Analyse-gereedschappen voor systemen van starre lichamen en willekeurige (kinematische) verbindingen: voordracht voor het DET-colloquium "Leer der mechanismen", 1982-october-20

Analyse-gereedschappen voor systemen van starre lichamen

en willekeurige (kinematische) verbindingen

Citation for published version (APA):

Sol, E. J. (1982). Analyse-gereedschappen voor systemen van starre lichamen en willekeurige (kinematische) verbindingen: voordracht voor het DET-colloquium "Leer der mechanismen", 1982-october-20. (DCT rapporten; Vol. 1982.014). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1982

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

WE82.14 D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 1 A n a l v S e - q e r e e d S C h a D D e n voor s v s t e m e n v a n s t a r r e l i c h a m e n e n w i l l e k e u r i g e ( k i n e m a t i s c h e ) v e r b i n d i n o e n V o o r d r a c h t v o o r h e t D E T - c o l l o q u i u m " L e e r d e r m e c h a n i s m e n " 1 9 8 2 - o c t o b e r - 2 0 E g b e r t J Sol v a k g r o e p W F W W e r k t u i g b o u w k u n d e T e c h n i s c h e H o g e s c h o o l E i n d h o v e n S a m e n v a t t i n q D e z e v o o r d r a c h t t r a c h t e e n beeld t e g e v e n van d e s t a n d v a n z a k e n m.b.t. d e a n a l y s e van m e c h a n i s m e n . M e t b e h u l p v a n m o d e r n e s o f t w a r e k a n m e n t e g e n W Q o r d i g h e t ( n i e t - l i n e a i r e ) g e d r a g v a n s y s t e m e n b e s t a a n d e u i t s t a n d a a r d k o p p e l i n g e n i n e e n 3 - d i m e n s i o n a l e r u i m t e g o e d s i m u l e r e n en i n s o m m i g e g e v a l l e n r e e d s o p t i m a l i s e r e n . T e n b e h o e v e v a n m o d e l l e n voor h e t s p i e r - s k e l e t s t e l s e l van d e m e n s t r a c h t e n w i j e e n b i j d r a g e t e l e v e r e n aan d e r g e l i j k e a n a l y s e g e r e e d s c h a p p e n t e n e i n d e d e z e g e s c h i k t t e m a k e n voor d e a n a l y s e v a n s y s t e m e n m e t w i l l e k e u r i g e v e r b i n d i n g e n .

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 2 Inhoud I n l e i d i n g B e g r i p p e n e n v o o r b e e l d T h e o r i e

-

s t a r l i c h a a m

-

k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g ; c o n d i t i e e n k o p p e l i n g

-

b o o m s t r u c t u u r v a n l i c h a m e n e n k o p p e l i n g e n

-

s t e l s e l c o n d i t i e v e r g e l i j k i n g e n e n d e m a t r i x

-

w i l l e k e u r i g e v e r b i n d i n g e n / e f e m e n t e n T o e p a s s i n g e n

-

r a n g v a n d e m a t r i x

-

s i m u l e r e n , o p t i m a l i s e r e n S l o t 1 I n l e i d i n g E h van d e o n d e r z o e k s g e b i e d e n van d e a f d e l i n g W e r k t u i g b o u w k u n d e v a n d e TH E i n d h o v e n i s d e b i o m e c h a n i c a . Een v o o r b e e l d v a n b e n van d e o n d e r z o e k s - p r o j e c t e n i s d e o n t w i k k e l i n g van g e r e e d s c h a p w a a r m e e h e t k i n e m a t i s c h en d y n a m i s c h g e d r a g v a n het s p i e r - s k e l e t s t e l s e l g e a n a l y s e e r d kan w o r d e n . Dit s t e l s e l w o r d t d a a r b i j g e m o d e l l e e r d a l s e e n m e c h a n i s c h s y s t e e m b e s t a a n d e uit e e n w i l l e k e u r i g a a n t a l s t a r r e l i c h a m e n en w i l l e k e u r i g e v e r b i n d i n g e n i n e e n 3 - d i m e n s i o n a l e r u i m t e . In d e z e v o o r d r a c h t z a l g e t r a c h t w o r d e n o m e e n beeld t e g e v e n v a n d e s t a n d v a n z a k e n m.b.t. a n a l y s e - g e r e e d s c h a p p e n voor d e r g e l i j k e m e c h a n i s c h e s y s t e m e n . w i j beginnen E e t d e b e s c h r i j v i n g Y â M eeïì â â n t a l b a y r i p p a n sn u 2 i n t r û d ü c t i e v a n e e n v o o r b e e l d . A a n d e hand van d i t v o o r b e e l d z u l l e n w i j d e t h e o r i e r e g e l m a t i g t o e l i c h t e n . Bij d e t o e p a s s i n g e n z u l l e n w i j n a a s t het p r e s e n t e r e n v a n e n k e l e r e s u l t a t e n v a n d e t h e o r i e r e s u l t a t e n v a n e e n s i m u l a t i e m e t h e t m e c h a n i s m e - s i m u l a t i e s o f t w a r e pakket IMP ( S D R C , 1 9 7 9 ) l a t e n zien.

