H1: Functies differentiëren

Hoofdstuk 1:

Functies differentiëren.

V_1.

a. Na ongeveer 50 seconden wordt de parachute geopend.

b. Teken de raaklijn in t 4 en bepaal de helling: de valsnelheid is ongeveer -44 m/s. c. De grafiek is daar een rechte lijn. Daar is de snelheid dus constant. v 1600 3000_{40 20} 70



   _m/s.

d. Ook het tweede gedeelte is een rechte lijn. De helling daarvan is ongeveer _{180 100}0 500_  6,25 _m/s.

V_2. a. b. y _1;1,001 14 1,0013 14 13 _0,75075 x 1,001 1             c. Voer in: 1 3 1 4 0 1 y  x en y nDeriv(y , x, x)

Kijk in de tabel: voor x 1 en x 1 _{is de helling 0,75.}

d. 3 2 4 f'(x) x en 3 4 f'(3) 6 _. V_3. a. _{f'(x) 100x} 99 _{c. h'(x) 1 e. k'(a) 3a}9 b. _{g'(p) 18p} 2 _{d. l'(x) 8x} 3 _{f. m'(x) 3 30x } 4 V_4. a. _{s (5t)} 2 _{5t 5t 25t } 2 ds 50t dt  b. 1 4 1 4 2 3 3 3 s (t 5) t 1 1 3 3 ds 1 t dt  c. s 3(t 5) 3t 15    ds 3 dt  d. _{s (t 3)(t 3) t   } 2_9 ds 2t dt  e. _{s (1 2t) } 2 _{(1 2t)(1 2t) 4t  } 2_{4t 1} ds 8t 4 dt  V_5. a. dh 9,8t dt   en voor t 2 is dh _19,6 dt   .

b. Na 2 seconde valt de steen met een snelheid van 19,6 m/s naar beneden. c. h 0 2 2 2 50 4,9t 0 4,9t 50 t 10,2 t 3,19 s      d. dh (3,19) 31,3

dt   . De steen valt op de grond met een snelheid van 31,3 m/s.

x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

V_6. a. _{f'(x) 3x}2_{12 0} 2 2 3x 12 x 4 x 2 x 2      

b. In de toppen van f is de helling 0.

c. Het minimum is f( 2)  24 _{en het maximum} f(2) 8 _.

V_7. a. _{g'(x) 3x} 3_15x2 _0 2 3x (x 5) 0 x 0 x 5     

b. Alleen voor x 5 is er een top. De grafiek heeft een buigpunt bij x 0 . c. Het minimum is g(5) 156,25_. V_8. h'(t) 8t 4 0   1 2 8t 4 t  

De uiterste waarde van h is -5.

1. a.

b. De grafiek heeft een verticale asymptoot als de noemer 0 is:

x 1 0 x 1

   

c. Voor de horizontale asymptoot moet je grote (positieve of negatieve) waarden van x invullen. x 1 wordt dan heel groot; _{x 1}1_{ vrijwel 0 en f(x) nadert dan naar 2.} Horizontale asymptoot: y 2 d. h(x) 3x 4 3x 4 3 4 x x x x       e. V.A. : x 0 H.A. : y 3 2. x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

3. a. W(p) 6p3 5p2 p 6p3 5p2 p 6p2 5p 1 p p p p          b. N(q) 2q3,5 4q2,1 6 2q3,5 4q2,1 6 q2,5 2q1,1 3 2q 2q 2q 2q q             c. 5 3 5 3 1 3 2 2 2 2 5 2 6k 10k 2 6k 10k 2 2 P(k) 1 k 2k 5k 5k 5k 5k 5k          d. w(q) 0,5q (4q 8) 2q2 3 4q2 2q3 4q2 2q2 4q q q q q         4. a. x 1 0  2 x 1 en 0,5 1 2 1 2,5 0 V.A. : x 1       

b. Voor grote waarden van x wordt de functiewaarde ook heel groot. Geen horizontale asymptoot. c. _0,5x2_{2x 0} 0,5x(x 4) 0 x 0 x 4       d. f(x) 0 2 0,5x 2x 0 5. a.

b. x 0 (je mag niet door 0 delen.) c. Nee want de teller is voor x 0 ook 0.

