Draadtrekonderzoek

Draadtrekonderzoek

Citation for published version (APA):

Ponsen, J. M., & Schmidt, F. J. J. (1968). Draadtrekonderzoek. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Laboratorium voor mechanische technologie en werkplaatstechniek : WT rapporten; Vol. WT0205). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1968

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(

i'

teehnisch.

hofeachooI

eindhoven

leboratoriu!ft voor mechoni.clte tedmologie en werkploot ... chniek rapport van de Meti.: . Werkplaatstechniek

titel: Draadtrekonderzoek outeur(s): sectiel.id ... : Itoogleraor: saaenvatting J.M. Pons en F.J.J. Schmidt

dipl.-ing. J.A.G. Kals

prof. dr. P.C. Veenstra

In dit rapport' is het ontwerp en de uitvoering beschreven van een trekdynamometer, waarmee de axiale en radiale

kracht die bij het trekproees optreden gemeten kunnen worden. Uit een evenwiehtsbesehouwing en de genoemde gerneten krach-ten is de globale wrijvingsco~ffici~nt voor een aantal materialen bepaald.

Tevens is een analyse gemaakt van het draadtrekproces uit-,aande van e~nwichtsbeschouwingen en de methode van de virtuele arbeid. De gemeten waarden van de trekkracht sijn daarna gebruikt om de toegepaste theorieen met hun bij-behorende aannamen te verifieren.

prognose

Diverse in dit rapport berekende resultaten lenen deh voor verd:ere experimentele uitwerkingen.

In pit verband mogen wij noemen een onderzoek naar de io-vloed van de treksteengeometrie, de smeringscondities en

de materiaalvariaties.

Draadtreklten

ct_ .. ,,:

sept_Nt: ant.1 bll •. 110 . . schiltt voar publicot"',,:

"

015 11 15 20 - 25- 30- SOr-rapport nr. 0205 blz.2

vanllobiLl

Voorwoord

.

In @pdracht van prof. dr. P.C. Veenstra is door ons een dynamo-meter ontworpen en het draadtrekproces mathematisch geanalyseerd.

Hij menen allen die de realisatie ervan hebben mogelijk gemaakt hartelijk te moeten danken voor hun spontane medewerking.

Met name:

dr. J. Smit

dipl.-ing. J.A.r.. Kals en zijn medewerkers drs. N.A.L. Touwen

de groep elektronika H.T. onder leiding van ir. C.J. Heuvelman

de meetkamer onder leiding van drs. J. Koning

de technische staf onder leiding van de heer A.A. Bruystens

mej • .I,C.R. op den Buys, voor de verzorging van

het typewerk.

Tevens gaat onze dank uit naar de medewerkers van prof.dr.ir. SchlOsser en prof. drs. Zaat in wier laboratoria wij te gast zijn

geweest voor de ijking van de dvnamometer • _{. ,}

Bovendien zijn wij de N.V. Philips te Geldrop zeer erkentelijk voor haarhulp bij het uitgloeien van de gebruikte materialen.

De auteurs.

0'- 51-10 I-15 I- 251- 301-

50-rapport nr. 0205 biz. 3 van

t

1

o

biz.

I

INHOUDSOPGAVE

.

bIz. Symbolenlijst 5 1 • 1.1 1.2 2. 2. 1 2.2 2.2. I 2.2.2 2.2.3 3. 3.

t

3.2 3.3 3.3. I 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 "3.3.6 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 Inleiding Historisch overzlcht Huidige betekenis Het onderzoek De opdracht

Methode van onderzoek Algemeen

Mechanische analyse Het experiment

Draadtrektheorieen Inleiding

Benadering voor de globale wrijvingscoffficient Theorie gebaseerd op het mechanisch evenwicht

Het model

De evenwichtsvergelijkingen voor de trekconus De deformatieverdeling in de trekconus

De spanningsverdeling in de trekconus Het cilindrisch gedeelte van de treks teen De draadtrekkracht 7 7 10 14 14 15 15 16 18 19 19 21 23 23 25 27 31 33 36

Theorie gebaseerd op de methode van de virtuele arbeid 38

Het model 38

De afschuifarbeid aan de inloop van de trekconus 40

De deformatiearbeid in de trekconus 43

De wrijvingsarbeid 45

De afschuifarbeid aan het uiteinde van de trekconus 49

De draadtrekkracht 50

01-11 I 25 - 30- 35-fa", nr. 0205

4.

4.1

4.2

4.2. 1

4.2.2

4.3

5.

5. 1 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 6. 6. I 6.2 6.3 6.4 7. 7.1 7.2

Nadere theoretische beschouwingen De rastermethode

De optimale steenhoek

De optimale steenhoek met mechanisch evenwicht De optimale steenhoek met de methode van de

virtuele arbeid De optimale draaglengte Ontwerp dynamometer Inieiding Dimensionering dynamometer IJking dynamometer IJking trekkracht IJking radiaaikracht Uitvoering experiment De trekbank Meetapparatuur Het materiaal Meetresultaten

Uitwerking meetresuitaten en conciusies Uitwerking meetresultaten

Conclus

Literatuur

Appendix

I

Appendix II

biz. 4 ylft 11

Oblz.l

bIz. S5 55 57 57 58 64 69 69 73 76 76 80 89 89 90 94 95 100 100 100 )06 109 110

o 5 10. 15 25 30 35

rapport nr. 0205 blL 5

van

11 OblL

Symbolenlij st A A s A w

c

D d F r m p Q R Rf r z Zl w.,kplaatstechnlek Totale arbeid

Afschuifarbeid aan de inioop van de trekconus Afschuifarbeid aan het uiteinde van de trekconus Deformatiearbeid in de trekconus

Specifieke arbeid

Wrijvingsarbeid, in het conische gedeeite van de treks teen Wrijvingsarbeid in het cilindrisch gedeelte van

de treks teen Totale wrijvingsarbeid (Nm) (Nm) (Nm) (Nm) (N/m2) (Nm) (Nm) (Nm) Effectieve spanning bij een effectieve deformatie

van 100% (N/m2) Draaddiameter voor het trekken

Draaddiameter na het trekken Radiaaikracht

Trekkracht

Draaglengte van het cilindrisch gedeelte van de treksteen Verstevigingsexponent (m) (m) (N) (N) (m) (-) Normaaldruk (N/m2) Rekengrootheid (-) Bolstraal (m) Reduktiefaktor (-) Radiale coordinaat (m)

Axiale coordinaat in het conisch gedeeite van de

treksteen (m) Axiale coordinaat 1n het cilindrisch gedeelte van

de treks teen (m) Plaatscoordinaten van de treksteen (m)

0

-

.-lQ i - 25i- 30- 50-J'Gpport nt. 0205 a y & r

Steenhoek_t halve tophoek van de trekconus

Hoek

Natuurlijke rek in radiale richting Natuurlijke rek in tangentiale richting

Natuurlijke rek ~n axiale richting

Effectieve deformatie

biz. 6 van 11 oblz.

(-) (-) (-) (-) (-) (-) (-)

8

0

,8

2t

8

4 Effectieve deformatie ten gevolge van de voor-_{versteviging (-)}

cr r cr z cr , z werlcplaetstechn I.k

Gemiddelde effectieve deformatie ten gevolge van de afschuiving Maximale effectieve defcrmatie in de trekconus Wrijvingscoefficient

Radiale spanning

Axiale spanning in het conisch gedeelte van de treks teen Axiale spanning in het cilindrisch gedeelte van

de treksteen Effectieve spanning Hoek._coordinaat

•

(-) (-) (-) 2

(N/m )

(-)

o

s

10 15 20 25

so

rapport IV. 0205 _{biz. 7 V8ft1 10}

blz.l

1.1 Historisch overzicht

Het trekken van draad is een niet-verspanende vormgevingstechniek, die in de oudheid nog niet bekend was. Toch zijn er in de graven van de Egyptische farao's sieraden gevonden waarin gouddraad verwerkt was. Ook is er uit de ruines van Pompeii bronzen draad opgegraven, dat momenteel nog in het museum van Napels te zien is. Nauwkeurig onderzoek van de oppervlakken en de doorsneden van bronzen en

ijzeren draad uit oudheidkundige vondsten toonde aan, dat toendertijd draad werd vervaardigd door gegoten staafjes eerst warm en vervol-gens koud uit te smeden. In de oudheid werd er goud- en zilverdraad gemaakt door van plaatmateriaal uit te gaan en dit in dunne repen te snijden. In het Oude Testament (Exodus 39, vers 3) van de Bijbel staat dan ook geschreven: "Zij pletten de gouden platen en hij sneed ze in draden ••..• "

Vit de literatuur {I?} is bekend, dat twee malienkolders afkomstig

uit Augsburg en Vize bij Istanboel als oudste produkten, uit getrok-ken draad vervaardigd, bewaard zijn gebleven. Beide exemplaren

da-teren uit omstreeks 44 n.

