Konjugierte (symmetrische) Koppelkurven erzeugt von Gelenkvierecken mit gleichem Übertragungswinkel

Konjugierte (symmetrische) Koppelkurven erzeugt von

Gelenkvierecken mit gleichem Übertragungswinkel

Citation for published version (APA):

Dijksman, E. A. (1985). Konjugierte (symmetrische) Koppelkurven erzeugt von Gelenkvierecken mit gleichem

Übertragungswinkel. Forschung im Ingenieurwesen, 51(5), 141-146. https://doi.org/10.1007/BF02560770

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10.1007/BF02560770

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Gepubliceerd: 01/01/1985

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Konjugierte (symmetrische) Koppelkurven erzeugt von Gelenkvierecken

mit gleichem Ubertragungswinkel

Evert. A. Dijksman*)

Mit Hilfe der schon im vorigen Jahrhundert gefundenen Fokaleigenschaften des Gelenkvierecks gelingt es, je vier unterschiedliche, jedoch symmetrische Koppelkurven einander zuzuordnen. Aus historischen Griinden nennen wir sie einander konjugiert. Auch vier solche konjugierte Kurven erzeugende Gelenkvierecke gleichen Typs heiflen dann einander konjugiert. Je zwei einander konjugierte Gelenkvierecke bilden eine iibergeschlossene Kette unter Einfiihrung yon einem Verbindungsstab zwischen den zwei konjugierten Koppelpunkten, wenn entweder die einander konjugierten Koppeln oder sonst die zwei einander konjugierten Kurbeln in jeder Stellung gleiche Winkelgeschwindigkeiten durchlaufen. Aufler mit dieser getrieblichen und iibergesch[ossenen Kupplung zwischen den vier konjugierten Gelenkvierecken sind solche Gelenkvierecke auch zu bestimmen, wenn man die (Jbertragungswinkel, die der inneren und der ?iufleren Steglage angeh6ren, miteinander vertauscht und dariiber hinaus eventuell auch noch das Vorzeichen des Obertragungswin- kels J~r die beiden Steglagen dndert. Der (Jbertragungswinkel i1 als Funktion des Kurbelwinkels ~p wird damit beijedem Umlauf entweder um einen Phasenwinkel A~p = ~ verschoben, oder er dndert sein Vorzeichen. Phasenverschiebung und Zeichendnderung im Wechsel fiihrt dann zum vierten Gelenk- viereck dieser Familiengruppe.

1. Einleitung

Wie bekannt, wird gemfil3 dem Robertsschen Satz die g l e i c h e Koppelkurve von drei verschiedenen Gelenkvierecken erzeugt. Durch Aneinanderknfipfen der drei erzeugenden Koppelgetriebe entsteht eine zweifach-iibergeschlossene Kette, die Konfiguration yon Roberts genannt wird. Dabei handelt es sich jedesmal um identische Koppelkurven. Nicht-identische Koppelkurven k6nnen aber auch, wie hier gezeigt, eine Verwandtschaft aufweisen. Eine solche Verwandtschaft kann natfirlich nicht zum Robertsschen Satz zuriickffihren, weil es sich nicht um ~ihnliche oder identische Koppelkurven handeln soll. Auch werden Koppelkurven ausgeschlossen, die auf irgendeine Weise zur gleichen Koppelebene geh6ren oder mit dem Robertsschen Satz darauf zurfickzufiihren sind.

Zwei verwandte, jedoch nicht identische Koppelkurven heil3en konjugiert, wenn sie folgender Definition genfigen:

Zwei nicht-identische (symmetrische) Koppelkurven sind miteinander konjugiert, wenn die zugeh6rigen und erzeugen- den Gelenkvierecke auf ~hnliche Weise auseinander abzu- leiten sind und mit zwei hinzugefiigten Zweigelenkgliedern 1) eine iibergeschlossene Kette bilden.

