De Discrete Fourier Transform : achtergronden en gebruik van de Fast Fourier Transform

(1)

De Discrete Fourier Transform : achtergronden en gebruik van

de Fast Fourier Transform

Citation for published version (APA):

Etten, van, W. C. (1971). De Discrete Fourier Transform : achtergronden en gebruik van de Fast Fourier Transform. Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1971 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

groep ECA

De Discrete Fourier Transfopn

Achtergronden en gebruik van de Fast Fourier Transfarm

W.C. van Etten

(3)

Dit rapport laat zien dat men de Discrete ~ourier Transferm kan gebruiken om Fouriertransformaties te benaderen. Aangegeven wordt wat de invloed op het transformatieresultaat is van de diverse parameters, die een: rol spelen bij de Discrete Fourier Transform, en hoe deze parameters gekozen moeten worden om tot een aanvaardbare benadering van de Fouriertransformatie te komen.

(4)

Inleiding

Dit rapport behandelt de Discrete "~<'ourier Transferm (DFT). De Fast Fourier Transferm (FFT) is een voorschrift om de DFT op snelle, efficiënte wijze te berekenen.

Rekencentra beschikken in het algemeen over procedures waarin het algoritme dat ten grondslag ligt aan de F"~<'T verwerkt is.

In de meeste artikelen omtrent de FFT wordt uitgegaan van een definitie van de DFT als zelfstandige transformatie. Omdat in dit rapport de DF! gebruikt wordt om Fouriertransformaties te benaderen, zal uitgegaan worden van de

Fourier-integralen om zo te komen tot een definitie van de DFT. Hierdoor wordt de relatie tussen beide tran~formaties verduidelijkt.

Uit een analyse van de DFT volgen een aantal parameters die van belang zijn bij het praktisch gebruik. Nagegaan zal worden wat de invloed is van deze parameters op het transformatieresultaat. Dit zal met een aantal voorbeelden worden toege..., licht.

(5)

I. De Fouriertransformatie

De Fourierintegraal wordt ~eestal gegeven door

00 •

F(w)

=

f f(t)e-JWtdt ( 1 )

-oo

waarmee een funktie f(t), die aan bepaalde voorwaarden voldoet, getransformeerd kan worden in een funktie F(w), die soms eigenschappen heeft die beter te hante-ren of fysisch gemakkelijker te interpretehante-ren zijn, dan die van f(t). De bij-behorende inverse transformatie luidt :

I f (t) = -21T 00 • JWt f F(w)e dw -oo (2) Sommige auteurs geven er de voorkeur aan de faktor

2\ voor

~itdrukking

(1) te zetten in plaats van bij (2). Ook het gelijk verdelen van deze faktor door middel van een faktor

\l~n

over beide uitdrukkingen vindt voorstanders. Een derde mogelijkheid is over te gaan op f

=

21;,

waardoor de uitdrukkingen (I) en (2) volkomen symmetrisch worden en men ~n het frekwentiedomein de resultaten krijgt in aantal trillingen per sekonde f, in plaats van de minder sprekende

·hoekfrekwentie w. In dit rapport is voor dit laatste gekozen. De Fourierintegraal luidt dan :

F (f) 00

1 f(t)e-j 21Tftdt (3)

-oo

met als'inverse transformatie

f (t)

=

(4)

-oo

De volkomen gelijkwaardigheid van tijd- en frekwentiedomein komt ~n deze uit-drukkingen goed tot zijn recht.

De~e definities hebben tevens tot gevolg dat allerlei rekenregels en eigen-schappen die samenhangen met de Fouriertransformatie, ~n tijd- en frekwenti e-domein volledig symmetrisch zijn.

(6)

II. Beschrijving van begrensde signalen d.m.v. Fourierreeksen

Stel dat een signaal f(t) een spektrum F(f) heeft dat nul ~s boven een zekere grensfrekwentie f

g (fig. I)

F(f) = 0 voor

I

f

I

~ f

g (5)

We zetten deze funktie periodiek voort met periode B=2f en noemen de funktie g

die aldus ontstaat F*(f).

F(f) \ -+f B \ -3f g fig. I -f g

De funktie F*(f) kan ontwikkeld worden ~neen Fourierreeks

co -jnnf/f

F

*

(f) l: A e g

n

n=-co

zodat voor F(f) geschreven kan worden

met A n co -jnnf/f A e g n F(f) = n=-oo jnrrf/f F(f)e Sdf voor

I

f

:

< f g f g -+f 3f g (6) (7) (8) I I

(7)

I

Uit de vergelijkingen (8) en (4) volgt

zodat (7) overgaat 1n 00 _I _I _-jnTif/f f(n-)e g B B F (f) n=-oo voor

I fl

< f g

. De frekwentiefunktie F(f) kan dus uitgedrukt worden 1n de samplewaarden f (n

i>

van de tijdsfunktie.

