Gestructureerde aanpak systeemanalyse, modelvorming en simulatie. Deel 3

Gestructureerde aanpak systeemanalyse, modelvorming en

simulatie. Deel 3

Citation for published version (APA):

Hezemans, P. M. A. L. (1987). Gestructureerde aanpak systeemanalyse, modelvorming en simulatie. Deel 3.

Aandrijftechniek, 10(12), 46-49.

Document status and date:

Gepubliceerd: 01/01/1987

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be

important differences between the submitted version and the official published version of record. People

interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the

DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page

numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Simulotie

met

computers,

ook

voor

oondrijflechnische

toepossingen

komt

steeds

meer

voor,

ln een

orlikelenreeks

goot

de outeur

in op dit fenomeen

en verkloort

technieken

en methoden

om tot een

goed

resultoot

te komen,

OESTRUCIU

REERDE

AA]IPAK

SYSIEEilIAIIAIYS

E,

TIODE

[,

voRilillro

Elr

srillutAlrE

In dit derde deel worden de in het vo-rige deel gestarte beschrijvingen van systeemelementen voortgezeÍ en wordt ingegaan op de bronnen en tweepoorten.

Bronnen

Bronnen zijn actieve elementen, die energie leveren aan een combinatie van passieve systeemelementen en ze worden beschouwd als energieleveranciers of energiebronnen. In onze systeembenade-ring wordt een energiebron gezien als de plaats waar de energiestroom ontspringt. Slechts door één poort van de bron gaat de energiestroom naar buiten, zodatdeze bron ais een eenpoort opgevat mag wor-den. Overeenkomstig de gemaakte af-spraak moet voor alle soorten energie-bronnen gelden:

P < 0 e n E < 0

Het negatieve teken geeft aan, dat er ener-gie aan de bron wordt onttrokken. Een verklaring waarom bronenergie en bron-vermogen negatief moeten zijn, is een-voudig te geven:

In een stationaire bedrijfstoestand (lees: de energiebuffers zijn in rust) levert bron # I energie aan dissipator #2. Om-dat de eerste hoofdwet van de thermody-namica dicteert dat:

E r + E 2 = 0 P , + P r : 6 ,

betekent dit tesamen met E2 > 0 en Pz > 0 voor de dissipator, dat

E ' < 0 e n P 1 < 0 moet zijn.

Omdat een energiebron volgens deze wet niet onuitputtelijk is, moet een bron eigenlijk als een tweepoort worden opge-vat, waarbij de bron energetisch bevoor-raad wordt door de tweede poort. In onze systeembeschouwing moet er van worden uitgegaan dat een bron een voldoende energievoorraad heeft, zodat deze als een eenpoort beschouwd mag worden. In dit opzicht mag bijvoorbeeld een stuwmeer met een zeer grote capaciteit en met prak-4 6

I n g . P . M . A . L . H e z e m a n s W e t e n s c h a p p e l i j k h o o Í d m e d e w e r k e r v a k g r o e p A a n d r i j Í t e c h n i e k , T U E i n d h o v e n

tisch constant waterpeil (lees: een giganti- niet-ideale energiebron opgevat mag wor-sche energiebuffer) worden benaderd als den als een combinatie van een ideale een energiebron met een constante val- energiebron en verschillende soorten pas-hoogte. sieve systeemelementen (o.a. dissipatoren

In sommige gevallen kan een bron zich en buffers). gedragen als een last met E > 0 en P > 0.

