KIP : een programma voor de berekening van de kritieke kip-belasting voor balk-achtige constructies

KIP : een programma voor de berekening van de kritieke

kip-belasting voor balk-achtige constructies

Citation for published version (APA):

Groot, W. J. (1984). KIP : een programma voor de berekening van de kritieke kip-belasting voor balk-achtige constructies. (DCT rapporten; Vol. 1984.043). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1984

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

-1-

WFW84 .O43

en programma voor d e berekening van de kip-belasting voor balk-

3. Technische det

W. Groot

-3-

met een kwadratische uitdrukking voor de potentiële energie U2 (een ontwik- voldoende om de kritieke belasting te kun- keling t/m kwadratische termen is

nen bepalen). A l s nu

uo(x)

..

=

o

Dan is bij een rekloze hartlijn (u;(x) = O ) de pot. energie:

1 2

U = J 1/2E I W" dx

-

E FiwO(xi) - 1 MiwA(xi)

i i

Y O

O

Uit aü = O volgt, samen met de kinematische randvoorwaarden, de oplossing wo(x) van het statisch probleem en kan dus bijv. ook het moment MIX) als snedegrootheid berekend worden, hetgeen van belang is bij de volgende stap. Met een additioneel verplaatsingsveld

( 1 . 1 )

( 1 . 2 )

is een uitdrukking voor de potentiële energie tic Stability", van Koiter, 111, pag. 283, (1

1

O

U2 = J [1/2Eïzv"2

+

1/2GSta'2

+

1/2Eru

+

I: Fi"(Xi) i

af te leiden (zie bijv. "Elas- ;I811 van de volgende vorm:

waarbij de tekens zijn aangepast aan de door ons als positief gekozen rich- ting van het moment. Uit áU2 = O volgt dan, samen met de hierbij geldende kinematiscne randvoorwaarden, een uitdrukking voor de kritieke belasting. De tot nu toe gebruikte symbolen hebben de volgende betekenis en dimensie: 1 : lengte van de balk [inm].

u

fx)

: specifieke wringhoek [mm-'].

-4- 2 *(y,z) : welvingsfunctie [mm

1.

4 : oppervlaktetraagheidsmomenten [mm

3 .

Iy' IZ 2 E : elasticiteitsmodulus [N/mm

1.

G : glijdingsmodulus [N/mm 1. 2 2 2 t y) IdA [mm4]. : torsie-integraal: $

{ ( a

-z)

+

tefz

A 2 f Y 6 [mml. : z-waarde van het dwarskrachtenmiddelpunt

b m l -

St

r

: welvingsintegraal: $ Jt (y,z)dA cm

I .

2 2

A

C : oppervlakte-integraal:

zD

-

$ z(y tz )dA/21y A

zD

a : afstand tussen het aangrijpingspunt van de kracht en het dwars- krachtenmiddelpunt [mm].

2. Discretiserinq

De constructie wordt nu in elementen verdeeld, zb dat plaatsen waar uitwen- dige belastingen aangrijpen of kinematische randvoorwaarden gelden samenval- len met elementknooppunten. Per element worden de grootheden w(x), v(x) en

a ( x ) door een derdegraads-polynoom benaderd, terwijl het inwendig moment li-

neair wordt aangenomen. We zullen eerst onderzoeken op welke manier de po- tentiële energie-uitdrukkingen hierdoor gediscretiseerd worden en daarna de oplosprocedure verder uitwerken.

Beschouw een element met lengte le en

E:=

x/le als een dimensieloze parame- ter. Definieer de vectoren

T

w

:=

(wl

u;

w w;>

5 2 I

v

T := (v,

_{v; v2}

_vi)

z I 6 o(z I T dr Hl 4

..

- x a := (a1 a; a2 ai) 2 3 2 3 2 3 2 3

ET:=

..

(1-3E +2E 1,(€-2€

+E

1, 3€ -2E I le(-€

+E

1 )

-5- Verder geldt:

w'(x)

dx

= -

-

en =

-

wT

!?

,2 5

..

I e e e'f xO+le le

zodat J' 1/2EI w'I2dx = f 1/2Ei w''2dx = 1/2w

T - Y J ' t f

d F . o w =

Y 5 3

o " "

le O Y O X T EI le =: 1/2wT e e A

w

=: 1/2w Kw 5 ," 5 5 (2.1)

Op analoge wijze worden de volgende termen gediscretiseerd:

T

*

AV =: 1/2v A1v f 1 / 2 E I ~ ~ " ~ d x = 1/2v

7

*

f {

f

dE e

v

."

