H4: Integreren

Hoofdstuk 4:

Integreren

V-1. a. 3 3 1 ( ) f x x x    c. 1 2 2 2 ( ) 5 5 h x  x x  x b. 4 4 1 5 5 4 1 ( ) 5 g x x x x      d. 12 1 2 1 1 1 3 1 3 1 1 ( ) 3 k x x x x x      V-2. a. _{f x( )} 3x4 5x2 2x _3x3 _{5x 2} x       b. 4 3 2 4 3 2 1 1 1 2 2 3 3 3 3 8 5 8 5 ( ) 4 2 2 2 2 2 x x x x x x g x x x x x x x           c. 3 2 2 2 1 1 2 2 3(2 3) 3(2 3)(2 3) ( ) 1 (2 3) 6 18 13 4 6 2(2 3) x x x h x x x x x x             d. 2 2 1 2 2 2 2( 5) 2 20 50 ( ) x x x 2 20 50 k x x x x x           V-3. a. _{f x( ) (2 x5)(2x 1) 4x}2_{8x5 f x'( ) 8 x8} 2 2 ( ) (2 2) 4 8 4 g x  x  x  x g x'( ) 8 x8 b. ( ) 1 (2 ) 2 1 (2 ) 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 x x x h x k x x x x x x                       c. h x'( )k x'( ) V-4. a. _{f x'( ) 18 3  x}2 _0 2 ₆ 6 6 ( 6, 12 6) x x x      b. 1 3 2 1 4 2 (18 ) 9 2 OQP Opp   p p p  p  p c. _{Opp' 18 p2p}3 _0 2 2 (9 ) 0 0 3 3 p p p p p        

De oppervlakte is maximaal 40,5 als p3. V-5. a. _{f x'( ) 3 4(2  x5) 2 24(2}3_{  x5)}3 b. 1 1 12 2 2 ( ) 3 4 (3 4 ) g x   x   x 1 1 12 2 2 1 '( ) (3 4 ) 4 3 4 g x x x          c. _{( )} 3 _{3(5 1)} 1 5 1 h x x x      2 2 2 15 '( ) 3 1 (5 1) 5 15(5 1) (5 1) h x x x x              

d. 1 2 3 4 ( ) 1 (5 6) 3 5 6 k x x x      2 1 2 1 1 1 3 2 1 10 '( ) 1 (5 6) 5 3(5 6) k x x x         

V-6. a. _{f x'( ) 3(2 x1) 2 6(2}2_{  x1)}2 _{en g x'( ) 24 x}2 _24x6 b. _{f x'( ) 6(2 x1)}2 _6(4x2_{4x 1) 24x}2_24x6 c. _{f x( ) (2 x1)}3 _{(2x1)(4x}2_{4x 1) 8x}3_12x2_{6x 1 g x( ) 1} V-7. a. A(0, 1) 1 1 3x  1 2x6 2x  1 12x6 5 6 5 6 (6, 3) x x B   1 2 2 5 2 (2, 5) x x C   2 2 6 2 40 AB   , _{BC  ( 4)} 2_22 _{ 20 en AC 2}2_42 _{ 20} Omdat _AC2_BC2 _AB2 _{is ACB90} _{en is} 1 2 20 20 10 ABC Opp_V     b. 1 1 2x 2 12x3 112x 3 3x8 12x 2 3x8 1 2 1 ( 1, 1 ) x P    1 2 1 3 1 3 1 11 7 (7 , 14) x x Q   1 2 2 10 4 (4, 4) x x R   5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 6 8 12 8 12 5 2 3 2 3 10 20 PQR Opp_V               V-8. a. A(4, 8) en B(4, 2) 1 1 2 4 8 2 4 2 12 OAB Opp        b. 1 1 1 3 2 2 2 2 2 4 27 Opp  p p  p p p  2 ₃₆ 6 6 p p p      x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 x=4 A B

1. a. 1 3 8 8 2 (1) 2 (3) 2 3 2 4 15 Opp f  f      b. 1 1 1 1 3 2 2 2 2 4 1 ( ) 1 (1 ) 1 (2 ) 1 (3 ) 14 Opp f  f  f  f 

c. Het antwoord van opdracht b is nauwkeuriger.

