn rentevoet kan bekend worden geacht en is constant.

• De prijs van een aandeel volgt een random walk met een variance rate1 _{die proportioneel}

stijgt met het kwadraat van de aandelenprijs. Deze variance rate of return wordt constant geacht en daarom is de waarde van een aandeel over elk eindig interval lognormaal verdeeld. • Er wordt geen dividend uitgekeerd noch enig andere vorm van betaling gedaan op een

aan-deel.

• De optie is “Europees“, oftewel het recht tot koop of verkoop kan alleen worden uitgeoefend op de einddatum.

• Er zijn geen transactiekosten voor het handelen of uitschrijven van opties.

• Het is mogelijk om een willekeurig deel van de prijs van een aandeel te lenen, om dit aandeel aan te schaffen of om deze te kunnen behouden, tegen de kortetermijn rentevoet.

• Short selling is toegestaan. Een verkoper die het aandeel niet bezit accepteert de prijs voor het aandeel van een koper en zal de koper op een later gespecificeerde datum de prijs dat het aandeel dan noteert terugbetalen.

B. Appendix II

Het gebruikte verzekeringsproduct voor de beoordeling van de VWF heeft de volgende specifica-ties:

• Er worden jaarlijkse premies betaald ter waarde van 8000 euro.

• Het gegarandeerde rendement op het ingelegde geld is 2 procent per jaar. Dit gegarandeerde rendement wordt gegeven over de betaalde premie verminderd met de kosten (ook verwachte aan-en verkoopkosten) en een (deterministische) risicopremie.

• Er zijn jaarlijkse constante kosten van 10 euro aan het verzekeringsproduct verbonden. • Bij de inleg van nieuwe gelden worden er aankoopkosten gemaakt ter waarde van een half

procent van het ingelegde bedrag.

• Bij de verkoop op de einddatum worden er kosten gemaakt ter waarde van een half procent van de fondswaarde.

• Bij overlijden van de polishouder wordt een bedrag ter grootte van 200.000 euro uitgekeerd, hiervoor wordt jaarlijks een risicopremie in rekening gebracht (zie tabel 3.1).

• De verzekeraar houdt de fondswaarde als voorziening aan.

• In deze studie wordt een beleggingspolis afgesloten door een dertigjarige man op 1 januari 2016.

C. Appendix III

In het kader over de TVOG in paragraaf 4.3 wordt de put-call pariteit dusdanig omgevormd dat de intrinsieke waarde van een putoptie te schrijven is als:

IW = G ∗ e−rT− S0= p − c

waarbij p en c de putoptieprijs respectievelijk de calloptieprijs zijn met dezelfde strikeprijs G en S0 de aandelenprijs in het heden voorstelt. Het idee dat achter de put-call pariteit schuilt is

dat twee producten die altijd een gelijke pay off hebben ook tegen dezelfde prijs moeten worden verhandeld. Ook voor de producten G ∗ e−rT − S0 (het oprenten van het bedrag G en short selling

van een aandeel) en p − c (het aanschaffen van een putoptie en verkopen van een calloptie) geldt dat ze een gelijke pay off hebben in alle situaties:

G∗ e−rT− S0 p− c

G− ST Voor ST > G:

G− ST

Voor ST < G:

G− ST

Zoals in het kader over de TVOG in paragraaf 4.3 al geconcludeerd is, kan de calloptieprijs c niet negatief worden (in verband met arbitrage). Daarom geldt, in het geval dat de TVOG negatief zou zijn, dat:

IW = G ∗ e−rT − S0> p − c (omdat c ≥ 0)

TVOG terug positief zal worden, namelijk p − c zal door beleggers worden aangekocht (waardoor p stijgt) en G ∗ e−rT − S0 zal worden verkocht (waardoor S0 stijgt; het verkopen van dit product

impliceert het aankopen van een aandeel, hetgeen een prijsstuwend effect heeft). Wanneer p stijgt wordt

TV OG= p − IW

minder negatief. Daarnaast wordt de intrinsieke waarde IW kleiner wanneer S0 stijgt, waardoor

de TVOG ook stijgt in waarde. Dit arbitrageproces gaat net zolang door totdat de put-call pariteit weer in de markt wordt waargenomen (indien er geen transactie kosten zijn). Zolang aan deze put-call pariteit wordt voldaan, zoals ook al opgemerkt in het kader in paragraaf 4.3, kan de TVOG nooit negatief zijn.