2 2x x x(2x 1) g(x) 2x 1 x x       . De grafiek van g is de rechte lijn y 2x 1  _{met een perforatie in (0, -1).} d. g(x) 0 1 2 x 0  x 6. a. 2x 0 b. 2p 5 0  x 0 p 21₂ c. (w 2)(2w 4) 0   _{d. a}2 _{8a 0 e. (q}2 _{4)(q 1) 0 } w 2 0 2w 4 0 w 2 w 2          a(a 8) 0 a 0 a 8       2 q 4 0 q 1 0 q 2 q 2 q 1             f. _B2 _{2B 8 0 } (B 4)(B 2) 0 B 4 B 2        x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 2 4 6 -2 -4 -6 -8

7.

a. V.A.: q 10 0   q 10_{. Deze is niet van belang want q moet groter zijn dan 0.} b. Voor grote waarden van q geldt: GK200q 12000 200q_{q 10}_  _q 200

H.A.: GK 200 . Bij een hele grote productieomvang gaan de gemiddelde kosten per paar schaatsen naar €200,-. c. GK(20) 20 200 12000 533,33 20 10      d. TK 20 533,33 10666,67   e. TK q GK 200q2 12000q q 10      f. TK 25000 Voer in: y₁ 200x2 12000x x 10    en y2 25000 Intersect: x 80,52 Hij kan dan maximaal 80 paar schaatsen produceren.

8. a. f



1;1,001



f(1,001) f(1) 0,9990 x 0,001  _  _{ }  _xf 2;2,001





0,2499     xf 3;3,001





0,1111     b. f'(x)  1 x2  _x12 c. klopt. 9. a. b. g'(x) 2 3x4 6x4 _x64        c. ja. 10. a. h'(x) 0,7x_ 0,3 _{b./c. ja.} 11. a. f'(x) 1,9x 0,9 c. y' 2,1x_ 0,7 _3,2x2,6 _{e. A' 103g}9,3_g2 b. _{TK'(q) q 3q } 2 _{d. P'(t) 2, 4t}1,8 _{f. N' 8,16p}4,4 12. a. f(x) x x 0,5 b. f'(x) 0,5x_ 0,5 c. g(x) _x12 x2 d. g'(x) 2x3 _x23     x 1 2 3 4 g'(x) -6 -0,375 -0,074 -0,023 f(x) x 1 f'(x) 2 x  

13. a. S'(p) 3 _{2 p 2 p}1  3 b. g(d) 5d_ 3_d2,5 4 1,5 4 15 g'(d) 15d 2,5d 2,5d d d        c. _y 2x2 5 _2x 5 _{2x 5x} 1 x x        y' 2 5x 2 2 5₂ x      d. GK(q) 4q5 3q_q23 5q2 4q3 3q 5       _{GK'(q) 12q} 2_3 e. TW'(q) 1,2q 0,7 _{2 q}2 1,2q0,7  1_q f. p(t) 3t_ 2 3 3 6 p'(t) 6t t      g. A 4p_ 0,5_3p2 0,5 3 3 2 6 A' 2p 6p p p       h. K t t 2 _t13 t2,5t3 K' 2,5t 1,53t4 2,5t t _t34 14. a. _{TW(75) 75 30 (100 75 ) €1149,77   } 1,6 _ b. TW(q) O TK 30q (100 q ) 30q 100 q     1,6    1,6 c. De winst is maximaal bij een productie van ongeveer

130 kg. d. TW'(q) 0 0,6 0,6 0,6 TW'(q) 30 1,6q W'(q) 0 1,6q 30 q 18,75 q 132,33      

Bij een productie van ongeveer 132 kg is de winst maximaal. e. GK(q) TK(q) 100 q1,6 100 q0,6 q q q      f. GK'(q)_{ }100q2_0,6q0,4 Voer in: 2 0,4 1

y _{ }100x _0,6x ₂nd _{trace (calc) optie 2 (zero): x 24, 47}

Bij een productie van 24 kg zijn de gemiddelde kosten minimaal. 15.

a. De lengte van het magazijn is 112525 45m.

