Geparametriseerde functionele relaties

Citation for published version (APA):

Linssen, H. N., & Hillegers, L. T. M. E. (1984). Geparametriseerde functionele relaties. (Memorandum COSOR; Vol. 8409). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1984

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Onderafdeling der Wiskunde en Informatica

Memorandum COSOR 84-09

~~~~

CCIV.:IQ

ASYMPTOTISCHE VERDELINGEN IN GEPARAMETRISEERDE FUNCTIONELE RELATIES

door H.N. Linssen L.T.M.E. Hillegers

O. Inhoud 1 2 3 4 5 6 7 , 8 9 Inleidinq Probleemstellinq Schattingsvergelijkinqen

Ret differentieren van matrixfuncties

De constructie van schattingsvergelijkingen

Asymptotische verdeling

Normale waarneminqsfouten

Nog twee speciale gevallen .1 Niet-normale fouten . 2 Rerhalingen. Referenties 2 3 6 9 12 15 17 17 19 23

door

H.N. Linssen L.T.M.E. Hillegers

1. Inleiding

De asymptotische theorie van parameterschatters in functionele relaties is slechts zeer ten dele bekend. Een aantal auteurs [o.a. 2, 4, 6] geven een schatter voor de covariantiematrix die gebaseerd is op de (onjuiste) ver-onderstelling dat de inverse van de informatiematrix ook in functionele re-laties een consistente schatter oplevert. Een aantal andere [o.a. 14, 13] geven een consistente schatter maar dan aIleen voor de eenvoudige lineaire functionele relatie. GIeser [7] en Mak [10] behandelen het meer-dimensionale geval. AIle auteurs nemen aan dat de waarnemingsfouten normaal verdeeld zijn en dat de covariantie-matrix bekend is (op een schaalfactor na) .

Linssen [9] behandelt ookhet niet-normale geval met bekende covariantie-matrix. Chan en Mak [3] geven consistente schatters in het geval dat de co-variantiematrix geparametriseerd is, maar zwijgen over de asymptotische verdeling ervan.

Indit memorandum wordt veor een grote klasse functionele relaties de asymp-totiek van de schatters afgeleid, waarbij gebruik gemaakt wordt van de theorie van schattingsvergelijkingen, zoals die door Wilks [17] is aangegeven.

Ook omdat de formules dan sterk vereenvoudigen, is normaliteit van de waar-nemingsfouten een belangrijk speciaal geval van de hier behandelde theorie. De f9ut-covariantiematrix kan worden geparametriseerd, hetgeen de asympto-tiek complex maakt, met asymptotische afhankelijkheid van de structurele

.

parameter- en foutparameterschatters.

Voor identificeerbaarheid worden eenvoudige voorwaarden gegeven. Het bleek noodzakelijk een calculus te ontwikkelen voor het differentieren van matrix-functies. Deze is nauw verwant met de door McDonald en Swaminathan [11] ontwikkelde. De calculus van Graham [81 is minder doelmatig doordat de conventies ervan minder toegesneden zijn op het doel van de auteurs.

2. Erobleemstelling

Laat ~l'.•.'~n zogenaamde 'incidentele' parametervectoren voorstellen met afmeting q. Het model dat beschouwd zal gaan worden schrijft voor dat de incidentele parameters in een hypervlak liggen:

B ~i =

a

(i = 1, .•• ,n). (1)

De matrix B is de 'modelmatrix' (afmeting p x q). De elementen van B zijn continu differentieerbare functies van de 'structurele' parametervector 13.

Notatie: B

=

B(f3). Merk op dat de incidentele parameter ~~ in model (1)

~

lineair optreedt.

Het model (1) is geldig voor precies een waarde 13 = 13

0, dezogenaamde 'ware' waarde, die onhekend is. We veronderstellen dat B rijregulier is in 13

=

13

0 en in een open omgeving van

B

O

•

Als B rijregulier is, dan stelt (1) een

af-hankelijk stelsel vergelijkingen voor, dat regulier kan worden gemaakt door een of meer vergelij~ingenweg te laten.

