Hoofdstuk 2: Formules voor groei

Hoofdstuk 2:

Formules voor groei.

V_1.

a. 1020₁₂₀₀ 0,85 870

1020 0,85 740870 0,85 630740 0,85. De groeifactor per jaar is 0,85 b. De beginwaarde is 1200: _{A 1200 0,85 } t

c. A 200

Voer in: y11200 0,85 x en y2 200 intersect: x 11,02 Dus in 2012 waren er voor ’t eerst minder dan 200 konijnen.

V_2.

a. 660₆₀₀ 1,1 730

660 1,11 800730 1,10 880800 1,1

De groeifactor is ongeveer 1,1 en de beginwaarde 600: _{L(t) 600 (1,1) } t

b. Voer de formule in de GRM in en kijk in de tabel: na 10 jaar zijn er ongeveer 1556 leerlingen en na 11 jaar 1712. V_3. a. _{P(t) 1495 2,80 } t b. P(t) 200 000 Voer in: x 1 y 1495 2,80 en y2 200.000 intersect: x 4,76 Dus in 1997 kostte die poncho 200.000 peso’s.

V_4.

a. gmaand 1,003 gjaar 1,00312 1,037 b. gkwartaal 0,982 gjaar 0,9824 0,9299 c. gdag 1,30 gjaar 1,30365 3,88 10 41 d. ghalf jaar 0,10 gjaar 0,102 0,01

V_5. GPeter 1500 1,055 € 1582,50  12

An

G 1500 1,0045 € 1583,04 An heeft de meeste rente gekregen.

V_6. _{I 13.000 (1,001 ) } 12 t _{13.000 1,012} t

p

p%

g 1

100

q

q%

g 1

100





 





 

1.

a. Om 12 uur zijn er _{100 2} 4 _{1600 bacteriën en om 10 uur: 100 2} 0 _100. b. Om 09.00 uur is op tijdstip t_{ }2 : N 100 2_{ } 2 _25 _bacteriën.

c. En om 08.00 uur: t_{ }4 : N 100 2_{ } 4 _6_.

2.

a. A(0) 25, 4 2  0 25, 4. In 2003 werden er 25,4 miljoen sms-berichten verzonden. b. ₂0 _1

c. A( 1) 25,4 2_{  } 1 _12,7_{. In 2002 werden er 12,7 miljoen sms-berichten verzonden.} d. 21 _21 e. f. 22  ₂12  ₄1 3. _{N b 0,25 } t _{met t in uren.} 9 9 b 0,25 150 150 b 39.321.600 0,25     4.

a. Afname met 17% per uur: g 0,83

Om 01.00 uur een promillage van 0,6: b 0,6 b. _{P( 2) 0,6 0,83  } 2 _0,87

c. P(t) 0,6 0,83  t 0,5

Voer in: x

1

y 0,6 0,83 en y2 0,5 intersect: x 0,978 Hij had nog 1 uur (59 minuten) moeten wachten.

5.

a. _{N(t) 1000 11 } t

b. 1 12

2

N( ) 1000 11  3317; de hoeveelheid algen na een halve dag. c. De groeifactor per halve dag is 1

2

11 3,32

d. 241 deel van een dag, dat is dan de groeifactor per uur.

6.

a. N(t) 500 2  t met t de tijd in weken.

b. Na 1 dag (t 71) zijn er ongeveer 552 algen. De groeifactor per dag is ongeveer 552500 1,104

c. 71

dag

g 2 1,10

t in jaren -3 -2 -1 0 1 2

7. a. ghalve dag  1 10015 1,15 b.  121  uur g (1,15) 1,0117 c.  5  5  5 uur uur g (g ) (1,0117) 1,06 8. a. g10 jaar  14,914,1 1,057 b. 101 jaar g (1,057) 1,0055 c. _{N(t) 14,1 (1,0055) } t _{met t in jaren en 1980 is t 0 .}

N(8) 14,7 _{miljoen. Dit aantal is dus in overeenstemming met de aanname.}

d. In het jaar 2100 zijn er ongeveer N(120) 27,34 _{miljoen, dus nog niet verdubbeld.}

9.

a. gmaand 1,00581

b. gjaar (1,00581)121,072 c. Ja, dit klopt.

10.

a. gmaand 1,004  gjaar (1,004)121,04907  4,91% rente per jaar.

b. 151 25 jaar 15 jaar 25 jaar g 0,95  g (0,95) 0,997  g (0,997) 0,9181  afname van 8,19%. c. 41 jaar kwartaal g 1,45  g (1,45) 1,097  9,7% per kwartaal. 11. a. g4 jaar 291636 81. b. 41 jaar g 81  .3

c. Het groeipercentage per jaar is 200%

12.

a. afname van 15% per jaar: gjaar 0,85

5

V(5) 16.000 0,85  7099 vogels.

b. 21

half jaar

g (0,85) 0, 9220 _{afname van 7,80% per half jaar.}

c. 2

2 jaar

g (0,85) 0,7225 _{afname van 27,75% per 2 jaar.}

13.

a. 4

2 2; 84 2; 168 2; 3216 2; 64322. In de eerste vijf weken is de groeifactor 2. t

d. O(7) 128 2048 0,5   7 112. Klopt dus met de tabel. e. O(t) 128 2048 0,5   t 127 t t log 0,00049 log 0,5 2048 0,5 1 0,5 0,00049 t 11     

Na 11 weken zal de bedekte oppervlakte 127 m2 _zijn. f. O(t) 128 2048 0,5   t 128

t

2048 0,5 0. Deze vergelijking heeft geen oplossing. Dus volgens de formule zal de vijver nooit helemaal bedekt zijn.