~is~~1~~-~i~-~~&r~~~g-~ii~-i~-h~E-Eiig~2~~f~

We gaan nu uit van een funktie f(t), waarvoor geldt (fig. 2)

- t g f(t)

=

0 voor f (t) T t -+t g \ \

I tI

~

t

_g -3t g fig. 2 - t g t g (9) (I 0) (I I) -+t

Deze funktie wordt periodiek voortgezet met periode T=2t . De periodieke funktie g

die zo ontstaat noemen

00 n=-oo zodat 00 f(t) = I: n=-oo we f*(t). Hiervoor jn1rt/t

kunnen we een Fourierreeks opschrijven

B e g n jnrrt/t B e g n voor

lt

\

< t g ( 12) (13)

(8)

met _t

t(

-jnnt/t B

=

f(t)e gdt n -t g Uit ( 14) en (3) volgt : 1 1 B

=-

F(n -) n T T

als F(f) de Fouriergetransformeerde van f(t) is.

Door substitutie van (15) in (13) wordt deze laatste uitdrukkirtg

00 f(t) = n=-oo I . I . jmrt/t - F(n -)e g T T voor

I tI

< t g ( 14) (15) (16)

Irtdit geval is het dus mogelijk om de tijdsfunktie f(t) uit te drukken in de samples F(n +)van defrekwentiefunktie.

N.B.

I 1 · e

Het produkt

T

F(n

T)

behorende bij het n sample ~s gelijk aan het gearceerde oppervlak in fig. 3. 1 n -T 1 (n+ I)"... T -+f fig. 3

Een benadering van de integraal

(4)

m.b.v. de trapeziumregel luidt N-l

[

F(n.~f)ejZnn.~f.t.Af

+

~

F(-N.Af)e-jZnN.Af.t.Af +

n=-N+l

Omdat eeri Fourierreeks een convergerende reeks is, zal ~n (16) lim F(~ N.Af)~j2nN.Af.t

=

0

N-+«>

Indien Af

~dan

beschrijft vergelijking (16) voor dit geval de Fourier-integraal (4) d.m.v. de trapeziumregel en wel exakt.

(9)

III. De Discrete Fourier Transferm

We gaan een funktie f(t) met Fouriergetransformeerde

F(f)

over een tijdsinterval

0 ~ t < T in N equidistante punten bemonsteren met sampleafstánd T . Het signaal

. s

dat op deze manier ontstaat kan beschreven worden door de gegeneraliseerde funktie Nu geldt zodat N-1

t

k""O f(t) 0 (t""'kT ) s -j27TfkT f(t)o(t-k< ) ~ f(kT )e s s s N-1 E k=O f(t)o{t-kT ) s N-I E k=O -j21TfkT s f (kT )e s

Uit (19) volgt dat FN(f) een periodieke funktie 1.s met periode

T.

Stel - = I

T

s

B en substitueer dit in (19) dan wordt :

( 17)

(18)

(I 9)

(20)

Deze funktie bevat geen singulariteiten. Een computer zal deze funktie slechts kunnen weergeven in een eindig aantal punten. Hiervoor kiezen we N

equidistante punten in het interval 0 ~ f < B. Dit interval bestrijkt dan

B

dus één periode van F N (f) . Dan wordt met v s =

N

N-1

E f(k l)e~j21Tk~/N

k=O B ·

voor 1=0, I, ... , N-1

(2 I)

We gaan nu het spektrum F(f) bemonsteren in N equidistante punten met sample-afstand v over een interval 0 :;: f < B. Analoog aan vergelijking (19) volgt

s

dan

N-1 N-1 j21Ttmv _' _s

E F(f)O(f-mvs) ~ E F(mvs)e ₁

=

fN(t)

m=O m=O

Hieruit volgt dat fN(t) een periodieke funktie is met periode

~·

s

(10)

Stellen we

=

T dan wordt V s N-1 F(m l)ej2nmt/T fN(t)

=

I: m=O T

Deze funktie zal door een computer ook weer slechts in een eindig aantal punten weergegeven kunnen worden. Hiervoor kiezen we nu

N

equidistante Pl1nten 1n het interval 0

~

t < T. Met 1s

~krijgen

we

N

f

n (24)

voor n•O, I, .... , N-1

Voeren we nu een faktor

~

in bij vergelijking (24) dan vormen de uitdrukkingen N-1 F 0 L f(k l)e-j 2_nk~/N ₍₂₅₎ "' k .. O B voor ~=0 , I , 2 , .... , N-1 N-1 f

=.!..

l: F(m l)ej2nmn/N n N m=O T voor n=O, I , 2, ; ... , N:-1 een.compatibel stelsel, d.w.z. f n N-1 N-1 . _!_ I: L f(k _!_)eJ2nm(n-k)/N N m=O k=O B (26) (27)