Enkele voorbeeiden daarvan zijn: Tekenafspraak voor ideale bronnen - een veeruurwerk, waarbij tijdens het Neem als voorbeeld een gewichtsblok

opwinden E > 0 en gedurende het af- met massa m, die in twee verschillende re-lopen E < 0 is; ferentiekaders voor de verticale snelheid - een gewichtsblok, waarbij bij het hij- verticaal wordt verplaatst, zie afbeelding

s e n E > 0 e n b i j h e t v i e r e n E < 0 i s ; 1 1 . In d e g r a f i e k ll a , w a a r d e o r i ë n t a t i e - een "volle" batterij is een energie- van de naar boven gerichte snelheid

posi-bron, maar een lege werkt als een tief is genomen, moet het volgende gel-weerstand! den:

We onderscheiden twee soorten ener- voor het hijsen: a ) 0; P > 0, dus r > 0 giebronnen, te weten: voor het vieren: d < 0; P < 0, dus r > 0 a - b r o n m e t s y m b o o l : S A - m . a . w . : T 1 = m . g .

en

rbron met symbool: ST -Indien een a-bron werkt volgens: a = a ( t ) ( 1 9 ) dan spreken we van een ideale o-bron; de doorheengrootheid r wordt niet bepaald door de bij de c-bron behorende vergelij-king (19), maar kanpas worden gevonden na berekening en/of computersimulatie van het complete systeemmodel.

Indien een r-bron functioneert vol-gens:

r = r(t) (20) dan is er sprake van een ideale r-bron; ook hier geldt dat de a-grootheid niet wordt bepaald door (20), maar pas ge-vonden kan worden via berekenin g en/ of computersimulatie van het volledige systeemmodel.

Wanneer deze twee soorten bronnen bovendien tijdsonafhankelijk zijn, dan zien hun bronkarakteristieken er als weergegeven in afbeelding 9. Tabel 6 geeft voor fysisch-verschillende domei-nen de brondomei-nen aan, die binnen bepaalde grenzen kunnen worden beschouwd als cv-respectievelijk z-bron.

In werkeiijkheid zijn energiebronnen verre van ideaal. Deze niet-ideale bronka-rakteristieken zijn weergegeven in

afbeel-ding 10. Terecht kan men zeggen dat een (a) nlet tdealo c.bron (b) nloHdealo Í.bron

j I I I

ldeole

brumen

IleÈldeale

brunnen

{

i

Tabel 6. Voorbeelden van gegeneraliseerde bronnen

h y d r a u l i s c h / s t u w m e e r , g a s b e l , c e n t r i Í u g a a l p o m p m e t pneumatisch constant toerental

hydrostatische pomp met constant toerental

in hetzelfde fysische domein: de aard van de energie blijft onveranderd.

Omzetting

Een omzetter brengt energie over naar een ander fysisch domein: de aard van de energie verandert.

Bepaalde combinaties van transforma-tie, gyratransforma-tie, overbrenging en omzetting geven vier verschillende tweepoorten voor accumulatievrije vermogensover-dracht: - transformatieoverbrenging; - gyratieoverbrenging; - transformatieomzetter: - gyratieomzetter. Transf ormatieoverbren gi ng

Een transformatieoverbrenging is een systeemelement, waarin energie in het-zelfde fysische domein van poort # I naar poort #2 wordt overgebracht volgens:

c l 2 : n ' c Y 1 0 n 7 1 : - n . T 2

(2r)

Voorbeelden van transformatieoverbren-gingen zijn:

mec ha nisc h ft rans lo t ie ) wig, krik, handtakel; mechanisch hotatie)

tandwieloverbrenging, wrijvingswiel-overbrenging, kettingoverbrenging, riemoverbrenging, hydrostatische over-brenging, hydrokinetische overbrenging, elektrische overbrenging;

hydraulisch

hydraulische transformator; elektrisch

gelijkstroomtransformator.

Het kader "Voorbeeld transformatie-overbrenging geeft de uitwerking van een ideale tandwieloverbrenging als transfor-matieoverbrenging.

sysleem z-bron translatie- gedwongen bewegingen in mechanische gewichl m e c h a n i s c h s y s t e m e n z o a l s a a r d b e v i n g e n , w e g o n e Í Í e n

-heden, vlotterbeweging veroorzaakt door golÍbewegingen

r o t a t i e - d i e s e l m o t o r m e t t o e r e n r e g u l a t e u r s y n -m e c h a n i s c h c h r o o n -m o t o r , h y d r o s t a t i s c h e -m o t o Í -m e l

constante volu mestroom

gewrcht over een katrol eleklrisch batteriJ, geliikstroomgenerator mel constanl zonnecel, stroombron

toerental, spanningsbron magnetisch

Íelendspruken

In de grafiek l1b, waar de naar beneden gerichte snelheid positief is georiënteerd, moet het volgende gelden:

v o o r h e t h i j s e n : c v < 0 ; P > 0 , d u s r ( 0 v o o r h e t v i e r e n : a > 0 ; P < 0 , d u s r < 0 m . a . w . : T 2 : m . E .

