Een plaat met gat als configuratie voor het schatten van materiaalparameters

(1)

Een plaat met gat als configuratie voor het schatten van

materiaalparameters

Citation for published version (APA):

Beest, te, T. (1995). Een plaat met gat als configuratie voor het schatten van materiaalparameters. (DCT rapporten; Vol. 1995.175). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1995

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

Stag ever slag

Begeleiders: ir. M. Meuwissen

dr.

ir. C. Oomens

Een plaat m e t gat als configuratie

voor

het schatten van

mate

riaa

I

pa

ra

mete rs

T. te Beest

WFW-rapport 95.175

Vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde

Technische Universiteit Eindhoven

(3)

Samenvatting

Bij

het onderzoek naar eigenschappen en gedrag van complexe materialen

is

het nauwelijks of niet mogelijk gebruik te maken van standaard proeven. Voor dit soort materialen wordt dan ook naar andere methoden gezocht om onderzoek uit te voeren. Eén van de methoden die bruikbaar

is,

is

de gemengd numeriek-experimentele methode volgens Hendriks [ I

I.

Uitgangspunt bij deze methode

is

een proefstuk met een afwijkende vorm waarbij gestreefd wordt naar een inhomogeen spannings-

e n

rekveld. Tijdens een experiment met dit proefstuk wordt vervolgens een grote hoeveelheid veldinformatie gemeten. Daarnaast wordt

er

is

getracht om uit de schattingsresultaten uitspraken te doen over de gemaakte modelfouten. Het bleek mogelijk om door het onderzoeken van de residuen

í

verschillen tussen "gemeten" en berekende verplaatsingsvelden) globale uitspraken te doen over het soort modelfout.

(4)

4 2.5 Anisotroop materiaaloedrag

. . .

. . .

15

Hoofdstuk

4

Conclusies en aanbevelingen

. . .

16

(5)

Inleiding

Hoofdstuk

1 :

Inleiding

Bij het onderzoek naar eigenschappen en gedrag van materialen wordt veelvuldig gebruik gemaakt van de uniaxiale trekproef. Deze proef stelt relatief strenge eisen aan de geometrie van het proefstuk. Die moeten leiden tot een eenvoudige (vaak homogene) spannings-hektoestand in een deel van het proefstuk. De proef is hierdoor onbruikbaar voor complexe, bijvoorbeeld

inhomogene, materialen.

Voor het onderzoek naar inhomogeen materiaal moeten daarom andere methoden worden gebruikt. Eén van de alternatieven is de numeriek experimentele methode, zoals die door Hen-

driks [ I

1

is beschreven en waarvan bij dit onderzoek gebruik gemaakt is.

Deze methode heeft een aantal voordelen ten opzichte van de standaard trekproef. De beiang- rijkste zijn:

er kan een willekeurig experiment worden gebruikt.

alle parameters zijn in één keer te schatten als het meetveld voldoende informatie bevat.

het is mogelijk duidelijke aanwijzingen t e vinden over fouten in de gebruikte modellen.

Vooral van het laatste voordeel is bij het onderzoek gebruik gemaakt. Er is, voor een bepaald

experiment, onderzocht of het ook daadwerkelijk mogelijk is om modelfouten op te sporen en t e identificeren als er, met een verkeerd model, parameters geschat worden. Eén van de mogelijk- heden om de modelfouten aan te tonen is door de verschillen tussen de gemeten en berekende verplaatsingsvelden, de zogenaamde residuen-velden, t e bekijken. In dit onderzoek is dit gedaan door middel van numerieke simulaties aan een plaat met gat.

Eerder onderzoek aan een willekeurige geometrie met een willekeurige belasting heeft uitgewe-

zen dat het niet mogelijk is om hierbij gedetailleerde uitspraken t e doen over modelfouten. De

residuen-velden zijn namelijk zeer complex en daardoor moeilijk t e interpreteren. Daarom is

tijdens dit onderzoek gebruik gemaakt van een gestileerder experiment waarvan het spannings- veld echter voldoende inhomogeen is om alle parameters uit de meetdata van één experiment t e

schatten. Onderzocht is of er nu wel gedetailleerdere uitspraken t e doen zijn over de model-

fouten.

In hoofdstuk 2 zal de gebruikte plaat nader bekeken worden. Het schatten van de parameters

komt in hoofdstuk 3 aan de orde. Tenslotte zullen in hoofdstuk 4 conclusies en aanbevelingen

worden gegeven.