steld met (3) (2) (i

=

l, ...,n) ,

=

~. + e. 1. 1.

r-dimensionale stochastische vector zijn met mathematisch lineair onaf-van de parametervector y (afmeting r). Laat tevens g (xl' ..• ,x iY) een

n n

van schatters, die oplossingen zijn van de schattingsvergelijkingen. Wilks introduceerde het concept 'schattingsvergelijkingen' en leidde de

tonen. In dat doel zullen wij niet geinteresseerd zijn omdat de maximaal

zijn met simultane verdelingsfunctie F(X,yO) met YO een te schatten waarde Laat xl, .•• ,x

n een steekproef van onafhankelijke stochastische vectoren asymptotische efficientie van maximaal aannemelijke schatter(s) aan te

aannemelijke schatter voor de gevallen die wij zullen beschouwen, inconsis-tent zullen blijken te zijn. Onze interesse is in de asymptotische verdeling parametriseert.

waarbij de waarnemingsfouten e. onderling onafhankelijk worden veronder-1.

Het doel van de statistische besluitvorming is nu tot uitspraken te komen waarbij 6

0 de onbekende waarde is van de 'fout-parametervector', die Q

zoals die o.a. door Wilks [17] is ontwikkeld. De ~. 's worden waargenomen volgens:

1.

asymptotische verdeling af van de resulterende schatter(s) met het doe1 de over

So

en 6₀ aan de hand van de waarnemingen xl' ..• 'x_n. De besluitvorming zal gebaseerd worden op de theorie van de reguliere schattingsvergelijkingen,

dan moet gelden:

Yo.E

r

(compact); Y = YO~ JE_y gn (Y)

=

0; JE_{y gn (y)}

=

0 ,

o

waarbij verwachting met betrekking tot F(x,y) is weergegeven met JE •

Y dg_n,i (g ') .. = --:--:..-n l.J dy. J betrekking tot y:

Onder deze voorwaarden geldt de volgende

o

< C_O:= lim Cn(yO) •

n-+oo

in verdeling, uniform in y, met D begrensd en D

O:= D(YO'YO) regulier.

T

n JE g gn = C (y)

Y n n

Stelling. Als gn(Y

n) = 0 vanaf zekere n dan geldt asymptotisch b) Er bestaat een rij positieve matrices C zodat

n hankelijke componenten g . (j

=

l, . . .,r).

n,J

Als voldaan is aan enkele voorwaarden, die betrekking hebben op

differen-c) Laat g' staan voor de r x r-matrix van eerste orde afgeleiden van g met

n n

tieerbaarheid en op de verwisselbaarheid van differentieren en integreren

a)

(zie Wilks) dan wordt gn een reguliere schattingsfunctie genoemd (schattings-vergelijkirig: gn = 0), mits in'een open omgeving van Y

=

YO voldaan is aan de volgende voorwaarden:

*

=

O(.!..) en dus: n g_n (YO) -+ 0 t

*

g ( y ) -+ 0 • n t

Y

_n -+ YO

(Y

_n is consistent voor yO) . Yo

=

Y

*

Y-_n -+ Y

t

waarbij de je rij van A bestaat uit de afgeleide naar y van de je component van gn' geevalueerd in een punt

y~,

waarvoor geldt

II

Y~

-

YO

II

~

II

Y

n - YO

II.

