Strategische uitgifte bij bloedtransfusie

Strategische uitgifte bij

bloedtransfusie

Bachelorscriptie

M.F.M. Ettema

10786449

Universiteit van Amsterdam

Faculteit Economie en Bedrijfskunde

Supervisors:

N.M. van Dijk

J.H.J. van Sambeeck

Inhoudsopgave

Inhoudsopgave iii 1 Introductie 1 2 Probleembeschrijving 3 2.1 Alloimmunisatie . . . 3 5 2.2 Dynamische voorraad . . . 3 2.3 Introductie MDP . . . 4 2.3.1 Beslissingsmomenten . . . 4 2.3.2 Toestanden . . . 5 2.3.3 Acties . . . 5 10 2.3.4 Overgangskansen . . . 5 2.3.5 Opbrengsten . . . 5 2.4 Optimalisatiecriterium . . . 6 2.4.1 Gemiddelde opbrengsten. . . 6 2.4.2 Verdisconteerde opbrengsten . . . 6 15 2.4.3 Eindige tijdshorizon . . . 6

3 MDP met constante voorraad 7 3.1 Toestandsruimte . . . 7 3.2 Acties . . . 7 3.3 Overgangskansen . . . 8 20 3.3.1 ABO transities . . . 8 3.3.2 Transities algemeen . . . 9 3.4 Opbrengsten . . . 10 3.5 Oplossing . . . 10 3.6 Resultaten. . . 10 25

INHOUDSOPGAVE

4 Continue Tijd MDP 12

4.1 Beslissingsmomenten . . . 12

4.2 Toestandsruimte . . . 12

4.3 Acties . . . 13

4.3.1 Binnenkomst pati¨ent . . . 13

30 4.3.2 Binnenkomst bloedunit . . . 13 4.3.3 Weggooien bloedunit . . . 13 4.4 Overgangskansen . . . 13 4.4.1 Aankomst . . . 13 4.4.2 Uitgifte . . . 13 35 4.4.3 Oud bloed. . . 14 4.4.4 Restrictie intensiteiten . . . 14 4.4.5 Overgang . . . 14 4.5 Opbrengsten . . . 14 4.6 Uniformisatie . . . 15 40 5 Discrete Tijd MDP 16 5.1 Beslissingsmomenten . . . 16 5.2 Toestand . . . 16 5.2.1 Toestand ABO . . . 16 5.2.2 Toestand algemeen . . . 17 45 5.3 Acties . . . 17 5.3.1 Acties ABO . . . 17 5.3.2 Acties algemeen . . . 18 5.4 Overgangskansen . . . 18

5.4.1 Binnenkomst pati¨ent . . . 18

50 5.4.2 Binnenkomst voorraad . . . 18

5.4.3 Weggooien oud bloed . . . 18

5.4.4 Transitiematrix . . . 19 5.5 Opbrengsten . . . 19 5.5.1 Compatibiliteit ABO. . . 19 55 5.5.2 Compatibiliteit algemeen . . . 20 5.6 Oplossing . . . 21 6 Discussie 22 6.1 Houdbaarheid van bloed . . . 22

6.2 Donorpopulatie . . . 22

INHOUDSOPGAVE

6.3 Geplande vraag . . . 23

6.4 Uitbreidingen . . . 24

6.4.1 Nieuwe bloedunit aan voorraad toevoegen of niet . . . 24

6.4.2 Vraag naar meerdere eenheden . . . 24

6.4.3 Tijdsafhankelijke intensiteiten. . . 24

65

7 Conclusie 26

Bibliografie 27

Hoofdstuk 1

Introductie

70

Elk jaar zijn er in Nederland 250.000 mensen die een bloedtransfusie ondergaan. Bij de

bloed-transfusie krijgen de pati¨enten rode bloedcellen, bloedplaatjes en/of plasma toegediend. Deze

behandeling wordt bij verschillende pati¨enten toegepast, onder andere slachtoffers van ongevallen, pati¨enten die een operatie ondergaan waarbij veel bloed verloren kan gaan en pati¨enten die

wor-den behandeld voor vormen van kanker of verschillende bloedziekten. [9] Tegenover deze 250.000

75

pati¨enten die elk jaar een bloedtransfusie ondergaan staan 720.000 donaties van bijna 325.000

verschillende donoren. Niet elke donatie wordt gebruikt voor een bloedtransfusie voor pati¨enten.

Sanquin doet ook onderzoek met het gedoneerde bloed. [8]

Bij bloedtransfusies is het belangrijk dat het bloed van de donor een goede match is met het bloed van de pati¨ent. Het bloed van de donor mag hiervoor geen antigenen bevatten die niet in het

80

bloed van de ontvanger zitten. Het is lastig om het donorbloed goed te matchen met de pati¨ent. Er zijn veel verschillende antigenen waarop gematcht kan worden. In het onderzoek van van Sambeeck, van der Schoot, Schonewille, van Dijk en Jansen [5] wordt op maximaal 16 verschillende antigenen

gematcht. Onderscheid kan worden gemaakt tussen 216 _{= 65536 verschillende bloedgroepen.}

Een ziekenhuis kan niet al deze verschillende bloedgroepen op voorraad hebben waardoor het

85

onmogelijk wordt om precies de juiste bloedgroep aan de pati¨ent te geven. Vaak is het ook niet

geheel bekend welke antigenen wel of niet in het bloed zitten van zowel de pati¨ent als de donor.

Het is ook hierom onmogelijk om op al deze antigenen te matchen.

Ziekenhuizen kunnen geen oneindige voorraad bloed hebben. Naast dat het veel geld kost om grote hoeveelheden bloed op voorraad te hebben is het ook niet wenselijk om een veel groter

90

aanbod aan bloed in een ziekenhuis te hebben dan dat er vraag naar bloed is. Bij een grote voorraad en weinig vraag zal er bloed weggegooid moeten worden omdat het bloed niet oneindig houdbaar is.

Het is dus van belang dat ziekenhuizen het bloed op een manier uitgeven zodat zo veel mogelijk pati¨enten geholpen kunnen worden. Bij de uitgifte van bloed zal niet enkel gekeken worden naar de

HOOFDSTUK 1. INTRODUCTIE

opbrengsten van de uitgifte op dat moment, maar ook naar de mogelijke uitgiften in de toekomst. Voor een ziekenhuis is het belangrijk om een goede strategie te hebben met betrekking tot het

uitgeven van bloed, zodat op lange termijn zo veel mogelijk pati¨enten geholpen kunnen worden. Er

zijn veel verschillende uitgifte strategie¨en mogelijk. Een mogelijke strategie is om een pati¨ent altijd een identieke bloedgroep te geven mits deze op voorraad is. Ook is het mogelijk om compatibel

100

uit te geven. Er wordt dan alleen bloed gegeven dat geen antigenen bevat die de pati¨ent zelf

niet in zijn/haar bloed heeft. Ook is het mogelijk om combinaties van deze strategie¨en te maken.

