Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg Cantor

Over de ontwikkeling van het oneindige

door Georg Cantor

Pieter van Niel

17 juli 2015

Bachelorscriptie

Begeleiding: dr. Gerard Alberts

Tweede boordelaar: prof. dr. Jan van Mill

Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde

Samenvatting

Het oneindige was in het verleden meermaals een aanleiding tot controverse. Zo stuitte ook Cantors introductie van de transfiniete getallen op veel weerstand. Deze scriptie neemt deze introductie onder de loep met als focus de Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre uit 1883. Niet alleen de wiskundige kant, maar ook de historische en filosofische kant wordt belicht. We kijken eerst naar de opvattingen over het oneindige van de oude Grieken en later, en de metafysica van Kant om een beeld te geven van het wetenschappelijk denken van de negentiende eeuw. We kijken dan naar hoe en waarom dit concept bij Cantor ontstond, hoe hij op het idee van verschillende oneindigheden kwam en hoe zijn ide¨een zich hebben ontwikkeld. We kijken tot slot naar de ontvangst van zijn werk, specifiek naar Leopold Kronecker en de katholieke kerk, en kort naar de ontwikkelingen die Cantors werk teweeg heeft gebracht.

Titel: Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg Cantor Auteur: Pieter van Niel, pieter.vanniel@student.uva.nl, 10434097 Begeleiding: dr. Gerard Alberts

Tweede boordelaar: prof. dr. Jan van Mill Einddatum: 17 juli 2015

Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math

Inhoudsopgave

1. Inleiding 4

2. Filosofie van de wiskunde 6

2.1. Betreffende het oneindige . . . 6

2.2. Kants metafysica . . . 8

3. Georg Cantor 10 3.1. Oorsprong verzamelingenleer . . . 10

3.1.1. Over goniometrische representaties van een functie . . . 10

3.1.2. Over afgeleide puntverzamelingen . . . 12

3.2. Verdere ontwikkeling . . . 14

3.2.1. Eerste onderscheid verschillende oneindigheden . . . 14

3.2.2. Over oneindige lineaire puntverzamelingen . . . 16

3.3. Betreffende de Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre . . . 18

3.3.1. Filosofisch aspect . . . 18 3.3.2. Transfiniete getallen . . . 21 3.4. Na de Grundlagen . . . 25 4. Reacties 29 4.1. Leopold Kronecker . . . 29 4.2. Kerk . . . 30 4.3. Ontwikkelingen . . . 31 5. Discussie 33 Bibliografie 34 A. Populaire samenvatting 37

1. Inleiding

Het is toch jammerlijk! Cantors oneindigheid sloeg niet erg aan in de mathematiek.

Afgunst kwam niet door de wiskundemoeilijkheid, maar filosofische problematiek.

Pieter van Niel, ter nage-dachtenis aan Heinz Polzer

Georg Cantor is een naam die bij de meeste wiskundigen wel bekend voorkomt. Grond-legger van de verzamelingenleer en inleider van de (oneindige) ordinale en kardinale getallen in de wiskunde. Controversieel in zijn tijd maar geaccepteerd in de moderne wereld. Was gek of depressief geworden en eindigde in een sanatorium.

Maar wat minder wiskundigen goed weten te vertellen is waarom Cantor controver-sieel was, behalve het feit dat het te maken had met het oneindige. Ik ben voor deze bachelorscriptie aan de slag gegaan en heb proberen te ontdekken waar deze controverse door ontstond. Wat deed Cantor nu precies dat ervoor zorgde dat hij, of zijn werk, controversieel werd? Wie hadden er iets tegen, en waarom? Dit zijn de drie hoofdvra-gen die ik ga proberen te beantwoorden. Ondanks dat dit een wiskundig geori¨enteerd onderzoek is, deed ik in mijn speurtocht de oude Grieken aan, heb ik Kants ide¨een over het verkrijgen van kennis gelezen en ben ik te weten gekomen dat een kardinaal Cantors ide¨een een imprimatum heeft verleent, oftewel kerkelijke goedkeuring.

Omdat ik zo goed mogelijk wil duidelijk maken in wat voor tijd Cantor zich bevond, is er geprobeerd zo dicht mogelijk bij zijn formuleringen in de originele publicaties te blijven. Dit houdt ook in dat de wiskundige notatie die daarin wordt gebruikt, wordt overgenomen. In het algemeen zal dit niet de leesbaarheid belemmeren, in eerste instan-tie omdat er voornamelijk minder korte notainstan-tie gebruikt werd. De wiskunde is daardoor een stuk rijker aan tekst dan we tegenwoordig gewend zijn. De notatie van een verza-meling of interval zoals we die nu gebruiken, dat wil zeggen {x | ϕ(x)} of [0, 1], was in die tijd nog niet in gebruik en daarvoor in de plaats werd (x1. . . xn) gebruikt voor een

interval. Een verzameling zoals we er tegenwoordig over spreken was nog niet zo goed gedefinieerd in die tijd. Vaak werd er in plaats van verzameling over een collectie, schaar

of lichaam (niet te verwarren met de moderne algebra¨ısche betekenis) gesproken. Waar nodig zullen in de tekst begrippen worden uitgelegd of verduidelijkt.

Bij dezen wil ik graag Dr. Gerard Alberts bedanken voor zijn fantastische begeleiding. Onze bijna wekelijkse gesprekken over de historie en filosofie van de metafysica (en soms de wiskunde) hebben mij erg geholpen mijn sprong in het diepe te ori¨enteren en mijn doorgronding van deze soep van wiskunde, filosofie en geschiedenis op de rails te houden. Ook Joost Vecht wil ik bedanken voor zijn onmisbare hulp in het begrijpen van Kant’s metafysica, en ik wens hem met terugwerkende kracht veel succes bij de verdediging van zijn afstudeerscriptie.

2. Filosofie van de wiskunde

2.1. Betreffende het oneindige

Een van de redenen waarom Cantors werk zo spraakmakend was, was dat hij van het oneindige iets grijpbaars probeerde te maken. De heersende opvattingen over het onein-dige in Cantors tijd zijn terug te voeren op de ide¨een van Aristoteles, welke vanaf de Middeleeuwen tot aan Cantor het algemene denkbeeld grotendeels hebben gedicteerd. Hij was zeker niet de eerste die zich met het oneindige bezig hield, maar maakte wel een belangrijke stap die het werken met het oneindige iets makkelijker maakte.

In het jonge oude Griekenland werd het oneindige, of ῎απειρον, nog gezien als iets vormloos, chaotisch en onbegrijpelijks. Het woord had geen duidelijke betekenis en de Grieken hebben nog geen duidelijke criteria om het eindige van het oneindige te onderscheiden.[21] Pas rond 350 v. Chr. werd het oneindige een beetje hanteerbaar ge-maakt doordat Aristoteles een onderscheid ge-maakt tussen twee soorten oneindigheid.[25] Ten eerste is er het potenti¨ele oneindige:

For generally the infinite has this mode of existence: one thing is always being taken after another, and each thing that is taken is always finite, but always different.1_[1]

Het is dus een proces waarvan het onmogelijk is het te voltooien of het einde te be-reiken. Denk bijvoorbeeld aan het opnoemen van de natuurlijke getallen: 1, 2, 3, 4, . . . . Deze soort oneindig is een oneindigheid die bestaat of mogelijk is. De tweede soort on-eindigheid, het werkelijk of voltooid oneindige, bestaat daarentegen niet en is zelfs niet mogelijk als een idee in het verstand van de mens. Dit type oneindigheid is iets dat in zijn geheel bestaat op ´e´en moment en oneindig veel elementen omvat.[21] Hieronder vallen onder andere alle objecten of verzamelingen die we krijgen als een potentieel on-eindig proces wordt voltooid (al is dit natuurlijk niet mogelijk). Betrekken we dit tot ons voorbeeld, dan moeten we concluderen dat de collectie van alle natuurlijke getal-len tezamen geen daadwerkelijke collectie kan zijn. De reden om het bestaan van dit werkelijk oneindige te ontekken, was dat met gemak paradoxen te bedenken als we het werkelijk oneindige proberen te gebruiken als kwantiteit. De Grieken beschouwden deze oneindigheid dan ook als chaotisch en ondoorgrondelijks, en de term had een negatieve ondertoon.

Aan het eind van de Middeleeuwen begonnen de Aristoteliaanse opvattingen over oneindigheid door te dringen in West-Europa, welke verwoven raakte met de theologie

1

῞

ολως μ `εν γ `αρ ο ῞υτος ῎εστιν τ `ο ῎απειρον, τ ῀ωͺ ἀε`ι ῎αλλο κα`ι ῎αλλο λαμβ ΄ανεσθαι, κα`ι τ `ο λαμβαν ΄ομενον μ `εν ἀε`ι ε῏ιναι πεπεγασμ ΄ενον, ἀλλ΄ ἀε΄ι γε ῞ετερον κα`ι ῞ετερον·

en filosofie, maar ook de wiskunde van die tijd. Niet alle Middeleeuwse filosofen waren het met Aristoteles eens dat deze voltooide oneindigheid niet kan bestaan,[25] echter waren de meeste wiskundigen het w´el met Aristoteles eens dat het voltooide oneindige niet kan bestaan. Ze bedachten meerdere voorbeelden die zouden aantonen dat dit inderdaad moet gelden. Zo merkte Galileo in 1638 op dat er een bijectie mogelijk is tussen de positieve gehele getallen en een stricte deelverzameling hiervan, namelijk de kwadraten. Dit is natuurlijk een tegenstrijdigheid waar het werkelijk oneindige ons tot heeft gebracht, quod erat demonstrandum.