Hoeveelheid grond: (20 25 5) (45 5) 50 50 2500       _m2_. b. x y 1125  c. y1125_x 1125 1125 28125 28125 O(x) (20 x 5) ( 5) (25 x)( 5) 1125 5x 125 1250 5x x x x x                q (in kg) TW (in euro) 50 100 150 200 250 300 -50 400 800 1200 1600

d. O'(x) 5 28125x_{ } 2 2 2 O'(x) 0 28125x 5 x 0,000178 x 75 y 15        

Stuk grond: 100 meter lang en 20 meter breed. 16.

a. Volgens Willem: p'(3) 6 _{Er klopt dus niets van.} b. _{p(x) x (1 x) x} 2 _{ } 2_x3 _{p'(x) 2x 3x } 2

c. Voer in: y1 x (1 x)2  , y2 nDeriv(y , x, x)1 en y3 2x 3x 2 en vergelijk de kolommen van y2 en

y3: ze komen overeen.

17.

a. l'(t) 2t 3 b'(t) 2t 4

l'(1) 1 en b'(1) 2 Dus zowel de lengte als de breedte neemt toe.

b. De lengte neemt toe met  l l(1,1) l(1) 0,09  _{en de breedte met}  b b(1,1) b(1) 0,19  _. c.  O O(1,1) O(1) 4,09 4,19 4 4 1,1371     

d. De toename van de oppervlakte is de rechthoek boven (l b  ), de rechthoek rechts (b l  ) en het vierkantje rechtsboven (  l b).

e.  O 0,09 4 0,19 4 0, 09 0,19 1,1371      f. gemiddelde snelheid  O 1,1371 11,371_t  _{1,1 1} 

  cm/sec

g. Voor een klein interval is l _en b _{ook heel klein.}

h. O'(t) O l b(t) l b l b l b(t) l b l b l'(t) b(t) l(t) b'(t) t t t t t                                i. O'(t) ( 2t 3)( t    24t 1) ( t   2 3t 2)( 2t 4)   O'(1) 1 4 4 2 12     18. a. f'(x) (2x 4) (4x 10) (x     24x) 4 8x  24x 40 4x  216x 12x 212x 40 b. f(x) (x 24x) (4x 10) 4x   310x216x240x 4x 36x240x 2 f'(x) 12x 12x 40 c. -19. a. f'(x) 3x (x 2 2 1) x (2x) 5x3  43x2 b. A'(t) 2 (t  32) 2t (3t ) 8t  2  3 4 c. P' (2x 3) (2x 5) (x     23x) (2) 6x  22x 15 d. y' (6x) (x  32x 8) (3x  25) (3x 22) 15x 43x248x 10 e. l'(q) (2) (3 5q ) (2q 7) ( 10q)   2      30q2 70q 6 f. M' (6p 1) (2 3p) (3p     2 p 6) ( 3)   27p26p 20

20. a. k(t) 2 6t  2  k'(t) 12t b. A(p) 5p 311p2 12p  A'(p) 15p 222p 12 c. TK(q) 2q3 10q 2q2 10 TK'(q) 4q q       d. _{S(t) t} 2 _{ 1 S'(t) 2t} e. k(b)2₃b5 2b3  k'(b) 3 b ₃1 46b2 f. P(x) 3 15_x  _x32  3 15x13x2  P'(x) 15x 2 6x3  _x152 _x63 21. a. TK p q (10 5x ) 100x_{   } 2 _ 1_1000x1_500x b. 1 m2_{: TK €1500,  4 m}2_{: TK €2250, } c. TK'(x)_{ }1000x2_500 2 2 TK'(x) 0 1000 500 x x 2 x 1, 41 x 1, 41       

d. Bij een oppervlakte van 1,41 m2 _{zijn de totale kosten minimaal €1414,-. Er worden dan ongeveer}

71 posters gedrukt. 22. a. f(x) x 2 1 2 f'(x) 2₂ x x _x        b. f(x) x3 ₃x 1 1₂ f'(x) 2₃ x x x       23.

