MULO-B Meetkunde 1945 Algemeen

(1)

Uitwerkingen Mulo-B Examen 1945 Meetkunde Algemeen

Opgave 1

Voor Cvinden we _{ }_C ₁₈₀o__{36 52 ' 16 16 ' 180}o _ o _ o__{52 68'}o _

o o o

180 53 08' 126 52' .

Met de sinusregel vinden we _sinAB__C _sinBC__A

o o 100 sin126 52' sin 36 52' BC   100 sin 36 52'_o o sin126 52' BC   59,99548861 74,99118924 75,0 0,8000338335  .

Leerlingen rekenden dit niet met een rekenmachine uit, maar met een tabellenboek, waarvan een deel in de tekening hiernaast.

Daarin lezen we af _{sin 36 52 ' 0,6000}o _ _.

In de tabellen kwamen geen hoeken voor groter dan ₉₀o_{, dus bij} o

sin126 52 'moesten de leerlingen gebruik maken van

o

sin sin(180 ), dus

o o o o

sin126 52' sin(180 sin126 52 ') sin 53 08' . In de tabel vinden we het antwoord 0,8000.

De uitwerking werd dus

o o 100 sin 36 52' 100 0,6000 sin126 52' 0,0008 BC     60 600 75 0,8000  8  , dus 75,0.

We rekenen nu in het vervolg zonder tabellen.

Ook met de sinusregel vinden we _sinAB__C _sinAC__B

o

o o o

100 100 sin16 16'

sin126 52' sin16 16' sin126 52' AC AC      100 0, 2801082694 35,01205295 35,0 0,8000338335 AC    _.

(2)

Uit het voorgaande volgt 1 5 35,01205295 28, 00964236 CD   en 1 5 74,991189 14,9982378 CE    .

Met behulp van de cosinusregel in CDEvinden we uit

2 2 2 ₂ _cos CD CD CE  CD CE   C 2 _{(28, 00964236)}2 _(14,9982378)2 _{2 28,00964236 14, 9982378 cos126 52'}o CD        2 _1513,56363 _{38,90454511 38,9} CD  CD  . Opgave 2

Teken eerst het lijnstuk AB ( c) .

Met behulp van de basis-tophoek constructie vinden we de cirkel(boog), waarop het punt C ligt. We kunnen deze cirkel dus construeren.

Volgens de bissectricestelling geldt (CE is getekend als bissectrice in de figuur hiernaast) :

: :

AE EBAC BC en omdat deze laatste

verhouding bekend is (AC BC:  p q: , gegeven) weten we dus de verhouding AE EB: . We kunnen dus het punt E (snijpunt van AB en de bissectrice) tekenen. We kunnen dit construeren door een hulplijn AH te tekenen en daarop de stukken p en q af te passen. Met behulp van de evenwijdige lijnstukken BH en FE vinden we het punt E.

Omdat ACE BCEzijn de bijbehorende bogen AG en BG ook gelijk. Met behulp van de middel-loodlijn van AB vinden we het punt G. Rest nu nog

om de lijn door G en E te snijden met de cirkel om het punt C te vinden. Trek tenslotte de lijnstukken AC en BC.

Opgave 3

Voor de driehoeken MGC en MEC geldt (gemeenschappelijk)

(raaklijnen aan de cirkel) (zzz) (straal cirkel) CM CM CG CE GM EM     _    _ MGC MEC GCM  ECM   .

Vanwege de congruente driehoeken MFB en MEB geldt analoog FBM  EBM .

o 180 GCM ECM FBM EBM GCB FBC         _      _ o o 90 90 (hoekensom) ECM EBM CMB         BMC is een rechthoekige driehoek.

(3)

Nu geldt voor de driehoeken CME en MBE

o o

(90 )

CME MBE MCE

CEM MEB            _ CME MBE

  _{CE ME ME BE}_: _ _: __{CE BE ME}_ _ 2 _ het product van BE en CE is