Examen VWO
2019
tijdvak 1 maandag 20 mei 13.30 – 16.30 uurwiskunde B
Formules
Goniometriesin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )
t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u
sin(2 ) 2sin( )cos( )t t t
2 2 2 2
Lijnen door de oorsprong en een cirkel
Gegeven is cirkel c met middelpunt (1, 7) en straal 5. 1 2 x t y
is een vectorvoorstelling van een lijn k door de oorsprong. Lijn k snijdt cirkel c in twee punten.
5p 1 Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.
Rechts van het snijpunt
De functies f en g zijn gegeven door figuur
( ) 3cos(2 ) 2
f x x x en g x( ) 3 2x
De grafiek van g snijdt de x-as in punt A.
De grafiek van f heeft diverse toppen, alle met een positieve x-coördinaat.
Punt B is de derde van deze toppen. Zie de figuur.
Er geldt: punt B ligt rechts van punt A.
5p 2 Toon dit aan met behulp van de afgeleide van f.
Altijd raak
Voor p1 is de functie fp gegeven door figuur 1
( )
p
f x p x p
In figuur 1 is voor enkele waarden van p de grafiek van fp weergegeven en ook de lijn k
met vergelijking 1 4
y x .
Lijn k raakt de grafiek van fp voor elke waarde
van p1. 5p 3 Bewijs dit.
Voor p1 heeft de grafiek van fp een
randpunt, ook wel beginpunt genoemd. De randpunten van de grafieken in figuur 1 zijn met een stip aangegeven.
Er geldt voor elke p1: het randpunt van de grafiek van fp ligt op de grafiek van fp1.
3p 4 Bewijs dat inderdaad voor p1 geldt: het randpunt van de grafiek van fp ligt op de grafiek van fp1.
Punt A(1, 1) is het randpunt van de grafiek van f1. figuur 2
Punt B(2, 2) is het randpunt van de grafiek van f2.
B ligt dus op de grafiek van f1.
Door de punten A en B gaat een lijn l.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn l en
de grafiek van f1. Zie figuur 2.
5p 5 Bereken exact de oppervlakte van V.
Slingshot
De Slingshot is een kermisattractie. foto Tussen de toppen van twee palen hangt aan twee identieke
elastische koorden een capsule die plaats biedt aan twee personen. Zie de foto.
De capsule wordt allereerst omlaag getrokken tot aan de grond. Op dat moment gaan er twee personen in de capsule zitten. Vervolgens wordt de capsule losgelaten. De capsule schiet dan recht omhoog. Daarna valt hij recht omlaag, gaat weer omhoog, enzovoorts. Na enige tijd komt de capsule stil te hangen.
Gegeven is:
- De palen staan 14 m uit elkaar. - De palen staan verticaal.
- De palen zijn 20 m hoog.
- Zonder uitrekking heeft elk koord een lengte van 8 m.
- Elk koord trekt aan de capsule met een kracht die afhangt van de lengte van het uitgerekte koord. De grootte van deze kracht kan berekend worden met de formule:
0,6 ( 8)
k
F L
Hierbij is Fk de grootte van de kracht in kN (kilonewton) en L de lengte van het
uitgerekte koord in m (met L8).
figuur 1
In figuur 1 is de beginsituatie weergegeven. De capsule is aangegeven met het punt C en de toppen van de palen met A en B. De capsule bevindt zich op de grond, midden tussen de palen. Beide koorden, CA en CB, zijn dan flink uitgerekt en staan strak.
3p 6 Bereken de grootte van de kracht in kN waarmee een koord in de beginsituatie aan de capsule trekt.
De twee krachten kun je weergeven met twee vectoren. De som van deze twee vectoren is een vector die een verticale kracht weergeeft met grootte Fkv. De grootte
van deze kracht kan berekend worden met de volgende formule:
2 cos( )
kv k
F F
Hierin is de hoek tussen een koord en de verticale vector. Zie figuur 2.
figuur 2 figuur 3
Op de capsule, inclusief de twee personen, werkt niet alleen de kracht van beide koorden, maar ook de zwaartekracht Fz, die recht naar beneden is gericht. Zie figuur
3. Deze zwaartekracht bedraagt 1,8 kN. In figuur 2 en figuur 3 is ook het hoogteverschil tussen C en de toppen van de palen met x aangegeven. Na een aantal keren op en neer te zijn geslingerd, is de capsule tot stilstand gekomen. Op dat moment heft de zwaartekracht de twee krachten op die door de koorden samen worden uitgeoefend.