Door middel van (25) en (26) worden de N samples over één periode van fN(t)

éénduidig afgebeeld op N samples over één periode van FN(f) en omgekeerd. De gelijkheid (27) volgt uit de orthogonaliteits relatie

N-1 _l: _{ej2nm(n-k)/N =}{No voor n-k=i.N

m=O voor n-k;'i. N

i een geheel getal (?8)

De periodiciteit van de reeksen (25) en (26) komt tot uiting in de volgende

relaties

= f

n-2N f n-N = f n · f n+N f n+2N

(29) (30)

Uitdrukking (25) wordt Discrete Fouriertransform genoemd, terwijl (26) bekend

staat als Inverse Discrete Fourier Transferm (IDFT).

Om de DFT en IDFT snel en effektief te berekenen zijn 1n de meeste rekencentra speciale procedures aanwezig die bekend staan onder de naam Fast Fourier

Transferm [2],

In het volgencte zal worden getoond hoe de DFT en IDFT kunnen worden gebruikt

(11)

IV. Benadering.van Peurierintegralen d.m.v. de Discrete Fourier Transform.

Stel dat we een bandbegrensde funktie f(t) hebben, waarvan de Nyquist samples nul worden buiten het interval 0 ' t <

i·

Denken we de Peuriergetransformeerde van f(t) peri6diek voortgezet ~et periode B, dan volgt uit vergelijking (10) dat voor F(f) geschreven kan worden :

F (f)

N~J ~

f(n

~)e-j2nnf/B

n=O B B voor O'f<B (31)

Vergelijken we dit met (25) dan zien we dat de DFT in N punten op het interval O'f<B op een

faktor~

na gelijk wordt aan

de

Fouriergetransformeerde van f(t). Een analoge redenering kan gevolgd worden voor een funktie F(f), waarvan de getransformeerde f(t) beperkt is in de tijd en waarvan de Nyquist samples in het frekwentiedomein nul

~.rorden

buiten het interval 0 ' f <

i·

Dan volgt uit vergelijking (16) : N-1 f(t)

=

L

i

F(n

~)ej2nnt/T

n=O voor O::<t<T (32)

Uit (26) volgt nu dat de IDFT. in N punten op het interval O't<T op èen fa~tor

i

na gelijk wordt aan de getransformeerde f(t) van F(f).

In het algemeen zullen echter de te transformeren funkties de genoemde eigen~

schap niet bezitten. Toch kan 1n die gevallen de Fourierintegraa1 benaderd worden m.b.v. de DFT. Er moet dan een grens vastgesteld worden waarboven de samples zo klein worden, dat ze een te verwaarlozen bijdrage leveren tot het transformatie-resultaat. De range van de funktie wordt tot deze grens beperkt. Deze begrensde funktie wordt gesampled, te beginnen in het nulpunt van het argumenL Is een

·funktie zodanig dat ook voor negatieve waarden van het argument de samples een niet te verwaarlozen bijdrage leveren, dan kan men dit ondervangen door de

funktie te verschuiven en op het transformatie resultaat de bekende verschuivings-regels uit de Fouriertheorie toe te passen. Voor het veel voor~omende geval v~n reële tijdsfunkties hoeft in het frekwentiedomein deze verschuiving niet te worden toegepast, omdat er procedures bestaan die voor negatieve argumentwaarden automatisch de toegevoegd complexe waarden nemen van de samples die behoren bij de

(12)

Bij de DFT bepalen in elk domein een drietal parameters het transformatie-resultaat. Deze parameters zijn in onderstaand schema weergegeven.

Tijddomein N T T s Frekwentiedomein N B \) s

N het aantal samples; dit aantal moet voor de meeste FFT procedures een macht van twee zijn. Er zijn in het tijd- en frekwentiedomein evenveel samples. T = het interval in het tijddomein wat door de transformatie wordt bestreken;

de periode van de periodiek voortgezette tijdsfunktie.

T = de onderlinge afstand van de samples in het tijddomein.

s

B

=

het interval in het frekwentiedomein wat door de transformatie wordt

be-streken; de periode van de periodiek voortgezette frekwentiefunktie. In het geval van een laagdoorlaatkar~kt'e~ ~s B=2fg, waarbij fg die frekwentie is waarboven men de bijdrage van de dborlaatkarakteristiek tot het transformatie-resultaat verwaarloosd.

v = de onderlinge afstand van de samples in het frekwentiedomein.

s

&

Tussen de parameters bestaa~ een aantal relaties, zodanig dat men twee grootheden kan kiezen, waarna de andere vastliggen. De belangrijkste betrekkingen zijn :

T

=

Nt s B = N\! s T

=

s

B

I vs T Hiervan Z1Jn er

~afhankelijk.

