Financiële wiskunde A

Hele tekst

(1)Financiële Wiskunde A Prof. dr. Vanmaele Bachelor Toegepaste Economische Wetenschappen Academiejaar 2019–2020.

(2) Financiële Wiskunde A. e. Bachelor Toegepaste Economische Wetenschappen. nz ag. Bachelor Wiskunde. Te. ri. 2019 – 2020. Prof. dr. Michèle Vanmaele Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek Krijgslaan 281 (S9), 9000 Gent e-mail: michele.vanmaele@ugent.be. ALLE RECHTEN VOORBEHOUDEN.

(3) Voorwoord In het dagelijkse leven krijgt vrijwel iedereen te maken met tal van aspecten van de financiële wiskunde. Dit is o.a. het geval bij het kiezen van een spaarrekening, het afsluiten van een lening, het financieren van een aankoop of het aangaan van een levensverzekering. Niet alleen privé maar ook in de bedrijfswereld komen deze aspecten aan bod zij het met bedragen op een iets grotere schaal. Anderzijds zijn leningen, obligatieleningen en levensverzekeringen producten die verkocht worden door banken en/of verzekeringsmaatschappijen.. nz ag. e. De achterliggende berekeningen steunen op een degelijke wiskundige basis waarop we hier dieper zullen ingaan zonder echter de modernisering uit het oog te verliezen op het vlak van numeriek rekenwerk. Verder wordt gepoogd met voorbeelden de begrippen en werkwijzen te verduidelijken. Aansluitend is er een oefeningencursus met opgaven en oplossingen zodat de studenten de geziene methoden kunnen inoefenen.. ri. Met dit opleidingsonderdeel kan een student de volgende competenties verwerven:. Te. • Standaardtechnieken en modellen van de wiskunde kennen en hanteren binnen relevante toepassingsdomeinen. Voor deze cursus is het toepassingsgebied de financiële wiskunde. In deel B komen ook levensverzekeringen aan bod. • Inzicht hebben in financiële wiskunde en in de toepassing van wiskunde in economie. • De wiskundige denktrant beheersen, d.w.z. een wiskundig bewijs begrijpen, oordelen of een argument logisch correct is, inzien welke eigenschappen precies gebruikt worden, een lacune of een overbodige stap in een bewijs of een berekening herkennen en zelfstandig wiskundige redeneringen maken en formuleren. • Conceptueel, analytisch, systematisch en probleemoplossend denken op verschillende abstractieniveaus. In dit opleidingsonderdeel wordt de nadruk gelegd op het verwerven van wiskundige technieken, methoden, redeneringen om zelf nieuwe financiële vraagstukken aan te pakken. De student moet vertrekkend van een concreet probleem zowel een algemeen model kunnen opstellen als het model op dit concreet geval kunnen toepassen. • Leerervaringen ordenen en het eigen leerproces begrijpen, plannen, evalueren en indien nodig bijsturen. Hieraan wordt gewerkt in de oefeningensessies door de studenten onder begeleiding de vraagstukken zelf te laten oplossen. • Blijk geven van nauwkeurigheid, wiskundige intu¨ıtie, creativiteit, en kritische reflectie..

(4) ii • Wiskundige en wetenschappelijke terminologie (ook in het Engels) correct hanteren. Het volstaat niet om de formules te kunnen opschrijven. Ook de financieel wiskundige interpretaties moeten correct kunnen geformuleerd worden. • Aandacht hebben voor bedrijfskundige aspecten van de wiskunde. Ik wil dit voorwoord afsluiten met een dankwoord aan alle personen die bijgedragen hebben aan het opstellen of typen van deze cursustekst. Daarnaast wil ik ook iedereen bedanken die errata in voorgaande versies hebben gemeld. Ik ben me er van bewust dat deze versie nog niet foutvrij is en reken op de kritische en aandachtige lezers voor commentaren, suggesties en correcties.. Te. ri. nz ag. e. Gent, 15 januari 2020 Michèle Vanmaele.

(5) Inhoudsopgave Inleiding 0.1. Onderwerp van de financiële wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1. 0.2. Het begrip rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1. 0.2.3. Soorten rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4. 0.2.4. Rentefactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4. e. Rentevoet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3. Het meten van grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4. Enkelvoudige interest en enkelvoudig disconto. 1.2. Enkelvoudige interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.1.1. Wiskundig model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.1.2. De interestberekening in de praktijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. 1.1.3. Toepassingen met enkelvoudige interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Enkelvoudig disconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 1.2.1. Wiskundig model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13. 1.2.2. De discontoberekening in de praktijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14. 1.2.3. Verband tussen enkelvoudige interest en enkelvoudig disconto . . . . . . 1.14. 1.2.4. Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16. Samengestelde interesten discontorekening 2.1. 1.1. ri. 1.1. 2. 0.2.2. Te. 1. interest en disconto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1. nz ag. 0.3. 0.2.1. 2.1. Samengestelde interestrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.1.1. Omschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.2. Wiskundig model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. 2.1.3. Typevraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2.1.4. Equivalente samengestelde interestrekeningen . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. 2.1.5. Continu samengestelde interestrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.

(6) Inhoudsopgave. 2.1.6 2.2. Samengestelde discontorekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 2.2.1. Wiskundig model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. 2.2.2. Typevraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. 2.2.3. Equivalente samengestelde discontorekeningen . . . . . . . . . . . . . . 2.18. 2.2.4. Continu samengestelde discontorekening . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.19. 2.2.5. Equivalentie van samengestelde interesten samengestelde discontorekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.20. Tijdwaarden van een kapitaal. 3.1. Equivalentie van tijdwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.2. Het optellen van kapitalen in (i, m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.3. Tijdwaardevergelijkingen in (i, m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3.4. Enkele klassieke vraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. e. 3.1. Gemiddelde vervaldag van enkele kapitalen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. 3.4.2. Waarde van een somkapitaal op een gemeenschappelijke vervaldag . . . 3.6. 3.4.3. Berekening van de interne rentevoet van een stel tijdwaarden . . . . . . . 3.8. nz ag. 3.4.1. Annu¨ıteiten 4.1. 4.2. 4.3. 4.1. ri. 4. Opmerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Algemene begrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 4.1.1. Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.1.2. Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. 4.1.3. Soorten annu¨ıteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. 4.1.4. Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Te. 3. iv. Enkelvoudige postnumerando annu¨ıteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 4.2.1. Begin- en eindwaarde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. 4.2.2. Enkele eigenschappen van a n i en s n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. 4.2.3. Typevraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. 4.2.4. Berekening van het bedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. 4.2.5. Berekening van het aantal bedragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. 4.2.6. Berekening van de interestvoet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. 4.2.7. Uitgestelde annu¨ıteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Enkelvoudige prenumerando annu¨ıteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16 4.3.1. Begin- en eindwaarde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16. 4.3.2. Typevraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18.