14.

a. g3 jaar 0,5

H



12 0,5



b. De hoeveelheid radioactieve stof wordt vrijwel 0. c.

12 0,5

_

_

0,0012

Voer in: 1

12 0,5

t

y





y



0,0012

x



13, 29

15.

a. Op het moment van inschenken is _{t 0 : T(0) 20 15 0,25   } 0 _5o_C b. Op den duur (als t heel groot wordt) zal de temperatuur 20o_{C worden.} c. De grafiek heeft een horizontale asymptoot: T 20 .

d. Als t heel erg groot wordt nadert _0,25t _{naar 0 en dus ook 15 0,25} t_{. De temperatuur T zal dus} steeds dichter bij 20o_{C komen.}

e.

-16.

a. _{N(0) 60 (1 0,64  } 0,4 0 _{) 0 . Het aantal diersoorten dat voorkomt in een gebied van 0 km}2 _{is 0.} b. De grafiek heeft een horizontale asymptoot: N 60 .

c. Het gebied kan ontzettend groot worden, maar het aantal diersoorten zal niet meer dan 60 worden.

d.

-e. N(t) 30

Voer in: y160 (1 0,64 )  x en y2 30 intersect: x 1,55 Bij een oppervlakte van 1,55 km2 _{kun je 30 diersoorten verwachten.} 17.

a. Op den duur houdt in dat t heel groot is. En dan wordt de inruilwaarde 3000 euro. b. De nieuwwaarde kun je berekenen door t 0 te nemen: W(0) 18.000 _en V(0) 31.500 c. De inruilwaarde van de Xantia is op den duur 3500 euro.

t (in jaren) H 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 10 12

d. W(t) V(t)

Voer in: y1 3000 15.000 0,8  x en y2 3500 28.000 0,65  x intersect: x 3,36  x 14,84

Na ongeveer 3,36 jaar (3 jaar en 4 maanden) en 14,84 jaar (14 jaar en 10 maanden) hebben ze dezelfde inruilwaarde.

e. De eerste 3,36 jaar is de inruilwaarde van de Xantia hoger dan die van de Ford Ka; Vanaf 3,36 jaar tot 14,84 jaar is de inruilwaarde van de Ford Ka hoger, en na 14,84 jaar is de inruilwaarde van de Xantia weer hoger.

18.

a.

b. De getallen verschillen veel.

19.

a. D(1, 600) E(2,5; 3000) F(5, 200)

b. 150.

20.

a. Er zijn grote verschillen in de sterftecijfers.

b. Bij bejaarden  75 jaar: toename is 620 540 80  . Bij volwassenen 40-64: toename is 110 98 12  . Dus niet evenveel.

c. Voor de eerste vijf leeftijdsgroepen is de sterfte afgenomen. Bij de bejaarden 65-74 is er ook een afname .Voor de bejaarden  75 jaar is het aantal overledenen het meest toegenomen. d. 1990: 6,8 1995: 4,8 Dit is een afname van 2 per 100.000 zuigelingen.

21. De grafiek is erg lastig af te lezen.

a. 1990: 550 1995: 600 2000: 630 b. 600₅₅₀ 1, 09 _en 630

600 1,05. De groeifactor per 5 jaar zal wel ergens bij de 1,07 liggen.

c. 15

jaar

g 1,07 1,014

d. In 2002: _{S 630 1, 014 } 2 _{647. De exponentiële groei lijkt zich voortgezet te hebben.}

22.

a.

-b.

c. In 1962 is de toename het grootst.

d. Op tijdstip t 0 zijn er 3 rupsen per km2 _{en op tijdstip t 3 20.000}

1 3 3 20000 3 g 6667 g 6667 18,82     jaar '59 '60 '61 '62 '63 '64 '65 '66 aantallen rupsen 3 50 900 20.000 50.000 30.000 10.000 20

23.

a. De groeifactor voor de eerste 5 minuten is: 55800,6875. De groeifactor voor de tweede 5 minuten is: 38550,6909, en voor de derde 5 minuten: 27380,7105. De groeifactoren zijn niet gelijk, dus de temperatuur daalt niet exponentieel.

b.

c./d. De groeifactoren per 5 minuten zijn respectievelijk: 50750,67, 50330,66 en 22330,67 De groeifactoren zijn gelijk, dus het temperatuursverschil daalt wel exponentieel.