d. Als je de rechthoekjes nog smaller maakt krijg je een betere benadering. 2. a. Opp 2 (2) 2 (4) 52f  f  b. 1 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 2 (1 )4 2 (1 ) ...4 2 (4 ) sum(seq(4 2 , , 1 , 4 , )) 504 4 2 4 Opp f  f   f  y x  3. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 1 (1 ) 1 (2 ) 1 (3 ) 1 (4 ) 6 Opp f  f  f  f  4.

a. De intervallen zijn dan 1 breed. Het midden van het eerste interval is 1 2

1 .

b. Elk interval is dan 0,4 breed. Het midden van het eerste deelinterval is 1,2 c. Het midden van het laatste deelinterval is 4,8

d. Neem voor de breedte van elk deelinterval 0,2:

0,2 (1,1) 0,2 (1,3) ... 0,2 (4,9) 0,2 ( (1,1) (1,3) ... (4,9))

Opp f  f   f   f f  f

e. Opp sum seq ( (0,2y1, , 1.1, 4.9, 0.2)) 30,68x 

5.

a. Opp sum seq ( (0,2y1, , 1.1, 5.9, 0.2)) 28,35x 

b. De grafiek daalt onder de x-as. Dus voor bepaalde waarden van x is de functiewaarde negatief.

6. De deelintervallen zijn 0,4 breed

1 0,4 ( 1,8) 0,4 ( 1,4) ... 0,4 (5,8) sum(seq(0.4 , , 1.8, 5.8, 0.4)) 130,56 Opp f f f y x               7. a. Opp2,5 (3,25) 2,5 (5,75) 4,0625f  f  b. Opp0,05 (2,025) 0,05 (2,075) ... 0,05 (6,975)f  f   f  sum seq( (0.05y1, , 2.025, 6.975, 0.05)) 6,665625x  8.

a. 10 intervallen: Opp sum seq ( (0.3 , , 0.15, 2.85, 0.3)) 8,9775y1 x 

20 intervallen: Opp sum seq ( (0.15 , , 0.075, 2.925, 0.15)) 8,994375y1 x 

100 intervallen: Opp sum seq ( (0.03 , , 0.015, 2.985, 0.03)) 8,999775y1 x 

b. De oppervlakte zal steeds dichter bij 9 komen. c. Dezelfde berekeningen, alleen nu met y₁ x

10 intervallen: Opp3,473 20 intervallen: Opp3,467

9.

a. F p h(  ) is de oppervlakte van het gebied dat begrensd wordt door de grafiek van f en de lijnen x0 en x p h; het blauw en rood gekleurde gebied. F p( ) is het gebied onder de grafiek en links van de lijn xp; het blauw gekleurde vlak. Het verschil van deze twee is dus precies het rood gekleurde vlakdeel.

b. De boven(som) wordt bepaald door een rechthoek met hoogte f p h(  ) en de onder(som) door een rechthoek met hoogte f p( ). De breedte van de rechthoek is h. c. Als h naar 0 nadert krijg je: f p( )F p'( )f p( )

10. a. 1 2 1 2 6 2 '( ) 3 ( ) F p   p  p f p b./c. 6 6 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 0 0 ( x dx)  ( x dx)  ( x dx F)  (6)F(3)







c. 6 6 2 3 1 1 1 1 2 6 ₃ 2 2 3 ( x dx) _ x _  6 4 1



11.

a. Als p0 dan is er nog geen gebied.

b. 1 3 2 3 ( ) 2 10 F x  x  x  x c./d. 5 5 2 1 3 2 1 3 ₁ 3 1 (x 4x10)dx_ x 2x 10x_ 33



12. a. _{F x( ) 3 x}3 _{c. H x( ) 5 x} b. _{G x( )x}4 _{d. K x( ) 3 x}5 13. a. 3 3 2 1 3 3 ₀ 0 ( )x dx _ x _ 9



b. 2 2 121 3 3 ( ) G x  x x  x 1 2 2 1 3 2 '( ) 1 G x   x  x c. 3 ₃ 2 3 ₀ 0 ( x dx) _ x x_ 2 3



d. 2 3 3,464101... 14. _{6x x} 2 _0 6 6 2 2 1 3 3 ₀ 0 (6 ) 0 0 6 (6 ) 3 36 x x x x x x dx x x         _  _ 



