H1: Rijen

Hoofdstuk 1:

Rijen.

V_1.

a. De y-waarden nemen elke keer met 4 toe. b. y 43 2 4 51    _{En voor} x 11 is y 55 _.

c. zie b. d.

-e. Om de y-waarde bij x 0 uit te kunnen rekenen moet je van 19 er 2 4 8  aftrekken; 11

f. y 4x 11  g. x 20 : y 91  _en x 82,7 : y 341,8  V_2. a. a 11 9 2   b. a 115 120_{4 2} 21₂     _c. a 5,1 4,8 0,3   y 2x b 9 2 7 b 14 b b 5 y 2x 5            1 2 1 2 1 2 y 2 x b 120 2 2 b 5 b b 125 y 2 x 125               y 0,3x b 4,8 0,3 3 b 0,9 b b 3,9 y 0,3x 3,9           V_3. a. 80₆₄1,25 100 80 1,25 1251001,25 156,25125 1,25 195,31 156,251,25 244,14 195,31 1,25 De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus er is sprake van een exponentieel verband. b. _{y 244,14 1,25 } 2 _{381, 47. En voor x 12 : y 381, 47 1,25 476,84    .}

c. zie b. d.

-e. De waarde van y als x 0 _{is 1,25}643 32,77. De formule wordt dan y 32,77 1,25  x

x 24,6 : y 7933  _en x 45 : y 752362  V_4. a. 96 48 g 2 _b. 256 1024 g 0,25 _c. 11 10 g 1,1 7 48 2 t b 0,375 p 0,375 2 t 12 : p 1536 t 15 : p 12288 t 8,3 : p 118,19           6 1024 0,25 t b 4194304 p 4194304 0,25 t 12 : p 0,25 t 15 : p 0,0039 t 8,3 : p 42,22           6 10 1,1 t b 5,64 p 5,64 1,1 t 12 : p 17,7 t 15 : p 23,6 t 8,3 : p 12,4           V_5.

a. 81 90  9 72,9 81  8,1 _{dus niet lineair.}

81

900,9 72,981 0,9

65,61 72,9 0,9

59,05

65,610,9 De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus tabel A is exponentieel.

4 3 1  2 4  2 dus niet lineair. 4 1

3 13 24 12 dus tabel B is ook niet exponentieel.

1 1,5 2,5 3,5 1 2,5  6 3,5 2,5  8,5 6 2,5  _{tabel C is lineair.} b. _{A(12) 59,05 0,9 } 6 _31,38 B(12) 7 8 9 8    C(12) 8,5 3 2,5 16    1. a. 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191 800, 400, 200, 100, 50, 25, 1 2 12 1, 4, 10, 22, 46, 94, 190, 382 b.

c. nieuwe waarde oude waarde : 2

nieuwe waarde 2 oude waarde 2  

2. a. u1 2 u2 10 u 4 24  1 u3 10 u 2  4 244 u4 10 u 3 4 2444 u5 24444 b. K(0) 0,5 1 K(0) K(1)  3 1 1 K(1) K(2)  3 4 1 4 K(3) 3 4 13 K(4) 3 c. u(4) 6 1 2

u(5) u(4) 3 u(3) 2 u(4) 12   u(2) 2 u(3) 24  

u(1) 2 u(2) 48   3. a. un 1 un3 met u1 3 … 15, 18, 21, 24 b. 2 n u n _met u₁ 1 _{… 16, 25, 36, 49} c. un 1  0,5 u n met u1 1200 … -150, 75, 37 , 1821 34 d. un 1  2 un1 met u1 5 … 33, 65, 129, 257 4. a. 2005: 1400 1,40 400 1560   _{en in 2006:} 1560 1,40 400 1784  

b. u(n 1) 1,40 u(n) 400    _en u(0) 1400

2010: u(6) 4012

c. u(n 1) 1,40 u(n) 800    _en u(0) 4012 _.