a. Je kan f(x) x 2_x _{herschrijven als bij opgave 22a, maar} f(x) x x 2   niet. b. c. g'(x) (x 2) 1 x 1_{(x 2)}2 _{(x 2)}2 2         d. g'(1)₃22  29 0,2222 g'(2) ₄22 162 0,125 g'(3)₅22  252 0,08 e. f'(x) x 1 (x 2) 1₂ 2₂ x x        3 2 3 2 5 3 5 3 3 6 6 6 3 x (3x 1) (x x) 3x (3x x ) (3x 3x ) 2x 2 g'(x) x x x x             x 1 2 3 helling van g 0,2222 0,125 0,08

24. a. f'(x) (x 2) 3 (3x 1) 1 3x 6 3x 1_{(x 2)}2 _{(x 2)}2 _{(x 2)}7 2               b. f'(q) (q2 3) 2 (2q 8) 2q 2q_(q2 ₃₎2 2 _(q6 4q2 ₃₎22 16q 2q_(q22 16q 6₃₎2                  c. f'(x) (2 x ) 0 5 2x_{(5 x )}2 2 2 _{(5 x )}10x2 2          d. B'(t) (t2 2) 1 (t 1) 2t (t_(t2 ₂₎2 2 2) (2t_(t2 ₂₎22 2t) t_(t22 2t 2₂₎2                  25. a. A(p) 3p 5 dA 3 dp     b. A(p) p 0,5 dA_dp 0,5p 1,5 1 2p p         c. dA_dp (p2 1) 0_{2 2}7 (2p) ₂14p ₂ (p 1) (p 1)          d. dA_dp (p 3) 0 1 (1)_{(p 3)}2 _{(p 3)}1 2          26. a. Ja. b. 2 2 (200 A) 172 (172A 2752) 1 37152 K'(A) (200 A) (200 A)          

Voor iedere A is K'(A) positief, dus is K(A) een stijgende functie, wat inhoudt dat als A toeneemt (een hoger werktempo), dan nemen de kosten K ook toe.

c. K'(70) 2,20 _en K'(35) 1,36 _{. Nee, ze stijgen dus niet twee keer zo snel.}

27. a. C'(t) (t2 4)8 8t 2t_{2 2} 8t₂2 32₂ (t 4) (t 4)          2 2 C'(t) 0 8t 32 0 t 4 t 2 t 2         

Dus na 2 uur is de concentratie maximaal. b. C'(0)3216 2 mg/liter per uur.

c. C'(5) 0,20 _{mg/liter per uur.} d.

e. Na verloop van tijd is het geneesmiddel helemaal uit

bloed verdwenen; C is dan 0. tijd (in uren)

C (in mg/liter)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0

1 2

f. ABC formule 2 2 8t t 4 t 8t 4 0 t 0,54 t 7, 46         

Dus na 7 uur en 27 minuten moet er een tweede injectie gegeven worden. 28. a. minima: ( 1, 1)  _en (1, 1) _maximum: (0, 0) b. f'(x) 4x 34x 2 2 f'(x) 0 4x(x 1) 0 4x 0 x 1 x 0 x 1 x 1            

c. Voor x 1 en 0 x 1  _{is de afgeleide negatief en de grafiek dus dalend.} d. De grafiek stijgt als de afgeleide positief is. En dat is voor   1 x 0 en x 1 _.

29. a. 2x 1 0  En het bereik: B : y 0g  1 g ₂ 2x 1 D : x  

b. De grafiek loopt in de buurt van het randpunt vrijwel verticaal.

c. Met nDeriv: g'(0,55) 3,16 g'(0,51) 7,08 g'(0,501) 31,62 d. Naarmate de x in de buurt komt van de 0,5, wordt de helling steeds groter. 30.

a. x 1 0  (Je mag niet delen door 0) x 1 b. f'(x) (x 1) 0 2 1_{(x 1)}2 _{(x 1)}2 2          c. f'(0,9) 200 en f'(1,1) 200

d. De grafiek loopt in de buurt van x 1 vrijwel verticaal.

e. -2 is negatief en (x 1) 2 is voor alle x-waarden positief. Dus f’(x) is altijd negatief, en daarmee is f(x) overal dalend.