e. 2 2

3

T(2) 5 75 ( )   38,3 en 2 3 3

T(3) 5 75 ( )   27,2 De antwoorden kloppen.

f. Op den duur wordt de temperatuur van het water 5o_{C (de temperatuur van de buitenlucht).} 24.

a. 1900: 21.000 en 1920: 50.000 De groeifactor per 20 jaar is 50.00021.000 2,38. En de groeifactor per 10 jaar wordt daarmee: 2,3812 1,543 Dus een toename van iets meer dan 50% per 10 jaar.

b. Het verschil in 1930 is ongeveer 140.000 en in 1960 ongeveer 160.000. Het verschil is dus vrijwel gelijk gebleven.

c. 1900: 110.000 en in 1970: 260.000

De groeifactor per 70 jaar is: 260.000110.000 2,36

Dus de groeifactor per jaar ia dan ongeveer 2,36701 1,0124. Een groei van 1,24% per jaar.

d. IUtrecht(t) 110000 1,0124  t t

110000 1,0124 220000

Voer in: y1110000 1,0124 x 220000 en y2 220000 intersect: x 56, 4 jaar. e. Bij een groeipercentage van 100% hoort een groeifactor van 2 per 10 jaar. Dan is de

groeifactor per 20 jaar ₂2 _{4. En daar hoort een groeipercentage bij van 300%.} f. Bij een groeipercentage van 200% hoort een groeifactor van 3 per 10 jaar. Dan is de

groeifactor per 20 jaar ₃2 _{9. En daar hoort een groeipercentage bij van 800%.}

25.plaatje is zeer slecht af te lezen; bovendien is de vraagstelling erg onduidelijk. a. herder : rendier 13.00080 : 700 1 : 4,31 b. herder : rendier 45.000₈₀ : 2700 1 : 4,8 c. en verder ? tijd 0 5 10 15 temperatuur in o_{C 80 55 38 27} temperatuurverschil in o_{C 75 50 33 22} 1930 1960 Amsterdam 785000 900000 Rotterdam 625000 750000

T_1.

a. ghalf jaar 1,30 gjaar 1,302 1,69 b. _{A 250 1,69 } t

c. Op 1 januari 2005 geldt _{t 1 : A 250 1,69 } 1_{148 ratten. Al meer dan 100 ratten.} d. Op 1 januari 2003 waren er _{A 250 1,69 } 3 _52

T_2.

a. De groeifactor per acht jaar is 1,25.

b. 18

jaar

g 1,25 1,028 Dat is een groei van 2,8% per jaar. c. _{A 52684 1,028 } t

d. Voor 1936 geldt _{t 5 : A 52684 1,028 } 5 _{45889 eilandbewoners.}

T_3.

a. _{C 20 40 0,75  } t_{. Het verschil neemt af met 25%} b. _{S(0) 20 40 0,95  } 0 _{60 C}o

c. De horizontale asymptoot is T 20 . Op den duur zal de vloeistof de temperatuur van de kamer aannemen.

d. Aan het getal 20.

T_4. a./b. _{a 10} 2,5 _316 c. 1 3 3 b 10 2154 d. _{c 10} 2,75_562 e. _{f e 10 } 1,75_101,5 _{56 32 24  en e d 10 } 1,5_101,25_{32 18 14 } f. Nee. T_5.

a. Gedurende de eerste 10 halve uren neemt het aantal bacteriën toe van 100 naar 100.000. Daar hoort een groeifactor bij van 100.000₁₀₀ 1000_. 15

uur

g 1000 3,98 b. In het laatste half uur neemt het aantal bacteriën het meest toe. c. Na 10 halve uren, ofwel na 5 uur.

d. Van 20 tot 35 halve uren. Het evenwicht duurt ongeveer 7,5 uur.

e. 8 1 s 2 10 ( ) 100 Voer in: 8 1 x 1 2 y 10 ( ) _en y₂ 100 _intersect: x 19,93

T_6.

a. W(t) 6 1, 40  t _{met t de tijd in perioden van 10 jaar en W in miljoenen m}3 b. W(2) 6 1, 40  2 11,76 miljoen m3 _{per jaar en dus nog net niet 2 keer zo hoog.} c. W(11) 6 1, 40  11 242,97 _{miljoen m}3_.

d. _{6 1, 4} t _700

Voer in: y1  6 1,4x en y2 700 intersect: x 14,14

In het jaar 1900 10 14,14 2041   _{zal het waterverbruik de grens van 700 miljoen m}3 passeren. T_7. a. g30 jaar 0,5 1 30 jaar g 0,5 0,977 b. _{100 0,977} t _75

Voer in: y1100 0,977 x en y2 75 intersect: x 12,36 Na 12 jaar en 4 maanden is 25% verdwenen.

c. _{100 0,977} t _{0,1 100 0,977} t _0,2

t 296,87 t 267, 08