Uitwerkingen Meetkunde MULO-A 1910 Algemeen (
1 2 1uur)
Opgave 1.
De diagonaal AC verdeelt het parallellogram ABCD in twee gedeelten met gelijke oppervlakten, dus 1 2 ( ) (par ) O ABC O ABCD en 1 2 ( ) (par ) O ACD O ABCD .
Met behulp van de hulplijn m verdelen we de zijde CD in drie stukken, waarbij voor de lengten geldt: DE EF FC: : 2 : 2 :1.
Omdat dit de bases zijn van de driehoeken ADE, AEF en AFC en deze driehoeken dezelfde hoogte (d(AB,CD)) hebben geldt:
2 2 1 1
5 5 2 5
( ) ( ) (par ) (par )
O ADE O ACD O ABCD O ABCD ,
2 2 1 1
5 5 2 5
( ) ( ) (par ) (par )
O AEF O ACD O ABCD O ABCD en
1 1 1 1
5 5 2 10
( ) ( ) (par ) (par )
O AFF O ACD O ABCD O ABCD .
Hetzelfde geldt voor de driehoeken ABH, AHG en AGC. Ook hier kunnen we de zijde BC op analoge wijze verdelen in stukken, waarbij geldt BH HG GC: : 2 : 2 :1. Omdat deze
driehoeken dezelfde hoogten (d(DB,BC)) hebben, geldt dus
2 2 1 1
5 5 2 5
( ) ( ) (par ) (par )
O ABH O ABC O ABCD O ABCD
2 2 1 1
5 5 2 5
( ) ( ) (par ) (par )
O AHG O ABC O ABCD O ABCD
1 1 1 1
5 5 2 10
( ) ( ) (par ) (par )
O AGC O ABC O ABCD O ABCD
Tellen we de oppervlakten van de driehoeken AFC en AGC op dan vinden we 1
5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (par )
Opgave 2.
CD is
bissectrice, dus volgens de
bissectricestelling geldt AD DB: AC BC: 5 : 6. Omdat de driehoeken ADC en DBC dezelfde hoogte hebben (de hoogtelijn vanuit C op AB) verhouden hun oppervlakten zich als hun bases, dus O(ADC O DBC) : ( ) 5 : 6 6
5 ( ) ( ) O DBC O ADC , dus 6 5 ( ) 1125 1350
O DBC . De totale oppervlakte van ABCis dus 2475.
Opgave 3.
We moeten bewijzen dat ABDAEC.
Duidelijk is dat beide driehoeken minstens één gelijke hoek hebben: BAD EAC (1) (overstaande hoeken).
Volgens de machtstelling geldt voor cirkel met middelpunt N: AB AC AH AF . Volgens de machtstelling geldt voor cirkel met middelpunt M: AD AE AH AF .
: : AB AC AH AF AB AC AD AE AB AD AE AC AD AE AH AF (2)
Uit (1) en (2) volgt, dat de driehoeken ABD en AEC één hoek gemeen hebben en de zijden om deze hoek een evenredigheid vormen, dus ABDAEC.
Opgave 4.
Voor de oppervlakte O van de bol geldt
2 2 2 22 bol 7 2 O 5544 4 5544 88 38808 441 21 O = 4r r r r r
Voor de inhoud I van de bol geldt: 3 4 3 3 4 22 4 3 7 21 I I 22 44620 21 r r