Chr.

De eerste treksteen, die met enige zekerheid gedateerd kan worden, stamt uit de tijd der Noormannen, is uit ijzer vervaardigd en in Noorwegen gevonden. In de vroege middeleeuwen zijn er ook verschil-lende trekmatrijzen'uit steen vervaardigd, wat de huidige benaming

tr~ksteen verklaart.

Omstreeks het jaar 1100 werd het gebruik van trekstenen voor het eerst in een handschrift vermeld. Hierin schildert de monnik

Theophilus uit het klooster Helmarshausen bij Carishafen aan de Weser in Duitsland ons het draadtrekken als een volledig bekende techniek. In de late middeleeuwen werd het trekken van draad als stedelijk ambacht o.a. in de steden Parijs, Frankfurt, Neurenberg en Augsburg uitgeoefend. Zo is uit historische dokumenten bekend, dat er reeds in 1292 te Parijs acht draadtrekkerijen gevestigd waren. In de

o

5 1Q 15 20 25 30 35 40 rappert nr. 0205

blz.8

genoemde steden werd aanvankelijk oijzer- en messingdraad getrokken

voor de vervaardiging van malienkolders en klinknagels. Zoals 20

,

...

dibvij Is in de geschiedenis was o"k hier de militaire behoefte een

valtll 0

blz.l

stimulans voor de ontwikkeling van de techniek. Aan_Rudolf van Ne'urenberg wordt toegeschreven, als eerste, in ]350 een methode ontwikkeid te hebben omdraad te trekken met behulp van waterkracht.

Dit werd angstvallig geheim gehouden tot het begin van de 16e eeU~\F,

toen een zekere Eobanus Hessus een nauwkeurige beschrijving in het

_.

,

Latijn gaf van deze Neurenbergse 'draadtrekkerij. In dezelfde tijd

beschreef de Italiaanse ~delman Vanuccio Biringuccio in zijn boek

"Pirotechnial1 _{het draadproces in aIle byzon;Ierheden. De onderstaande}

afbeelding is uit dit boekwerk overgenomen.

Fig. 1.1 Draadtrekken in de middeleeuwen.

Hierop 1S te zien, dat een op twee plaatsen gelagerde krukas door

middel van een waterrad in beweging gebracht kan '<Jorden. Met behuip van een riem, welke om de kruk van de krukas geslagen wordt en aan

de

trekstang bevestigd is, kan de trekkracht op de tang 'worden

over-. gebrachtover-. Tussen het bIok, waarin' de treks teen zich bevindt en de krukas is een gat in de bodem aangebracht, waarboven een schommel

is vastgemaakt.De draadtrekkersge.zelnu, die op deze schomluel heeft plaats genomen, dient er voor te zorgen d'at aan het begin van de heengaande slag de draad in de tang wordt gekIemd. Door het moment

rapport nr. ,() 20 5 blL 9 vanl JObiL

1

01-van het waterrad wordt hij dan met haak, draad en schommel naar

achteren getrokken, waarbij de draad in de treks teen tot ~en

51- kleinere diameter wordt gedeformeerd. Aan het einde van deze slag

opent hij de tang, beweegt zich op zijn schommel naar voren en klemt de draad opnieuw in de tang, waarna de cyclus zich herhaalt.

101-

15-Toch werd er in de 16e eeuw vooral in Italie en Frankrijk nog veel

,

goud- en zilverdraad met handkracht getrokken. Een handgedreven trek-bank uit het jaar 1564, die momentee1 nog in het Musee de Cluny in Frankrijk te Z1en is, wijst hier weI op. Dat het draadtrekken met handkracht nog niet zo lang geleden werd toegepast, blijkt weI uit

een rapport van de geoloog Thornton {I } uit het jaar 1884 over de

smeedtechniek van de Afrikaanse negers in het gebied van de

Kilimand-20 - schara. Rieruit citeren wij: "De smid verhitte een rol dik draad in

een vuur van bladeren en stro tot de draad danker rood werd. Terwijl het vuur zwak brandde, 'bracht hij zijn treksteen in orde, een plaat

~I- van zacht staal, waarin de'gaten a1 naar de behoefte met

hamer-slagen vernauwd of door het inslaan van een gladde doom vergroot konden worden. Vervolgens hamerde hij het uiteinde van de draad aan,

vette de draad flink in, klemde het aangehamerde uiteinde in de taBg,

351-ging op de grond zitten, nam de treks teen tussen zijn voeten, trok een lange leren band door de tang, nam deze in de hand en boog zich snel naar achteren, opdat de draad een stukje langer zou worden. Wanneer ongeveer een voetlengte van de draad op een kleinere diameter

was gebracht, stond onze vriend op, ~ing naar een tussen palen,

be-vestigd houten blok, waarin talrijke gaten geboord waren, legde de

. 1 - treksteen in een uitholling achter dit blok, stak de draad door het

501-gat, bevestigde de tang weer aan het dunne uiteinde van de draad en trok nu een lang stuk draad op een kleinere diameter. Ret is begrij-pelijk dat het gat in de ongeharde treksteen weldra groter werd zodat het laatste gedeelte van de draad gemakkelijker door de steen ging; het kostte dan oak veel moeite,om een rol draad over de gehele lengte gelijkmatig op dezelfde diameter te trekken".

In de 1ge eeuw en het begin van de 20e eeuw hebben vooral de volgende

vier faktoren bijgedragen tot een versnelde ontwikkeling van d~

draad-I, •

...

. • :. . . r---~---:-.

___________________

-Ic c :

rapport 111'.0205 _{biz. 10 VIII II}

°

_biz. 0

-trektechniek:

5 - ' _{1. de uitvinding van de telegraaf door Morse in 1835 en de aanleg}

van de eerste telegraafverbinding tussen Baltimore en Washington in 1844. 10 - 20:- 25- 30-"

2. de ontwikkeling van de telefoon door Bell tussen 1870 en 1880. 3. de uitvinding van de elektrische verlichting door Edison, zodat

grote hoeveelheden draad nodig werden.

4. de ontwikkeling in Duitsland van trekstenen uit bardmetaal in 1926.

Deze trekstenen maakten het namelijk mogelijk, dat de treksnelheid aanzienlijk kon worden opgevoerd.

1.2 Huidige betekenis

Tegenwoordig wordt het draadtrekproces op grote schaal voor

een varieteit van materialen toegepast. De materialen, welke goed plastisch deformeerbaar zijn zoals ongelegeerd staal, koper, nikkel, aluminium, gaud, zilver en platina worden in bet algemeen koud ge-trokken; sommige materialen daarentegen zoals harde gelegeerde staal-soorten, wolfraam en molybdeen zullen eerst moeten worden verhit om ze voldoende deformeerbaar te maken voor het draadtrekproces. In de

Verenigde Staten van Amerika wordt momenteel draad getrokken tot een diameter van ca. I l.t m, wat overeen komt met

10

van de diameter van een mensenbaar. De gebruikelijke oppervlaktereduktie per trek ligt in de grootte-orde van 25%, afhankelijk van bet materiaal. Zo zal voor het trekken van pianodraad de reduktiefaktor voor een trek niet boven de 10% liggen.