Zo kan aan een pati¨ent een identieke bloedgroep gegeven worden zolang deze op voorraad is, is

de identieke bloedgroep niet meer op voorraad dan kan naar een compatibel alternatief gekeken worden. Voor dit probleem zal een mathematisch model opgesteld worden waarmee de compatibele

105

uitgiftestrategie bepaald kan worden.

Hoofdstuk 2 zal een uitgebreide probleembeschrijving bevatten. Hoofdstuk 3 bevat een uitge-werkte modelformulering van een MDP met een constante voorraad. Vervolgens wordt in hoofd-stuk 4 het probleem beschreven als een Continuous-Time Markov Decision Process. In hoofdhoofd-stuk 5 zal een Discrete Time MDP beschreven worden. Hoofdstuk 6 bevat de discussie van het onderzoek

110

met mogelijke uitbreidingen voor het model. Vervolgens worden in hoofdstuk 7 de conclusies van dit onderzoek gegeven.

Hoofdstuk 2

Probleembeschrijving

2.1

Alloimmunisatie

115

Voor dit onderzoek bekijken we een voorraad met bloedunits. Als een pati¨ent om bloed vraagt zal

een unit uit de voorraad gehaald worden. Sanquin geeft een pati¨ent het liefst bloed van dezelfde

bloedgroep als de pati¨ent heeft. Daarvoor moeten alle verschillende bloedgroepen op voorraad

zijn. Het is echter niet altijd mogelijk om de pati¨ent identiek bloed, bloed van exact dezelfde

bloedgroep als hij/zij zelf heeft, te geven. Niet altijd is deze bloedgroep op voorraad. In dat geval

120

kan ook een andere bloedgroep gegeven worden, mits deze bloedgroep geen antigenen bevat die de pati¨ent zelf niet in zijn bloed heeft.

Bij het geven van bloed met antigenen die de pati¨ent zelf niet heeft, kan alloimmunisatie

optreden. Alloimmunisatie is een reactie van het immuunsysteem op onbekende antigenen.[11]

Bij een bloedtransfusie of een transplantatie kunnen bloedcellen met onbekende antigenen in het

125

bloed van de pati¨ent terecht komen. Door het matchen van het donorbloed met de pati¨ent kan

deze alloimmunisatie voorkomen worden.

Om alloimmunisatie te voorkomen zal het bloed compatibel uitgegeven worden. Bij het

compa-tibel uitgeven zal op ABOD niveau de bloedgroep O−het meest gevraagd worden. Deze bloedgroep

bevat geen antigenen en kan dus door elke pati¨ent ontvangen worden.

130

2.2

Dynamische voorraad

De voorraad zal niet hetzelfde blijven over de tijd. De voorraad verandert bij elke vraag naar een bloedunit en elke binnenkomst van bloed. Als een nieuwe unit de voorraad inkomt, heeft deze een bepaalde kans om van bloedgroep ψ te zijn. Deze kansen worden gegeven door verdeling van de bloedgroepen onder de populatie. De beschikbare voorraad is van invloed op de keuze welke

135

HOOFDSTUK 2. PROBLEEMBESCHRIJVING

het lastig maken om te bepalen welk bloedunit aan de pati¨ent gegeven zal worden.

2.3

Introductie MDP

Op elk beslissingsmoment zal een beslissing gemaakt moeten worden. Vanuit elke toestand kan een andere beslissing genomen worden. De beslissingen zijn niet afhankelijk van eerder gemaakte

140

beslissingen. Ook zijn de overgangskansen enkel afhankelijk van de toestand waarin het systeem zich bevindt. Het maakt hierbij niet uit hoe het systeem in de desbetreffende toestand gekomen is.

In een Markov beslissingsproces zal een persoon een beslissing maken die niet alleen effect heeft op de opbrengst op dat tijdstip, maar ook op de toestand en eventuele opbrengsten in de toekomst.

145

Bij het maken van de beslissing is het doel om de verwachtte opbrengst over de lange termijn te maximaliseren. Een uitgebreide beschrijving van Markov beslissingsprocessen is the vinden in het werk van Puterman. [4]

Puterman beschrijft het Markov Decision Process aan de hand van vijf eigenschappen:

1. Beslissingsmomenten 150 2. Toestanden 3. Acties 4. Overgangskansen 5. Opbrengsten

2.3.1

Beslissingsmomenten

155

In een Markov Decision Process worden beslissingen genomen op bepaalde beslissingsmomenten. Hierbij is T de set van beslissingsmomenten. De verzameling T is een deelverzameling van de niet-negatieve re¨ele tijdslijn. Deze deelverzameling kan discreet of continu zijn en met een eindige of een oneindige horizon.

Discreet

160

In het geval dat de beslissingsmomenten alleen op discrete tijdstippen plaats kunnen vinden wordt de verzameling T met de beslissingsmomenten gegeven door: T := {t|t = 1, 2, ..., N } waarbij N < ∞ bij een eindige horizon en N = ∞ bij een oneindige horizon.

HOOFDSTUK 2. PROBLEEMBESCHRIJVING

Continu

Als deze deelverzameling continu is zijn er drie mogelijkheden waarop de tijdstippen beschreven

165

kunnen worden:

• Elk moment in de tijd kan een beslissing worden gemaakt

• Bij een gebeurtenis die op een random moment kan plaatsvinden, zoals een aankomst bij een wachtrij.

• Op tijdstippen gekozen door de persoon die de beslissing zal maken.

170

De verzameling van de beslissingsmomenten wordt gegeven door het interval T = [0, N ]. Hierbij is N < ∞ bij een eindige horizon en N = ∞ bij een oneindige horizon.

2.3.2

Toestanden

Op het moment dat een beslissing genomen moet worden bevindt het systeem zich in een bepaalde toestand s. De verzameling van deze verschillende mogelijke toestanden S waarbij geldt: s ∈ S

175

2.3.3

Acties

Niet in elke toestand zijn dezelfde acties mogelijk. De verzameling mogelijke acties is dus afhan-kelijk van de toestand waarin het systeem zich bevindt. De verzameling wordt weergegeven door A(s). Uit deze verzameling wordt een actie a gekozen (a ∈ A). Bij elke vraag naar bloed zal een

beslissing gemaakt worden welke van de aanwezige items bloed aan de pati¨ent gegeven zal worden.