Mit Hilfe des GrObler-Kutzbach-Kriteriums kann dann leicht gezeigt werden, dab diese Definition zu einer einfachen iibergeschlossenen Kette fiihrt, d.h. zu einem wegen der Sonderabmessungen sffmdig zu bewegenden statischen Fach- werk, bestehend aus 9 Gliedern und 12 Drehgelenken (oder was - wie spfiter gezeigt wird - auch m6glich ist, bestehend aus 7 Gliedern und 9 Drehgelenken).

Eines der zwei hinzugefiigten Zweigelenk- oder bin~iren Glieder ist immer der Verbindungsstab zweier konjugierter Koppelpunkte. Das zweite ist entweder ein dazu parallellaufen- der Stab, so dab damit ein Gelenkparallelogramm entsteht, oder ein Verbindungsstab zweier Kurbeln, so dab damit ein tern~ires Glied entsteht.

*) Dr. E.A. Dijksman, Produktion, Technologie und Automatisierung,

Maschinenbauabteilung der Technischen Hochschule Eindhoven, Nieder- lande.

1) Ein Zweigelenkglied ist ein bin~irer Stab mit zwei Drehgelenken.

Um das zu beweisen, geniigt es zu zeigen, dab zwei konjugierte Koppeln immer gleiche Winkelgeschwindigkeit haben oder dab (im zweiten Fall) zwei um eine gemeinsame Achse drehende Kurbeln st/indig gleiche Winkelgeschwindig- keiten aufweisen. Es genfigt aul3erdem, nur einen der zwei F~ille zu untersuchen, weil der andere unmittelbar aus dem Roberts~ schen Satz folgt. Die Konjugierung yon Koppelkurven wird am einfachsten bewiesen, wenn wir uns auf symmetrische Koppel- kurven beschr~inken. Eine weitere Einschr~inkung und Verein- fachung findet man durch die Wahl des Koppelpunktes auf der Wirkungslinie der Koppel.

Wie bekannt, sind die Koppelkurven symmetrisch, wenn entweder

(1) Ao,4 = BoB und AK= BK oder (2a) BoB=AB= KB oder entsprechend (2b) AoA = BA = KA

gilt. Es gibt noch eine dritte M6glichkeit, wobei es genfigt, den Koppelpunkt K auf die Koppel zu legen. Die zugeh6rige Symmetrie betrifft dann die ganze Kurve, nicht jeden Zweig der Kurve, wie dies ffir die ersten beiden M6glichkeiten der Fall ist. Spfiter wird noch gezeigt, dab Konjugierung nur zutrifft, wenn die Grashof-Bedingung ffir Umlauff'ahigkeit erffillt ist. Es hat dann auch gar keinen Zweck, den dritten Symmetriefall zu betrachten, wobei jeder Zweig der Koppelkurve, ohne selbst symmetrisch zu sein, aus dem zweiten Zweig durch Spiegelung an der Gestellgeraden abgeleitet werden kann.

2. Getriebliche Verbindung

zwischen zwei konjugierten Gelenkvierecken gleichen Typs, die einander zugeordnete, symmetrische Koppelkurven erzeugen

In Bild I wird yon cinem trivial-symmetrischcn Gelenkvicr- eck AoA-K-BB o ausgegangen, wobei der Koppelpunkt K der Einfachheit halber in der Mitte der Koppel gew~ihlt worden ist. D a auch AoA = BoB und die Grashof-Bedingung erf/illt sind, soil jeder Zweig der Koppelkurve symmetrisch sein und eine gemeinsame Symmetrieachse haben, die mit der Mittel- senkrechten yon AoB o zusammenfiillt. Weil aul3erdem die

Konjugierte Koppelkurven erzeugt von Gelenkvierecken mit gleichem Obertragungswinkel

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BUd 1. Kinemat~che Verwandtzlchaft zwischen Robertsschen und

Chebyshevschen Gelenkvierecken.