Trekstenen

De oppervlaktereduktie komt tot stand in een treks teen, welke in de meeste gevallen uit hardmetaal is vervaardiad.. Voor het trekken van draad met een diameter kleiner dan ca. 0.06 rom worden de trekstenen evenwel van diamant gemaakt. Tenslotte wordt er voor produkties van werkplaatltechnlek

o

5 10 15 20 25 50 rapport nr. 0205 blL 11 Vlftl.l'U1tIL

1

kleine omvang of voor draad met een niet-cirkelvormige doorsnede gelegeerd staal als gereedschapstaal gekozen. De gebruikte nomencla-tuur van de treksteen is vermeld in Fig. 1.2.

steenhouder inloopstraal vrijloophoek trekzone conushoek (211) treksteen

Fig. 1.2 Treksteen met steenhouder.

Trekbanken

Afhankelijk van de oorspronkelijke diameter van de draad, de gewenste draadlengte en de tot ale oppervlaktereduktie wordt het draadtrekpro-ces of op een kettingtrekbank, een trommeltrekbank of op een mUltiple trekautomaat uitgevoerd. Gezien de grate verscheidenheid in de

diameter en de materiaalsamenstelling van de draad is het moeilijk een draadtrekkerij verregaand te automatiseren, alhoewel er sinds 1950 toch weI een dergelijke tendens in de Verenigde Staten van

Amerika te zien is. Zo heeft men daar in een grote draadtrekkerij een produktiestraat ontwikkeld voor de vervaardiging van draad voor

communicatiedoeleinden, waarin het trekken, het uitgloeien, het ~er­

tinnen, het reinigen, het van isolatielaag vaarzien en het oprollen van de draad achtereenvolgens plaats vindt. Deze produktielijn werkt

010 -15 I -

30-.

->"

ropport IV.0205 blL 12 ,anI 10 ttlz.

continu en wordt elektronisch gestuurd. Verschillende moderne draadtrekmachines werken momenteel voor staaldraad met treksnel-heden van ca. 20 m/sec. en voor koper zelfs tot 50 m/sec.

~m!r.!n.&

AIle staalsoorten worden in de praktijk met talk, vet of zeeppoeder gesmeerd tijdens het trekproces. Voor non-ferro metalen en bij het trekken van draad met een kleine diameter prefereert men daar-entegen olie of een zeepoplossing als smeermiddel. Bij het warmtrekken van wolfraam en molybdeen zal naar warmtebestendige smeermiddelen moeten worden gezocht zoals grafiet en molybdeendisulfide.

p!o:!u!t.!e;='8,£a;=.i!e.!t_

Momenteel worden er in Amerika en Europa ongeveer 12.000 soorten

draad vervaardigdt waarbij dit aantal vooral door de grote varieteit

in diameter,materiaalsamenstelling en oppervlaktebehandeling tot stand komt. In het tijdschrift "Stahl und Eisen" van eind augustus

1968 {22} is een overzicht van het Statistisches Bundesamt te DUsseldorf gepubliceerd, waarin het aandeel van getrokken draad in de totale

Nederlandse staalproduktie is weergegeven. Aan dit overzicht ontlenen

wij de volgende gegevens met betrekking tot de jaren 1966 en 1967.

(zie Tabel 1.3 op de volgende bladzijde) •

werkplaat.techn I.k

_{lechnlsch. hog.school}

_eindhoven

.

<.

, ,

\

NPROI'f nr. 0205 0 - 51-10 I -15 I -20 f-25 r-10

f.o-u

r - . 40 I -45 I- 50-biz. I 3

v.

1 I fIIIz. per 1000 ton Produktie 1966 Steenkoolwinning 10 050 Cokesbereiding 3 829 Ruwijzerproduktie 2 209 Voor de staalbereiding 997 Ruw gietijzer 212 Staalproduktie 3 256 Oxy-staal 2 057 S.M.-staal 897 Elektrostaal 302 Gewalst staai 2 257 Staf 206 Gewalste draad 180 Breedbandstaal 220 Bandstaal 74 Zware plaat 417 Middelzware plaat 34 Lichte plaat 093 Blik 314 Stalen buis 158 Getrokken draad 138

Tabel ].3 Kolen- en staalproduktie in Nederland in 1966 en 1967. 1967 8 065 3 313 2 579 2 377 202 3 407 2 166 965 276 2 347 281 218 141 86 409

28

112 332 146 145

rapport tv. 0205 biz. J 4

'II

J J tlIfz. o~ 2. Het onderzoek ============= 5~ 2.t De ol?,dracht

,

10~ De opdracht betreft he~ gebied van het draadtrekken en is door ons

15'-

25-

30-

31-

50-in gezamenlijke arbeid uitgevoerd •

..!.J-opdracht

Verlangd wordt het ontwerp van een trekdynamometer die het mogelijk maakt zowel de trekkracht (axiale kracht) als de radiale kracht op de treks teen te meten, zodat de globale wrijvingscoefficient die in het trekproces een rol speelt bepaald kan worden.

-Het ontwerp dient zover als redelijk mogelijk rnechanisch geanalyseerd te worden, waarbij een uitGpraak wordt gedaan over de te verwach-ten gevoeligheid en de lineariteit van het systeem.

-De analyse dient gericht te zijn op de rnogelijkheden tot ijking van het instrument.

-Het ontwerp dient uit te rnonden in tekeningen die voor de vervaar-diging van het instrument in de werkplaats geschikt zijn (samen-stelling- en mono-tekeningen), vergezeld van een degelijk rapport inzake de achtergronden van het antwerp.

Het verrichten van onderzoek onder toepassing van de trekdynamometer. -Ret onderzoek zal een verificatie inhouden van theorieen voor het

draadtrekproces voor een reeks van rnaterialen, waarbij de invloed van de vervormingsversteviging in medebeschouwing wordt genomen. -Een vergelijking dient te worden gemaakt tussen de uitkomsten van

"

••

.!

0

5

-rapport nr. 0205 _{biz. 15 .... J 0 biz.}

de theorie gebaseerd op mechanisch evenwicht, en die gebaseerd op de methode van de virtuele arbeid.

Hierbij moet een poging worden gedaan het effect van het niet vlak

_..

blijven van een oorspronkelijke vlakke doorsnede in de analyse te betrekken, eventueel door toepassing van de rastermethode op een

18 I - g e d e e l d e draad.

15-

25-

101-

31--Een uitspraak wordt gevraagd over de realiteit van het bestaan van een optimale steenhoek, en van een optimale draaglengte van de steen. -Evenzo wordt een uitspraak gevraagd over het verschil tussen de

nominale trekdiameter van de steen en de diameter van de getrokken draad, in afhankelijkheid van de aard van het getrokken materiaal. -Nagegaan dient te worden in hoeverre het voorgaande van toepassing

blijft op sterk voorvervormde draad, dus bij een tweede of derde trek zonder tussengIoeien.

2.2 Methode van onderzoek

2.2. I Al~emeen

Om het draadtrekproces zo efficient mogelijk te laten verlopen is

het een vereiste dat wijeen inzicht krijgen in de fysische achter-gronden die bij dit proces een rol spelen.

Uitgaande van fysische en mechanische basiskennis hebben wij een model van het proces opgesteld en zullen wij trachten dit wiskundig te formuleren. Met behuip van het experiment zijn wij in staat numerieke uitkomsten te verkrijgen en op deze manier de juistheid

y te verifieren van de op dit model gebouwde theorie.

Blijkt de theorie juist te zijn dan hebben wij de beschikking ge-kregen over een mathematische formulering waaruit wij kunnen af-leiden wat er zal gebeuren indien de procescondities worden gewijzigd

f

of wanneer er andere materialen worden gekozen. Bovendien zijn wij

o , 5 10 15 20 30 ntai ... tv. 0205 bI

z.

I 6

v.

IJ (j)I 1. •

nu in staat het proces te optimaliseren. Dit kan dan geschieden met iedere gewenste procesparameter als variabele.

2.2.2 Mec~anische anal~se

Ret draadtrekproces kan beschreven worden met het volgende defor-matiemodel:

Fig. 2.1 Deformatiemodel.