=: 1/2vT

-

" 3 5 5 5 xO le xû+le T E 1 ~ o e T le O " "

-6- zodat 2(Ml+M2) 1 1

f

ERTdE

*

v

+

2M1

1

T

'ot1,

f

(Mal'v'dx = -1/2aT*-*J

ftTaF.

e v t 1/2a b

X c

O * le

o

--

..

c I

e

o

--

T T T

=: -1/2a B2v t 1/2a C1v t 1/2a D1v

- 5

..,

z ' * . "

en analoog

T T T

'ûtle

f

C(Ma)'a'dx = -1/2a .., cB2a 5 t 1/2a C cC1a

..,

t 1/2a ." cD1a c O

X

(2.5)

De matrices A, B en C zijn symmetrisch op grond van hun definitie, terwijl de matrix D bijna antimetrisch blijkt te zijn. Van dit laatste feit maken we gebruik om in (2.6) B 1 te vervangen door (D1tD1)/2, omdat in dit geval bij het variatieproces alleen het symmetrisch deel van D1 van belang is, dus

T

T

Xûtfe

f c(Mol)'a'dx = -1/2a cB2a t

C 5

O

X

Als de vector u gedefinieerd wordt

c als u T := (vl vi _{a l ai}

_v2

_vi

_a2 ai)

-

(2.71

-7-

2 T T T

'ot1,

xO

f [1/2EIZ~"2 t 1/2Efaaa2 t 1/2GSta' ldx = 1/2v A1v @ 1/2a A2a fB 1/2a B1a

5 . " 5 . . 5 -T z : 1 / 2 ~ INCU 5 5 (2.8) en T T T xOtl€!

f [(Mu)'v' t c(Ma)'a']dx = -1/2a B2y @ 1/2a C1v @ 1/2a DIv @

5 - 5

-

5

O

X

c (

+o:)

a =

-1/2a T c B 2 ~ fB 1/20! T cC1a % 1/2a T

.b 5 5 5

=: 1/20: T Pv fB 1/2a T Qa =: l/2uTGEOu

5 5 . " . I 5 5

waarin GE0 en INC de geometrische en incrementele stijfheidsmatrix worden genoemd.

Met de definities van a ,

v

en u volgt:

c . . 5 a[1] = u[3] a[2] = u[4] a[3] = u[7] a[4] = u[8]

v[l]

= u[1] v[2] = u[2] v[3] = u[5] v[4] = u[6]

-8-

Opdat P de matrix GE0 symmetrisch opvult worden de termen van P gesplitst, bijv. 1/2P[l11] + GEO[1,31 en 1/2P[1,1] -t GEO[3,1] enz. Dit heeft tot gevolg

dat de matrices GE0 en INC op de volgende manier weergegeven kunnen worden.

INC = GE0 = O O O O

1 1

1 1 12 12 22 22 As tB

₁

A2 +BI A2 O Ai3 A; O O Ai3 symmetrisch O O symmetrisch Ai4 A : O O A:4 A:4 l/2Pl1 1/2P2I O O 1/2PI2 1/2P22 O O

Q1

1/2p13 1/2pq4 Q~~ 1 1 2 ~ ~ ~ I / ~ P ~ ~ O O O O 0 O 0 13 13 14 14 23 23 24 24 A2 +BI A2 +BI A2 +BI A2 +BI O O 0 0 33 33 34 34 A2 +BI A2 +BI 44 44 A2 1/2p3I 1/2p4I

I

1 2

I

~1 ~2 ~~ ~ ~

Q'

Q1

Q2 Q2 I / 2

I

~/2p43 ~ ~ I /2p34

I

/2p44 Q33 Q34 Q44

-9-

1

o

--

D = S EcTdE =

De matrices A , B, C en D werden als volgt berekend:

