Slides

Discreet en dynamisch

Johan Deprez

T3-symposium, Oostende aug. 2005

Kennismaking

economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde en statistiek in de kandidaturen/Bachelor academische lerarenopleiding wiskunde academische lerarenopleiding wiskunde

stuurgroep T3 _{redactie tijdschrift}

Overzicht

•

_{Met andere ogen kijken naar een klassieker ..}

.

•

_{Medicijnspiegel}

•

Lineaire recursievergelijkingen van ...

•

_{Evolutie van de bevolking van de VS}

•

_{Logistische groei}

Met andere ogen kijken naar

een klassieker …

Voor de aanleg van een brug over een spoorweg moet zand aangevoerd worden. Op de plaats waar het zand gewonnen wordt, is er een kleine vijver van 900 m2_{, die door de}

graafwerken vergroot wordt. Men wil er een grote vijver van

maken die dienst zal doen voor waterrecreatie. Elke week wordt de vijver 150 m2 _{groter. Bij het begin van de werken merkt een}

arbeider van de graaffirma op dat een bepaalde algensoort 8 m2

van de oppervlakte van de vijver inneemt. Tijdens de volgende weken blijkt deze oppervlakte elke week met een kwart (van de oppervlakte die op dat ogenblik reeds ingenomen is) toe te

nemen. De arbeider maakt zich ongerust en merkt op dat hier iets aan gedaan moet worden. De vijver zal anders vlug volledig volgegroeid zijn met algen. Maar zijn baas ziet voorlopig geen gevaar: "De vijver wordt toch elke week 150 m2 _groter."

Met andere ogen kijken naar een

klassieker …: klassiek

groei (opp. van de) vijver:

• begin: 900 (m

2

)

• elke week: +150 (m

2

)

lineaire groei:

V



900



150

t

t = tijd (in weken)

tijd als

continue

veranderlijke: alle waarden van t zijn

bruikbaar

• realistisch? (elke dag, elk uur, ... even veel?)

• in overeenstemming met gegevens?

Met andere ogen kijken naar een

klassieker …: discreet

groei (opp. van de) vijver:

• begin: 900 (m

2

)

• elke week: +150 (m

2

)

lineaire groei:

V

_n



900



n



150

n = tijd (in weken)

tijd als

discrete

veranderlijke: alleen gehele waarden

van n worden gebruikt

(rekenkundige rij)

900

0



V

150

1





_n n

V

V

recursievergelijking met

beginvoorwaarde

rij (beschreven door formule

voor algemene term)

Met andere ogen kijken naar een

klassieker …: wiskundig model

groei (opp. van de) vijver: • begin: 900 (m2₎

• elke week: +150 (m2)

geeft deze rij een volledig

realistische beschrijving?

150 900    n V_n

neen!

• “mooie” (eenvoudige) rij die ...

• ... de realiteit benaderend

weergeeft

Met andere ogen kijken naar een

klassieker ...

groei (opp. ingenomen door) algen:

• begin: 8 (m

2

)

• elke week: +25% of 1.25

exponentiële groei:

_A

_n



₈



₁

_.

₂₅

n

(continu:

(meetkundige rij)

8

0



A

25

.

1

1





_n n

A

A

recursievergelijking met

beginvoorwaarde

rij (beschreven door formule

voor algemene term)

t

Met andere ogen kijken naar een

klassieker ...

discreet:

• tijd als discrete (i.p.v. continue) grootheid: tijd neemt alleen natuurlijke getallen als waarden aan

• werken met rijen i.p.v. functies dynamisch:

• focussen op veranderingsproces, nl. verband tussen opeenvolgende termen van de rij ...

• geformaliseerd door een recursievergelijking (of

differentievergelijking): een vergelijking met een rij als

onbekende en waarin een verband gegeven wordt tussen een term van de rij en een of meer voorgaande termen

Met andere ogen kijken naar een

klassieker …: differentievergelijking

groei (opp. ingenomen door) algen:

• begin: 8 (m

2

)

• elke week: +25% of 1.25

exponentiële groei:

_A

_n



₈



₁

_.