(7) Inhoudsopgave. 4.4. 4.3.3. Berekening van het bedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18. 4.3.4. Berekening van het aantal bedragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18. 4.3.5. Berekening van de interestvoet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18. 4.3.6. Uitgestelde annu¨ıteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19. Algemene annu¨ıteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19 4.4.1. Elementaire herleiding tot een enkelvoudige annu¨ıteit . . . . . . . . . . . 4.19. 4.4.2. Algemene postnumerando annu¨ıteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.20. 4.4.3. Algemene prenumerando annu¨ıteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.23. Leningen. 5.1. 5.3. 5.4. 5.5. 5.1.1. Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.1.2. Het algemeen geval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. e. Leningen op vaste termijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 5.2.1. Definitie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. 5.2.2. Eenmalige betaling van de rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. 5.2.3. Periodieke betaling van de rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. 5.2.4. Vervroegde delging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. 5.2.5. Leningen met reconstitutiefonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. nz ag. 5.2. Algemeenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. ri. 5.1. Leningen met progressieve delging of constante annu¨ıteit . . . . . . . . . . . . . 5.12. Te. 5. v. 5.3.1. Definitie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. 5.3.2. Berekening van het bedrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. 5.3.3. Berekening van het schuldsaldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. 5.3.4. Berekening van het rente- en delgingsbestanddeel . . . . . . . . . . . . . 5.14. 5.3.5. Vervroegde delging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Leningen met constante delging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16 5.4.1. Definitie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16. 5.4.2. Berekening van de delgingstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16. 5.4.3. Vervroegde delging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17. Voorbeelden aflossingstabellen voor leningen met progressieve kapitaaldelging en constante delging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17.

(8) Inhoudsopgave. Obligatieleningen. 6.1.1. Terminologie - Notaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. 6.1.2. Berekening van de delgingstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Obligatieleningen op vaste termijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Berekening van de delgingstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. 6.2.2. De belegger en de obligatie (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. 6.2.3. Prijs van een obligatie tussen twee conversietijdstippen . . . . . . . . . . 6.11. e. 6.2.1. nz ag. 6.2. Algemeenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. ri. 6.1. 6.1. Te. 6. vi.

(9) Lijst van figuren Voorstelling van tijdwaarden (k, t0 ) en (K, t1 ) op de tijdsas en een herschaling . . 0.3. 1.1. Eindwaarde als functie van de beleggingsduur t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1.2. Gebruikelijke valuteringsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. 1.3. Jaarlijkse enkelvoudige interestvoet i(t) equivalent met de jaarlijkse enkelvoudige discontovoet d over de termijn t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15. 1.4. Jaarlijkse enkelvoudige discontovoet d(t) equivalent met de jaarlijkse enkelvoudige interestvoet i over de termijn t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15. 2.1. Verloop van enkelvoudige interest respectievelijk samengestelde interest in een conversieperiode bij een gegeven interestperuun i . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. 2.2. Voorstelling van equivalente interestvoeten op tijdsassen . . . . . . . . . . . . . 2.8. 2.3. Omtrent de opeenvolgende uitbreidingen van de interpreteerbaarheid van de grondformule van de samengestelde interestrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. 2.4. Jaarlijkse effectieve interestvoet voor de familie (j/m, m)m∈N met j = 10% . . . 2.13. 2.5. Fractioneringscoëfficiënt voor de familie (j/m, m)m∈N met j = 10% . . . . . . . 2.13. 2.6. Nominale jaarlijkse interestvoet j(m) voor de familie van onderling equivalente samengestelde interestrekeningen met effectieve jaarlijkse interestvoet van 10% . 2.14. 2.7. Fractioneringscoëfficiënt voor de familie van onderling equivalente samengestelde interestrekeningen met effectieve jaarlijkse interestvoet van 10 % . . . . . 2.14. 4.1. Conversie van een gefractioneerde postnumerando annu¨ıteit met p > 1 . . . . . . 4.21. 4.2. Conversie van een algemene postnumerando annu¨ıteit met q > 1 . . . . . . . . . 4.21. 4.3. Conversie van een gefractioneerde prenumerando annu¨ıteit met p > 1 . . . . . . 4.24. 4.4. Conversie van een algemene prenumerando annu¨ıteit met q > 1 . . . . . . . . . . 4.24. 5.1. Bedragen in delgingstabel op conversietijdstippen . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. 5.2. Lening op vaste termijn met periodieke betaling van de rente . . . . . . . . . . . 5.7. 5.3. Aflossing van 25 000,00 EUR aan 4,9% over 20 jaar via een constante annu¨ıteit. . 5.12. 5.4. Aflossing van 25 000,00 EUR aan 4,9% over 20 jaar via een constante delging. . 5.16. Te. ri. nz ag. e. 1.

(10) Lijst van figuren. viii. Productinformatie obligatielening op 03/02/2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. 6.2. Prijsvorming van een obligatielening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. 6.3. Het vruchtgebruik VGx van een obligatie (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. 6.4. De naakte eigendom NEx van een obligatie (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. 6.5. Boekwaarde en totale kostprijs van een obligatie op vaste termijn . . . . . . . . . 6.14. Te. ri. nz ag. e. 6.1.

(11) Lijst van tabellen 1.1. interestberekening in de praktijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. 1.2. Dagnummertabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. 2.1. deel van een Maltese tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. Maltese tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.21 Aflossingstabel met reconstitutie voor voorbeeld 5.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. 5.2. Theoretische aflossingstabel voor een schuld van 100 000,00 EUR op 10 jaar aan een jaarlijkse interestvoet van 4,60%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18. 5.3. Theoretische aflossingstabel voor een schuld van 100 000,00 EUR op 10 jaar aan een jaarlijkse interestvoet van 4,60% voor het afgerond bedrag R0 . . . . . . . . . 5.18. 5.4. Werkelijke aflossingstabel voor een schuld van 100 000,00 EUR op 10 jaar aan een jaarlijkse interestvoet van 4,60% voor het afgerond bedrag R0 . . . . . . . . . 5.19. 5.5. Theoretische aflossingstabel voor een schuld van 100 000,00 EUR prenumerando op 10 jaar aan een jaarlijkse interestvoet van 4,60251046025%. . . . . . . . . . . 5.19. 5.6. Aflossingstabel voor een schuld van 100 000,00 EUR op 10 jaar aan een jaarlijkse interestvoet van 4,6% en via constante delging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20. 6.1. Lijst van 03/02/2020 voor obligatieleningen genoteerd op Euronext Brussel . . . 6.4. 6.2. Aflossingstabel obligatielening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. Te. ri. nz ag. e. 5.1.

(12) Inleiding 0.1. Onderwerp van de financiële wiskunde. e. De financiële wiskunde is de studie van de mathematische modellen waarin op de eerste plaats die bewerkingen geformaliseerd worden, die verband houden met het beleggen van geldkapitalen. Als primaire hypothese wordt hierbij vooropgesteld dat een geldkapitaal op elk moment productief belegd is. In dit vakgebied staat de term “kapitaal” dan ook voor “productief belegd geldkapitaal” en wijst een economisch goed aan waarvan de prijs afhankelijk is van de tijd; men noemt dergelijke prijs: de (tijd-)waarde van het kapitaal op het bepaalde tijdstip.. ri. nz ag. Uiteraard dient in de financiële wiskunde heel wat numeriek rekenwerk verricht te worden, waarbij vroeger gebruik werd gemaakt van allerhande tafels met numerieke waarden, hetgeen vanzelfsprekend noch de nauwkeurigheid noch de snelheid ten goede kwam. De beschikking over computers, maar vooral de enorme vlucht in de ontwikkeling van zakrekenmachines, microcomputers en PC’s hebben dan ook een belangrijke weerslag op dit vak: enerzijds wordt zijn praktisch gebruik toegankelijk voor een breder publiek, anderzijds wordt op het theoretisch vlak de oplossing van een aantal numerieke problemen uitvoerbaar.. Te. In de enge betekenis van de term beperkt de financiële wiskunde zich tot louter deterministische modellen, hoewel de meeste handboeken over het onderwerp eindigen met een inleidend hoofdstuk tot de zgn. verzekerings- of actuariële wiskunde, die van stochastische aard is. Sedert de jaren zeventig is de financiële sector grondig veranderd door talloze nieuwe producten en innovaties in het bijzonder door de opkomst van de termijn- en optiehandel. Bij de wiskundige modellering van deze nieuwe producten staat de stochastiek aan de basis die sindsdien niet meer weg te denken is uit de financiële wiskunde. We zullen ons hier echter beperken tot de deterministische modellen.. 0.2. Het begrip rente. 0.2.1. interest en disconto. Wanneer de eigenaar (geldgever) van een geldkapitaal zijn bezit belegt, dan stelt hij vanaf een bepaald tijdstip en voor de duur van een overeengekomen termijn een bepaalde som geld ter beschikking van een ontlener (geldnemer), die dat bedrag kan gebruiken om bijvoorbeeld een winstgevende investering te financieren, terwijl de eigenaar zelf gedurende die tijdspanne van zijn geld gepriveerd blijft. Uit dat oogpunt lijkt het redelijk dat de eigenaar recht heeft op een.

