Mulo B-examen (1921) Opgave 1
Door het tekenen van de loodlijn vanuit B naar zijde CD ontstaat een 30 / 60 / 900 0 0- driehoek waarvan we dan ook direct alle zijden kennen.
Uit BC = 15 volgt namelijk EC = 7,5 en BE = 7,5 3. Hieruit volgt dan direct dat DE = 32,5 Het tekenen van diagonaal BD levert via de stelling van Pythagoras vervolgens:
2 32,52 (7,5 3)2 1225
BD zodat BD = 35.
Nogmaals de stelling van Pythagoras geeft ten slotte AD2 352 212 784 d.w.z. AD = 28.
15 21 E D A C B Opgave 2
Daar het gelijkbenige trapezium ABCD een raaklijnenvierhoek is, geldt dat de som van overstaande zijden gelijk is. Hier dus: AB + CD = AD + BC.
Elk van deze sommen is dan gelijk aan de helft van de gegeven omtrek van het trapezium.
Maar omdat tevens geldt AD = BC, zijn de zijden BC en AD elk gelijk aan het vierde deel van de gegeven omtrek, en dus qua lengte bekend.
De constructie kan dan als volgt verlopen.
1) Construeer aan de cirkel twee evenwijdige raaklijnen, de dragers van AB en CD.
2) Construeer tussen deze twee lijnen twee verschillend gerichte lijnstukken met de lengte van AD 3) Verschuif deze lijnstukken (m.b.v. loodlijnen vanuit het middelpunt) totdat zij de cirkel raken. 4) Verbind de ontstane snijpunten met de evenwijdige raaklijnen tot het trapezium ABCD.
kwart omtrek B C M D A
Opgave 3
Wanneer we de hoeken van de driehoek aanduiden met 2 , 2 en 2 , dan volgt uit 0
222 180 dat 900.
De binnen- en buitenbissectrices bij punt C staan loodrecht op elkaar, waaruit volgt 0
90
BCN
.
Daar AMC900 is CMN 900 en dus CNM
Daarmee staat de gelijkvormigheid van de driehoeken ABM en ANC vast, want beide hebben de hoeken en . De conclusie is dat AB AM AN AC ofwel AB AC AN AM M N A B C