-

-

-1/2 1 p o -le/lO

o

-1/2 -le/10 le/10 le/60 615 le/10 -6/5

1e/10

1

o

--

I

symm. l5 e 6/5

-ll;;O

I

B = J efTdE =

- 1

-le/10 -le/3O

15 e

3/5 le/1O -3/5 0

le/3O 2 -le/10 -le/6O 2

symm. 3/5 0

12/10

e ( 2 . IO) (2.11) (2.12) (2.13) schreven als: K = 12EI Y l3 symm. -12EI 6EI

6 E I Y v 2

l2 l3 l2

4EI -6EI 2EIy

Y 2 1 1 l2 12EI -6EI Y 2 P2 I? 4EI Y 1 (2.14)

h 1 Z E I Z e R 3

-

-

1 2 E I Z R 3 e z 6E I R 2 e 4 E I Z R O O O O R 2 e 2 E I Z e R - 6 E I 2 'e z O O O O G S t 6 E r

- + -

_{l o}

&2 - 6 G S t 1 2 E r - - - R 3 e "e G S t 6 E r

- + -

_{l o}

'2 e 6 G S t

_{+ -}

1 2 E r 'e R 3 O O e e - G S t R e

_{+ -}

2 E r - G S t 6 E r

- - -

'e 10 & 2 30 2GStRe

_{+ -}

4Er 15 R e INC = O O e - 6 E I z 1 2 E I Z e R 2 e R3 symmetrisch O O 4 E I Z e R O O - G S t 6 E r

- - -

l o '2 e R3 5' ' e e 2GSt'e

_{+ -}

4 E r 15 R e ( 2 . 1 5 )

-1

1-

I4 NO c-i u Cu v I O m 4 Cu

u

/o

h 4

I

Cu c 4 -i

z4

+N v 4 u N e Cu e 4 4 I 4 c a, sl O ri al 4 O -i h W 4 N O O O O O O h 4 c m Cu Cu

u

/o

O m O O O I I

-12-

We zullen nu, zonder te veel in details te treden, het oplosproces verder behandelen. De eerste stap daarin bestaat uit het "oplossen" van de moment- verdeling in de balk tengevolge van de, nog onbekende, uitwendige belasting- vector F, die de belastingen op de knooppunten bevat. Daartoe wordt deze vector geschaald met een reële parameter A , zodat de constructie nu belast wordt door AF. Met behulp van de elementmatrices Ke kan een stijfheidsmatrix KEL voor de gehele constructie worden samengesteld, zodat de potentiële

.,

5

energie U als volgt kan

1

O U = J 1/2EI~i'~dx worden uitgedrukt:

-

1 F w (x )

-

1 M W'(X ) = i 0 i i i 0 i i FTii . , * e =: i/2iiT KEL

w

-

A F ~ W

waarin

w

de totale verplaatsingsvector is. Uit 6U = O volgt

*

KEL

w

= A F

., -.

(2.17)

(2.18)

Door nu gebruik te maken van de kinematische randvoorwaarden wordt het stel- sel (2.18) gepermuteerd tot

KLLB w = AFP (2.19)

-P

waaruit de gepermuteerde verplaatsingsvector berekend kan worden. Daar ook

op elementniveau de evenwichtsvergelijking (2.18) geldt in de vorm Kew = Fe en de vector w nu bekend is (als deel van

w

1 ,

kan dus per element de belas-

- . - .

., -.P

T

tingvector Fe := (Dl MI D2 M2) berekend worden, en omdat w en

w

geschaald zijn met de parameter A , zal dit ook gelden voor Fe. Uit deze berekening volgen dus de inwendige momenten per element nl. AM, en AM2.

inwendige momenten een rol spelen in de incrementele stij€heidsmatrix, wordt deze nu bekend verondersteld als A.INC. Met behulp van de elementmatrices GEOe en heINCe kunnen nu voor de totale constructie de matrices GEOB en

-.P 5 -.

-13-

AeINCB worden samengesteld, zodat de potentiële energietoename Us geschreven kan worden als:

2 1

O

IFiAw(x.) =

U2 = J [1/2EIZ~"2

+

1/2GStaa2

+

1/2Era" t (Ma)'v'

+

c(Ma)'u']dx

+

1

= E

1

/2uTINCeu "

+

AI

1

/2uTGEOeu 5 -k A): 1 /2Fiaia: =

e * e " i

= 1/2ÜT(INCB

+

AeGE0B)Ü t htl/2Fiaiai 2

"

" i

(2.20)

waarin Ü de knooppuntsverplaatsingen van de constructie bevat. Variatie van U2 levert

5

6U2 = 6u -T (INCB

+

AeGE0B)Ü

+

A I. Fiaiai6ai

..