(6)

Het 'experiment'

Hoofdstuk 2: Het "experiment"

In dit hoofdstuk zal het numeriek gesimuleerde experiment van een plaat met gat beschreven

worden. Daartoe zal eerst de geometrie en belasting van de plaat onder de loep genomen

worden. Vervolgens wordt de bepaling van de mesh-verdeling besproken. Hiertoe wordt tevens enige theorie behandeld over de spanningsverdeling in een plaat met gat. Ten slotte wordt een

uitspraak gedaan over de bruikbaarheid van het experiment aan de hand van de spanningsverde-

lingen.

Tijdens het onderzoek is gebruik gemaakt van twee software-pakketten: IDEAS (pre- en

postprocessing) en DIANA (Eindige Elementen-analyse).

2.1 Geometrie en randvoorwaarden:

Er is een experiment opgezet waarvan verwacht wordt dat een zodanig spanningen rekveld gecreëerd wordt dat schatten van de parameters met meetdata uit één experiment mogelijk is. De configuratie bestaat uit een plaat met gat waaraan, aan twee tegenover elkaar liggende

zijden, wordt getrokken. ,

De plaat met gat is weergegeven in figuur 2.1 De afmetingen van het gat zijn bewust klein

gekozen ten opzichte van de globale afmetingen om de resultaten, die op numerieke wijze worden verkregen, te kunnen vergelijken met de analytische oplossing.

figuur 2.1 : plaat met gat

Hierin is:

I,

= 2 ímml

I,

= 2 [mml

d = 0.1 [mml

t = 0.1 [mml

Omdat de configuratie symmetrisch is ten opzichte van de x-as en de y-as, is slechts een kwart van de plaat gemodelleerd, weergegeven door de dikke lijnen in figuur 2.1.

De belasting wordt aangebracht zoals weergegeven in figuur 2.2 en bedraagt CT = 1 .OE-O3 -

[N/mml. In figuur 2.2 is tevens aangegeven hoe de randvoorwaarden op de andere zijden zijn

gekozen op grond van symmetrie.

(7)

Het ,experiment' I 1

I

w

I

>

I

figuur 2.2: belasting en randvoorwaarden op de plaat

2.2 Materiaalgedrag

Een geschikte grootte van de elementen van de mesh is bepaald door de oplossing van de EEM-

analyse t e vergelijken met de analytische oplossing. Deze analytische oplossing is alleen geldig

voor isotroop lineair elastisch materiaal. Daarom wordt in eerste instantie dit materiaalgedrag bekeken. In latere stappen zullen andere materiaalmodellen worden gebruikt.

Voor de materiaalgrootheden zijn de volgende arbitraire waarden gekozen:

-Elasticiteitsmodulus: E = 1 iN/mm*I

-Dwarscontractie: v = 0.25

[-I

2.3 Theorie: analytische oplossing

Om een verantwoorde keuze te maken voor de mesh-fijnheid is het noodzakelijk de numeriek verkregen waarden te vergelijken met de analytische oplossing. In deze paragraaf wordt een toelichting gegeven op de bepaling van deze analytische oplossing.

Voor een plaat met gat, waarbij de afmetingen van het gat klein zijn ten opzichte van die van de

plaat, geldt de volgende formule voor de tangentiële spanningsverdeling 121:

1 a 2

a 4

2 r 2

r 4

U, = -U,

[(I+-)

-

( I + ~ - ) c o s ~ ~ I

(2.1)

(8)

Met:(zie ook figuur

2.31

o, =

o

.

= de nominale spanning

a = de straal van het gat

r = de afstand tot het middelpunt van de cirkel

de normaalspanning op een lijn welke door het middelpunt van het gat loopt en een hoek

8

maakt met de positieve x-as

figuur 2.3: tangentiële spanningsverdeling voor u =

+

/- rr/2

Voor de normaalspanning op de y-as geldt

8

= +/-

n/2.

Dit resulteert in de formule:

1 a 2

a 4

2 r 2

r4

0 0 = -00

[ ( I

+-) +

(1

+3-)]

Dit betekent dat voor de normaalspanning op de y-as geldt:

De normaalspanning op de x-as wordt verkregen door 8 = O of

8

= +/- TI t e stellen. Dit resul-

=

30,.

teert dan in de formule:

De minimale spanning is

0, = -0,

1 [ ( I

+-)

a 2

-

(1

+3-)1

a 4

2 r2

r4

in dit geval eenvoudig t e bepalen: (ooimin =

-oo.