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 3 2 B e q r i D p e n e n v o o r b e e l d 2.1 m e c h a n i s c h e s y s t e m e n W i j s p r e k e n a f o m o n d e r e e n m e c h a n i s c h s y s t e e m e e n s t e l s e l l i c h a m e n t e v e r s t a a n w e l k e i n e e n 3 - d i m e n s i o n a l e r u i m t e b e w e g e n e n w a a r b i j t u s s e n d e l i c h a m e n a l l e r l e i v e r b i n d i n g e n a a n w e z i g m o g e n zijn. M e t b e t r e k k i n g t o t d e z e v e r b i n d i n g e n v e r o n d e r s t e l l e n wij d a t d e v e r b i n d i n g e n b e p e r k i n g e n o p k u n n e n l e g g e n a a n het k i n e m a t i s c h e g e d r a g van d e o n d e r l i n g v e r b o n d e n l i c h a m e n ( k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g e n ) o f d a t z i j b e l a s t i n g e n o p d i e l i c h a m e n u i t k u n n e n o e f e n e n ( e n e r g e t i s c h e v e r b i n d i n g e n ) . G e z i e n het f e i t d a t i n d e z e v o o r d r a c h t u i t s l u i t e n d n a a r a n a l y s e - g e r e e d s c h a p p e n v o o r h e t b e s t u d e r e n v a n h e t k i n e m a t i s c h e g e d r a g g e k e k e n z a l w o r d e n , k u n n e n w i j e n e r g e t i s c h e v e r b i n d i n g e n wij b u i t e n b e s c h o w i n g l a t e n . E e n a n d e r n a u w e l i j k v e r m e l d e v e r o n d e r s t e l l i n g i s d a t d e v e r v o r m i n g e n v a n d e l i c h a m e n v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n z i j n . Dit l e i d t t o t d e b e l a n g r i j k e v e r o n d e r s t e l l i n g d a t d e l i c h a m e n s t a r z i j n . 2.2 analvse-CIereedschaDDen W i j v e r s t a a n i n o n s g e v a l o n d e r e e n a n a l y s e - g e r e e d s c h a p e e n hul m i d d e l V O O d e a n a l y s e van e e n m e c h a n i s c h s y s t e e m w a a r m e e w i j t o t u i t s p r a k e n t r a c h t e n t e k o m e n o m t r e n t h e t g e d r a g van h e t s y s t e e m . K e n m e r k e n d v o o r g o e d e , z i n v o l l e a n a l y s e - g e r e e d s c h a p p e n i s d a t z i j l e i d e n t o t e e n e e n v o u d i g e g r o o t h e i d w a a r m e e het g e d r a g z o goed m o g e l i j k b e s c h r e v e n w o r d t . V o o r b e e l d e n h i e r v a n z i j n het b e p a l e n van het a a n t a l g r a d e n v a n v r i j h e i d m.b.v. d e r e g e l v a n G r U b l e r o f voor l i n e a i r e m a s s a - v e e r s y s t e m e n h e t b e p a l e n v a n e i g e n w a a r d e n e n - 4 .-,.-.m+..< i i 4 ".rrni,.-.rmrrrr G L Y C I I L I A A J . L l I ~ Z ! V U + i i i G I i e A l s w i j e e n e e n v o u d i g e , k e n m e r k e n d e g r o o t h e i d t r a c h t e n t e d e f i n i & r e n voor h e t k i n e m a t i s c h g e d r a g v a n e e n m e c h a n i s c h s y s t e e m d a t b l i j k e n w i j op e e n a a n t a l m o e i l i j k h e d e n t e s t u i t e n . Zo z i j n d e v e r g e l i j k i n g e n t.g.v. a l l e r l e i s i n u s e n c o s i n u s t e r m e n n i e t - l i n e a i r , z o d a t het g e d r a g n i e t m i d d e l s e e n c o n s t a n t e g r o o t h e i d v a s t t e l e g g e n is. O o k het t o e p a s s e n v a n d e r e g e l van G r ü b l e r biedt g e e n o p l o s s i n g . D e z e r e g e l g e l d t s l e c h t s voor e e n g r o t e , d o c h b e p e r k t e k l a s s e s y s t e m e n . B o v e n d i e n z e g t d e z e r e g e l n i e t s o v e r z o g e n a a m d e k i n e m a t i s c h e s i n g u l a r i t e i t e n w a a r b i j j u i s t het a a n t a l g r a d e n v a n v r i j h e i d van het s y s t e e m v e r a n d e r e n .

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 4

D e o p l o s s i n g v a n d i t p r o b l e e m i s d a t e e n m o d e l g e m a a k t w a a r m e e h e t g e d r a g v a n het s y s t e e m n a g e b o o s t , g e s i m u l e e r d k a n w o r d e n . M e t b e h u l p van z o ' n m o d e l kan n a g e g a a n w o r d e n w a t b i j v o o r b e e l d het v e r b a n d t u s s e n i n g a a n d e en u i t g a a n d e b e w e g i n g i s o f w a t het v e r l o o p van d e p o s i t i e o f o r i e n t a t i e van e e n punt o f l i c h a a m is. O p g r o n d v a n g e s t e l d e e i s e n k a n b e s l o t e n w o r d e n o f d i t g e d r a g aan d e e i s e n v o l d o e t o f d a t het e v e n t u e e l n o g v e r b e t e r d m o e t w o r d e n . I n d i e n h e t s i m u l a t i e p r o c e s e n i g e m a l e n herhaald w o r d t t e n e i n d e e e n g e g e v e n d o e l f u n c t i e t e m i n i m a l i s e r e n s p r e k e n wij o v e r o p t i m a l i s e r e n . O m t r e n t d e t o e g e p a s t e w e r k w i j z e van d e a n a l y s e g e r e e d s c h a p p e n k u n n e n w i j o n d e r s c h e i d m a k e n t u s s e n g r a f i s c h e , a n a l y t i s c h e o f c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n . O n d e r g r a f i s c h e g e r e e d s c h a p p e n w o r d t het w e r k e n m e t p e n , p a s s e r , p a p i e r e n t e k e n b o r d verstaan. O n d e r a n a l y t i s c h e g e r e e d s c h a p p e n v e r s t a a n w i j h e t t o e p a s s e n van r e g e l s z o a l s d i e v a n Grfibler e n het o p s t e l l e n e n u i t r e k e n e n v a n f o r m u l e s v o o r e e n b e p a a l d s y s t e e m . O n d e r d e c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n w o r d t het t o e p a s s e n van t e r m i n a l , c o m p u t e r e n s o f t w a r e v e r s t a a n . O m d a t b i j h e t u i t r e k e n e n van d e f o r m u l e s b i j a n a l y t i s c h e g e r e e d s c h a p p e n s t e e d s v a k e r r e k e n m a c h i n e s g e b r u i k t w o r d e n , l i j k t h e t o p h e t e e r s t e g e z i c h t m o e i l i j k o m e e n g r e n s t e t r e k k e n t u s s e n a n a l y t i s c h e en c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n . O n d e r a n a l y t i s c h e g e r e e d s c h a p p e n v e r s t a a n w i j h e t u i t r e k e n e n van f o r m u l e s d i e m e t d e hand o p g e s t e l d z i j n e n s l e c h t s voor &!en b e p a a l d

m e c h a n i s c h e s y s t e e m g e l d e n . M e t c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n b e d o e l e n wij s o f t w a r e w a a r m e e d e f o r m u l e s voor s y s t e m e n m e t e e n w i l l e k e u r i g a a n t a l l i c h a m e n e n w i l l e k e u r i g e v e r b i n d i n g e n a u t o m a t i s c h o p g e s t e l d e n o p g e l o s t k u n n e n w o r d e n . C o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n s t a a n i n v e r g e l i j k i n g m e t g r a f i s c h e e n a n a l y t i s c h e g e r e e d s c h a p p e n nog in d e k i n d e r s c h o e n e n . D e r e d e n h i e r v o o r i s d a t e n e r z i j d s d e h a r d w a r e p a s d e l a a t s t e j a r e n o p g r o t e s c h a a l b e s c h i k b a a r i s g e k o m e n e n d a t a n d e r z i j d s s o f t w a r e g e r e e d s c h a p p e n z o a l s p r o g r a m m e e r t a l e n , ' d a t a - b a s e ' - t e c h n i e k e n e n b i b l i o t h e k e n m e t n u m e r i e k e e n g r a f i s c h e r o u t i n e s nog v o l o p i n o n t w i k k e l i n g z i j n . In de r e s t v a n d e z e v o o r d r a c h t z u l l e n wij u i t s l u i t e n d o v e r c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e a n a l y s e - g e r e e d s c h a p p e n s p r e k e n . D a a r b i j z a l b l i j k e n d a t w i j m e t c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n s t e e d s b e t e r i n s t a a t z i j n o m a l l e r l e i m e c h a n i s c h e s y s t e m e n t e s i m u l e r e n e n o p t i m a l i s e r e n . B o v e n d i e n z a l d u i d e l i j k w o r d e n d a t w i j in h e t k a d e r van