(13) 0.2. vergoeding vanwege de ontlener voor het gebruik van het geld. Deze vergoeding wordt algemeen rente genoemd. De ontlener zal bereid zijn deze vergoeding (rente) te betalen voor het ter beschikking stellen van het geld via een lening. Denk bijvoorbeeld aan een ondernemer die kapitaal nodig heeft om te kunnen investeren, maar waarbij het benodigde kapitaal meer is dan hij zelf kan opbrengen. Rente ontleent dus haar bestaansgrond aan het feit dat kapitaal als een schaars goed kan worden beschouwd. De betaling van rente is een onderdeel van de voorwaarden waaronder het ter beschikking stellen van een geldbedrag gebeurt en waarmee geldgever en geldnemer beiden akkoord zijn gegaan. Er is een aantal factoren te noemen die de hoogte van de rentevergoeding van leningen bepalen, we noemen enkele belangrijke factoren: • Vraag en aanbod op diverse financiële markten, in afhankelijkheid van de algemene economische situatie en de verwachte economische ontwikkeling. Marktpartijen zijn ondermeer gezinnen, bedrijven, de overheid en het buitenland. Marktmacht speelt een belangrijke rol. De overheid heeft belangrijke invloed op de hoogte van het algemene niveau van de interest door haar monetaire en fiscale politiek.. e. • De verwachte inflatie: het minder waard worden van het geldbedrag gedurende de leenperiode.. nz ag. • De hoogte van het risico dat de geldgever loopt dat de geldnemer het geleende geld niet kan terugbetalen. Dit is het debiteurenrisico.. ri. • De duur van de lening, de periode waarvoor dat de interestvergoeding vastligt. (Kortlopende leningen kennen meestal een lagere interestvergoeding dan langlopende leningen.). Te. Als een startend ondernemer geld wil lenen van een bank dan zal de bank het risico dat de onderneming niet slaagt (en dus het geleende geld niet terugbetaald wordt) vertalen in een hogere rente. Een bank leeft voor een belangrijk deel van geldtransacties (daarnaast natuurlijk ook van effectenbehandeling, het geven van beleggingsadviezen, het verkopen van vreemde valuta, reizen, verzekeringen, e.d.). De verdiensten van een bank liggen bij geldtransacties enerzijds in het vragen van expliciete kostenvergoedingen, anderzijds in de marges op de interest. Dit heeft natuurlijk een verhogend effect op de rente die de bank vraagt bij leningen en een verlagend effect op de rente die de bank vergoedt op spaarrekeningen. Zo is bijvoorbeeld de rente voor een hypothecaire lening met een duur van 5 jaar 6%, terwijl de rente op een spaartegoed dat gedurende dezelfde periode niet kan worden opgenomen 4,75% bedraagt. Indien het spaartegoed ieder moment kan worden opgenomen bedraagt de jaarlijkse rente bijvoorbeeld 3,5%. In het volgende wordt geheel voorbijgegaan aan het boven aangeduide fundamentele probleem van de analyse van de bepalende factoren van de momentane hoogte van de rente, of aan het voorspellen van de toekomstige hoogte van de rente: de nadruk ligt op het maken van financiële berekeningen bij bekend onderstelde rente. We noteren met: t0 : het begintijdstip van de (beleggings-)termijn; t1 : het eindtijdstip van de (beleggings-)termijn; k: het bedrag van de geldsom die op t0 beschikbaar is;.

(14) 0.3. K: het bedrag van de geldsom die op t1 beschikbaar is; I of D: het bedrag van de rente (interest of disconto) waarbij I, D ≥0. Voor de betaling van de rente onderscheiden we twee gevallen: a. De rente wordt door de ontlener betaald bij het verstrijken van de termijn samen met de ontleende som. Dit is veruit het meest voorkomende geval. De rente wordt dan interest (I) genoemd. De geldnemer betaalt dus het bedrag k + I aan de geldgever op het tijdstip t1 en er geldt K = k + I. b. De rente wordt bij het ingaan van de termijn door de uitlener afgetrokken van de ontleende som. Het is alsof de rente vooraf betaald wordt. In dit geval spreekt men van disconto (D). De geldnemer ontvangt dus het bedrag K − D van de geldgever op het tijdstip t0 en er geldt. nz ag. e. k = K − D.. Te. ri. We duiden k ook aan als huidige waarde, contante waarde, gedisconteerde waarde of beginwaarde, en K als toekomstige waarde, slotwaarde, opgerente waarde of eindwaarde van het (belegde geld-)kapitaal. Deze zegswijze verleent aan het begrip “kapitaal” a.h.w. een abstracte inhoud, waarvan de (getal)waarde k resp. K de concrete verschijningsvorm op het tijdstip t0 resp. t1 is. Vanuit zuiver wiskundig oogpunt kan men dergelijk kapitaalbegrip dan ook identificeren met de verzameling van koppels {(k, t0 ), (K, t1 )}. Na gepaste keuze van de oorsprong (t0 = 0) en van de eenheid (t1 − t0 = 1) op de tijdsas, verkrijgt men in het bijzonder {(k, 0), (K, 1)}, zie figuur 1.. 0 t0. 1 t1. k. K. - tijdsas. Figuur 1: Voorstelling van tijdwaarden (k, t0 ) en (K, t1 ) op de tijdsas en een herschaling. 0.2.2. Rentevoet. Meestal wordt de verschuldigde rente (interest of disconto) niet als een absoluut bedrag bepaald maar als een relatieve vergoeding per tijdsperiode. We spreken dan van een rentevoet (interestof discontovoet). De rentevoet kan op twee manieren genoteerd worden: • p: het percent (%) of rentepercentage is de rentevergoeding van 100 kapitaaleenheden per eenheid van tijd,.