Omdat het gat klein is ten opzichte van de andere afmetingen geldt voor de kracht:

F

= 0

*

/2 =

2.OE-03

[/VI

De nominale spanning is:

(2.3)

(2.4)

De waarden voor oqx en uqy die, met behulp van de in paragraaf 2.1 vermelde waarden en de

formules

(2.2)

en

(2.31,

verkregen worden, zijn in tabel 2.1 vermeld.

2.4 Mesh

Om de gebieden met de grootste spanningsverschillen goed t e kunnen beschrijven is het van

belang een mesh t e creëren met een voldoende fijnheid. De afmetingen mogen echter niet t e fijn

worden in verband met de langere rekentijd die hierdoor ontstaat.

Er is een aantal verschillende mesh-verdelingen gegenereerd. Voor iedere mesh-verdeling worden andere waarden gevonden voor de normaalspanning op de y-as en de x-as. Naarmate de mesh fijner is wordt de analytische oplossing beter beschreven.

(9)

Het 'experiment'

I o r - * *

a

P OB.0,

b

figuur 2.4: tangentiële spanning 2.4a: op de y-as

2.4b: op de x-as

x

= analytische oplossing

5 Een plaat met gat als configuratie voor het schatten van materiaalparameters

(10)

H e t ‘experiment’

>

O

In figuur 2.4 is spanningsverdeling van de mesh te zien die uiteindelijk in dit onderzoek gebruikt

is. In deze figuur is tevens het analytisch bepaalde verloop van de spanningen, zoals in tabel 2.1

gegeven, geschetst.

De gebruikte mesh-verdeling is afgebeeld in figuur 2.5:

~.

figuur 2.5: gekozen mesh-verdeling

2.5 Anisotroop materiaalgedrag

Isotroop lineair elastisch materiaalgedrag is alleen gebruikt om een geschikte mesh-verdeling te bepalen. Bij verdere simulaties is gebruik gemaakt van complexere modellen namelijk anisotroop lineair en niet lineair gedrag.

Lineair aedraa:

Voor het lineaire gedrag geldt:

met:

r

I

-

E1

1 o

o

L

j

GI

2 6

(11)

en T: transformatie-matrix. Deze matrix is alleen een functie van CT, zie figuur 2.6.

figuur 2.6: materiaal symmetrie richting wordt gegeven door a, de hoek tussen de x-as en de materiaal I - a s

Tan(or) is voor alle 'experimenten' gelijk aan nul gesteld.

Hieronder, in figuur 2.7 is t e zien hoe het verloop van de spanning er, in dit lineaire geval, uit

ziet. . L.C i t r . . = % . . . , . , - 0 . ? S . . % s' D I I . * i t r e s 2 o I I - 0 2 , . > * z - o , I 1 1 1 . 0 1 I e I - 0 1

.

I I - D I c o z . * ,

.

0 z . 0 , I O r - O D a ..OI.Ol '<II.Sl l . o l - D I i . a * . o o I . I I - n I * . O l . I I l S l * b i L

.

C O e r d L . . * . L... a . . . I L

-

7 I s r . . . 1.. .i ic... b

figuur 2.7: tangentiële spanning; 2.7a: op de y-as; 2.7b: op de y-as

7

(12)

Het 'experiment'

De

parameterwaarden

in

het 'experiment' zijn als volgt gekozen:

E, = 'i [N/mm21 E, = 0 . 2 5 [N/mm21

v,,

= 0 . 2 5

[-I

G,,

=

0.10 [-I

Niet lineair qedraq:

in

tegensteiiing tot iineair gearag bestaat

nier a u s

geen iineair verbana

tussen

cie

spanning en ue rek.

Er

is

gekozen voor d e volgende rek-energie-functie:

@ =

'(1 +kgTg)gTG-'g

( 2 . 7 )

2

E : de kolom met de relevante rek-componenten (voor vlak-spanning):

-

E T =

e

81, 8 2 , 8 3 1

2812

1

Hierin

is:

k:

en

C:

de factor voor de

niet

lineariteit. Voor k =

O

volgt de rek-energie-functie voor lineair elastisch materiaal.

De spanningen volgen dan uit:

I

O

o

0 -GI

2

Met

u:

de kolom met spanningscomponenten:

-

oT

=

[oir

0 2 1 0 3 , o 1 2 1

(voor vlak-spanning:

o,

=

O;

loodrecht op de plaat: 3-richting)

In

figuur 2 . 8

is

d e invloed van k duidelijk gemaakt door de spanning tegen de

rek uit

te

zetten voor lineair

en

niet

lineair materiaal.