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 5 c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n o o k o v e r è è n e e n v o u d i g e , k e n m e r k e n d e a n a l y s e g r o o t h e i d k u n n e n b e s c h i k k e n . D e z e g r o o t h e i d , e e n r a n g v a n e e n nog t e d e f i n i ë r e n m a t r i x , b l i j k t z e l f m e e r o v e r e e n m e c h a n i s m e t e k u n n e n z e g g e n d a n d e r e g e l v a n G r u b l e r . 2.3 i n t r o d u c t i e v a n v o o r b e e l d f i g u u r 1 H e t v o o r b e e l d W i j z u l l e n d e t h e o r i e e n d e t o e p a s s i n g e n r e g e l m a t i g t o e l i c h t e n a a n d e hand van h e t v o o r b e e l d z o a l s g e s c h e t s t i n f i g u u r 1 . W i j v e r o n d e r s t e l l e n d a t d i t m e c h a n i s c h e s y s t e e m u i t s l u i t e n d b e w e g i n g e n i n e e n p l a t v l a k u i t z a l voeren. H e t s y s t e e m b e v a t i n c l u s i e f d e v a s t e w e r e l d 10 l i c h a m e n , 10 l i j n s c h a r n i e r e n en 2 r e c h t g e l e i d i n g e n . M e t b e h u l p v a n d e r e g e l v a n Grijbler v i n d e n wij het

a a n t a l g r a d e n v a n vrijheid:

v r i j h e i d s g r a d e n = 3

*

f l i c h a m e n - 1 1

-

2

*

k o p p e l i n g e n

= 3

Dit b e t e k e n t d a t w a n n e e r wij d e p o s i t i e v a n h e t e i n d p u n t v a n d e hand t.o.v. d e x en y as en d e orientatie van d e hand t.o.v. de x a s voorschrijven, d e

h o e k v e r d r a a i i n g e n v a n d e 1 0 l i j n s c h a r n i e r e n e n d e V e r l e n g i n g e n o f v e r k o r t i n g e n v a n d e 2 r e c h t g e l e i d i n g e n e e n d u i d i g v a s t l i g g e n . M e t a n d e r e w o o r d e n , a l s w i j d e b e w e g i n g v a n d e hand a l s f u n c t i e van d e t i j d v o o r s c h r i j v e n d a n i s het v e r l o o p v a n d e h o e k v e r d r a a i i n g e n e n v e r l e n g i n g e n t e b e p a l e n .

DET-colloquium 1982-oct-20 EJS 6

Dit voorbeeld is afgeleid van d e kleine robot 'IRb-6'

van

A S E A . W i j

veronderstellen dat de robot een lastoorts in zijn hand houdt waarmee steeds

opnieuw een las gelegd wordt. Wij eisen dat hierbij d e hand met een constante

snelheid langs een rechte lijn getrokken wordt en

via

een boog weer terug

keert bij het beginpunt voor de volgende rechte lijn beweging. Met deze

voorgeschreven beweging wordt alleen d e x , y positie van het eindpunt van de

handlzaagmachine vastgelegd. Ten aanzien van d e hoek tussen d e hand en d e x-as, de derde vrijheidsgraad, veronderstellen w i j dat deze ten alle tijden nul is. De lastoorts zal dan een constante hoek met het werkstuk houden.

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 7

3 T h e o r i e

3.1 E e n star l i c h a a m i n d e r u i m t e

D e b e w e g i n g e n v a n e e n s t a r l i c h a a m

i n

d e r u i m t e ( f i g u u r 2 ) kunnen wij m e t b e h u l p van e e n z e s t a l s c a l a i r e g r o o t h e d e n v a s t l e g g e n . M e t 3 van d e 6 g r o o t h e d e n l e g g e n wij d e p o s i t i e v a n e e n punt v a n h e t l i c h a a m t.o.v. e e n g l o b a l e basis vast. M e t d e d r i e o v e r i g e g r o o t h e d e n k u n n e n wij d e o r i e n t a t i e v a n e e n l i c h a a m s g e b o n d e n b a s i s 9 t.o.v. d e globale basis -*i g -*O v a s t l e g g e n .

f i g u u r 2 Een s t a r l i c h a a m

i n

d e r u i m t e W i j z u l l e n voor d e 3 p o s i t i e g r o o t h e d e n d e c o m p o n e n t e n t.o.v. d e g l o b a l e b a s i s -*O -* d e z e v e c t o r t.o.v. d e g l o b a l e b a s i s s c h r i j v e n wij: v a n d e p o s i t i e v e c t o r r g e b r u i k e n . V o o r d e m a t r i x r e p r e s e n t a t i e v a n -* O O O +O

r = C

r

_{x 8}

r _{y ’} r_z l g A l s wij h e t z e l f d e d o e n v o o r d e o r i e n t a t i e t e n s o r

E!

d a n v i n d e n wij e e n 3

x

3 m a t r i x m e t 9 c o m p o n e n t e n R 1 1

..

R33: ( 2 )

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 8 D e z e 9 c o m p o n e n t e n b l i j k e n a a n 6 o r t h o n o r m a l i t e i t s v o o r w a a r d e n t e m o e t e n voldoen. I n p l a a t s v a n 9 c o m p o n e n t e n e n 6 v o o r w a a r d e n k u n n n e n wij o o k e e n d r i e t a l g r o o t h e d e n 'pl, 'p2, 'pg i n t r o d u c e r e n d i e n i e t a a n b e p a a l d e v o o r w a a r d e n m o e t e n voldoen. € e n v o o r b e e l d v a n d e r g e l i j k e g r o o t h e d e n z i j n d e E u l e r h o e k e n ( W i t t e n b u r g , 1977, p 1 9 - 2 3 ) . W i j z u l l e n o n d e r d e s t a n d - c o 8 r d i n a t e n g r o o t h e d e n v e r s t a a n w a a r m e e d e s t a n d ( p o s i t i e e n o r i e n t a t i e ) v a n è è n o f m e e r d e r e l i c h a m e n t.o.v. d e g l o b a l e b a s i s v a s t g e l e g d k a n w o r d e n . V o o r è è n l i c h a a m n o t e r e n wij d e s t a n d - c o 8 r d i n a t e n a l s volgt: T O O O rz,

v1

I

w 2 ,

( P ~ 3 Y '