5.

a.

b. un 21 un 1 u(1) 64

c. Voer in: mode rij 4 (seq) enter y=

nMin 1 u(n) 0,5  ₂nd _{7 (u) (n-1) u(nMin) 64}

en kijk in de tabel: bij n 17 6.

a. u(1) 64 1 1

2 2

u(2) u(1) 64 1 1 1 1 2

2 2 2 2

u(3) u(2)  u(1) ( ) 64 

b. 1 9

2

u(10) ( ) 64 0,125  

c. 1 1 1 1 2 1 3 1 n 1 1 n 1

2 2 2 2 2 2 2

u(n)_{ }u(n 1)_{   }u(n 2) ( ) u(n 2) ( ) u(n 3) ... ( )_{        }  _u(1) ( )_  _64 d. De grafiek van u(n) is een puntgrafiek.

e. Voer in: x 1 1

y _64 0,5_  _en 2

y 0,01 _intersect: x 13,64

Bij het 14e _{vierkant komt de oppervlakte voor ’t eerst onder de 0,01.}

7.

a. B(1) 250 1,043 €260,75  

b. B(n) 1,043 B(n 1)   _en B(0) 250 _{B(3) 250 1,043 } 3 _283,66

c. _{B(n) 250 1,043 } n _{B(18) 250 1,043 } 18 _533,41

8. Het is niet altijd even gemakkelijk om deze formules te vinden.

9, 27, 81, 243, … un 1  3 un met u19 un 3n 1 7, 25, 79, 241, … un 1  3 un4 met u17 un3n 1 2 12, 15, 18, 21, … un 1 un3 met u112 un 3 (n 3) 2, 6, 12, 20, 30, … un 1 un 2 (n 1) met u1 2 un  n (n 1) 9. a. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 b. un 2 un 1 un met u1 u2 1 10.

a. Bij beide notaties ontstaat de volgende term van de rij door de vorige term te vermenigvuldigen met 1,4 en er 400 van af te trekken. Beide rijen beginnen bij 1400. b. Voer in: mode rij 4 (seq) enter y=

nMin 0 u(n) 1, 4  ₂nd _{7 (u) (n-1) - 400 u(nMin) 1400}

En kijk in de tabel: vanaf t 5 zijn de waarden groter dan 3000

c. Window: nMin 0 nMax 8 xMin 0 xMax 8 yMin 0 xMax 7500     

vierkant 1 2 3

oppervlakte 8 8 64  _{4 2 4 2 32 } je ziet ook zonder berekening dat de oppervlakte 32 is.

11.

a. vn 1  2 vn1 met v13

b. Bij n 7 komt de waarde van vn voor ’t eerst boven de 100.

12. a. unun 1 3 met u1 3 u10 30 b. un0,5 u n 1 met u1 1200 u10 2,34375 c. un 2 un 1 2 met u15 u10 1538 d. unun 1 7 met u1560 u10 497 13.

a. 30: er worden ieder jaar 30 walvissen gedood. 230: de beginpopulatie is 230

1,1: de groei is 10% per jaar. b. un1,1 u n 1 20 met u0 230

c. De 10% aangroei moet dan ook weer gevangen worden:

0,10 230 23  walvissen.

14.

a. a 1,04 _{en b 300}

b. €11200,61

c. Er wordt pas na elk jaar rente bijgeschreven en € 300,- er vanaf gehaald. d. €8799,39

15.

a. 2500: nieuwe aanplant 0,8: 20% wordt gekapt, dus 80% blijft staan. b. Het stijgt steeds minder en komt uiteindelijk in een evenwichtssituatie.

c. Je krijgt dan eenzelfde soort ontwikkeling, alleen ligt de evenwichtswaarde hoger (15000)

d. B(t 1) 0,75 B(t) 3000    _{De evenwichtswaarde is 12000.}

16.

a. twee keer: 8 2 2 €12,    _{drie keer:} 8 3 2 €14,   

b. un 1 un2 met u1 10 c. vijftien keer: 8 15 2 €38,    d. unun 1  2 un 2   2 2 un 2   2 2 un 3   3 2 ... u (n 1) 2 10 (n 1) 2 1       e. un10 (n 1) 2 10 2n 2 8 2n        17. a. 3, 5, 7, 9, …: un 1 un2 met u1 3 un  3 (n 1) 2 3 2n 2 2n 1       b. 500, 480, 460, 440, …: un 1 u 20n  met u1 500 un500 (n 1) 20     20n 520 c. 49,5; 50; 50,5, 51; …: un 1 un0,5 met u1 49,5 un 49,5 (n 1) 0,5 49 0,5n     d. -12, -13, -14, -15, …: un 1 u 1n met u1  12 un  12 (n 1) 1      11 n