15. a. 1 7 7 8 '( ) 8 ( ) F x   x  x f x b. 1 10 10 ( ) G x  x

16. a. 3 3 1 ( ) f x x x    b. _{f x'( ) 3x}4 c./d. 1 2 2 2 1 ( ) 2 F x x x     

17. p1 wordt dan 0 en delen door 0 is flauwekul! 18. a. 3 5 4 5 ( ) F x  x x b. _{g x( ) 2 x}2_3x4 2 3 3 2 3 3 3 3 1 ( ) G x x x x x      c. h x( )x23x x213 3 331 3 3 3 10 10 ( ) H x  x  x  x d. 5 1 2 1 2 3 4 2 3 2 4 ( ) 4 x x k x x x x x         1 3 1 1 1 2 1 3 12 2 2 12 2 1 1 ( ) 2 2 K x x x x x x x         19. a. F x1'( ) 3 x26x 3 f x( ) 2 2 2 2'( ) 3( 1) 1 3( 2 1) 3 6 3 ( ) F x  x   x  x  x  x f x b. F x2( ) ( x1)3 x33x23x 1 F x1( ) 1 c. 3 3 3 2 1 1 ( ) 3 3 63 7 56 f x dx _x  x  x_   



en 3 3 3 1 1 ( ) ( 1) 64 8 56 f x dx _ x _   



d. De constante verdwijnt door de aftrekking. 20. a 1 2 2 2 6 '( ) 3(2 3) 2 (2 3) 4 12 9 g x   x   x  x  x en _{h x'( ) 4 x}2_12x9 b. 1 3 2 4 3 2 1 4 3 2 1 6 3 2 3 2 ( ) (8 36 54 27) 6 9 4 6 9 4 8 g x   x  x  x  x  x  x  x  x  x   1 2 ( ) 8 h x   c. 4 3 2 3 ( ) 6 9 F x  x  x  x c 21. a. 2 5 4 1 2 5 2 ( ) 3 F x  x x  x  x c b. 1 3 1 2 9 2 ( ) G x  x  x c c. 1 6 1 2 6 2 ( ) 2 H x   x  x  x c 22.

a. Bij het differentiëren van G(x) met de kettingregel wordt de exponent één lager en dus lijkt hij al heel erg op g(x).

b. 1 121 1 121 2 2 '( ) 2 (3 4) 3 7 c (3 4) G x  c x    x c. 1 2 7 c 1 2 15 c  d. 2 212 15 ( ) (3 4) G x  x

23. a. 1 5 2 ( ) ( 7) F x  a x b. _{g( ) 4(x  x2)}3 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 5 5 2 1 5 2 '( ) 5( 7) 2 ( 7) 2 1 ( ) ( 7) F x a x a x a a F x x            2 3 3 2 2 ( ) ( 2) '( ) 2( 2) 2 ( 2) 2 4 2 2 ( ) 2( 2) ( 2) G x a x G x a x a x a a G x x x                         c. _{h x( ) 2(1 6 )  x} 3 _d. 1 2 ( ) 3 5 (3 5) k x  x  x 2 3 3 1 6 2 1 6 2 ( ) (1 6 ) '( ) 2 (1 6 ) 6 12 (1 6 ) 12 2 1 ( ) (1 6 ) 6(1 6 ) H x a x H x a x a x a a H x x x                     1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 9 1 2 9 ( ) (3 5) '( ) 1 (3 5) 3 4 (3 5) 4 1 ( ) (3 5) K x a x K x a x a x a a K x x              24.

a. _{K x'( ) c 3(x}2_{3) 2}2_{ x 6 (cx x}2_3)2_{, nee die x kan niet gecompenseerd worden.}

b. _{f x( ) 4( x}2_3)2 _4(x4 _6x2_{9) 4 x}4_24x2_36 4 5 3

5

( ) 8 36

F x  x  x  x c

c. Ja, zie a: 6c4 en dus 2 3 c  d. 2 2 3 3 ( ) ( 3) G x  x  c 25. a. 1 2 2 1 3 2 2 ( ) (6 ) 3 F x  x x  x  x en 1 2 1 2 2 '( ) 6 1 1 (4 ) ( ) F x  x x  x x f x b. F(2) 8 , 1 2 (3) 13 F  , F(4) 16 en 1 2 (5) 12 F 

c. Omdat voor x 4 is f x( ) 0 en de oppervlakte onder de x-as wordt er dan vanaf getrokken.

d. De oppervlakte van het vlakdeel boven de x-as is dan even groot als de oppervlakte van het vlakdeel onder de x-as.