Uit b) voIgt dan onmiddellijk dat

nit is waar voor aIle verdichtingspunten en daarom:

om

de asymptotische verdeling van

Y

n te bepaIen, maken we gebruik van de Taylor-ontwikkeling:

Omdat g' begrensd is, geIdt: n

Maar ook geldt dat JE

y gn(Y..o)

o

in verdeling. Voor y

1

Yo geldt g (y) -+ a

1

0 en dus

n

t

Bewijs: Y

1,Y2, ••• zodanig dat gn(Yn)

=

0 vanaf zekere n. Qmdat

r

compact is, is er dan een convergente deelrij:

Als A een p x q-matrix is en Been r x s-matrix dan is het Kronecker-product o (4) i = 1, ... ,p; j = 1, ...,q • A0B T

vec (ABC) = (C 0 A) vec B. Er geldt:

Als A een p x q-matrix is dan is vec A de pq-kolomvector die ontstaat als

Enige eigenschappen van het Kronecker-product: A 0 B gedefinieerd als de pr x qs-matrix: Eerst een aantal notaties.

- j

Omdat

Y

n consistent is, is Yn dat ook waaruit, met behulp van c) volgt:

We zullen deze stelling gaan toepassen op ons, met 8 en

e

geparametriseerde, model. Daartoe echter dient er gereedschap beschikbaar te zijn en een

sym-alle kolommen van A in hun natuurlijke volgorde onder elkaar gezet worden. asymptotisch.

N.B. In het algemeen zijn DO en

Co

onbekend, maar kunnen consistent ge-schat worden door g'(y ) en C (y ) •

n n n n

zodat

"bolisme om matrixfuncties te differentieren naar matrices.

( 7) (6) (8) (5)

=

(als A en C 'passen') rijen, kolommen) az aY2 + -aY2 ax ayTA en

ax

= (i j ( dZi ) ax. ) az

=

aYl aAy

=

A ay ax ax ay avec Y ax := a vec X az dX

=

(B 8 A) + (B 8 C)

=

B ~ (A (A ~ B) (C ~ D)

=

AC ~ BD

.2Z

dyi dx := ax. )

Om moeilijkheden te voorkomen zullen we veronderstellen dat de elementen Voor de matrices X en Y definieren we de afgeleide zo:

Als x en y twee rij- of kolomvectoren zijn dan definieren we

van de matrix waarnaar gedifferentieerd wordt, mathematisch onafhankelijk zijn.

Eenvoud~g is in te zien dat

De kettingregel voor matrices is dezelfde als die voor vectoren. De product-regel voor matrices kan rechtstreeks m.b.v. de kettingproduct-regel worden afgeleid. De kettingregel wordt als volgt afgeleid.

(10) (11 ) = p x q; U pq x pq) • p,q UT = U-1 = U

,

. p,q p,q q,p T vee X = U vee X

,

p,q a vee(Y 1Y2) aY1 a vee(Y1Y2) aY2 aY 1

--ax+

aY2

ax

= aAYB - - = ax

= a

«Y~

0 IP)vee Y1) aY1 ₊ a« Iq 0 Y1)vee Y2) _{- =}~Y2 a vee Y 1

ax

a vee Y2 aX T I ) aY 1 _(I q ~ _Y1) aY 2 (Y 2 ~

ax

+

ax

(9) = p = Er geldt: en ook: Er geldt ook:

Het is duidelijk dat ax/ax = I. Definieer de permutatiematrix: Laat Y

1 P rijen hebben en Y2 q kolommen. Dan:

A 0 B

=

U (B 0' A) U . (A P x q B : r x s) ,

p,r s,q

of

U (A 0 B)

=

(B 0 A)U

(14)

(15)

(13)

E;i

=

(I - QG)x

i

Met behulp van Lagrange-multipliers kan de maximaal aannemelijke schatter voor ~. bij gegeven

S

en e worden bepaald:

~

log L(s,e~~lx) =

waarbij B~. = 0 voor aile i.