D. Appendix IV

In Corporate Fincance van Berk en DeMarzo (2011) wordt een andere definitie van de intrinsieke waarde voor een Europese putoptie gehanteerd, namelijk: G − S0. Gebruikmakend van de

put-call pariteit is te zien dat, in tegenstelling tot de eerder gebruikte definitie van de TVOG voor een Europese optie, deze variant van de TVOG wel negatief zou kunnen worden:

p= G − S₀ | {z }

+ c − (G − G ∗ e−rT)

| {z }

IW TVOG

Wanneer de optie voldoende deep-in-the-money is, is deze TVOG negatief (Berk en DeMarzo, 2011, p.689). De vraag rijst of de resultaten van dit onderzoek anders zouden zijn geweest wanneer deze definitie van de intrinsieke waarde zou zijn gebruikt. Indien de definitie van Berk en DeMarzo (2011) in dit onderzoek zou zijn gebruikt, dan zou de IW van de garantie toenemen met (G − G ∗ e−rT). Omdat BS(σ ) − BS(0)1 hetzelfde blijft en de werkelijke optieprijs (lees: waarde van de garantie) bij MC ook onveranderd blijft door de verandering van de definitie, is in te zien dat de waardering van de optie met de VWF stijgt. De resultaten van dit onderzoek lieten zien dat in alle geteste situaties de VWF een overschatting van het verwachte verlies geeft (ten opzichte van MC). Wanneer de optieprijs geschat met de VWF nog groter zou worden door een grotere IW, dan neemt de overschatting in alle geteste gevallen verder toe en wordt de VWF (nog) onnauwkeuriger voor de geteste scenario’s.

Een situatie die is uitgesloten onder het Black-Scholes model (zie Appendix I) is dat er dividend op de aandelen wordt uitgekeerd. De put-call pariteit wordt (Berk en DeMarzo, 2011, p.691):

p= G − S₀ | {z }

+ c − (G − G ∗ e−rT) + PV (Div)

| {z }

IW TVOG

Hier is PV(Div) de contante waarde van de toekomstige dividenden. Omdat dividend voor de eenvoud in deze studie al niet was verwerkt in de modellen resteert het, voor de compleetheid, om op te merken wat het gevolg is voor de TVOG als er toch dividend zou worden betaald, oftewel: kan de TVOG al dan niet negatief worden? Voor de definitie van Berk en DeMarzo (2011) geldt dat de TVOG, wanneer de optie voldoende deep-in-the-money is, nog steeds negatief kan worden (ondanks de toevoeging van de contante waarde van de toekomstige dividenden). Wanneer (G−G∗ e−rT) wordt afgetrokken van de garantiewaarde G (oftewel van de intrinsieke waarde; de definitie gebruikt in dit onderzoek), dan is direct duidelijk dat:

c+ PV (Div) ≥ 0

Hiermee is aangetoond dat de conclusies voor beide definities van de TVOG (en dus beide defini-ties voor de IW) onveranderd blijven.