(15) 0.4 • i: het peruun, per unum of renteperunage is de rentevergoeding van 1 kapitaalseenheid per eenheid van tijd. Het verband tussen beide is duidelijk: p = 100i. 0.2.3. ⇔. i=. p 100. Soorten rente. Enkelvoudige rente: De enkelvoudige rente is rechtevenredig met de tijd die het kapitaal uitstaat. De verlopen rente brengt geen rente op of ze ge¨ınd wordt of niet. De geldgever heeft er dus alle belang bij na elke termijn van renteberekening de vervallen rente te innen.. 0.2.4. nz ag. e. Samengestelde rente: De samengestelde rente is niet recht evenredig met de tijd die het kapitaal uitstaat. De verlopen rente wordt bij het kapitaal gevoegd en brengt weer rente op. De geldgever kan uiteraard tussentijds geen rente innen omdat anders de rente geen rente kan opbrengen.. Rentefactor. ri. De waarde die e´ e´ n kapitaalseenheid na e´ e´ n periode van renteberekening bereikt is de rentefactor. Bijgevolg is: rentefactor = 1 + i = 1 + renteperuun.. 0.3. Te. Indien dus het renteperuun 0,10 is, dan is de rentefactor 1,10.. Het meten van grootheden. In de financiële wiskunde komen feitelijk slechts twee grootheden voor, namelijk enerzijds de tijd en anderzijds geldsommen; het zijn beide meetbare grootheden. Vanzelfsprekend treden in de wiskundige formules niet de grootheden zelf, echter wel hun maatgetallen op. Deze hangen direct samen met de standaardeenheden die men bij het opstellen van de formules conventioneel ingevoerd heeft. Bij vraagstukken komt het voor dat de gegeven grootheden door hun maatgetallen t.o.v. andere eenheden uitgedrukt zijn. Om de formules te kunnen toepassen dient men in dat geval vooreerst de maatgetallen van de gegeven grootheden te berekenen t.o.v. de standaardeenheden. Voor wat geldsommen betreft, wordt steeds de nationale munteenheid (bv. 1 EUR) als standaardeenheid gebruikt. Zo duiden onder §0.2.1 de symbolen k, K, I of D het maatgetal (het bedrag) in bv. EUR aan van de beginwaarde, de eindwaarde en de rente. Het meten van de tijd beperkt zich in feite tot het meten van tijdsverschillen, waaruit volgt dat de oorsprong op de tijdsas willekeurig kan gekozen worden. De keuze van de standaardtijdseenheid hangt meestal samen met de aard van het behandelde probleem, zodat men vooral in dit verband attent moet zijn bij het toepassen van de formules. Bij enkelvoudige interestrekening evenals bij enkelvoudige.

(16) 0.5. discontorekening is steeds het (kalender-)jaar de standaardeenheid (of S.E.), bij samengestelde interestrekening en discontorekening is dat de zgn. conversieperiode, hoewel ook in dit geval het jaar als gemeenschappelijke referentieëenheid gebruikt wordt. Gebruikelijke conversieperioden zijn: • het semester of halfjaar • het trimester of kwartaal • de maand • de dag Indien men overgaat van de ene periodiciteit in de andere gelden volgende regels: 30 dagen 1/12 jaar 1/6 semester 1/3 kwartaal. =. 90 dagen 1/4 jaar 1/2 semester 3 maanden. =. 180 dagen 1/2 jaar 2 trimesters 6 maanden. =. 365 dagen. nz ag. een niet gespecificeerd kwartaal. =. e. een niet gespecificeerde maand. Te. ri. een niet gespecificeerd semester. een niet gespecificeerd jaar. De vroegere vereenvoudiging van de duur van een jaar tot 360 dagen (handelsjaar) wordt nog zelden toegepast en is eigenlijk niet meer wettig. In de VS evenwel wordt doorgaans met het handelsjaar gerekend. Wanneer maanden, trimesters, semesters of jaren worden gespecificeerd wordt rekening gehouden met het werkelijk aantal dagen dat ze tellen. Wanneer men concreet aangeeft dat een contract loopt vanaf een bepaalde datum tot een andere moet men het exact aantal dagen rente in rekening brengen dat in het contract bedongen werd. Daarbij wordt steeds de eerste of de laatste dag van het contract meegerekend, maar nooit beide. Voor de bepaling van het aantal dagen is de dagnummertabel een handig instrument (zie later). Tenslotte moet er ook op gewezen worden dat de bepaling van het aantal perioden (t) steeds moet gebeuren in functie van de tijdsbepaling die gehanteerd wordt voor de rentevoet. Bijgevolg kan t een geheel getal maar ook een niet geheel getal zijn. Indien bv. i per jaar wordt vastgelegd en de tijdsduur van het contract in dagen d dan zal t = d/365 zijn. Indien daarentegen i per maand is gegeven en de tijdsduur in dagen dan zal t = d/30 zijn..

(17) 0.6. Intermezzo I (rente, interest en disconto). Te. ri. nz ag. e. Het begrip rente uit de financiële rekenkunde is afkomstig uit het Italiaanse rendita, dat op zijn beurt afkomstig is van het Latijnse werkwoord reddere, en duidt op de periodieke vergoeding van de opbrengst van een kapitaal. In dit kader is interest dan een periodieke rentevergoeding welke achteraf plaatsvindt en disconto een periodieke vergoeding bij vooruitbetaling. Het woord rente heeft meer betekenissen en wordt in de financiële rekenkunde en levensverzekeringswiskunde ook gebruikt als periodieke betaling zonder meer; in dat laatste geval denken we bijvoorbeeld aan lijfrente en erfrenten. Het uitlenen van geld tegen rente is in Europa in de Middeleeuwen en lang daarna verboden geweest. Het woord interest, ook wel geschreven intrest, is toen in gebruik genomen, eerst als niet-verboden vergoeding voor “kosten, schaden en gederfde winsten” verbonden aan het uitlenen van kapitaal. Het samenhangende Latijnse de inter est kan worden omschreven als “dat wat er tussen ligt” (tussen de prestaties van de geldgever en de geldnemer). Door de jaren heen is men het woord interest gaan gebruiken, waarmee men oorspronkelijk de verboden rente bedoelde. Het woord disconto stamt van het Latijnse discomputahere, hetgeen verminderen door aftrekking betekent. Het woord disconteren, wordt thans algemeen gebruikt voor contant maken, onafhankelijk van de wijze waarop de contante waarde wordt berekend. Onder interestrekening, ook wel financiële rekenkunde genaamd, wordt tegenwoordig ook rekenen met disconto begrepen. Het berekenen van slotwaarden wordt ook wel aangeduid als oprenten; hierin is dus het oude woord rente bewaard gebleven en niet vervangen door een werkwoord te baseren op het woord interest. In de context van leningen wordt in de praktijk vaak het woord rente gebruikt in plaats van interest. Rente, interest en disconto worden alle drie vastgelegd als perunage of als percentage over een zeker tijdsinterval; etymologisch stammen beide cursieve woorden uit het Latijn, zo is peruun per eenheid en per centum per honderd..

(18) Te. ri. nz ag. e. This page is intentionally left blank..

(19) Hoofdstuk 4 Annu¨ıteiten 4.1. Inleiding. e. 4.1.1. Algemene begrippen. nz ag. Sparen kan je op verschillende manieren. Regelmatig kan je geld opzij leggen en in de zogenaamde ‘zwarte kous’ stoppen. Uit veiligheidsoverwegingen kan je ook naar een financiële instelling stappen en afspreken welk kapitaal je wil bijeen sparen. Hiervoor kan je de volgende overeenkomst afsluiten:. ri. • een onveranderlijk bedrag periodiek gestort op vaste tijdstippen. Te. • deze bedragen zijn belegd aan een vaste (samengestelde) rentevoet • het bijeen te sparen kapitaal wordt bereikt op de eindvervaldag. Een dergelijke reeks periodieke stortingen noemen we annu¨ıteit. Deze kunnen bijvoorbeeld gebeuren in het kader van voorhuwelijkssparen, woonsparen of pensioensparen. In dat geval spreken we van een kapitaalsvorming. Als de gestorte bedragen bestemd zijn om een gewone lening of een hypothecaire lening af te lossen, dan spreken we van een schuldaflossing. Intermezzo III (annu¨ıteit) Het woord annu¨ıteit is afgeleid van het middeleeuws Latijn annuitas, dat op zijn beurt stamt van het klassieke Latijn annus, dat jaar betekent. De term wordt evenwel niet alleen gebruikt voor jaarlijkse betalingen maar voor elke periodieke betaling. Annu¨ıteit is ook verwant met rente zoals in lijfrente. Oorspronkelijk gebruikte men voor beide het woord ‘census’ dat nog voortleeft in de volkstaal als ‘cens’. Men sprak van ‘census certus’ of vaste rente wanneer de betaling van deze rente niet afhing van het al dan niet in leven zijn van de begunstigde. Het woord annu¨ıteit wordt in het Nederlands uitsluitend in deze betekenis gebruikt. In het Engels spreekt men van ‘annuity certain’. ‘Census incertus’ of onzekere rente werd gebruikt om aan te duiden dat de uitbetaling van de rente afhing van het in leven zijn van de begunstigde(-n). Dit is in het Nederlands lijfrente of kortweg rente geworden. In het Engels spreekt men van ‘life annuity’..

