GEVORDERDE ANALYSE (G. SONCK): examenvragen juni 2011
Definities
Geef de definitie van de gemiddelde waarde voor een drievoudige integraal over een gebied D. Geef de definitie van een limiet voor een functie van twee variabelen.
Definieer de gemiddelde waarde van een functie van twee variabelen. Formuleer de kettingregel voor functies van twee variabelen
Wat zijn partiële afgeleiden bij twee variabelen? Maak een schets. Geef de convergentie-eigenschap van de hyperharmonische reeks.
Bewijzen en inzichtsvragen
Geef de definitie en bewijs de stelling van Clairaut.
Geef een reeks waarbij een test uitsluitsel geeft en een andere niet.
Geef het bewijs dat de parametrisatie van een kromme niet bepalend is voor de lijnintegraal van een scalaire functie.
Geef het bewijs dat f differentieerbaar is in elk punt.
Drie functievoorschriften van functie van twee variabelen gegeven: welke hoogtelijnen en grafiek komen met de functie overeen? Bereken de richtingsafgeleiden van die functies in een bepaald punt met een bepaalde richting en verklaar het teken van de richtingsafgeleide.
Formuleer en bewijs de verhoudingstest.
Bewijs gekende implicaties tussen convergentie en begrensdheid. Formuleer en bewijs de stelling van Stokes.
Formuleer en bewijs de stelling van Green.
Waar of vals? Bevindt de dubbelintegraal zich altijd tussen de onder- en bovensom? Bewijs dat de integraal van r1.r'1 gelijk is aan de integraal van r2.r'2.
Bewijs dat als F conservatief is, F de gradiënt van een functie f is. Bewijs de stelling van Taylor.