Het is duidelijk, dat tekenafspraken voor bronnen afhankelijk zijn van de oriënta-tiekeuze in het referentiekader.

Iweepoorlen

Tweepoorten zijn systeemelementen waarbij energie door de ene poort bin-nenstroomt en door de andere uit-stroomt. Voor verliesvriie en accumula-ltï;:.

energieoverdrachi moet gelden: . D P ; = 0

o u s :

a r z r t o e . 1 2 = Q met onderstaand symbool: - 2 P

# 1 _{# 2}

Hun functie is klaarblijkelijk vermogens-overdracht:

l l = o r ' r 2 : - 6 g r . 7 r = - P r

Dir betekent dat, 'indien aan de eersre poort het vermogen is opgenomen, aan de tweede _{poo.t eàn even groot vermogen} wordt afgeseven.

.De veim-ogensoverdrachr kan op ver-schillende _{manie.en geschieden, nl. door:}

- transformatie; - gyratie; - overbrenging; - omzetting. A a n d r i j f t e c h n i e k . d e c e m b e r 1 9 B Z Transformatie

Het symbool voor transformatie is: - T F ^

# t # 2

cY2 is een functie van dr en z1 is een functie van 12. Wanne€r a2 : n . a1, dan volgt uit d.1 ' ï1 * rr2' 12 : 0 de elementvergelij-kingen voor de transformatie:

c Y Z : n . d 1 e Í l 7 1 : n . z 2 m e t n = t f a n S

-formatieverhouding. Gyratie

Het symbool voor gyratie is: - G Y

# 1 # 2

Í2 is een functie van ar en zr is een functie verr ot2. Wanneer rz : r - oy, dan volgt uit de vermogensconventie de vergelijkingen voor de gyratie:

r z = Í . c y l € I l 7 1 - - I ' _{d 2 l Í l ê t 1 = ! ! r a}

-tieverhouding. Overbrenging

Een overbrenging brengt energie over

Yoorbeeld

honsf

ornotie+verbrenger

Constructie:

ideale tandwieloverbren ging als transf ormatie-overbren gi n g Veronde rstellingen:

massaloos, oneindig stijÍ en verliesvrij Eleme nt-a na lyse:

Uit de kinematica volgt:

V r = - R r ' u 1 , Y 2 = R 2 o 2 i V 1 = Y , waardoor:

o 2 = - ( 8 1 / R j . o 1

Uit de evenwichtsbeschouwingen volgt: T 1 - F r ' R r = 0 ; ï, + F r 'R e = 0 ; F , + F r = g waardoor: T 1 = ( R 1 / R 2 ) . T 2 De transformatorverhouding n is dan: n = a z l a t = a z l a t = - 7 1 1 2 = - Í 1 f t 2 = - R 1 / R 2 = - D t l D z = _ 4 l z e ,

omdat Di = rTt.Zi, mêt zr = êàntêl tanden van het i-de tandwiel en m = tandmoduu..

