Hoofdstuk 4 Exponentiële functies

Hoofdstuk 4:

Exponentiële functies

V-1.

a. 156

120 1,3 156203 1,30 263203 1,30 342263 1,30 De groeifactor per uur is 1,30

b. De groeifactor per dag is _1,3024 _542,8

c. op tijdstip t  1:1201,3 92 en op tijdstip t  2 :1,392 71 d. _{120 1,3} t _660

Voer in: y₁120 1,3 x en y₂ 660 intersect: x 6,5 Na bijna 6,5 uur waren er 660 bacteriën.

V-2. a. g_{week 1,43}7 _12,23 b. g_{halve dag} 1,4312 1,20 c. _{N t} 1t t 24 ( ) 15310 1,43  15310 1,015 d. 3 434 4 (4 ) 15310 1,015 16433 N    V-3. a. _{N t( ) 23 1,013 } 24t _{23 1,36} t b. _{N t} 1t t 365 ( ) 254 13,7  254 1,007 c. N t( ) 3750_1,95 1,9t 151 1,9 t V-4.

a. Na een half jaar heb je de beginhoeveelheid vermenigvuldigd met 1 2 2  2. b. g_maand 2121 c. 3 1 8 2 _

d. Dan moet je delen door ₂12 _4096

e. 1 1 3 33 3 3 8 2 2 2 2 dus t 1 3 3  V-5. a. 12 12 12 12 4 3 1 5 4 3 4 1 1 1 1 16 8 ₂ ( )₂ 2 (2 ) 2 2 2           b. 3 4 1 4 3 1 2 2  2 2 2  _{ }  _{ }  c. 1 1 4 2 _{4 2 5} 4 2 3 7 7 3 7 3 _{7 3 21} 1 1 5 32 ₂5 6 (2 ) (2 ) 5 16 4 2 2 2 2 2 2 2   _{ }  _{   } d. 438421  2 (2 ) 2 3(2 )3 412212 2621312212 28 V-6. a. g3 _{12 b.} g14 2 c. g 2 1 4  _{ d.} g 31 15  3 g 1231 g 24 16 g 1 21 12 4 ( ) 4 2    g 13 1 5  _ g 1 3 5 ( ) 125  

V-7. a. x 1 3 8 2  2 b. ₃x _{ 3 3}1 _{c. 5}3x _{ 1 5}0 _d. 1x 2 1 1 2 2 _{ }2 x 3 x 1 x 3 x 2 V-8. a. b. g_maand 590 12 500 ( ) 1,09   g_maand 750 31 590 ( ) 1,08   maand g 950 13 750 ( ) 1,08  

De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus de groei is exponentieel: _{N t( ) 500 1,08 } t_.

c. Gezien de grafiek zou dat ongeveer tot de 20ste maand zijn: g 1350 51 950 ( ) 1,07   g 1600 21 1350 ( ) 1,09   g 2000 31 1600 ( ) 1,08   g 2300 12 2000 ( ) 1,07   g 3000 51 2300 ( ) 1,05

  . Dus inderdaad tot de 20ste _maand. d. N_{(12) 500 1,08 } 12 _1260

Er worden er 800 gevangen. Daarna: _{N t( ) 460 1,08 } t t

460 1,08 1000 Voer in: _y x

1.

a. Als de groeifactor groter is dan 1 is de grafiek stijgend (f en g). Is 0 g 1, dan is er sprake van een procentuele daling en dus van een dalende grafiek (h, k en m). b. Er wordt dan elke keer met een getal vermenigvuldigd dat groter is dan 1. Dus is er

sprake van een toename.

c. De lijn y 0 is de horizontale asymptoot.

d. f(x): (0, 2) g(x): (0, 0.5) h(x): (0, 1) k(x): (0, 10) m(x): (0, 5)

2.

a. De grafieken van f, g en k zijn stijgend en de functie h is dalend.

b. f(x): (0, 20) g(x): (0, 1) h(x): (0, 2.1) k(x): (0, 1)

c. _{g x( ) 0,5} x _{(0,5 )}1 x _2x _en

x x x x

h x_{( ) 3 0,7 } 2 1_{ 3 0,7}2 _0,71_{2,1 (0,7 )} 2 _{2,1 0,49} d. Het domein van beide functies is ¡ en het bereik 0, . e. Alle grafieken hebben dezelfde horizontale asymptoot: y 0.

