Hoofdstuk 6: Formules maken

(1)

Hoofdstuk 6:

Formules maken.

V_1.

a. Grafiek c is een exponentiële functie, dus formule 1 of 4. 0 1 1 1 2 2 0 : 2 1 x y    en 1 0 1 4 2 2 2

y    . Grafiek c gaat door (0, 1

2), dus formule 4.

b. Grafiek d is niet duidelijk getekend. Formule 5 bestaat niet voor x0. Bij formule 5 hoort een grafiek die bestaat uit twee takken (hyperbool).

c. Bij grafiek a hoort formule 2.

d. Het snijpunt van de rechte lijn met de y-as is 1 2

(0,1 ) en de lijn gaat door ( 1 2 4  , 0). Daar hoort formule 2 bij.

e. Door de coördinaten in te vullen in de formule kun je controleren dat de punten 1 2 (0,1 ) en 1 2 (3, 2 ) en 1 6 (5, 3 ) op de lijn liggen. V_2. 3 4 4 4 1      , 3 4 4 0 4      , 3 3 4 4 4 3 1      en 3 4 4 1, 2 3,1      De punten (-4, -1), (3, 7 4  ) en (1.2, -3.1) liggen op de lijn. V_3. a. b. A2p4 c.       8 2 4 b 8 b 0 b V_4. a. 2p16 38 b. 23 6 h11 c. 1,8t32 41 2 22 11 p p   6 12 2 h h   1,8 9 5 t t   d. 1010 60 u350 e. 32 1,8 c82, 4 f. 0,15a7,50 9,90 60 660 11 u u   1,8 50, 4 28 c c   0,15 2, 40 16 a a   V_5. a.

b. _t __{3 :}_T __{1500 0,9}_ 3__1093,5_{. Punt (3, 1094) ligt dus niet op de grafiek.}

c. _t__{0 :}_T __{1093,5 0,9}_ 0 3 _₁₅₀₀_{en de groeifactor is 0,9 dus die formule hoort ook bij de} grafiek van a. d. 2 2 0,9t 0,9 0,9t 0,81 0,9t 1500 0,9t T b    b   b   1500 0,81 0,81 1500 1851,85 b b    V_6. a. 1704 2130 0,8 g  b. ₂₁₃₀_{ }_b _0,84 __{0, 4096}__b 2130 0,4096 5200 b  p A 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

(2)

V_7.

a. g1,10 c. g0,983 e. g4

b. g1,005 d. g0,9797 f. g0,9999

V_8.

a. toename van 40% d. afname van 0,3% b. afname van 5% e. toename van 1900% c. toename van 2% f. afname van 99%

V_9.

a. De 10% korting wordt berekend van een hoger bedrag dan waarover de 19% BTW berekend wordt. Je mag de percentages dus niet van elkaar aftrekken.

b. Dat maakt niets uit: 750 1,19 0,90 750 0,90 1,19 750 1, 071 803, 25        c. De prijs wordt vermenigvuldigd met 1,071: een prijsverhoging van 7,1%

1.

a. 100 meter draad weegt 10,8 2,8 8  kg. b.

c. 100 meter draad weegt 8 kg. Iedere meter draad weegt dan 0,08 kg. d. startgetal is 2,8 en hellingsgetal 0,08 e. 2,8 0, 08  l 6, 2 0,08 3, 4 42,5 l l m    2.

a. In 60 uur stijgt het waterniveau 290 50 240  cm. Dat is 4 cm per uur. b. startgetal is 50 en hellingsgetal 4.

c. h  4 t 50

lengte (in meter) 0 20 40 60 80 100

gewicht (in kg) 2,8 4,4 6,0 7,6 9,2 10,8

lengte (in meter) gewicht (in kg) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -10 2 4 6 8 10 12 14 -2 % : 1 100 % : 1 100 p p g q q g      

(3)

3.

a. startgetal is 5 en het hellingsgetal –3 b. y  3x 5

c. Als p met 2 toeneemt, neemt q met 3 toe. Het hellingsgetal is dus 1 2 1 . Het startgetal 1 1 2 2 10 3 1  5 1 1 2 2 1 5 q  p 4.

a. Per kg neemt de lengte steeds met 2 cm toe. b. die van Lisanne.

c. m is de massa in kg.

d. Bij Esther is m de massa in grammen en bij Isabel de massa in hectogrammen. e. L0,12 0,02 m

5.

a. a8t b. a 6t 30

c. Voer in: y18x en y2 6x30 vars y-vars function y1(6)y2(6) 18 meter. d. 2nd_{trace (}_calc_{) optie 5 (}_intersect_):_x₁₅_sec.