180

2.3.4

Overgangskansen

De kans om van toestand s naar toestand t te gaan is afhankelijk van de actie a die is gekozen. Deze kans wordt geschreven als p(s, a, t). Het is niet altijd mogelijk om van toestand s naar toestand t te gaan in een enkele transitie. Voor een overgang die niet in ´e´en transitie mogelijk is,

is de kans p(s, a, t) = 0. Ook moet gelden datP

t,ap(s, a, t) = 1

185

2.3.5

Opbrengsten

Met de overgang van toestand s naar toestand t worden kosten gemaakt die afhankelijk zijn van deze twee toestanden. Bij een MDP is het gebruikelijk om niet de kosten maar de opbrengsten te defini¨eren. Kosten die bij de transitie gemaakt worden, zullen deze beschreven worden als negatieve opbrengsten. De functie r(s, t) beschrijft de kosten die gemaakt worden om van toestand s naar

190

HOOFDSTUK 2. PROBLEEMBESCHRIJVING

2.4

Optimalisatiecriterium

Er zijn verschillende criteria mogelijk om het Markov beslissingsproces te maximaliseren.

2.4.1

Gemiddelde opbrengsten

Een criterium is het maximaliseren van de gemiddelde opbrengsten. Aan elke transitie zijn

op-195

brengsten gekoppeld. Door het nemen van de gemiddelde opbrengsten kunnen gemakkelijk verge-lijkingen gedaan worden van de opbrengsten over verschillende tijdsperioden. Ook kan er over een oneindige horizon gekeken worden. De gemiddelde opbrengsten g onder een strategie π worden gegeven door (5.3) [4] gπ(s) = lim N →∞ 1 Nv π N +1(s) = lim N →∞ ∞ X n=1 Pπn−1rdn(s) (2.1)

2.4.2

Verdisconteerde opbrengsten

200

Het criterium om de opbrengsten te verdisconteren en de som over al deze verdisconteerde op-brengsten te maximaliseren. Bij dit criterium wordt de aanname gedaan dat een opbrengst op dit tijdstip meer waard is dan een even grote opbrengst in de toekomst. Een opbrengst zal een steeds kleinere bijdrage leveren aan deze som als deze verder in de toekomst verkregen wordt.

2.4.3

Eindige tijdshorizon

205

Bij een eindige tijdshorizon zal een eindig aantal transities plaatsvinden. Met terugwaardse in-ductie kan de recursievergelijking worden opgelost en de strategie worden bepaald waarvoor de opbrengsten maximaal zijn.

Hoofdstuk 3

MDP met constante voorraad

210

Het probleem is door van Sambeeck geformuleerd als een Markov Decision Process.[6] Bij elke

tijdseenheid zal een bloedunit gevraagd worden en vervolgens zal ook een bloedunit toegevoegd worden aan de voorraad. Hierdoor blijft het aantal eenheden dat in de voorraad aanwezig is altijd

gelijk. Aan de hand van de bloedgroep van de pati¨ent en de aanwezige voorraad zal een bloedunit

uit de voorraad aan de pati¨ent gegeven worden. Dit is geformuleerd als de beslissing die gemaakt

215

moet worden.

3.1

Toestandsruimte

De toestand waarin het systeem zich bevindt wordt gegeven door de op dat tijdstip aanwezige

voorraad x en de bloedgroep van de pati¨ent ϕ. Het aantal antigenen waarop gematcht wordt is

m en de grootte van de voorraad is gelijk aan n. In dit geval geldt dat de grootte van de set met

220

mogelijke bloedgroepen (|F |) gelijk is aan 2m_{= M .}

De grootte van de set met mogelijke voorraden is gelijk aan   n + M − 1 n  

De toestandsruimte S wordt dan gegeven door:

S := {s = (x, ϕ)|x ∈Nm₀ ,X

ψ∈F

xψ= n, ϕ ∈ F } (3.1)

waarbij xψ ∈ N0 de hoeveelheid eenheden op voorraad van bloedgroep ψ is en ϕ ∈ F is de

gevraagde bloedgroep. .

225

3.2

Acties

Voorafgaand aan het toedienen van een bloedunit aan de pati¨ent zal eerst een beslissing gemaakt

HOOFDSTUK 3. MDP MET CONSTANTE VOORRAAD

wordt gegeven door A ⊆ F

A(s) := {ψ ∈ F |xψ> 0}∀s ∈ S (3.2)

Voor elke toestand s = (x, ϕ) ∈ S is de verzameling met mogelijke acties enkel afhankelijk van de

230

op dat moment aanwezige items in de voorraad (x) en niet van de gevraagde bloedgroep (ϕ).

3.3

Overgangskansen

Niet altijd is het mogelijk om van toestand s naar toestand s0te gaan in slechts ´e´en enkele transitie.

3.3.1

ABO transities

Als de grootte van de voorraad gelijk is aan twee en er wordt naar 2 antigenen gekeken dan volgt

235

de volgende graaf waarin de mogelijke overgangen, die in ´e´en stap te maken zijn, weergegeven zijn.

Figuur 3.1: Transities ABO

Naast deze overgangen naar een andere toestand is het ook mogelijk om weer terug te keren naar dezelfde toestand. Voor dit kleine voorbeeld waarbij slechts twee antigenen meegenomen worden en de voorraad ook slechts een grootte van twee heeft, zijn de transities nog te tekenen in een graaf. Bij grotere voorbeelden gaat dit erg lastig worden.

HOOFDSTUK 3. MDP MET CONSTANTE VOORRAAD

3.3.2

Transities algemeen

De kans om van toestand s = (x, ϕ1) ∈ S naar toestand s0= (z, ϕ2) ∈ S te gaan in de transitie is

afhankelijk van drie factoren

1. De bloedunit a ∈ A(s) die gegeven wordt om aan de vraag van de pati¨ent met bloedgroep

ϕ1 te voldoen.

245

2. De bloedunit ψ ∈ F die aan de voorraad wordt toegevoegd.

3. De bloedgroep ϕ ∈ F van de volgende pati¨ent.

De eerste factor is totaal afhankelijk van de beslissing die gemaakt wordt. Deze kan bepaald worden door de maker van de beslissing. Als gestart wordt met een voorraad x en gekozen wordt

om een bloedunit met bloedgroep a ∈ A aan de pati¨ent te geven dan zullen de volgende twee

250

vergelijkingen de voorraad weergeven:        yi= xi− 1 als i = a yi= xi als i 6= a (3.3)

De tweede factor is de bloedunit ψ ∈ F die aan de voorraad toegevoegd wordt. Hierdoor verandert de voorraad nogmaals en volgen de volgende vergelijkingen:

       zi= yi+ 1 als i = ψ zi= yi als i 6= ψ (3.4)

Het combineren van deze twee verzamelingen vergelijkingen geeft:

1. zi= xi ∀i ∈ F als a = ψ 255 2.              zi= xi− 1 i = a, a 6= ψ zi= xi i 6= a, i 6= ψ, ψ 6= a zi= xi+ 1 i = ψ, a 6= ψ (3.5)

Hieruit volgen de overgangskansen voor een transitie van toestand s naar toestand s0 als actie

a ∈ A(s) gekozen wordt.