~

en ze dus consistente en asymptotisch normaal verdeelde schatters opleveren. Bij de constructie zullen we uitgaan van een normale foutverdeling en

inver-incidentele parameter ~

=

(~l'...'~n) wordt gegeven door:

teerbare Q. Naderhand zal blijken dat we de eerste veronderstelling weer

De log-likelihood van de structurele parameter

S,

de foutparameter e en de lijkingen tot stand die schattingen voor S en e kunnen leveren, gegeven differentieren op te lossen. De vraag is nu: hoe komen de schattingsverge-Het is eenvoudig te bewijzen dat

De hier aangereikte afspraken en regels zijn voldoende om problemen bij het

kunnen laten varen en dat de inverteerbaarheid van Q kan worden vervangen door die van BQBT, terwijl toch de schattingsvergelijkingen regulier blijven 5. De constructie van schattingsvergelijkingen

T T -1 met G:= B HB en H:= (BQB )

QG is een (scheve) projectie op de kolomruimte van QBT. Er geldt GnG = G.

Substitutie van (15) en (14) levert de 'gereduceerde' log-likelihood:

De stationaire punten van M volgen uit

~:

=

Kortheidshalve schrijven we:

1 n T

L

x.Gx.

2 i=1 ~ ~

aM

o

en

as

=

O. (16)

.

aB

B:==

as

en

De symmetrie van Q legt beperkingen op aan de parametrisatie; zo kan

e

ten

1

hoogste ~(q+1) elementen bevatten. Er geldt: en: aG (T T T)aH T ~B == B H ~ I)U + (B ~ B - - + (I @ B H) a q p,q

aB

q [(9),(6») [(12),(7)] Analoog:

=

(I + U ) « I - GQ) @ BTH) . q,q q [(12)] -(G @G) [(10) , (13) , (6)]

1 n

= -

I

Xi ~ x~) n , 1 ... ~= T x,x, 1. ~ = aM as en

Dit is in het algemeen ongelijk aan 0, zodat de maximaal aannemelijke Als e

=

eO en

S

=

_So

dan B~.

=

0, waaruit direct voIgt:

~ JE aM = 0 as en JE - =aM_ae --n -1 a loglnl + 2"n vec1 TG n 2 ae

beeld hiervan bij de lineaire functionele relatie.

schatters in het algemeen inconsistent zijn. Zie Solari [lS] voor een

voor-En dus:

n (waarbij vec S := vec

l

I

x n . 1

~=

De consistentie kan worden hersteld door van aM/ae zijn eigen verwachting i

af te trekken. Deze modificatie van de maximum likelihood vergelijkingen

we~d systematisch toegepast door Morton [12] op het gebied van de functio-nele relaties. Als schattingsfuncties worden nu gedefinieerd:

=

sT«r - QG)

~

HB)vec S q x ( 17) ·T 1

~

= B - 1 . . (~~ ~ y~) n . 1 ... ... ~= met y. := HBx. ~ 1.

voor de constructie van een betrouwbaarheidsgebied. Dit gebied bestaat dan

dan getoetst of de 'vector-correlatie-eoefficient' gelijk is aan nul (zie steekproef vormen uit een no.rmale populatie (men spreekt dan van een

'struc-(18) ·T n (G @ G)vec(n - S ) x ?:?vec (G - GS G) x T

=

(I - nG) (~.~. + n)G

=

0 1. J. . ·T

=

n vec(G(n - S )G)

=

x

T lE (I - nG)x.x.G 1. 1. g

.=

_.£(dM _

lE

dM)T

=

e·

n

ae

de

~ en Gx. (i

=

1, ••. ,n) een niet-significant resultaat levert. Er wordt 1.

Als nu ook nog verondersteld wordt dat de ~. 's zelf een onafhankelijke J.

e

=

6

0. Er geldt immers dan:

turele' relatie) dan kan de onafhankelijkheid van

€.

en Gx. gebruikt worden 1. 1.

uit d~ie,waarden van 8 en

e

waarvoor een toets op de onafhankelijkheid van apmerking 1. De grootheden ~i en GX

i zijn ongecorreleerd in 8 = 80 en

want B~.

=

0 en GnG = G • 1.