5

i

(2.21)

De rotatie ai van de doorsnede ter plaatse xi is echter ook een element van de totale verplaatsingsvector Ü. Er geldt :

5

a _i = Ü[k]; _- k = 4(i-1) t 3

zodat de tweede term van (2.21) herschreven wordt tot

A E F.a.a.áa = A E F.a.Ü[k(i)] 6Ü[k(i)] =: A

(siT

*

Fa e Ü

1 1" i 1 1 1 i i 5

-

5 (2.22) (2.23)

waarin Fa een diagonaalmatrix is met F.a. op de plaats Fa[k,k]. Uit 6U2 = O

volgt nu

1 1

[INCB

+

A(GE0B f Fa)]Ü = O

S . . "

(2.24)

Als nu de kinematische randvoorwaarden in rekening worden gebracht, hetgeen leidt tot een gepermuteerd stelsel, dan volgt A uit de oplossing van het eigenwaaràeprobleem

*

=: A(GEOB)p P

(INCB) = -A(GEOB

+

Fa)

-14-

En met h is nu ook de kritieke belastingvector AF bekend. 5

Tenslotte zij vermeld, i.v.m. de te kiezen oplosprocedure, dat beide ma- trices symmetrisch zijn en dat (INCB) bovendien positief definiet is.

P

3 . Technische details van het rekenprocrramma

De berekening is evenals de theoretische behandeling in twee delen ge- splitst. In het eerste deel wordt een vector FI[1:4*NE] bepaald, die de be- lastingvectoren per element bevat, en in het tweede deel wordt het eigen- waardeprobleem opgelost, ofwel de schalingsfactor SCH berekend. Tijdens het inlezen van de onderdrukte vrijheidsgraden met de procedure VRGR worden de matrices PERM en de LDE gevuld. Als we de volgende verplaatsingsvectoren de-

finiëren: T e

-.

1' w2 '2)

w

:= (wl -. '1 w2 '2 w3 ' 3 WNEtl 'NE+?

w

-T := (wl LDE w := gepermuteerde van -P 5

dan bestaan de verbanden

we[i] = w[4*(e-1) t i] = w [LDE[e,i]]

5 5 -.P

w[i] =

w

[PERM[i]]

5 -P

De gepermiteerde verpláatsingsvector is zo samengesteld dat d ë eerste i%

vrijheidsgraden gevolgd worden door de NS onderdrukte vrijheidsgraden. Ook tussen de belastingvectoren

F = gepermuteerde van _E;

5P 5

geldt het verband ?[i] = F [PERM[i]]

-15-

De procedure BEL leest de belasting vector F

,

waarvan nu dus de eerste

-P

in en verwerkt deze in de NL elementen bekend zijn.

gepermuteerde

Met de procedure MAAKKEL worden de elementstijfheidsmatrices Ke berekend en opgeslagen in het array KEL. Daarna wordt met MAAKKLLB de totale stijfheids- matrix KLLB van de constructie samengesteld. Dit is een symmetrische bandma- trix met bandbreedte 3, en omdat de oplosprocedure voor

w

nl. SPDBSol (zie inf PP-3.5.3 bdz 3 7 ) dit vraagt, wordt van KLLB alleen het linksondergedeelte gebruikt, dus de hoofddiagonaal en 3 co-diagonalen, waar- bij de hoofddiagonaal de laatste kolom van KLLB vult. Schematische weergave:

= KLLB-l 0 AF

-P -P

KLLB

Er geldt KLL[i,j] = KLLB[i,j

-

itm]

en Ke [i,]] + KLL[LDE[e,i], LDE[e,j]]

Na de berekening van

w

wordt door procedure MAAKFI met de nog steeds be- T

waarde Ke de elementbelastingvector Fe = (D M D M

l e

berekend, die opge- slagen wordt in FI[l:4*ME] op de manier Fe[i] E FI[4*(ME-l) i i].

-P

..