5

= E r x , r D e p o s i t i e v e c t o r e n d e o r i e n t a t i e t e n s o r k u n n e n w i j a l s f u n c t i e v a n d e s t a n d - c o ö r d i n a t e n u i t s c h r i j v e n : 3.2 K i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g e n W i j k u n n e n t u s s e n t w e e l i c h a m e n e e n z o g e n a a m d e k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g a a n b r e n g e n d i e b e p e r k i n g e n o p l e g t a a n d e r e l a t i e v e b e w e g i n g e n van d i e l i c h a m e n . T u s s e n d e l i c h a a m s - b a s e s i n t r o d u c e r e n w i j e e n r e l a t i e v e p o s i t i e v e c t o r c e n e e n r e l a t i e v e o r i e n t a t i e t e n s o r (I: ( z i e f i g u u r 3 ) . De b e p e r k i n g e n , d i e d e z e v e r b i n d i n g e n o p l e g g e n a a n d e r e l a t i e v e b e w e g i n g e n t u s s e n d e l i c h a m e n , n o t e r e n w i j a l s v o l g t i n f o r m u l e vorm: -b ( 5 1

.

.

f n c I en O

<

nc Q 6 =

E

f l T fí

5,

(I: 1 =

0

m e t f De v e r z a m e l i n g v a n n v e r g e l i j k i n g e n , c o n d i t i e - e l e m e n t e n , z u l l e n w i j e e n c o n d i t i e n o e m e n . € e n c o n d i t i e kan t u s s e n t w e e l i c h a m e n s l e c h t s b e s t a a n u i t m i n i m a a l O en m a x i m a a l 6 c o n d i t i e - e l e m e n t e n . C

DET-colloquium 1982-oct-20 EJS 9

figuur 3 Een kinematische verbinding

A l s voorbeeld van een conditie beschouwen

wij

een rechtgeleiding waarvan d e

geleidingsrechte evenwijdig loopt aan d e x-as loopt. Voor deze conditie geldt

dat het verschil tussen de Euler hoeken en de y en

z

componenten van d e

positie vectoren nul is:

(6) o r j

-

o i

Y r Y

O n

Veronderstel dat een mechanisch systeem uit n+l lichamen B , . . , B bestaat

met tussen die lichamen m condities C , . . , C

.

Hierin i s lichaam B d e vaste wereld. De rest van het systeem bevat dan 6 n onbekende

stand-coardinaten, alle opgeslagen in 5 . De beperkingen waaraan het

kinematische gedrag onderhevig i s , worden beschreven door een stelsel van n

1 m O C -.-...A4 I-;

*-.,

..."."*7; 41,; ..P.*... L U I I U I I I C V C A y C A I J ~ A I I Y C I I .

f ( x ) = o

met n = f n J C C

-

j= 1

In o n s 2-dimensionale voorbeeld hebben

wij

9+1 lichamen, resp. 3 x 9 = 27

onbekenden stand-co8rdinaten en 12 x 2 = 24 vergelijkingen.

Ten behoeve van het simuleren en optimaliseren zullen

wij

trachten d e waarden

o f het verloop van d e waarden van d e stand-coördinaten te bepalen. Indien w i j over waarden voor alle 6 n stand-coördinaten beschikken, dan liggen daarmee ook d e posities en orientaties van alle lichamen vast. Deze

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - a c t - 2 0 EJS 1 0

k u n n e n w i j i n t a b e l - v o r m a f d r u k k e n o f g e b r u i k e n o m h e t s y s t e e m i n d i e s t a n d t e t e k e n e n . A l s wij o v e r het v e r l o o p v a n 5 als functie van een aantal

o p e e n v o l g e n d e s t a n d e n o f a l s f u n c t i e v a n d e t i j d b e s c h i k k e n , d a n k u n n e n wij z e l f s g r a f i e k e n t e k e n e n o f b e w e g e n d e b e e l d e n t o n e n . M e r k o p d a t wij v o o r h e t b e r e k e n e n v a n d e s t a n d - c o 8 r d i n a t e n e e n s t e l s e l a l g e b r a i s c h e v e r g e l i j k i n g e n m o e t e n o p l o s s e n d a t e e n i m p l i c i e t s t e l s e l n i e t - l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n vormt. V o o r e e n d e r g e l i j k s t e l s e l i s het b e s t a a n van e e n o p l o s s i n g n i e t z o n d e r m e e r g e g a r a n d e e r d . W i j z o u d e n , i n p l a a t s v a n het o p l o s s e n van e e n s t e l s e l van 24 v e r g e l i j k i n g e n m e t 27 o n b e k e n d e n , l i e v e r e e n k l e i n e r s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n met e e n k l e i n e r a a n t a l o n b e k e n d e n o p l o s s e n . Met b e h u l p v a n d e b e g r i p p e n g e g e n e r a l i s e e r d e i l a g r a n g e c o ö r d i n a t e n e n k o p p e l i n g e n b l i j k t h e t m o g e l i j k t e z i j n o m e e n k l e i n e r s t e l s e l t e f o r m u l e r e n .

+

W i j k u n n e n d e v e c t o r c en t e n s o r U: i n principe uitschrijven als functie van n = 6

-

n z o g e n a a m d e g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a t e n

9 .

D e z e g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a t e n k i e z e n wij z o d a n i g d a t : q C e n h e r s c h r e v e n k a n w o r d e n tot: w a a r b i j t e n a l l e t i j d e n voor a l l e CJ a u t o m a t i s c h a a n d e c o n d i t i e s v o l d a a n w o r d t . K i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g e n w a a r v a n d e v e c t o r c en d e t e n s o r U: a l s f u n c t i e v a n g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a t e n .g o p g e g e v e n z i j n , z u l l e n wij KOppBIIIIyen noeinen

.

+

a _ _ - - - : - - A l s w i j d e r e c h t g e l e i d i n g a l s k o p p e l i n g i.p.v. e e n c o n d i t i e b e s c h r i j v e n d a n z a l het d u i d e l i j k z i j n d a t d e 5 c o n d i t i e v e r g e l i j k i n g e n d o o r e e n g e g e n e r a l i s e e r d e c o 8 r d i n a a t vervangen w o r d e n . H e t v e r v a n g e n d o o r d r i e E u l e r h o e k e n v a n d e 9 c o m p o n e n t e n van d e o r i e n t a t i e t e n s o r d i e a a n E v o o r w a a r d e n m o e s t e n v o l d o e n i s i n f e i t e een s o o r t g e l i j k p r o c e s .