₂₅

n

(continu:

(meetkundige rij)

8

0



A

n n

A

A







0

.

25

differentievergelijking

met beginvoorwaarde

rij (beschreven door formule

voor algemene term)

t

Met andere ogen kijken naar een

klassieker ...: groeisnelheid

n n

A

A







0

.

25

(absolute) groeisnelheid ...

... is evenredig met

aanwezige hoeveelheid algen

25

.

0





n n

A

A

relatieve groeisnelheid ...

... is constant

ONTHOUD:

exponentiële groei

asa

relatieve groeisnelheid

constant

Discrete wiskunde in de leerplannen

• leerplan VVKSO 3de graad ASO - 6u:

– “De leerlingen kunnen problemen met betrekking

tot discrete veranderingsprocessen wiskundig

modelleren en oplossen. (DI3)”

– keuze-onderwerp iteratie

– vrije ruimte

• discrete veranderingsprocessen/iteratie ook

toegankelijk voor andere richtingen in ASO en TSO

van vrij onderwijs via keuze-onderwerpen

• gemeenschapsonderwijs: zou passen bij de

facultatieve uitbreiding

Met andere ogen kijken naar een

klassieker …: een technische kwestie

geeft

n n

A

A

_1



1

.

25



1

25

.

1



_



_n n

A

A

oorspronkelijke recursievergelijking:

equivalente vormen!

(voor alle n ≥ 0)

(voor alle n ≥ 1)

n n n n

A

A

A

A











_1

0

.

25

Medicijnspiegel

elke dag toedienen van een dosis van 1500 mg

in één dag verdwijnt 25% van de hoeveelheid

• begin: 1500 (mg)

• elke dag: eerst 0.75, dan +1500 (mg)

1500

0



H

1500

75

.

0



₁





_n n

H

H

Hoe evolueert de hoeveelheid medicijn in het bloed?

combineren van ‘recursieve bewerkingen’

Medicijnspiegel: basisscherm TI84

• vertraagd ...

• ... stijgend

Medicijnspiegel: vergelijking en tabel

accolades worden door de rekenmachine geplaatst ! u boven [7] n via [X,T,,n] via [MODE] via [Y=] beginterm heeft rangnummer 0 via [2nd] [TBLSET] via [2nd] [TABLE]

Medicijnspiegel: grafiek

• vertraagd ...

• ... stijgend

• met limietwaarde 6000

via [WINDOW] via [GRAPH] via [TRACE]

Medicijnspiegel: alternatieve grafische

voorstelling

via [2nd] [FORMAT]

Medicijnspiegel: alternatieve grafische

voorstelling

1ste bissectrice

1500

75

.

0





x

y

recursievergelijkin g

1500

75

.

0

₁





_n n

H

H

Medicijnspiegel: alternatieve grafische

voorstelling

[TRACE]

(1500,0)

x-coördinaat van de cursor

(1500,2625)

vul 1500 in voor H₀ in

Medicijnspiegel: alternatieve grafische

voorstelling

[pijltje rechts]

y-coördinaat van de cursor

is H₁ vul 1500 in voor x in

1500

75

.

0





x

y

1500

75

.

0

₁





_n n

H

H

(1500,0)

Medicijnspiegel: alternatieve grafische

voorstelling

[pijltje rechts]

H1 wordt m.b.v. de 1ste

bissectrice overgebracht van de y- naar de x-coördinaat (1500,0) (1500,2625) (2625,2625)

vul 2625 in voor H₁ in

Medicijnspiegel: alternatieve grafische

voorstelling

[pijltje rechts]

vul 2625 in voor x in

1500

75

.

0





x

y

1500

75

.