31.

a. Als t toeneemt, wordt de noemer steeds groter en neemt I af. b. I _{(0,05t 1)}120_ 2  _0,0025t1202_{0,1t 1} 2 4 4 (0,05t 1) 0 120 (0,005t 0,1) 0,6t 12 I' (0,05t 1) (0,05t 1)           

32. a. D : x 0f  B : y 4f  b. f'(x) 1 2 x  D : x 0_f'  c. f'(0,1) 1,58 f'(0,01) 5 f'(0,001) 15,81

d. De helling wordt steeds groter naarmate x in de buurt komt van 0. In (0, 4) loopt de grafiek vrijwel verticaal.

33.

a. Klopt. De afgeleide gaat eerst van negatief naar positief. De functie daalt dan eerst en stijgt dan vervolgens. Daar heeft de grafiek van f dus een minimum. En verderop gaat de afgeleide van positief (de grafiek van f stijgt) naar negatief (de grafiek van f daalt). Daar heeft de grafiek van f dus een maximum.

b. Klopt. De grafiek van f’ (de hellingfunctie) heeft voor x 1 een maximum.

c/d/e. De grafiek van f’ is een bergparabool. De formule van f’ is dan kwadratisch; f is dan een derdegraads functie. Bovendien heeft f’ twee nulpunten, dus f heeft een minimum en een maximum. De grafiek van f heeft dan één nulpunt, twee nulpunten (als één van de uiterste waarden op de x-as ligt) of drie nulpunten (als de x-as tussen de uiterste waarden ligt). 34. 35. a. f'(t) 6t3 t2 _t36 _t12       b. 2,5 3 1,5 4 4 3 G(p) p p G'(p) 2,5p 3p 2,5p p p          c. TK(q) 3q 2 5_q 3q 2 5q 1 TK'(q) 3 5q2 3 5₂ q              d. _{k(x) 2x} 3_x2_{17x 5  k'(x) 6x} 2_{2x 17} e. l(n) n n 2 n n1,5 2 n l'(n) 1,5n0,5 2 1,5 n 1 2 n n          f. M'(q) (q 1)(2q 3) (q_{(q 1)}2 2 3q) (2q2 q 3) (q_{(q 1)}2 2 3q) q2_{(q 1)}2q 32                 36.

a./b. De lengte is kwadratisch en heeft een minimale waarde 1 voor t 1 ; en de breedte is lineair en heeft geen uiterste waarde.

c. O(t) l(t) b(t) (t   22t 2)(t 2) t   3 2t 4 x y 3 6 x y 2 -2 -4 x y 4 0 g(x) _h(x) p(x)

d. O'(t) 3t 2 2 2 2 3 O'(t) 0 3t 2 t t 0,816 t 0,816       

De oppervlakte is minimaal 2,91 voor t 0,816 e. Nee.

37.

a. Minimaal gemiddelde snelheid  4000 18,52_{9 24} 

 km/u. b. v 45 km/u: t 4000₄₅ 88,9_{u TK 1150 45 } 2_{5000 88,9 2,8  miljoen.} v 30 km/u: t 400030 133,3u TK 1150 30  25000 133,3 1,7  miljoen. v 18,52 _km/u: t 216 u _{TK 1150 18,52 } 2_{5000 216 1,5  miljoen.} c. t 4000 v  _{u TK 1150 v}2 ₅₀₀₀ 4000 _{1150 v}2 2 107 v v         miljoen. d. TK' 2300v 2 10₂ 7 v    7 2 3 7 3 TK' 0 2 10 2300v v 2300v 2 10 v 8695,65 v 20,56 km/u       

e. De minimale totale kosten zijn € 1458883,24 38.

a. K' 25000 0,62 P   0,38 15500_P0,38

Als de productie toeneemt, neemt P0,38 _{ook toe en neemt K’ dus af.}

b. K' O' 1 0,38 0,38 0,38 2 3 2 3 15500 750 P 15500 P 20 750 P (20 ) 2892     

c. Tot een productie van ongeveer 10176 ton is de winst negatief (verlies dus!). De winst is minimaal bij een productie van ongeveer 2892 ton. Wordt er meer dan 10176 ton geproduceerd, dan wordt de winst positief. De productie moet dus grootschalig.

