Hoofdstuk 3: Transformaties

(1)

Hoofdstuk 3:

Transformaties.

V_1.



f f D : 0, B : 0, Randpunt : (0, 0)   _ _  ¡ g g D : B : 1 , 1 periode : 2   ¡ h h D : B : 0, Horizontale asymptoot : y 0   ¡ k k D : 0, B : Verticale asymptoot : x 0   ¡ ¡ m m D : \ {0} B : \ {0} Horizontale asymptoot : y 0 Verticale asymptoot : x 0    ¡ n n D : B : 0, Top : (0, 0) ¡ ¡ p p D : B : V_2.

a. Het domein van f(x) x is  _0, _.

b. Voor x 0 bestaat de functie niet: delen door 0 is flauwekul. c. Alle sinusoïden zijn periodieke functies.

x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3



2

k(x)

logx

 1

m(x)

x



2

n(x) x

x y 1 2 3 -1 -2 -3 5 10 15 -5 -10 -15



3

p(x) x

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 -2 x y  2 1 2 -1 -2 g(x)=sinx

f(x)



x



x

h(x) 2

(2)

V_3.

a. Als n een even getal is, zien de grafieken van _{f(x) x} n_{er uit als de grafiek van}_{y x}_ 2_.

b. Voor oneven waarden van n zien de grafieken er uit als die van _{y x} 3_.

c. Alle grafieken gaan door (0, 0) en (1, 1).

V_4.

a. Als het grondtal g groter is dan 1, dan hebben de grafieken dezelfde kenmerken als de standaardfuncties met g 2 .

b. Als 0 g 1  _{dan is de grafiek van}k(x) g x een dalende functie. Het domein van deze

functie is ¡ , het bereik 0, . De grafiek heeft een horizontale asymptoot y 0 en alle grafieken gaan door het punt (0, 1).

c. Als 0 g 1  _{dan is de grafiek van}_f(x)_ g_logx_{een dalende functie. Het domein van deze}

functie is 0, , het bereik ¡ . De grafiek heeft een verticale asymptoot x 0 en alle grafieken gaan door het punt (1, 0).

V_5. a. Voer in:  x  2 1 2 y 2 en y x intersect: x 0,77  x 2  x 4 b. Voer in:  x  6 1 2 y 2 en y x intersect: x 0,90  x 1,14  x 29,21 c. Voer in:  1 2 2 1 100 2 y x en y logx intersect: x 1,01  x 20,95

De logaritmische functies zijn de langzaamst stijgende functies, dan de machtsfuncties en de exponentiële functies stijgen op den duur het snelst.

V_6.

a. Voor grote waarden van x (positief en negatief) wordt de term 1

x vrijwel gelijk aan 0. Voor die waarden gaat de grafiek van f dus steeds meer lijken op die van _{p(x) x}_ 2_.

b. Voor x-waarden in de buurt van x 0 wordt juist p(x) heel erg klein en gaat q(x) 1 x  de bepalende rol spelen.

(3)

1.

a./b. s(x): (0, 0)

t(x): (-2, 0) 2 naar links verschoven.

u(x): (3, 5) 3 naar rechts en 5 omhoog verschoven. v(x): (-4, -7) 4 naar links en 7 omlaag verschoven. w(x): (0, 10) 10 omhoog verschoven.

2.

a./b.

c. g(7) 2

d. Voor x 4 , want als je (4, 2) drie naar rechts verschuift krijg je het punt (7, 2).

e. Voor x 17 3 14   . f. Voor x a 3  .

3.

a. f is ontstaan uit y cosx , g uit y x, h uit y 1 x

 en k uit y 2logx. b. f: 1 omhoog verschoven.

g: 1 naar rechts en 4 omlaag verschoven. h: 1 naar links verschoven.

k: 6 naar rechts en 8 omhoog verschoven.

4.

a. f: _{y 3}_ x 3 _g:_y_ 3_{log(x 3)}_ _h:_{y cos(x 3)}_ _

b. f: _{y 3}_ x 2 _₂ _g:_y_ 3_{log(x 2 ) 2}_{  } _h:_{y cos(x 2 ) 2}_ _{  }

c. Van de grafiek van h. h(x) is een periodieke functie met periode 2. Als je de grafiek dus 2

gaat verschuiven in horizontale richting komt die op zichzelf terecht.