6.

a./b.

c. Voer in: stat edit L1: 2, 3, 5, 7 en L2: 1.9 1.78 1.3 1 stat calc Linreg: V  0,19 B 2, 29

d. V  0,19 12 2, 29 0, 01   voldoet niet aan de formule. Het verband is blijkbaar niet lineair.

7.

a.

b. In 20 minuten neemt de hoogte toe met 9 cm. Dat is 0,45 cm toename per minuut

Om 8.00 uur: 11,5 10 0, 45 7   cm c. h0, 45 t 7

8.

a. 1e_{week: 20 g toegenomen} ₂e_{week: 25 g toegenomen} 3e_{week: 31 g toegenomen.}

De toename is niet constant, dus de groei niet lineair. b. 100 80 1, 25 125 1001, 25 156 1251, 25 195 1561,25 c. d. Exponentiële groei e. G195 1, 25 1, 25 305   g 9. a. 5000 3 800 2600   g vocht. b. V 5000 80 t c. t (in minuten) h (in cm) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 -5 t (in weken) G (in gram) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 100 200 300 400 500

tijd (in minuten) vocht (in grammen)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 -5 -10 1000 2000 3000 4000 5000 6000

(4)

d. V 0 5000 80 0 80 5000 62,5 t t t    

Na 62,5 minuut is het graan helemaal droog.

10.

a. de groeifactor per 10 minuten is 0,5 b.

c. zie de figuur bij opgave 9.

d. Na 25 minuten zit er ongeveer 900 gram vocht in het graan.

11.

a. 2,02,8 0, 71

1,4 2,00,7

1,0

1,4 0,71 De groeifactor per minuut is 0,7.

b. t 0 :h2,8 t1:h0,1 0,9 2,8 2, 0   t2 :h0, 4 1,8 2,8 1, 4   3: 0,9 2,7 2,8 1,0

t  h    . De formule past goed bij de tabel.

c. Marijse: h1, 0 0, 7 0, 7 0, 49   cm en Ruden: h2,5 4,5 2,8 0,8   cm Marijse komt er het dichtste in de buurt.

12.

a. Op 19 april ongeveer 2,4 cm en op 23 april ongeveer 3,4 cm. b.

c. Er is sprake van een groei. Op de tussenliggende dagen zal de lengte er ook ergens tussen liggen

d. 1,9 1,42 0, 25  _ cm/dag 2,9 1,94 0, 25  _ cm/dag 3,7 2,9 3 0, 27  _ cm/dag 4,0 3,7 1 0,3  _ cm/dag. De groei is redelijk lineair. e. L0, 25 t 1, 4

f. 11 juni is ver weg. Vanaf een gegeven moment groeit het blad niet meer.

13.

a. Als de groeifactor groter is dan 1 (bij opgave 8 is deze factor 1,25) dan is er sprake van een exponentiële toename. Is de groeifactor kleiner dan 1 (bij opgave 10 is die 0,5) dan is er sprake van een exponentiële afname.

b. Een vermenigvuldigen met 0 levert 0 op, op elk tijdstip.

14.

a.

b. De beginhoeveelheid is 500. c. De groeifactor per week is 0,9 d.

e. Na iets meer dan 15 weken.

15.

a. De groeifactor per uur is 2.

b. Om 10.00 uur is de bedekte oppervlakte 0, 4 2 2 1,6   cm2_.

tijd in minuten 0 10 20 30

vocht in grammen

5000 2500 1250 625

tijd (in weken) 0 1 2 3

aantal vissen A 500 450 405 365

tijd (in weken) A 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 100 200 300 400 500 600 -100

(5)

tijd (in dagen) H (in cc) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1

c. 13.00 uur is 5 uur later. De bedekte oppervlakte is dan dus 5 keer verdubbeld; 5 keer met 2 vermenigvuldigd: _{0, 4 2}_ 5 __12,8 cm2_. d. t8 e. Om 16.00 uur is de oppervlakte _{0, 4 2}_ 8 __{102, 4} cm2_. f. _O_0, 4 2_ t

met t de tijd in uren. g. _t _{ }_{2 :}_O__{0, 4 2}_ 2 __0,1_cm2_.