I Globaal evenwicht

Uit het globale evenwicht is een relatie afgeleid voor de globale wrijvingscoefficient. Deze blijkt een funktie te zijn van de

steen-geometrie, de draaddiameter voor het trekken en de verhouding tussen de radiaalkracht en de trekkracht. Meting van deze krachten leidt dan tot de bepaling van de wrijvingscoefficient.

rapport nr. 0205 biz. 1 7Vlll

to

biLl

Of-II Locaal evenwicht

Sf- Het locale evenwicht levert met gebruikmaking van een

plasticiteits-voorwaarde een differentiaalvergelijking voor de trekkracht. Integratie ervan en het voldoen aan de randvoorwaarden leidt tot

10

f-15

f-

25-een relatie voor de trekkracht in afhankelijkheid van de st25-een-

steen-geometrie, de wrijvingsco~fficient, de begindiameter van de draad

en een drietal materiaalconstanten.

Hierbij is aangenomen dat het materiaal gekarakteriseerd kan worden door de volgende constanten:

- De effectieve spanning bij een natuurlijke deformatie van 100%

(C in N/mm2)

- De verstevigingsexponent (m)

- De voordeformatie

(6 )

o

Het gedrag van het materiaal kan dan beschreven worden met de de-formatievergelijking:

- - m

a = C (6 + 6 ) o

III Virtuele arbeid

Een principieel andere methode van analyse is de toepassing van het principe van de virtuele arbeid. Bij deze methode wordt niet uit-gegaan van het mechanisch evenwicht maar van het behoud van energie. Ook dit geeft weer een vergelijking voor de trekkracht als funktie de steengeometrie, de wrijvingscoefficient, de draaddiameter veer het trekken en de drie materiaalconstanten.

Toelichtins:

Beide analyses geven dus een mathematische relatie voar de optredende trekkracht. De numerieke waarde van deze kracht, die het experiment

ons levert voor het bepalen van de globale wrijvingscoefficH~nt, maakt

het ons tevens mogelijk de juistheid van de gebruikte theorieen met de bijbehorende aannamen te verifieren.

Of-10

r-..

ropport nr. 0205 btL 18

vln

11 Obll. 2.2.3 0-I Het ex£eriment

Na de betekenis van het experiment te hebben uiteengezet, gaan wij nu over tot de beschrijving van de uitvoering.

Het onderzoek is verricht aan de materialen koper, nikkel en aluminium. Deze materiaalkeuze stelt ons 1n staat om een indruk te krijgen van de invloed van de materiaalconstanten C en m. Ten opzicht van koper bezit nikkel namelijk een even grootte m, maar een twee maal zo hoge C-waarde; aluminium daarentegen heeft ongeveer een gelijke C,

15r- maar een aanzienlijk lagere m-waarde dan koper.

20-25

-SO

c-

35r-

50-Het meten van de trekkracht geschiedt door het bepalen van de vorm-veranderingen van de dynamometer in axiale richting.

De radiaalkracht is de resultante, gelegen in een vlak loodrecht op de symmetrieas, van de radiale spanningen geintegreerd over het

werk-zame oppervlak van de halve treksteen. Als de trek.teen uit twee identieke

helften gemaakt wordt, dan is de radiaalkracht juist de kracht waar-mee deze helften tijdens het proces uit elkaar gedrukt worden. Indien deze helften zijn opgesloten in een houder, dan kunnen wij uit de vervormingen ervan de grootte van de optredende radiaalkracht be-palen.

..

•

--..

•

f-18 ~ Npport .... 0205

btl.

19 'MIlO 1111. 3. 3. I Draadtrektheorieen =====_==========z= Inleiding

In de loop der jaren zijn verschillende theorieen voor het draad-trekproces ontwikkeld. Als pioniers op dit gebied kunnen we o.a.

noemen Smith{ 21 }, die zijn "Flow of Hetals ~n the Draw Process"

in 1880 publiceerde, en Musiol{ 16} van wie er in 1900 een artikel over de theorie en de praktijk van het draadtrekken verscheen. In

.

1927 analyseerde Sachs{ 18} het draadtrekproces met behulp van een

lJ~ methode gebaseerd op mechanisch evenwicht, waarbij evenwel de

in-vloed van het cilindrisch gedeelte van de treksteen, dat om het naslijpen van de conus mogelijk te maken is aangebracht, niet in

.f-

de beschouwing werd opgenomen. Een dergelijke uitgebreidere analyse

werd pas in 1960 door Yang { 27 } verricht. In navolging van Sachs ontwikkelde Siebel{ 20} in 1934 een draadtrektheorie gebaseerd op

.40-

.u-

50-de metho50-de van 50-de virtuele (infinitesimale) arbeid, waarbij in eerste instzantie alleen de deformatiearbeid in beschouwing werd genomen. Deze theorie werd door Sachs en van Horn{ 19} uitgebreid door behalve de deformatie-arbeid ook de wrijvingsarbeid in de analyse mee te

nemen. In 1940 brachten Korber en Eichinger{ 13} weer een verfijning in deze theorie aarr door aan de term voor de deformatie- en de

wrijVings-arbeid een term voor de afschuifwrijVings-arbeid aan de ingang en uitgang vaa,' bet

conisch gedeelte van de steen (redundant work) toe te voegen. In 1948 ontwikkelden Hill en Tupper {9} een nieuwe draadtrektrektheorie do.r gebruik te maken van de "slip-lirie"-methode.

Aanvankelijk werden deze beschouwingen betrokken op ideaal-plastisch materiaal, waarbij dus de vervormingsversteviging werd verwaarloosd.

Davis en Dokos {6 } namen in J 944 als eersten de invloe'd hiervan

in hun analyse mee en weI ~n de vorm van een lineaire

vervormings-versteviging volgens ;

=

a + b6, waar~n

a

en 0 resp. de effectieve

spanning en de effectieve deformatie en a en b const;anten voors'tel-len. Uit metingen is evenwel gebleken, dat de relatie tussen de

ef--

-fectieve spanning cr en de ef-fectieve deformatie 0 beter door de

18

-

25-

30-

50-relppWt IV. 0205 btL 20 nil 10 btL

- -m - - m

exponentiele functies 0

=

C 0 of a

=

C (0 + 0) beschreven kan

a

worden. Hierin zijn C en m materiaalconstanten, terwij'l

i

een

,0

maat voor de voorvervorming is. Volledigheidshalve noemert we hier

ook nog het verstevigingsmodel volgens cr = f - g exp(- he) met

f, g en h als constanten, dat Voee{25} 1n 1948 introduceerde.

De bovengenoemde draadtrektheorieen geven ons een uitdrukking voor de draadtrekkracht of de draadtrekspanning als functie van de geometrie en de afmetingen van de treksteen, de draaddiameter voor het trekken, de materiaaleigenschappen en de globale wrijvings-coefficient. De waarde van deze wrijvingscoefficient is evenwel niet bekend en zal moeten worden gesehat of langs theoretische of

experimentele wegwordEln'~paald.In 1948 suggereerde MacLellan

{14} am experimenteel de trekkracht en de radiaalkraeht van het draadtrekproces te bepalen met behulp van een methode met twee halve trekstenen, om vervolgens hiermee uit het mechanisch e"n-wicht de globale wrijvingscoefficient te kunnen berekenen. In deze berekening volgens MacLellan is echter de invloed van het cilindrisch gedeelte van de treksteen verwaarloosd. Later nam Yang {27} deze invloed in de berekening op en vond met behulp van de methode m.t twee halve trekstenen zeer acceptabele waarden voor de globale wrijvingscoefficient.

In dit hoofdstuk zullen in de eerste plaats, in navolging van Yang, een uitdrukking afleiden voor de globale wrijvingscoefficieAt als

J\

funktie van de trekkracht en de radiaalkracht, opdat we met de -ult de methode der twee halve trekstenen - verkregen waarden de globale wrijvingscoefficient kunnen bepalen. Vervolgens zullen we het draad-trekproces analyseren met een methode gebaseerd op mechanisch even-wicht en met de methode van de virtuele arbeid. Deze analyseD "Zullan

resulteren 1n uitdrukkingen voor de draadtrekkracht en de draadtrek-spanning. Bij deze draadtrektheorieen zullen we de invloed van de vervormingsversteviging in de vorm van het exponentiele verstevi-gingsmodel met voorversteviging 1n de beschouwing meenemen. Het zal ook zinvol blijken te zijn om het cilindrisch gedeelte van de treksteen

w.nplaotlMchnlek

_technisch.