(20) Annu¨ıteiten. 4.1.2. 4.2. Definities. Een annu¨ıteit is een rij van regelmatige geldstortingen die jaarlijks of periodiek uitgevoerd worden om een kapitaal te vormen (de slotwaarde of eindwaarde van de annu¨ıteit) of om een schuld af te lossen (de contante waarde of aanvangswaarde of beginwaarde van de annu¨ıteit). Deze periodieke stortingen brengen samengestelde interest op. Meer formeel kunnen we stellen dat: een annu¨ıteit is een rij van tijdwaarden (R1 , t1 ), . . . , (Rn , tn ), . . . in een samengestelde interestrekening (i, m), waarbij de tijdstippen t1 , . . . , tn , . . . (in de tijdrekening met m−1 jaar als tijdseenheid) een rekenkundige rij vormen. Hierbij noemen we: • R1 , . . . , Rn , . . .: de bedragen of betalingen of stortingen • t1 , . . . , tn , . . .: de (betalings-)tijdstippen of vervaldagen • het verschil q(> 0) van de rekenkundige rij van de tijdstippen: het maatgetal van de betalingsperiode met lengte qm−1 jaar. nz ag. e. • de interestperiode van (i, m): de interestperiode met lengte m−1 jaar van de annu¨ıteit.. ri. Opmerking Uit hoofdstuk 2 is het duidelijk dat een gegeven samengestelde interestrekening steeds door een equivalente interestof discontorekening kan vervangen worden, zodat de interestrekening in het bijzonder ook een continue (j, ∞) kan zijn: de tijdseenheid is dan 1 jaar terwijl de betalingen over infinitesimale intervallen plaatsvinden.. Te. De slotwaarde of eindwaarde1 van een annu¨ıteit is: • de waarde van alle betalingen op het einde van de laatste periode, m.a.w. bij het einde van het contract • de waarde van de annu¨ıteit op de slotdatum • de som van de eindwaarden van alle betalingen in de annu¨ıteit uitgevoerd. De contante waarde of beginwaarde of aanvangswaarde van een annu¨ıteit is: • de waarde van alle betalingen bij het begin van de eerste periode, m.a.w. bij het aangaan van het contract • de waarde van de annu¨ıteit op de aanvangsdatum • de som van de contante waarden van alle toekomstige betalingen van de annu¨ıteit. 1. Dit begrip is slechts zinvol als de annu¨ıteit bestaat uit een eindig aantal betalingen..


(22) Annu¨ıteiten. 4.5. (d) gedurende 20 jaar maandelijkse betalingen van 374,66 EUR, de eerste betaling moet gebeuren over e´ e´ n maand; (e) 10 jaarlijkse betalingen van 4 124,54 EUR, de eerste over e´ e´ n jaar, gevolgd door 10 jaarlijkse betalingen van 6 186,80 EUR , de eerste over 11 jaar. In de hierboven in gevoerde terminologie hebben te doen met (a) een postnumerando constante enkelvoudige annu¨ıteit met 20 jaarlijkse bedragen van 4 698,38 EUR; (b) een prenumerando constante enkelvoudige annu¨ıteit met 20 jaarlijkse bedragen van 4 271,26 EUR; (c) een 2-betalingsperioden uitgestelde postnumerando constante enkelvoudige annu¨ıteit of een 3-betalingsperioden uitgestelde prenumerando constante enkelvoudige annu¨ıteit met 20 jaarlijkse betalingen van 5 685,05 EUR;. e. (d) een postnumerando constante algemene annu¨ıteit met 240 maandelijkse bedragen van 374,66 EUR;. nz ag. (e) eerst een postnumerando constante enkelvoudige annu¨ıteit met 10 jaarlijkse bedragen van 4 124,54 EUR, gevolgd door een 10-betalingsperioden uitgestelde postnumerando constante enkelvoudige annu¨ıteit van 10 jaarlijkse betalingen van 6 186,80 EUR.. 4.2 4.2.1. Te. ri. In het vervolg worden enkel constante annu¨ıteiten beschouwd, tenzij het tegendeel uitdrukkelijk vermeld is. Het bedrag van de annu¨ıteit wordt steeds met de letter R aangeduid.. Enkelvoudige postnumerando annu¨ıteiten Begin- en eindwaarde. Kiezen we de conversieperiode (m−1 jaar) van (i, m) als tijdseenheid en het begintijdstip van de termijn als oorsprong van de tijdrekening, dan verschijnen de n opeenvolgende bedragen als de tijdwaarden (R, 1), (R, 2), . . . , (R, n) in (i, m). De beginwaarde A is dan de somtijdwaarde op het tijdstip 0, terwijl de eindwaarde S de somtijdwaarde voorstelt op het tijdstip n. De tijdwaarden A en S worden beschreven door de volgende equivalenties t.o.v. (i, m): (A, 0) ∼ (R, 1) + · · · + (R, n) ∼ (S, n). Steunend op (3.1) luiden de corresponderende tijdwaardenvergelijkingen: op focaaltijdstip 0 A = R (1 + i)−1 + · · · + (1 + i)−n op focaaltijdstip n S = R 1 + (1 + i) + · · · + (1 + i)n−1 .. (4.1) (4.2).

(23) Annu¨ıteiten. 4.6. We herinneren aan de volgende formule voor de berekening van de som van n termen van een meetkundige rij met reden x(6= 1): a + ax + ax2 + · · · + axn−1 =. a − axn−1 · x 1 − xn =a . 1−x 1−x. We passen deze formule toe eerst met a = x = (1 + i)−1 en vervolgens met a = 1 en x = 1 + i, waarbij i 6= 0: (1 + i)−1 + · · · + (1 + i)−n =. 1 − (1 + i)−n i. 1 + (1 + i) + · · · + (1 + i)n−1 =. (1 + i)n − 1 i. (4.3). (4.4). dan bekomen we voor i 6= 0: 1 − (1 + i)−n , i. (4.5). S = R. (1 + i)n − 1 , i. (4.6). nz ag. e. A = R. terwijl voor i = 0. A = S = nR. Verder is wegens (A, 0) ∼ (S, n) t.o.v. (i, m). (4.7). ri. S = A(1 + i)n ,. Te. wat ook algebra¨ısch onmiddellijk volgt uit (4.3)-(4.4). Merk op dat het geval i = 0 het limietgeval is van (4.3) en (4.4). Immers, gebruik makend van de regel van de l’Hospital vinden we dat 1 − (1 + i)−n 0 H n(1 + i)−n−1 = = lim = n, i→0 i 0 i→0 1 (1 + i)n − 1 0 H n(1 + i)n−1 lim = = lim = n. i→0 i 0 i→0 1 lim. (4.8) (4.9). We introduceren nog de actuariële symbolen a n i en s n i , die als volgt gedefinieerd worden voor n ∈ N∗ , i > 0: 1 − (1 + i)−n an i = , (4.10) i sn i =. (1 + i)n − 1 . i. (4.11). De vierkante haak in het symbool wordt aangeduid als duurhaak. Zo ontstaan de klassieke formules voor de beginwaarde A en de eindwaarde S van een enkelvoudige postnumerando annu¨ıteit met n bedragen R t.o.v. het intereststelsel (i, m): A = Ra n i ,. (4.12).