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F,4 A d K d a d

Bikl 4. Zwei mechanisch verlmndene und konjugierte Doppelkurbeln,

A K B

A

o

~

B

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Bild 2. Zwei konjugierte Doppelschwingen, mechanisch verbunden. Bild 5. Konjugation zwischen Doppelschwinge and Doppelkurbel. A (~ K B

A o

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B o

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I \-~,V~Oo

I ~ B c. D',

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A d

F,3 F.6 A d K d a d

Bild 3. Konjugation zwischen Doppelschwinge und Doppelkurbel. Bild 6. Vier konjuglerte, symmetrische Gelenkvierecke in vollstiindiger

Konflguration.

Zwischen je zwei direkt konjugierten Gelenkvierecken existiert jedesmal ein gemeinsames Fokalzentrum. Die vier Gelenkviereeke haben alle das gleiche Gestell. Die zugel't6rigen Koppeln haben stets die gleiehe Wiakelgeschwin- digkeit to.

Grashof-Bedingung f'tir Umlauffiihigkeit der Koppel erfiillt ist, gibt es zwei Symmetrielagen: die f2berdeckungslage und die Lage mit einfach umschlossenem Fl~icheninhalt. Fiir den erzeugenden Koppelpunkt K gibt es dann zwei damit iiberein- stimmende Lagen auf der Symmetrieachse, von denen in Bild 1 nur die AuBenlage gezeigt ist. Das konjugierte Gelenkviereck

A oA ~-D'-BCBo, das in bezug auf die Ausgangskurve eine nicht-

identische, konjugierte Koppelkurve erzeugen soil, erh~ilt man jetzt auf folgende Weise:

a) Das Ausgangsgetriebe A o A - K - B B o, wofiir AoA = BoB und

A K = B K gilt (mit K auf AB), wird in eine von zwei

Symmetriestellungen gelegt.

b) Zun/ichst schneidet man einen Thaleskreis mit dem Durch- messer BoB in zwei Punkten D~ und D 2 mit der Symmetrie- achse. (Hiernach f'tihrt jeder Punkt D zu einem unterschied- lichen, konjugierten Gelenkviereck.)

c) Nach A.B. Kempe [1] und L. Burmester [2] ist es dann zul~issig, jeden Punkt D auf bestimmte Weise mit den vier Seiten des Gelenkvierecks zu verbinden, und zwar ohne die Vierecksbewegung zu behindern. Das auf diese Weise entstandene zweifach iibergeschlossene achtgliedrige Ge- lenkgetriebe wird Fokalgetriebe genannt. In unserem Fall ist es aber ein symmetrisches Getriebe. Dabei sind in Bild 1 nur drei beigef'tigte St/ibe gezeigt. Diese sind DK, DC und der gespiegelte Stab von DC. Der vierte Stab ist der Verbindungsstab zwischen dem Fokalzentrum D und dem Gestell, n~imlich DA'o, wobei A~ Schnittpunkt ist yon AoB o und Symmetrieachse.

d) Weiter wird ein Zweischlag KB'B o hinzugefiigt, und zwar so, dab BoBKB' ein Gelenkparallelogramm bildet. e) Aufgrund des Sylvesterschen Plagiographen [4] findet man

auf der verl~ingerten Stange B'Bo einen Punkt C', der, in bezug auf KD, einen Kreis um D' beschreibt, wie ja auch C einen K reis um D durchl~iuft, d. h. C' (von B'Bo) und D' (von KD) sind gelenkig miteinander zu verbinden. (Aufgrund des plagiographischen Prinzips liegen K, D und C' in jeder Lage auf einer Geraden.)

f) In gleicher Weise wird ein Zweischlag BoBCD ' hinzugefiigt, und zwar so, dab BoBCD'C ' ein Gelenkparallelogramm bildet. Man bemerkt, dab B~D ', BoC' und KB in jeder Lage die gleiche Winkelgeschwindigkeit 09 haben.

g) Aufgrund der Symmetric findet man einen zu BoBCD ' spiegelsymmetrischen Zweischlag AoACD ' mit ebenfalls gleicher Winkelgeschwindigkeit co fiir ACD ' und AK. Es folgt, dab BCD'A ~ eine starre Koppel bildet.

h) SchlieBlich erh~ilt man das konjugierte Gelenkviereck

AoA~D'-BCBo, wobei der Zwischenstab D'K die zwei

einander konjugierten Koppelpunkte verbindet.