p(s, s0, a) =                              fψ· fϕ1 als yi= xi, ∀i ∈ F en a = ψ fψ· fϕ2 als              yi = xi− 1, i = a yi = xi, i 6= a, i 6= ψ en a 6= ψ yi = xi+ 1, i = ψ 0 anders (3.6)

HOOFDSTUK 3. MDP MET CONSTANTE VOORRAAD

3.4

Opbrengsten

Om te voorkomen dat bloed gegeven wordt aan de pati¨ent waarvan de bloedgroep niet compatibel

260

is, worden kosten aan deze actie gekoppeld. Bij het geven van een bloedgroep die niet compatibel

is met de bloedgroep van de pati¨ent wordt een kostenpost van 1 in rekening gebracht. Bij het

toedienen van bloed dat wel compatibel is worden geen kosten in rekening gebracht. De opbrengst van het toedienen van bloedgroep a ∈ A(s) in toestand s(x, ϕ) wordt gegeven door:

r(s, a) =        0 compatibel, ϕ ≥ a, ϕ ∈ F , a ∈ A(s) −1 anders (3.7)

3.5

Oplossing

265

Er is gekozen om de gemiddelde opbrengsten te maximaliseren. Op tijdstip 0 zal de opbrengst

(Vn_{(s)) gelijk zijn aan 0 voor alle mogelijke begintoestanden. Er zijn op dat moment nog geen}

transities geweest en er is dus nog geen bloed aan een pati¨ent toegediend. Met de recursierelatie

(3.8) kunnen de opbrengsten bepaald worden.

Vn+1(s) = max

a∈A(s)

{r(s, a) +X

s0_∈S

p(s, s0, a)Vn(s0)}, ∀s ∈ S, n > 0 (3.8)

Met behulp van Odoni grenzen [2] voor n > 0 kan de limiet van de gemiddelde verwachte opbrengst

270 bepaald worden. B(n) = max s∈S{V n+1_{(s) − V}n_{(s)} (3.9)} b(n) = min s∈S{V n+1_{(s) − V}n_{(s)} (3.10)}

Hiervoor geldt dat als G = limn→∞_n1V dan b(n) ≤ G ≤ B(n). Het Successive Approximation

Algorithm wordt gestopt als B(n) − b(n) < 10−3 wordt bereikt.

3.6

Resultaten

275

Met dit algoritme is het mogelijk het Markov beslissingsproces zoals hier geformuleerd is op te lossen. Het model heeft een grote toestandsruimte en bij het vergroten van het model loopt de rekentijd snel op waardoor het probleem snel al niet meer oplosbaar is. Met drie antigenen waarop gematcht wordt en een voorraadgrootte van tien items konden de berekeningen nog worden uitgevoerd. Voor een grotere voorraad of een situatie waarin op meer antigenen gematcht wordt

280

lukt dit al niet meer.

De aanname dat de voorraad altijd constant is, is een sterke aanname. In de werkelijkheid zal nooit meteen na een uitgifte een nieuwe bloedunit geleverd worden. Vooral voor voorraden

HOOFDSTUK 3. MDP MET CONSTANTE VOORRAAD

keuzeruimte wordt hierdoor sterk verkleind. Bij grotere voorraden is dit effect veel kleiner en is

285

dit model wel een goede benadering. In het volgende hoofdstuk wordt een model opgesteld waarbij niet de aanname van een constante voorraad wordt gemaakt. Dit model neemt het natuurlijke verloop van de hoeveelheden bloedunits op voorraad ook op. Er wordt een continue-tijds Markov beslissingsproces opgesteld voor dit probleem.

Hoofdstuk 4

290

Continue Tijd MDP

In het Continuous-Time Markov Decision Process (CTMDP) zal niet elke tijdseenheid een bloed-unit de voorraad verlaten en binnenkomen. Met een bepaalde intensiteit λ wordt een bloedbloed-unit

aan de voorraad toegevoegd. Met de intensiteit µ komt een pati¨ent binnen die om een bloedunit

vraagt. Bloed heeft ook een beperkte houdbaarheid. Deze houdbaarheid zal in dit model ook

295

meegenomen worden. Als een bloedunit te lang in de voorraad ligt is deze niet meer bruikbaar. Met intensiteit ν wordt een bloedunit weggegooid.

4.1

Beslissingsmomenten

Een beslissing moet gemaakt worden als een bloedunit uitgegeven wordt. Bij binnenkomst van

de pati¨ent is zijn/haar bloedgroep gegeven. Op basis van de bloedgroep van de pati¨ent en de

300

op voorraad aanwezige bloedunits wordt een beslissing gemaakt. In het CTMC model wordt voorafgaand aan elke transitie een beslissing genomen. Bij binnenkomst van een bloedunit is er echter weinig te kiezen en zal de actieset enkel bestaan uit het toevoegen van de nieuwe bloedunit aan de voorraad. Bij het weggooien van een bloedunit omdat deze te oud is, is ook geen echte keuze mogelijk.

305

4.2

Toestandsruimte

De toestand wordt gegeven door de op tijdstip t aanwezige voorraad x = (x1, x2, . . . , xM). Waarbij

xψde hoeveelheid van bloedgroep ψ op voorraad is. Als m het aantal antigenen waarop gematcht

wordt representeert volgt dat M = 2m. Als daarnaast nmax het maximale aantal eenheden dat

in de voorraad kan worden opgeslagen is, zal de grootte van de toestandsruimte gegeven worden

310 door   nmax+ M − 1 nmax  

HOOFDSTUK 4. CONTINUE TIJD MDP

4.3

Acties

4.3.1

Binnenkomst pati¨

ent

Op het moment dat een pati¨ent binnenkomt, zal een beslissing gemaakt moeten worden. Besloten

moet worden welke bloedgroep aan de pati¨ent gegeven wordt. De keuze die gemaakt wordt is

315

afhankelijk van de aanwezige voorraad en de bloedgroep van de pati¨ent. De actieset A, waaruit

een actie a gekozen wordt, is enkel afhankelijk van de beschikbare voorraad.

A(s) := {ψ ∈ F |xψ> 0}

4.3.2

Binnenkomst bloedunit

Op het moment dat een bloedunit binnenkomt zal besloten moeten worden of deze aan de voorraad wordt toegevoegd. In dit model is er geen mogelijkheid om een binnenkomende bloedunit te

320

weigeren zolang er nog plaats in de voorraad is. Er kan geen unit aan de voorraad toegevoegd worden als de voorraad vol is (P xψ= nmax).

4.3.3

Weggooien bloedunit

Bij het weggooien van bloed is er geen echte keuze mogelijk. De bloedunit moet weggegooid worden. De enige mogelijke actie is dan ook om de bloedunit weg te gooien.