Middeleeuws Europa heeft van Aristoteles’ oneindigheidsdichotomie een trichotomie gemaakt. Het Romeinse Rijk was net uiteen gevallen, waardoor er een vacu¨um was waar zich eerst een centrale, regelende macht bevond. De christelijke kerk heeft dit vacu¨um opgevult en speelde daarmee een centraal figuur in de vorming van de maatschappij, de cultuur en de samenleving van Europa en daarmee ook in de filosofie. Daartoe was het noodzakelijk dat nieuw ge¨ıntroduceerde Griekse idee¨en in het kerkelijke kader gepast konden worden. In het Oude Griekenland hadden sommigen al het idee dat God oneindig is, zoals Plotinus rond het jaar 250, doch deze opvatting ontstond pas 500 jaar na de tijd van Aristoteles.[21] Plotinus dacht namelijk: als God niet gelijk stond aan het oneindige en slechts eindig was, zou iets oneindigs (of dit nu wel kon bestaan of niet) verder gaan dan God. Dit kon vanzelfspreken niet, dus God stond gelijk aan het oneindige. Ook de Middeleeuwse filosofen en theologen hadden de opvatting dat God oneindig is. Om het onderscheid van Aristoteles’ oneindigheden te kunnen blijven maken, werd daarom God gelijk gesteld aan het absoluut oneindige (door Augustinus van Hippo) of God werd een nieuwe, grotere soort van oneindigheid die transcendentaal is gaan heten toegeschreven. Rond 1600, de tijd van Galileo, waren rijen, reeksen en limieten al bekende concep-ten. Dit leverde geen probleem met de ontkennig van het bestaan van de voltooide oneindigheid: reeksen en rijen voldoen namelijk precies aan het idee van het potenti¨eel oneindige en een limiet leverde ook geen moeilijkheden op, omdat dit niet een waarde is die verwezenlijkt wordt door het voltooien van een potentieel oneindig proces maar een waarde waar de rij of reeks steeds dichter bij gaat zitten. Ook bij de ontwikkeling van de calculus door Newton en Leibniz rond 1687 werd nog steeds aangehouden dat het werkelijk oneindige niet kan bestaan en dit geloof werd zelfs sterker in de wiskunde. Waar in de Middeleeuwen nog de meeste wiskundigen hiervan waren overtuigd, zo was het in de mathematische wereld van de achttiende eeuw een algemeen geaccepteerd feit. Dit geloof zet zich voort tot het begin de negentiende eeuw. Zo schrijft bijvoorbeeld Gauss op 12 juli 1831 in een brief aan Heinrich Schumacher:

[...] so protestire ich zuv¨orderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Gr¨osse als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist.[22]

Daarentegen wordt de tweede helft van de negentiende eeuw het toneel van grote veranderingen in de wiskundige wereld. Het begint met het fenomeen dat nieuwe wis-kunderesultaten zich snel beginnen op te stapelen en de grens van de wiskunde wordt opgezicht, waardoor onenigheid ontstaat over welke bewijzen nu wel of niet geldig zijn. Men wil striktere eisen gaan stellen aan wat wel en wat niet een bewijs is, wat zich

vertaalt in een poging tot strictere axiomatisering van wiskundige concepten. Ook het oneindigheidsconcept moet eraan geloven, dankzij Georg Cantor.

2.2. Kants metafysica

In 1781 publiceerde de filosoof Immanuel Kant zijn Kritik der reinen Vernunft, een werk waarin hij zijn inzichten over de wijze waarop het vergaren van kennis mogelijk is, uiteenzet. Het werk werd invloedrijk en zou de discussies over de aard van wetenschap, specifiek ook wiskunde, domineren in de eeuw volgend op de publicatie. Ook ten tijde van Cantors uitgave van de Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre in 1883 zat het gedachtegoed van de Kritik in het achterhoofd van veel exacte wetenschappers en zodoende waren de opvattingen over de metafysica in die tijd hierop gebaseerd, zij het een uitbreiding of herinterpretatie, of verzet tegen bepaalde aspecten hiervan. Om deze reden is het belangrijk een globaal idee te hebben van wat dit werk inhield, om de controverse rond Cantors werk in een historisch correct frame te kunnen plaatsen. Een opmerking vooraf: de behandeling hieronder is niet gebaseerd op het lezen van de Kritik, maar de Prolegomena: als het ware een light-versie van de Kritik.

Om te beginnen is het goed om op te merken dat Kant het vergaren van kennis niet op psychologische of neurologisiche wijze probeerde te onderzoeken, maar op de wijze van de metafysica: dit is een tak van de filosofie die de relatie tussen de constructen van het menselijk verstand en de objecten van de externe wereld bestudeert. In deze hoeda-nigheid heeft het ook fundamentele betrekking op de wetenschap, omdat de wetenschap bepaalde aannames maakt over wat werkelijkheid is. De reden van Kant om deze relatie te bestuderen, was omdat de wisselwerking tussen het verstand en de wereld verklaart hoe het mogelijk is dat de mens kennis kan krijgen. Pas op basis van deze kennis kan men proposities, of oordelen maken: ware of onware uitspraken over concepten zoals ‘tafel’, ‘vrijgezel’, of ‘driehoek’. Voor de wetenschap is het essentieel bewust te zijn van de mogelijke potenties, beperkingen en valkuilen die een theorie over het krijgen van kennis bloot kan leggen.

Kant splitst kennis op in twee typen: analytisch en synthetisch. Analytische kennis, of een analytisch oordeel is kennis of een oordeel dat tot stand komt door kennis die al beschikbaar is te bestuderen, en hier je nieuwe kennis uit te halen of oordeel op te baseren. Deze oordelen voegen geen nieuwe kennis toe, omdat ze eigenschappen van een onderwerp beschrijven die inherent in dat onderwerp aanwezig zijn. Een voorbeeld is de uitspraak ‘alle vrijgezellen zijn ongehuwd ’: dit predikaat omschrijft een concept (ongehuwd) dat inherent in het onderwerpconcept (vrijgezellen) aanwezig moet zijn en bewerkstelligt daardoor geen nieuwe kennis. In tegenstelling tot analytische oordelen, doen synthetische oordelen de kennis w´el toenemen. Dit soort oordelen geven een onder-werp een eigenschap die het niet per definitie van zichzelf hoeft te hebben. Bijvoorbeeld ‘alle vrijgezellen zijn ongelukkig’: het concept van ongelukkig is niet bevat in het concept vrijgezel en daarom geeft dit predicaat ons nieuwe kennis (we wisten namelijk nog niet dat vrijgezellen ongelukkig zijn).

priori en a posteriori. A priori kennis staat los van ervaring en moet om puur logische redenen waar (of onwaar) zijn. De waarheid van deze kennis valt te toetsen aan ervaring, maar is dus niet gebaseerd op deze ervaring. De eerdere uitspraak ‘alle vrijgezellen zijn ongehuwd ’ is hier een voorbeeld van: empirisch onderzoek zal laten blijken dat deze uitspraak waar is, maar de waarheid van deze uitspraak is enkel gebaseerd op logische gevolgtrekkingen. Het is belangrijk om te beseffen dat a priori kennis door deze eigenschap van absolute zekerheid met zich meebrengt. Daarentegen is a posteriori kennis w´el gegrond in ervaring en n´ıet in logisch redeneren. Zo is ervaring nodig om de uitspraak ‘tafels bestaan’ te kunnen valideren. De waarheid van a posteriori kennis moet gevalideerd worden door de empirie, en hoeft daarom niet universeel waar te zijn.

Kant stelt dat wiskunde synthetische a priori kennis is, en probeert uit te leggen hoe deze kennisvorm mogelijk is. Daarvoor is het eerst nuttig om te weten hoe Kant dacht dat wiskundigen te werk gaan, hij beschreef het als volgt:

... es muß ihr irgendeine reine Anschauung zum Grunde liegen, in welcher sie alle ihre Begriffe in concreto und dennoch a priori darstellen oder, wie man es nennt, sie konstruieren kann.[24, p.34]

Oftewel, de Anschauung, of intu¨ıtie, is de fundering waarop de Begriffe, of concepten geconstrueerd worden. Intu¨ıtie is dus de basis voor de wiskunde en zonder intu¨ıtie is het bedrijven van wiskunde onmogelijk! Met intu¨ıtie wordt hier bedoeld het intellectueel begrip van een voorwerp. Intu¨ıties behoren tot het opmerkende verstand en zijn te ver-gelijken met (zintuigelijke) sensaties. Daarentegen behoren concepten tot het denkende verstand en zijn verantwoordelijk voor het begrijpen.

We zitten nu in de situatie dat wiskunde vereist dat a priori intu¨ıtie mogelijk is, dat wil zeggen: intellectueel begrip hebben van een voorwerp zonder het ooit te hebben waargenomen. Het bestaan hiervan is alleen mogelijk omdat het menselijk verstand het aangeboren vermogen heeft om ervaringen te structureren. Twee van deze structuren zijn ruimte en tijd. Als wij de wereld om ons heen ervaren, of opmerken, dan zorgt de ruimtestructuur er voor dat we bijvoorbeeld een voorwerp als ‘verder weg’ kunnen interpreteren dan een ander voorwerp: we structureren de objecten van onze ervaring dus op ruimtelijke wijze. Zo kunnen we ook onze ervaringen structureren met tijd. Overigens hoeven we met deze structuur tijd niet noodzakelijk als constant te ervaren: de dag gaat langzaam als wij alleen vervelende klusjes aan het doen zijn en gaat snel als we het erg naar ons zin hebben op een feestje. Ruimte en tijd zijn dus volgens Kant structuren die wij zelf aanbrengen in onze ervaringen, en deze worden tot de pure intu¨ıties gerekend. Ze heten puur omdat als men alles dat empirisch is elimineert (dus alles gerelateerd aan zintuigelijke sensaties), we nog steeds beschikken over tijd- en ruimte-intu¨ıties: deze kunnen nooit ge¨elimineerd worden en maken inherent deel van ons uit.