AuBerdem haben die einander konjugierten Koppeln A KB und

ACD'B c an jeder Stelle die gleiche Winkelgeschwindigkeit 09, so

dab ein zweiter Zwischenstab parallel zu D ' K die zwei konjugierten Koppeln verbinden kann.

Weil die Kurven der im vorigen Abschnitt eingefiihrten Definition geniigen, beschreiben die einander-konjugierten Koppelpunkte D' und K einander konjugierte und auBerdem symmetrische Koppelkurven. Es ist iibrigens leicht zu zeigen, dab auch umgekehrt das urspriingliche Getriebe wieder aus dem konjugierten Gelenkviereck auf Ahnliche Weise gewonnen werden kann.

Bemerkenswert ist auch, dab die zwei einander konjugierten Gelenkvierecke A o A - K - B B o und AoA~D'-BCBo jetzt ein gemeinsames Gestell und ein gemeinsames Fokalzentrum haben. (Im allgemeinen aber muB diese Eigenschaft etwas modifiziert werden.)

l

= .cJo i

AO A /

BBo

=

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AOA 1

B~Bo

Doppelschwinge

Doppelschwinge

02

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AoA 2

B2B 0 --

~'~2~

Ao Ad/ ~BdB 0

Doppelkurbel

I -

Doppelkurbel

Bild 7. Z u s a m m e n h a n g zwischen den Her konjugierten und symmetri- schen GelenkHerecken in graphischer Darstellung.

Die vier konjugierten Koppelpunkte bilden ein Gelenkparallelogramm, w/ihrend die vier Koppeln identische Winkelgeschwindigkeit haben.

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Bild 8. Zwei Symmetrielagen von einem Paar konjuglerter Gelenk- vierecke. A~ Bo w C~

B"

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Bild 9. KonjugatJon zwischen Doppelkurbel und Kurbelschwinge.

Konjugierte Koppelkurven erzeugt yon Gelenkvierecken mit gleichem Obertragungswinkel e"c k /

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F.IO Bild 10. Konjugation zwischen zwei Doppelkurbeln.

Normalerweise sind zweieinander konjugierte Koppelkur- ven nicht identisch. Es gibt aber einen Sonderfall, bei dem eine Kurve durch die erw~ihnte Transformation in eine im Gestell gespiegelte Koppelkurve iibergeht. Dieser Fall trifft zu, wenn das Lot yon D auf den Mittelpunkt C der Seite

BoB

f~illt und man somit 2 B o C =

BoB

erhhlt. Es ist leicht zu zeigen, dab dann

KB=BoC'=B'D '

und auch

BoB=2DC=BCBo

gilt. Es folgt weiter, dab dann alle konjugierten Stablhngen einander gleich sind, so dab auch die konjugierten Kurven einander gleich sein miissen und fiberdies ineinander fibergefiihrt werden k6nnen durch Spiegelung an der Gestellgeraden. Damit ist dann die 9 Einheitstransformation festgelegt, wobei die Koppelkurven

nur reflektiert werden.

Auch im Fall

2BoC* BoB

fhllt auf, dab zu einer Oberkreuz- lage immer eine Nicht-Oberkreuzlage geh6rt und umgekehrt. Wenn man z.B. das Ausgangsgetriebe in die zweite Symmetrie- lage bringt, geht damit seine Nicht-Oberkreuzlage in eine Oberkreuzlage tiber. Genau das Umgekehrte geschieht mit dem konjugierten Gelenkviereck.

Bekanntlich sind beide Robertssche Kurvenverwandte des Ausgangsgetriebes 2-Getriebe. Sie geniigen den Symmetriebe- dingungen (2a) bzw. (2b). Ein solches 2-Getriebe hat zwei extreme f2bertragungswinkel (2/~I, 2/t2), die in den beiden Steglagen auftreten. In Bild I i s t so ,~ B'KD = / q =

9zD'C'Bo,

und es gilt ~ihnliches fiir den halben Obertragungswinkel/t z in der zweiten Symmetrielage (siehe auch Bild 8). Im Sonderfall /~t =lt2 zeigt sich, dab 2 B o C =

BoB

ist, wobei zwei konjugierte Koppelkurven sich durch Reflexion (Spiegelung) an der Gestellgeraden ineinander iiberfiihren lassen.