325

4.4

Overgangskansen

4.4.1

Aankomst

De aankomsten van een nieuwe unit bloed die aan de voorraad toegevoegd kan worden zijn wille-keurig en onafhankelijk van eerdere of toekomstige aankomsten. De aankomst van een unit bloed in de voorraad heeft een aankomstintensiteit van λ. De bloedunit heeft een kansverdeling van

330

verschillende bloedgroepen volgens de populatieverdeling fψ. De voorraad is echter niet oneindig

groot. Er kan alleen een nieuwe unit in de voorraad komen als geldtP

ψxψ≤ nmax

4.4.2

Uitgifte

De pati¨enten die bloed nodig hebben zullen op willekeurige momenten aankomen. Deze momenten

zijn homogeen verspreid over de tijd en onafhankelijk van elkaar. Met een intensiteit van µ wordt

335

om ´e´en eenheid bloed gevraagd. Bij de uitgifte van een zakje bloed wordt een actie uit de actieset gekozen. De actieset is enkel afhankelijk van de beschikbare voorraad op tijdstip t. Er kan namelijk op elk tijdstip enkel voor een bloedgroep gekozen worden als deze ook daadwerkelijk op voorraad

HOOFDSTUK 4. CONTINUE TIJD MDP

is. (xa> 0) De pati¨ent die om een eenheid bloed vraagt heeft bloedgroep ϕ met een kansverdeling

fϕ waarbij deze kansverdeling de populatieverdeling volgt.

340

4.4.3

Oud bloed

Het bloed kan niet oneindig lang bewaard worden. De maximale houdbaarheid van rode bloedcellen is 35 dagen. Met intensiteit ν is er een unit bloed niet meer geschikt voor transfusie en zal dus weggegooid moeten worden. Elke unit bloed uit de voorraad heeft dezelfde kans om weggegooid te worden.

345

4.4.4

Restrictie intensiteiten

Het is van belang dat de aankomstintensiteit (λ) groter is dan de intensiteit dat een item de voorraad verlaat (µ + ν). Als dit niet het geval is raakt op lange termijn de voorraad ’leeg’.

4.4.5

Overgang

Het combineren van de aankomsten en de uitgiften geeft de overgangskansen.

350 q(x, a, x0) =              λfψ1P xψ≤nmax x 0 γ= xγ+ 1, γ = ψ µfϕ x0γ= xγ− 1, γ = ψ = a νxψ x0γ= xγ− 1, γ = ψ (4.1)

4.5

Opbrengsten

Om te zorgen dat pati¨enten zo vaak mogelijk compatibel bloed toegediend krijgen wordt een boete

gegeven als een pati¨ent geen compatibel bloed krijgt. Er zijn geen kosten verbonden aan de

bin-nenkomst van een nieuwe bloedunit. Bij het weggooien van een bloedunit worden kosten gerekend net als bij de keuze van een bloedgroep die niet compatibel is met de bloedgroep van de pati¨ent.

355

Deze kosten voor het weggooien van bloed liggen aanzienlijk lager dan bij het toedienen van

niet-compatibel bloed of een pati¨ent weigeren. Het weggooien van bloed moet wel geminimaliseerd

worden, maar is niet zo ernstig als het niet goed kunnen helpen van een pati¨ent. De opbrengsten

zijn niet afhankelijk van de toestand van de voorraad na de transitie. Enkel is van belang welke voorraad er aanwezig was voor de uitgifte en de gekozen actie.

360 r(s, a) =             

−10 bij niet compatibel uitgeven

−1 bij weggooien bloedunit

0 anders

HOOFDSTUK 4. CONTINUE TIJD MDP

4.6

Uniformisatie

In het artikel van Serfozo[10] wordt aangetoond dat een Continuous-Time Markov Decision

Pro-cess ook geschreven kan worden als een Discrete-Time MDP. Onder het gemiddelde opbrengsten criterium komen de twee MDP’s overeen met betrekking tot de verwachte gemiddelde opbrengsten en de beslissingen. In het continue tijd MDP blijft het systeem voor een onbepaalde tijd in

toe-365

stand s. Deze verblijfstijd heeft een exponenti¨ele verdeling met parameter λ(s, a) ≥ 0. Vervolgens gaat het systeem naar toestand t ∈ S met kans q(s, a, t). Bij de uniformisatie wordt het CTMDP omgeschreven in een proces waarbij er een transitie van s naar t plaatsvindt met een exponenti¨ele verdeling met parameter B. Waarbij B zo gekozen wordt dat geldt:

X

t6=s

q(s, a, t) ≤ B < ∞ (4.3)

Met de overgangskansen (4.1) krijgen we:

370

λ + µ + νX

ψ

xψ≤ B < ∞ (4.4)

Er zal over een klein tijdsinterval gekeken worden naar de overgangen. Hierbij is de kans dat in dit tijdsinterval twee of meer transities plaatsvinden verwaarloosbaar klein. [1]

p(x, a, x0) =                      λ Bfψ1P xψ≤nmax x 0 γ = xγ+ 1, γ = ψ x0γ = xγ, γ 6= ψ µ Bfϕ x 0 γ = xγ− 1, γ = ψ = a x0γ = xγ, γ 6= ψ ν Bxψ x 0 γ = xγ− 1, γ = ψ x0γ = xγ, γ 6= ψ 1 − _Bλ − µ B − ν B P ψxψ x0γ = xγ, ∀γ (4.5)

Het kleine interval waarin gekeken wordt is van grootte h = _B1. In dit tijdsinterval bestaat een kans op een transitie naar een andere toestand. Ook is het mogelijk dat er geen transitie plaatsvindt. In matrixnotatie kan de uniformisatie als volgt geschreven worden:

375

P = I + 1

Hoofdstuk 5

Discrete Tijd MDP

In het vorige hoofdstuk is het continue-tijds Markov beslissingsproces omgeschreven naar een discrete-tijds Markov beslissingsproces. In dit hoofdstuk wordt het DTMDP verder uitgewerkt voor het uitgeven van bloedunits.

380

5.1

Beslissingsmomenten

Kenmerkend aan een discrete-tijds Markov beslissingsproces is dat op elk discreet tijdstip een beslissing gemaakt moet worden. Deze beslissing wordt gevolgd door een transitie naar een ’nieuwe’ toestand. In dit model is het ook mogelijk dat er geen gebeurtenis plaatsvindt. Dan vindt een transitie plaats die terugkeert naar dezelfde toestand.

385

5.2

Toestand

De toestand s wordt gegeven door de aanwezige voorraad en het bloedtype van de pati¨ent. De

aanwezige voorraad wordt gegeven door een vector met het aantal aanwezige units per bloedgroep.