1 1 2 2

-

De opzet van het tweede gedeelte is grotendeels analoog aan het hiervoor beschreven deel. Wet VRGR worden de onderdrukte vrijheidsgraden ingelezen en bovendien de matrices PM en LOK gevuld. A l s we de volgende verplaatsingsvec- toren definiëren:

-16- topologie eA u =

(v v' a

a'

v v'

a a') c 1 1 1 1 2 2 2 2 -T U u = gepermuteerde van Ü -P

..,

= (vl

vi

al ai v2 vi a2 ai

v3

vi

. . .

aNEtl

,

5

dan gelden de relaties

ue[i]

-

= Ü[8*(e-1)

+

i] = u [LOK[e,i]]

.r -P ;[i] = u [PM[ill * -P waarbij van u -P derdrukte vrijheidsgraden.

weer de eerste NL vrijheidsgraden gevolgd worden door NS on-

De elementmatrices INCe en GEOe worden opgesteld m.b.v. de procedures IUIAAKINC en MAAKGEO, terwijl de matrices voor de gehele constructie (INCB) en (GEOB) m.b.v. de procedures MAAKINCB en MAAKGEOB worden samengesteld op

P

de manier INCe[i,J] + (INCB) [lOK[e,i], LOK[e,i]-LOK[e,J]]. Dit zijn beiden

bandmatrices met bandbreedte 7 waarbij de hoofddiagonaal nu de eerste kolom van de gepermuteerde matrix vult. Schematisch weergegeven:

P

P

Er geldt INCL[i,j] = (INCB) [i,]-i].

-17-

Bij de matrix (GEOB) wordt tenslotte nog gevoegd de bijdrage van de uitwen- dige belasting. De bijdrage van het ie knooppunt a.F. f AA[i]

*

F[PERM[2*(i-

1 ) t 1 1 1 moet opgeteld worden bij GEOBL[4

*

(i-1) t 3, 4

*

(i-1) t 31, dus bij (GEOBlp [O, PM[4

*

(i-1)

+

311.

slotte het algemene eigenwaardeprobleem Ax = ABx opgelost, waarin A en B symmetrische bandmatrices zijn en B positief definiet is. In onze situatie betekent dit dat A

P

1 1

Met de procedure BANDEIGENVALUEl (zie inf. pp-3.6.2 bdz 6) wordt ten-

-" -,

*

opgelost wordt uit

*

*

(GEOB) = A (INCB)p.

P

1

A

De in (2.25) gebruikte A i s dan beschikbaar als 7 = A =: SCH.

4. Invoervolaorde

Wet programma RIP betrekt zijn invoergegevens van de datafile IN. De eerste twee gegevens worden ingelezen als:

100 NE, TEST,

waarin NE het aantal elementen en TEST het getal

1

of O is om aan te geven dat wel of geen extra uitvoer gewenst is. In dit en nog volgende voorbeelden worden regelnummers gebruikt, die als getal niet interessant zijn, maar al- leen nut hebben om de scheiding in records aan te geven.

Een aanzienlijk deel van IN wordt in beslag genomen door de fysische en geometrische eigenschappen van de elementen die door het programma met de procedure LEESDATA worden gelezen. Deze procedure behoeft minimale invoer als een eigenschap voor alle elementen dezelfde waarde bezit, hetgeen veelal het geval zal zijn. Dan wordt die eigenschap ingevoerd als:

600 NE, : totaal aantal elementen. 700 EIG, : de betreffende eigenschap.

Als een eigenschap niet voor elk element dezelfde waarde bezit, dan moet de eigenschap per element worden ingevoerd als:

600 O,

700 EIGI, EIG2,

...,

EIGNE,

De onderdrukte vrijheidsgraden worden met de procedure VRGR ingelezen als :

-18-

800 NS, : aantal onderdrukte vrijheidsgraden.

NI knooppuntnummer

VI nummer van de vrijheidsgraad

900 Nl,Vl,

1000 N2,V2,

.

NNS,VNS,

Tenslotte wordt de belasting ingelezen met de procedure BEL als:

1100 NS, : aantal voorgeschreven belastingen

1200 Nl,VI,Fl

1300 N2,V2,F2 NI knooppuntnummer

: VI nummer van de vrijheidsgraad

FI waarde van de belastingcomponent

.

NNS,VNS,FNS,

Aan de hand van onderstaand voorbeeld zal de invoervolgorde worden verduide- lijkt.

Een opgelegde balk met 1 = 100 wordt belast door een constant moment M. op-

gelegd betekent hier: WfO) = w(1) =

o

v(0) = a ( 0 ) =

o

v(1) = a(l) = O

De balk wordt in 10 gelijke elementen verdeeld, die gekenmerkt worden door de volgende eigenschappen (waarvan de benaming tussen haakjes de array-naam in het programma aanduidt).