5.

a. h(x) 1 x 

b. De asymptoten van h(x) zijn x 0 (verticaal) en y 0 _{(horizontaal).}

De asymptoten van f(x) zijn x 3 (verticaal) en y 5 _{(horizontaal).}

c. De grafiek van h is dus 3 naar links en 5 omhoog verschoven.

6.

a. w(x) x

b. Het randpunt van w(x) is (0, 0). Bovendien gaat w(x) door (1, 1). Het randpunt van f is (1, 4) en gaat door (2, 5).

c. De standaardfunctie is 1 naar rechts en 4 omhoog verschoven.

d. f(x) x 1 4  x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 5 f g

(4)

7.

a./b.

c. g(x) 3 x

8.

a./b. zie de grafiek hiernaast.

c. h(12) 6

e. Voor x 36 . Als je de horizontale afstand van het punt (36, 6) met 1

3 vermenigvuldigd krijg je het punt (12, 6).

f. Voor x 34 3 102   .

9.

a./b. De x wordt vervangen door 1

4x: b(x) 1₄x  1₄ x ₂1 x

10.

a. _b(x)_{  }_{1 2}x_{: de grafiek van f(x) is gespiegeld in de x-as.}

b. _{d(x) 2}_ x_{: de grafiek van f(x) is gespiegeld in de y-as.}

c. Ja.

11.

a. s(x) sin x _{: horizontale vermenigvuldiging met factor}1

.

b. _l(x)_ 2_logx_{: horizontale vermenigvuldiging met factor 4}

c. h(x) 1 x

 : verticale vermenigvuldiging met factor 2. d. w(x) x: horizontaal vermenigvuldigen met factor 1

3 en verticaal vermenigvuldigen met 3.

e. c(x) cosx _{: horizontaal vermenigvuldigen met factor} 1

2

 _{en verticaal vermenigvuldigen met}1 4.

f. _{e(x) 3}_ x_{: horizontaal vermenigvuldigen met factor 2 en verticaal vermenigvuldigen met 2.}

12.

a. De x wordt vervangen door x 4 : _{g(x) 2}_ x 4

b. _{f(0) 1 en g(0) 2}_ _ 4 _₁₆_{: verticaal vermenigvuldigd met factor 16.}

c. _{g(x) 2}_ x 4 __{2 2}x_ 4 __{16 2}_ x

13.

a. Met factor 16.

b. h(1) 16 f(4) 

Je kan dus ook horizontaal vermenigvuldigen met factor 1 4.

c. Dan moet je de x vervangen door 4x: _{h(x) (4x)}_ 2 __16x2_.

1 1 x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2 4 6 8 10 12 -2 f h g

(5)

14. a. b. 1 1 hor 2x 2x V , 2 1 omhoog x f(x) 2  y 2 g(x) 2 1 c. 1 hor 2x V , 2 1 omhoog x x f(x) 2  y 2   1 y 2 1: je krijgt weer g(x). 15. a/b/c.

d. f(x)_ x_{}3 naar links_{ }y x 3_{ }V ,hor 31 g(x)_ 3x 3_ 1

hor 3

V , 3 naar links

f(x) x y 3x y 3(x 3)  3x 9

16. 2 V , 4hor 1 2 1 2 3naar links 1 2

4 16 16 f(x) x  y ( x)  x g(x) (x 3) 17. a./b. 1 ver 2 V , 4 omlaag 3 3 1 3 1 3 2 2 f(x) x  y x   4 y (x 4) x 2 1 ver 2 V , 4 omlaag 3 1 3 1 3 2 2 f(x) x  y x  y x 4

18. 2 V , 5hor 2 1 3 naar rechts 2 1

5 5

l(x) logx y log xf(x) log (x 3)

hor hor V , 5 3 naar rechts 2 2 2 1 5 V , 5 3 omlaag 2 2 1 2 1 5 5

l(x) logx f(x) log(x 3) y log( x 3) l(x) logx y log x f(x) log x 3

      

     

19.

a. Een verticale vermenigvuldiging met factor 0,8465 en een horizontale verschuiving van 75 naar rechts.

b. Een soort van kwalificatie. Iedereen moet minstens 75 cm hoog springen. Anders zijn er geen punten te verdienen.

c. Een kleine verbetering levert steeds meer punten op.

d. Om punten te krijgen op de 1500 m hardlopen moet je dat sneller doen dan 480 s (dat is 8 minuten).

e. Een kleine verbetering van de tijd (dus als t kleiner wordt) levert steeds meer punten op.