E. Appendix V

1 t i c 2 %B e s c h r i j v i n g p r o d u c t : B e l e g g i n g s v e r z e r k e r i n g 3 c l e a r a l l 4 s i g m a = 0 . 0 2 5 4 8 ; 5 n = 1 0 0 0 0 0 ; 6 p j = 1 ; %a a n t a l p r e m i e j a r e n , m a x i m a a l cd 7 cd= 3 0 ; %c o n t r a c t d u u r 8 p i= 8 0 0 0 ; %g e l i j k b l i j v e n d e j a a r l i j k s e p r e m i e ( prenummerando ) 9 JVK = 0 ; %J a a r l i j k s e v a s t e k o s t e n 10 PK = 0 . 0 0 ; %P e r c e n t a g e k o s t e n b i j a a n k o o p o f v e r k o o p , z o a l s b e l e g g i n s k o s t e n 11 g = 0 . 0 2 ; %g e g a r a n d e e r d r e n d e m e n t 12 o r p = 0 ; %o v e r l i j d e n s r i s i c o p r e m i e ( j a o f n e e ) 13 b = 2 0 0 0 0 0 ; %c o n s t a n t e u i t k e r i n g b i j o v e r l i j d e n 14 b v a r = 0 ; %∗100= p e r c e n t a g e van f u n d v a l u e i −1 d a t u i t g e k e e r d w o r d t b i j o v e r l i j d e n t u s s e n i −1 en i 15 T = 1 : 1 0 0 ; 16 r = 0 . 0 1 . ∗ [ − 0 . 1 5 1 −0.152 −0.118 −0.055 0 . 0 2 7 0 . 1 2 6 0 . 2 3 6 0 . 3 5 2 0 . 4 4 8 0 . 5 6 4 0 . 6 4 8 0 . 7 1 8 0 . 7 9 5 0 . 8 6 2 0 . 9 1 9 0 . 9 4 6 0 . 9 7 0 0 . 9 9 0 1 . 0 0 9 1 . 0 2 6 1 . 0 3 8 1 . 0 5 6 1 . 0 8 0 1 . 1 0 7 1 . 1 3 8 1 . 1 7 0 1 . 2 0 4 1 . 2 3 9 1 . 2 7 5 1 . 3 1 1 1 . 3 4 6 1 . 3 8 2 1 . 4 1 7 1 . 4 5 1 1 . 4 8 5 1 . 5 1 9 1 . 5 5 1 1 . 5 8 3 1 . 6 1 4 1 . 6 4 4 1 . 6 7 3 1 . 7 0 2 1 . 7 2 9 1 . 7 5 6 1 . 7 8 2 1 . 8 0 7 1 . 8 3 2 1 . 8 5 5

1 . 8 7 8 1 . 9 0 1 1 . 9 2 2 1 . 9 4 3 1 . 9 6 4 1 . 9 8 3 2 . 0 0 2 2 . 0 2 1 2 . 0 3 9 2 . 0 5 6 2 . 0 7 3 2 . 0 9 0 2 . 1 0 5 2 . 1 2 1 2 . 1 3 6 2 . 1 5 1 2 . 1 6 5 2 . 1 7 9 2 . 1 9 2 2 . 2 0 5 2 . 2 1 8 2 . 2 3 0 2 . 2 4 2 2 . 2 5 4 2 . 2 6 5 2 . 2 7 6 2 . 2 8 7 2 . 2 9 8 2 . 3 0 8 2 . 3 1 8 2 . 3 2 8 2 . 3 3 7 2 . 3 4 7 2 . 3 5 6 2 . 3 6 5 2 . 3 7 3 2 . 3 8 2 2 . 3 9 0 2 . 3 9 8 2 . 4 0 6 2 . 4 1 4 2 . 4 2 2 2 . 4 2 9 2 . 4 3 6 2 . 4 4 3 2 . 4 5 0 2 . 4 5 7 2 . 4 6 4 2 . 4 7 0 2 . 4 7 7 2 . 4 8 3 2 . 4 8 9 ] ; %G e b r u i k t e r e n t e t e r m i j n s t r u c t u u r 17 qx= x l s r e a d ( ’ AG2014 . x l s x ’) ; 18 19 qxk =z e r o s(cd, 1 ) ; 20 f o r i = 1 :cd 21 qxk ( i ) =qx ( 3 0 + i , 2 + i ) ; 22 end 23 24 kpx =z e r o s(cd, 1 ) ; 25 kpx ( 1 ) =1−qx ( 3 1 , 3 ) ; 26 f o r i = 2 :cd 27 kpx ( i ) = kpx ( i −1) ∗(1 − qx ( 3 0 + i , 2 + i ) ) ; 28 end 29 30 f o r w a r d =z e r o s( 1 0 0 , 1 ) ; 31 f o r w a r d ( 1 ) = r ( 1 ) ; 32 f o r i = 2 :l e n g t h( f o r w a r d ) 33 f o r w a r d ( i ) =exp(− r ( i −1) ∗ ( i −1) ) /exp(− r ( i ) ∗ ( i ) ) −1; 34 end 35 36 DF=z e r o s ( 1 0 0 , 1 ) ; 37 DF ( 1 ) = 1 ; 38 f o r i = 2 : 1 0 0 39 DF ( i ) =exp(− r ( i −1) ∗ ( i −1) ) ; 40 end