Iy(IY) = ? E(ELMû) = 50

-19- le = (ELL) c ( 1 C ) =

o

a(AA) = O I p ) = 1 G(GL) = 12 r(GA) = O St(ST) = 4 De invoerfile IN 100 10,0, = 10 5

heeft voor dit probleem de volgende vorm: NE

,

TEST

,

200 10, 300 1, 400 10, 500 50, 600 10, 700 10, 800 2,

1

le

7

X u m H E a: E m p: onderdrukte vrijheidsgraden m.b.v. VRGR O p: w O >

z

900 1,1, 1000 11,1, 1100 2, 1200 1,2,-1, 1300 11,2,1, 1400 10, 1500 O, belasting m.b.v. BEL H

I

1600 11, 1700 O, 1800 10, 1900 1, 2000 10, 2100 12.5, 2200 10, 2300 O, 2400 10, 2500 4 , 2600 4 , 2700 1,1, 2800 1,3, 2900 11,1, 3000 11,3,

l a

i

Iz

i G

m.b.v. LEESDATA onderdrukte vrijheidsgraden m.b.v. VRGR

I

-20-

5. Testresultaten

Van de weinige (nog) analytisch door te rekenen problemen zijn de vol- gende twee met het programma onderzocht.

A. De tweezijdig opgelegde balk belast door een constant moment,

waarvan de invoer in het vorige hoofdstuk reeds werd besproken. Met de gege- vens: 1=100 E=50 Iz=l G=12.5 St=4 en r=O volgt (zie dictaat "Stabiliteit en Knik", verg ( 9 . 1 0 ) ) ;

*cr

-

-

'

i

wt

=

5

= 1.570%

Het programma berekent als functie van het aantal elementen:

NE 2 10 20 50

1.5767 1.570% 1.5708 1.570%

B. De eenzijdig ingeklemde balk waarvan in het andere uiteinde de welving

wordt verhinderd en de dwarskracht aangrijpt in het dwarskrachtenmiddelpunt.

r.v.w.: w(0) = w'(0) = O

v(0) = v'(0) = a(0) = O

a'(1) =

o

Met de gegevens: E = l Iz=15 G=0.8 S -4/3 en r=O volgt (zie Koiter

(111,

11;50)).

-21-

- -

4.013

\/EIcst

= 1 . 6 0 5 2

z

l2

-

Het programma berekent als functie van het aantal elementen:

NE 2 1.6208

lo-’

10 1 . 6 0 5 1

lo-’

1 O0 1.6062

lo-’

C . Door in het voorgaande probleem de dwarskracht niet meer in het dwars-

krachtenmiddelpunt te laten aangrijpen ontstaat een iets gewijzigd probleem. Dit probleem is niet analytisch berekend, maar de kritieke dwarskracht zal, naar verwachting, niet veel afwijken van die bij het vorige probleem. In- teressant hierbij is dat kwalitatief de invloed van de plaats waar de dwars- kracht aangrijpt als stabiliserend of d&-stabiliserend onderkend kan worden. Als de afstand a 10 mm bedraagt dan berekent het programma bij een ver- deling in 1 0 0 elementen:

&=

1.663310-’

R’tO

stabiliserend e f f e c t

-22-

Conclusies:

-

Voor zover controleerbaar lijkt het programma correct.

-

Met 10 elementen wordt voldoende nauwkeurigheid bereikt in de onderzochte

gevallen.

**

-

-

x .-.t ii :.i ..' I :. .! 1 ... .. +- x ": 5 m :.t

'G

z U

-! 2z rc .. 2 te m Q M w T -4

-

o gr:

Q

x

L: x M i E 7j w

+

m rl o E -. ei i.: E E.

-

f i-: S T E 3. z -:

-

P

..,

.I

-

-. Y :.