T,, &J,

Gyratieoverbrenging

Een gyratieoverbrenging is een systeem-element, waarin energie in hetzeifde fysi-sche domein van poort # | naar poort # 2 wordt overgebracht volgens:

r z . = f ' a l € O 7 1 : - Í ' d z

Q 2 )

Voorbeelden van gyratieoverbrengingen zrJnl mechanisch gyroscoop; elektrisch Hall-generator. Transf ormatieomzeÍter

Een transformatieomzetter is een systeemelement, _{waarin energie van} poort #1 naar poort #2 wordt overge-bracht naar een ander fysisch domein vol-gens:

A Z : Í t . d 1 € I l 7 1 : - n . 7 2

(23)

Voorbeelden van transformatieomzetters zijn:

rotatiel rons lo t ie

rondsel-heugel, hijstrommel, schroef-spindel; t ranslatie-rotalie pompsch roevendraaier; m ec ha n is c h - hy dra u I isc h centrifugaalpomp; h y d r au I isc h - mec h a n is c h waterturbine; e I e k t r isc h- me c ha nisc h gelijkstroommotor; m e c h a n is c h- e le k t risc h gelij kstroomgenerator.

Het kader "Voorbeeld transformatie-omzetter" geeft de uitwerking van een ideale gelijkstroommachine als transfor-matieomzetter.

Gyratieomzetter

Een gyratieomzetter is een systeemele-ment, waarin energie van poort # | naar poort #2 wordt overgebracht naar een ander fysisch domein volgens:

T z : Í . d t e n T t : - r . d 2

(24)

Voorbeelden van gyratieomzetters zijn: rotatie-translatie

Watt-regulateur; m e c ha nisc h- hydra u I i sc h hydrostatische pomp; hy d rau I is c h- m e c ha nisc h

hydrostatische motor, hefcilinder. Het kader "Voorbeeld gyratieomzet-ter" geeft de uitwerking van een ideale hydraulische cilinder als gyratieomzerrer.

Doordat de elementvergelijking van een accumulatievrije tweepoort de ver-mogensoverdracht niet alleen mathema-tisch, maar ook fysisch weergeeft, kan men hier volstaan met slechts twee svm-bolen voor deze vier genoemde tweepoort-elementen:

- TF - voor transformatieover-brenging en -omzetter.: in het algemeen : v oor transfor-maloren

-- _{GY- voor gyratieoverbrenging} en -omzetter.

in het algemeeni vooÍ gyra-íoren.

4 B

Iwee- en meelpootlen

mel

enetgie.occumuldie

Allereerst wijzen we op het bekende feit dat energie in een energiebuffer (het-zij capaciteit, het(het-zij inductie) door één poort wordt opgeslagen om later door diezelfde poort te worden afgevoerd. Deze buffer is per definitie een eenpoort-b u ffer.

In dit licht introduceren we nu tweepoort-buffers _{met de volgende} ener-giefunctie: energie wordt dóor de ene poort opgeslagen om later door de andere poort te worden afgevoerd, waarbij deze energie óf getransformeerd óf omgezet wordt. Tot dit type tweepoorten behoren onder andere:

- elektromagneet (solenoïde);

- elektrische condensator met bewees-bare membraan (condensatoi-microfoon);

- piëzokristal; - gekoppelde spoelen;

- thermoelektrische omzetters: - fotoweerstand.

In navolging van de eenpoort-buffer wordt in de tweepoorrbuffér een totale energie toegevoerd ter grootre van E > 0 waarbij zal gelden:

i : 2 D P i + 0

Voor het gecombineerde proces van ener-gieaccumulatie _{en energietransito,} waar-bij ervan wordt uitgegaán dat de energie-t r a n s i energie-t o i v e l È d i g i s , g e l d t :

E = 0 : E P , = 0

Aan de hand van een voorbeeld met een solenoïde zullen we nasaan dat het bovenstaande inderdaad eelát.

De constitutieve relalie vàn de inducrie L van de solenoïde is eenvoudieheidshalve gegeven als: Y : g / I = n 2 A / x = L(x) met Ó = flux I : stroomsterkte n : aantal windineen A : flux-oppervlal

We beginnen met een zekere waarde voor

c c a

e

T

t

E

u

I

thermofl uïdische omzetters; thermomechanische omzetters ; thermochemische omzetters:

Yoorbeeld

fi cnsÍornotieomzelf

er

Constructie:

ideale gelijkstroom machine als transformalie-omzetter

Veronderstellingen:

geen elektrische en mechanische dissipatie, geen inductieve en capacitieve eÍÍecten in de stroomgeleider.