0

₁





_n n

H

H

(1500,0) (1500,2625) (2625,2625) (2625,3468.75)

Medicijnspiegel: alternatieve grafische

voorstelling

enzovoort

SPINNENWEBDIAGRAM opeenvolgende waarden van H: - zie opeenvolgende verticale lijntjes OF - zie opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na)

vertraagd stijgend met limietwaarde 6000: trap die omhoog gaat met

steeds kleinere treden en die

‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten

Medicijnspiegel: limiet en evenwicht

op lange termijn is de

hoeveelheid actieve

stof in het bloed in

evenwicht (?!)

limietwaarde 6000 is

Medicijnspiegel: dynamisch evenwicht

bij evenwicht: 1500 mg verdwijnt uit lichaam

1500 mg wordt toegevoegd

HOEVEELHEID medicijn blijft gelijk, maar het

zijn niet allemaal dezelfde moleculen:

Medicijnspiegel: stabiel evenwicht

Als het systeem eerst in evenwicht is en daarna uit evenwicht gebracht wordt, dan keert het terug naar het evenwicht:

stabiel evenwicht.

Iemand neemt het medicijn al jaren in en vergeet een bepaalde dag het medicijn in te nemen. Wat gebeurt er?

aanvankelijk 6000 mg

medicijn in bloed beginnen met 4500 mg _{medicijn in bloed}

evenwicht wordt hersteld

Medicijnspiegel: evenwicht berekenen,

evenwicht en beginwaarde

evenwicht is het getal E waarvoor E = 0.75E + 1500,

dus E = 6000

beginwaarde komt in deze vergelijking niet voor!

evenwichtswaarde (= waarde op lange termijn) is

onafhankelijk van de beginwaarde!

Medicijnspiegel: evenwicht en

spinnenwebdiagram

snijpunt van de twee rechten geeft evenwichtswaarde

limietwaarde 6000:

trap ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten

Medicijnspiegel: evenwichtswaarde

als vast punt

recursievergelijking:

rechte uit spinnenwebdiagram:

eerstegraadsfunctie:

1500

75

.

0



₁





_n n

H

H

1500

75

.

0





x

y

1500

75

.

0

)

(

x



x



f

berekening evenwichtswaarde:

f

(

x

)



x

evenwichtswaarde is een

vast punt van de functie f

(dus:

H

1



f

(

H

0

)

H

2



f

(

f

(

H

0

))

H

3



f

(

f

(

f

(

H

0

)))

...)

expl. vgl. overslaan

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking

1500 75 . 0 ₀ 1   H  H 1500 0  H 1500 ) 1 75 . 0 ( 75 . 0 1500 ) 1500 75 . 0 ( 75 . 0 1500 75 . 0 0 2 0 1 2              H H H H 1500 ) 1 75 . 0 75 . 0 ( 75 . 0 1500 ) 1500 ) 1 75 . 0 ( 75 . 0 ( 75 . 0 1500 75 . 0 2 0 3 0 2 2 3                 H H H H ... 1500 ) 1 75 . 0 ... 75 . 0 75 . 0 ( 75 . 0  ₀  1  2      n n n n H H

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking

1500 ) 1 75 . 0 ... 75 . 0 75 . 0 ( 75 . 0  ₀  1  2      n n n n H H

partieelsom van een meetkundige rij met reden 0.75

1500 75 . 0 1 75 . 0 1 75 . 0 ₀       n n n H H 6000 ) 75 . 0 1 ( 75 . 0  ₀     n n n H H 6000 75 . 0 ) 6000 ( ₀     n n H H 6000 75 . 0 4500    n n H H0 1500

Medicijnspiegel: verklaring voor het

verloop

vertraagd dalende MR met limietwaarde 0

6000

75

.

0

4500









n n

H

grafiek over 6000 eenheden verschuiven naar boven grafiek spiegelen t.o.v. horizontale as en uitrekken met factor 4500

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking

en evenwicht

1500

75

.

0



₁





_n n

H

H

E



0

.

75



E



1500

)

(

75

.

0

H

₁

E

E

H

_n







_n



H

_n

– E is meetkundige rij met reden 0.75

n n

E

C

H







0

.

75

E = 6000 via begin-voorwaarde: C = -4500

_

_

₄₅₀₀

_

₀

_.