-2-

1 . Het continue model

Van het coördinatensysteem, dat gebruikt wordt om bovenstaande balk te be- schrijven, is de x-as zwaartepuntsas, terwijl de y- en de z-as samenvallen met de hoofdtraagheidsassen. De balk wordt op een aantal discrete plaatsen

xi

belast door een kracht F. en/of een moment M. waardoor buiging in het

xz-

vlak plaats vindt. De kracht is positief gedefinieerd in positieve z-rich- ting en het uitwendig moment evenals het inwendig moment op een doorsnede met buitennormaal in positieve x-richting wordt positief gedefinieerd a l a de

1 1

momentvector in negatieve y-richting wijst. Voor de balkdoorsnede geldt

I

>>

Iz zodat bij zekere belasting het kip-fenomeen kan optreden. De

belasting waarbij kip optreedt wordt de kritieke belasting genoemd, en de berekening daarvan vormt het onderwerp van deze beschrijving en van het daarop gebaseerde rekenprogramma.

Het probleem wordt nu a l s volgt m.b.v. potentiële energie-formuleringen op-

gesteld. Een verplaatsingsveld yO(x) is nodig om de balk van rusttoestand (onbelast) over te voeren in de referentietoestand (belast). De daarmee ge- paard gaande uitdrukking voor de potentiële energie wordt aangegeven met U.

In de referentietoestand wordt een additioneel verplaatsingsveld u(x) toege- voegd om een naastliggende evenwichtstoestand op te sporen. Dit gaat gepaard

Y

-"

-4- 2 Ji(y,z) : welvingsfunctie [mm

1.

4 : oppervlaktetraagheidsmomenten [mm

1.

Iy' IZ 2 E : elasticiteitsmodulus [N/mm

1.

G St

r

C zD a 2 : glijdingsmodulus [N/mm

1.

: torsie-integraal: j {(Ji -z) 2

+

( J i l ,

+

y) 2 IdA [mm4].

A 21y 6

: welvingsintegraal: Ji (y,z)dA [mm I .

2 2

A

: oppervlakte-integraal:

z

-

1

z(y +z )dA/21y [mm].

D A

: z-waarde van het dwarskrachtenmiddelpunt [mml.

: afstand tussen het aangrijpingspunt van de kracht en het dwars- krachtenmiddelpunt [mm].

2. Discretiserinq

De constructie wordt nu in elementen verdeeld, zb dat plaatsen waar uitwen- dige belastingen aangrijpen of kinematische randvoorwaarden gelden samenval- len met elementknooppunten. Per element worden de grootheden w(x1,

v(x)

en

a(x) door een derdegraads-polynoom benaderd, terwijl het inwendig moment li-

neair wordt aangenomen. We zullen eerst onderzoeken op welke manier de po- tentiële energie-uitdrukkingen hierdoor gediscretiseerd worden en daarna de oplosprocedure verder uitwerken.

Beschouw een element met lengte le en

E:=

x/le als een dimensieloze parame- ter. Definieer de vectoren

T w :=

(wl w;

w2

wil

5 T

v

:= (VI v;

v2

vi)

z T a r" := (a,

"i

a2 "1 T 2 2 3 2 3 2 3

E := 11-3E + 2 E 3 1 le(E-2E

+E

1 ;

3E -2E i le(-€

+E

1 )

Bij een derdegraads benadering kunnen we

w(E)

uitdrukken in

w

en

E

als

a, 4 mm u I

$12

4J o N H w .A I N m a,

;

jN,"

o mdv3 I -10- I I

+

+

O O O O k 4

E

Im4'

I I O O

+

O O O m4

EN/,

a, 4 O O

+

+

O O

+

O I' a, (u4 4 I I

-1

1-

I h 4

I

r:" mo -m al d U Cu z" Cu x 4 4 I r: 4 h

ICu

a, d O 4 O Cu I h 4

I

zCu m v a, 4 I

-

O O O O O O m O 4 O m 40 r: 14 I I Cu E v a, 4 Cu Cu

5

IC:

O O Cu h 4 v U Cu O I I

-15-

De procedure BEL leest de belasting in en verwerkt deze in de gepermuteerde vector F

,

waarvan nu dus de eerste NL elementen bekend zijn.