De wiskunde bouwt al zijn kennis en oordelen op de pure tijd- en ruimte-intu¨ıties: zij zijn daarom de fundamenten van de hele wiskunde. Dit heeft bijvoorbeeld als gevolg dat in deze theorie van Kant alleen de Euclidische meetkunde een geldige meetkunde is voor de wiskunde om in te werken, omdat de wiskunde wordt be¨oefend in onze Euclidische ruimte-intu¨ıtie.2

3. Georg Cantor

In dit hoofdstuk worden publicaties van Georg Cantor besproken, in zoverre zij voor deze bespreking belangrijk worden geacht. Er wordt naar gestreefd de artikelen van Cantor zo nauwkeurig mogelijk te volgen, mogelijke weglatingen en inkortingen daargelaten, om zo de lezer een beter gevoel te kunnen geven van de staat van de wiskundige wereld in die tijd. We beginnen met het bestuderen van de aanleiding voor Cantors interesse in het ontwikkelen van een leer over Mannigfaltigkeiten. We werken vervolgens naar zijn publicatie Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre toe: een belangrijk werk zowel in wiskundig als filosofisch opzicht betreffende de inzichten in het oneindige. Daarna behandelen we Grundlagen zelf, zowel de wiskunde als de filosofie ervan. We sluiten het hoofdstuk met een beschrijving van het werk dat hij heeft verricht na de publicatie van dit artikel.

3.1. Oorsprong verzamelingenleer

3.1.1. Over goniometrische representaties van een functie

Op het moment van zijn afstuderen ligt de interesse van de jonge Georg Cantor nog bij de getaltheorie. Zijn afstudeerscriptie De aequationibus secundi gradus indeterminatis is een onderzoek in diophantische vergelijkingen ax2 _{+ by}2 _{+ cz}2 _{= 0 die door de}

afstu-deercommissie (waar o.a. Kummer en Weierstraß in zaten) in 1867 het predicaat magna cum laude wordt gegeven.[28, p.17] In 1869 krijgt Cantor door de wiskundige Eduard Heine een leerstoel aangeboden aan de Universit¨at Halle, waar Cantor door Heine wordt aangemoedigd een probleem uit de analyse te bekijken. Heine zelf is namelijk bezig met het bestuderen van representaties van willekeurige functies door goniometrische reeksen. In 1870 bewijst hij de volgende stelling:[19, p.31]

Stelling 3.1. Een functie f (x) die in het algemeen continu is, maar niet noodzakelijk eindig, kan op unieke wijze gerepresenteerd worden door een goniometrische reeks

f (x) = 1 2a0+ ∞ X n=1 (ansin nx + bncos nx),

als de reeks in het algemeen voldoet aan de voorwaarde van uniforme convergentie. De reeks representeert de functie dan in het algemeen van −π tot π.

Hier wordt met ‘in het algemeen’ bedoeld een interval met maximaal eindig veel punten als uitzondering. Deze stelling eist uniforme convergentie van de reeks en een algemene

continu¨ıteit van f (x), en Cantor wordt door Heine uitgenodigd te pogen dit te genera-liseren. Al in april van hetzelfde jaar publiceert Cantor zijn Beweis, daß eine f¨ur jeden reellen Wert von x durch eine trigonometrische Reihe gegeben Funktion f (x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen l¨aßt, waarbij de eis van algemene uni-forme convergentie van de reeks wordt vervangen door de eis dat de reeks convergeert voor elke x.[2]

Stel namelijk dat er twee goniometrische reeksen zijn, die voor elke re¨ele waarde van x convergeren naar dezelfde waarde en dezelfde functie f (x) representeren. Het een van de ander aftrekken geeft een voor elke x convergente reeks die gelijk aan 0 is:

0 = C0 + C1+ · · · + Cn+ · · · , (3.1)

waar C0 = 1₂d0, Cn = cnsin nx + dncos nx en waar de co¨effici¨enten cn, dn met

toene-mende n oneindig klein worden.[3] Vervolgens bekijken we, ge¨ınspireerd door Riemann, de functie F (x) = C0 xx 2 − C1− · · · − Cn nn· · · .

We weten al dat deze functie in de omgeving van elke waarde van x continu is, en dat het tweede differentiequoti¨ent

F (x + α) − 2F (x) + F (x − α) αα

1

met oneindig afnemende α de grens nul nadert.[29] Uit deze twee feiten kunnen we concluderen dat F (x) een eerstegraadsfunctie cx + c0 is.2 _{Gebruiken we de lineaire vorm}

van F (x), dan hebben we voor elke waarde van x:

C0 xx 2 − cx − c 0 = C1+ C2 4 + · · · + Cn nn+ · · · .

Uit de periodiciteit van de rechterkant (met periode 2π) volgt dat c = 0 en C0 = d₂0 = 0.

Zodoende wordt de vergelijking

−c0 = C1+

C2

4 + · · · + Cn

nn + · · · .

De reeks aan de rechterkant is van zo een vorm, dat men bij een gegeven  een geheel getal m kan aangeven, zodat als n = m, de totale bijdrage van restterm Rn (de reeks

vanaf de n + 1-de term) kleiner is dan  voor alle waarden van x, oftewel: de reeks is uniform convergent.

We kunnen nu in vergelijking (3.1) elke term vermenigvuldigen met cos n(x − t), zodat elk van deze termen te herschrijven is tot

1

2 cnsin nt + dncos nt
+ 1

2 cnsin(2nx − nt) + dncos(2nx − nt)
.

1_{Herken hierin dat de tweede afgeleide van F (x) gelijk aan 0 is.}

2_{Het bewijs hiervoor heeft Hermann Schwarz voor Cantor bedacht en maakt onderdeel uit van de}

(Merk op dat de termen met een x een periode van 2π_n hebben.) Omdat de reekst uniform convergent is, is term-voor-term integreren van −π tot +π nu toegestaan; het integreren geeft als resultaat de uitdrukking

cnsin nt + dncos nt = 0,

met t een willekeurige re¨ele grrootte. Hieruit volgt dat cn = 0, dn= 0. Ook hebben we

nu het resultaat dat als een voor elke re¨ele waarde x convergente goniometrische reeks nul representeert, het niet anders mogelijk is dan dat de co¨effici¨enten d0, cn, dn allemaal

nul zijn, en zo hebben we de stelling:

Stelling 3.2. Wanneer een functie f (x) met re¨ele veriabele x door een voor elke waarde van x convergente goniometrische reeks gerepresenteerd wordt, dan is er geen andere reeks van dezelfde vorm welke ook voor elke waarde van x convergeert en diezelfde functie f (x) representeert.

Cantor wil het hier echter niet bij laten: in 1871 laat hij in zijn Notitz, bestaande uit toevoegingen op zijn zojuist besproken publicatie en bewijs, zien dat de eisen van gelijkheid van f (x) aan zijn goniometrische representatie of de convergentie van de reeks kunnen worden versoepeld.[4] Stel dat er een oneindige stijgende rij van punten . . . , x−1, x0, x1, . . . bestaat, z´o verdeeld dat elk eindig interval maar eindig veel van deze

waarden xν bevat, en waarop een van de twee eisen vervalt. Dan geldt op elk interval

(xν. . . xν+1) dat de functie F (x) uit bovenstaand bewijs nog steeds een lineaire functie

kνx + lν is. Neem uit twee opeenvolgende intervallen de functies kνx + lν, kν+1x + lν+1,

dan blijkt onder andere uit de continu¨ıteit van F (x) dat kν = kν+1 en lν = lν+1.3 Nu

volgt analoog aan het vorige bewijs de uniciteit van de goniometrische reeks.

3.1.2. Over afgeleide puntverzamelingen

De volgende stap in de generalisatie is om oneindig veel van deze uitzonderingspunten toe te staan in een begrensd interval. Uit de Stelling van Bolzano-Weierstraß volgt dat er dan een minstens ´e´en verdichtingspunt in dit begrensde interval moet liggen. Als er een uniek verdichtingspunt is, dan volgt de veralgemenisering vrij makkelijk uit het vorige resultaat en de continu¨ıteit van F (x). Evenzo bij een eindig aantal verdichtingspunten. Maar technische moeilijkheden ontstaan als er oneindig veel verdichtingspunten zijn en deze zich ophopen, en verder als de verdichtingspunten van deze verdichtingspunten zich op hun beurt weer ophopen, etc. Om met dit probleem om te gaan, introduceert Cantor het concept van een afgeleide puntverzameling in zijn artikel ¨Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen.[6]

In het volgende gaan we ervan uit dat er een begrensd interval in gedachte is genomen. Een Punktmenge, of puntverzameling is een verzameling van een eindig of oneindig aantal punten op de re¨ele lijn. (Dit in tegenstelling tot een Wertmenge die uit getallen bestaat, een verschil waar Cantor veel belang aan hechtte, maar waar wij nu niet verder op

3_{Hier gebruikt Cantor een methode die hij heeft ontleend aan Heines publicatie ¨Uber trigonometrische}

ingaan). Van een gegeven puntverzameling P bekijken we de verzameling van diens verdichtingspunten (niet noodzakelijk bevat in P ) en noemen dit de eerste afgeleide puntverzameling P0 van P . Bekijkt men bijvoorbeeld de verzameling P die bestaat uit de punten welke afstanden 1,1₂,1₃, . . . ,_n1, . . . tot de oorsprong hebben, dan bestaat de verzameling P0 uit alleen het punt 0. Als P0 niet slechts uit eindig veel punten bestaat, dan kunnen we spreken van zijn afgeleide puntverzameling P00, de tweede afgeleide van P . Men vindt na ν van deze iteraties de ν-de afgeleide puntverzameling P(ν) van P . Als deze verzameling P(ν) _{uit eindig veel punten bestaat, en dus zelf geen afgeleide}

verzameling heeft, dan noemen we P van de ν-de soort. Hieruit volgt ook dat P0, P00, . . . van de ν − 1-de, ν − 2-de, . . . soort zijn.

Nu is Cantor klaar om de stelling nog een stap algemener te bewijzen, dit keer met als punten van uitzondering een puntverzameling van een willekeurige ν-de soort. Stelling. Beschouwen we een vergelijking van de vorm

0 = C0 + C1+ · · · + Cn+ · · · , (3.2)

met C0 = 1₂d0, Cn = cnsin nx + dncos nx, voor alle waarden van x met als uitzondering

de punten van een in het interval (0 . . . 2π) bevatte puntverzameling P van de ν-de soort, waarbij ν een willekeurig groot geheel getal is, dan geldt

d0 = 0, cn= dn= 0.