₇₅

n

_

₆₀₀₀

n

H

Lineaire recursievergelijkingen van de eerste

orde met constante coëfficiënten en constant

rechterlid

b

t

a

t

_n





_n1



recursievergelijkingen van de vorm

(a en b getallen)

mogelijkheden verkennen m.b.v.

spinnenwebdiagrammen

Lineaire recursievergelijkingen van de eerste

orde met constante coëfficiënten en constant

rechterlid

belangrijke punten i.v.m. verloop / limiet en

evenwicht:

• niet alleen stijgen en dalen maar ook ‘schommelen’

• er is niet altijd een (eindige) limietwaarde

• ook als er geen limietwaarde is, is er in de meeste

gevallen een evenwichtswaarde; het evenwicht is

dan labiel

Evolutie van de bevolking van de VS

(vrij naar Pearl en Reed, 1920)

tijd jaar bevolking tijd jaar bevolking 0 1790 3 929 214 7 1860 31 443 321 1 1800 5 308 483 8 1870 38 558 371 2 1810 7 239 881 9 1880 50 189 209 3 1820 9 638 453 10 1890 62 979 766 4 1830 12 866 020 11 1900 76 212 168 5 1840 17 069 453 12 1910 92 228 496 6 1850 23 191 876

Evolutie van de bevolking van de VS:

exponentiële groei?

Evolutie van de bevolking van de VS:

exponentiële groei?

exponentiële model relatieve afwijkingen tussen de realiteit en het exponentiële model

relatief grote en

systematische afwijkingen!

Evolutie van de bevolking van de VS:

exponentiële groei?

ONTHOUD:

exponentiële groei

asa

relatieve groeisnelheid

constant

relatieve groeisnelheid is

hier dus NIET constant!

relatieve groeisnelheid in

1790 is groter dan in 1910

Evolutie van de bevolking van de VS:

hoe verandert relatieve groeisnelheid?

n n n n n

p

p

p

p

p







_1

laatste element uit

LP weglaten

verticaal: relatieve groeisnelheid horizontaal: populatiegrootte (NIET de tijd!)

Evolutie van de bevolking van de VS:

hoe verandert relatieve groeisnelheid?

dalend lineair verband tussen relatieve groeisnelheid en populatie a en b via [VARS], 5:Statistics ONTHOUD: a is zeer klein

Evolutie van de bevolking van de VS:

recursievergelijking

b

ap

p

p

n n n

_

_



n n n

ap

b

p

p

_1



2



(

1



)

1 2 1

(

1

)

 







_{n n} n

ap

b

p

p

niet-lineaire recursievergelijking van de eerste orde

214

929

3

0



p

bevolking in 1790

Evolutie van de bevolking van de VS:

logistische model

Evolutie van de bevolking van de VS:

logistische model

logistische model relatieve afwijkingen tussen de realiteit en het logistische model

relatief kleine afwijkingen

zonder systematiek

Evolutie van de bevolking van de VS:

evolutie na 1910

na 1950 is de ‘maximale draagkracht’ sterk toegenomen door efficiëntere landbouw, industrie, ... 

oorspronkelijke model niet meer geldig zeer goede overeenkomst tot 1950 model voorspelt stabilisatie rond 166 mio (= ‘maximale draagkracht van de omgeving’) in realiteit stijgt de bevolking nog sterk (in

Logistische groei

geen expliciet voorschrift bekend (in discrete geval!)

verloop onderzoeken:

• vaststellingen op basis van berekeningen met

rekenmachine

Logistische groei

eerst versneld stijgen daarna vertraagd stijgen op lange termijn stabilisatie

‘groei met grenzen’

beginfaze overslaan

Logistische groei: beginfaze

1 2 1

(

1

)

 







_{n n} n

ap

b

p

p

ONTHOUD: a is zeer klein 1

)

1

(



_



_n n

b

p

p

als p

_{n - 1}

relatief klein is, dan geldt:

in het begin bij benadering exponentiële groei met

Logistische groei: beginfaze

logistische groei

werkelijke groei exponentiële groei

na verloop van tijd zorgt de kwadratische term voor het afremmen van de groei

Logistische groei: limietwaarde

n n n

ap

bp

p







2 1 2 1

(

1

)

 







_{n n} n

ap

b

p

p

0





p

_n 2

_

_

₀

n n

bp

ap

als

d.w.z.