Wenn man die zwei konjugierten Gelenkvierecke

AoA-K-

BB o

und

AoA'-D'-BCBo

gemhl3 dem Robertsschen Satz in die zwei 2-Getriebe

BoB'-K-A'A' o

und

BoC'-D'-AVA'o

umwandelt, bekommt man wieder zwei konjugierte Gelenkvierecke. Die nicht gehnderten, einander konjugierten Koppelpunkte

D'

und K sind, wie beim nicht-umgewandelten Paar, immer noch mit einem gleichen Verbindungsstab aneinander zu kniipfen. Die konjugierten Koppeln haben aber nicht die gleiche Winkelge- 9 schwindigkeit. Eine solche Eigenschaft ist nun bei den zwei konjugierten Kurbeln

BoB'

und

BoC'

vorhanden. Deswegen sind diese zwei Kurbeln auch zu einem einzigen tern~iren Glied umzuformen. Damit bilden die zwei konjugierten 2-Getriebe

zusammen mit

D'K

und einer gemeinsamen Kurbel ein 7- gliedriges, fibergeschlossenes Gesamtgetriebe mit neun Dreh- gelenken. Die oben erwhhnte Definition ist auch in diesem Fall erfiillt, womit die Konjugierung zwischen zwei solchen 2- Getrieben festgelegt ist.

Offenbar sind nur Gelenkvierecke gleichen Typs einander konjugiert, d.h. entweder sind sie beide trivial-symmetrisch, wie auch in Bild 1 gezeigt worden ist, oder sie sind beide vom Typ 2 und mit einer gemeinsamen Kurbel versehen.

Mittels der Ableitung eines Fokalgetriebes kann man beweisen, dab ~ (Bo Be,

Ao Ar - ,): (BOB, AAo)

ist, das heil3t, die Obertragungswinkel zweier konjugierter Lagen der zugeh6ri- gen, konjugierten Gelenkvierecke sind einander gleich. Weil aber die Innensteglage der Aul3ensteglage zugeordnet ist und umgekehrt, sind die Obertragungswinkel im wesentlichen um einen Phasenwinkel der Kurbel von 180 ~ verschoben. Die beiden Extremwerte des Obertragungswinkels (2#x, 2/~2) sind somit nach der Konjugierung vertauscht. Wenn iiberdies aber auch noch eine Kurbelschwinge in eine Doppelkurbel iJberge- ffihrt wird oder umgekehrt, hndert sich aul3erdem noch das Vorzeichen des Obertragungswinkels. (Eine solche Vorzeichen- ~inderung findet natiirlich nicht statt, wenn entweder zwei Kurbelschwingen oder sonst zwei Doppelkurbeln einander konjugiert sind, siehe Bild 13.)

Man hat also insgesamt vier zyklisch-konjugierte Gelenk- vierecke, der Reihe nach charakterisiert durch die Obertra- gungswinkel

(2/q,2P2); (2/t2,2/~x); ( - 2 / t x , - 2 / t 2 ) ; ( - 2 ~ z , - 2 / q ) , wobei das letzte gegeniiber dem ersten Gelenkviereck konju- giert ist usw. Getriebetechnisch handelt es sich dabei stets um vier konjugierte Gelenkvierecke gleichen Obertragungswin- kels. (~brigens ist zu beachten, dab eine Vorzeichen~inderung an sich noch keine

direkte

Konjugierung bedeutet. Dafiir sind immer zwei Konjugierungen n6tig.) Zu dieser Vierfaltigkeit oder zum Konjugationsgrad 4 wird iibrigens im nhchsten Abschnitt eine weitere Erlhuterung gegeben.