Deze vector wordt weergegeven door x waarbij xψ de hoeveelheid van bloedgroep ψ op voorraad

is. De bloedgroep van de pati¨ent wordt gegeven door ϕ

390

5.2.1

Toestand ABO

In het geval dat op twee antigenen gematcht wordt en de voorraad twee units bevat, wordt de set

met de mogelijke bloedgroepen gegeven door F = {O, A, B, AB}. De bloedgroep van de pati¨ent

komt overeen met ´e´en van de bloedgroepen uit deze set. Er geldt dus dat ϕ ∈ {O, A, B, AB} . De

voorraad (x) is een combinatie van twee items uit een set van vier bloedgroepen. Waarbij het

mo-395

gelijk is om een bloedgroep twee keer te kiezen. De volgorde van de items in de voorraad is niet van belang. x ∈ {(2, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 2, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 2, 0),

HOOFDSTUK 5. DISCRETE TIJD MDP

(0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 2)}

De set met mogelijke voorraden heeft een grootte van 10. De set met mogelijke bloedgroepen van de pati¨ent heeft een grootte van 4. In totaal heeft de toestandsruimte een grootte van 10 · 4 =

400

40.

5.2.2

Toestand algemeen

In het algemeen is het aantal antigenen waarop gematcht wordt gelijk aan m en de voorraadgrootte gelijk aan n. In dit geval geldt dat de grootte van de set met mogelijke bloedgroepen (|F |) gelijk is aan 2m_.

405

De grootte van de set met mogelijke voorraden is gelijk aan   n + 2m_{− 1} n   waarbij m gelijk is

aan het aantal antigenen waar naar gekeken wordt. Er zijn dus 2m_{verschillende bloedgroepen die}

in de voorraad kunnen zijn. De voorraadgrootte wordt weergegeven door n. De toestandsruimte S wordt gegeven door:

S := {s = (x, ϕ)|x ∈N2₀m,X

ψ∈F

xψ= n, ϕ ∈ F }

5.3

Acties

410

Op het beslissingsmoment kan bepaald worden welke bloedgroep aan de pati¨ent gegeven wordt. Er

kan alleen gekozen worden uit de bloedgroepen die ook daadwerkelijk op voorraad zijn (xψ> 0).

De actieset is enkel afhankelijk van de op dat moment aanwezige voorraad.

5.3.1

Acties ABO

In het geval dat m=2 en n=2 kan voor elk mogelijke voorraad de actieset gegeven worden.

415 voorraad actieset (2, 0, 0, 0) {O} (1, 1, 0, 0) {O, A} (1, 0, 1, 0) {O, B} (1, 0, 0, 1) {O, AB} (0, 2, 0, 0) {A} (0, 1, 1, 0) {A, B} (0, 1, 0, 1) {A, AB} (0, 0, 2, 0) {B} (0, 0, 1, 1) {B, AB} (0, 0, 0, 2) {AB}

HOOFDSTUK 5. DISCRETE TIJD MDP

bloedgroepen op voorraad zijn is slechts 1 actie mogelijk en kan er geen beslissing meer genomen worden.

5.3.2

Acties algemeen

420

De actieset A is een deelverzameling van F en enkel afhankelijk van de voorraad x. De actieset in toestand s kan als volgt worden omschreven:

A(s) := {ψ ∈ F |xψ> 0}

Elke actie a ∈ A kan gekozen worden.

5.4

Overgangskansen

De volgende drie gebeurtenissen zorgen voor een verandering in de aanwezige voorraad. Deze

425

gebeurtenissen zorgen voor een transitie van toestand s naar s0. Het is ook mogelijk dat er geen gebeurtenis plaatsvindt. Dan zal een transitie plaatsvinden waarin van toestand s naar toestand s gegaan wordt.

5.4.1

Binnenkomst pati¨

ent

De kans dat de binnenkomende pati¨ent de bloedgroep ϕ heeft wordt gegeven door het percentage

430

van bloedgroep ϕ in de populatie (fϕ).

5.4.2

Binnenkomst voorraad

De kans op een bepaalde bloedgroep wordt weergegeven door het percentage van die bloedgroep in

de populatie. Deze kansen kunnen worden weergegeven in een vector f waarbij fψhet percentage

van bloedgroep ψ in de populatie.

435

5.4.3

Weggooien oud bloed

Ook in het discrete-tijds-MDP model zal bloed weggegooid worden omdat het een beperkte houd-baarheid heeft.

HOOFDSTUK 5. DISCRETE TIJD MDP

5.4.4

Transitiematrix

De transitiematrix wordt gegeven door de overgangskansen van toestand s = x naar toestand

440 s0= x0 p(x, a, x0) =                      λ Bfψ1P xψ≤nmax x 0 γ = xγ+ 1, γ = ψ x0γ = xγ, γ 6= ψ µ Bfϕ x 0 γ = xγ− 1, γ = ψ = a x0γ = xγ, γ 6= ψ ν Bxψ x 0 γ = xγ− 1, γ = ψ x0γ = xγ, γ 6= ψ 1 − _Bλ − µ B − ν B P ψxψ x0γ = xγ, ∀γ (5.1)

5.5

Opbrengsten

Om te voorkomen dat bloed gegeven wordt aan de pati¨ent waarvan de bloedgroep niet compatibel

is, worden kosten aan deze actie gehangen. Bij het geven van een bloedgroep die niet compatibel

is met de bloedgroep van de pati¨ent wordt een kostenpost van 10 in rekening gebracht. Bij het

445

toedienen van bloed dat wel compatibel is worden geen kosten in rekening gebracht. Als een bloedunit te oud is en weggegooid moet worden staat daar een boete van 1 op.

r(s, ϕ, a) =             

−10 als a = ψ niet compatibel is met ϕ

−1 als een bloedunit weggegooid moet worden

0 anders

(5.2)

5.5.1

Compatibiliteit ABO

Een pati¨ent kan niet elk bloed ontvangen. Er kan geen bloed gegeven worden aan de pati¨ent

waarin antigenen zitten die de pati¨ent zelf niet in zijn/haar bloed heeft. In figuur 5.1 is te zien

450

welke bloedgroepen een pati¨ent kan ontvangen als enkel naar de A en B antigenen gekeken wordt.

bloedgroep aanwezige antigenen afwezige antigenen compatibele bloedgroepen

O A,B O

A A B O,A

B B A O,B

AB A,B O,A,B,AB

HOOFDSTUK 5. DISCRETE TIJD MDP

Figuur 5.1: Compatibiliteit ABO

Bloedgroep O kan aan elke pati¨ent gegeven worden en staat hierom bekend als de ’algemene gever’.

Bloedgroep AB kan enkel aan bloedgroep AB worden gegeven, maar een pati¨ent met bloedgroep

AB kan wel elke bloedgroep ontvangen.