(13)

I

a

I

b

figuur 2.9: tangentiële spanning; 2.9a: op de y-as; 2.9b: op de x-as

(14)

Voor de materiaalparameters

is

aangenomen dat:

v12 = v13 = v23

E, = E,

Figuur

2.9

op d e vorige bladzijde geeft van dit anisotroop

niet

lineaire materiaalgedrag

is

de verdeling van d e tangentiële spanning over de y-as resp. x-as.

2.6 Resultaten

Voor het iineair isotrope modei geidt aar de EENi-som en de anaiytiscne som ongeveer geiijk aan elkaar zijn. Hieruit kan geconcludeerd worden dat de mesh goed lijkt

te

zijn.

Als de mesh bij andere materiaalmodellen wordt gebruikt dan blijkt

het

spanningsverloop globaal geen afwijkend gedrag (bijvoorbeeld veel pieken)

te

vertonen, wel worden, zoals verwacht, voor de piekspanningen andere waarden gevonden.

Verder wordt verwacht dat de spannings-

en

rekvelden voldoende inhomogeen zijn om

te

gebruiken bij

het

schatten.

Het

bovenstaande heeft

er

toe geleid dat het beschreven experiment met d e gekozen mesh- verdeling onderzocht

is

op zijn bruikbaarheid bij onderzoek naar modelfouten bij

het

schatten van parameters.

(15)

Parameterschatten

Hoofdstuk

3:

Parameterschatten

Voor het schatten van de parameters wordt binnen DIANA de module PAREST gebruikt. Deze

bevat een implementatie van de Identificatie Techniek volgens Hendriks i1

I.

Hierbinnen worden

uit het, in dit geval numeriek, verkregen verplaatsingsveld de parameters geschat. Een probleem hierbij is dat de gebruikte modellen vaak beperkt zijn ten opzichte van de werkelijkheid. Daarom worden, zoals in dit hoofdstuk beschreven, in simulaties bewust fouten aangebracht en wordt getracht via onderzoek van de schattingsresultaten (o.a. residuen) tot een uitspraak te komen over deze fouten.

3.

i Merp!aatcingcveld

De verplaatsingsvelden, aan de hand waarvan de schattingen van de parameters hebben plaats gevonden, zijn via een eindig elementen model verkregen. Voor het materiaal is het niet lineair anisotroop gedrag gekozen, zoals beschreven in het vorige hoofdstuk.

Er is gebruik gemaakt van 77 meetpunten, welke in de gebieden met de grootste spanningsgra-

diënten liggen. Voor deze lokatie van de meetpunten is gekozen omdat verwacht wordt dat er zo voldoende meetdata voor handen zijn om uit één verplaatsingsveld alle parameters t e schatten. Voor de gebruikte geometrie betekent dit dat de meetpunten geconcentreerd rond het gat gekozen zijn, zoals aangegeven in figuur 3.1.

figuur 3.1 : ligging van de 77 meetpunten

In totaal zijn er voor vier belastingsituaties verplaatsingsvelden gegenereerd.

De belastingen die gebruikt zijn, zijn resp. CT = 1 .OE-03, 2.OE-03, 3.OE-03 en 4.OE-03 [N/mml.

3.2 De schattingssom

Voor het uitvoeren van een schattingssom moeten eerst een aantal matrices ingevoerd worden,

t e weten de matrices P,Q en R. Dit zijn matrices die in de Identificatie Techniek van Hendriks

[ I ]

beschreven staan:

P: covariantiematrix van de beginschatting van de materiaalparameters. Deze geeft het

vertrouwen weer in de initiële waarde van de materiaalparameters. De orde-grootte van

11

(16)

Parameierschatten

de componenten is bepaald door het kwadraat van de fout in de beginschatting te nemen.

is een matrix die er voor zorgt dat de convergentie behouden blijft indien

P

te klein

wordt. Er is besloten om in dit onderzoek Q =

P/10

te nemen.

covariantie-matrix van de observatiefout, geeft de kwaliteit weer van de gemeten data.

R

wordt verkregen door de fout in de afronding van de verplaatsing in het kwadraat te nemen. Hier wordt gekeken naar de meetdata uit het experiment.

Q:

R:

Verschillende schattinasmodelien:

Bij het schatten is gebruik gemaakt van een drietal modellen.