Bewijs. We bekijken (wederom) de functie

F (x) = C0 xx 2 − C1− C2 4 − · · · − Cn nn − · · ·

Uit de eigenschappen van een puntverzameling van de ν-de soort volgt dat er een interval (α . . . β) moet zijn waarin geen enkel punt van de verzameling P ligt. Voor alle waarden van x in dit interval convergeert de reeks (3.2) waardoor lim(cnsin nx + dncos nx) = 0,

en hieruit volgt dat lim cn = 0, lim dn = 0.[5] De functie F (x) heeft ook de volgende

eigenschappen:[29]

1. zij is continu in de buurt van elke waarde van x,

2. de limF (x+α)+F (x−α)−2F (x)_αα = 0 wanneer lim α = 0, voor alle waarden van x met uitzondering van de waarden die horen bij een punt in P ,

3. de limF (x+α)+F (x−α)−2F (x)_α = 0 wanneer lim α = 0, voor alle waarden van x zonder uitzondering.4

Uit deze drie eigenschappen en wat we behandeld hebben in paragraaf (3.1.1), volgt direct al dat

4

Dit quoti¨ent gaat over de gladheid van F (x) en zegt dat als F (x) een afgeleide F0(x) in x heeft, dan bestaan de linkerafgeleide F0_(x−_{) en rechterafgeleide F}0_(x+_{) en zijn ze gelijk.[19]}

(A). Als (p . . . q) een interval is waarin slechts een eindig aantal punten uit P ligt, dan is F (x) lineair in dit interval.

We gaan verder met het bekijken van een interval (p0. . . q0), welke slechts een eindig aantal punten x0₀, x0₁, . . . , x0_r uit de eerste afgeleide verzameling P0 bevat en we willen laten zien dat in elk van de deelintervallen, waarin (p0. . . q0) door de punten x0₀, x0₁, . . . uiteenvalt, de functie F (x) lineair is, bijvoorbeeld in (x0₀. . . x0₁).

o

p'

x

'

x

'

q'

s

t

Dit deelinterval bevat in het algemeen oneindig veel punten uit P , dus het resultaat (A) kan niet onmiddelijk worden toegepast. Daarentegen bevat elk interval (s . . . t) dat geheel in (x0₀. . . x0₁) valt, slechts eindig veel punten uit P (anders zou tussen x0₀ en x0₁ nog een ander punt uit P0 liggen) en zo is de functie F (x) wegens (A) lineair in (s . . . t). Echter kan men de eindpunten s en t willekeurig dichtbij x0₀ en x0₁ brengen, zodat men snel ziet dat de continue functie F (x) ook lineair is in (x0₀. . . x0₁). Dit kunnen we toepassen op elk deelinterval van (p0. . . q0) en zo verkrijgt men zo als bij (A) het volgende resultaat: (A’). Als (p0. . . q0) een interval is waarin slechts een eindig aantal punten van P0 ligt, dan is F (x) lineair in dit interval.

Het bewijs gaat op dezelfde manier verder. Stelt men namelijk vast, dat F (x) een lineaire functie is in een interval (p(k)_{. . . q}(j)_{), welke slechts een eindig aantal punten uit}

de k-de afgeleide puntverzameling P(k) bevat, dan volgt zoals bij de overgang van (A) naar (A’) dat F (x) ook een lineaire functie is op een interval (p(k+1)_{. . . q}(k+1)_{) dat slechts}

eindig veel punten uit de (k + 1)-de afgeleide puntverzameling P(k+1) _{bevat. We gaan}

zo door een eindig aantal iteraties, totdat we concluderen dat in elk interval dat slechts een eindig aantal punten uit de verzameling P(ν) _{bevat, F (x) lineair is. Nu namen we}

aan dat de verzameling P van de ν-de soort is, dus er zitten slechts een eindig aantal punten van P(ν) in elk willekeurig interval (a . . . b). We kunnen constateren dat F (x) lineair is in elk willekeurig gegeven interval (a . . . b) en daaruit volgt dat F (x) van de vorm F (x) = cx + c0 is voor alle waarden van x. De rest van het bewijs gaat, analoog aan de bewijzen uit paragraaf (3.3.1), verder.

3.2. Verdere ontwikkeling

3.2.1. Eerste onderscheid verschillende oneindigheden

De eerste tekenen dat er verschillende, duidelijk onderscheidbare oneindigheden zijn, zijn terug te vinden in ¨Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen.[7] Als we de publicatie geloven, is het hoofdresultaat dat de Inbegriff, of de collectie5, van alle algebra¨ısche getallen, welke met (ω) wordt genoteerd, eenduidig

over-5_{Alternatief ‘belichaming’, ‘lichaam’. Merk in ieder geval op dat Cantor hier het woord ‘Menge’}

gedragen kan worden naar de collectie van alle gehele positieve getallen, zo dat elk algebra¨ısch getal zijn eigen gehele positieve getal krijgt toegewezen, en omgekeerd dat elk positief geheel getal zijn eigen algebra¨ısche getal krijgt toegewezen, of met andere woorden dat de collectie (ω) als een oneindige rij

ω1, ω2, . . . , ων, . . . (3.3)

kan worden gezien, waarin elk individu uit (ω) voorkomt en een bepaalde plaats heeft, die door de bijbehorende index gegeven is. Een leuk gevolg uit deze stelling is dan dat een alternatief bewijs voor de stelling van Liousville, die zegt dat elk interval (α . . . β) oneindig veel trancendentale getallen bevat, makkelijk volgt. Geloven we nog steeds de publicatie, dan is om deze reden bijgevoegd dat wanneer je een willekeurige rij van re¨ele getallen in de vorm van 3.3 hebt, er altijd re¨ele getallen zijn die niet in deze rij voorkomen. Cantor zegt hier terloops over:

... so fand ich den deutlichen Unterschied zwischen einem sogenannten Kon-tinuum und einem Inbegriffe von der Art der Gesamtheit aller reellen algeb-raischen Zahlen.

Maar juist d´ıt is het belangrijke resultaat van de publicatie: dat het continu¨um van de re¨ele getallen als het ware rijker is dan de lichamen van gehele, rationale en zelfs algebra¨ısche getallen! Zoals Cantor zegt: een duidelijk onderscheid ontstaat hier dus tussen twee gradaties van oneindigheid. Cantor weet zelf ook dat dit het belangrijkste resultaat is uit de publicatie,[19, p.67] en er is een reden waarom hij dit heeft proberen te verstoppen. Redacteur van het wiskundig blad waarbij Cantor rond deze tijd nog bij publiceert, het Crelles Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, is de Leopold Kronecker en zo bekend als Kronecker is, zo bekend zijn ook zijn strenge opvattingen over wat toegestaan is in de wiskunde (hierover meer in paragraaf 4.1). Vaststellen dat de re¨ele getallen niet telbaar zijn is provocerend, en al helemaal voor de finitistische Kronecker. Cantor is dus waarschijnlijk extra voorzichtig met deze publicatie om zichzelf geen problemen op de hals halen en Kronecker te veel uit te dagen, en probeert de publicatie liever, en zo is het ook uitgepakt, probleemloos te laten verlopen.

Een probleemloze publicatie zit er niet meer in bij Cantors volgende artikel Ein Bei-trag zur Mannigfaltigkeitslehre6_{.[8] Crelles Journal is doorgaans snel met het publiceren}

van ingediende artikelen, maar Cantor moet meer dan een half jaar wachten, terwijl ondertussen later ingediende werken al wel gepubliceerd worden.[27] Hij vermoedt dat Kronecker de publicatie bewust tegenwerkt.[19, p.70] De ergernissen die dit voor Cantor opleveren, zorgen ervoor dat na dit artikel Cantor niet meer toestaat dat zijn werken in dit prestigieuze tijdschrift worden gepubliceerd. Een heftige keuze, omdat Crelles op dit moment een van de meest prestigieuze wiskundebladen is.7 _{Overigens heeft de beroemde}

Weierstraß zich ingezet om het artikel wel te laten verschijnen.

6_{Merk op dat Cantor hier voor het eerst spreekt van een leer.}

7_{Bovendien was Crelles Journal ook een typisch Berlijns blad. Een van de ergernissen gedurende}

De inhoud van deze Beitrag begint tam, met het verder ontwikkelen van concepten die Cantor al een tijdje in zijn hoofd heeft, zo begint hij met het preciseren van een paar begrippen. Als twee welgedefinieerde Mannigfaltigkeiten, of veelheden8_{, M en N}

eenduidig en volledig naar elkaar overgedragen kunnen worden, dan hebben deze veelhe-den gelijke M¨achtigkeit of macht, alternatief worden ze ook wel equivalent genoemd. Als hun macht niet gelijk is, dan heeft M gelijke macht met een deel van N of andersom: in het eerste geval is de macht van M kleiner, in het tweede geval groter dan de macht van N . De rij van positieve gehele getallen geeft de kleinste macht die bij oneindige veelheden voorkomen. In deze machtsklasse horen onder andere de rationalen, de col-lectie (ω), puntverzamelingen van de ν-de soort, oneindige rijen en n-voudige rijen. Als veelheid M de macht heeft van de positieve gehele getallen, dan heeft elk oneindig deel van M dezelfde macht. Als M0, M00, M000, . . . een oneindige rij is van veelheden met de macht van positieve gehele getallen, dan heeft de samenneming M van deze veelheden M0, M00, M000, . . . dezelfde macht.9 _{Vervolgens komt de kern van de publicatie, namelijk}

dat Cantor een manier heeft gevonden om een continue ruimte van % > 1 dimensies te be-dekken met een eendimensionale continue ruimte, zodat elk punt van de een aan precies ´e´en punt van de ander gelijk wordt gesteld. Dit gaat rechtstreeks tegen aannames in die de wiskundige wereld tot op dat moment voor universeel waar hield en het werd moeilijk om nog aan te geven waar het onderscheid ligt tussen twee ruimtes van verschillende di-mensie. Cantor vroeg (v´o´or deze publicatie) aan vele wiskundecollegae op de viering van Gauss’ honderste verjaardag (1877) in G¨ottingen of zo een ´e´en-op-´e´en-correspondentie mogelijk was, wat leidde het volgende citaat uit een brief aan Dedekind:

Die meisten, welchen ich diese Frage vorgelegt wunderten sich dar¨uber, daß ich sie habe stellen k¨onnen, da es sich ja von selbst verst¨unde, daß zur Be-stimmung eines Punctes in einer Ausgedehntheit von % Dimensionen im-mer % unabh¨angige Coordinaten gebraucht werden. Wer jedoch in den Sinn der Frage eindrang, mußte bekennen, daß es zum mindesten eines Beweises bed¨urfe, warum sie mit dem “selbstverst¨andlichen” Nein zu beantworten sei. Wie gesagt geh¨orte ich selbst zu denen, welche es f¨ur das Wahrscheinlichste hielten, daß jene Frage mit einem Nein zu beantworten sei, ... [27, p.40]

3.2.2. Over oneindige lineaire puntverzamelingen

In 1879 begint Cantor een reeks van zes publicaties onder de titel ¨Uber unendliche lineaire Punktmannigfaltigkeiten om zijn vondsten tot zo ver bijeen te zetten en het nieuwe onderwerp grondiger te ontwikkelingen. De eerste publicatie betreft puntverzamelingen en het afleiden hiervan.[9] Het meeste hebben we hierboven al behandeld, maar er wordt wat op uitgebreid: puntverzamelingen waarvoor P(n) _{slechts uit eindig veel elementen}

bestaan, noemen we van de eerste Gattung, of het eerste geslacht. Houdt echter de rij van afleidingen P0, P00, P000, . . . , P(ν)_{, . . . van P niet op, dan is P van het tweede}

8_{Alternatief ‘veelvouden’, ‘meervoudigheid’. Merk op dat nog steeds ‘Menge’ niet wordt gebruikt.} 9_{Tegenwoordig eisen we hiervoor de aanname van het keuzeaxioma. Dit axioma bestond destijds nog}

geslacht. Als P overal-dicht in een interval ligt10, dan is P van het tweede geslacht. Dit geldt andersom ook. Ook het concept van macht wordt aangedaan, waarbij wordt vermeld dat bepaalde puntverzamelingen als representant voor hun machtklasse kunnen fungeren. Zo is dit bij de klasse van oneindig aftelbare puntverzamelingen de natuurlijke getallenrij, en voor de continue intervallen de verzameling van alle punten die met een afstand = 0 en 5 1 rechts van de oorsprong liggen. Bewezen wordt dat dit daadwerkelijk verschillende klassen zijn.

In 1880 wordt het tweede deel gepubliceerd waarin voornamelijk notatie voor puntver-zamelingoperaties wordt ge¨ıntroduceerd en verder op puntverzamelingen van het tweede geslacht wordt ingegaan.[10] De notatie is uit historisch oogpunt leuk om te lezen, maar wordt hier weggelaten. Is een verzameling P van het tweede geslacht is, dan kunnen we de doorsnede van P0, P00, P000, . . . nemen en deze met door het symbool P(∞)_uitdrukken,

dit noemen we dan de afgeleide van P van orde ∞.11 Omdat dit weer een puntverzame-ling is, kunnen we de n-de afleiding P(∞+n) _{van P}(∞) _{nemen en verdergaan tot P}(2∞)_.

Door het herhalen van deze operatie komt men uit op P(n0∞ν+n1∞n−1+...+nν)_,

waar n0, n1, . . . , nν positief gehele getallen zijn. Door consequent verder te blijven gaan,

krijgt men achtereenvolgend de volgende begrippen:

P(∞∞), P(n∞∞), P(∞∞+1), P(∞∞+n), P(∞n∞), P(∞∞n), P(∞∞∞), etc.

Het is een opmerkign waardig dat de uitdrukking P(∞) _{≡ O de verzamelingen van het}

eerste geslacht compleet karakteriseert.

Het derde deel komt in 1882 uit en probeert het werk uit de eerste twee delen te generaliseren naar meerdere dimensies.[11] Het merendeel van dit artikel wordt besteet aan het bewijzen van de volgende stelling:

Stelling. Laat in een n-dimensonale, overal in het oneindige uitdijende, continue ruimte A een oneindig aantal n-dimensionale, continue, onderling disjuncte deelgebieden (a) die hoogstens op hun grensgebied samenstoten gedefinieerd zijn; dan is de totale veelheid (a) altijd aftelbaar.

In 1883 wordt het vierde artikel uitgebracht.[12] Cantor update hierin zijn notatie voor puntverzamelingoperaties en introduceerd voor puntverzamelingen waardoor de doorsnede met hun eerste afgeleide leeg is, D(Q, Q0) ≡ O12, de term ge¨ısoleerde punt-verzamelingen. Onder andere met hulp van dit begrip stelt Cantor vast dat puntver-zamelingen van eerste geslacht en bepaalde gevallen van het tweede geslacht aftelbaar zijn. Ook behandelt hij een stelling in de integraalrekening van Paul du Bois-Reymond en Axel Harnack waarvan het bewijs gebruik maakt van puntverzamelingen. Cantor is ontevreden over de rigor van hun bewijs en behandelt de problemen die hij ondervindt in dit artikel, wat zich uit in het bewijzen van de volgende stelling:

10

P is ¨uberall-dicht in interval (α . . . β) als elk interval (γ . . . δ) dat hierbinnen ligt een punt van P bevat.

11_{Merk op dat hier ∞ als symbool gezien wordt, en dus niet als getal.} 12_{Q ∩ Q}0_{= ∅}

Stelling. Is een in een interval (a, b) bevatte puntverzameling P zo geconstrueerd, dat zijn afgeleide P0 aftelbaar is, dan is het altijd mogelijk P in een eindig aantal intervallen waarvan de som willekeurig klein is te sluiten.

In de jaren 1880 tot 1884 wordt in de Mathematische Annalen veel gepubliceerd over puntverzamelingen, niet alleen door Cantor. In de analyse begint de Riemann-integraal zijn gebreken te vertonen, wat correspondeert met de interesse in de topologie van do-meinen waarop functies gedefinieerd kunnen zijn. Dit zorgt er waarschijnlijk voor dat Cantor een dringende noodzaak voelt om te publiceren. Hij was behoorlijk ongerust over de publicatie van zijn vijfde artikel in de reeks, die wat hem betreft maar niet snel genoeg kon komen. Hij bezocht zelfs de drukkerij in Leipzig13_{in de hoop het verschijnen}

van zijn werk te bespoedigen.[19, p.92–94]

3.3. Betreffende de Grundlagen einer allgemeinen

Mannigfaltigkeitslehre

In 1883 wordt Cantors vijfde deel in de lineare Punktmannigfaltigkeitsen-serie uitge-bracht.[13] Hij breekt hier definitief met het idee van het bruikbare potentieel oneindige versus het onbruikbare actueel oneindige met zijn ontwikkeling van de nieuwe transfi-niete getallen. Eerder maakte hij al gebruik van de symbolen ∞ + 1, 2∞ en ∞n_{, maar in}

dit artikel worden deze objecten door Cantor verheven tot de status van getal. Dat dit is toegestaan in de wiskunde is helemaal niet vanzelfsprekend, daarom is een substantieel deel van de publicatie een verdediging van zijn wiskundefilosofie en is daarmee gelijk waarschijnlijk zijn grootste bijdrage op filosofisch gebied. Op wiskundig gebied is dit niet het geval, maar het is wel een van de meest vernieuwende stap die Cantor heeft ge-zet in zijn wiskundecarri`ere. Vanwege de omvang en het gewicht van deze publicatie, is dit als apart werk verschenen, onder een eigen naam: de Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, al wordt het nog wel gezien als vijfde deel in de overkoepelende serie over puntverzamelingen.

Met de bespreking van de Grundlagen beginnen we met de filosofische verdediging van Cantors werk in het oneindige. Het is niet mogelijk elk facet tot in de diepe details te behandelen, dus we beperken ons tot de belangrijkste hoofdlijnen. Hierna behandelen we Cantors introductie van de transfiniete getallen en het rekenen hiermee. Cantors be-handeling van het continu¨um en de irrationale en re¨ele getallen, en het fijnere detailwerk betreffende puntverzamelingen slaan we over.

3.3.1. Filosofisch aspect

Bekijken we de geschiedenis, dan ziet men, zoals hier al beschreven in paragraaf 2.1, dat de standpunten over het oneindige in Cantors tijd al voorkomen bij Aristoteles. Maar bekijkt men de motieven die Aristoteles geeft tegen het bestaan van het werkelijke oneindige, dan laat de kern zich volgens Cantor terugbrengen tot een stelling die een

cirkelredenering bevat, namelijk dat er alleen eindige getallen bestaan, omdat alleen tellingen (Z¨ahlungen) van eindige verzamelingen bekend zijn. Cantor geeft echter aan dat hij met het beschrijven en karakteriseren van oneindige geordende verzamelingen, en verder in deze publicatie met het ontwikkelen van de transfiniete getallen, heeft laten zien dat welgedefini¨eerde tellingen zowel bij eindige als bij oneindige verzamelingen verwezenlijkt kunnen worden. Het enige verschil tussen het tellen van eindige en van oneindige verzamelingen is dat bij eindige verzamelingen de volgorde van tellen niet uitmaakt; het aantal (Anzahl ) is bij elke volgorde hetzelfde, terwijl in het oneindige geval dit in het algemeen niet waar is: het is mogelijk een oneindige verzameling op verschillende manieren te tellen, om zo tot verschillende tellingen te komen voor een en dezelfde verzameling.14 _{Vanaf nu kan omwille dit argument volgens Cantor het bestaan}

van het oneindige dus niet meer genegeerd worden, als die van het eindige nog wel wordt gehandhaafd.