3. a. f_{(3) 6 2 } 3 _{48 f( 1) 6 2  } 1_{3 en} f 3 3 4 ( 3) 6 2_{  }  _ b. c. _{6 2} x _24 x x 2 2 4 2 2    d. 15 1

6 22 kan niet als macht van 2 geschreven worden

x

6 2 15

Voer in: y₁ 6 2x en y₂ 15 intersect: x 1,32

4.

a.

b. De grafiek van f snijdt de verticale as in (0, 1) c. De lijn y 0 is de horizontale asymptoot. d. Ook de lijn y 0.

e. Door een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 3.

f. Door de grafiek van f 4 omhoog te schuiven. g. De lijn y 4 is de horizontale asymptoot van

h. 5. a. _{g x} 1 x 2 ( ) 4 (1 )  b. h x 1 x 2 ( ) 4 (1 )  2 c. _{f x} 1 x 2omhoog _y 1 x Vx as, 4 _{k x} 1 x 1 x 2 2 2 2 ( ) (1 )  (1 )  2   ( ) 4((1 ) 2) 4 (1 )  8 6. a. b. g x 1 x 1 x x 1x 3 ( ) 3 ( )_{   }3 (3 ) _{ }3 3 _3 x y 1 2 3 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -5 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 5 10 15 20 25 30 -5 g f h x y 1 2 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 -5

7.

a.

b. De functiewaarden van f worden 2 naar rechts verschoven. De functiewaarden van

g zijn 9 keer zo klein.

c. Elise heeft gelijk. d. _{y 3}x14 8. _y 1 x 2,7 1 1 x 3,7 2 2 5 ( )   5 ( )      9.

a. g(x): een verschuiving van 3 naar links.

h(x): een verschuiving van 6 naar rechts.

b. _{f x( ) 2} x 7naar links _{y 2}x7Vx as ,15 _{y 15 2} x7 De volgorde is niet van belang.

c. _{x naar links x} Vx as _x g x _{3 6} y ₉ ,11₂ y _{1 9} 2 ( ) 2 _ 2 _  1 2 _       10. a. (2, 4)Vy as , 4(8, 4) b. g_{(8) 2} 4 8 _232 _{en g} 1 48 2 (8) 2  2 4 dus _{g x} 1x 4 ( ) 2 11. _y 1 2x 3 ( )  12. _{y 2}3x 13. a.

b. Een vermenigvuldiging met factor -1. c. _y 1 x 1 1 x 2 x

2 2 3

(1 ) ((1 ) ) ( )

  

14. _{g x( ) 27} x _{(3 )}3 x _33x

Een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1 3 . 15. a. 1. x 3,18 2. x4 3. x 5,17 4. 1 2 1 x  5. x 1 3 6   6. x 0,82 b. Bij de tweede, vierde en vijfde vergelijking.

c. _{(2 )}3 x5 _23x15 _24 _{d. 4}x _256 1 2 1 2 36 6 x _{ }6 x x x 1 3 3 15 4 3 19 6        x x 4 4 4 4   1 2 1 2 2 2 3 1 x x x      x -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 1 9 13 1 3 9 27 81 g(x) 1 81 271 19 13 1 3 9 x y 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 p

16. a. 1 x 3 ( ) 9 b. x 1 27 3  c. _(0,25)x _{16 d.} 1 x 3 7 ( )  _1 x x x 1 2 (3 ) 3 2 2  _     x x 3 3 1 3 3 3 3      x x x 1 2 (4 ) 4 2 2  _     x x x 3 0 1 1 7 7 ( ) ( ) 3 0 3  _     e. ₂t _(0,125)3 _{f. (0,1)}2x _1000 t t 3 3 3 3 3 9 1 1 8 ₂ 2 ( ) ( ) (2 ) 2 9         x x x x x 2 1 2 2 3 1 2 (0,1) (10 ) 10 10 2 3 1          g. _{32 2} t _{4 h. 3 (0,5)} x _{24 i. 14 4} t _{ 7 2}3t _j. x 1 64 2  t t t 5 2 2 2 2 5 2 3       x x x x 1 3 (0,5) 8 (2 ) 2 3 3        t t t t t t t t t 3 1 2 3 1 2 3 2 4 2 2 (2 ) 2 2 2 1 2 3 1          x x x x 1 2 6 1 2 1 2 6 1 2 (2 ) 2 2 6 12        17. a. 1x 2 1 36 3  12 b. ₂4x1_{24 c. 3 4}x _ x _6x x x x 1 2 1 1 1 3 1 2 3 3 1 1 0  _{ }      x 1,40 0 12 6 2 1 2 0 x x x x     d. _(0,125)x _{ 2 e. 10}x _5x _f. x 1 2x 1 3 6 _( )  x x x x 1 2 3 1 8 1 2 1 6 ( ) (2 ) 2 3        0 2 1 2 0 x x    x 0,28 18. a. _{27 3} 2x _{( 3)}x _{b. f x g x voor x} 1 3 ( ) ( ) 3 x x x x x x 1 2 3 2 1 2 1 2 1 3 3 3 (3 ) 5 1 5 3        19. a. 1 x 3 2 12 4 ( )_{ }  _{ }4 1 x 3 2 12 4 ( )_{ }  _11 1 x 3 1 2 2 12 4 ( )_{ }  _11 x x x x 3 1 2 2 1 3 4 4 ( ) 16 2 (2 ) 2 2 3 4 1            x x x x 3 1 2 2 1 3 0 4 ( ) 1 2 (2 ) 2 2 3 0 5            x x x x 3 1 1 2 2 2 1 3 1 4 ( ) 2 (2 ) 2 2 3 1 6              b. f x( ) 11 voor x