_hogeschool

_eIncIhoveII

o

5 15· 20 50 rapport 111'.0205 blL 21 VIII I 0 blL

in bovengenoemde analyse te betrekken.

3.2 Benaderins voor de globale wrijvinsscoefficient (volgens YanS) In Fig. 3.1 wordt een draad met een oorspronkelijke diameter D door een treks teen met een steenhoek a(halve tophoek van de conus) en

een cilindrische draaglengte 1 getrokken tot een kleinere diameter d. '

':"".-Fig. 3.1 Deformatiemodel.

Rierbij wordt van de volgende veronderstellingen uitgegaan:

1. De globale wrijvingscoefficient in het conische en in het cilin-drische gedeelte van de treks teen zijn gelijk. zodat we slechts te maken hebben met een globale wrijvingscoefficient u.

2. De normaaldruk p Ln het conische en in het cilindrische gedeelte van de treks teen zijn gelijk aan elkaar en onafhankelijk van de axiale plaatscoordinaat z.

3. Ret proces verloopt stationair.

4. De optredende versnellingskrachten worden verwaarloosd.

Evenwicht in axiale richting levert nu de volgende uitdrukking voor de trekkracht F :

t

.',

Oi-.5 l-10 I -15 '- 25- 30- 35,.40 -

45-•

rapport nr.0205 btL 22

van

11 (jilL

D'=D D'=D

F t

::;

~f

p sin(l n D' - . - + dDt

Slna ~

f~p

cosa 'IT D'

dDt + ].Ip 'If d 1

_'"

-.:--Sl.1'tU D'=d D'=d

.

(3. ])

l?anneer we nu het evenwicht in radiale richting gaan bekijken dan kunnen we de volgende formule voor de radiaalkracht F afleiden:

r D'=D 1/>= -'If DI=D

4>= -

11' F 1

f f\

COSCl costj> D' d4> dDt

!

f

j

~

sina cost/! D' d~ d~' ::; 4 -..or- - _SlnC r Slna D'=d

cp=- -

'If ₂ D'=d

4>=- -

11" ₂ (3.2)

Door uit de twee bovenstaande formules de normaaldruk p te elimineren

vinden we een ui tdrukking voor de globale wrij vingscoHficU!nt ].I a,1s

funktie van de trekkracht F

t en de radiaalkracht Fr' ].I ::; 17 (3.3) ' r 2 2 11' ( - - ) {CD -d )cota + F t

Met behulp van een dynamometer, die in Hoofdstuk 5 beschreven zal worden, zijn we in staat de trekkracht F

t en de radiaalkracht Fr te

meten. Door deze gemeten waarden in de bovenstaande formule te substitueren kan de globale wrijvingscoefficient worden bepaald,

i

r---~---~\

o

s

1Q 15 20 30 50 rapport nr. 0205

• biz. 23 ,YIII 10

biLl

3.3 Theorie sebaseerd

02

pet mechanisch evenwicht

3,3.1 Het model

Bij onze analyse gaan wij uit van een model van het trekproces. zoals dit in Fig. 3.2 is weergegeven.

Fig. 3.2 Model van het trekproces.

Het probleem is rotatorisch symmetrisch en wordt beschreven in de cilindercoordinaten

(z,

r. ¢), met de top van de trekconus 0 als oorsprong.

10 .... 15 !- 20- 25-

30-

u-.

-

50-rapport nr. 0205 blL 24 YIlt II

CIaIz.l

We beschouwen achtereenvolgens de volume-elementjes (z, z + dz) en

(z', z' + dz'), welke onder invloed van de trekkracht F

t en de krachten door het gereedschap op materiaal uitgeoefend in even-wicht zijn. In het vlak van interactie tussen het materiaal en

het gereedschap treedt.de norma~ldruk p(z) op, die aanleiding geeft

tot de Coulombse wrijvingsspanning u.p(z). Het model wordt nader gespecificeerd door de volgende veronderstellingen:

1. Vlakke doorsneden blijven vlak. Op de juistheid van deze ver-onderstelling komen we in Hoofdstuk 4 nog terug.

2. De normaalspanning in de z-richting 0 is geen funktie van de

z

r-coordinaat. Dit houdt in dat de normaalspanning een constante waarde heeft over een doorsnedeloodrecht op de trekrichting. 3. De wrijvingscoefficient heeft zowel voor het conische als voor

het cilindrische gedeelte van de treks teen een zelfde constante waarde.

c4. De wrijvingsspanning aan de wand neemt radiaal zo snel naar nul

af, dat de inwendige spanningsverdeling hierdoor verwaarloosbaar

beinvloed wordt. De coordinaatrichtingen (z, r, ~) zijn dus,

globaal gezien, de hoofdrichtingen.

5. De wrijving tussen het materiaal en het gereedschap manifesteert zich in de vorm van Coulombse wrijving •

6. Het proces verloopt stationair.

7. De optredende versnellingskrachten worden verwaarloosd.

8. AIleen de plastische deformaties worden bij deze analyse in de beschouwing meegenomen. De elastische deformaties daarentegen worden verwaarloosd.

9. Er wordt van uitgegaan, dat het materiaal zich in het plastische

werkplaatltechnlek technlsche hog.school

eitIcItto'Mn

0

-

51-10 !

-rapport nr. 0205 blL 25 VII J J

°

blL

g~bied als een incompressibel medium gedraagt, wat invariantie

van het volume impliceert. Volgens Thomsen, Yang en Kobayashi

{231} ligt de hierdoor' gemaakte fout in de orde van grootte van 0,01%.

10. Er is verondersteid dat er van homogeen en isotroop materiaal

wordt uitgegaan, zodat de plasticiteitsvoorwaarde van Von Mises dus gebruikt kan worden.

15 ~ II. De geldigheid van het exponentiele verstevigingsmodel met

even- 25- 30- 35-., 3.3.2 tuele voorversteviging.

(We zullen nu in de eerste plaats uit het axiale en het radiale evenwicht een differentiaalvergeIijking voor de trekspanning cr

z

als funktie van de spanning 0 en de plaatscoordinaat z afleiden.

r

Uitgaande van het deformatiemodel kan vervolgens een uitdrukking voor de effectieve spanning o(z) gevonden worden. Daar de

plas-ticiteitsvoorwaarde van Von Mises een verband tussen de effectieve

spanning o(z) en de spanningen 0 en 0 geeft, kunnen we hiermede

z r

o uit de bovengenoemde differentiaalvergeIijking elimineren.

r

Zodoende wordt een differentiaaivergelijking voor de trekspanning

aIleen als funktie van z verkregen. met als randvoorwaarde de 0

z

aan het begin van de treks teen. De draadtrekkracht F wordt nu

ge-t

vonden door de uit de differentiaaivergelijking opgeloste trekspan-ning aan het einde van de treksteen met het bijbehorende oppervlak

te vermenigvuldigen.

De evenwichtsver~elijkingen voor de trekconus

Ret vereiste evenwicht in z-richting van het volume-elementje (z, z + dz) Ievert de volgende vergeIijking:

2 2 (r+~ dr)

cr TI r - (0 +dcr ) n (r+dr) - p(~cosa+sina)2TI dz = 0

z z z cosa

01-

51-10 I

-

151-rapport nr. 0205 WL 26 'lllIObiL

1

\.Janneer we de termen, die klein zijn van de tweede orde, verwaar-lozen dan kan de bovenstaande uitdrukking vereenvoudigd worden tot:

r do + 20 dr + 2p (~ + tana) dz

=

0

z z

(3.4)

Vit geometrische overwegingen bestaat steeds de volgende relatie:

r ::: Z tan(1

en dU$ ook

(3.5)

dr dz tana

2O!- .. _{Door van het verband dr}

₌

_{dz tana gebruik te maken kunnen we,}

uit-gaande van de uitdrukking (3.4), de volgende relatie tussen 0z en z afleiden: 10 r- 35- 50-z dO' + 20 dz + 2p (...l:!... + 1) dz ::: 0 Z z tanex of (3.6) dz do

l

z

-z _{(_).l_}

°

+ P + 1 ) z tana

Er kan vervolgens een relatie tussen or en de normaaldruk p afgeleid worden door het evenwicht in radiale richting van het

volume-ele-mentje (z, z + dz) met het kegelappervlak dA te bekijken:

oftewel:

p (casa - ~sina)dA + a COSa dA

=

0

r

p

=

~----jJ tana - 1

(3.7)

Wanneer we de bovenstaande uitdrukking voor p ~n vergelijking (3.6)

substitueren dan vinden we:

(3.8)

o

5 1Q 15 20 25 30 50 i rapport nr. 0205

Door het invoeren van de grootheid

Q

=

+ lJ cot,a

- lJ tana

kan de vergelijking (3.8) worden vereenvoudigd tot: dz - =

!

z da z 3.3.3 De deformatieverdeling in de trekconus

biz. 27

van!