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 E3S 1 1

3.3 De b o o m s t r u c t u u r v a n l i c h a m e n en k o p p e l i n g e n

W e d e r o m b e s c h o u w e n w i j e e n m e c h a n i s c h s y s t e e m b e s t a a n d e u i t ncl l i c h a m e n e n m k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g e n w e l k e o n d e r v e r d e e l d z i j n i n e e n a a n t a l c o n d i t i e s e n e e n a a n t a l k o p p e l i n g e n . B i j het s a m e n v o e g e n van d e o n d e r d e l e n v a n het s y s t e e m b e g i n n e n wij m e t het o p z e t t e n van e e n b o o m s t r u c t u u r van l i c h a m e n e n

k o p p e l i n g e n .

E e n b o o m s t r u c t u u r d e f i n i s r e n w i j a l s e e n s t r u c t u u r van l i c h a m e n e n

k o p p e l i n g e n w a a r b i j h e t s t e e d s m o g e l i j k i s o m l a n g s e e n e e n d u i d i g pad van l i c h a m e n e n k o p p e l i n g e n v a n het e n e l i c h a a m n a a r e e n a n d e r l i c h a a m t e l o p e n . V a n d e z e e i g e n s c h a p m a k e n wij g e b r u i k o m v a n a f d e v a s t e w e r e l d s t e e d s l a n g s e e n e e n d u i d i g pad van k o p p e l i n g s - v e c t o r e n c en - t e n s o r e n U! n a a r i e d e r van d e l i c h a m e n t o e t e l o p e n ( z i e f i g u u r 4 ) .

*

f i g u u r 4 Een b o o m s t r u c t u u r van l i c h a m e n e n k o p p e l i n g e n

M e t a n d e r e w o o r d e n a l s w i j e e n m a a l d e g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a t e n ,g van

e n - t e n s o r e n Cj m e t j=1. .m berekenen. Door d e nu b e k e n d e

k o p p e l i n g s - v e c t o r e n e n - t e n s o r e n van het pad n a a r e e n b e p a a l d l i c h a a m o p t e t e l l e n resp. t e v e r m e n i g v u l d i g e n , k u n n e n w i j d e p o s i t i e v e c t o r e n r e n o r i e n t a t i e t e n s o r e n I% m e t

i=l..n

v a n d e

n

l i c h a m e n a l s m e d e d e 6 n s t a n d - c o 8 r d i n a t e n e e n d u i d i g b e r e k e n e n . a l l e m k o p p e l i n g e n k e n n e n , d a n k u n n e n wij o o k a l l e k o p p e l i n g s - v e c t o r e n *j c k k 4i

i

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 12

W i j k u n n e n in i e d e r s y s t e e m van l i c h a m e n e n k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g e n a l t i j d e e n b o o m s t r u c t u u r d e f i n i ë r e n . I n d i e n h e t s y s t e e m r e e d s e e n b o o m s t r u c t u u r b e z i t , h o e v e n wij n i e t s b i j z o n d e r m e e r t e d o e n . In het g e v a l e e n o f m e e r l i c h a m e n n i e t d.m.v. k o p p e l i n g e n a a n d e v a s t e w e r e l d v e r b o n d e n z i j n , m a k e n w i j d.m.v. d e i n t r o d u c t i e van een k o p p e l i n g m e t 6 g r a d e n van v r i j h e i d a l s n o g e e n b o o m s t r u c t u u r . In h e t g e v a l van g e s l o t e n k i n e m a t i s c h e k e t e n s z u l l e n wij p e r k e t e n d e z e b i j e e n k o p p e l i n g o p e n b r e k e n e n o p d e p l a a t s van d e k o p p e l i n g e e n c o n d i t i e i n t r o d u c e r e n . A l s wij i n h e t g e v a l van o n s v o o r b e e l d e e n b o o m s t r u c t u u r w i l l e n a a n b r e n g e n , d a n m o e t e n w i j e e n d r i e t a l g e s l o t e n k e t e n s o p e n b r e k e n . De b o o m s t r u c t u u r d i e d a n o n t s t a a t b e v a t 9 k o p p e l i n g e n m e t 9 g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a t e n . T o e p a s s e n v a n d e r e g e l van G r u b l e r o p d e z e b o o m s t r u c t u u r van l i c h a m e n e n k o p p e l i n g e n r e s u l t e e r t in: v r i j h e i d s g r a d e n = 3

*

( I O

-

1 )

-

2

*

9 = 9 3.4 H e t s t e l s e l v e r q e l i i k i n q e n e n d e m a t r i x m e t p a r t i e e l a f a e l e i d e n W a n n e e r voor d e 9 g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a t e n e e n w i l l e k e u r i g e w a a r d e g e k o z e n w o r d t , l i g g e n d e p o s i t i e s e n o r i e n t a t i e s v a n a l l e l i c h a m e n , d e s t a n d van het s y s t e e m , e e n d u i d i g vast. De w a a r d e n v o o r d e 9 g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a t e n m o g e n wij niet w i l l e k e u r i g k i e z e n . D e z e m o e t e n a a n 3 x 2 c o n d i t i e - v e r g e l i j k i n g e n voldoen. I n f o r m u l e vorm: ( 9 )

f(

A g ) ,

C ( g )

1 =

0

m e t 6 v e r g e l i j k i n g e n en 9 o n b e k e n d e n . O p d i t o g e n b l i k i n t r o d u c e r e n w i j e e n a n d e r e n a a m g e v i n g v o o r d e c o ö r d i n a t e n .cf. H e t i s g e b r u i k e l i j k o m h e t b e g r i p g e g e n e r a l i s e e r d e c o a r d i n a t e n t e r e s e r v e r e n voor v r i j t e v a r i e r e n c o ö r d i n a t e n . I n o n s s y s t e e m v a n l i c h a m e n e n k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g e n z i j n d e g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a t e n van a l l e k o p p e l i n g e n na s a m e n v o e g e n n i e t m e e r z o n d e r m e e r v r i j t e v a r i ë r e n . I n n a v o l g i n g van P a u l ( 1 9 7 9 , p2671 z u l l e n w i j b i j e e n m e c h a n i s c h s y s t e e m o v e r L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n ,g s p r e k e n . n a a m g e v i n g g e g e n e r a l i s e e r d e c o ö r d i n a a t r e s e r v e r e n wij voor L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n v a n h e t s y s t e e m w e l k e v r i j t e v a r i ë r e n zijn. De

1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 13

H e t s t e l s e l van 24 v e r g e l i j k i n g e n m e t 27 o n b e k e n d e n h e b b e n wij v e r v a n g e n door e e n k l e i n e r s t e l s e l v a n 6 v e r g e l i j k i n g e n m e t 9 o n b e k e n d e n o p l o s s e n . In p l a a t s v a n e e n o p l o s s i n g v o o r d e s t a n d - c o ö r d i n a t e n 5 t e b e p a l e n , t r a c h t e n wij nu e e n o p l o s s i n g v o o r d e L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n ,g t e b e r e k e n e n . b o o m s t r u c t u u r v a n l i c h a m e n e n k o p p e l i n g e n k u n n e n w i j b i j e e n e e n m a a l b e k e n d e cf e e n v o u d i g d e b i j b e h o r e n d e 5 bepalen. D a n k z i j d e H e t i s v a n b e l a n g o m v o o r h e t s i m u l e r e n o v e r e e n s t e l s e l v a n n c o n d i t i e - v e r g e l i j k i n g e n m e t n o n b e k e n d e L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n t e b e s c h i k k e n w a a r b i j n = n

.