(33) (34) (35) (36)

In het transformatieresultaat kunnen een drietal soorten vervormingen optreden

I) Het verschijnsel van Gibbs. 2) Overlapping.

3) Het oplossend vermogen 1s onvoldoende (d.w.z. T c.q. v te groot).

s s

Aan de hand van een paar voorbeelden zullen we deze effekten nader bekijken en nagaan wat er gedaan kan worden om dit soort vervormingen te verkleinen tot aanvaardbare proporties.

(13)

Het verschijnsel van Gibbs ~s bekend uit de theorie over Fouriertransformatie [1.\. Het treedt op wanneer men een funktie met een discontinuïteit wil verkrijgen

1

uit z~Jn getransformeerde. In fig. 4 is de getransformeerde van

-1-.- m.b.v. de

. +Jw

IDFT bepaald. De Fouriergetransformeerde van deze frekwentiefunktie bevat een discontinuïteit in t=O. We zien in deze figuu~ dan ook duidelijk het verschijnsel van Gibbs optreden. (N.B. de grafieken zijn verkregen door de samplepunten van de FFT d.m.v. rechte lijnen met elkaar te verbinden. Men kan aantonen dat deze samplepunten juist samenvallen met de maxima en minima van

sin T

dT, waarin w =2Tif ).

TIT g g

-oo

Opvoeren van de grensfrekwentie f heeft tot gevolg dat de maxima en minima dichter g

bij elkaar komen te liggen, maar het is niet mogelijk om ze te laten verdwijnen (fig. 5 .en fig~ 6). Om te laten zien, dat het verschijnsel van Gibbs ook optreedt vóór de discontinuïteit is in fig. 7 een hele periode van de d.m.v. de IDFT ont-stane tijdsfunktie afgebeeld;

Gaat het om een funktie zonder discontinuïteit, doch waarvan de afgeleide groot wordt dan kan dit verschijnsel eveneens optreden. In dit geval is het echter

moge-lijk om door opvoeren van de grensfrekwentie het fenomeen geheel te verwijderen. De figuren 8, 9 en 10 geven hiervan een voorbeeld. Hier is de respons op een delta-puls afgebeeld van een met weerstanden afgesloten kabel.

Is de periode v~~ het transformatieresultaat te klein gekozen, dan kan dit resul-taat niet volledi.g'-·afgebeeld worden binnen deze toegemeten periode. Dan ontstaat een vervorming die in de sampling theorie overlapping of aliasing genoemd wordt. Men kan hiermee te maken krijgen zowel in het frekwentie- als in het tijddomein. Een voorbeeld is gegeven in fig. 11, waar een poging is gedaan om de impulsrespons van een JOe orde Butterworth laagdoorlaatsysteem weer te geven. In deze figuur

-,~

..

,.,J_~ T=!6 sec. Op dit tijdstip is h(t) echter nog lang niet nul geworden. Het ti~ t_. ~us in de lijn der verwachting dat er verbetering zal optreden indien T

wordt:opgevoerd. In fig. 12 is deze periodeduur verdubbeld, wat al een aanzienlijke verbetering geeft. Toch lijkt het erop dat op t=32 de slingering Ln het signaal

nog niet geheel is uitgedempt, wat aanleiding is om T nog wat op te voeren, zoals 1n fig. 13 is gedaan. Dit beeld ziet er nu volkomen betrouwbaar uit; op t=64 is h(t) al lang tot nul genaderd. De theoretische respons stemt dan ook overeen met deze laatste figuur.

(14)

In fig. 14 is ditzelfde voorbeeld nog een keer uitgevoerd doch nu met andere parameters. Alhoewel T zodanig is dat er geen overlapping optreedt en f zodanig

g

dat we geen last hebben van het fenomeen van Gibbs~ kan dit toch geen goed beeld genoemd worden. Het oplossend vermogen is in deze figuur n.l. slecht, ofwel 's in te groot gekozen.

De verschillende soorten vervormingen zijn hier omwille van de duidelijkheid apart behandeld. Vaak zullen echter deze verschijnselen in combinaties optreden. Zo ~oeft het ook geen betoog dat in de figuren 4, 5, 7, 8 en 9 het oplossend vermogen zonder meer slecht is. In deze figuren treden de vervormingen I) en

3) gecombineerd op.