(25) Annu¨ıteiten. 4.2.4. 4.9. Berekening van het bedrag. De berekening van R bij gegeven A of S, en i, n volgt dadelijk uit de formule (4.12) of (4.13): R = A(a n i )−1 , R = S(s n i )−1 .. (4.19) (4.20). De praktische berekening van R gebeurde eertijds met behulp van tabellen voor (s n i )−1 . Er waren immers geen tabellen voor (a n i )−1 vermits door de betrekking (4.15) (a n i )−1 op een eenvoudige wijze kan verkregen worden uit (s n i )−1 . Nu beschikken we over de gepaste programmatuur zoals de TVM-Solver app op een Ti rekentoestel. Voorbeeld 4.2.1 G EGEVEN : Dhr. Dobbelaere koopt een auto ter waarde van 9 500,00 EUR. Hij betaalt 1 750,00 EUR contant. De rest van het aankoopbedrag betaalt hij af via gelijke maandelijkse betalingen gedurende een termijn van drie jaar te beginnen 1 maand na de aankoop.. e. G EVRAAGD : Bepaal de maandelijks te betalen som aan j12 = 18%.. nz ag. O PLOSSING : Uit het gegeven halen we. A = 9 500 − 1 750 = 7 750 n = 3 jaar = 3 · 12 maanden = 36 maanden j12 = 0,18 = i · 12 ⇒ i = 0,015.. Te. ri. Het maandelijks te betalen bedrag is dus R=. 7 750 = 280,181065403 a 36 0,015. of afgerond 280,18 EUR. Voorbeeld 4.2.2. G EVRAAGD : Hoeveel moet Mevr. Goubert aan het einde van elke maand sparen om zich na 1 jaar een draagbare computer te kunnen aanschaffen ter waarde van 1 500,00 EUR. De bank biedt een spaarrekening aan met een interestvoet van j12 = 3%? O PLOSSING : Uit de vraagstelling halen we n = 1 jaar = 12 maanden S = 1 500 j12 = 0,03 = i · 12 ⇒ i = 0,0025. Aan het eind van elke maand zal ze R=. 1 500 s 12 0,0025. of afgerond 123,29 EUR moeten sparen.. = 123,2905481.


(27) Annu¨ıteiten. 4.12. O PLOSSING : Uit de gegevens halen we A = 25 000 R = 300 j12 = 0,06 = 12 · i. ⇒. i = 0,005. Het aantal maanden n volgt uit 25 000 = 300a n 0,005 via de TVM-Solver app op de Ti, namelijk n = 108,068574374. ⇒. k = 108.. De zoon zal gedurende 108 maanden wat precies 9 jaar is, een bedrag van 300,00 EUR ontvangen. De aanvullende storting 1 maand later bedraagt X109 = (25 000 − 300a 108 0,005 ) · 1,005109 = 20,6201312147. nz ag. e. of afgerond 20,62 EUR. Voorbeeld 4.2.4. G EVRAAGD :. ri. G EGEVEN : Het koppel Pannier-Vandaele wil een kapitaal van 11 250,00 EUR vergaren en zal daartoe aan het einde van elke semester 900,00 EUR storten op een spaarrekening die interest oplevert aan j2 = 4%. a) Hoeveel volle stortingen moeten ze uitvoeren?. Te. b) Welk extra bedrag op het tijdstip van de laatste volle storting brengt het saldo op exact 11 250,00 EUR? c) Welke aanvullende storting, 6 maand na de laatste volle storting, brengt het saldo op 11 250,00 EUR? O PLOSSING : Uit de gegevens halen we S = 11 250 R = 900 j2 = 0,04 = 2 · i. ⇒. i = 0,02. Het aantal semesters n voldoet aan de vergelijking 11 250 = 900s n 0,02 die met behulp van de TVM-Solver app op de Ti tot de oplossing leidt n = 11,268381108. ⇒. k = 11.. Dus er moeten 11 volle stortingen gedaan worden. De bijkomende storting op het tijdstip 11 bedraagt X11 = 11 250 − 900s 11 0,02 = 298,1561224..

(28) Annu¨ıteiten. 4.13. Indien er geen extra bedrag gestort wordt op het tijdstip 11 maar eventueel op het latere tijdstip 12, controleren we eerst of het opgerente bedrag al of niet volstaat: 900s 11 0,02 · 1,02 = 10 951,8438776 · 1,02 = 11 170,8807552 < S. Dus er zal nog een aanvullend bedrag nodig zijn: X12 = 11 250 − 900s 11 0,02 · 1,02 = 79,1192448.. 4.2.6. Berekening van de interestvoet. Bij gegeven A, R en n kunnen we i oplossen uit (4.5) of nog wegens (4.3) uit: (1 + i)−n + (1 + i)−n+1 + . . . + (1 + i)−1 =. A . R. (4.23). f (0) = −. A <0 R. nz ag. e. We herleiden de bovenstaande vergelijking tot een veeltermvergelijking door (1 + i)−1 = x te stellen: A xn + · · · + x − = 0. (4.24) R Dit is een ne -graadsvergelijking. Noteren we het linkerlid met f (x) dan geldt er f (1) = n −. en. A > 0, R. Te. ri. waarbij voor de laatste ongelijkheid gesteund werd op (4.18). Uit de stelling van Bolzano volgt dan dat de functie f de x-as minstens eenmaal snijdt in het interval ]0, 1[, m.a.w. de vergelijking (4.24) heeft minstens e´ e´ n reële oplossing in ]0, 1[ die een positieve — dus zinvolle — waarde voor i oplevert. Vermits de vergelijking (4.24) bovendien slechts e´ e´ n tekenwissel bezit, volgt uit de stelling van Descartes (zie stelling 3.4.1 in voorbeeld 3.4.4) dat er juist e´ e´ n oplossing is. Analoog kunnen we bij gegeven S, R en n, de interest i oplossen uit (4.6) of nog wegens (4.4) uit. S . (4.25) R Door 1 + i = x te stellen vormen we deze vergelijking om tot een (n − 1)e -graadsvergelijking in x: S xn−1 + xn−2 + · · · + x + (1 − ) = 0. (4.26) R Noteren we het eerste lid van (4.26) als f (x), dan geldt: (1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + · · · + (1 + i) + 1 =. f (1) = n −. S <0 R. en. f (+∞) > 0,. zodat f de x-as eenmaal snijdt in het interval ]1, +∞[ en de vergelijking (4.26) minstens e´ e´ n reële oplossing heeft in ]1, +∞[ die een positieve — dus zinvolle waarde — voor i oplevert. Dat de oplossing van (4.26) uniek is, volgt opnieuw door toepassing van de stelling van Descartes..