D o o r a a n 3 w i l l e k e u r i g e L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n e e n w a a r d e t o e t e k e n n e n , o n t s t a a t e e n s t e l s e l v a n 6 v e r g e l i j k i n g e n v o o r d e n o g 6 o n b e k e n d e L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n . Het i s e c h t e r i n t e r e s s a n t e r o m d e p o s i t i e e n o r i e n t a t i e v a n d e hand m i d d e l s e e n c o n d i t i e v o o r d e

x.

d e y e n d e cp c o 8 r d i n a t e n voor t e s c h r i j v e n . D e z e c o n d i t i e b e s t a a t u i t 3 v e r g e l i j k i n g e n d i e wij a a n het s t e l s e l v a n 6 v e r g e l i j k i n g e n t o e v o e g e n . H i e r d o o r o n t s t a a t e e n s t e l s e l v a n 9 v e r g e l i j k i n g e n m e t 9 o n b e k e n d e n . I n f o r m u l e v o r m C 9 C q Een b e l a n g r i j k e g r o o t h e i d v o o r h e t o p l o s s e n van d i t s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n i s d e p a r t i e e l a f g e l e i d e v a n d e c o n d i t i e - v e r g e l i j k i n g e n n a a r d e L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n . D e z e g r o o t h e i d , d o o r w i s k u n d i g e n d e Jacobiaar! geneemca, d e f i n i ë r e n wij a l s volgt: I n h e t g e v a l v a n o n s v o o r b e e l d w o r d t

p

e e n 9

x

9 g r o t e m a t r i x . A l s wij h e t stelsel ?In 9 vergelijkingen m e t 9 o n b e k e n d e n o p w i l l e n l o s s e n , m a g d e z e m a t r i x

p

n i e t s i n g u l i e r z i j n . I n d i e n t.g.v. a f h a n k e l i j k h e d e n t u s s e n d e r i j e n o f k o l o m m e n g e e n v o l l e r a n g b e z i t , s i n g u l i e r i s , b l i j k e n wij g e e n o p l o s s i n g t e k u n n e n b e r e k e n e n . W i j s p r e k e n v a n e e n k i n e m a t i s c h e s i n g u l a r i t e i t v a n h e t s y s t e e m i n d i e n

p

g e e n v o l l e r a n g bezit. In d a t g e v a l z u l l e n w i j na m o e t e n g a a n w e l k e c o n d i t i e o f L a g r a n g e c o ö r d i n a a t d e a f h a n k e l i j k h e i d v e r o o r z a a k t e n w e g g e l a t e n m o e t w o r d e n . D e z e s i t u a t i e t r e e d t b i j o n s v o o r b e e l d o p i n d i e n h e t p a r a l l e l l o g r a m m e c h a n i s m e m e t o o r s p r o n k e l i j k 4 l i j n s c h a r n i e r e n e e n g e b i e d o m s l u i t m e t e e n o p p e r v l a k t e g e l i j k a a n n u l ( p l a t g e d r u k t is).

DET-collOqUiUm 1982-act-20 EJS 1 4

Merk op d a t

p

een f u n c t i e i s van CJ en d a t een v e r a n d e r i n g van de s t a n d ,g

en dus

p

eveneens v e r a n d e r e n , waardoor ook de r a n g van

p

( p l o t s e l i n g ) kan v e r a n d e r e n . H e t b l i j k t d a t k i n e m a t i s c h e s i n g u l a r i t e i t e n a f h a n k e l i j k kunnen z i j n van de s t a n d w a a r i n h e t systeem z i c h b e v i n d t . Een v o o r b e e l d h i e r v a n z i j n d e d o d e - s t a n d e n v a n een mechanisme. A l v o r e n s aan t e geven hoe d e r a n g van

p

a l s kenmerkende a n a l y s e g r o o t h e i d g e b r u i k t kan worden, z u l l e n w i j e e r s t i n h e t k o r t aan geven hoe w i l l e k e u r i g e v e r b i n d i n g e n opgebouwd en i n r e k e n i n g g e b r a c h t worden.

3.5 W i l l e k e u r i e e k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n e e n

C o n d i t i e s en k o p p e l i n g e n z i j n k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g e n d i e w i j op kunnen bouwen u i t c o n d i t i e - e l e m e n t e n r e s p . k o p p e l i n g s e l e m e n t e n . I n g e w i k k e l d e

k i n e m a t i s c h e v e r b i n d i n g e n kunnen zodoende samengesteld worden u i t een a a n t a l e e n v o u d i g e r e l e m e n t e n . Deze e l e m e n t e n kunnen o p g e s l a g e n worden i n een

b i b l i o t h e e k z o d a t w i j b i j h e t d e f i n i ë r e n van een w i l l e k e u r i g v e r b i n d i n g e n e e n v o u d i g e n i g e e l e m e n t e n samen hoeven t e voegen. De u i t w e r k i n g van deze w e r k w i j z e i s een z u i v e r s o f t w a r e a a n g e l e g e n h e i d d i e h i e r b u i t e n beschouwing g e l a t e n W o r d t . W i j merken a l l e e n op d a t aan d i t p r o c e s een a a n t a l e i s e n g e s t e l d worden.