 

20. a. 1 12 2x 3,5 x 2 ( )  _4  _d. 1 12 2x 2 ( )  _2 x x x x x x 1 12 2 2 3,5 3 4 (2 ) (2 ) 12 2 7 2 4 19 4   _        x x x x x 1 12 2 12 2 1 1 2 (2 ) 2 2 12 2 1 2 13 6   _   _      b. g x f x voor x 3 4 ( ) ( ) 3 c. g_{(3) 4} 3,5 3 _40,5 _2 e. P(6, 1) en Q 1 2 (3 , 1) f 1 12 2 6 1 0 2 2 (6) ( )   ( ) 1 en g 1 0 2 (3 ) 4 1

f. Nee, je hebt het voor twee paar punten P en Q laten zien.

Om te bewijzen dat de grafieken elkaars spiegelbeeld zijn moet je laten zien dat geldt: f a g 1 a 2 ( ) (7  ) 21. a. ₂0,5x _2 x 3 x x x x 0,5 3 1,5 3 2      S(2, 2)

b. g_{(0) 2} 3 _{8 en f(4) 2} 2 _{4: dus niet symmetrisch in de lijn x 2 .}

22. a. a 50 10 6 2 10   b. g 50 14 10 ( ) 1,50   10 10 10 2 10 10 10 C t b b b C t          t t A b b b A 2 1,50 10 1,50 4,47 4,47 1,50        23. a./b. c. g 2940 4200 0,70   g_uur 1000 31 2940 ( ) 0,698   g_uur 500 12 1000 ( ) 0,707  

De groeifactor per uur is ongeveer 0,70

Op tijdstip t 0 is de sterkte van de straling ongeveer 4200

0,70 6000 Bq per gram.

d. _{S 6000 0,70 } t _{met t de tijd in uren.}

e. ja! 24. a. 4p q 10 b. 36p q 50 c. q  4p10 en q  36p50 d. 4p10 36p50 1 4 32 40 1 5 p p en q   

25. a. 2000 800 1200 3 10 3 7 1717 a      b. 2000 71 800 ( ) 1,14 g   3 7 3 5 7 7 3 5 7 7 171 800 171 3 285 171 285 B t b b B t           3 800 1,14 1,14 540 540 1,14 t t B b b B       c. 9p q 800 en 100p q 2000 9 800 100 2000 91 1200 13,2 631,3 p p p p en q         26.

a. 130% van 15 gram is 19,5 gram.

b. Bij 78% van 15 gram: 0,78 15 11,7  gram. c. d. _{P(0) 76  b g}0 _{76 b 130} 1 60 60 60 60 54 (60) 76 54 78 54 2 0,037 0,037 0,95 b P g g g g           e. Jo.

27. Voor grote waarden van t wordt _0,9t _{heel erg klein (bijna 0).}

0 1 0 2000 2000 1 1 0,9 2000 67 ( ) 2000 (0) 67 1 28,85 k c c c A t k A c               28. a. f x x Vy as, 1 y x 1 x 2naar links y 1 x 2 Vx as, 2 y 1 x 2 2 2 2 ( ) 2    2 ( )  ( )     2 ( )  omlaag _y x x x 3 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( )  3 2 ( ) ( ) 3 ( ) 3            b. H, V en dan B. 29. a. 1 x 2 2 ( )  8 b. 1 x 1 25 125 ( )  5 c. x 3 1 1 3 9 ₂₇ x x x x 1 3 0,5 1 1,5 2 (2 ) (2 ) 2 2 1 1,5 0,5          x x x x 2 3 0,5 2 2,5 (5 ) 5 5 5 5 2 2,5 1,25            x x x x 1 3 1 3 1 2 3 3 1 3 1 9 3 (3 ) (3 ) 3 3 3            d. 1 x 2 8 ( ) 0,125 x x x x 3 1 3 3 2 (2 ) 2 2 3 3 6          