(30) Annu¨ıteiten. 4.17. Analoog is de eindwaarde S van de prenumerando annu¨ıteit de over e´ e´ n periode opgerente eindwaarde (op tijdstip n − 1) van de corresponderende postnumerando annu¨ıteit met dezelfde n bedragen R: S = Rs n i (1 + i).. (4.33). De formules (4.32) en (4.33) vertolken vanzelfsprekend de equivalenties: (A, 0) ∼ (Ra n i , −1). en. (S, n) ∼ (Rs n i , n − 1).. Algemeen is het verband tussen de beginwaarde Apre , resp. de eindwaarde Spre , van de prenumerando annu¨ıteit en de beginwaarde Apost , resp. de eindwaarde Spost , van de postnumerando annu¨ıteit met dezelfde n bedragen R: Apre = Apost (1 + i), Spre = Spost (1 + i).. (4.34) (4.35). e. In het bijzonder voor R = 1 worden de actuariële notaties a ¨ n i en s¨n i gebruikt voor de beginwaarde en de eindwaarde. Er geldt dus: en. A = R¨ an i,. s¨n i = (1 + i)s n i = (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)n. en. S = R¨ sn i.. nz ag. a ¨ n i = (1 + i)a n i = 1 + (1 + i)−1 + · · · + (1 + i)−(n−1). ri. en analoog. Te. Een prenumerando annu¨ıteit kan ook opgevat worden als een combinatie van een postnumerando annu¨ıteit plus een extra storting R op het begintijdstip ofwel een extra afhaling R op het eindtijdstip naargelang het om de beginwaarde of de eindwaarde gaat. Daartoe volstaat het in te zien dat uit (4.31) ook volgt t.o.v. (i, m): (A, 0) ∼ (R, 0) + [(R, 1) + · · · + (R, n − 1)] (S, n) ∼ [(R, 0) + · · · + (R, n − 1) + (R, n)] − (R, n), wat equivalent is met A = R + Ra n−1 i. ⇔. A − R = Ra n−1 i. (4.36). S = Rs n+1 i − R. ⇔. S + R = Rs n+1 i .. (4.37). Hieruit kan worden geconcludeerd dat A−R de beginwaarde is van een postnumerando annu¨ıteit met n−1 bedragen R en met begintijdstip 0 en dat S+R de eindwaarde is van een postnumerando annu¨ıteit met n + 1 bedragen R en met eindtijdstip n. Stellen we nu de bekomen varianten voor A, resp. voor S, aan elkaar gelijk dan hebben we aldus de financieel-wiskundige verklaring gegeven voor de rekenregel (4.16) resp. (4.17), die we ook als volgt kunnen noteren a ¨ n i = 1 + a n−1 i. resp.. s¨n i = s n+1 i − 1..


(32) Annu¨ıteiten. 4.3.6. 4.19. Uitgestelde annu¨ıteiten. Kiezen we de tijdsrekening zoals hieronder aangegeven 0. ···. k−2 k−1. k. k+1. k+2. ··· k + n − 1 k + n -. A. R. R. R. ···. R. S. t. dan is voor een k betalingsperioden uitgestelde prenumerando annu¨ıteit • 0 = tijdstip waarop het contract gesloten wordt en dat k perioden vóo´ r de eerste betaling R valt, • de beginwaarde A = de beginwaarde van een k − 1 perioden uitgestelde postnumerando annu¨ıteit met dezelfde n bedragen R, • de eindwaarde S = de eindwaarde van een dadelijk ingaande prenumerando annu¨ıteit met dezelfde n bedragen R,. e. zodat er geldt:. nz ag. A = Ra n i (1 + i)−(k−1) .. terwijl S gegeven wordt door (4.33). Ter informatie vermelden we nog dat actuarissen nog de volgende notatie gebruiken: = a n i (1 + i)−(k−1) = k |a n i (1 + i).. 4.4. Te. ri. an i k |¨. Algemene annu¨ıteiten. Tot nu toe hadden we te maken met enkelvoudige annu¨ıteiten. Dit zijn annu¨ıteiten waarvan de periodiciteit van de interestconversie of de interestkapitalisatie en de periodiciteit van de betalingen overeenstemt. In de praktijk hoeft dit natuurlijk niet altijd zo te zijn. In dit geval spreekt men van een algemene annu¨ıteit. Veruit de meest voorkomende vorm van algemene annu¨ıteiten zijn gefractioneerde annu¨ıteiten. Daarvan is sprake wanneer er in elke periode van interestconversie een aantal annu¨ıteitsbetalingen voorkomen. Zo bijvoorbeeld is de interestconversie per jaar en gebeuren de betalingen per semester, trimester of maand. In het omgekeerde geval zijn er per betalingsperiode meerdere interestconversies, bijvoorbeeld bij jaarlijkse stortingen en semestriële interestconversies.. 4.4.1. Elementaire herleiding tot een enkelvoudige annu¨ıteit. Zoals onder §4.2.1 en §4.3.1 beschouwen we een annu¨ıteit t.o.v. een interestrekening (i, m), dus in een tijdrekening met de interestperiode (=m−1 jaar) als tijdseenheid. Aangezien het nu om een algemene annu¨ıteit gaat, onderstellen we dat een betalingsperiode q interestperioden duurt, wat.


(34) Annu¨ıteiten. 4.21. m > 1 > 1/p. conversieperiode ... 1/p 2/p. . 0 R0 0 . R0. .... 1. -. ... 1 R0. 2. n/p. .... R0. p. n. (i, m). (i0 , mp). -. betalingsperiode. Te. ri. nz ag. e. Figuur 4.1: Conversie van een gefractioneerde postnumerando annu¨ıteit met p > 1. m, 1/p > 1. conversieperiode . -. ... 0. 1. 1/p. ... 0 . .... 2. p 2p betalingsperiode. R0. n/p. ... 1. R0 n. (i, m). (i0 , mp). -. Figuur 4.2: Conversie van een algemene postnumerando annu¨ıteit met q > 1.

(35) Financiële Wiskunde A. nz ag. e. Oefeningen en oplossingen Bachelor Toegepaste Economische Wetenschappen. ri. Bachelor Wiskunde. Te. 2019 – 2020. Prof. dr. Michèle Vanmaele Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek Krijgslaan 281 (S9), 9000 Gent e-mail: michele.vanmaele@ugent.be. ALLE RECHTEN VOORBEHOUDEN.


(37) Opgaven: Samengestelde interestrekening. 4. Oefening 2.7 Tegen welke nominale jaarlijkse interestvoet moet men een kapitaal uitzetten opdat de eindwaarde na 40 jaar vermeerderd met de beginwaarde zou gelijk zij aan driemaal de eindwaarde na 20 jaar? Oefening 2.8. e. Banken hanteren als regel dat ze voor gereglementeerde spaarrekeningen geen roerende voorheffing aftrekken voor de eerste schijf van 990 EUR aan jaarlijkse interesten. Op het interestgedeelte boven dit bedrag wordt een roerende voorheffing van 15% geheven. Bij niet-gereglementeerde spaarrekeningen wordt op de volledige interest een roerende voorheffing van 30% afgehouden. Stel dat je over een bepaald bedrag beschikt en dit wilt sparen gedurende 1 jaar (van 1 januari tot 1 januari het jaar daarop). Je hebt hiervoor de keuze tussen een niet-gereglementeerde spaarrekening met bruto nominale jaarlijkse interestvoet j4 = 0,55% en een gereglementeerde spaarrekening met een basisrente van j1 = 0,40%.. nz ag. (i) Bespreek, afhankelijk van de grootte van je beschikbaar bedrag om te sparen, welke rekening de meeste interest opbrengt als je het volledige bedrag op e´ e´ n van de twee rekeningen moet plaatsen.. Te. ri. (ii) Wat is de maximaal mogelijke interest op een jaar tijd als je nu beschikt over een bedrag van 345 000 EUR dat je over deze twee spaarrekeningen kan verdelen?.