Cantor bespreekt ook een ander argument van Aristoteles tegen het bestaan van het oneindige, zijnde dat het eindige door het oneindige wordt verwoest, met andere woorden een eindig getal door een oneindig getal teniet wordt gedaan. Hier wordt mee bedoeld dat als je een eindige getal met een oneindige getal combineert, dat een (of de) oneindige getal overblijft: de eindige kwantiteit, hoe groot hij ook mocht zijn, is dus teniet gedaan. Oneindige getallen zouden daarom inconsistent zijn. Ten eerste wil Cantor opmerken dat het rekenen met oneindig niet per se hoeft te voldoen aan dezelfde regels als het rekenen met het eindige. Verder is het met zijn theorie wel degelijk het geval dat wanneer we een oneindig getal nemen en hierbij een eindig getal wordt opgeteld, het eindige getal niet wordt opgeheven: het oneindige getal wordt door het eindige getal gemodificeerd. Maar als we de optelling andersom doen, oneindig bij eindig, d´an verandert het oneindige getal inderdaad niet. Met deze richtige Sachverhalt doet Cantor Aristoteles af en beweert dat dit in de analyse en natuurwetenschappen geen nieuwe denkwijze is.

Cantor roept publicaties van Locke, Descartes, Spinoza en Leibniz aan die naar zijn mening de sterkste argumenten tegen het invoeren van oneindige getallen geven, maar onthoudt zich van een uitvoerige behandeling van deze werken. Wel vat hij de opvattin-gen over het eindige en oneindige van deze vier heren samen in ´e´en standpunt, namelijk dat de eindigheid deel uitmaakt van het begrip ‘getal’, en dat het oneindige, of het Ab-solute, dat in God zit, geen Determination, of bepaling, toelaat. Cantor is het zonder twijfel eens met het tweede deel van de uitspraak, wie es nicht anders sein kann, maar ziet in het eerste deel, net zoals bij Aristoteles, een cirkelredenering. De aanname die de filosofen namelijk doen, is dat er geen bepaling, of vaststelling, van het Absolute mo-gelijk is, omdat als het gedefinieerd wordt het niet meer als oneindig gezien kan worden en daardoor noodzakelijk eindig moet zijn. Vandaar dat het bepalen van verschillende groottes van oneindig volgens deze filosofen onmogelijk is. Cantor is van de overtuiging, en denkt door zijn vroegere onderzoekingen en door het werk in de Grundlagen te heb-ben bewezen, dat hij heeft aangetoond dat na het eindige een Transfinitum komt: een

14_{Het is belangrijk op te merken dat voor het eerst wordt gezegd dat volgorde van tellen bepalend}

kan zijn voor het aantal waar je uiteindelijk op uitkomt. Hiervoor ging men altijd uit van eindige verzamelingen, waardoor werd gedacht dat verschillende volgordes van tellen altijd overeenkwamen.

onbegrensde trapladder met onderscheidbare niveaus van oneindige aard, maar die net als het eindige door goedgedefinieerde, duidelijk bepaalde en van elkaar te onderschei-den getallen kunnen woronderschei-den gedetermineerd. Hij poneert samenvattend de volgende uitspraak:

Omnia seu finita seu infinita definita sunt et excepto Deo ab intellectu de-terminari possunt.15

Ook behandeld Cantor het argument dat vanwege de eindigheid van het menselijke verstand16 _{alleen eindige getallen denkbaar zijn en vindt wederom een cirkelredenering:}

stilzwijgend wordt bij de ‘eindigheid des verstands’ namelijk bedoeld dat het vermogen met betrekking tot de Zahlenbildung17 tot eindige getallen beperkt is. Van Spinoza’s verhouding tussen de eindige en oneindige niveaus is het volgens Cantor onduidelijk waarom en onder welke omstandigheden aanspraak kan worden gemaakt op zijn systeem. Wat betreft het standpunt van Leibniz is Cantor in staat om een citaat te vinden waarin Leibniz zijn eigen standpunt over het werkelijk oneindige tegenspreekt.

Cantor maakt ook de (zeer) belangrijke opmerking dat het aantal in het eindige een duidelijke definitie is, maar dat wanneer men overgaat naar het oneindige, deze term in twee nieuwe begrippen spleit. Aan de ene kant is er de macht die onafhankelijk is van de orde waarin een verzameling gegeven (of geteld) wordt. Aan de andere kant is er het aantal die noodzakelijkerwijs gebonden is aan de orde waarin een verzameling gegeven is. Dalen we omgekeerd weer van oneindig naar eindig, dan zien we dat deze twee termen weer samenvallen. Het is belangrijk er bewust van te zijn dat Cantor hier als eerste een scheiding geeft van twee concepten waarvan men altijd dacht dat ze intrinsiek gelijk aan elkaar waren, maar dat nu blijkt dat dit in het algemeen helemaal niet het geval is.18

Ook betreffende het bestaan, of de werkelijkheid, van de gehele getallen (zowel de eindige als oneindige soort) in het algemeen heeft Cantor nog wat te zeggen. Om te beginnen kan ‘bestaan’ op twee manieren worden opgevat. Enerzijds bestaan de gehele getallen in ons verstand: de getallen hebben een intrasubjectieve werkelijkheid. Als de getallen welgedefinieerd een plaats in ons verstand innemen, kunnen ze als bestandsdelen van ons denken gezien worden en in relatie staan tot andere bestandsdelen en zo de substantie van onze geest modificeren. Anderzijds kunnen de getallen transsubjectief als indruk of afbeeling van objecten of processen in de echte wereld bestaan. Het doel van elke metafysica is om deze twee realiteiten te verbinden. Dit is een concreet probleem in veel wetenschappen, maar de wiskunde heeft daar een uitzonderlijke status in, omdat de eenheid van het Alles het transienten bestaan van intrasubjectieve wiskundige gedachte-objecten garandeerd. Dus de wiskundige is vrij om zijn wiskundige ide¨een te poneren

15_{Alles, zij het eindig, zij het oneindig, is gedefinieerd en kan, met de uitzondering van God, worden}

bepaald door het intellect.

16_{Hier valt het gedachtengoed van Kant in te herkennen.}

17_{Met Bildung wordt waarschijnlijk de zelfontplooiing of opvoeding bedoeld zoals Wilhelm von}

Hum-boldt dit bedoelde. We zouden het gehele woord misschien kunnen vertalen als ‘de algemene vorming, of het besef, van het getalconcept’.

18_{Overigens blijft het mogelijk om een oneindige verzameling op zo’n wijze te tellen dat aantal en macht}

en aan te nemen dat ze in de vorm van een abstractie van de natuur van het universum werkelijkheid zijn.[31]

3.3.2. Transfiniete getallen

Eerst wat terminologie: de eerste getalklasse (I) is de verzameling van alle eindige ge-tallen 1, 2, 3, . . . , ν, . . . . Hierop volgt de tweede getalklasse (II) die bestaat uit, met een bepaalde volgorde gegeven, alle oneindige gehele getallen. Het is mogelijk verder te gaan en derde, vierde, etc. klassen te introduceren.

Nu kunnen we beginnen met het introduceren van twee manieren om een volgend getallen te maken. Het eerste productieprincipe (Erzeugungsprincip) cre¨ert een nieuw getal door een eenheid toe te voegen aan een al beschikbaar getal. Dit is analoog aan het herhaaldelijk toevoegen van een eenheid om de rij van positieve gehele getallen te maken. Het aantal te maken getallen ν van deze klasse (I) is oneindig en er is geen grootste. We kunnen desondanks een nieuw getal, dat we ω19 noemen, introduceren die de natuurlijke volgorde van de gehele collectie (I)20 _{uitdrukt. Het is toegestaan om deze}

ω te zien als het eerste gehele getal dat op alle getallen ν volgt, dat wil zeggen groter is. Met het eerste productieprincipe ontstaan de getallen die hierop volgen:

ω + 1, ω + 2, . . . , ω + ν, . . . .

Wederom komen we niet tot een grootste getal zodat een nieuw getal 2ω ge¨ıntroduceerd kan worden dat volgt op alle voorgaande getallen ν en ω + ν volgt. En we kunnen weer verder met het eerste productieprincipe:

2ω + 1, 2ω + 2, . . . , 2ω + ν, . . . .

De wijze waarop ω en 2ω zijn ge¨ıntroduceerd noemen we het tweede productieprincipe: wanneer er een oneindige opeenvolging van positieve gehele getallen bestaan zonder grootste getal, introduceren we een nieuw getal dat het eerste getal is dat groter is dan alle voorgaande getallen. Door herhaaldelijk toepassen van deze productieprincipes kunnen we elk getal van de vorm µω + ν maken, met µ en ν uit de eerste getalklasse.

Maar dit levert weer een oneindige rij getallen op waarvan geen de grootste is, zodat we weer het tweede productieprincipe kunnen toepassen om het getal ω2 _{te krijgen dat}

volgt op alle getallen µω + ν. Zodoende krijgen we door deze productieprincipes getallen van de vorm

ν0ωµ+ ν1ωµ−1+ · · · + νµ−1ω + νµ;

toch brengt het tweede productieprincipe ons een nieuw getal dat groter moet zijn dan al deze getallen dat we noteren met

ωω.

19_{Cantor wijkt hier bewust van van het gebruik van ∞, om duidelijk te maken dat het nu om getallen}

gaatm en niet om een onbepaalde oneindigheid zoals ∞ veelal werd gebruikt.

We blijven nu echter steeds getallen maken, zonder een van de tweede getalklasse tegen te komen. We introduceren, om deze oneindige rij op natuurlijke plekken te kunnen onderbreken, een derde principe. Het remmingsprincipe (Hemmungsprincip) eist dat een nieuw getal met de productieprincipes wordt gemaakt, alleen als het geheel van alle voorgaande getallen de macht heeft van een al gedefinieerd getal. We defini¨eren daarom de tweede getalklasse (II) voortaan als de collectie van alle, door beide productieprincipes gemaakte, in de bepaalde volgorde toenemende getallen α:

ω, ω + 1, . . . ν0ωµ+ ν1ωµ−1+ · · · + νµ−1ω + νµ, . . . , ωω, . . . , α, . . . ,

die moeten voldoen aan de eis dat alle getallen die α vooraf gaan (vanaf 1) een ver-zameling met dezelfde macht als getalklasse (I) vormen. Cantor bewijst hierna dat de machten van (I) en (II) verschillend zijn, en maakt een begin aan een bewijs dat er geen macht tussen deze twee ligt en is van plan in een volgend artikel verder in te gaan op de missende stukken.21

Het rekenen met deze transfiniete getallen wordt beperkt tot de getallen van klasse (II)22 _{en wordt op basis van geordende verzamelingen gedaan. Een geordende}

verzame-ling is een welgedefinieerde verzameverzame-ling waarbij alle elementen met elkaar verbonden zijn door een gegeven opeenvolging, zodat de verzameling een eerste element heeft en op elk element een bepaald ander volgt, als het niet de laatste in de opeenvolging is.