30.

a. fout d. goed g. fout j. goed

b. goed e. fout h. fout

c. goed f. fout i. fout

31.

a.

b. De lijn x 2 is symmetrieas.

c. _{y 2}x _{0 voor alle waarden van x.}

d. ₄x x2 ₁₂ 2  _2 x x x x x x x x 2 2 4 12 4 12 ( 6)( 2) 0 6 2              e. g x( ) 1 voor x 0,4 32. a. _{f x} 1 2x 2 1 2x 2 2x 2 2x _{g x} 2 ( ) 4 ( )_{  }2 (2 )_  _2 2_  _2  _ ( ) b. h x x 3 x 3 1 1 x x k x 8 ( ) 6 2_{ }   _{ }6 2 _2 _{  }6 (2 ) _0,75 (0,5)_{ } ( ) c. _{f x( ) 4} 0,5(x1) _40,5x0,5 _40,5x_40,5 _{(2 )}2 0,5x_{  2 2 2}x d. _{f x} 1 1 2x 1 1 1 2x 1 1 2 x 1 x 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( )_{ }  _{ }3 ( ) ( )_  _1 (( ) )_  _1 4_ 1 2 1 b en g 4 33. a.

b. Voor grote waarden van t wordt _0,7t _{vrijwel gelijk}

aan 0. De hoogte wordt op den duur 18 meter. c. H 15 :t 4,86, H 16 :t 6 en H 17 :t 7,94.

Van 15 naar 16 meter in ongeveer 1,14 jaar en van 16 naar 17 meter in ongeveer 1,94 jaar.

d. t

H t( ) 18 17 0,7   121

e. Omdat de groei van een boom in een maand vrijwel niet waarneembaar is.

34.

a.

b. De grafiek is niet een rechte lijn (niet lineair) en is toenemend stijgend (niet wortelfunctie).

c. Machtsfuncties gaan door (0, 0). d. b 3 e. _{A(9) 3 9 } a _100 a a 9 97 2,08  

Deze wijkt nog wel wat af. f. Ook b 3 vanwege A(0) 3 .

x -1 0 1 2 3 4 5 g(x) 1 32 1 8 16 8 1 321 t (in jaren) H (in meters) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0 5 10 15 20

g. A(9) 3 g 100 g g 19 9 100 3 100 3 ( ) 1,48   

T-1. a. De grafieken B: _{h x} 1 x 4 ( )  3 ( ) en C: _{g x} 1 1 x 3 2 ( ) (1 ) zijn stijgend. b. Bij grafiek A hoort _{j x( ) 3 (0,4) } x _{1 en bij grafiek D: f x} 1 x

2

( ) (2 ) 3. c. Voor grote negatieve waarden van x wordt 1 x

2

(2 ) bijna 0. De grafiek van f ligt dan net onder de lijn y 3.

d. _{x omlaag x x} Vx as f x y , 1 2 4 1 1 1 2 2 2 ( ) (2 ) 3 (2 ) 3 4 (2 ) 1               x x y 1 1 1 1 1 2( (2 )2 1) 2 (2 )2 2        T-2. a. f 1 1 4