5.5.2

Compatibiliteit algemeen

455

Ook met meer antigenen kan gekeken worden of de bloedgroep van de donor (ψ) compatibel is met de bloedgroep van de pati¨ent (ϕ). De bloedgroepen van zowel de pati¨ent als de donor worden weergegeven in een vector waarbij de i-de term gelijk is aan 0 als dat antigen niet aanwezig is en 1

als deze wel aanwezig is. De bloedgroep A wordt dan weergegeven door de vector1 0

 . Voor

de bloedgroepen die compatibel zijn voor een pati¨ent met bloedgroep A moet gelden dat er geen

460

antigenen B in het bloed zitten. Er moet dus gelden dat de vector ψ geen 1 op de tweede plaats in de vector heeft staan.

In het algemeen moet gelden dat ϕ ≥ ψ voor elk element in ϕ en ψ. Voor het ABO voorbeeld is

HOOFDSTUK 5. DISCRETE TIJD MDP ψ ϕ − ψ (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (0, 1) (1, 1) (1, 0) (−1, 0) (0, 0) (−1, 1) (0, 1) (0, 1) (0, −1) (1, −1) (0, 0) (1, 0) (1, 1) (−1, −1) (0, −1) (−1, 0) (0, 0)

Tabel 5.2: Compatibiliteit ABO

Dit kan ook gedaan worden als het aantal antigenen waarop gematcht wordt toeneemt.

465

5.6

Oplossing

De gemiddelde opbrengst g bij een strategie π wordt gemaximaliseerd.

gπ(s) = lim N →∞ 1 Nv π N +1(s) = lim N →∞ ∞ X n=1 P_πn−1rdn(s) (5.3)

Er kan een oplossing gevonden worden met behulp van voorwaarts dynamisch programmeren en

het DTMDP-model. De recursieformule (5.4) moet opgelost worden. Voor elke mogelijke actie

wordt gekeken naar de directe opbrengst en de verwachtte opbrengsten in de toekomst.

470 Vn+1(s) = max a∈A(s)    r(s, ϕ, a) +X s0_∈S p(s, s0, a)Vn(s0)    (5.4)

waarbij voor n = 0 geldt Vn(s) ≡ 0, ∀s ∈ S. Op het tijdstip 0 hebben nog geen transities

plaatsgevonden en zijn er dus nog geen opbrengsten. Voor elke begintoestand is dit van toepassing.

Er kan gegekeken worden naar de Odoni grenzen. [2]

B(n) = max s∈S n Vn+1(s) − Vn(s)o, n > 0 (5.5) b(n) = min s∈S n Vn+1(s) − Vn(s)o, n > 0 (5.6)

Voor deze grenzen geldt: b(n) ≤ g ≤ B(n)

475

Deze Odoni grenzen zullen convergeren rondom de functie gπ(s) zoals bepaald in vergelijking (5.3). Met behulp van deze grenzen kan dus bepaald worden naar welke waarde de gemiddelde opbrengst zal convergeren. Er zal gestopt worden met itereren als B(n) − b(n) onder een vooraf bepaalde waarde komt.

Hoofdstuk 6

480

Discussie

6.1

Houdbaarheid van bloed

Bloed kan niet oneindig lang in de voorraad van een ziekenhuis blijven liggen. Bloedplaatjes gaan slechts zeven dagen mee. De rode bloedcellen kunnen langer worden bewaard, namelijk 35 dagen. Het langst kan je het plasma bewaren. Het plasma kan ingevroren worden en tot wel twee jaar

485

worden bewaard. [7]

Bij de uitgifte van bloed kan ook de naderende houdbaarheidsdatum van belang zijn. Bloed wat zijn houdbaarheidsdatum nadert zou eerder uitgegeven moeten worden dan bloed dat nog langer bewaard kan blijven. Dit kan ook in het model opgenomen worden.

In het model van Powell [3] wordt ook de leeftijd van het bloed dat op voorraad is bijgehouden.

490

Dit is vrij eenvoudig toe te voegen aan het model. Voor elk item wordt niet alleen bijgehouden welke bloedgroep het heeft, maar ook de leeftijd.

b =   b1 b2  =   Bloedgroep(A+, A−, . . .) Leeftijd(in weken)  

Het bijhouden van de leeftijd van een bloedunit heeft een groot nadeel bij berekeningen aan het model. De toestandsruimte wordt hierdoor alleen vergroot en dat maakt het doorrekenen van het model erg complex.

495

6.2

Donorpopulatie

Donoren met bloedgroep O− komen in de donorpopulatie vaker voor dan in de gehele populatie.

Deze donoren worden ook vaker opgeroepen om bloed te doneren. Hierdoor zal deze bloedgroep vaker op voorraad zijn dan in het model aangenomen is. Dit is gunstig aangezien de bloedgroep

O− _{de algemene gever is en door elke pati¨ent kan worden ontvangen. De bloedgroepen O}+ _en

500

HOOFDSTUK 6. DISCUSSIE

in Nederland. De verdeling van bloedgroepen onder de donorpopulatie van Sanquin is te zien in

figuur 6.1.[8]. De verdeling van de bloedgroepen onder de Nederlandse bevolking is te vinden in

tabel6.1. [7]

Figuur 6.1: Verdeling bloedgroepen donorpopulatie

O A B AB totaal

Rhesus D-positief 0.3995 0.3570 0.0680 0.0255 0.85

Rhesus D-negatief 0.0705 0.0630 0.0120 0.0045 0.15

totaal 0.47 0.42 0.08 0.03

Tabel 6.1: Verdeling bloedgroepen over de populatie in Nederland

6.3

Geplande vraag

505

Bloedtransfusies bij pati¨enten met een bloedziekte of pati¨enten met een zware operatie worden

vaak van te voren ingepland. Voor een ziekenhuis is het dan al bekend wanneer de bloedtransfusie gaat plaatsvinden. Voor geplande bloedtransfusies wordt de gewenste bloedgroep vaak van te voren besteld bij de bloedbank. Op basis van deze bestellingen zal Sanquin bloeddonoren van de specifiek gevraagde bloedgroepen oproepen.

HOOFDSTUK 6. DISCUSSIE

6.4

Uitbreidingen

6.4.1

Nieuwe bloedunit aan voorraad toevoegen of niet

Bij de binnenkomst van een bloedunit kan een beslissing worden toegevoegd. Zo kan het on-wenselijk zijn om bepaalde bloedunit aan de voorraad toe te voegen. Als er bijvoorbeeld een voorraadgrootte van 5 eenheden is en er al 4 bloedunits van bloedgroep AB op voorraad zijn is het

515

niet wenselijk om er nog een bloedunit van bloedgroep AB aan toe te voegen. Het kan dan soms een goede strategie zijn om deze af te wijzen in de hoop dat de volgende bloedunit die aankomt een andere bloedgroep heeft.