Anderson [1J). Voor het scalaire geval wordt de methode beschreven door

Creasy [5J en Williams [18J. J

Opmerking 2. Als H = BnBT regulier is, kunnen ge en ge ook functioneren als schattingsfuncties voor singuliere n en niet-normale verdelingen.

Opmerking 3. Chan en Mak [3J geven in een andere notatie de schattingsfunc-ties (17) en (18) voor reguliere n en een speciale keuze van B.

6. ASymptotische verdeling

De asymptotische verdeling van de schatters die oplossing zijn van de schattingsvergelijkingen g8 = 0 en ge

=

0 wordt, onder zekere voorwaarden,

gegeven door de stelling in paragraaf 3. We dienen dan de asymtotisehe· verdeling van g te berekenen in 8

=

8

0 en

8

=

8

0. Voor de asymptotisehe normaliteit van g is de begrensdheid van het 4e moment van x. net niet goed

~ 1.

₌

2. .T 1 n T T T = B ((I - QG) 0 HB)-

L

JE (x.x. 0 x.x.)((I - GQ) 0 B H):B n i=1 ~ ~ ~ ~ n ·T 1 \ ~ ~T T • = B - L lE (;.~. S y.y.)B n i=1 ~ ~ ~ ~ met y. := HBX i . : ~ (19) .T T ·

= -n B ((leI - QG) 0 HB)JE(vee Sxvee Sx) (G 0 G) Q

.T 1 n T T •

=-B (( I - QG) 0 HB) - LJE(x, x. 0 x. x. ) (G 0 G) Q • ( 20)

n '

1 ~~ ~~

~=

.. Dit kan desgewenst worden gesehreven als:

3. n ·T 1 \' ~ T T • -8 - L. JE(C y, 0 y. y.) (B 0 B)Q • n ' 1 ~~ ~~ ~= Gx. ~ (21) (22)

verwisselbaarheid van differentieren en integreren en berekenen eerst EgS(s,e) en Ege(S,e). Daarna differentieren we deze uitdrukkingen en evalueren ze in 9 = 9

0 en 8

=

SO.

·T

=

B «I - nG) ~ HB) vec(s~ + nO)

·T

= B vec (HB(s~ + n

O)( I - Gn» .

En

a

.T

=

ae(B vec(BBS~»

=

B·TaB(HBS~)B

a

.

=

(23)

(24)

Veer de andere component van de schattingsvergelijkingen geldt:

In (8

0,eO) geldt G~i

=

a

voor aIle i en dus

(25)

a

Uit de sterke wetten voor grote aantallen en de consistentie van

a

en

e

volgt onder zekere 'algemene' voorwaarden dat een consistente benadering voor de uitdrukkingen (19), (20) en (23 - 25) gevonden wordt door het

verwachtings--

-teken weg te laten en 13

0 en

a

O te vervangen door B en

a.

S~ wordt consis-tent geschat door S -

n.

x

We hebben dus nu een consistente en een berekenbare uitdrukking voor de co-variantiematrix van de asymptotisch normaal verdeelde

B

en

G •

Deze is gel-dig ook veor niet-normale foutverdelingen. Indien bekend is dat de waar-nemingsfouten normaal verdeeld zijn is verdere vereenvoudiging mogelijk.

7. Normale waarnemingsfouten

Indien de waarnemingsfouten normaal verdeeld zijn, dan zijn ~i en Y

i onaf-hankelijk, want ongecorreleerd. Voor

B

=

B

O

en

n

=

nO

geldt:

en

Substitutie in (19) levert dan:

·T

waarbij ~

=

B

«n - nGn) 0

H)B •

Uit de onafhankelijkheid van ~. en y. en de symmetrie voor de normale

ver-~ ~

deling volgt

T

Het kan worden geverifieerd dat ais e ~ N (O,I) dan:

. p

T T T

JE(ee 0 ee ) = vee I vee I + I + U

p,p waaruit meteen voigt:

T

= vee G vee G + (I +U ) (G 0 G),

q,q

waarbij Zi = GX

i zodat

De iaatste stap voigt uit ( 11) en de symmetrie van Q.