Elementanalyse:

Voor de elektromechanische energieomzetting geldt de volgende "Faraday"wet _van elektro-magnetische inductie _{(wet van Lenz):}

U = - d d l d t = - d ( B . l . x ) / d t = 2 B t R o s i n a

en de "Lorentz"wet voor de elektromotorische kracht (EMK) met de linkerhandregetl: F = - B l . l ( F i n o p p o s i t i e v a n v )

T = F y = - B . l . R . l . s r n a

Met behulp van de gelijkrichter (commutatie) en "intelligente,, poolconÍiguratie zar voor een gelijkstroommachine _{met een aantal windingen N gelden:}

U = B . l . R N o ; T = - B . t R . N . l waaruit de transformatieverhouding n volgt: U l o = a z l o t = - r t l r z = - T l l = n = B . l . R . N .

Yoorbeeld

gyrotieomzelf

_er

Constructie:

ideale hydraulische cilinder als gyratieom-zelteÍ

Veronderstellingen:

olie onsamendrukbaar, cilinderwand niet elastisch, zuiger massaloos, wríjvingsloos en lekvrij

Elementanalyse:

De volumeverdringing door de zuigerverplaatsing wordt beschreven door: Q = A ' i

In het krachtcontact is de oppervlakvector van het "control"-volume naar rechts gericht, der-halve kan de krachtenevenwicht in dit contact als volgt worden opgesteld:

À . p * F = o , d u s F = - A . p De gyratieverhouding r is dan: Q l x = r z / a t - - F l p = - r t l d z = r = A

Geheel analoog met bovenstaande vinden we voor de hydrostatische machine de gyralever-houding:

Qla = rzlat - -Tlp.= - rlla2 = r = Yl(2n) met V = slagvolume van de hydrostatische machine

Q = volumestroom van de hydrostatische machine o = toerental van deze machine

P = drukverschil over deze machine. T = koppel van deze machine.

x en met flux 6 : 0. We fixeren de staaf o p x : x 6 ) 0 e n b r e n g e n d a a r n a g o p een bepaalde _{waarde (ó = óo > 0). Na} deze fluxverandering met dx = 0 wordt alle.en elektromagnetische energie op-geslagen:

6n

E ( { , x )

=

J i

. o t = ó3/e.L(xo))

:

E(do, xo) > 0

en daarmee wordt het toegevoerde ver-mogen:

P(ó,x) : dB/dt = I.U = I . dó/dt : @ / L ( x ) ) . d ó / d t > 0

o m d a t @ _{> 0 ; x > 0 e n d d , z d t > 0 .} Het verloop van het proces van energieac-cumulatie gecombineerd met energie-transsito _{kan worden beschreven door de} totale differentiaal van de enereiefunctie E(@,x):

9E(ó,") = (óElóó) .df + (óElóx) .ax = I . d { + F . d x ( 2 5 ) waarbij de partiële afgeleiden fysisch "herkend" worden als respectievelijk stroomsterkte _{I en kracht F. Bij fixatie (x}

=_X6 _{eD dx : 0) is volgens (25):}

d E ' = 1 . d ó > 0 ( 2 6 1

Solmïdc

die bij loslaten van de staaf (met dx + 0 en dd = 0) overgaat in dE, : F . dx. Het is nu de vraag welke tekenwaarde dEt zal hebben: posirief of negatief. We moéren namelijk, thermodynamisch gezien, be-wijzen dat dE' + dE, = 0, met andere woorden dat vanwege (26) geldt:

d E 2 : - d E r < 0 ( 2 7 \ Omdat de partiële differentiaal van E in

X :

F = ó E l ó x : 6 / 6 x . ( ó 2 / ( 2 . L ( x ) ) ) = - $'z ' (6L(x)/6x)/(2 .Lr(x)) = ó 2 / ( 2 . n 2 . A \

altijd positief is, moeten we nog bewijzen

geldt niet alleen voor het ene (bepaalde) geval "eerst x fixeren, dan ó opvoeren en vervolgens x loslaten, _{maar ook voor het} andere (algemene) geval waarbij accumu-leren en doorgeven gelijktijdig kunnen optreden.