1

2 niet lineair isotroop

3 lineair anisotroop

Bij de laatste twee modellen zijn er dus bewust fouten geïntroduceerd. exacte model: niet lineair anisotroop

De drie modellen zullen hieronder afzonderlijk behandeld worden.

Tijdens de schattingen zijn in alle gevallen 2 0 iteraties uitgevoerd, waarbij de 77 meetpunten die

hiervoor behandeld zijn, zijn gebruikt.

ad. 1 exacte model: niet lineair anisotroop

Om t e beginnen is geschat met het exacte model, zo wordt bekeken of het model in staat is om de werkelijke parameterwaarden te schatten.

Dit bleek het geval te zijn, de parameters convergeren naar de exacte waarden.

Zie tabel 3.1.

Dit model ontstaat uit het niet lineaire anisotrope model door de keuzes:

v,,

= VZ3 =

v,3

=

v

G,, = E/2(1

+ v )

In deze situatie worden twee parameters geschat te weten,

v

en k. Voor de

beginschatting is gebruik gemaakt van:

ad.2 niet lineair isotroop gedrag:

E = E ₂ = E = E

xó

= [V

k ]

=

[0.35

301

Voor dit materiaalgedrag blijkt de schatting, zie tabel 3.1, niet te convergeren.

De waarde van k blijft op nul hangen. Dit betekent dat er t w e e modelfouten zijn,

namelijk: 1 . lineair en 2. isotroop. Het probleem dat k = O, is niet op te lossen

door de grens van k te verleggen tot onder nul, omdat dit fysisch niet toelaatbaar

is. Het kiezen van andere beginschattingen geeft ook geen beter resultaat.

Waarschijnlijk is de modelfout van het bij de schatting gebruikte model te groot ten opzichte van het bij het experiment gekozen gedrag. Dit kan veranderd

worden door de waarde van E, in het experiment te vergroten. De afwijking ten

opzichte van isotroop gedrag is dan kleiner. Voor E,/E, = 2 is dit geprobeerd, het

resultaat was echter dat k nog steeds nul bleef.

ad. 3 lineair anisotroop gedrag:

In dit geval moeten de parameters E,,

v,,,

G,, en tan(@), zie hoofdstuk 2, worden

geschat.

De initiële waarden van de parameters zijn:

xó

=

[E2

vI2

G,,

tan(a)l

=

L0.35 0.35

0.1

5

0.51

Het blijkt dat de parameters voor alle vier de belastingsituaties convergeren, zie tabel 3.1.

(17)

Parameterschatten

belasting[N/mml E2

Experiment:

anisotroop niet Iin. 0.25 Model:

niet lin. anisotroop

"1 2 GI2 k tan (a)

0.25 0.10 20 O

<T= 1 .OE-03 4.685E-01 1 .O1 4E-05

a=2.OE-03 3.494E-01 0.000E

+

O 0

lin. anisotroop

D = 1 .OE-03 2.720E-03 2.384E-01 1 .O1 8E-01 -2.61 5E-03

a=2.OE-03 3.41 9E-01 2.1 27E-01 1.058E-01 -9.862E-03

O = 3.OE-03 0=4.OE-03

4.757E-01 1.884E-01 1.099E-01 -2.036E-02 6.993E-01 1.741 E-01 1 .I 33E-01 -3.226E-02

3.3

Residuen

Eén van de manieren om t e bepalen of er modelfouten optreden, en welke dat zijn, is door naar

de residuen-velden t e kijken. Een residuen-veld geeft het verschil tussen de gemeten en de

geschatte verplaatsingsvelden.

Over de residuen-velden kan het volgende gezegd worden:

w _{Schatten met een exact model:}

Bij de schatting met het exacte model is geen meetruis aangebracht, de residuen zijn hierdoor:

heel klein (orde grootte van de afrondfout) er is geen structuur aanwezig

Voor een echt experiment, waarbij altijd meetruis aanwezig is, kan over de residuen,

indien met een 'exact' model geschat, het volgende gezegd worden: grootte in orde van de meetruis

geen structuur

w _{Schatten met een fout model:}

Wordt er geschat met een fout model dan kan het volgende worden waargenomen bij de residuen:

ze zijn groter dan verwacht op grond van de afrondfout of meetruis

er is een duidelijke structuur.

De residuen-plots voor de schatting met het exacte en het lineair anisotrope model zijn t e zien in figuur 3.2.

Uit figuur 3.2b blijkt dat er duidelijke structuur in de plot aanwezig is. Verder zijn de

residuen groter dan in fig 3.2a (zie getallen). Beide aspecten wijzen op één of meerdere modelfouten.