De asymptotisehe eovariantiematrix van

Iii"

[~ ~

eo]

wordt nu gegeven door: e - e

0

[:ee Deerree+A

a ]

rDee

r

D se

=

Dee. 0 _2Dee

lo

Dee

[ -1 -1 T -1 -1 -1 ) = DSS(I + (A + 2DseDeeDse)Dss) -2D D D

J

. 5B se ee (26) -1 T- -1 -1 - 2DeeDseDS13 2Dee

De derde term in de uitdrukking voor de asymptotisehe eovariantiematrix van

In(a -

SO) is een bijdrage ten gevoige van de asymptotisehe afhankeiijkheid van

e

en

S.

Als D

Be =

a

dan zijn

6

en

8

onafhankeiijk en wordt de covarian-tiematrix gegeven door

[7,Th. 4.2]

We be schouwen het eenvoudige scalaire geval

4

Dee

=

pia

waarbij e. en

e~

onderling onafhankelijk zijn met variantie 02. De formele

J. J.

T

variabelen B, i;i' Xi en

n

hebben dan de actuele waarden:(1,-8), (ni,i;i) ,

(yi,X, _i) T en a2 I respectJ.eve J.J •. l ' 'k en

n.•

Dan geldt 8

=

0 en de asympto-J.

door

D~~

• Bij lineaire regressie is de covariantiematrix exact voor elke steekproef-grootte.

Bij lineaire en niet-lineaire regressie treden geen incidentele parameters

tische covariantiematrix wordt gegeven

Dit is het geval als

n

=

02Z; met Z; bekend. Bij het model

n

=

B~

met I:

=

I is de incidentele parameter te schrijven als

(nT,~T)~ ~n

wordtde modelmatrix

op: i;i is bekend en - bij vaste 8 - ook asymptotisch gelijk aan:

Gieser [7] beschouwt ditg~valmaar neemt bovendien aan dat B vrij geparametri-seerd is. Dan is

8

=

vec B en

B

=

I en de covariantiematrix van ~(S -8

0) overeenkomstig gepartitioneerd als (I,-B). Substitutie levert:

8. Nog twee speciale gevallen

te maken van de sterke wet van de grote aantallen. Een nodige voorwaarde

([14] ,[13])

VQor' toepassing van de wet is het bestaan van het 4e moment van y. en x .•

~ ~

2 ~ '. ~ 2 A2

13 wordt consistent geschat door

6,

cr door l/n L (y. - px.) /(1 +6 )

. 1 ~ ~

2 2 A2 ~=

en ~ door x - cr zodat tenslotte resulteert als berekenbare en consistente

-2 2 -1 2 1 I?- 2

met H =cr (1+(3) en ~

= -

l:

~.

.

n ._~=1 ~ Als Y

i en x. normaal verdeeld zijn, zijn Sy.~ ~ + x. en~ y. -~ Sx. onafhankelijk~

schatting voor de variantie van ~(S

-

SO): en kan C

SS analystisch worden berekend, hetgeen oplevert:

In het niet-normale geval kan C consistent worden geschat door gebruik 1313

Er geldt dat D

se

=

0 zodat de variantie van $(

S -

SO) gegeven wordt door

2

Css/Des'

waarbij:

___

...;1~

__

1

~

[(ey.

+ x.)

2(y. _

ax.)

2]

[9].

2 2 -2· -2 2 n ~=1 ~ ~ ~ ~

-( t +'

i3)

(x -

a )

...