16.

a. De algemene formule is: t

y b g  . Hierin is b de beginhoeveelheid (de hoeveelheid op tijdstip t0) en g de groeifactor per tijdseenheid. Hier: b80 en g1, 25

b. De groeifactor per week is 1,25

c. Op tijdstip t0 was de hond 80 gram. d. _G_80 1, 25_ t

e. _G__{80 1, 25}_ 4 __195,3

dat klopt dus wel aardig.

17.

a. 6, 2 1,18t

A  , hierin is A het aantal berichten in miljoenen en t de tijd in jaren. b. Voer in: 1 6, 2 1,18

x

y   en y2 20 en dan met 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): x7,08 In 2009 zullen er meer dan 20 miljoen berichten verwerkt worden.

18. a. 6655 6050 1,1 7320,50 6655 1,1 8052,55

7320,50 1,1: de groeifactor per jaar is 1,1. De beginwaarde: 2

6050

1,1 5000 Dus de formule wordt: 5000 1,1

t

B 

b. _T __{10 :}_B__{5000 1,1}_ 10 __12968,71

gulden. Dat is dan 12968,712,20371 € 5884,95

19.

a. Hij raakt per dag 1

4 deel kwijt; er blijft iedere dag 34 over, dus de vermenigvuldigingsfactor per dag is 0,75. Na twee dagen is er nog _{8 0,75}_ 2 __4,5

cc geneesmiddel in het lichaam. b. Er moet steeds met 0,75 vermenigvuldigd worden.

(een procentuele afname). c. 8 0,75t

H   , hierin is t de tijd in dagen. d. Na iets meer dan 7 dagen is er nog 1 cc over. e. Na twee dagen is er 4,5 cc geneesmiddel in het

lichaam. Er wordt dan weer 8 cc bijgespoten. De afname verloopt dan volgens de volgende formule:

12,5 0,75t H   Voer in: 1 12,5 0,75 x y   en y2 1. intersect: 8,78

x Na ongeveer 10,8 dagen is er nog 1 cc medicijn in het lichaam.

20.

a./b. Bij een toename van 6% hoort een groeifactor van 6

100

1 1,06

g   c. _H __{4800 1, 06}_ 6 __{€ 6808,89}

tijd (in jaren) 1998 1999 2000

(6)

21.

a./b. Bij een afname van 10% hoort een groeifactor van 10 100 1 0,9

c. _L_2,0 0,90_ t

, hierin is t de tijd in minuten. d. _L__{2,0 0,90}_ 10 __0,70 gram. 22. a. 1,2 100 1 1,012 g   b. 17 100 1 0,83 g   c. 9 100 1 1,09 g   23. a. (1, 4 1) 100 40   : 40% toename d. (0,85 1) 100   15: 15% afname b. (1,005 1) 100 0,5   : 0,5% toename e. (0,991 1) 100   0,9: 0,9% afname c. (3 1) 100 200   : 200% toename f. (2,3 1) 100 130   : 130% toename 24. a./b. B_Ad 800 1, 06 €848,   12 800 1,005 € 849,34 Ciska B   

Ciska heeft de meeste rente gekregen. Het verschil is € 1,34

25.

a.

b. De groeifactor per uur is 3.

c. De groeifactor per drie uur is 3,240,12 27 3 3, en per vier uur

4 9,72

0,12 81 3 d. De groeifactor per zes uur is ₃6 _₇₂₉_{. Controle:}_{729 0,12 87, 48}  _{: klopt.}

26.

a. De groeifactor per 10 jaar is 10

1,02 1, 219 b. De groeifactor per jaar is 52

1,002 1,109

27.

a. De groeifactor per jaar is _1,1212 __3,896 b. De groeifactor per week is 1,517 1,060 28.