(39) Opgaven: Annu¨ıteiten. nz ag. e. Enkelvoudige annu¨ıteiten. This part of the page is intentionally left blank.. ri. 4.1. Annu¨ıteiten. Te. 4. 7.


(41) Opgaven: Annu¨ıteiten. 9. Te. ri. nz ag. e. This part of the page is intentionally left blank.. 4.2. Algemene annu¨ıteiten. Oefening 4.9 Een persoon heeft 1 000,00 EUR op zijn bankrekening staan aan een interest j12 = 3%. Als hij gedurende vijf jaar op het einde van elk kwartaal 100,00 EUR stort, hoeveel bedraagt zijn rekeningstand dan op het einde van die vijf jaar?.


(43) Opgaven: Annu¨ıteiten. 11. Oefening 4.14 Een huis wordt aangekocht waarbij een voorschot van 20% wordt betaald. De rest van de aankoopsom wordt geleend als volgt: 1. 120 maal een maandelijks bedrag van 625,00 EUR, 2. een aanvullende bedrag van 7 500,00 EUR op het einde van het tiende jaar, 3. nadien nog 10 postnumerando semestriële betalingen van 1 750,00 EUR.. Te. ri. nz ag. e. De lening wordt afgesloten tegen een interest j2 = 3%. Bereken het contante aankoopbedrag van het huis..


(45) Oplossingen: Samengestelde interestrekening. 24. geen voorheffing afgehouden. Op de niet-gereglementeerde spaarrekening brengt deze k0 een interest I0 = k0 r = 954,2515963 EUR interest op, wat minder is dan 990 EUR. Bij bedragen boven k0 is er op de gereglementeerde spaarrekening een roerende voorheffing van 15% verschuldigd. We kijken nu voor een bedrag k = k0 +k1 voor welke waarden van k1 de interest hoger is op de gereglementeerde spaarrekening. Dit geeft volgende ongelijkheid 990 + k1 · 0,85 · 0,004 > (k0 + k1 ) r, Oplossen naar k1 geeft k1 < 78 470,99481 EUR zodat k = k0 + k1 < 325 970,99481 EUR. Onder 325 971,00 EUR brengt de gereglementeerde spaarrekening meer interest op indien je het volledige bedrag op e´ e´ n van de twee rekeningen moet plaatsen. (ii) Aangezien 0,004 > r, plaatsen we de eerste schijf van 247 500 EUR op de gereglementeerde spaarrekening, wat een interestbedrag van 990 EUR oplevert. Voor de resterende 345 000 − 247 500 = 97 500 brengt de niet-gereglementeerde spaarrekening meer op aangezien r > 0,85 · i = 0,0034. Dit levert een interestbedrag van 375,9172955 op. Samen geeft dit 990 + 375,9172955 = 1 365,9172955.. nz ag. e. Ter vergelijking: het volledige bedrag op de niet-gereglementeerde spaarrekening plaatsen zou een interestbedrag van 1 330,168892 opleveren, en voor de gereglementeerde spaarrekening vinden we zo 1 321,50.. Te. ri. De maximaal mogelijke interest na een jaar is 1 365,92 EUR..


(47) 4.1. ag e ri. Annu¨ıteiten. Enkelvoudige annu¨ıteiten. Te. 4. nz. Oplossingen: Annu¨ıteiten. Oefening 4.1. Van de grootheden S, R, n en i in de formule S = Rs n i zijn er drie gegeven en moeten we de vierde bepalen. 1. S = 663,641976251. De eindwaarde bedraagt 663,64 EUR.. 2. n = 29,36659322 De eindwaarde op 29 is S29 = Rs 29 i = 7 404,325566 dus er moet een aanvullende storting gebeuren van X29 = 7 500 − S29 = 95,67443389. Men kan ook wachten tot 30, dan stijgt de eindwaarde tot S29 (1 + i) = 7 415,432054. Dit is strikt kleiner dan 7 500,00 EUR, dus ook hier moet er een aanvullende storting X gebeuren, nu van X30 = S − S29 (1 + i) = 84,56794554. Er worden 29 bedragen gestort en een aanvullend bedrag ofwel van 95,67 EUR na maand 29 ofwel van 84,57 EUR na maand 30. 3. i = 0,003000097583 Het maandelijks samengesteld interestpercentage is 0,3%. Oefening 4.2 Van de grootheden S, R, n en i in de formule S = Rs n i zijn er drie gegeven en moeten we de vierde bepalen. 1. R = 2 180,762665 Jaarlijks moet een bedrag van 2 180,76 EUR gestort worden. 2. R = 2 283,163197 Dit geeft een verschil van 2 283,163197 − 2 180,762665 = 102,4005316. Het verschil in de jaarlijkse bedragen is 102,40 EUR. Oefening 4.3 Van de 10 000,00 EUR blijft er nog 7 500,00 EUR af te betalen via maandelijks bedragen van 220,00 EUR. Uit 7 500 = 220a 36 i volgt i = 0,002975468633. Het JKP volgt uit (1 + i)12 − 1 = 0,036295783.. 29.


(49) Oplossingen: Annu¨ıteiten. 33. De laatste vijf jaar moet een bedrag van 15 296,31 EUR gestort worden. Oefening 4.15 Vanwege de equivalentie moet er gelden aan een interestvoet i = 0,002: 2 500 = Ra 48 i (1 + i)(1 + i)−24 ⇔ Ra 48 i = 2 500(1 + i)23 = 2 617,565777 ⇒ R = 57,2465334. Het bedrag R is 57,25 EUR.. 4.2. Algemene annu¨ıteiten. Oefening 4.16. met. S1 = 1 000(1 + i)60 = 1 161,61678144.. nz ag. S = S1 + S2. e. Het bedrag S op de rekening na vijf jaar bestaat enerzijds uit de waarde van de 1 000,00 EUR na vijf jaar en de eindwaarde van de kwartaalstortingen van 100,00 EUR waarbij de maandelijkse interestvoet 0,25%(= 100i%) bedraagt:. De eindwaarde S2 berekenen we via equivalente interest: S2 = 100s 20 i0 met i0 de effectieve jaarlijkse interestvoet equivalent met i, namelijk. ri. i0 = (1 + i)3 − 1 = 0,751876502%.. Te. Dit levert S2 = 2 149,512216209 zodat tenslotte S = 3 311,12894353 EUR. De rekeningstand op het einde van het vijfde jaar bedraagt 3 311,13 EUR. Oefening 4.17. Het aankoopbedrag A bestaat uit drie delen, namelijk het contante bedrag A1 = 7 500,00, de beginwaarde (op tijdstip nul = tijdstip van aankoop) A2 van de maandelijkse bedragen van 500,00 EUR en de huidige waarde van A3 dat de som is van het aanvullend bedrag en de beginwaarde aan het einde van het tiende jaar van de tien semestriële bedragen: A = 7 500 + 500a 120 i0 +(5 000 + 1 250a 10 1,5% )(1,015)−20 | {z } | {z } A2 A3 waarbij (i0 , 12) ∼ (1,5%, 2). ⇒. i0 = (1,015)1/6 − 1 = 0,2484516725%. zodat A = 7 500 + 51 826,8964 + (5 000 + 11 527,73069)(1,015)−20 = 71 598,24752. I.p.v. een aanvullende storting van 5 000,00 EUR gevolgd door tien semestriële bedragen had men aan het einde van het tiende jaar een aanvullende storting gelijk aan A3 kunnen doen: A3 = 5 000 + 11 527,73069 = 16 527,73069..


(51)

No results found