18. 1 2 100 100 2 s 100 101 10100   s  100 101 5050  19. a. b. 2 s 8  8 (4 25) 8 29   1 1 8 2 2 1 8 s   8 29 116   8 (a a ) 20. a. unun 1 10 met u1 15 20 1 k 2 k 1 u 20 (15 (15 19 10)) 2200        



b. unun 1 0,5 met u1 5 20 1 k 2 k 1 u 20 (5 (5 0,5 19)) 5        



21. a. 10 1 k 2 k 0 v 11 ( 10 10) 0       



b. 10 1 k 2 k 0 v 11 (0,1 0,2) 1,65      



22. a. s11 s2   1 4 5 s3    1 4 9 14 s4    1 4 9 16 30 s5    1 4 9 16 25 55  b. De rij K(n) is geen rekenkundige rij.

c. nMin 1 u _n n2 u(nMin) 1

2nd _{stat math optie 5 (sum) 2}nd _{stat ops optie 5 (seq) u(n), n, 1, 10} 10 n 1 K(n) 385  



en 35 2 n 1 n 14910  



23. a. b. c. gn 1  3 gn d. bn 1  3 bn1 e. n 1 n g _{ }1 3  f. 9 10 g  1 3 19683_{gele driehoekjes.} n 1 2 3 4 5 6 7 8 an 4 7 10 13 16 19 22 25 a9-n 25 22 19 16 13 10 7 4 n 1 2 3 4 aantal geel 1 3 9 27 aantal blauw 0 1 4 13

24. a./b. u3  r u2 2 3 2 2 4 2 2 u r u r r u r u 54 r 6 r 9 r 3 r 3              

c. recursieformule: un 1   3 un met u1  2 rangnummerformule: un    2 ( 3)n 1 of: un 1  3 un met u12 en un 2 3n 1 25. a. 3 6 3 u u r 3 3 12 r 96 r 8 r 2    

b. recursieformule: un 1  2 u met un 1 3 rangnummerformule: un  3 2n 1

26. a. v6 v33a 2 1 19 3a 40 3a 21 a 7 v 12 en v 5      

b. recursieformule: vn 1 vn7 met v1 5 rangnummerformule: vn     5 7 (n 1) 7n 2

27.

a. A1: 0,5 m2 _{A2: 0,25 m}2 _{A3: 0,125 m}2 b. An 0,5 A n 1 met A0 1 c. A_n 0,5n d. 8 2 2 8 A 0,5 0,004 m 39 cm 28. a. ₅₄18 ₃1 6 1 183 62 31: meetkundige rij. u10 54 ( ) 13 9 7292 recursieformule: un  31 un 1 met u1 54 rangnummerformule: un 54 ( )31 n 1

   b. geen van beide. Een recursieformule bestaat er niet voor deze rij.

rangnummerformule: 2 n

u n en u10 100

c. geen van beide. Een rangnummerformule is lastig te vinden. Hoeft ook niet! d. geen van beide. u10 0,3333333333

e. 7,5 9  1,5 6 7,5  1,5 4,5 6  1,5_{: rekenkundige rij.} u₁₀  4,5

recursieformule: un un 1 1,5 met u1 9 rangnummerformule: un  9 1,5(n 1) 10,5 1,5n  

f. meetkundige rij. 9

10

u  ( 1)  1

29. g25 jaar 2,2 1 25 jaar n n g 2,2 1,032 B 100 1,032     30. a. -b. un 1 0,70 u n met u1 1813 un 1813 0,70 n 1 c. Dat wordt steeds kleiner tot een punt.