(1) 4_  _{ . De grafiek A hoort bij f.} b. factor is -2. c. _{f x}( ) 4 x Vy as , 2 _{g x}( ) 4 12x (4 )21 x 2x d. _{f x}( ) 4 x 4naar links _y 4 (x 4)Vy as , 8 _y 4(18x4) 418x4 e. _{f x}( ) 4 x Vy as , 8 _y 418x 4naar links _y 418(x4) 481x21 T-3. a. 1 0,3 x 3 2 ( )_  _{ }4 2 1 0,3 x 3 2 ( )_  _{ }4 14 x x x x 0,3 1 3 0,3 1 1 1 3 3 2 ( ) 6 ( ) 3 ( ) 0,3 1 1,3            x x x x 0,3 1 3 0,3 2 1 1 3 3 2 ( ) 18 ( ) 9 ( ) 0,3 2 2,3            b. 2f x( ) 14 voor x 1.3 , 2.3 c. Voer in: _y 1 0,3 x 1 2 ( )3 4     en y₂ 16 intersect: x 2,396 ( ) 16 2,396 f x  voor x T-4. a. ₃x _{81 3} 4 _b. 1 2x 2 32 423 c. 3 31_t 9 3 x x 4 4     x x 2 7 2 128 2 2 7    1 9 3 3 1 27 3 3 3 3 t t      x 1 2 3  t  3 d. 1 t 3t 2 16 ( ) 4 e. x 1 27 3  f. _(0,2) x 3 _1252x3 t t t t t t t t 4 1 2 3 4 6 4 7 2 (2 ) (2 ) 2 2 4 6 7 4          x x x x 1 1 2 2 3 1 2 (3 ) 3 3 3 6        1 3 3 2 3 2 5 (5 ) (5 ) 3 6 9 5 12 2 x x x x x x    _         T-5. a. _{t 0 1 5 10} Tverschil 20 18,5 13,5 9,2 T 5 6,5 11,5 15,8

b. Het temperatuurverschil na t minuten is Tverschil 20 0,925 t

T t( ) 25 20 0,925   c. _{25 20 0,925 } t _10

Voer in: y₁25 20 0,925  x en y₂ 10 intersect: x 3,69 Na 3,7 minuten (3 minuten en 41 seconde) is de temperatuur 10°C.

T-6. a. _{f x( ) 2}  x 1 2naar rechts _{y 2}  (x 2) 1₂ x 1Vy as , 1 _{g x( ) 2} x1 b. _{f x} x 1 x 1 1 1 x 2 2 ( ) 2_   _2 _2 _{ }( ) _{en g x( ) 2} x1_{2 2}x_ 1_{ 2 2}x x as y as V V x x x x x f x 1 1 , 4 y 1 1 1 , 1 y 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )     4 ( )  2 ( )     2 ( )  2 2 c. x x x x x x x x g x f x 1 1 ( 1) 2 2 2( 1) 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 (2 ) 4 ( ) 2                 

d. Als je de grafieken van p en q 1 naar links verschuift, krijg je de grafieken van g en

f. De symmetrieas kun je dan ook 1 naar links verschuiven.

T-7.

a. 1,75

1,65 1,06 1,861,75 1,06 2,071,86 1,11 2,302,07 1,11 2,522,30 1,10 3,022,52 1,20 3,70

3,02 1,23 4,453,70 1,20 5,304,45 1,19 6,125,30 1,15

b. Vanaf 1950 is de groeifactor enigszins gelijk, dus de groei exponentieel.

t

A 2,52 1,20  met t de tijd per 10 jaar en t 0 in 1950. c. A_{2,52 1,20} 10 _15,60

d. Het gemiddelde van de 10 groeifactoren is 1,14

t

A 2,52 1,14  met t de tijd per 10 jaar en t 0 in 1950. In 2050: A_{2,52 1,14} 10 _9,34

e. y x5

16,12 en y2 7,7 intersect: x 1,047 en y₃ 10,7 intersect: x 1,118

Extra oefening Basis

a. h(x), k(x) en m(x) zijn dalend; de groeifactor van deze functies is kleiner dan 1.

b. f: (0, 2) g: (0, 0.5) h: (0, 2) k: (0, 10) m: (0, 5)

c. Het domein van deze functies is ¡ en het bereik: 0 ,

B-2.

a. 1 1

3 (1) 3

f _  _{ , dus grafiek B.}

b. vermenigvuldigen ten opzichte van de y-as met factor -2.

c. _,1 3 3 ( 3) 3 3 3 3( 1) 3 1 1 1 27 ( ) 3 _{x naar links} 3 _x 3 _x Vy as 3 _x 3 _x (3 )_x ( )_x f x _ y _{   }  y _{      }          d. _,1 3 3 3 3( 3) 3 3 1 3 27 ( ) 3 _x Vy as 3 _{x naar links} 3 _x (3 )_x ( )_x f x _  y _ y _{    }        B-3. f x( ) 2 4  21(x1)  2 412x412  2 (4 ) 2 4 221 x   x B-4. a. 1 2 2 ( ) x _8 _b. 1 27 ( 3)x _{ c.} 1 4 4 x 12 1 2 2 3 1 2 1 2 (( ) ) 2 2 2 3 1 x x x x  _{ }   1 2 3 3 1 3 1 2 (3 ) 3 3 6 x x x        2 2 3 4 8 (2 ) 2 2 2 3 x x x x         1 2 1 x  d. 8 9 3 3_ x _2 e. ₅12x 125 ( )1₅ x   _f. 1 3 1 2 8 ( )x _4 x 2 1 9 3 3 2 x x  _{ }   2 3 5 5 5 2 3 x x x x  _{ }     3 3 2 1 2 (2 ) (2 ) 3( 3) 2(1 2 ) x x x x   _      3 x   3 9 2 4 11 x x x      B-5. _{V t}( )_{T t}( ) 20 60 0,95_{  } t ( ) 20 60 0,95t T t   