Laat M , M1 nu twee geordende verzamelingen zijn, met bijbehorende aantallen α en

β. Dan is M + M1 weer een geordende verzameling die ontstaat door de elementen

van M te nemen en die te laten volgen door de elementen van M1. Bij de verzameling

M + M1 hoort een aantal; dit aantal wordt de som van α en β genoemd en met α + β

aangeduid. Merk op dat als α en β niet beide eindig zijn, dat α + β en β + α in het algemeen verschillend zijn. In het algemeen is de associativiteit bij het optellen wel van kracht: α + (β + γ) = (α + β) + γ.

Neemt men een door een getal β bepaalde opeenvolging van lauter gelijke en gelijkge-ordende verzamelingen, bij elke het aantal gelijk aan het getal α is, dan verkrijgt men een nieuwe geordende verzameling wiens bijbehorende aantal de definitie voor het product βα levert, waar β de vermenigvuldiger is en α het vermenigvuldigde. Wederom geldt in het algemeen dat βα en αβ verschillend zijn. Maar ook bij vermenigvuldiging geldt in het algemeen wel de associativiteit: α(βγ) = (αβ)γ.

De distributieve wet is alleen in de volgende vorm geldig: (α + β)γ = αγ + βγ.

Het aftrekken kan op twee manieren worden gedaan. Zij α en β twee gehele getallen, α < β, dan is het makkelijk in te zien dat de vergelijking

α + ξ = β

21_{Dit is een eerste stap naar de formulering van wat tegenwoordig de continu¨umhypothese wordt}

ge-noemd. Hierover meer in paragraaf 3.4.

22_{Dit omdat Cantor nog weinig weet over hoe de getalklassen zich in het algemeen tot elkaar verhouden,}

voornamelijk met betrekking tot de continu¨umhypothese. De arithmetiek van getalklasse (I) hoeft vanzelfsprekend niet te worden behandeld.

een unieke oplossing ξ toelaat, waar ξ een getal uit (I) of (II) is als α en β getallen uit (II) zijn. Dit getal ξ wordt gelijk aan β − α gesteld.

Proberen we het met de volgende vergelijking: ξ + α = β,

dan zien we dat er niet altijd een oplossing ξ bestaat, bijvoorbeeld bij de vergelijking ξ + ω = ω + 1.

Maar ook in het geval dat ξ + α = β wel voor ξ oplosbaar is, vindt men vaak dat er oneindig veel oplossingen ξ zijn. Er is van deze oplossingen echter altijd eentje die het kleinste is. Voor deze kleinste waarde, als de vergelijking oplosbaar is, kiezen we de notatie β

α, die in het algemeen verschilt van β − α.

Bij multiplicatie gaat het analoog: bestaat tussen drie getallen de vergelijking β = γα,

dan is het makkelijk in te zien dat de vergelijking β = ξα een unieke oplossing ξ = γ heeft en we noteren dan γ als β_α. Maar bij de vergelijking

β = αξ

zijn er, als deze al oplosbaar is, vaak meerdere waarden voor ξ mogelijk. Echter is er weer een unieke kleinste oplossing voor deze vergelijking, en deze ξ noteren we met

β = α .

Getallen α uit de tweede getalklasse komen in twee soorten: getallen α die een voor-ganger in de rij hebben noemen we van de eerste soort (bijvoorbeeld ω + 1, ωω _{+ 3),}

getallen die geen voortganger in de rij hebben noemen we van de tweede soort (bijvoor-beeld ω, ωω).

De definitie van priemgetallen moet voor het transfiniete getal iets worden aangepast, wegens de zojuist tegengekomen problemen met vermenigvuldiging. Gegeven het trans-finiete getal α = βγ kunnen we α priem noemen als de enige mogelijke decomposities eisen dat β = 1 of β = α. De priemgetallen van de klasse (II) zijn te scheiden in priemgetallen van de tweede soort en van de eerste soort.

Priemgetallen van de tweede soort nemen, op volgorde, de volgende vorm aan: ω, ωω, ωω2, ωω3, . . .

Oftewel, bij getallen van de vorm

ϕ = ν0ωµ+ ν1ωµ−1+ · · · + νµ−1ω + νµ

is ω het enige priemgetal van de tweede soort dat voorkomt. Cantor merkt op dat, on-danks de ogenschijnlijke magere aanwezigheid van priemgetallen in (II), het te bewijzen is dat de collectie van al deze priemgetallen dezelfde macht heeft als (II).

De priemgetallen van de tweede soort zijn van de vorm ω + 1, ω2+ 1, . . . , ωµ+ 1, . . .

Dit zijn de enige priemgetallen van de eerste soort die voorkomen bij getallen in de vorm van ϕ hierboven. Ook de collectie van priemgetallen van de eerste soort heeft dezelfde macht als (II).

Een leuk detail is dat als η een priemgetal van de eerste soort is, ηα = η geldt als α kleiner dan η is, waaruit weer volgt dat als α en β kleiner dan η zijn, dat dan ook αβ kleiner dan η is.

De publicatie sluit af met het defini¨eren van optelling en vermenigvuldiging voor deze transfiniete getallen van de tweede klasse. Zij

ϕ = ν0ωµ+ ν1ωµ−1+ · · · + νµ

ψ = %0ωλ+ %1ωλ−1+ · · · + %λ,

waarbij ν0 en ρ0 van nul verschillen.

Optelling. 1) Is µ < λ, dan: ϕ + ψ = ψ. 2) Is µ > λ, dan: ϕ + ψ = ν0ωµ+ · · · + νµ−λ−1ωλ+1+ (νµ−λ+ %0)ωλ+ %1ωλ−1+ %2ωλ−2+ · · · + %λ. 3) Voor µ = λ is ϕ + ψ = (ν0+ %0)ωλ + %1ωλ−1+ · · · + %λ. Multiplicatie.

1) Is νµ ongelijk nul, dan:

ϕψ = ν0ωµ+λ+ ν1ωµ+λ−1+ · · · + νµ−1ωλ+1+ νµ%0ωλ+ %1ωλ−1+ · · · + %λ.

In het geval dat λ = 0 is de laatste term in de rechterkant: νµ%0.

2) Is νµ= 0, dan:

ϕψ = ν0ωµ+λ+ ν1ωµ+λ−1+ · · · + νµ−1ωλ+1= ϕωλ.

Tot slot kunnen we nu een getal ϕ in zijn priemfactoren ontbinden. Zij ϕ = c0ωµ+ c1ωµ1+ c2ωµ2 + · · · + cσωµσ

met µ > µ1 > µ2 > · · · > µσ en c0, c1, . . . , cσ niet-nul en positieve eindige getallen, dan

geldt

ϕ = c0(ωµ−µ1 + 1)c1(ωµ1−µ2 + 1)c2· · · cσ−1(ωµσ−1−µσ + 1)cσωµσ.

Als men c0, c1, . . . , cσ met de regels van priemgetallen van de eerste getalklasse ontbindt,

dan heeft men de priemontbinding van ϕ.

Zodoende heeft Cantor zijn doel bereikt en heeft hij laten zien dat zijn transfiniete getallen goedgedefinieerd en van elkaar te onderscheiden zijn, en inderdaad getaleigen-schappen bezitten.

3.4. Na de Grundlagen

Opgemerkt dient te worden dat Cantor met de Grundlagen, en de lineare Punktmannig-faltigkeiten-serie in het algemeen, als doel had te bepalen welke macht het continu¨um (de re¨ele lijn in het bijzonder) heeft. Hij maakt al lange tijd de claim dat deze gelijk moet zijn aan de macht van de tweede getalklasse (II), maar was tot nu niet in staat dit te bewijzen. Dit probleem zullen wij vanaf nu de continu¨umhypothese noemen. Het belang van deze hypothese was groot voor Cantor, omdat hieruit volgt dat alle onein-dige puntverzamelingen de macht van de eerste of tweede getalklasse hebben, en dat de collectie van alle functies die door een oneindige reeks te representeren zijn de macht van de tweede getalklasse heeft.[19, p.110] Cantor zet de fundering voor deze zoektocht uiteen in de Grundlagen door een karakterisering van het continu¨um om te cre¨eren. Een belangrijk begrip gerelateerd aan deze zoektocht is dat van een perfecte verzameling, een verzameling P waardoor de eerste afgeleide identiek is aan P zelf, oftewel

P(1) ≡ P.23

In het zesde en tevens laatste deel van de lineare Punktmannigfaltigkeiten-serie, gepubli-ceerd in 1884, gaat Cantor dieper in op de eigenschappen van deze perfecte verzamelingen en begint met het ontwikkelen van een volumebegrip voor puntverzamelingen, zoals ge-zegd met als doel de continu¨umhypothese op te lossen.24 _{Aan het eind van het artikel}

heeft Cantor de volgende stelling weten te bewijzen:

Stelling. Een oneindige gesloten lineaire puntverzameling heeft de eerste macht (de macht van de rij van positieve gehele getallen) of de macht van het lineaire continu¨um,

waarmee hij de continu¨umhypothese bijna bewezen acht. Hij sluit daarom ook het artikel hoopvol af met:

Daß dieser merkw¨urdige Satz eine weitere G¨ultigkeit auch f¨ur nicht abge-schlossene lineare Punktmengen und ebenso auch f¨ur alle n-dimensionalen Punktmengen hat, wird in sp¨ateren Paragraphen bewiesen werden. Hieraus wird mit Hilfe der in Nr. 5 §1325 _{bewiesenen S¨atze geschlossen werden, daß}

das Linearkontinuum die M¨achtigkeit der zweiten Zahlenklasse (II) hat.