31. a. n 1 n A _{ }1 2  63 18 64 A 2 9,2 10 b. 2 s 3s3  2 (A A A ) (A A A ) 2A 2A 2A (A A A )1 2 3  1 2 3  1 2  3 1 2 3  A A2  3 A4A A1 2 A3 A4A1 c. s4 A5 A 16 1 151    s5 A6 A 32 1 311    d. 64 19 65 1 64 s A A 2  1 1,8 10 rijstkorrels. 32. a. r s 3 s3  r (u u1 2 u ) (u u3  1 2u ) ru ru3  1 2 ru3 (u u1 2u )3  u2u3u4 u u1 2u3 u4u1 3 4 1 1 4 3 (r 1) s u u u u s r 1        b. s₃ 2 33 2 30 26 3 1       c. 5 1 4 0 4 u u 2 3 2 3 s 80 3 1 2         5 0 6 1 5 u u 2 3 2 3 s 242 3 1 2         33. a. 1 n 1 n 2 u _12 ( )_  10 12 10 21 0 125 128 k 1 k 1 2 12 ( ) 12 ( ) u 23 23,98 1        



b. n 1 n u _0,3 3_  10 10 0 k k 1 0,3 3 0,3 3 u 8857,2 3 1       



34. a. 5 6 0 31 k 32 k 0 (0,5) (0,5) u 1 0,5 1     



b. 5 k 6 0 k 0 1000 (1,06) 1000 (1,06) u 6975,32 1,06 1       



35.

a. 1 jaar: 500 1,05 € 525,   _{n jaar: B(n) 500 1,05 } n

b. _{B(10) 500 1,05 } 10

. De rente is het bedrag na 10 jaar min de inleg van €

500,-R(10) €314, 45

c. g1 0,05 500 : de rente is 5% van het bedrag ervoor. Dus g2 is 5% van het bedrag na 1 jaar: g2 0,05 (500 1, 05)  g3 is 5% van het bedrag na 2 jaar: g3 0,05 (500 1, 05 )  2 gn is 5% van het bedrag na n-1 jaar: gn 0,05 (500 1,05 )  n 1

d. r 1,05 e. s10 0,05 500 1,05_{1,05 1}10 0,05 500 314, 45        36. a./b. c. n 1 k 101 n 1 1 n 1 n 10 ₁ 10 k 0 10 9 ( ) 9 s 9 ( ) 10 ( ) 10 1             



d.

-e. Als n heel groot wordt, nadert 1 n 1 10

( )

naar 0 en wordt sn vrijwel gelijk aan 10: sn10

f. Naarmate n groter wordt, komt er steeds minder bij sn omdat sn niet groter wordt dan 10. Dus un wordt steeds kleiner.

37. n 1 1 n 0 n n n u u b r b r b(r 1) r 1 s b r 1 r 1 r 1 r 1                 38.

a. Nummer 5 geeft 4 handdrukken.

b. 6 4 10 

c.

d. De 26e _{persoon geeft 25 handdrukken, elk een aan de reeds 25 aanwezigen. Dus in totaal:}

300 25 325  handdrukken. e. rekenkundig: u u2 12 , u u3 2 3 Nee! meetkundig: 2 3 1 2 u u _{3 , 2} u  u  Nee! 1 1 49 2 2 u    1 2 ... 49 49 (1 49) 24 50 1225     39.

a. unun 1 2 met u1 15 de rangnummerformule is: un 15 2(n 1) 17 2n    n u : 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, ... s : 15, 28, 39, 48, 55, ..._n b. 1 1 2 n 2 2 s   n (15 (17 2n))   n(32 2n) 16n n   c. s₂₅ 16 25 25  2  225 n 0 1 2 3 4 5 un 9 0,9 0,09 0,009 0,0009 … sn 9 9,9 9,99 9,999 9,9999 … aantal mensen 2 3 4 5 6 7 aantal handdrukken 1 3 6 10 15 21

40.

a. Elke besmette computer besmet weer 50 andere computers: un 1 50 u n met u1 50

n 1 n

n

u _50 50_  _50

b. ₅₀5 _{312.500.000; gemeenschappelijke adressen worden buiten beschouwing gelaten.}

c. u2 12 2 3 3 5 4 3 2 3 n 1 n n n 1 1 96 u g u g u g u 12g g 8 g 2 u 2 u met u 6 u 6 2                 41. a. recursieformule: un 1,04 u n 1 met u0 1500 rangnummerformule: u_n 1500 1,04 n Op Olga’s 18e _verjaardag: 18 18 u 1500 1,04 €3038,72 b. _{b 1,04} 18 _50000 18 50000 1,04 b €24681,41 c. derde verjaardag: 4682, 40 1,04 1500 6369,70   vierde verjaardag: 6369,70 1,04 1500 8124,49  

d. Voer in: nMin 0 u n 1,04 u n 1 1500 u(nMin) 1500 u(18) € 41506,84 e. Uitzoeken door proberen: €

