MULO-A Meetkunde 1953 Rooms-Katholiek

UItwerkingen Mulo-A Examen 1953 Meetkunde Rooms-Katholiek

Opgave 1

a) Uit het gegeven _{ B 120}0 _{volgt dat  A 60}0 _{(binnenhoeken aan dezelfde kant v.d. snijlijn) en daar AM}

bissectrice is van A , geldt DAM  BAM 30 .0

Daar _{   D B 120}0 _{(overst. hoeken) volgt nu dat AMD30}0 _{(hoeksom in driehoek ADM).}

Driehoek ADM heeft dus twee gelijke hoeken en is daarmee gelijkbenig: AD = DM.

b) Uit AD = DM en AD = BC (overst. zijden) volgt BC = DM = MC zodat ook driehoek BCM gelijkbenig is. Daar _{   C A 60}0 _{(overst. hoeken) volgt nu dat BMC CMB60}0 _{en dus ook ABM 60 .}0

BM is dus inderdaad de bissectrice van  B.

c) We zagen reeds dat driehoek BMC gelijkzijdig is en derhalve is MB = BC.

d) Uit BAM300 en ABM 60 ,0 volgt dat AMB900 (hoekensom in driehoek ABM).

Opgave 2

a) Daar driehoek ABD van het type 300 _{– 60}0 _{– 90}0 _{is, volgt uit AB2 3 direct dat BD} en _{2 AD} _4.

b) Driehoek ADE is rechthoekig in A en ABDE. Dan geldt volgens de projectiestelling dat

_AB2_{BD BE of} 2

(2 3)  2 BE. Hieruit volgt BE 6.

c) De stelling van Pythagoras in driehoek AED geeft 2 2 2 2

8 4 48 4 3.

AE DE AD     Volgens de machtstelling geldt _{EF EA EB } 2 _ofwel 2

4 3 6

EF  en dus 36 3 3. 4 3

EF  d) _BD2 _{DC DA (machtstelling) ofwel 2}2_{DC en dus 4 DC waaruit volgt 1 AC 3.}

Volgens Pythagoras geldt dan CF2 AC2AF2 32( 3)212 zodat CF2 3. e) Nogmaals Pythagoras leert dat DF2AD2AF242( 3)219 en dus DF 19.

Opgave 3

De constructie kan als volgt geschieden.

1) Teken het lijnstuk AD en richt in beide eindpunten een loodlijn op.

2) Construeer van de rechte hoek in A de bissectrice en construeer vervolgens ook de bissectrice van de ontstane hoek van 450 _{waarvan AD een been is.}

3) Het snijpunt van deze laatste bissectrice en de loodlijn in D is B. 4) Pas het lijnstuk DB vanuit D af op DA en noem het eindpunt C. 5) Voltooi de driehoek.

Verklaring van de stappen 2 en 4: driehoek ABC is gelijkbenig en heeft een tophoek van 1350_{, zodat de}

basishoeken elk 22½ 0 _{zijn. DaarACB135}0

, is BCD450en daar  D 900, is driehoek BCD rechthoekig gelijkbenig.