f. 1500 meter: _{P 0,03768 (480 255)}_ _ _ 1,85 _₈₄₆ hoog: _{0,8465 (h 75)}_ _ 1,42 _₈₄₆ 1 1,42 1,42 (h 75) 999 h 75 999 129,6 h 205 cm       x y 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 2 4 6 8 10 12 f g x y 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 f h g h P 50 100 150 200 250 300 350 500 1000 1500 2000 2500 t (in sec) P 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -50 500 1000 1500 2000 2500 hoog 1500 m

(6)

20.

a. Het randpunt van f is (0, 0)

b. Het randpunt van g is (2, -2). Door vermenigvuldigingen verandert het randpunt niet. c. De grafiek van g loopt steiler.

d. De grafiek van g gaat onder andere door (3, 6). Er is dus verticaal vermenigvuldigd met factor 6.

ver

V , 6 2 naar rechts 2 omlaag

f(x) x y 6 x y 6 x 2 g(x) 6 x 2 2  

21.

a. 1

hor 2

V , 0,6 omhoog

f(x) sinx  y sin2xh(x) 0,6 sin2x 

b. De periode van f(x) is 2 en door de horizontale vermenigvuldiging wordt de periode ook gehalveerd. De periode van h(x) is .

c. 1 hor 2 V , 0,6 omhoog (0, 0)(0, 0)(0, 0.6) d. y 0,6 _. 22. a. f(0) cos0 1 

b. f(x) cosx_ _{ }V ,hor 31 y cos3x_{}4 naar rechts g(x) cos3(x 4)_ _

c. Door de horizontale vermenigvuldiging wordt de periode 3 keer zo klein: 2 2 3 3

p_  _{ }

. d. Aan de verschuiving van 4 naar rechts: x 4 .

23.

a. periode: 1 4

2_{  en door het punt (-1, 1)}₈

b. periode: 2

2  en door het punt (0.3, 0)

c. l(x) cos(4x 6) cos4(x 1,5)    _{: periode:}2 1

4 2 _{ }

en door het punt (1.5, 1)

24. a. maximum: 20 en minimum: -10 b. 20 10 2 d_  _5 c. a 20 5 15   d. De periode is 80: 2 1 80 40 b_ _ _ e. 1 40 f(x) 5 15sin   (x 60) _f. 1 40 f(x) 5 15sin   (x 20)

25. maximum: 2 en minimum: 0 maximum: 600 en minimum: -100

2 0 2 0 2 2 d_  _1 en a_  _1 600 100 600 100 2 2 d_  _250 en a_  _350 periode: 2 2 3 3 3 : b      _{periode: 52} 2 52 b_  2 3 f(x) 1 sin x  2 52 g(x) 250 350cos x_ _  26. a. 10 40 10 40 2 1 2 2 20 10 d_   _{ }25, a_   _15 en b_ _{ }

(7)

27.

a. A(45) 2942 _,A(14,5) 827 _,B(45) 763 _enB(14,5) 187

De behaalde punten moeten redelijk bij elkaar liggen, dus bij het speerwerpen (45 meter) hoort formule B en bij het kogelstoten formule A.

b. _{15,9803 (d 3,80)}_ _ 1,04 _₈₀₀ 1 1,04 1,04 (d 3,80) 50 d 3,80 50 43 d 46,80 m       c. _{c (45 3,80)}_ _ 1,04 _₈₀₀ _{15,9803 (45 c)}_ _ 1,04 _₈₀₀ _{15,9803 (45 3,80)}_ _ c _₈₀₀ 47,81 c 800 c 16,7339    1 1,04 1,04 (45 c) 50 45 c 50 43      c 41,2 41,2 50 c log50 1,05    c 1,93 28. a. t 0 : C 110 0,8 0 10 mg/liter. 8 1 t 8 : C 10 0,8 1,68 mg/liter.

b. De concentratie is dan ongeveer 11,68 mg/liter.

c. C (t) C (t) C (t 8) C (t 16)3  1  1   1  

__{10 0,8}_ t__{10 0,8}_ t 8 __{10 0,8}_ t 16

d. Er komt steeds meer geneesmiddel in het bloed. e. Dan moet men 10 1,68 8,32  mg/liter inspuiten. f. Men mag dan pas weer bijspuiten als de

concentratie 1 mg/liter geworden is.

t t 0,8 10 0,8 1 0,8 0,1 t log0,1 10,32     

Na 10 uur en 19 minuten mag de volgende injectie van 9 mg/liter gegeven worden.