,

Een plaat met gat als configuratie voor het schatten van materiaalparameters

~

(18)

Pararneterschatten R..ihuli(XJ.s€ao e . . . * . . . * .

. . . * * * . . . .

. . . . * . . . . -

. $ . e . . . . . . t e - : e e e i i i e d

. . .

.

. . .

t

. - . . .

+

t

. . . . .

ux c (X Z.OE-03) a b figuur 3.2: residuen-plot

3.2a: voor schatting met exacte model

3.2b: voor schatting met lineair anisotrope model

Als maat voor de residuen voor veld i ( bij belasting oil wordt hier gebruikt (zie tabel

3.2):

Met rj = een residu-component

Tabel 3.2

(3.1

ì

,

II II I ~~ I I

11

Belasting íN/mrnl

11

I:

I

v: =M.

II

in

de residuen te bekijken.

i

14

(19)

Parameterschatten

3.4 Resultaten

Het blijkt niet mogelijk t e zijn om een, bij het schatten gebruikt, niet-lineair isotroop model te

fitten op 'experimenteel' verkregen meetdata afkomstig van een niet lineair anisotroop materiaal. De parameters in het isotrope model convergeren naar fysisch niet reële waarden. Waarschijnlijk

is de modelafwijking t e groot.

Het bleek wel mogelijk te zijn om een convergerende schatting te vinden voor het lineaire

snisut~ope ma:e;iaal. Slijkbaai is deze fuut niet zo groat. !iet is mogeiijk door miciuei van

onderzoek aan de residuen-velden een modelfout te achterhalen en een

globale

indicatie van het

type fout te geven maar het blijkt moeilijk te zijn om tot gedetailleerdere uitspraken te komen over de eigenschappen en het gedrag van het materiaal dat tijdens het experiment is gebruikt.

(20)

Conclusies en aanbevelingen

Hoofdstuk

4:

Conclusies e n aanbevelingen

De meetdata uit het, in dit onderzoek beschreven, experiment, met niet lineair anisotroop

gedrag, bevat voldoende informatie om een goede schatting t e kunnen maken van de parameters. Dit volgt uit het feit dat bij schatten met een exact model de werkelijke parameterwaarden worden verkregen. In dit onderzoek is bij het schatten gebruik gemaakt van twee foute model-

len: 1 . niet-lineair isotroop en 2. lineair anisotroop.

Het schatten met een isotroop niet-lineair model bevat, waarschijnlijk, een te grote modelfout zodat het niet mogelijk is hier een convergerende Schatting mee t e maken. Dit is in de praktijk in

Voor het anisotroop lineaire model bleek het wel mogelijk om met de beschreven configiiraiie,

een modelfout t e detecteren. Er kan ook een globale indicatie worden gegeven voor het type modelfout: er zijn aanwijzingen gevonden dat tegen de niet-lineariteit 'gezondigd' is. Het is

echter nog niet mogelijk gebleken om gedetailleerdere uitspraken t e doen over de werkelijke

eigenschappen en het gedrag van het materiaal in het experiment. Er kan dus bijvoorbeeld geen uitspraak gedaan worden over het soort niet-lineariteit.

Relaties leggen tussen de structuur van een residuen-veld en de gemaakte modelfout is moeilijk. Het spannings- en rekveld is daarvoor toch nog te inhomogeen.

Deze conclusies zijn echter onder voorbehoud: het is, tijdens dit onderzoek, niet mogelijk geweest om verschillende modelfouten met elkaar t e vergelijken. Het zou daarom zinvol zijn om t e proberen t o t een schatting te komen met andere modellen. De resultaten kunnen dan met elkaar vergeleken worden en er kan dan ook pas een definitieve uitspraak worden gedaan over de bruikbaarheid van het experiment.

kder gevu! se!?

uunwijziny

vm: een model:ûü;.

16

(21)

Literatuur

Literatuur

[ I ] Hendriks, M.A.N.

Identification of the Mechanical Behavior of Solid Materials

Ph.D. thesis, Eindhoven University

of

Technology, Eindhoven, 1 991

[21 Ratingen, M . R. van

Mechanical Identification of Inhomogeneous Solids, A Mixed Numerical Experimental Approach Ph.D. thesis, Eindhoven University

of

Technology, Eindhoven, 1994

[31

Ugural, A.

C.

& Fenster, S . K.

Advanced strength and applied elasticity

Third edition, PTR Prentice Hall, 1995.

i

~~~