41 42 f o r w a r d k =z e r o s ( (cd) , 1 ) ; 43 f o r w a r d k ( 1 ) = r (cd) ; 44 f o r i = 2 : (cd) 45 f o r w a r d k ( i ) =l o g ( ( DF ( i ) / DF (cd+ 1 ) ) ^ ( 1 / (cd−i + 1 ) ) ) ; 46 end 47 48 r k =z e r o s ( (cd) , 1 ) ; 49 r k ( 1 ) = 0 ; 50 f o r i = 2 : (cd) 51 r k ( i ) = − ( 1 / ( i −1) ) ∗ f o r w a r d k ( i ) ∗ (cd−i + 1 ) + ( 1 / ( i −1) ) ∗ r (cd) ∗cd; 52 end 53 54 DFK=z e r o s ( (cd) , 1 ) ; 55 DFK ( 1 ) = 1 ; 56 f o r i = 2 : (cd) 57 DFK( i ) =exp(− r k ( i ) ∗ ( i −1) ) ; 58 end 59 60 P=p i∗ o n e s ( p j , 1 ) ; 61 P1=z e r o s(cd , 1 ) ; 62 P1 ( 1 ) =p i ; 63 i f p j ==1 64 P1 ( 1 : p j ) =P ; 65 e l s e 66 P1 ( 2 : ( p j ) ) =P ( 2 : ( p j ) ) . ∗ kpx ( 1 : ( p j −1) ) ; 67 end 68 69 JVK1=JVK∗ o n e s ( 1 ,cd) ;

71 72 F u n d p r o j =z e r o s ( 1 ,cd) ; 73 F u n d p r o j ( 1 ) =(1−PK ) ∗ ( P1 ( 1 )−JVK1 ( 1 )−o r p ∗ qxk ( 1 ) ∗ ( 1 / ( 1 + f o r w a r d ( 1 ) ) ) ∗ ( b + ( b v a r −1) ∗ ( P1 ( 1 )−JVK1 ( 1 ) ) ) ) ∗exp( f o r w a r d k ( 1 ) ) ; 74 r p =z e r o s ( 1 ,cd) ; 75 r p ( 1 ) = qxk ( 1 ) ∗ ( 1 / ( 1 + f o r w a r d ( 1 ) ) ) ∗ ( b + ( b v a r −1) ∗ F u n d p r o j ( 1 ) ) ; 76 f o r i = 2 :cd 77 f o r j = i : − 1 : 1 78 i f i == j 79 r p ( i ) =max( kpx ( i −1) ∗ qxk ( i ) ∗ ( 1 / ( 1 + f o r w a r d ( i ) ) ) ∗ ( b + ( b v a r −1) ∗ sum( F u n d p r o j ( 1 : i −1) ) ) , 0 ) ; 80 F u n d p r o j ( i ) =((1 −PK ) ∗ ( P1 ( i )−JVK1 ( i )−o r p ∗ r p ( i ) ) ) ∗exp( f o r w a r d k ( i ) ) ; 81 e l s e 82 F u n d p r o j ( j ) = F u n d p r o j ( j ) ∗exp( f o r w a r d k ( j ) ) ; 83 end 84 end 85 end 86 87 F u n d p r o j 1 =sum( F u n d p r o j ) ; 88 89 k = ( JVK∗ o n e s ( 1 ,l e n g t h ( F u n d p r o j ( ( p j + 1 ) :cd−1) ) ) + o r p ∗ r p ( ( p j + 1 ) :cd−1) ) ; 90 k1=exp(− f o r w a r d (cd) ) ∗PK∗ F u n d p r o j 1 ; 91 ck =k1 ; %sum ( DF ( ( p j + 2 ) : ( cd ) ) ’ . ∗ k / DF ( p j + 1 ) ) +k1 ; 92 93 PminK=P−JVK ; 94 PminK1=P1−JVK−o r p ∗ r p ’ ; 95 96 I =z e r o s ( 1 ,cd) ;