6.4.2

Vraag naar meerdere eenheden

Niet elke pati¨ent heeft slechts 1 eenheid bloed nodig. Bij grote operaties worden vaak meerdere

520

bloedunits gebruikt. Bij de binnenkomst van de pati¨ent is dan niet alleen meer de bloedgroep van

de pati¨ent van belang, maar ook de gevraagde hoeveelheid. De overgangskansen (5.1) kunnen dan

herschreven worden tot (6.1).

p(x, a, x0) =                      λ Bfψ1P xψ≤nmax x 0 γ = xγ+ 1, γ = ψ x0γ = xγ, γ 6= ψ µ Bfϕ(k) x 0 γ = xγ− k, γ = ψ = a x0γ= xγ, γ 6= ψ ν Bxψ x 0 γ = xγ− 1, γ = ψ x0γ = xγ, γ 6= ψ 1 − _Bλ −_Bµ − ν B P ψxψ x 0 γ = xγ, ∀γ (6.1)

In dit geval bestaat de actieset uit de bloedgroepen die met minstens k eenheden op voorraad zijn.

A(s) := {ψ ∈ F |xψ≥ k}

Vooral bij kleinere voorraden is dit lastig. Het kan voorkomen dat er van geen enkele

bloed-525

groep k eenheden op voorraad zijn. Er kan dan gekozen worden om bloedunits van verschillende bloedgroepen toe te dienen, zolang deze maar allemaal compatibel zijn. Dan moet een beslissing

gemaakt worden over welke combinatie van verschillende bloedgroepen aan de pati¨ent gegeven zal

worden. Dit maakt het MDP nog lastiger aangezien de actieset erg groot wordt als combinaties van bloedgroepen toegediend gaan worden.

530

6.4.3

Tijdsafhankelijke intensiteiten

De intensiteiten kunnen afhankelijk zijn van de tijd. Zo komt er in het weekend geen nieuw bloed de voorraad in, maar is er wel vraag naar bloed. Ook de vraag naar bloed zal minder zijn aangezien veel geplande operaties op werkdagen plaatsvinden. Naast het weekend zijn ook vakanties periodes waarin minder bloed gedoneerd wordt en minder geplande operaties plaatsvinden. De intensiteiten

HOOFDSTUK 6. DISCUSSIE

λ en µ kunnen dan beschreven worden als functies in de tijd, λ(t), µ(t). Dit kan verwerkt worden

in de overgangskansen (5.1). De nieuwe overgangskansen worden gegeven door (6.2).

p(x, a, x0, t) =                      λ(t) B fψ1P xψ≤nmax x 0 γ = xγ+ 1, γ = ψ x0γ = xγ, γ 6= ψ µ(t) B fϕ x 0 γ = xγ− 1, γ = ψ = a x0γ = xγ, γ 6= ψ ν Bxψ x 0 γ = xγ− 1, γ = ψ x0γ = xγ, γ 6= ψ 1 − λ(t)_B −µ(t)_B − ν B P ψxψ x 0 γ = xγ, ∀γ (6.2)

Hoofdstuk 7

Conclusie

Bloedtransfusies zijn erg belangrijk voor de gezondheid van veel pati¨enten. Aangezien een

bloed-540

unit alleen compatibel uitgegeven kan worden, maakt het uitgeven van de bloedunits lastiger dan wanneer dit niet het geval is. Niet alleen de pati¨ent op dat tijdstip moet compatibel bloed

toege-diend krijgen, ook in de toekomst moeten zo veel mogelijk pati¨enten compatibel bloed toegediend

krijgen. De uitgifte van het bloed aan de pati¨ent heeft ook invloed op de beschikbare voorraad

voor toekomstige pati¨enten. Het is lastig om hierover een strategische beslissing te maken.

545

Dit onderzoek geeft een model voor het optimaal uitgeven van compatibele bloedunits aan

pati¨enten. Een wiskundig model is gegeven op basis van een vereenvoudigde situatie van de

voor-raad van een ziekenhuis. Bij de uitgifte van het bloed wordt rekening gehouden met de bloedgroep van de pati¨ent en de voorraad. Ondanks de vereenvoudiging van de situatie geeft het model inzicht in een goede strategie voor het uitgeven van de bloedunits. Eventueel kunnen eenvoudig extra

550

antigenen, waarop het bloed gematcht moet worden, aan het model worden toegevoegd. Ook andere toevoegingen, zoals de leeftijd van een item, kunnen worden toegevoegd.

Het model biedt een goed uitgangspunt voor een uitgifte strategie. Het model kan aangepast worden om beter aan te sluiten bij de werkelijke situatie.

Bibliografie

555

[1] N.M. van Dijk, S.P.J. van Brummelen, and R.J. Boucherie. Uniformization: Basics,extensions

and applications. Performance Evaluation, 118:8–32, 2018. 15

[2] A.R. Odoni. On Finding the Maximal Gain for Markov Decision Processes. Operations

Research, 17(5):857–860, 1969. 10,21

[3] W.B. Powell. Approximate Dynamic Programming: Solving the Curses of Dimensionality,

560

chapter Dynamic Resource Allocation Problems, pages 541–592. Wiley, 2011. 22

[4] M.L. Puterman. Markov Decision Processes: Discrete Stochastic Dynamic Programming. Wiley, 1994. 4,6

[5] J. H. J. van Sambeeck, C. E. van der Schoot, H. Schonewille, N. M. van Dijk, and M.P. Jans-sen. Mathematical Optimazation for Preventing Alloimmunization. artikel in voorbereiding,

565

2018. 1

[6] J.H.J. van Sambeeck. Persoonlijke notitie uitwerking compatibele uitgifte met constante

voorraad. 7

[7] Sanquin. https://www.sanquin.nl/donor/veel-gestelde-vragen-donor/. geraadpleegd

op: 19.06.2018. 22,23

570

[8] Sanquin. Sanquin, jaarverslag 2017. https://www.sanquin.nl/over-sanquin/

over-sanquin/jaarverslagen/jaarverslag-2017/, Juni 2018. 1,23

[9] Sanquin. Sanquin, pati¨entenfolder. https://www.sanquin.org/nl/

producten-en-diensten/transfusiegeneeskunde/patientenfolders/patientenfolder, april 2018. 1

575

[10] R.F. Serfozo. An Equivalence Between Continuous and Discrete Time Markov Decision

BIBLIOGRAFIE

[11] J.C. Zimring, L Welniak, J.W. Semple, P.M. Ness, S.J. Slichter, and S.L. Spitalnik ; NHLBI Alloimmunization Working Group. Current problems and future directions of transfusion-induced alloimmunization: summary of an nhlbi working group. Transfusion, 51(2):435–441,

580

Appendix

BIBLIOGRAFIE

Bloedgroep van de pati¨ent

bloedgroep O− O+ A− A+ B− B+ AB− AB+ O− x x x x x x x x O+ x x x x A− _{x x x x} A+ _{x x} B− x x x x B+ _{x x} AB− x x AB+ _x