26. a. 5 5 2 1 1 (4x9)dx _2x 9x_ 12



b. 4 4 2 1 3 1 2 1 3 2 ₁ 2 1 (x 3x2)dx_ x 1 x 2x_ 4



c. 12 9 ₉ 2 2 2 5 5 4 4 84 x x dx_ x _ 



d. 4 4 3 1 4 8 ₂ 2 (5 2 )x dx (5 2 )x 810       _  _ 



e. 3 3 3 3 2 6 3 8 5 5 15 3 ₁ 1 1 6 5x dx x dx x  _  _   _{ } 





f. 21 12 4 4 ₄ 1 2 1 3 3 0 0 0 2 9 2 x dx  2(9 2 ) x dx  _ (9 2 ) x _ 17





27. a. 3 3 2 3 1 1 3x dx  _{ }x 26



, 6 6 2 3 3 3 3x dx  _{ }x 189



en 6 6 2 3 1 1 3x dx  _{ }x 215



b. 3 6 6 2 2 2 1 3 1 3x dx 3x dx  3x dx







c. 4 4 3 4 2 2 8x dx _2x _ 480



en 4 4 3 1 4 4 ₂ 2 60 x dx_ x _ 



4 3 4 3 2 2 8x dx  8 x dx





28. 3 3 3 2 2 1 1 1 (3x 2 )x dx 3x dx 2x dx







29. a. 1 3 3 3 2 2 2 1 3 2 3 ₂ 3 2 1 2 (x 2)dx (x 2)dx (x 2)dx x 2x 1           _  _ 







b. 11 11 4 4 1 2 2 2 ₁ 1 4 1 4 4 4 (2 )dx (2 )dx (2 )dx 2x 4x 9 x x x         _  _ 







c. 5 5 5 5 2 2 2 2 2 1 1 (x )dx (x )dx 2x dx x 21 x x       _{ } 







30. a. v A t  , dus A v t  b. gemiddelde snelheid: (0) (6) 4 10 2 2 7 v v _  _{ m/s}

c. De afgelegde afstand is dan 7 6 42  m 1 2 6 4 6 6 42 Opp      d. -e. 6 6 2 3 1 1 3 9 ₀ 0 24 A

_

t dt _ t _  m 31. a. 3 3 2 0 0 (2x1)dx _x x_ 12



b. Waarschijnlijk denk hij dat

2 3 3 2 0 0 ( ) ( ) f x dx _{ } f x dx_  





c. 3 3 3 2 2 4 3 2 3 ₀ 0 0 (2x1) dx  (4x 4x1)dx _ x 2x x_ 57





: hij heeft geen gelijk.

d. 12 12 3 3 ₃ 1 1 1 1 3 ₀ 3 3 0 0 2x1dx (2x1) dx _ (2x1) _ 2 7





32. a. 2 1 3 2 6x2x  x 3 2 2 1 1 1 2 2 6 2 ( 4 12) 2 ( 6)( 2) 0 0 6 2 x x x x x x x x x x x x                b. 2 2 2 2 2 3 2 3 ₀ 3 0 (6x2 )x dx_3x  x _ 6



c. 2 2 3 4 1 1 2 8 ₀ 0 2 x dx _ x _ 



d. 2 2 3 3 6 2 4 Opp   e. 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) g(x)) Opp

_

f x dx

_

g x dx 

_

f x  dx 33. a. 2 2 2 3 2 3 2 1 4 2 3 2 2 4 3 ₀ 3 0 0 (x 8x 15x3 )x dx  (x 8x 12 )x dx_ x 2 x 6x _ 6





De totale oppervlakte is 1 3 49 b. 6 6 6 3 2 3 2 1 4 2 3 2 4 3 ₀ 0 0 (3 x ( x 8x 15 ))x dx  ( x 8x 12 )x dx _ x 2 x 6x _ 36





De grafiek van g x( )f x( ) ligt voor 0 x 2 onder de x-as en voor 2 x 6 boven de x-as. De uitkomst is de oppervlakte van het rechter gebied min de oppervlakte van het linker gebied.