1807,-42.

a. b.

c. Bijvoorbeeld bij 4 schijven: het kost 7 zetten om de bovenste drie schijven naar het tweede stokje te verplaatsen. Dan de onderste schijf naar stokje 3. En vervolgens kost het weer 7 zetten om de drie schijven van het tweede naar het derde stokje te verplaatsen. In totaal dus

2 7 1 15   zetten. n n 1 1 u  2 u_ 1 met u 1 d. u₆₄ 1,84 10 minuten 3,5 10 jaar 19   13 . aantal schijven 1 2 3 4 5 aantal zetten 1 3 7 15 31

T_1. a. A: 208, 210 B: 1012,5 1518,75 C: 12,5 6,25 b. A: unun 1 2 met u1 200 B: unun 1 1,5 met u1 200 C: un un 1 21 met u1 200 c. A: un200 2(n 1)  B: un200 1,5 n 1 C: un200 0,5 n 1 d. A: a20 238 B: b20 443368 C: c20 3,81 10 4 T_2. a. 120 mg.

b. Er blijft elke keer 70% over (x 0,70). 30% verdwijnt.

c. De hoeveelheid medicijn neemt steeds toe, maar wordt nooit meer dan 400 mg.

d. 5 periodes van 12 uur na de eerste inname van 60 mg is er bijna 343 mg in het lichaam en 6 periodes van 12 uur na de eerste inname 360 mg. Dus na 3 dagen.

e. De hoeveelheid wordt nooit meer dan 400 mg.

T_3.

a. 3 10 3 11 3 12 3 13 138        . Stijn heeft na 1 jaar € 69,- gespaard. b. bn 1 bn3 met b130 bn30 3 (n 1) 27 3n    

1 december 2007 is het 12e _{kwartaal: 10 11 1 €21,   } c. Op 31 december heeft Stijn 20 1

2

20 k

k 1

s b 20 (30 87) €1170, 





      _{aan zakgeld gekregen.} De helft (dat is € 585,-) heeft hij gespaard.

T_4.

a. un 2 un 1 met u1 1,25 rangnummerformule: un1,25 2 n 1 b. _{1,25 2} n 1 _1000000

Voer in: y_11,25 2_ x 1 en_ y_{2 }1000000 _{intersect: x 20,61}

De 22e _{term is voor ’t eerst groter dan 1000000.}

T_5.

a.

b. un is een meetkundige rij met reden 3: un  2 3n 1

c. n n n 2 3 2 s 3 1 3 1       n 1 2 3 4 5 sn 2 8 26 80 242 un 2 6 18 54 162

T_6. a. 8 k k 1 u 2,2222222  



b. vn 480 50 (n 1) 530 50n     20 1 k 2 k 1 v 20 (480 470) 100       



c. 20 1 k 2 k 11 v 10 ( 20 470) 2450        



T_7. a. 5 k k 1 b sum(seq(u(n), n , 1 , 5)) 1349   



b. 5 k k 3 b sum(seq(u(n), n , 3 , 5)) 1332   



c. 6 k 5 k 6 k 1 k 1 b b b 4090     





T_8. a. 2002: 760 1,12 110 741   2003: 741 1,12 110 720   b. zn 1 round(1,12 z n110,0) En bij n 17 is zn negatief.

c. Bij een vangst van 80 zeerobben groeit de populatie. d. zn 1 zn n n n 1,12 z v z 0,12 z v v 0,12 760 91,2        

Bij een vangst van 91 zeerobben blijft de populatie constant.

T_9. a. un 2 un 1 3 met u110 b. s20 sum(seq(u(n), n 1, 20) 13631415 c. v_{n }v r_5 n 5 _v r r_5 n_ 5_v r_5 5_rn_v r_0 n _v r r_{0 } n 1 _v r_1 n 1 n 1 2 3 4 5 bn 3 14 61 252 1019 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 un 760 741 720 696 670 640 607 570 527 481