Met de procedure MAAKKEL worden de elementstijfheidsmatrices Ke berekend en opgeslagen in het array KEL. Daarna wordt met MAAKKLLB de totale stijfheids- matrix KLLB van de constructie samengesteld. Dit is een symmetrische bandma- trix met bandbreedte 3 , en omdat de oplosprocedure voor w = KLLB-I e AF

nl. SPDBSol (zie inf PP-3.5.3 bdz 37) dit vraagt, wordt van KLLB alleen het linksondergedeelte gebruikt, dus de hoofddiagonaal en 3 co-diagonalen, waar- bij de hoofddiagonaal de laatste kolom van KLLB vult. Schematische weergave:

-P

-P -P

O / 2 3

t

Er geldt KLL[i,j] = KLLB[i,j

-

itm]

Na de berekening van w wordt door procedure MAAKFI met de nog steeds be- T

waarde He de elementbelastingvector Fe = (D M D M

l e

berekend, die opge- slagen wordt in FI[l:4*NE] op de manier Fe[i] E F1[4*(NE-l)

+

i].

-P

-.

1 1 2 2

..

De opzet van het tweede gedeelte is grotendeels analoog aan het hiervoor beschreven deel. Met VRGR worden de onderdrukte vrijheidsgraden ingelezen en bovendien de matrices PM en LOK gevuld. Als we de volgende verplaatsingsvec- toren definiëren:

-16-

T

ue =

(v v'

a: a l

v v'

topologie

c I 1 1 1 2 2 a 2 a S )

UT

-

-

(vi vi ct,

ai

v2 vi ct2 a i

v3 vj

. . .

aNEtl

,

aiEt1

4

u = gepermuteerde van Ü

4P 4

dan gelden de relaties

ue[i] = Ü[8*(e-l)

+

i] = u [LOK[e,i]]

4 5 -P

waarbij van u -P

derdrukte vrijheidsgraden.

weer de eerste NL vrijheidsgraden gevolgd worden door NS on-

De elementmatrices INCe en GEOe worden opgesteld m. b.v. de procedures NAAKINC en MAAKGEO, terwijl de matrices voor de gehele constructie (INCB) P samengesteld op Dit zijn beiden de eerste kolom

en (GEOB) m.b.v. de procedures MAAKINCB en MAAKGEOB worden

de manier INCe[i,j] -t (INCB) [lOK[e,i], LOK[e,il-LOK[e,Jl].

bandmatrices met bandbreedte 7 waarbij de hoofddiagonaal nu van de gepermuteerde matrix vult. Schematisch weergegeven:

P

P

-21-

- - _{4.013 = 1.6052 IO-’}

l2

-

Het programma berekent als functie van het aantal elementen:

NE 2 10 1 00

1.6208 IO-’ 1.6051 IO-’ 1.6062 IO-’

C . Door in het voorgaande probleem de dwarskracht niet meer in het dwars-

krachtenmiddelpunt te laten aangrijpen ontstaat een iets gewijzigd probleem. Dit probleem is niet analytisch berekend, maar de kritieke dwarskracht zal, naar verwachting, niet veel afwijken van die bij het vorige probleem. In- teressant hierbij is dat kwalitatief de invloed van de plaats waar de dwars- kracht aangrijpt als stabiliserend of dk-stabiliserend onderkend kan worden. Als de afstand a 10 mm bedraagt dan berekent het programma bij een ver-

deling in 100 elementen: 6 6 3 3 & =- -5

3

T -

-5

I

Fc = 1.539910 ~ ~ ~~~ dé-stabiliserend effect

-19- le = (ELL) = 10 c(IC) =

o

a(AA) = O I p z ) = 1 G(GL) = 12.5 f(GA) = O St(ST) = 4

De invoerfile IN heeft voor dit probleem de volgende vorm: 100 IOIO, NE, TEST

,

z w w cil m.b.v. LEESDATA m

2

PI

1

IY

i”

200 IO, 300 1 , 400 10, 500 50, - m u u1 H E-i A E rn p: 600 IO, 700 IO, 800 2, 900 1 ‘ 1 , onderdrukte vrijheidsgraden m.b.v. VRGR O 1000 11,1, 1100 2, 1200 1,2,-I, p: w O 3 2 belasting m.b.v. BEL H

I

1300 11,2,1, 1400 IO, 1500 O,

i’

1

IZ

I G

i‘

i

St

i

1600 1 1 , 1700 O, 1800 IO, 1900 1 , 2000 IO, 2200 IO, 2300

o,

2400 10, 2500 4, 2600 4, 2700 l , l , 2100 12.5, I m.b.v. LEES DATA 2800 1,3, 2900 11,1, 3000 11,3, onderdrukte vrijheidsgraden m.b.v. VRGR

w

2

w cil a pi I

3

A A 3

8

::

w P C

c

Y p: b