Bij de aanpak van een probleem zal het moeilijk zijn om meteen een optimaal resultaat te krijgen. Het streven moet gericht zijn op een zo klein mogelijk aantal samples, omdat dit de uiteindelijke rekentijd gaat bepalen. Gaat men bijv. uit van het frekwentiedomein dan zal men de benodigde bandbreedte B eenvoudig kunnen bepalen, omdat men innners de frekwentiefunktie kent. Vervolgens zal een schatting gemaakt moeten worden van de periodeduur T. Hierna ligt N vast, zodat alle parameters benodigd voor de FFT dan bekend zijn. Komt men bij dé eerste poging niet tOt een bevredigend beeld, dan is het vaak mogelijk om uitgaande van dit slechte resultaat meteen bij een tweede poging tot een goed resultaat te komen. Zouden we n.l. bij het voorbeeld van de JOe orde Butterworth impulsrespons fig. 14 als eerste resultaat krijgen dan is aan deze figuur te z1en dat het

oplossend vermogen c1rca een faktor 10 beter moet worden én de periodetijd gerust

10 keer zo klein kan worden gekozen. Nemen we nu de bandbreedte 10 keer zo groot, dan zal bij een zelfde aantal samples de periode iû keer zo klein worden en het oplossend vermogen een zelfde faktor beter. Op deze manier ko~en we van fig. 14

op een beeld dat er zal uitzien als fig. 13 en dit kan inderdaad éen goed resul-taat genoemd worden. Zou fig. !I de eerste poging zijn geweest, dan volgt hieruit dat het oplossend vermogen goed is maar de periode T te klein. Nu zal dus met dezelfde bandbreedte aantal samples moeten worden opgevoerd, wat uiteindelijk zal uitmonden in een plaatje met globaal dezelfde parameters als bij fig~ 13.

(15)

f(t) f

=

8 Hz g t T

=

64 sec N

=

1024

oL---~----~----~==~~~==d

0 2 3 4 5 I

fig. 4. Getransformeerde van l+Jw

-+t f (t) f = 32 Hz g t T 16 sec N 1024

o~--

--

~--

--~----~~====2=~==

d

0 2 3 4 5 l

fig. 5. Getransformeerde van ----1 +JW .

(16)

.. ·r ·-· -- ., ·---- --·-r·· ·-···--·i ---,---.--- ----r---.---

-f (t)

t L,O

2

1

fig. 6. Getransformeerde van l+jw

f (t)

t ₁b 0

.,8

l

fig. 7. Getransformeerde van -_. ₁_+Jw

-.-3

f =' 128 Hz g T

=

8 sec N = 2048 4 f

=

32 Hz g T 4 sec N

=

256 -+t -+ t

5

(17)

h (t) t f g T

=

I MHz

-s

204,8. 10 N = 4096 sec

fig. 8. Impulsrespons van een met 75 Q weerstanden afgesloten coaxiale kabel van het type 2,6/9,5 en lengte 5000 m

h (t)

8

t '1 6

5

t..n + 4 5l x

3

2

Ll MHz f

=

10 g

-s

20,48.10 T N 4096 sec

~

1 ~---

--

----

--

---J

~

-J--

~~--~-

~

--~

-L.

L

~--~

I

__ L __ L _ _

L_~

I 1

--

~-L~l

1o9

2 o0

2 o1

2o2

-+ t .

fig. 9. Impulsrespons van een met 75 Q weerstanden afgesloten coaxiale kabel van het type 2,6/9,5 en lengte 5000 m

(18)

h(t) t

Bl·--

-r

-

-r-

-

,

·; L_

l

6 L:;? 4 ~-· x.

3

2

MHz f = 100 g

-

s

2,048.10

T ""

N

=

4096 sec. -+ t i I

.J

J

-

1

fig. 10. impulsrespons van een met 75

n

weerstanden afgesloten .coaxiale kabel van het type 2,6/9,5 en lengte 5000 m

(19)

h (t)

o35

t b30

2w

b

..J

t.20

b15

b 10

.,05

0

~bos -alO

-ol5

0

8

16

24

32

40

f

=

4 Hz g T :: 16 sec N

=

128

48

56

-+t 64

fig. 11. Impulsrespons van een genormeerd 1 Oe orde Butterworth laagdoorlaatfilter

h (t) t "3S o30 n c-b(::;)

o

2

0

b

1 s

b

10 cOS

0 -

bos

-blO

f = 4 Hz g T 32 sec N

=

256

-

"lS

' - - - --'--- ----l.... _ _ __._ _ __ ___j__ _ _ - - - ' - -- ---'---- -_____j_- - - ' 0 6 16

2

4

32

40

48

56

64 -+ t

(20)

h(t) t

o3S

o30

o25

o20

D 1

s

D

10 .,os

0

-a

OS

-., 10 . - D 1

s

0

8

16

24

32

40

f

=

4 Hz g T

=

64 sec N

=

512

48 S6

64

-+ t

fig. 13. Impulsrespons van een genormeerd !Oe orde Butterworth laagdoorlaatfilter

h(t) t

o2

0 0 - - ·-r - -- .---·- ---r-- - --·- - - . - -- , . - - - - , - - - r -- ----,

\

\ I

u

--'--- ----_l. ·· - -- ·-l 8 16 24 32

(21)