Wichtig ist, zu beachten, dab eine Konjugierung auch verschwinden kann. Dies ist der Fall, wenn die zwei Fokal- punkte D1 und Dz imagin/ir sind. Der Grenzfall tritt auf, wenn

D~ = D z ist, wenn also der Thaleskreis fiber dem Durchmesser

BoB gerade die Symmetrieachse beriihrt. Weil weiterhin auch

A'o D ~ = DzK gilt, ist leicht zu zeigen, dab dann/~2 = 0 ist, so dab gerade der Grashofsche Grenzfall vorliegt. Deswegen ist es immer notwendig, dab Umlauffiihigkeit eines Gliedes vorliegt; sonst gibt es keine reel!e Konjugierung. Das heil3t, wenn eines der vier einander konjugierten Gelenkvierecke die Grashof- Bedingung ffir Umlauff~higkeit erffillt, genfigen sie auch alle dieser L~ingebedingung. Im wesentlichen folgt diese Behaup- tung auch schon aus der bereits erw~ihnten Tatsache, dal3 die zwei Extremwerte des Clbertragungswinkels ffir die vier einander zugeordneten Gelenkvierecke sich auf eine Vertau- schung und abwechselnd eine Vorzeichen/inderung nicht ~indern.

3. D e r K o n j u g a t i o n s g r a d 4

Man kann sich fragen, ob nicht mehr als vier konjugierte Gelenkvierecke existieren. DaB dies nicht der Fall ist, zeigt das folgende: Das Ausgangsgetriebe, Bild 2, ergab zwei Schnitt- punkte D t und D2, von denen jeder zu einem anderen Gelenkviereck ffihrte. Diese zwei Gelenkvierecke sind in Bild 2 und 5 angegeben dutch iibereinstimmende Gelenkvierecke

AoA]-D'~-B~B o und AoA~-D'2-B~B o.

Aufganz ~ihnliche Weise schneiden die zwei Thaleskreise mit dem Durchmesser B~B o und B~B o die Symmetrieachse in den bezogenen Fokalpunktpaaren (D~, F1) und (D2, F2), Bild6. Das ffihrt dann wieder zu einem vierten Gelenkviereck Ao Ad-

Kd-BdBo, wovon der Thaleskreis fiber Bo Bd die Symmetrieach- se in den Fokalpunkten (Ft, F2) schneidet, Bild 3 und 4. Weitere Fokalpunkte k6nnen, wie auch Bild 6 zeigt, nicht mehr gefunden werden. Demzufolge ist die Konjugation auch vom vierten Grade.

Die vier zyklisch miteinander konjugierten Gelenkvierecke sind eben leichter zu erhalten, wenn man die Tatsache ausnutzt, dab die Punkte B, D und B c aufeiner Gerade liegen, siehe z.B. auch Bild 2 und 5. Die Anwendung dieser Eigenschaft zeigt Bild 6: Man hat insgesamt nicht mehr als vier stets durch drei

9 Punkte gehende Geraden: (B, D1, B~), (B~, Fl, Bd), (B a, F 2 , B~)

und schliel31ich (B~, D2, B). Bild 6 zeigt die vier Thaleskreise, die sich paarweise in B 0 berfihren. Auch schneiden zwei Paare sich dort senkrecht.

Die vollst/indige Konfiguration aus vier konjugierten Ge- lenkvierecken enth~ilt auBer den vier Verbindungsst~iben

KD1D' 1 , KDzD'z, K a F2D' 2 und K d FID'~ noch die vier AntiparaI- lelogrammgelenkgetriebe A'oDiKDz, A'oD2D'zFz, A'oFzKd FI und A'oF~D~D ~ . Die vier zyklisch konjugierten Koppeln durchlaufen dabei in jeder Stellung dieser Konfiguration gleiche Winkelgeschwindigkeiten. Demzufolge sind noch vier Parallelst~ibe der Konfiguration anzuh~ingen. Aus Bild6 ersehen wir weiter, dab ein Unterschied zwischen direkter und

indirekter Konjugation zu machen ist. Einer l~berkreuzlage ist immer eine Nichtfiberkreuzlage zugeordnet und umgekehrt. Jede Zuordnung dieser Art, wovon es insgesamt vier gibt, betrifft eine direkte Konjugation. Indirekte Konjugationen zwischen zwei Uberkreuzlagen oder zwischen zwei Nichtfiber- kreuzlagen gibt es nur zwei, Bild 7. Eine solche K0njugation findet immer bei einer entgegengesetzten Lage, d.h. bei zwei

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D 2 F.11

Bild 11. Konjugation zwischen Kurbelschwinge und Doppelkurbel.