Er geldt dan dus: Fkv Fz
De hoogte waarop de capsule tot stilstand komt, is te berekenen door eerst Fkv in x uit
te drukken.
6p 7 Druk Fkv uit in x en bereken daarmee hoe hoog de capsule boven de grond hangt als hij tot stilstand is gekomen. Geef je eindantwoord in gehele meters.
Een logaritmische functie en haar afgeleide
De functies f en g worden gegeven door: ( ) ln( ) 1 ( ) '( ) f x x x x g x f x
Er is één waarde van p waarvoor geldt: 2 ( ) 0 p p g x dx
Voor deze waarde van p is de situatie in de figuur hiernaast geschetst.
7p 9 Bereken exact deze waarde van p. Schrijf je eindantwoord in de vorm p ae , waarbij a een getal is.
Gebroken goniometrische functie
De functie f is gegeven door: figuur 1
2 cos( ) ( ) sin ( ) x f x x .
Lijn k is de lijn met vergelijking y 2.
Lijn k en de grafiek van f hebben oneindig veel snijpunten. De punten A en B zijn de twee snijpunten met de kleinste positieve
x-coördinaten. Deze zijn in figuur 1
aangegeven.
6p 10 Bereken exact de x-coördinaten van A en B.
Voor elke waarde van p is de functie fp gegeven door:
2 cos( ) ( ) sin ( ) p x f x p x
6p 11 Onderzoek of er waarden van p zijn waarvoor de grafiek van fp perforaties heeft. In de rest van de opgave beperken we ons figuur 2
tot waarden van p waarvoor geldt: p0. De punten op de grafiek van fp met
x-coördinaten 0, en 2 noemen we
respectievelijk P, Q en R. In figuur 2 is voor een waarde van p de grafiek van fp
weergegeven. Ook zijn de lijnstukken PQ en
QR weergegeven.
Er zijn waarden van p waarvoor PQ en QR loodrecht op elkaar staan.
Driehoek met bewegend hoekpunt
Lijn k gaat door de punten A(0, 10) en B(40, 0).
De baan van een punt P is gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
18 5 30 3 x t y t De baan van punt P is de lijn m. Zie de figuur.
figuur
Bij bijna elke positie van punt P vormen de punten A, B en P een driehoek ABP. Er is één uitzondering.
5p 13 Bereken de coördinaten van P zodat A, B en P niet de hoekpunten van een driehoek vormen.
8p 14 Onderzoek op algebraïsche wijze of er een positie van P is, zó dat driehoek ABP een rechte hoek heeft bij P én driehoek ABP een gelijkbenige driehoek is.
Twee vierkanten op een kwartcirkel
De functie f is gegeven door f x( ) x . De grafiek van f is getekend in figuur 1, samen met de lijnen met vergelijkingen x a en x b , waarbij 0 a b . Midden tussen de punten (a, 0) en (b, 0) ligt het punt (m, 0) .
De grafiek van f, de x-as en de twee verticale lijnen sluiten een gebied in. Dit gebied, in figuur 1 met grijs aangegeven, wordt gewenteld om de x-as. Het
omwentelingslichaam is een zogenaamde afgeknotte paraboloïde. Deze is afgebeeld in figuur 2.
figuur 1 figuur 2
Bij de omwenteling beschrijft elk punt van de figuur 3 grafiek een cirkel. De oppervlakte van de cirkel die
beschreven wordt door het punt ( ,m m) noemen we A. De cirkelschijf met deze oppervlakte is met donkergrijs aangegeven in figuur 2.
In figuur 3 staat de afgeknotte paraboloïde een kwartslag gedraaid. In die figuur is ook de hoogte h van de afgeknotte paraboloïde aangegeven.
Voor de inhoud V van de afgeknotte paraboloïde geldt de formule: V h A
Wiskunde B
2019-I
Uitwerkingen.
