Uitwerkingen MULO-B Meetkunde 1950 (reservewerk II) Som 1
a) Toepassen van de cosinusregel in driehoek ABD geeft BD2 102122 2 10 12 cos 70 440 ' 164,81 zodat BD = 12,84
b) Van driehoek BCD kennen we de drie hoeken en een zijde, zodat de sinusregel toegepast kan worden. We krijgen:
sin sin BD DC C DBC ofwel 0 ' 0 12,84 sin109 16 sin 20 DC waaruit volgt DC = 4,65 c) De uitgebreide sinusregel in driehoek ABD geeft ten slotte
2 sin BD R A waaruit we vinden R = 6,80 20 12 10 7044' A B D C
Som 2
a) Door uit te gaan van 570 = 720 – 150 is duidelijk hoe de hoek geconstrueerd kan worden. Voor 720 is een standaardconstructie bekend en de bissectrice van een hoek van 300 doet de andere genoemde hoek ontstaan.
b) De basis-tophoekconstructie geeft alvast de cirkelboog waarop punt C ligt. Teken vervolgens een cirkel met A als middelpunt en straal 7. Construeer vervolgens vanuit B de raaklijn aan deze genoemde cirkel. De snijding van deze raaklijn en de cirkel die bij de basis-tophoekconstructie ontstaan is, geeft de ligging van C.
57 C
F E D A B C Som 3
Volgens de zwaartelijnstelling geldt in driehoek ABC de volgende relatie: 2 1 2 1 2 1 2
2 2 4
BD BC AB AC *)
Invullen van de gegeven lengtegetallen levert op dat BD = 9. Zijde BC wordt door bissectrice DE verdeeld in de verhouding BD : DC = 9 : 7.
Hieruit volgt dat 9 14 63
16 8
BE en dus 49 8 EC .
De machtsstelling zegt BD BF BE BC ofwel 9 63 14 8 BF
waaruit dan volgt 121 4 BF *) Aanvulling: De uitdrukking 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 BD BC AB AC vindt zijn oorsprong in de stelling van Stewart (1717-1785). Zie volgende bladzijde.
De stelling van Stewart luidt als volgt:
Is D en punt van de zijde BC van ABC zo, dat CD p en BD q , dan is a AD 2 q b2 p c2 p q a
In het geval, dat AD zwaartelijn is en dus 1 2
p q a gaat de stelling van Stewart over van 2 2 2
a AD q b p c p q a in 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 4