10 biz.

1

(3.9)

(3. 10)

Om een uitdrukking te vinden voor de verdeling van de effectieve

spanning binnen het conisch gedeelte van de treksteen zul1en we eerst de deformatietoestand hiervan aan de hand van Fig. 3.3 analyseren.

Fig. 3.3 Deformatiemodel

01- 51-10 I - 15r- 20- 25r- 301- SOl-rappott IV. 0205

De natuurlijke rek 0 wordt per definitie door de uitdrukking 1

n

blL2S V8ft 1 J

oMz.

o

==

~di:

weergegeven, waarin 10 de oorspronkelijke en In de 1

a

nieuwe lengte voorstelt. Uit Fig. 3.3 voigt nu dat we voor de natuurlijke rek in radiale richting 6 kunnen schrijven:

r D'==2r

-J

dDt

or -

"""'D'

D'=D (3. 11)

of met gebruikmaking van de goniometrische relatie r = z tana:

(3.12)

De natuurlijke rek 1n axiale richting 6 kan als voIgt worden uit-z gedrukt: l'=dz 0 =

f

_r

dl' = In

(~)

z dz I'=dz 0 (3.13) 0

Op grond van de veronderstelde invariantie van het volume geldt:

2

2

4z tan a

Aldus kan er voor de natuurIijke rek 0 geschreven worden:

z

o

== In z D2 2 (-"J!:----=--);: - 2 In ( z tana) 2 2 D 4z tan a (3.14) (3.15)

Wanneer we nu dit resultaat vergelijken met de uitdrukking (3.12) dan zien we dat:

o

= -

26

z r (3.16)

Er kan aangetoond worden dat er bij invariantie van het volume voor de som van de natuurlijke rekken in de drie hoofdrichtingen 01' 02 en 6

3 geldt:

01- II-10 I

-..

151- 25- 30- 35- .40- 501-rapport nr. 0205

Hieruit volgt dat:

2z tanC/.

o~

=

or

=

In ( D )

biz. 29 VIR II

(1atz.l

(3.17)

(3:18)

Uit de literatuur {24} is bekend dat de effectieve deformatie 0 in het plastische gebied voor grate deformaties in de hoofdrich-tingen kan worden gegeven door:

(3. 19)

Indien we de gevonden uitdrukkingen voor 0 ,0 en o~ in de

boven-z r '!'

staande formule substitueren dan vinden we de verdeling van de effectieve deformatie binnen het conisch gedeelte van de treksteen.

2 In ( D )

2z tanC/.

(3.20)

Uitgaande van het exponentiele verstevigingsmodel met

voorver-steviging kunnen we het verband tussen de effectieve spanning cr

en de effectieve deformatie

6

als voIgt weergeven:

(3.21)

-

-waarin C de effectieve spanning behorend bij 0 + 0

=

I (100%),

o

0

0 de effectieve deformatie ten gevolge van de voorversteviging en

m de verstevigingsexponent voorstelt. Voor de verdelirtg van de effectieve spanning binnen het conisch gedeelte van de treksteen vinden we aldus: m C {2 In (D )+

6 }

Zz tano 0 cr (z)

(3.22)

a (z)

In Grafiek 3.4 op de volgende pagina is het verloop van als

C

•

-o o .~ I I I I

,

I I 1 I I I

..

~ Q

5-

₁

"G

0-!t

Q

..

..

0

i

-

N 0

if

(j _\Jt

.-

_~ C

1'1 _

0, J 6 0,3 m == 0

-

..

-m=Ol _{...!.---\:r" .}

6

-0..

_

.

.-

-0,75 .

----.

--

____ m

=

0,4 6" - 0,3

/

.-rr·

_---'

----.--.--0,5

_I

----.

(

m

=

0,4

6

= 0 _ _ _ _ .

->--.

----X

...,...---

.

:r _~

•

.

:r

0,22-/

,

•

I

V

[

!E !'"

f

0 w 1

bs

1 110 l' 1 S 1 '20 0 1

i

,

,

,

,

D/2ztana

--

It

-GraHek 3.4 Relatie tussen ~ en D/ 2z tana in het conisch gedeelte van de treks teen. 0

E

,..

- - - '

Ot- 510 t-15 I- 251- 301- 35t-

501-rapport M.

0205

biz.

31

Yin

I 1 0

biz.

3.3.4

D

funktie van 2z voor diverse m en

c

waarden uitgezet.

tana 0

De spanninasverdeling in de trekconus

Als plasticiteitsvoOr¥laarde voeren we de vergelijking van Von Mises in.

(3.23)

Wanneer we in de Levy-Von Mises-vergelijkingen

de = -do {o

_-

_~ (or +0 $)} z

-

z 0 en

(3.24)

de _r = -do

-

{o _r

-

_!

(0 Z +0

cp)}

0

welke uit de literatuur {23} bekend zijn 0

= -

20 (vergelijking

z r

(3.16»

substitueren dan kan uit deze vergelijkingen worden

af-geleid dat:

0 = = 0

r

cp

(3.25)

Hierdoor gaat de vloeivoorwaarde van Von Mises over in:

0==0 - a

(3.26)

z r

Wanneer we de bovenstaande uitdrukking in de evenwichtsvergelijking

(3.10)

substitueren dan vinden we:

dz do

!

z

-

_z

=

(Q-I) a - Qo

-z (3.27)

Substitutie van o volgens formule (3.22) levert nu:

(3.28)

dz do

!

z

-

== z D - m (Q-l ) 0" - Q C {2 In (2z )+ <5 } z tana 0

wmplaatatec:hnlek techniache hogeschool

eindhown

o

5 10 15 20 25

NPport nr. 0205 III z. 32 vIR! 10 III

z..

Voor deze vergelijking, die slechts numeriek integreerbaar is, zullen we een praktisch-technische benadering geven, die er op

berust dat vergelijking (3.27) elementair integreerbaar is indien

cr geen funktie van Z 1S, maar een constante. Zo zu11en we als

technische oplossing een gemiddelde effectieve spanning

Q

invoeren,

die onafhankelijk van z is.

x=o

+0

r

max

1

max 0 1

~

(5+6

_o)m - 1 m dx C I {{6

+6

)m+l+ SI = - de= - - x

=----

_{m+l max 0} °max

6

max

c_

o

0=0 x=o max 0 - m+1 6 } o (3.29)

De grootste 6 treedt op aan het einde van het conisch gedeelte van

de trekstee~ voor z

=

z . De uitdrukking voor 0 wordt dus:

u max

8

= 2 In (2z D )= 2 In

(~)

mo tua d (3.30)

u

Door de bovenstaande formu1e voor 6 1n de verge1ijking (3.29) te

max

substitueren vinden we voor de gemidde1de effectieve spanning ~:

c

cr =

----....-0;::-{2 In

(~)}

d

(3.31)

We zullen er nu toe overgaan de differentiaalvergelijking (3.27) op

te lassen, waarin we voor

0

de uitdrukking (3.31) moeten lezen.