(28)

Het model met intercept

n

i = ~ + S~i lever voor de formele variabelen B, ~i' x. en

n

respectievelijk de actuele waarden:

~ T T (l,-~,-e), (n. ,1,~.) , (y. ,1,x.) en ~ ~ ~ ~ 1

i

0

o

o

o

o

o

o

1

Er geldt:

-H[;

:2]

en

21

n

{2 [. 1

= H -

1

:IE r i _ n i=l E;. J. waarbij r._J. = y. - a - SXJ.' J. '" 2 . en E;.

=

(S(y. - a) + x i)/(l + S ), waaruit de J. J.

covariantiematrix van

In(§ :

~)weerkan

worden bepaald, die gelijk is aan

Het consistent schatten vart'deze uitdrukking gebeurt op dezelfde wijze als aangegeven bij het model zender intercept [9] •

8.2. HerhaZingen.

In functionele relaties zonder herhalingen of andere additionele informatie is het in het algemeen niet mogelijk de covariantiematrix van de meetfouten vrij te parametriseren zonder dat de schatbaarheid van de structurele para-meters verloren gaat [15] .

Natuurlijk, als er herhalingen zijn is dat wei mogelijk omdat dan de co-variantiematrix

n

consistent kan worden geschat. Immers:

~

1

~

( )( )T b.z.

~,

=

--2 t. _{xli - x 2i xlJ.· - x2i} ---+)

n,

n i";l

waarbij xli en x

2i de herhaalde waarnemingen voorstellen van de incidentele parameter E; .•

J.

sprent [16] e.a. suggereerden om eerst

n

op deze manier te schatten en dan met behulp van de andere orthogonale component van de waarnemingen (xli +x_2i)

en

beide waarnemingscomponenten informatie omerent Q bevatten. Qmdat de

In het normale geval wordt de asymptotische covariantiematrix gegeven door de volgende gedaante krijgen:

Xi en Q respectievelijk de actuele waarden:

tiematrix. In het geval van 1 herhaling hebben de formele variabelen

a,

~.,

~

Bet is niet moeilijk in te zien dat de schattingsfuncties (17) en (18) dan de structurele parameter

S

te schatten, waarbij Q dan gelijk wordt genomen

leveren ze vermoedelijk schatters op met (asymptotisch) kleinste covarian-schattingsvergelijkingen gs =

a

en ge = 0, waarbij gs en ge gegeven worden door (17) en (18), gemodificeerde maximum likelihood vergelijkingen zijn,

(26) met als actuele waarden voor de erin voorkomende variabelen: aan

n.

Bet 'is denkbaar dat deze aanpak niet efficient is omdat immers

(29)

is

_{y xy} 2 2

~

(J Y x 2hSt; 1 S

x-2

=

(J x .T . A

=

B «n - nGn) ~ H)B •

v

1

:= var

1;(8 -

B) =

2~t;

(1

+ g

=

(J2 - S , en g y , y y- x en

De eenvoudige lineaire functionele relatie n

=

B~ met B

=

(1,-8) en

n

=

[:~ "~]

geeft,

Separaat schatten van (J2 en (J2 levert de schattingsfuncties:

x

y

Dit invullen in (26) levert"na enige eenvoudige, maar bewerkelijke algebra:

waarbij

1 Xl 2

en S

=

-2

I

(Xl' - _{x 2 ,) etc.}

x- n , 1 1 1

1=

De. covariantiematrix

Co

van fri(g ,g ,g ) is diagonaal. Er geldt

B

y

x

2 2 2 . n var

{(B

(J - (J )S x y xy

=

n( Q2(J2 _ (J2)2IJ var S + nlJ (JQ2 4 var S

x

y xy

x

yy 2 4 +

nB

(J var S y xx

(30)

=

=

1 worden ge-2

=

0 Y 2 +0 JES Y

xx

222 48 0xy0 ) ) + 2 • h 2S~h 802 -802

2S~h3+0202h2

0 0 x y xy DO

=

0 1 0 en

Co

=

0 204 0 Y 204 0 0 1 0 0 x Voor DO geldt bijvoorbeeld

gegeven door D-1C D-T (stelling paragraaf 3) met