(N=1,8)
Lijnen door de oorsprong en een cirkel
1 maximumscore 5
c: (x1)2(y7)2 25 1
(t1)2 (2t 7)2 25 1
5t230t25 5( t26t5) 5( t1)(t 5) 0 geeft t 1 t 5 2
S(1, 2) en T(5, 10) 1
Rechts van het snijpunt
2 maximumscore 5 g x( ) 0 geeft 1 2 4 x 1 '( ) 3 sin(2 ) 2 1 2 6 sin(2 ) 1 2 2 2 f x x x x x 2 voer in: 1 1 6 sin(2 ) 2 y x x
zero (derde nulpunt): xB 4,74 2
Als bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct is toegepast, voor deze vraag maximaal 3 scorepunt toekennen
Altijd raak
3 maximumscore 5 fp'( )x 2 1 x p 1 fp'( ) 1x geeft 2 x p 1 en dus 1 4 x p 2 1 1 1 4 4 2 ( ) f p p p en ook 1 1 1 4 4 2 y p p 2 4 maximumscore 3 randpunt (p, p) 1 fp1( )x p 1 x(p 1) p 1 x p 1 1 fp1( )p p 1 p p 1 p 1 5 maximumscore 5 l: y x 1 2 1 (1 1 ) Opp
x x dx 1 een primitieve is 1 2 1 2 2 1 3( 1) 2 x x x 2 antwoord: 1 6 1Slingshot
6 maximumscore 3 L 20272 449 17 maximumscore 6 cos( ) 2 49 x x 2 2 cos( ) 2 0,6( 49 2 8) 2 49 kv k x F F x x 1 1,2 9,6 2 1,8 49 x x x 1
beschrijven hoe deze vergelijking met de GR opgelost kan worden 1 x7,26 en dus de hoogte is ongeveer 13 m. 1
Een logaritmische functie en haar afgeleide
8 maximumscore 5 ( ) 1 1 ln( ) 1 ln( ) x g x x x x 1 f x( )g x( ) geeft (x1)ln( )x x 1 2 x 1 0 ln( ) 1x 1 x 1 x e 1 9 maximumscore 7
2 2 ( ) ( ) p p p p g x dx f x
1 2 ln(2 ) 2p p p 1 ( ln( )p p p 1) 2 ln(2 )p p pln( )p p 0 2 p(2ln(2 ) ln( ) 1)p p p(ln(4 ) ln( ) 1)p2 p p(ln 4 ) 1) 0p 2 p0 ln(4 ) 1p 1 dit geeft 1 4 p e 1Gebroken goniometrische functie
10 maximumscore 6 f x( ) 2 geeft cos( )x 2 sin ( )2 x 1
cos( )x 2 (1 cos ( )) 2 x geeft 2 cos ( ) cos( )2 x x 2 0 2
met de abc-formule volgt nu 1 2
cos( )x 2 cos( )x 2 (geen opl) 2
3 3 4 2 4 2 x k x k 3 4 A x en 1 4 1 B x 1 11 maximumscore 6
een perforatie als cos( ) 0x en psin ( ) 02 x 1
cos( ) 0x geeft 1 1 2 2 12 2 x k x k 1 1 2 sin( k 2 ) 1 en 1 2 sin(1 k 2 ) 1 1 daardoor is de noemer p 1 0 ofwel p1 1
1 2 2
cos( ) cos( ) 1 ( )
1 sin ( ) cos ( ) cos( )
x x
f x
x x x
1
Ook f1 heeft geen perforatie, dus er zijn geen waarden van p waarvoor
12 maximumscore 4 (0, )1 p P , ( , 1) p Q en (2 , )1 p R 1 2 p QP uuur en 2 p QR uuur 1 2 2 4 0 p QP QRuuur uuur 1 2 2 4 p geeft p 2 p 2 1
Driehoek met bewegend hoekpunt
13 maximumscore 5 P is dan het snijpunt van k en m 1
k: 1 4 10 y x 1 1 4 30 3 t (18 5 ) 10 t 1 3 1 4 2
1 t 24 geeft t 14 en dit geeft punt P(88, -12) 2
14 maximumscore 8
APB90o, dus P ligt op een cirkel met middellijn AB (Thales) 1
P ligt op (x20)2(y5)2 425 1 ( 2 5 ) t 2(25 3 ) t 2 425 1 34t2170t204 0 geeft t 2 t 3 2 Pt2(28, 24): AP 980 en BP 720: niet gelijkbenig Pt3(33, 21): AP 1210 en BP 490: niet gelijkbenig 3