V. Het berekenen van Fourierreeksen met behulp van de DFT.

Een periodieke tijdsfunktie f(t) kan, mits ze aan bepaalde e1sen voldoet, ont-bonden worden in een reeks van Fourier

a oo 0 f (t) =

T

+ L n=l (a cos n2~f t+b sin n2nf t) n o n o met f

0

i '

waarinT de periodetijd 1s van f(t)~

Volgens (13) en (14) kan deze reeks ook als volgt geschreven worden

met 00 f(t) n=-oo T B ej2nnt/T n Bn

=

+

J

f(t)e-j

2

~nt/T

dt 0

De volgende relatie blijkt nu te bestaan B =

.!..ca

-jb ) n 2 n n (37) (38) (3"9) (40)

Willen we van f(t) de Fouriercoëfficiënten weten dan kunnen deze gevonden worden uit B .

n

Omdat (39) de vorm heeft van een Fourierintegraal, kunnen we verwijzen naar paragraaf IV voor de berekening van B met behulp van de DFT. Het vaststellen _n _. van de grenzen in het tijddomein levert nu geen moeilîjkh.èden, Omdat de integratie zich nu uitstrekt over een eindig interval. Als énige variabele resteert nog het aantal samples N. Het zal duidelijk zijn, dat de resultaten nauwkeuriger worden naarmate N toeneemt.

Als voorbeeld is gekozeh een enkelzijdig gelijkgericht sinusvormig signaal (fig. 15).

+ t

(22)

00 f (t) = L: f (t-ri) 0 (41) n=-oo met 21ft 1 f (t) =

{:w

O:;:t~2 0 _t>1 _t<O

2

en (42)

Wordt f (t) uitgedrukt in zijn Fouriercomponenten, dan krijgen we

f (t) = - + s~n 2nt

-

2

{D

1 cos 2.27Tt +

3:5

1 cos 4.27Tt + _{5.7 cos}1 6.27Tt +

...

}

1f 2 7T

(43)

In tabel I zijn naast de theoretisch berekende coifficiint~n (volgens vergelijking (43)), die in de 3e resp. 7e kolom zijn vermeld, ook de coëfficiënten weergegeven zoals ze m.b.v. de FFT zijn berekend in de 2e resp. 6e kolom. In dit geval is N=SI2 genomen. In de 4e, Se en 8e kolom zijn de relatieve afwijkingen opgegeven van de waarden zoals die berekend zijn m.b.v. de FFT ten opzichte van de

theoretische waarden. In tabel II zijn dezelfde resultaten nogmaals gegeven voor N=2048. Vergelijking van tabel I met tabel II leidt tot de conclusie, dat de berekeningen m.b.v. de FFT inderdaad nauwkeuriger worden bij toename van N.

(23)

FFT theor FFT FFT btheor a

-

a a . bFFT . btheor b -i FFT theor .n n n n n n _I a _n á _n _theor _theor _n _n btheor a a n-1 n ₁ ~ ~

·-(' _+•

₆₃₅₃₇₄

IQ+ 0 +.

6366zo,,

+

o

-.0020 + .12007810~4

_-

· +,oooo

-1 ₊_._{1 5}_?_{6 4 7 ,. -}_?. _+,0048 +,

4995oa10..;.J'_-,,_.r·

··

+,500000,.+0

.. ,0010 .•. ,..., - . 21 ?

a

IJ 4 l~ +

n

... ?.1 ?. 2 (17 !'> + !'l +,('1'132

+,13062810-2

•.0026 t:

_..,

...-..~ - • 12 7 61 5 ,. - 4 +,0001 -. 734136,, .. 3 .... 0015 ~~ _{- . 4 2}

s

_~₁_{:l , •...}_{j_} _- _{, 4}₂_{4 411}_jO_-1 _+,0021

_{+,52188710 .. 3}

_+,0₀₁₀ 5 - . 1 2 ?

s n

q •• - 4

+,0003

_{•,4rJ7639ae"'3}

... oooa

6 - . 18 ? ? 2 t118 -1 - • 1 B t 8 Q Lo -1 •.0018

+,335365ae""3

•.noo7

7 _- _._{1 ?1}_~₀_{~ ·~-}₄ +,0007

-,21;523A 10 .. 3

-.ooo6

8 - . 1

n

1 2 1 4 ,. - 1. - o :i. 0 1 0 51 ! 'I - j, +. 001.6 +,248319&o .. 3 •.0005 9 - .12083n,,-4