29.

a. maximum: 181 en minimum: -165 181 165 181 165

2 2

d_  _8 en a_  _173

Periode is 12 uur en 10 minuten: 1 6

2 12

b_  _0,516

Het ‘startpunt’ ligt een kwart periode (dat is 3.02 uur) voor 4.40 uur.

W(t) 8 173sin 0,516(t 1,625)  

b. Het is een model en dat is dus veel symmetrischer.

c. maximum: 34,5 en minimum: -55 34,5 55 34,5 55

2 2

d_  _{ }10,25 en a_  _44,75

Periode is 12 uur en 15minuten: 2 12,25

b_  _0,513

Het ‘startpunt’ ligt een kwart periode (dat is 3.04 uur) na 1.06 uur.

W(t) 10,25 44,75sin0,513(t 4,1625)  d. -t (in uren) C (in mg/liter) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 14 16 -2

(8)

T_1.

a. _{(0, 0)}_{}4 naar links_{ }_{( 4, 0)}_{ }2 omhoog _{( 4, 2)}

b. Dan moet je het beeldpunt 4 naar rechts en 2 omlaag verschuiven: (3, -27)

c. _f(x)_{ }_x3_{}4 naar links_{   }_y _{(x 4)}3_{}2 omhoog _g(x)_{  }_{(x 4)}3_₂

d. f(x) 8 3 3 x 8 x 8 x 2     

dus van het punt (2, -8)

T_2.

a. (1, 1) V , 2hor (2, 1) V , 3ver (2, 3)

b. Dan moet je het beeldpunt verticaal vermenigvuldigen met 1

3 en horizontaal vermenigvuldigen met 1 2: (-2, 8) c. 3 V , 2hor 1 3 1 3 V , 3ver 1 3 3 3 2 8 8 8 f(x) x   y ( x)   x g(x) 3   x   x d. f(x) 2 3 3 3 x 2 x 2 x 2     

dus van het punt _{( 2, 2)}3 _

T_3.

a. _l(x)_ 2_logx_{}2 naar links_{ }_y 2_{log(x 2)}_ _{}2 omhoog _{f(x) 2}_{ }2_{log(x 2)}_

b. p(x) x 24 naar links y (x 4) 2 V , 0,2ver y 0,2 (x 4)  2 4 omlaag y 0,2(x 4) 24

c. h(x) 1 6 naar rechts y 1 V , 5ver y 5 7 omhoog h(x) 7 5

x x 6 x 6 x 6

       

  

d. e(x) 2 xV , 10hor j(x) 2 0,1x

T_4.

a./b. maximum: 1 en minimum: -5 1 5 1 5

2 2

d_  _{ }2 en a_  _3

periode: 10 2 1 10 5

b_  _{ }

het ‘startpunt’ is bij x 1 _.

hor ver 1 5 V , 5 1 V , 3 1 1 naar rechts 1 5 5 5 2 omlaag g(x) 2 3sin (x 1)

f(x) sinx y sin x y 3sin x y 3sin (x 1)

g(x)     

          



T_5.

a./b. het randpunt (-4, 6). De grafiek gaat door P(0, 0).

Verschuif het randpunt naar (0, 0). Dan wordt P(4, -6) en is er dus verticaal vermenigvuldigd met factor -3:

ver

V , 3 4 naar links 6 omhoog

(9)

T_6. a. -b. maximum: 17 en minimum: 2 17 2 17 2 2 2 d_  _9,5 en a_  _7,5 de periode is 12 2 1 12 6 b_ _{ } en het ‘startpunt’ is t 1 3 4   1 6 T 9,5 8,5sin (t 4)    c. 2 365 25,7 37,5sin (t 100) 5     Voer in: 2 1 365 2 y _{ }25,7 37,5sin_ (x 100) en y_ _5 _intersect:_{x 155,7 en x 226,8}_ _

Op ongeveer 71 dagen was de temperatuur 5o_{C of hoger.}

T_7. maximum: 60 en minimum: -80 60 80 60 80 2 2 d_  _{ }10 en a_  _70 de periode is 12.40 uur 2 3 2 12 b_  _0,496

en het ‘startpunt’ is t 1 3.10 4.10 uur 4,167   

W 10 70sin 0,496(t 4,167) 

T_8.

a. De verticale vermenigvuldiging met factor -1 zorgt voor een spiegeling in de x-as. De horizontale vermenigvuldiging met factor -1 zorgt voor een spiegeling in de y-as. b. De horizontale vermenigvuldiging met factor 1 (maar dat is een flauwe) en de horizontale