De integratieconstante van deze eerste orde differentiaalvergelijking

wordt bepaald door de voorspanning ter plaatse z

=

z in de draad.

o

Alhoewel er ten gevolge van de wrijving bij de aanvoer van de draad een zeer kleine voorspanning aanwezig is, zullen we deze in de be-rekening nul veronderstellen. De op1ossing wordt dan:

In

{CQ-I)

cr -

Q

o}

+ In I

z

-In z _{= ~(Q-t) (3.32)}

met I als integratieconstante. Uit de randvQorwaarde, dat voor

01- .51-1Q I- 15r- 20- 251- 301-

351-rcrpport nr.O 20 5 biz. 33 vlnllO biz.

3.3.5

z

=

z geldt dat

o o z = 0, vinden we de volgende uitdrukking voor I:

2(Q-l)

2(Q-I)

(zo)

I = - - - -

-Q~

Dit 1n vergelijking (3.32) gesubstitueerd levert:

(_z ) 2 (Q-1) = __ { _( Q-_n_._o;...z _-_"

Q2._~_}

z

o

_Q£

-De expliciete oplossing van de differentiaalvergelijking

(3.27),

welke de trekspanningsverdeling binnen het conisch gedeelte van de treks teen weergeeft, wordt dus:

cr = Q,Q) ; {I z

-z

2(Q-l) _

~

C

1

- (Z-)

} -

Q-J m+ 1 ----="D-o 2In(-d') In G~afiek 3.5 op de o 0 van - voor ex .. 9 , z cr z (3.33)

volgendebiadzijde is het verloop van

c:

als funktie m = 0,4, -dD

=

1,2 en voor 6

= 0 resp.

6

=

0,3

o 0

uitgezet.

Aan het uiteinde van het conisch gedeeite van de treks teen, dus ter zu d tana. d

plaatse z

=

Zu geldt met

Z-

= D tana

= D

voor de spanning oz:

=

.JL

Q-I

C m+J 2 o

1 D [{2

In In(Ci)

(E)

+ 1: } '1 { ( ) } m+l m+l] d 2(Q-J) d \)0 - Q 0 1 -

D

Ret cilindrisch gedeelte van de treksteen

Ret vereiste evenwicht in z-richting van het velume-elementje

(z',

z'+dz') levert de volgende vergelijking:

!

d do , + ~p dz'

=

0

z (3.35)

~I- De plasticiteitsvoorwaarde van Von Mises kan ook hier weer als

-

_o

₌

_{0 , - cr geschreven worden, aangezien er voer een staaf onder}

gelijk-z r

werkplaat.technlek

technlsche hogeschool

eindhoven

~ !t K" "0 Q

a

..

i

:r ::a

.-K"

..

i

I

[

f

~z

J

I

0, 0,3 0,2 0,1

°

a

D

=

d

=

0.

=

II

=

GraHek 3.5 6 mm 5 mm

9°

°

t 1 1,05 C

_z

Verband tussen

c:

=:

;;

-

0 I ,10 1,15 z o

en

z-

~n het conisch gedeelte van de treksteen.

m .. 0, I

'l

.. 0 60 m

= 0,4

= 0

z 0 1,20

-

z 0

a

I

~

.

0 tv 0 lJ1

=

0,3 !it

,..

w .po c II I 0 It

,..

..

rapport nr.0205 biz. 3; VIllI I 0 WI.

0

-matige druk p bewezen kan worden {28} dat voor r

=

!d geldt dat

or == o~. Daar er uit het vereiste evenwicht in radiale richting voIgt

5~ dat 0

= -

p, kunnen we de effectieve spanning ~ als voIgt uitdrukken:

r 10

-15

- 20:- 25- 30- 35:-

45

-o == 0z' + P (3.36) Door p te uit de bovenstaande elimineren wordt de formule en de evenwichtsvergelijking (3.35)

volgende differentiaalvergelijking voor 0 , _z

verkregen: do , z •

0z' - a

4]..1 dz' "'(1 (3.37)

Wat de effectieve spanning betreft, gaan we voor heel het cilindris.che

gedeelte uit van

o(z)

ter plaatse

z

==

z .

u

Hiervoor kunnen we nu schrijven:

(O)z=z

=

C

{(6')

u

z=z

u +

6' }

o m == C {2 In

(~)

+

6' }

d 0 m (3.38)

angezien er volgens formule (3.20) voor de effectieve deformatie ter

plaatse z = z geldt dat

(&)

u z=z

Daar de uitdrukking voor (0) u

z==z

D == 2 In

Cd)'

onafhankelijk is van z, is de

differentiaalvergelijking

(3.37Y

elementair integreerbaar. De

inte-gratieconstante van de eerste orde differentiaalvergelijking wordt

bepaald door de spanning (0 ) , die bekend is en door formule (3.34)

z Z.Zu

wordt weergegeven. De OPlossing hiervan wordt dan:

- 4].1

In (0 , - 0) == --d Zl + I

z (3.39)

met I als integratieconstante. Uit de randvoorwaarde dat voor z,

=

1

geldt dat 0 , == (0 ) vinden we de volgende uitdrukking voor I:

z z z=z

u

o

5 10 15 20 25 30 50 rapport nr. 0205

Dit ~n vergelijking (3.39) gesubstitueerd levert:

<1z'

=

(J + {( oz) z=z u 41l(z'-I) <1 } e .• d blL 36

van

I IObiL 0.40)

De expliciete oplossing van de differentiaalvergelijking (3.37), welke de trekspanningsverdeling binnen het cilindrische"gedeelte van de treksteen weergeeft, wordt dus:

D m

~

Q C I

_[{2

D _ m+} m+J °z,(z')

=

C{2 In(-)+8 } + - - In(d)+6_o}

8

0

~

d 0 Q-} m+ I D 21n(ci) d

2(Q-l)

_D

!otJe

41l(z'-1)

{I - (-) }- C {lin (-) + d

(3.41)

D d <1_z

In Grafiek 3.6 op de volgende pagina is het verloop van

c:

als funktie

I-z' .

van

-y--

u~tgezet voor diverse waarden van ll'

3.3.6 De draadtrekkracht

De draadtrekkracht F kan nu verkregen worden door de trekspanning <1 ,

t z

ter plaatse

z'

=

0 met het bijbehorende oppervlak te vermenigvuldigen.

Aldus vinden we:

2 D - m 2

t

0 1 I

·l-

D - m+l F t

=

-4~ d C{2ln(-d)+ru o} + ~4 d C ' Q-l m+1

2In(~)

{2In( )+6} -ci 0 met d 2(0-1) D

m]

-4lJ.l {l - (n) } - {2In (d) + 50} e - r

Q

=

I + ).l cota 1 - 1l tana _m+l] 6 X o (3.42)

Uit de bekende geometrische grootheden D, d, 1 en a, de materiaal-gegevens C, 6 en m en de met behulp van formule (3.3) experimenteel

o

bepaalde wrijvingscoefficient 1l kan met bovenstaande uitdrukking de draadtrekkracht F

t bepaald worden.

~

~Z

f

S.

"

!

i

:r :I

.-

0,3 'IIr

-O,t

i

0,

L

f

:r

i

I

o

3 ~ tiC

-

....

0

....

0 _\.I

=

0,15

-

_-).l

_{= 0, 1}

r-l---~---~---

\.l

=

0,05

~--

__ ---).l

= 0,01 GraHek 3.6 01

,

5

0. .

l-z'

Verband tussen

C

en

- r

in m = 0,4

6

=

°

0 D = 6 mm d .= 5mm a

..

9°

l-z'

1,

°

- - - -... --:""\'1"'" :b~'"

cilindrisch gedeelte van de~ft~steen.

a

"

1,

!it

0 N 0 V1 o II:

,..

"

o

"

10 15 20 50

rapport nr.020S biz. 38 , . HObl~

3.4 Theorie gebaseerd 0E de methode van de virtuele arbeid

3.4.1 Het model

Bij deze analyse gaan we uit van hetzelfde model van het draadtrek-proces en van dezelfde veronderstellingen als bij de theorie gebaseerd op mechanisch evenwieht. Dit impliceert dat ook hier het deformatie-model volgens Fig. 3.3 gehanteerd kan worden en dat daarom de volgend. formules voor-de deformatiegrootheden in het coniseh gedeelte van de treks teen gelden:

o

z 2 In ( 2ztana 0 )

5(z)

= 2 In ( D ) 2ztana

o

r

_ In ( D

2ztana

)

0.43)

We stellen ons nu voor dat de uitwendige trekkracht F t over de infinitesimale weg dl werkzaam is. De arbeid die door deze kracht verrieht wordt is dan:

dA = F dl

t (3.44)

Deze arbeid wordt achtereenvolgens geconsumeerd als: I. afsehuifarbeiddA

a1 om de materiaalvezels ter plaatse z

=

Zo van de oorspronkelijke axiale richting in de dehting y af te buigen. 2. arbeid dA voor de plastische deformatie van het materiaal in

het conisgh gedeelte van de treksteen.