a

b

p

_n





x

b

ax

y



2



(

1



)

Logistische groei:

spinnenweb-diagram, evenwichtswaarden

gebaseerd op eerste bissectrice en

1 2 1 (1 )      _{n n} n ap b p p twee snijpunten, d.w.z. twee evenwichtswaarden twee snijpunten, d.w.z. twee evenwichtswaarden, nl. 0 en L

Logistische groei:

spinnenweb-diagram, evenwichtswaarden

parabool  raaklijn aan de parabool in (0,0), rico 1 + b > 1 parabool

 raaklijn aan de parabool in snijpunt met eerste bissectrice, rico 1 - b < 1

0 is een labiel evenwicht

L is een stabiel evenwicht

Logistische recursievergelijking: rol

van de parameters

parameter a speelt geen essentiële rol:

door over te gaan op andere eenheden, kunnen we er voor zorgen dat maximale draagkracht –b/a = 1, d.w.z. a = –b; recursievergelijking wordt: 1 2 1

(

1

)

 







_{n n} n

ap

b

p

p

1 2 1

(

1

)

 









_{n n} n

bp

b

p

p

(b > 0) evenwichtswaarden worden 0 en 1

raaklijn in (0,0) heeft rico 1 + b > 1: labiel evenwicht raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b _{welk soort}

Logistische recursievergelijking: welk

soort evenwicht in 1?

raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b

geval 0 < b  1: 0  rico raaklijn < 1

1 is een stabiel evenwicht snijpunt valt vóór de top van de parabool welk soort evenwicht?

Logistische recursievergelijking: welk

soort evenwicht in 1?

raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b

welk soort evenwicht?

geval 1 < b < 2: -1 < rico raaklijn < 0

‘einde’: gedempt schommelend verloop (bevolking komt soms boven de

maximale draagkracht en vermindert dan) snijpunt valt voorbij de top 1 is een stabiel evenwicht

vb. b = 1.75

welk soort evenwicht?

Logistische recursievergelijking: welk

soort evenwicht in 1?

raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b

geval 2 < b: rico raaklijn < -1, vb. b = 2.25

raaklijn niet geschikt om

limietgedrag te onderzoeken!

labiel evenwicht, 1 is een

afstotend vast punt

als p

_n

in omgeving van 1

komt, ligt p

_n-1

verder van 1

als p

_n

te ver van 1 komt, is

raaklijn niet meer bruikbaar

Logistische recursievergelijking:

asymptotisch gedrag als b = 2.25

2 waarden komen (bij benadering) steeds terug: 2 ophopingspunten, rij komt terecht in een 2-cykel

... 71 . 0 13  t

Logistische recursievergelijking:

asymptotisch gedrag als b = 2.25

... 71 . 0 11  t ... ... 0 v v₁

)

(

_1



_n n

f

t

t



f

(

f

(

t

_n2

))

))

(

(

)

(

2

x

f

f

x

f



)

(

₁ 2 



_n n

f

v

v

)

(

₁ 2 



_n n

f

w

w

... 17 . 1 12  t t₁₄ 1.17... t₁₅  0.71... t₁₆ 1.17... ... 17 . 1 12  t t₁₄ 1.17... t₁₆ 1.17... 2 v 0 w w₁ w₂ f₂ de ophopingspunten zijn vaste punten van f₂

Logistische recursievergelijking:

asymptotisch gedrag als b > 2

b (tussen 1.625 en 2.85) ophopingspunten (= ‘limietwaarden’ van de rij) b = 1.75 limiet 1 b = 2.25 twee ophopingspunten vier .. . b = 2.5 b > 2.692... : chaos

Verwant materiaal

J.D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004, zie www.uitwiskeling.be

C. Biront, J.D., Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998

J.D., Discrete dynamische systemen, workshop op T3-symposium 2004, zie www.ua.ac.be/johan.deprez

J.D., Dirk Janssens, Discrete dynamische systemen:

wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices, zie http://home.scarlet.be/~p1925850/vliebergh_april_2005 J.D., Rijen en differentievergelijkingen, nascholing