34. 7 2 x  3 x1 1 1 2 2 2 2 2 3 ₃ 1 1 1 2 3 3 1 1 7 2 9 6 1 ( 1) 6 1 3 3 36( 1) 9 18 9 9 18 27 9( 2 3) 9( 3)( 1) 0 3 1 ( 7 2 (3 1)) (7 2 ) 3 ( 1) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x Opp x x dx x x x                               



     _     _  35. _x3_{6x x}3_4x2_{12x \} 3 2 2 0 3 3 3 2 3 2 3 1 0 0 3 3 2 3 2 1 0 0 3 4 3 2 4 3 2 1 1 1 1 1 2 3 ₁ 2 3 ₀ 6 2 4 6 2 ( 2 3) 2 ( 3)(x 1) 0 0 3 1 (( 6 ) ( 4 12 )) (( 4 12 ) ( 6 )) (2 4 6 ) ( 2 4 6 ) 1 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x Opp x x x x x dx x x x x x dx x x x dx x x x dx x x x x x x                                            _   _  _   _  









1 2 2 3 22 23 36. a./b. 1 2 1 1 1,57 1dx x   



37. a. 4 3 2 1 2 3 21,15 x x dx    



c. 9 1 15 15,32 2 dx x x 



b. 3 2 2 3 log(x 1)dx 9,83   



5 5 (2x 2 )x _dx 0   



38. a. Voer in: 1 2 2 x y   en y₂  21x22 intersect: (-1, 1) en (2, 8) b./c. 2 1 ( 21_x 22 2 2 )x _dx 6,12     



39. 1 2 1 2 0,253 0,253

(cos( ) 2sin(2 )) (2sin(2 ) cos( ))

Opp x x dx x x dx    



 



  1 2 2,889 (cos( ) 2sin(2 ))x x dx 5,38  



  40. a. 5 5 2 0 0 9,8t dt _4,9t _ 122,5



meter.

b. Haar snelheid op tijdstip t 5 is v(5) 49 m/s. In 6 seconden is de snelheid afgenomen tot 4 m/s. De snelheid neemt dus per seconde af met 49 4

6 7,5m/s.

c. v t( ) 7,5t b

Deze gaat door (5, 49): 49 7,5 5   b 37,5b

b86,5 ( ) 7,5 86,5 v t   t d. 11 11 2 5 5 ( 7,5 t86,5)dt  _ 3,75t 86,5t_ 159



meter.

e. In totaal legt ze af: 122,5 159 70 4 561,5    meter. 41. a. f x'( ) 2x c. f p'( ) 2p '(1) 2 (1) 3 3 2 1 2 5 : 2 5 f en f b b b k y x               2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 p p p b p b b p y p x p                b. 1 1 1 2 2 1 3 2 1 3 ₀ 3 0 0 ( 2 5 (4 )) ( 2 1) G Opp  

_

x  x dx 

_

x  x dx _ x x x_  c. 2 2 2 2 0 0 ( 2 4 (4 )) ( 2 ) p p Opp 

_

p x  p  x dx

_

x  px p dx  1 3 2 2 1 3 3 ₀ 3 p x px p x p   _   _ 

42. a. 1 2 2 2 18 x x 6x18 2 1 1 2 2 1 6 1 ( 4) 0 0 4 (0, 18) (4, 10) x x x x x x en        b./c. 4 4 4 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 ₀ 0 0 (18 x (x 6x18))dx  ( 1 x 6 )x dx  _ x 3x _ 16





43. a. _{x x}2_{( 1)}2 _{x x}2₍ 2 _{2x 1) x}4_2x3_x2 b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) 2 1 2 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x f x x x x x x x x x x x                 c. 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ( 1) ) 2 ( 1) x dx dx x x dx x x x x x            







2 2 1 1 1 1 1 6 2 3 1 1 1 1 ( 1) 1 x x x x        _   _   _{ }         44.

a. In 1 seconde gaat er _{2000  12}2 _{904 779 mm}3 _{water door de buis. Dat is in een}

uur 904 779 3600 3 257 203 263  mm3 _{3257 liter water.}

b. _{H 2R}2_{1000 2000 R}2

c. Als het deeltje heel dicht bij de rand zit dan is r R. Er geldt dan v 0. d. 0,012 0,012 2 2 0 0 2 2 2 2 0,012 9,048 H  