Extra oefening Gemengd

c. Spiegelen in de y-as is hetzelfde als een horizontale vermenigvuldiging met factor -1: 3 2 2 ( ) 5 ( ) x h x _{ }   d. 3 2 2 ( ) 5 ( )x j x _{  }  G-2. a. 1 1 2 1 3 1 2 1 1 8 2 2 2 2 ( ) ( )x ( ) ( )x ( )x f x _{ }  _{ }  _  b. 1 1 1 1 1 2 ( ) ( )x (2 )x 2 x f x _  _   _   c. 1 1 1 2 2 2 1 1 ( ) 2 x (4 ) x 4 x f x _   _   _   G-3. a. S(0) 1000 : _{b a 2,7}0 _{  b a 1000}

Voor grote waarden van t is S t( )b en nadert de grafiek de waarde 5000.

5000 4000 b en a b. S t( ) 4000 5000 4000 2,7 4000 4000 2,7 1000 2,7 0,25 1,4 t t t t maanden           G-4. a. 12 1 1 5 ( 5) x _{ }5x 1 1 1 2 2 2 1 1 4 2 1 1 1 4 2 1 1 4 2 2 5 (5 ) 5 5 5 5 1 x x x x x x x x           b. 2 5 ( ) ( ) f x g x voor x G-5. a. _{2 0,3} 2 ₀ 2 x x _{ }1 2 2 2 3 2 0,3 (2 0,3 ) 0 0 0,3 2 6 x x x x x x x         b. 2 2 2 1 2 1 3 3 9 2x0,3x  0,3(x 6 x) 0,3((x3 ) 11 ) De top van de exponent ligt bij 1

3 3

x c. y 20,3 11 19 10,08

Uitdagende opdrachten

a. gezien de kleuren zal dat van 6 functies zijn. b. 2_{ a} 2x _0 2 2 2 2 x x a a     

Voor a0 heeft deze vergelijking een oplossing, en dan heeft de functie een verticale asymptoot.

c. Voor grote positieve waarden van x, wordt _a2x _{ook heel erg groot. De noemer}

wordt heel groot en daarmee gaat de breuk naar 0. Horizontale asymptoot: y 0. Voor grote negatieve waarden van x, wordt _a2x _{vrijwel gelijk aan 0. De noemer}

nadert naar 2 daarmee gaat de breuk naar 4. Horizontale asymptoot: y 4.

d. 8 4 2 2 2 2 x x      e. 8 2 2 2 x x   1 8 4 2 (2 2 2 ) 8 2 8 8 2 16 2 2 2 1 x x x x x x                   2 2 8 2 (2 2 ) 2 2 2 (2 ) 2 2 8 (2 4)(2 2) 0 2 4 2 2 1 x x x x x x x x x x x                   S(-1, 8) U-2. a. _{f x( ) 5 1,4}  x Vx as , 1    _{y 5 1,4}xVy as , 1 _{g x( )}  _{5 1,4}x b. Dan moet gelden: g x(  ) f x( )

( ) 5 1,4 x 5 1,4x 1 5 1,4x ( ) g x_{   }  _{        }f x U-3. _{h x}( )_{f x a}( _ )_{f x}( ) 3 2_{ } x a _{ }3 2x _{ }3 2 (2x_ a_{ }1) 3(2a_{ }1) 2x _{ c} 2x U-4. a. _{1 3} 2 ₃ 2 x x _{ }8 2 2 2 1 3 3 3 2 ( 1)( 2) 0 1 2 x x x x x x x x            

De oppervlakte van A’B’BA is 8

b. 1

2 1

x is symmetrieas van de parabool _{y  1 3x x} 2_.

c. 1 ' 2 (12 ) 3 B x   a a  a en A B' ' 3    a a 3 2a d. _{1 3} 2 '( , 2 a a ) A a   e. _{1 3} 2 (3 2 ) 2 a a O_{ } a _   Voer in: 1 3 2 1 (3 2 ) 2 x x y _{ } x _   _{maximum: x 0,7}