De voorwaarden voor de enersietran-sito (energieoverdracht van de ené poorr naar de andere poort) kan het best wor-den samengevat in het zogenaamde reci-prociteitstheorema _{van Maxwell. dat als} volgt luidt:

Gegeven de energiefunctie E = E({,x) = ó2 / (2 . L(x)) met partiële differentialen I = 6E/6ó = I (ó,x) en F : óElóx = F(ó,x).

Indien óIlóx : óF/óó = 628/(6ó . 6x) dan zijn de poorten energetisch gekop-peld.

We zijn echter geïnteresseerd in de mate van de energetische koppeling tus-sen twee poorten. Daartoe lineariseren wij I en F met als resultaat:

A I = K r 1 A ó + K , r . A x AF : Kzr ' Aó + Krr. Ax K r r : ó I l ó ó : l / L ( x \ K r z = ó I l ó x : - ó . g L ( x ) / 6 x ) / L 2 ( x ) Kt = 6F/àó = -ó. (óL(x)/óx)/Lr(x) K22 : ff/$x : ó2 ' (62L(x)/6x2)/(2 .L2(x)) + ó2' (6L(x) / àx)2 /L3(x) Men ziet dat:

K r z : K z r ,

wat overeenkomt met het reciDrociteits-theorema van Maxwell.

Verder kan worden bewezen dat. als de poorten energetisch volledig gekoppeld zijn, geldt:

K r , . K z z = K r z .K : r

en bij onvolledige koppeling: K r r ' K z z ) K , z . K z ,

Bij onvolledige koppeling wordt bij energieafgifte slechts een bepaald deel van de door de eerste poort binnengeko-men energie naar de tweede poort overge-bracht, terwijl de rest via de eerste poórt wordt teruggegeven.

De mate van deze koppeling kan hier worden vastgelegd met een koppelfactor k met bijbehorende definitie:

k : K r z .K 2 t / K n . K 2 2

In het geval van de solenoide is k = 1, om-dat de eerste term van K22 gelijk is aan nul.

Het geval K,, ' Kuz ( Krz . K2r is fysisch onmogelijk.

Tenslotte kent de thermodynamica de relaties van Onsager:

K r r ) 0 K z z ) 0 K r z = K z r

" ( 2 9 )

K i l . K 2 2 = K ' .

Indien een twéepoort deze relaties bezit, dan is de betrokken energieoverdracht (energieomzerring _{er in bàgrepen)} om-Keeroaar.

De zojuist gemaakte beschouwingen over een solenoïde mogen ten behoeve van andere fysische tweepoorten en meer-poorten worden gegeneraliseerd. De energiefunctie _{van een meerpoort heeft} dan even zoveel variabelen ali het aantal poorten. I

dat d x < 0

moet zijn.

(28)

E : JdE

: JdE,

+ JdE,

= ff.0, *

o d o o J F . d x = \ ( ó / L ( x o ) . d ó X 6 o 0 - J ó; ' (óL(x)/óx) . dx/(2. L2 (x)) : X6 $ 2 / ( 2 .L ( x s óo

I

+ ó 3 / Q ' L ( x ) )

+ +

U I

I

-' Atb,le Schomryan een eolonoi-'de.

A a n d r i j Í t e c h n i e k .

d e c e m b e r 1 9 g 7

Met E = 0 kunnen we aantonen dat in de tweepoort energie _{voor l00go van de} ene poort naar de andere poort wordt overgebracht. Men zegt dán dar deze poorten volledig gekoppeld zijn. Waar-mee het bewijs voor (27) en (28) is gege-ven. (28) kan worden geinterpreteerd áls een afstandsverkleining van de staaf bii her loslaten, fysisch kan worden gezien a l s " m a g n e r i s c h e a a n r r e k k i n g " . ( 2 5 )

F,x