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F.12 K ~

BUd 12. Vier konjugierte, 2-f'6rmige Gelenkvierecke in vollstindiger Konfiguration.

Alle vier haben das gleiche Gestellglied und gleichc ~bertragungswinkel #.

Xurb,I,c~i,,g, I

(~)

, / K \ = BoB" A'A'~ I - / D 2 \ 9 __

% c$

~;A" o F.13 _ [ Kurbelschwinge - BoC /D'T\A~A,o _

I Doppelkurbel

I

I

BOB" A"Ao Bild 13. Vier konjugterte Gelenkvierecke mit gleichem Gestellglied und gleichen 1Dbertragungswinkeln/t in graphischer Darstellung.

Konjugierte Koppelkurven erzeugt von Gelenkvierecken mit gleichem l~bertragungswinkel \ "ffA2=A'A . A A o

\

\

\

\

\

Mic. 9 Wendekreis K = U = BI 2 8 = S ~ M p 9 t - c a T = S c h n i t t p u n k t yon 9 K" P o l n o r m a l n I Z Mrc. = Riickkehrkrei$- m i t t e l p u n k t Cp = p " (C--Cp) ~ ~ ~Kreisungspunktkurve g / / * /// ~ ' ~ r o / T = Mrc." F.14

Bild 14. Entwnrf eines iibergeschlox.cenen 7-gliedrigen Getriebes mit Parallelfiihrung des Gliedes K K ' .

K und K' erzeugen identische Koppelkurvert mit 6-punktiger Ann~.herung ihrer

Tagenten. T Schnittpunkt von Koppel AB und Polnormal n, Mrc. Rtickkehrkreismittelpunkt, cp = p ( c - cp)

80

~ % ~ ADO K = U = B I 2

Bild 15. l~bergeseldessen/-glledriges Gele.kgetrlebe =nit angeniherter

Geradfiihrung der Koppel.

direkten Konjugationen statt. Zwei direkt-konjugierte Gelenk- vierecke haben, wie schon erw~ihnt, immer nur einen gemeinsa- men Fokalpunkt, wie Dr, D2, Ft oder F 2. Zwei indirekt- konjugierte Gelenkvierecke wie z.B. AoA-K-BB o und Ao Ad- Kd-BdBo oder AoA~-D'I-B~B o und AoA~2-D'2-B~Bo haben zwar identische Koppelwinkelgeschwindigkeiten, jedoch kfn- nen iibereinstimmende Koppelpunkte wie K und K d oder D' 1 und D~ nicht durch einen Verbindungsstab verbunden werden. Auch ist zu beachten, dab die indirekt konjugierten St/ibe, z.B.

BoB und B0 Bd, nur in einer Symmetrielage aufeiner Geraden liegen. Das gleiche gilt fiir die St~ibe B~B o und B~B o.

Sehr bemerkenswert ist die Tatsache, dab eine Doppelkurbel einer Doppelschwinge (Bild7) oder einer Kurbelschwinge

(Bildl3) zugeordnet werden kann. Wie bekannt, sind die Kurvenverwandten von Doppelkurbeln gem~,B dem Roberts- schen Satz wieder Doppelkurbeln.