_+,0012

.. ,219945ao .. 3

.... 0004 ;, _{- , 6 4}_~5₉_?₈_1~_- ₂ _{- • 6 4 3 0 , (')}_{10 -} ₂ _-~.₀₀₁₄

_{+,19743?10 .. 3}

_+,0004

~ _- _,_{1 2}

n

_c:;₇_{ç •• - 4} +,0_019

... ,179121, ... 3

_{... ooo4}

... 2 -.445n6a'"-? - , 4 4 f:i ~L 8 9 ,., .. 2 +,Q01l +'

j,63928, ... 3

+,0003

3 ... 12 n 4 3 r-. •a - 4 +,0027

... ,15111410 .. 3

.. ,ooo3

4 - • 0 2 6 71 5 •• - 2 - , 3? fA 7?. 10-2 +,0007

+,140157aew3

•,0003 5

-. t2n::':4n,9-4

+,0037

-,1J067Saq""3

.... 0003

6 _{- . 2 4 9}₇₄

_n

•o - 2 ·-. ?.4G65S,~-2 +,000t1

+,12239710"'3

•.noo2

7

_{- • 12}

_f1

₂

n

_ÓIO-

4

+,0048

... ,115097ao .. 3

•,0002

A -.197'1B4,.-~ - • 1. 9 7 0 9 ó 10 - ? .... 0'101

+ •

~.08614w""3

•.00

0

2

9

- . 1 2

n

?, 4 4 •• - 4

+,0061

~,1,0281710-3

-.0002

'('

-.15046R,_.-2

-. ~.5°554l~-?

-.oonc:;

+,97601J .... 4

+.0002

·~ J,

-.12n2t4,_.-4

+,0075

... ,928837 .. ""4

.... 0002 ··""' C:. _{- • 13}_:1._{6 6 6 " - ::'} - .1~:1.RC5,o-2

-.oou

.

+,885955.- .. 4

+,0002

'3 - • 1 ? 0 :t9 t 10 - 4 +,0091

-,846803aew.4

"',0002

'4 - . i :1. n

c:

3 6 ,. - 2 -·. t10716,~-2

... 0016

+,81Q9J..O.ao"'4

+,0002

5 .. " 1. ?. I') t 7 3 •• - 4 +,0109

•,777684ao"'4

.... 0002

(24)

n a theor n n a n " + • 6 36 308 lft + r') •• 636620 ,_,+IJ -.0005 .; ' .}. _{+.3B:)n?7 .•}_-3

r,

,._ _{- . 2}:l ? :) '1 o IQ .. n - . 21 ? :: n ·i

,

a

+

o

+,non8

-!. _{- • 7 9 A}_?_{6 7}_{I~ ~} f, --~· L;. _{.. , 4}

₂

₄

₆

_<_{l r}_:,₁_~- :l. - • 4 2 4 41 3 ·~ - j +,0005 5

., , 7 6

5 Q Q

8 •• -

I) 6 - . 181 9 8 3 ,. -1 - • 1 8 1 8 9

:t

10 - 1 +,001"15

..,

I - . 7 5 71 9 3 ·~..:. 6 B - • 1 0 1 0 9 9 IQ -1 - .11H051,",-1

+,noos

9 - . 7 5 4 0 6 8 10-6 r. _{-.64~34S"..-2} _{- • 6 4 3}

n

₅

o

_{10 -} ₂ _+.OG05 - • 7 5 ? 5 0 t:j •• - 6 ,, -. 441J~A4,.-?. - • 4 4 ') 18 0 10 - 2

+.0004

L . _ _: .., . 7 ~h 612 ,. - _ó

· '

- • 3 2 6-'>

o

R •• - 2

-.3264721>)-2

+.ODr!4 ,., i ~: -. 751 r'l54,~-6 6 -. 24975~1,-?. - . 2 4 q 6 '3 5 )Q .,. 2 +,0004 ' -r _- _,_{7 5}

_n

₆

_s

_{? •• -} ₆ • I L8 - . 1 9 716 8 •• - 2 - . ~-9 7 0 9 fJ )0 - 2 +,00(14 l9-

- . 7

'3 0

4 2?. •• -

ó ~[; -' 159607, .. -2 - .159!:554,o-2

+,0003

>,-:

_-

_,

₇

₅

_n

_?

₃

_?._·~_-

₆

)"l . '- -.131 A45,.-? - • 13 ~ 8 0 5 10-?. +,0003

,

....

-

. .) - , 7 5 () 'l ? 0 •• • A ~4 - .1:!_(")746,.-2 - • 11 0 716 lQ - 2 +,0003 )I=:

-. 749981,.-6

theor n a n-1

+;0012

+,49

+·

74~l8o"'-6

78~+0 +, 325'?85lo""3

+,0000

.. , 183216Jo•3

+, 130279ao'"3

+,0000

..,10177710 .. 3

+,

8J7463ao•4

+,0000

.. ,112412 ....

4 +,620321ao"'4 +.0001 "" 1 ~49557ao"'4

+, 493421ao""4

+,0001

.. ,447771 ..

1114

+.

