Gewone differentiaalvergelijkingen
Juni 2017, professor Sioen
Theorie
Beantwoord twee van de drie vragen.
1. Formuleer en bewijs een stelling ivm de existentie van een oplossing voor een vectoriële differentiaalvergelijking 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) met beginvoorwaarde 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, lokaal op een interval van de vorm [𝑥0, 𝑥0+ 𝑟].
Wat moet je aanpassen voor dezelfde vraag op een interval van de vorm [𝑥0− 𝑟, 𝑥0]. Telkens 𝑟 > 0.
2. Hoe zet je een scalaire (lineaire) differentiaalvergelijking om in een vectoriële (lineaire) differentiaalvergelijking die ermee equivalent is?
Bespreek (met bewijs) de methode van “reductie van orde”.
3. Formuleer een bewijs een stelling die een bewering doet van volgende vorm: “Als het beginwaardeprobleem {𝑦 = 𝑓(𝑦)
𝑦(0) = 𝑦0 een oplossing heeft op het interval [0, 𝑏] dan heeft iedere 𝑧 dicht genoeg bij 𝑦00 het beginwaardeprobleem {
𝑦 = 𝑓(𝑦)
𝑦(0) = 𝑧 ook een oplossing op [0, 𝑏]. Formuleer en bewijs ook het lemma dat je nodig hebt.
Oefeningen
Beantwoord vier van de vijf vragen.
1. Differentiaalvergelijking: 𝑎𝑛𝑥𝑛𝑦(𝑛)+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1𝑦(𝑛−1)+ ⋯ + 𝑎1𝑥𝑦′+ 𝑎0𝑦 = 0. 𝑎0, … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ en 𝑎𝑛≠ 0, interval ℝ0+ (i.e. 𝑥 ∈ ℝ0+), substitutie: 𝑥 = 𝑒𝑧, zet de vergelijking om in een bekend type.
Wat moet er worden aangepast bij ℝ0−?
2. Los de differentiaalvergelijking op: 𝑥2+ 𝑦2= 2𝑥𝑦𝑦′.
3. Los de differentiaalvergelijking op: (𝑥 − 2𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 4𝑦 − 2)𝑑𝑦 = 0. 4. Los de differentiaalvergelijking op: 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑥 + 𝑥𝑦𝑦′= 0.