_

r dr   _{ }r    m3_/s

De hoeveelheid water per uur is dan 9,048 3600 1000 3257   liter.

e. _{2 k (0,012}2_{0 ) 1,44 10}2 _{ } 4_k 2 2 2 0,012 0,012 _0,012 2 2 3 2 4 2 2 2 0,012 0,012 4 0,012 ₀ 0 0 4 3 13889 2 (0,012 ) 2 (2 ) 2 4,52 10 / 0,45 / k H r r dr r r dr r r m s liter s    _          _  _    





f. 2 2 2 3 2 1 2 1 4 2 4 ₀ 0 0 2 ( ) 2 ( ) 2 R R R H  

_

k R r r dr  

_

kR r kr  dr   _kR  r  k r _  1 4 1 4 4 2 2 kR  kR

T-1.

a./b. Opp 2 (1) 2 (3) 2 (5) 2 3 2 5 2f  f  f       57 16 2 57  31,1

c. De breedte van elke kolom is 0,12. Het midden van het eerste deelinterval is 0,06.

d. Opp0,12 (0,06) 0,12 (0,18) ... 0,12 (5,94)f  f   f e. Oppsum(seq(0.12 , , 0.06, 5.94, 0.12) 31,32y1 x  T-2. a. 3 3 2 2 3 3 ₃ 3 2x dx x 18 18 36     _{ }    



b. 5 5 2 1 2 ₁ 1 (3x5)dx _1 x 5x_ 16



c. 7 7 5 1 6 1 2 6 2 ₇ 7 (x 7x 1)dx x 3 x x 14       _   _ 



d. 5 5 5 2 2 4 2 1 5 3 5 ₀ 0 0 (x 3) dx  (x 6x 9)dx _ x 2x 9x_ 920





T-3. a. 2 2 1 3 3 3 1 ( ) 2 2 3 f x x x x x        2 3 1 2 2 3 3 6 3 2 1 ( ) 6 F x x x x x        b. g x( ) x x 3x2 x 2 x121 3x221 2x 21 x        1 1 1 2 2 2 2 6 3 2 6 3 2 2 5 7 5 7 ( ) 4 4 G x  x  x  x  x x  x x  x c. 1 4 10 ( ) (5 3) H x  x d. ( ) 6 6(4 1) 12 4 1 k x x x      1 2 ( ) 3(4 1) 3 4 1 K x  x  x T-4. a. 3 x 4 0 4 0 4 x x     1 2 0 ₀ 1 4 4 3 4 2( 4) 16 A Opp x dx x     

_

 _  _  b. 112 112 0 0 3 4 2( 4) 2( 4) 16 112 p _p B Opp 



x dx_ x _  p   1 2 1 2 1 1 2( 4) 128 ( 4) 64 4 16 12 p p p p        T-5. 4 4 ₄ 2 2 3 1 1 1 2 1 8 8 24 3 ₀ 3 0 0 (( 2) (4 4)) ( 4 6) 2 6 5 Opp

_

x   x  dx 

_

x  x dx _ x  x x x_ 

T-6. a. f(1)_16₁3 en _{g(1) 1 } 2_{log(4) 3} 6 4 4 (4) 1 f  _  _{en g(4) 1 } 2_{log(1) 1} b./c. 4 2 1 6 (1 log(5 ) ) 1,81 Opp x dx x x      



T-7. a. 8x₃ 6 2₂ x x  _ 2 3 3 2 2 (8 6) 2 6 6 6 ( 1) 0 x 0 1 (1, 2) x x x x x x x x          b. 4 4 4 4 2 3 1 2 11 16 3 2 2 3 ₁ 1 1 1 8 6 2 6 6 ( x ) ( ) (6 6 ) 6 3 1 Opp dx dx x x dx x x x x x x      _{ } 



 



 



  _  _  c. ₃ 2 3 1 2 ₂ 1 1 1 8 6 3 8 (8 6 ) 8 3 5 a a a onder f x Opp dx x x dx x x x a a      _{ } 







  _  _    1 2 2 2 3 2 0 2 4 3 ( 1)( 3) 0 1 3 a a a a a a a a            