Eet a a n t a l canditie-elementen en h e t z z n t s l Lagrange c o B r d i n a t e n mag n o o i t meer dan 6 b e d r a g e n d a a r dan ongewenste a f h a n k e l i j k h e d e n o p t r e d e n . Deze a f h a n k e l i j k h e d e n kunnen ook o p t r e d e n i n d i e n h e t a a n t a l c o n d i t i e - e l e m e n t e n o f h e t a a n t a l L a g r a n g e c o a r d i n a t e n m i n d e r b e d r a a g t dan 6 . Om d i t t e

c o n t r o l e r e n d i e n e n w i j b i j d e c o n d i t i e en k o p p e l i n g e n ook de p a r t i e e l a f g e l e i d e n van de c o n d i t i e - v e r g e l i j k i n g e n n a a r d e s t a n d - c o ö r d i n a t e n resp. van de v e c t o r c en t e n s o r 6: n a a r d e Lagrange c o ö r d i n a t e n op t e

s t e l l e n . Deze m a t r i c e s z u l l e n w i j h i e r n i e t n a d e r d e f i n i ë r e n . W i j merken s l e c h t s op d a t deze m a t r i c e s een v o l l e r a n g van n r e s p . n moeten b e z i t t e n . A l s d a t n i e t h e t g e v a l i s , z u l l e n i n d e m a t r i x a f h a n k e l i j k h e d e n op t r e d e n . H i e r d o o r z a l d e m a t r i x geen v o l l e r a n g b e z i t t e n en kunnen w i j b i j h e t s i m u l e r e n en o p t i m a l i s e r e n geen o p l o s s i n g v o o r de c o n d i t i e v e r g e l i j k i n g e n berekenen. -? C q

D E T - c o l l O q U i U m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 E J S 15 Het o p s t e l l e n v a n d e c o n d i t i e - v e r g e l i j k i n g e n e n d e z o j u i s t g e i n t r o d u c e e r d e m a t r i x i s g e e n e e n v o u d i g e zaak. Bij c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e a n a l y s e - g e r e e d s c h a p p e n k u n n e n wij h e t o p s t e l l e n van d e c o n d i t i e - v e r g e l i j k i n g e n e n d e m a t r i x e n h e t b e r e k e n e n van d e r a n g g e h e e l a u t o m a t i s c h l a t e n v e r r i c h t e n . I n d i t k a d e r d i e n e n w i j o n s t e r e a l i s e r e n d a t d e c o n d i t i e s f b i j h e t g e b r u i k v a n e e n e l e m e n t e n b i b l i o t h e e k h e t e e n v o u d i g s t a l s f u n c t i e van d e s t a n d - c o ö r d i n a t e n o p t e g e v e n z i j n , t e r w i j l d e

p

m a t r i x e e n f u n c t i e i s v a n d e L a g r a n g e c o a r d i n a t e n

9.

H e t b l i j k t d a t i n e e n r e k e n p r o g r a m m a o o k h e t o m z e t t e n v a n d e c o n d i t i e s g e f o r m u l e e r d in 5 n a a r c o n d i t i e s g e f o r m u l e e r d m.b.v. g e h e e l a u t o m a t i s c h u i t g e v o e r d k a n worden.

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - 0 c t - 2 a E J S 1 6 4 T o e p a s s i n q e n D e t o e p a s s i n g e n d i e n a d e r b e s t u d e e r d z u l l e n w o r d e n c o n c e n t r e r e n z i c h r o n d het g e b r u i k v a n d e

p

m a t r i x . D e z e m a t r i x k u n n e n w i j z o w e l a l s k e n m e r k e n d e a n a l y s e g r o o t h e i d g e b r u i k e n a l s w e l b i j h e t s i m u l e r e n e n o p t i m a l i s e r e n . D e

p

m a t r i x e n i n h e t b i j z o n d e r d e r a n g van d e

p

m a t r i x b l i j k e n v o o r m e c h a n i s c h e s y s t e m e n b e l a n g r i j k e , k e n m e r k e n d e a n a l y s e g r o o t h e d e n t e zijn. V o o r c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d a n a l y s e - g e r e e d s c h a p i s d e z e g r o o t h e i d m i n s t e n s

zo

b e l a n g r i j k a l s h e t b e g r i p g r a d e n v a n v r i j h e i d e n d e r e g e l van G r ü b l e r b i j a n a l y t i s c h g e r e e d s c h a p . I n d i e n

p

e e n v o l l e r a n g bezit. v o l g t u i t h e t v e r s c h i l t u s s e n h e t a a n t a l g r a d e n v a n v r i j h e i d v a n d e b o o m s t r u c t u u r v a n l i c h a m e n e n k o p p e l i n g e n e n d e r a n g van d e

p

m a t r i x h e t a a n t a l r e s t e r e n d e , n o 3 v r i j t e k i e z e n , L a g r a n g e c o a r d i n a t e n . n = n - n syst b o o m r a n g m e t n = a a n t a l r e s t e r e n d e g r a d e n van vrijheid v a n s y s t s y s t e e m m e t c o n d i t i e e n k o p p e l i n g e n

n = a a n t a l graden van vrijheid v a n d e b o o m s t r u c t u u r b o o m

van P i c h a m e n er; koppelingen n = r a n g van

2

r a 3 9 Dit g e l d t n i e t a l l e e n v o o r m e c h a n i s c h e s y s t e m e n d i e m.b.t. d e r e g e l v a n G r ü b l e r r e g u l i e r g e n o e m d w o r d e n , m a a r o o k v o o r d e n i e t - r e g u l i e r e G r Ü b l e r m e c h a n i s m e n . A a n d e r a n g v a n

p,

d i e o n d e r m e e r a f h a n k e l i j k i s v a n d e stand v a n h e t s y s t e e m , k u n n e n w i j b o v e n d i e n k i n e m a t i s c h e s i n g u l a r i t e i t e n o n d e r k e n n e n . Dit i s b i j t o e p a s s e n v a n d e r e g e l van G r ü b l e r n i e t m o g e l i j k . Het e n i g e n a d e e l v a n h e t g e b r u i k v a n d e

p

m a t r i x en z i j n r a n g i s d a t h e t o p s t e l l e n en u i t r e k e n e n n a u w e l i j k m e t d e hand u i t g e v o e r d k a n w o r d e n . H e t g e b r u i k v a n g e s c h i k t c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d g e r e e d s c h a p i s o n v e r m i j d e l i j k .

D E T - c O l l O q U i U m 1 9 8 2 - a c t - 2 0 E J S 1 7 E e n t w e e d e t o e p a s s i n g v a n d e

p

m a t r i x v i n d e n wij b i j h e t s i m u l e r e n . h e t o p l o s s e n v a n h e t i m p l i c i e t e , n i e t - l i n e a i r e s t e l s e l a l g e b r a i s c h e v e r g e l i j k i n g e n w o r d t i n h e t a l g e m e e n h e t N e w t o n - R a p h s o n a l g o r i t m e g e b r u i k t . V o o r d e o p l o s s i n g v a n d e c o n d i t i e - v e r g e l i j k i n g e n f í c ~ i = o g e l d t d a t w a n n e e r

-

P e e n i n v e r s e b e z i t ( n i e t - s i n g u l i e r i s ) e n wij r e e d s o v e r e e n w a a r d e v a n ,4 b e r e k e n d m.b.v.: V o o r

i

*

i + 1 b e s c h i k k e n d i e r e e d s i n d e buurt v a n d e o p l o s s i n g CJ l i g t , d a t CJ i + 1

i

i

,g

= , 4 + AY i e e n b e t e r e o p l o s s i n g i s d a n

,g

.

h e r h a l e n , t e i t e r e r e n , v e r k r i j g e n w i j d e o p l o s s i n g

.