409903,."'4

+.0'002

•,3?7973 .. "'4

+,3S068Q ... 4

+,0002

... ,327078 .... 4

+,306462 ... 4

+,0003

.. ,28829Aae"'4

+,?,72:1,7210,.4

+,0004

-,257758ae"4

•,24479610,.4

+,0005

- .. 233077 ... 4

+,22243010 .. 4

+,0006

.. l212114ao..,4

+ t 20~81.2 .. "'4

+,0007

.. '1956251.,..4

n +.5ooooo~·o btheor 1

+,QOOO

... ,0(102

+,OQ07

..;,QQ04

•,00

0

3 .... 0002

+,0002

-.0

0

01 •,0001

-.0001

+,0001

-.0001

•,0001

•.0001

+,0001

....

0001

•,0001

+,0001

... 0001

•.oooo

... ,oooo

•.oooo

... oooo

Tabel II N=2048

(25)

VI. Het berekenen van convolutie integralen met behulp van de DFT.

Moeten twee funkties f

1 (t) en f2 (t) met J."ouriergetransformeerden F 1 (f) resp. F

2 (f), met elkaar geconvolueerd worden,. dan is dit vaak eenvoudig te bewerk-stelligen door het produkt van de twee getransformeerden terug te transformeren. Wanneer men dit m.b.v. de DFT wil bereiken, dan zullen de parameters bij de diverse transtformaties steeds hetzelfde moeten zijn. Bovendien zullen f

1 (t) en

· f

2(t) over eeri zodanig interval gesampled moeten worden, dat ook het resultaat van de convolutie binnen dit interval ligt.

De procedure om met behulp van de DFT te convolueren kan als volgt worden samengevat :

I) Bepa•l het interval T

1 waarbinnen f1(t) ongelijk nul 1s of een niet te

ver-waarlozen bijdrage levert tot zijn getransformeerde.

2) Doe hetzelfde met f

2(t) en noem dit interval T2•

3) Bepaal uit T

1 ·en T2 het in.terval T3 waarbinnen de convolutie van f 1 (t) en

f₂(t) van nul Verschilt.

4) Neem het grootste van de intervallen T

1, T2 en T3 en neem dit als

sample-interval voor f ₁(t) en f₂(t). (Al deze intervallen moeten beginnen bij t=O).

5) Bepaal de sample-afstandenT enT van resp. f

1(t) en f2(t).

s 1 s2

6) Neem de kleinste van T en T en sample hiermee f

1 (t) en f .. 2 (t).

s l s2

7) Transformeer f

1 (t) en f2(t).

8) Vermenigvuldig deze getransformeerden.

9) Transformeer dit produkt terug.

Wannee~ men g~en of slechts weinig inzicht heeft 1n de eigenschappen van F

1 (f) en

F

2(f), dan is het raadzaam om deze volgens de in paragraaf IV omschreven wijze te onderzoeken, zodat men de parameters voor de FFT kan vaststellen die benodigd zijn om tot een voldoend nauwkeurige weergave van deze funkties te komen.

In fig. 16 is voor f

1 (t) een driehoek genomen met tophoogte en waarvan de

basis ligt tussen t=2 en t=4. In fig. 17 is voor f

2(t) zo'n zelfde driehoek gekozen

doch zodanig verschoven dat zijn basis ligt tussen t=S en t=7. De convolutie

f

3(t)=f1 (t)*f2(t), die berekend is m.b.v. de FFT is getekend in fig. 18. Bij alle

drie.de figuren is N=I024 en T=12 sec gekozen.

Vaak kan men met minder samples volstaan dan zou volgen uit de hierboven omschreven methode, door de samenstellende funkties f

1 (t) en t

2

(t) zodanig te verschuiven over de tijdas, dat de gedeelten waar de funktiewaarden van nul verschillen bij t=O beginnen. Het convolutieresultaat moet dan teruggeschoven worden over een

af-stand die gelijk is aan de algebra1sche som van de verschuivingen van f

1 (t) en f2 (t).

(26)

1 uOO

f 1 ( t) t

a75

oSO

c25

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

fig. 16 f I (t) -+ t . --- - - - ---

----1o25

1 cOO

f 2 (t) t

o75

cSO

c2S

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

fig. 17 f 2 (t) -+t --- - - - - ---· . _{--- · -}_{- - -}

-1 c25

1 cDO

f3(t) t

o75

uSO

c25

0

r )

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

<::. -+t fig. 18 f 3(t)=f1 (t)*f2(t) T=12 N=I024

(27)

Referenties :

[I] A. Papoulis

"The Fourier Integral and its Applications" Me Graw-Hill, 1962.

[2] W.T. Cochran et al.

"What is the Fast Fourier Transform"

Proceedings of the IEEE, vol. SS, no. 10, oktober 1967.

(3] J.W. Cooley, P.A.W. Lewis, P.D. Welch

"Application of the Fast Fourier Transferm to computation of Fourier Integrals, Fourier Series and Convolution Integrals"