a. _O_{ }2 1, 2t

b. De groeifactor per jaar is _{1, 2}52 _₁₃₁₀₅ c. De groeifactor per maand is _{1, 2}4,3__2,19

: _O_{ }2 2,19t d. Voer in: 1 2 2,19 x y   en y2 15. Intersect: x2,6 p p% g 1 100 q q% g 1 100         tijd in minuten 0 1 2 3 4 lucht in grammen 2,0 1,8 1,62 1,46 1,31 tijd in uren 10 11 12 13 14 15 16 oppervlakte in km2 _{0,12 0,36 1,08 3,24 9,72 29,16 87,48}

(7)

29.

a.

b. Na iets minder dan 13 jaar is het bedrag verdubbeld. c. Ook na iets minder dan 13 jaar: _{1750 1, 055}_ 13 __3510,10

30.

a. 5000 0,92t

I   , hierin is t de tijd in jaren. b. Voer in: 1 5000 0,92

x

y   en stel de tabel in: 2nd_{window (}_tblset_{) : TblStart=0 en}_V_Tbl_0,1 Kijk in de tabel wanneer y1 dicht bij de 2500 is: x8,3

c. Voer in: y2 2500. Intersect: x8,31. De halveringstijd is 8 jaar en 4 maanden.

31.

a. Voer in: 1 800 1,054

x

y   en y2 1600. Intersect: x13, 2 jaar

b. Het bedrag moet dan nog een keer verdubbeld zijn. Dat duurt nog eens 13,2 jaar. c. Voer in: 1 1200 1,049

x

y   en y2 2400. Intersect: x14,5 jaar d. Weer verdubbeld; in totaal duurt dat 2 14,5 29,0  jaar.

32.

a./b. De verdubbelingstijd (van 10.000 naar 20.000) is 1956 1944 12  jaar. En weer 12 jaar verder, in 1956 12 1968  is de hoeveelheid weer verdubbeld.

c. 12 jaar voor 1963 toen de hoeveelheid twee keer zo groot was: in 1951 d. 12 jaar na 1963: 1975.

33.

a. De groeifactor per maand is 5,6 100

1 0,944. b. Voer in: 1 2000 0,944

x

y   en y2 1000. Intersect: x12 maanden. c. y3 50, intersect: x64 maanden; na 5 jaar en 4 maanden. In 2004. d. Dat is 7 maanden eerder: _B__{2000 0,944}_ 7 _₂₉₉₄_Bq.

34.

a. De groeifactor per 300 jaar is 0,53 6.

b. In 1800: _{0,5 1,006}_ 150 __{1, 2}_{; in 1900:}_{0,5 1,006}_ 250__{2, 2}_{en in 1950:}_{0,5 1,006}_ 300__3,0 Of: _1,006300 __6,017 c. Voer in: 1 3,63 1,021 x y   en y2 7, 26. Intersect: x33, 4 jaar. d. 40 3,63 1,021 8,3 B   miljard mensen. 35. a.

b. Je moet elke keer met 0,75 vermenigvuldigen. c. _h_160 0,75_ s

d. Voer in: 1 160 0,75

x

y   en y2 30. Intersect: x5,82. Na 6 keer stuiteren is de hoogte voor ’t eerst onder de 30 cm.

tijd in jaren 0 10 11 12 13 14

bedrag in euro 1000 1708,14 1802,09 1901,21 2005,77 2116,09

aantal keer stuiteren 0 1 2 3 4

(8)

36. De vraag wordt vanaf c erg onduidelijk voor mij.

a. Bij een afname van 0,012% per jaar hoort een groeifactor van 0,012 100

1 0,99988 Het percentage radioactief koolstof-14 kan beschreven worden door de formule:

100 0,99988t

C  . Als 40% verdwenen is, is er nog 60% over. Voer in: 1 100 0,99988

x

y   en y2 60. Intersect: x4256 jaar. b. Voer in: y3 50. Intersect: x5776 jaar.

c. …?