T_1. a.

b. x(x 3) 0  x 0  x 3

c. Voor x 3 is de teller ook 0, dus voor deze waarde van x heeft de grafiek geen verticale Voor x 0 is de teller -9. De verticale asymptoot van f is: x 0 . d. _x2 _{ 9 0} 2 x 9 x 3 x 3      e. f(x) x2 9 (x 3)(x 3) x 3 x 3 1 3 x(x 3) x(x 3) x x x x             

f. Voor grote waarden van x wordt 3

x vrijwel gelijk aan 0. De functiewaarde komt dan in de buurt van 1. Horizontale asymptoot: y 1 _.

T_2. a. f'(x)_{ }12x4 _x0,5 b. _{f(x) x} 2,3_x1 _{ f'(x) 2,3x} 1,3_x2 c. f(x) 3x 4   f'(x) 3 d. _{f(x) x} 3,5 _{ f'(x) 3,5x} 2,5 _{3,5x x}2 e. f'(x)_{ }2x3_0,84x0,2 f. f(x) x 2 5x f'(x) 2x 3 5 2₃ 5 x           

T_3. waarom met de productregel als het ook makkelijker kan?

a. _{f(x) (2x 3)(x } 2_{2x) 2x} 3_x2_{6x  f'(x) 6x} 2_{2x 6} b. _{f(x) 3x (4 5x) 12x} 2 _{ } 2_15x3 _{ f'(x) 24x 45x } 2 c. _{f(x) (x} 3_{2x)(3x 5) 3x } 4_5x3_6x2_{10x  f'(x) 12x} 3_15x2_{12x 10} d. _{f(x) (x} 2_{2x 3)(x 3) x  } 3_x2_{3x 9  f'(x) 3x} 2 _{2x 3} T_4. a. A'(x) (x 3) 2 (2x 1) 1 (2x 6) (2x 1)_{(x 3)}2 _{(x 3)}2 _{(x 3)}7 2               b. A'(k) (1 k) (3k2_{(1 k)}2) (k2 3 2k) 1 (3k3 3k2 _{(1 k)}2k 2) (k2 3 2k) 2k3_{(1 k)}3k22 2                    c. P'(q) (q2 _(q3) 0 4 2q2 ₃₎2 _(q2 8q₃₎2          d. S(v) v 2₂ v 2v 2 S'(v) 1 4v 3 1 4₃ v v            e. h'(x) (x2 3x) 1 x (2x 3) (x_(x2 _3x)2 2 3x) (2x_(x2 _3x)22 3x) _(x2 x_3x)2 2                f. f(t) 3 2 t 3t 0,52 t  f'(t) 1,5t1,5 2   3  1 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8

T_5.

a. D : 0,f   .

b. nulpunten: x 0 en x 25  _{top: (14,1; 13,2)} c. _{f(x) x} 1,5_0,2x2 _{ f'(x) 1,5x} 0,5_{0,4x 1,5 x 0,4x }

d. f'(0) 0 _{. De grafiek heeft een horizontale raaklijn in (0, 0).} e. zie d.

T_6.

a. NGroningen N(1400080 ) 206,7 en NHaren N(180046 ) 139,9

b. NGr&Ha N(15800126 ) 196,2 . Dat heeft voor Groningen nadelige gevolgen. Scholen moeten

opgeheven worden.

c. N' (28 d) 240 240d 1_{(28 d)}2 _{(28 d)}67202

   

 

  . Voor alle d-waarden is de noemeer positief, en daarmee ook N' 0 . De grafiek van N is dus stijgend.

d. Voor hele grote waarden van d geldt: N 240d 240d 240 28 d d

  

 . De opheffingsnorm komt niet boven de 240.

e. Klopt, de grafiek stijgt bij een geringe leerlingendichtheid veel sneller dan bij een grote leerlingendichtheid.

T_7.

a. _{f'(x) nx} n 1

Als n even is (en positief) wordt de afgeleide een oneven machtsfunctie en wordt dan ook negatief. Voor oneven waarden van n is de afgeleide een even machtsfunctie en dus altijd groter of gelijk aan 0.

Als n negatief is dan is het net andersom.