MULO-B Meetkunde 1960 Rooms-Katholiek

(1)

Uitwerkingen MULO-B Meetkunde 1960 RK Som 1 a) De oppervlakteformule 1 . . . sin 2 O AB BC  geeft 44 1 10 sin 53 80 ' 2    waaruit volgt BC = 11. b) In driehoek ABD volgt uit sin AD

AB

  dat ADABsin 10sin 53 80 '8 (en dus BD = 6). Uiteraard kan het ook via 1

2

Opp BC AD ofwel 44 1 11

2 AD

   met opnieuw AD = 8. c) In driehoek BAD geldt BAD900  90053 8 36 520 ' 0 '.

In driehoek CAD geldt tan 5 8 CD CAD

AD

   waaruit volgt __CAD_₃₂0_. Optelling geeft _{ }_A _{68 52}0 '

d) Van driehoek ADE zijn twee hoeken en een zijde bekend, zodat de sinusregel inzetbaar is. sin EAD sin AED

ED AD

 _ 

geeft sin 320 sin126 520 ' 8

ED  waaruit volgt dat ED = 5,3.

(De grootte van de hoek bij E volgt uit het feit dat vierhoek ABDE een koordenvierhoek is)

5 6 10 E D A _B C

(2)

Som 2

Om een hoek van 540_{te construeren beschikte de MULO-leerling over een aantal basisconstructies,}

waaronder de constructie van een hoek van 360_{(vanwege het verband met de verdeling van een}

lijnstuk in uiterste en middelste reden). Door hiervan dan de bissectrice te construeren, verkreeg hij een hoek van 18 0_{en via samenstelling dan de gevraagde hoek van 54}0_.

Een andere mogelijkheid lag in de regelmatige vijfhoek verscholen, want met zijn middelpuntshoeken van 720_{ontstaan vanzelf hoeken van 54}0_{in de deeldriehoeken. Ter afwisseling volgt hieronder nog}

eens de constructie van een regelmatige vijfhoek in een gegeven cirkel. 1) Trek een diameter AB in de cirkel met middelpunt M.

2) Richt in M een loodlijn op die de cirkel snijdt in punt C.

3) Construeer het midden D van AM en cirkel DC om met middelpunt D.

4) Als deze boog de diameter in E snijdt, dan is CE de zijde van de regelmatige vijfhoek (en overigens is lijnstuk ME de zijde van een regelmatige ingeschreven tienhoek). In onderstaand figuur komt de gevraagde hoek van 540_{nu bijv. voor in driehoek MPQ.}

P _Q E C D A M B

De constructie van de gevraagde vierhoek verloopt dan bijvoorbeeld verder als volgt.

1) Construeer een hoek B van 540_{en pas op de benen stukken BP en BQ af van bijv. 1 cm en 2 cm.}

2) Construeer op de drager van PQ een lijnstuk PR van 9 cm en dan een lijn door R, evenwijdig BP. 3) Hiermee vinden we alvast de punt A en C.

(3)

5) Breng een lijn evenwijdig met AC aan en op afstand 3,6 ervan verwijderd. D ontstaat nu als snijpunt van deze lijn met de lijn waarop bissectrice BD ligt. De vierhoek kan nu voltooid worden. D A C B P Q R Som 3

a) In vierhoek CDBQ zijn twee overstaande hoeken samen 1800_{en is dus een koordenvierhoek.}

Hetzelfde argument geldt ook voor vierhoek ADCP.

b) Op grond van het resultaat van de vorige vraag komen de hoeken  A  en  B  terug bij de punten P en Q. Omdat driehoek PDQ dan twee hoeken gemeenschappelijk heeft met driehoek ABC, zijn de twee genoemde driehoeken gelijkvormig. In de figuur zijn de bedoelde hoeken aangeduid.

c) Op grond van het resultaat van vraag a zien we bij D twee hoeken die beide gelijk zijn aan de hoeken die de buitenbissectrice bij punt C deed ontstaan. Ze zijn gemarkeerd met een stip. De hoeken CDP en CDQ zijn dan ook gelijk, namelijk beide het complement van gelijke hoeken. Daarmee is aangetoond dat DC de bissectrice van hoek PDQ is.

(4)

    D Q P A B C