37.

a. per vliegtuig: 450 180

180 100 150% lopend of met de fiets: 760 680680 100 11,8% met bus of trein: 2530 1910

1910 100 32,5% met de auto: 10700 83008300 100 28,9% Bij ‘per vliegtuig’ is de procentuele stijging het grootst.

b. In 19 jaar is de stijging met 10700 8300 2400  km gestegen; dat is gemiddeld met 2400

19 126,3 km per jaar. In 2004: 8300 13 126,3 9942   km.

c. Stel 1991 is t0. In 19 jaar stijgt de grafiek met 450 180 270  ; dat is met 270

19 14, 21 per jaar. Een formule voor ‘per vliegtuig’ is: A14, 21 t 180

De formule voor de grafiek van ‘lopend of met de fiets’ wordt: A4, 21 t 680 Voer in: y114, 21 x 180 en y2 4, 21 x 680. Intersect: x50

In 2041 is het aantal kilometers even groot. d. 82087 82030 1,0007 82187 82087 1,0012 82340 821871,0019 82475 82340 1,0016 De groeifactoren verschillen allemaal, dus er is geen sprake van exponentiële groei. e. In 2002 hebben Duitsers gemiddeld 760 680

19

680 11_{ }  _726_{km per jaar lopend of met de fiets} afgelegd. Alle Duitsers samen hebben dan 726 82 475 000 59 876 850 000  km afgelegd.

T_1.

a. A_Gert  5t b gaat door (2, 8) 8 5 2 10 2 b b b        AGert  5t 2

b. Margreet legt in 2 uur 8 km af. Haar wandelsnelheid is 4 km/u. c. AGert 0 2 5 5t 2 t 

 Gert is 25 uur (24 minuten) later aan de wandeling begonnen. d. Ze lopen samen 14 8 1

(9)

T_2. a. 17 13 10 ( ) 1,193 1 4 34 17 ( ) 1,189 1 6 96 34 ( ) 1,189 1 9 390 96 ( ) 1,169

Tot en met 21 september is de groeifactor per dag vrijwel gelijk aan 1,19. De groei is vrijwel exponentieel. b. 580 550 2 15  _ 625 580 3 15  _ 850 625 14 16

De groei van 1 tot en met 20 oktober is constant: 15000 550 15

A  t met A het aantal sprinkhanen in duizendtallen en t de tijd in dagen na 1 oktober.

T_3.

a. De groeifactor per jaar is 0,9 b. De groeifactor per 10 jaar is 10

0,9 0,3487 c. Voer in: 1 9,3 0,9

x

y   en y2 1. Intersect: x21, 2 jaar later.

T_4.

a. Bij een rente van 0,659 hoort een groeifactor van 10,659100 1,00659

b. De groeifactor per jaar is _1,0065912 __1,0820_{. Bij deze groeifactor hoort een rentepercentage} van 8,2% T_5. a. LJon 2400 120 t en 2400 1,04 t Marja L   b. Voer in: 1 2400 1,04 x

y   en y2 4800. Intersect: x17,67. Na 18 jaar is het salaris van Marja (meer dan) verdubbeld.

c. 2400 120  t 4800 120 2400 20 t t   

d. Voer in: y3 2400 120 x. Intersect: x11,92. Na 12 jaar verdient Marja voor ’t eerst meer dan Jon.

T_6.

a. H 19 0, 22 132 € 48,04   b. H 19 0, 22 k

c. H 19 0, 22 485 €125,70   . Ja, hij betaalt € 23,88 teveel. d. 125, 70 1,19 €149,58  . Ja, nu klopt het wel.

e. H 1,19 (19 0, 22 ) 22, 61 0, 2618   k  k

T_7.

a. 73000 1,02t

A 

b. Het aantal woningen kan berekend worden met de formule: W 25000 500 t. In elke woning leven gemiddeld maximaal 3 mensen. Het maximale aantal inwoners is dan

3W  3 (25000 500 ) 75000 1500 t   t

c. In 2000 is er voor 3 25000 75000  inwoners een woning. Voldoende woonruimte dus. d. Voer in: 1 73000 1,02

x

y   en y2 75000 1500 x. Intersect: x13,18. Na 14 jaar is er er te weinig woonruimte.

e. De formule voor het maximaal aantal inwoners wordt dan 3(25000 800 ) 75000 2400 t   t. Intersect met y1: x49. Na 49 jaar is er dan een woningsnood.