Cantor blijft de rest van zijn leven zoeken naar een bewijs van de continu¨umhypothese, maar vlak na de publicatie van dit zesde deel eindigde de meest productieve periode van Cantor op wiskundig gebied. Ten eerste komt er een einde aan de winstgevende briefwisselingen met Dedekind: eind 1881 kwam Eduard Heine te overlijden waardoor er een wiskundeleerstoel vrijkwam in Halle, waarvoor Cantor nieuwe kandidaten mocht aandragen. Zijn eerste keuze ging naar Dedekind toe, maar deze weigerde, na meermaals

23_{Merk op dat de re¨ele lijn zo’n verzameling is.}

24_{Merk op dat precies tachtig jaar later, in 1964, door Paul Cohen, in samenstelling met het werk van}

Kurt G¨odel in 1940, definitief werd bewezen dat de continu¨umhypothese onafhankelijk is van ZF en daarmee heeft laten zien dat, in een modernistisch jasje, de queeste van Cantor niet voltooid kan worden.[18][23]

aansporen van Cantor, de functie. Kort hierna staakte de gunstige briefwisseling met Dedekind, waardoor te speculeren valt dat Cantor zich persoonlijk gekwetst voelde door deze afwijzing.[28]

Van groot belang voor Cantor was zijn vriendschap met de Zweedse wiskundige G¨osta Mittag-Leffler. Mittag-Leffler begint in 1882 een nieuw wiskundig tijdschrift genaamd de Acta Mathematica en vraagt Cantor onder andere om zijn belangrijkste resultaten hier in het Frans te publiceren, terwijl Mittag-Leffler, gebruikmakende van de theorie van Cantor, ook zelf een aantal van zijn eigen resultaten in de functietheorie in de Acta publiceert. Mittag-Leffler wordt een vertrouwde penvriend.

De spanning tussen Cantor en Kronecker, die al een aantal jaar geleden is ontstaan, blijft echter. Een grote bron van ergernis voor Cantor is de invloed die Kronecker in de wiskundige wereld heeft en besluit naar de minister van cultuur per brief om een aanstelling aan de Berlijnse universiteit te vragen, de universiteit van Kronecker (en zijn ‘compagnon’ Schwarz), met als reden:

[...] ich habe nicht im Entferntesten daran gedacht, dass ich jetzt schon nach Berlin kommen w¨urde. Da mir aber daran liegt, nach einiger Zeit hinzukommen und mir bekannt ist, dass Schwarz und Kronecker seit Jahren f¨urchterlich gegen mich intriguiren, aus Furcht ich k¨onnte einmal hinkommen, so habe ich es f¨ur meine Pflicht gehalten, die Initiative selbst zu ergreifen und mich an den Minister zu wenden.[28, p.50]

Kort daarna krijgt echter Cantor van Mittag-Leffler te horen dat Kronecker vroeg om in de Acta Mathematica een artikel te mogen publiceren dat uiteenzet waarom de verzame-lingenleer geen betekenis heeft. Voor Cantor voelde dit waarschijnlijk alsof Kronecker hem uit de Acta Mathematica te drijven, juist het tijdschrift waar Cantor een sym-pathiserende redacteur had gevonden, nadat Kronecker ook al Cantors publicaties uit Crelles Journal had geprobeerd te weren. Hierop dreigde hij zijn steun voor het tijd-schrift van zijn vriend terug te trekken als het blad een aanvallend stuk van Kronecker zou publiceren.[19]

Kort hierop, in de lente van 1884 krijgt Cantor zijn eerste periode van hevige depres-sie, waardoor Cantor een maand lang uit de roulatie is.26 _{Cantor zelf besluit hierom,}

zodra het wat beter gaat, een verzoeningsbrief te sturen naar Kronecker in de hoop de spanning te verlichten, waar Kronecker op taktvolle en fatsoenlijke wijze antwoordt. De gemoederen zijn hierdoor, in ieder geval tijdelijk, tot bedaren gebracht.

Overigens stuurde Kronecker nooit het artikel dat hij had voorgesteld naar Acta Ma-thematica, maar toch kwam het tot een breuk tussen Cantor en dit blad. In begin 1885 stuurt Cantor een tweetal artikelen naar Acta Mathematica ter publicatie met nieuwe ide¨een over ordetypes (de manieren van tellen van een puntverzameling). Mittag-Leffler

26_{Het kan ook om een zenuwinzinking gaan, bronnen [19] en [28] verschillen hierover. Er valt wat voor}

te zeggen dat zijn frustraties met de continu¨umhypothese, Dedekinds weigering van de leerstoel en de spanning tussen Cantor en Kronecker hier veroorzakers van zijn. Echter wijst Purkert erop dat manische depressie, wat de offici¨ele diagnose was, niet door externe factoren wordt veroorzaakt.[28, p.52]

antwoordt met een brief met de suggestie dat Cantor zijn artikelen beter kan terug-trekken, omdat het te revolutionair zou zijn en daardoor Cantors reputatie zou kunnen schaden, en vergelijkt het met Gauss’ onderzoek in de niet-Euclidische meetkunde die ook nooit zijn gepubliceerd27 Cantor vat dit echter op als een poging van Mittag-Leffler om mogelijke reputatieschade van zijn nog fragiele blad te voorkomen. Deze suggestie was, meer dan de ruzie met Kronecker, zijn depressie of de frustratie door de con-tinu¨umhypothese, verwoestend voor Cantor.[19, p.138] Hij zou nooit meer publiceren in de Acta Mathematica en geeft voor lange tijd de wiskunde bijna geheel op.

In de periode hierna toont Cantor meer interesse in filosofie en geeft zelfs een paar filosofievakken in Halle. Ook raakt hij ge¨ınteresseerd in de Shakespeare-Bacon-theorie, het vermoeden dat de drama’s van William Shakespeare eigenlijk geschreven zijn door Sir Francis Bacon, en schrijft hier twee kleine werken over die in 1896 op de markt verschijnen.[28, p.55] Ook begint Cantor zich meer te focussen op het geloof: hij ver-diept zich in de theologie en correspondeert met theologen, filosofen en geestelijken. Een andere activiteit wordt het oprichten van een vereniging voor wiskunde, wat uitmondt in de oprichting van de Deutsche Mathematiker-Vereinigung in 1891. Bij de eerste ontmoe-ting wordt Cantor als president aangewezen, en wordt Kronecker (die was uitgenodigd en zou komen, maar op het allerlaatst moest afzeggen wegens het overlijden van zijn vrouw) in de raad van bestuur gestemd. Cantor maakte ook van deze eerste bijeen-komst gebruik om zijn eerste wiskundeonderzoek te presenteren en publiceren in vijf jaar tijd.[14] Dit korte paper bevat misschien wel de twee meest beroemde resultaten van Cantor: het welbekende diagonaalargument en de stelling dat voor een verzameling M de verzameling van alle deelverzamelingen een strict grotere macht heeft28_{. Aan het}

eind van dit jaar kwam Kronecker, slechts maanden na zijn vrouw, te overlijden. Naast de oprichting van de DMV probeert Cantor een internationaal congres voor wiskundigen te organiseren, wat uiteindelijk in 1897 plaatsvindt.[17, p.471]

Desondanks is Cantor in de periode na het terugtrekken uit de publicatiewereld nog wel bezig geweest met de wiskunde en heeft zijn verzamelingenleer verder volwassen kun-nen worden. In 1895 en 1897 publiceert Cantor dan eindelijk, in twee delen, een compleet overzicht van zijn theorie van de transfiniete getallen: zijn Beitr¨age zur Begr¨undung der transfiniten Mengenlehre.[15][16] In tegenstelling tot de Grundlagen wordt hierin nau-welijks over filosofie gesproken en wordt de materie meer op een strikte wiskundige wijze gepresenteerd. De materie in deze artikelen lijkt al heel erg op de verzamelingenleer zoals hij vandaag de dag er voor staat. Zo wordt de macht van een verzameling omgedoopt tot kardinaalgetal en deze kardinaalgetallen worden apart van de wat ordinaalgetallen gaan heten ontwikkeld, inclusief eigen arithmetiek en wordt ℵ0 als notatie gebruikt voor

het kleinste transfiniete, dat wil zeggen oneindige, kardinaalgetal. Ook worden wat in de Grundlagen als transfiniete getallen werden omschreven hernoemd tot ordinalen (Ord-nungszahlen), waarbij de arithmetiek niet veel wordt veranderd. Welgeordendheid doet zijn intrede, en nog veel meer. Voor degenen ge¨ınteresseerd in de verzamelingenleer is

27_{Het bestaan of nut van niet-Euclidische meetkunde was in de tijd van Gauss erg omstreden. Gauss}

claimde in persoonlijke brieven er wel aan te hebben gewerkt, maar heeft nooit geprobeerd iets erover te laten publiceren.

dit een uiterst boeiend en leerzaam werk, maar voor deze scriptie wat minder, behalve om op te merken dat Cantor weinig moeite doet om dit werk op filosofische grond te verdedigen.

Na de publicatie verschijnen Italaanse en Franse vertalingen en verspreidde Cantors ide¨een over de wereld en het belang van zijn werk werd snel (h)erkend.[19, p.218] Cantor is ervan bewust dat de Beitr¨age onvolledigheden bevatte, zo was hij niet in staat kar-dinaalgetallen met elkaar te vergelijken, en dat op bepaalde plekken de rigor te wensen over laat. Ook worden er in 1897 paradoxen in de verzamelingentheorie ontdekt. Maar toch heeft Cantor hier een essenti¨ele bijdrage geleverd aan de wiskundewereld, en een nieuwe generatie wiskundigen zal deze bijdrage laten evolueren tot een nieuwe fundering van de wiskunde.