o

0

waaruit, na een bijzonder vervelende rekenpartij o.a. volgt:

I -2 2 -2 2

De asymptotische covariantiematrix van vn(S - 8,0 - 0,0 - 0 ) wordt

y y x x

nomen. In het grensgeval dat S~ « 1 nadert v

2/v1 dan naar:

Het is eenvoudig in te zien dat v

2 ~ v1 waarbij het gelijkteken geldt als 02

=

8202 en als 8

=

O. Het is echter verbazingwekkend dat het verschil

y

x

2

zo klein is. Zonder verliesvan algemeenheid mag 0

x

Deze uitdrukking is maximaal voor

8

2

=

.14813 (en natuurlijk ook voor 82 = 1/.14813) met v

2/v1 = 1.0505. In minder extreme gevallen is

2

beeld: S~

=

1, 8

=

2, Ox

v

2/v1 niet merkbaar verschillend van 1. Voor-2

=

.1 en cry

=

.05 geeft v₂/v₁

=

1.0004. Enkele simu-latie-experimenten suggereren niet dat dit beeld anders is voor kleine steek-proeven.

9. Referenties

[1] Anderson, T.W., An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, Wiley, New York, 1958.

[2] Barnett, V.0., Fitting Straight 'Lines - The Linear Functional Rela-tionship with Replicated Observations, Applied Statistics 19, 135-44, 1970.

[3] Chan, N.N., and Mak, T.K., Estimation of Multivariate Functional Relationships, Biometrika 70, 263-7, 1983.

[4] Cox, N.R., The Linear Structural Relation for Several Groups of Data, Biometrika 63, 231-7, 1976.

[5] Creasy, M.A., Confidence Limits for the Gradient in the Linear Struc-tural Relationshipl Journal of the Royal Statistical Society B 18, 65-9, 1957.

[6] Dolby, G.R., The Ultrastructural Relation: A Synthesis of the Functio-nal and Structural Relations, Biometrika 63, 39-50, 19:16.

[7] GIeser, L.J., Estimation in a Multivariate "errors in variables" Regression Model: Large sample results, The Annals of Statistics 9, 24-44, 1981.

[8] Graham, A., Kronecker Products and Matrix Calculus: with Applications, Ellis Horwood Series in Mathematics and its Applications, Wiley, New York, 1981.

[9] Linssen, H.N., Functional Relationships and Minimum Sum Estimation, Proefschrift Technische Hogeschool Eindhoven, 1980.

[10] Mak, T.K., Large Sample Results in the Estimation of a Linear Transformation, Biometrika 68, 323-5, 1981.

[11] McDonald, R.P., and Swaminathan, H., A Simple Matrix Calculus with Apllications to Multivariate Analysis, General Systems 13, 37-54, 1973.

[12] Morton, R., Efficiency of Estimating Equations and the use of Pivots, Biometrika 68, 227-33, 1981.

[13] Patefield, W.M., The Unreplicated Ultrastructural Relation: large sample properties, Biometrika 65, 69-70, 1978.

[14] Robertson, C.A., Lar9.e Sample Theory for the Linear Structural Rela-tion, Biometrika 61, 353-9, 1974.

[15] Solari, M.E., The 'Maximum-Ltkelihood Solution' of the Problem of Estimating a Linear Functional Relationship, Journal of the Royal Statistical Society B 31, 372-5, 1969.

[16] Sprent, P.,A generalized Least Squares Approach to Linear Functional Relationships, Journal of the Royal Statistical Society B 28, 278-97, 1966.

[17] Wilks, S.S., Mathematical Statistics, Wiley, New York, 1962.

[18] Williams, E.J., A Note on Regression Methods in Calibration, Techno-metrics 11, 189-92, 1969.