Bei der eingef'tihrten Konjugation taucht aber eine Ver- wandtschaft auf, die es erm6glicht, eine Doppelkurbel in eine Nicht-Doppelkurbel, d.h. in eine Doppelschwinge oder in eine Kurbelschwinge iiberzufiihren. Der letzte Fall tritt aufbei einer vollst~indigen Konfiguration, die nur 2-Getriebe enth/ilt, Bild 12. Eine solche Konfiguration erh~ilt man aus Bild 6 mit Hilfe des Robertsschen Satzes. Die vier in einer solchen Konfiguration auftretenden ,;t-f6rmigen Gelenkvierecke, siehe auch Bild 8 bis 12, enthalten dabei alle eine gemeinsame Kurbel von unterschiedlicher L~nge. Die Konfiguration hat auBerdem zwei Doppelkurbeln und zwei Kurbelschwingen. Die zuge- hfrigen Obertragungswinkel sind jedesmal um 180 ~ Kurbel- winkel versetzt und werden zudem noch negativ, wenn eine Doppelkurbel vorliegt.

Die hier gezeigte Konjugation kann man, wie mehr oder weniger deutlich ist, auch erweitern, wenn man den Koppel- punkt auBerhalb der Koppellinie w/ihlt. Auch dann bekommt man vier zugeordnete, geschr,~'gt 2-f6rmige Gelenkvierecke, wobei die Koppeldreiecke gleichschenklig sind. Zwei dieser konjugierten Gelenkvierecke haben auBer dem Verbindungs- stab zweier zugeordneter Koppelpunkte noch ein gemein- sames Dreigelenkglied, das Antriebskurbel ist. Es entsteht eine 7-gliedrige, jedoch iibergeschlossene Kette von gleichartigem Aufbau wie beim Zusammenf'tigen zweier Robertsscher Kur- venverwandter. Bei letzterer Kette ging es um ein parallel- gef'tihrtes Glied, und es entstand durch Weglassen einer Schwinge ein 6-gliedriges Gelenkgetriebe nach K. Hain [7], siehe auch Bild 14 und 15. Die beiden 7-gliedrigen Ketten zeigen aber gleichzeitig eine iibereinstimmende Verwandtschaft: beim 7-gliedrigen Parallelfi.ihrungsgetriebe durch die zwei iden- tischen Koppelkurven, beim neuen Getriebe durch die gleichen Verl~iufe der l~bertragungswinkel.

Literatur

[1] Kempe, A.B.: On conjugate four-piece linkages. Proc. L o n d o n Math. Soc. Bd. 9 (1878) S. 133/47.

[2] Burmester, L.: Die Brennpunktmechanismen. Z. Mathe- matik u. Physik Bd. 8 (1893) S. 193/223.

[3] Dijksman, E.A.: How to design four-bar function cogna- tes. Proc. 4th World Congress on TMM. Newcastle upon Tyne, England, Sept. 1975 Bd. 4, Paper Nr. 158, S. 847/53. [4] Dijksman, E.A.: Motion geometry of mechanisms9 Cam- bridge, London, New York, Melbourne: Cambridge University Press 1976.

[5] W'underlich, E.: Ebene Kinematik. Hochschultaschenbii- cher Nr.447/447a, S. 125/30. Mannheim, Wien, Ziirich: Bibliographisches lnstitut 1970.

Dijksman, E.A.: An unsymmetrical Watt-1 linkage' generating a family of symmetrical curves. Mechanism and Machine Theory Bd. 19 (1984) Nr. 3, S. 297/306.

[7] Hain, K.: Erzeugung von Parallel-Koppelbewegungen mit Anwendungen in der Landtechnik. Grundl. Landtechnik Bd. 14 (1964) Nr. 20, S. 58/68.

[8] Hain, K.: Diagonalwinkelzuordnung im Gelenkviereck. Ing.-Archiv Bd. 25 (1957) Nr. 3, S. 193/200.

[9] Boden, H.: Zwei beziJglich des Diagonal-tJbersetzungsver-

h~iltnisses gleichwertige Gelenkvierecke. Wiss. Zeitschr. Hochschule fiJr Maschinenbau, Karl-Marx-Stadt Bd. 2 (1960) Nr. 3, S. 245/49.

[6]

Eingegangen am10.12.1984 F3754