3. wrijvingsarbeid dA in het conische en het cilindrische gedeelte

w

van de treksteen. 4. afschuifarbeid dA

a2 om de materiaalvezels ter plaatse z

=

Zu weer af te buigen van de richting y in de axiale richting.

o

5 1Q 15 20 25 IS

roppert nr. 0205 biz.39 VII 11 0bIz.

We kunnen nu dus schrijven:

dA

(3.45)

Het afbuigen van de materiaalvezels ter plaatse z • z en z

=

z

o u

zullen we in ons model realiseren door op de deformatieverdeling in de conus met als hoofdrichtingen (z, r,+) op de genoemde plaatsen

een deformatietoestand bestaande uit zuivere afschuiving gesuperponeerd te denken. We stellen ons voor dat de uiteindelijke deformatie als voigt tot stand komt:

1. Het materiaal dat reeds een effectieve deformatie 0 ten gevo~ge

o

van de voorvervorming heeft, wordt aan de ingang van de trekconus door zuivere afschuiving verder gedeformeerd tot 02 (zie Fig. 3.7). 2. Hier van uitgaande vindt daarna de vervorming in de trekconus plaats

tot de effectieve deformatie de waarde 0

4 bereikt.

3. Deze

8

4 dient weer als uitgangsdeformatie voor de zuivere

afschui-ving in de overgang tussen het conische en het cilindrische gedeelte van de treksteen.

cr

Fig. 3.7 Effectieve deformatie bij de opeenvolgende deformatiestadia.

o

,

,.

15 20 30

u

50

rapport nr J) 205 biz. 40 VM 11

Otlr.

Uit de formule voor de effectieve deformatie volgens Hill {.8}

d6 >= (3.46)

met 6

1, 62 en 63 als hoofddeformaties 1S af te leiden dat er vaar

een materiaaldeeltje dat een rechte deformatieweg aflegt geldt:

o

== 2 (15 2 +

3"

1

o

2 2 + 6 2) 3 (3.47)

Als uiteindelijk effectieve vervorming zien we de algebraische som van de afzonderlijke effectieve deformaties beharend bij de respec-tievelijk rechte deformatiewegen.

3.4.2 De afschuifarbeid aan de inloop van de trekcanus

Uit de literatuur {15 en 24} is bekend dat bij zuivere afschuiving

de effectieve deformatie als funktie van de afschuifhoek y op de volgende manier kan worden uitgedrukt

6

=

~

In

0

tany +

~

I +

!

tan2y) (3 .48)

We nemen nu aan dat de afschuifhoek y betrekkelijk klein is, zodat

we kunnen steIIen dat y ~ siny z tany en dat cosy z 1. Dat de

gemaakte fout door deze vereenvoudiging relatief klein is blijke uit het volgende voorbeeld.

Bij de halve tophoekwaarde van de door ons gebruikte treksteen met

a 1

a

=

9 20 = 0,163 rad behoren de goniometrische waarden sina = 0,162,

tana

= 0,164

en cosa = 0,987. Vervolgens vereenvoudigen we de

ver-gelijking (3.48) met behulp van reeksontwikkelingen tot:

(zie Appendix I op bladzijde 109) (3.49)

De door deze benaderingen gemaakte fout bedraagt 1n ons geval maximaal 0,78%.

~---~---~.

o

5 10

•

20 ·25 30 50 rapport nr.0205

Nu kan er voor de specifieke arbeid A geschreven worden: s

o

As

=

~dAs ~o

d

6

o btL 41 yanl 10 IdL (3.50)

Gebruikmakend van het veronderstelde exponentiele

verstevigings-model met voorversteviging volgens

0

=

c

(&

+

6

)m kunnen we voor

o

de specifieke arbeid de volgende uitdrukking afleiaen:

"F+l} (3.51) o

We bekijken nu in Fig. 3.8 ter plaatse z = z een bolschil met

infini-o

tesimale dikte dl

1,owaarin de afschuiving plsats vindt.

Fig. 3.8 Deformatiemodel voor zuivere afschuiving.

o 5

1.

15 20 25 30 35 50

rapport nr.0205 _{biz. 42 vanl) 0}

biLl

Vervolgens beschouwen we in deze bolschil een cilindertje met een

straal R._y en een wanddikte R.dy • Voor het volume van dit cilindertje

geIdt:

2

dV = 2lT R Y R dy dl) == 2lT R Y dy dl) (3.52)

We zullen nu de deformatiearbeid dAal binnen deze bolschil bepalen door de specifieke deformatiearbeid volgens formule (3.51) over het volume van de boischil te integreren. (voor de mathematische

uitwerking zie Appendix II op bladzijde 110) •

•

(3.53)

Verder kunnen we stellen dat er voor het opperviak loodrecht op de

2 2 2

straal R van de bolschil IT(Ra) en dus voor het volume dV₁ ==IT R a dl}

geschreven kan worden. De veronderstelde invariantie van het volume

Ieert ons dat dit volume gelijk moet zijn aan dV

1

~

i

d 2

dl, waarin

dl de infinitesimale lengte voorstelt waarover de draadtrekkracht F

t

werkzaam is.

Wanneer we nu

d2

door

!

~ dl

in de formule (3.53) de grootheid R2.dl) 'vervangen

dan wordt voor de afschuifarbeid aan de in loop van de

a

trekconus de volgende uitdrukking gevonden:

2 [ m+3 _m+3 6 m+2 m+2 dA ""!. d C.L.

...L

{(6

0 +

~3)

- 0 }- --:-'7\

~

{<6

+

~3)

- 0 } a I 4 m+ 1 r:J. 2 m+ 3 Y _1 0 m+.:: 0 0 Y j 0 m+J

2J

- 0 0 r:J. dl (3.54)

Aangezien de effectiev€ deformatie volgens vergelijking (3.49) een

o

5 10 15 20 25 30 35 50 rapport nr. 0205 blZ.43 van 11<PfZ.

funktie is van de plaatscoordinaat r zullen we een over de doorsnede

ter plaatse z

=

z gemiddelde

6

bepalen, welke grootheid bij de

vol-o

gende deformatiestadia representatief zal zijn voor de voorversteviging ten gevolge van de zuivere afschuiving aan de inioop van de trekconus.

Voor deze gemiddeide effectieve deformatie ~1 kan nu geschreven

worden:

2

211" R Y dy y=o.

2112

1 2 a ?

"" 73

'"2

y dy

=

"3

73

2"

0. 0. y=o =

3

/3

0. 9 (3.55)

De voordeformatie waar we vanuit zullen gaan bij de analyse vftn

de arbeidscomponent dA wordt gekarakteriseerd door:

p

- - - 2

O

2 = 0 o + 0 "" 0 I 0 + -9

13

0. (3.56)

3.4.3 De deformatiearbeid 1n de trekconus

In de formule (3.50) hebben we reeds gezien dat indien de effectieve deformatie met een waarde d6 toeneemt de daarbij behorende specifieke

incrementele deformatiearbeid dA

=

0

do

bedraagt. Door nu

deuitdruk-s

king voor de effectieve vervorming volgens formule (3.43) naar z te

differentieren vinden we: 2

-+-

do

=

-z

2 dz z

Uitgaande van de verstevigingsfunktie

~(z) = C(6+

8

D m

2)m

=

C { 2 In (2 z tano. )+ &2}

(3.57)

kan er voor de specifieke incrementele arbeid geschreven worden:

werkplaatatechnlek m dAs "" - 2 C { 2 In (2 D )+ &2} z tano. dz _(3.58)

-

_z