D o o r d i t p r o c e s e e n a a n t a l m a l e n t e

*

- f i g u u r 5 E n k e l e s t a n d e n v a n d e r o b o t W i j z u l l e n d i t i l l u s t r e r e n a a n d e r o b o t - h a n d .

v a n d e hand b e r e k e n d e n wij m e t het p r o g r a m m a p a k k e t IMP h e t d a a r b i j b e h o r e n d e v e r l o o p van d e L a g r a n g e c o B r d i n a t e n . In f i g u u r 5 z i j n e e n a a n t a l s t a n d e n g e s c h e t s t . w o r d e n , i s s l e c h t s e e n d e e l v a n d e r o b o t g e s c h e t s t a l s m e d e e n k e l e v a n d e s t a n d e n . a l s f u n c t i e v a n d e t i j d v o l g e n s h e t b e r e k e n d e v e r l o o p v o o r z o u d e n s c h r i j v e n , d a t d a n d e hand p r e c i e s d e g e e i s t e b e w e g i n g z o u m a k e n . G e g e v e n e e n g e e i s t e b e w e g i n g O m t e v o o r k o m e n d a t in d e t e k e n i n g t e v e e l f i j n e n g e t e k e n d z o u d e n M e r k o p d a t w a n n e e r w i j e e n d r i e t a l van d e z e L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n

D E T - c o l l o q u i u m 1982-act-20 E J S 18 Tot s l o t m e r k e n w i j o p d a t d e

p

m a t r i x ook g e b r u i k t k a n w o r d e n b i j d e o p t i m a l i s e r e n v a n m e c h a n i s c h e s y s t e m e n . L a g r a n g e c o ö r d i n a t e n van e e n s y s t e e m w a a r b i j n o g e e n a a n t a l r e s t e r e n d e v r i j h e i d s g r a d e n o v e r z i j n . In t e g e n s t e l l i n g t o t het s i m u l a t i e p r o b l e e m ( n c = n ) w a a r b i j i n p r i n c i p e &en o p l o s s i n g g e v o n d e n w o r d t , z a l b i j o p t i m a l i s e r i n g s p r o b l e m e n ín

>

n d e o p l o s s i n g g e k o z e n m o e t e n w o r d e n u i t d e v e r z a m e l i n g v a n m o g e l i j k e w a a r d e n v o o r

9

d i e a l l e a a n d e c o n d i t i e s v o l d o e n . Het o p t i m a l i s e r i n g s p r o b l e e m f o r m u e r e n w i j a l s volgt: G e g e v e n e e n a a n t a l v o o r w a a r d e n v a n d e v o r m fC,s) =

0

e n g e g e v e n e e n t e m i n i m a l i s e r e n d o e l f u n c t i e h í g ) t r a c h t e n wij d i e w a a r d e n v o o r d e v a r i a b e l e n g t e v i n d e n d i e a a n d e c o n d i t i e s v o l d a a n e n w a a r v o o r d e d o e l f u n c t i e m i n i m a a l is. A l s v a r i a b e l e n b e s c h o u w e n w i j d e 4 q C Het i s g e b r u i k e l i j k o m a l s d o e l f u n c t i e e e n , e v e n t u e e l g e w o g e n , s o m v a n k w a d r a t e n v a n a f w i j k e n i n g e n t u s s e n e e n v e r l a n g d e stand e n e e n f e i t e l i j k e stand t e f o r m u l e r e n . Uit a l l e m o g e l i j k e o p l o s s i n g e n k i e z e n wij d i e o p l o s s i n g .CJ w a a r b i j d e d o e l f u n c t i e , d e a f w i j k i n g e n , m i n i m a a l z i j n . In f o r m u l e vorm:

*

G e g e v e n : .CJ m e t n c o m p o n e n t e n 9 e n n c o n d i t i e s v o o r .g C O m d a t het r e s u l t a a t CJ a a n d e c o n d i t i e s m o e t v o l d o e n , m o g e n wij d e d o e l f u n c t i e z o n d e r b e z w a a r m.b.v. n L a g r a n g e m u l t i p l i c a t o r e n

4

h e r s c h r i j v e n tot: C ( 1 5 )

*

Voor b e i d e d o e l f u n c t i e s z a l h e t m i n i m u u m b i j d e z e l f d e w a a r d e CJ g e v o n d e n worden. B i j d e o p l o s s i n g

*

z a l f =

0

z o d a t h = h'. Een nodige

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 EJS 19 S a m e n m e t het o o r s p r o n k e l i j k e s t e l s e l c o n d i t i e - v e r g e l i j k i n g e n r e s u l t e e r t d e z e b e s c h o u w i n g i n h e t v o l g e n d e s t e l s e l v a n n + n v e r g e l i j k i n g e n m e t n o n b e k e n d e n in

g

e n n o n b e k e n d e n in

h :

c q 4 C ( 1 7 ) V o o r d e k o l o m m a t r i x T

tyg)

= 2

-1

i j

íg

1 b e h o r e n d e b i j o n z e h ( g ) geldt:

9 )

( 1 8 ) w a a r b i j d e J a c o b i a a n

2

o p g r o n d van d e b o o m s t r u c t u u r i n a n a l y t i s c h e v o r m i n e e n p r o g r a m m a b e r e k e n d k a n w o r d e n . ( H e t s t e l s e l ( 1 7 ) i s e e n n o d i g e v o o r w a a r d e voor e e n m i n i m u u m . W i j w e t e n pas z e k e r o f e e n m i n i m u u m g e v o n d e n i s i n d i e n d e H e s s i a a n van h ( g ) , d e t w e e d e a f g e l e i d e van d e t e m i n i m a l i s e r e n d o e l f u n c t i e , p o s i t i e f d e f i n i e t i s b i j d e g e v o n d e n o p l o s s i n g

g . )

Het z a l d u i d e l i j k z i j n d a t o p t i m a l i s e r e n m o e i l i j k e r i s d a n s i m u l e r e n d a a r het s t e l s e l o p t e l o s s e n a l g e b r a i s c h e v e r g e l i j k i n g e n g r o t e r wordt. I n het g e v a l v a n o n s v o o r b e e l d w a a r b i j s p r a k e i s van 6 c o n d i t i e v e r g e l i j k i n g e n e n 9 L a g r a n g e c o a r d i n a t e n o n t s t a a t e e n s t e l s e l van 15 v e r g e l i j k i n g e n m e t 1 5 o n b e k e n a e n . I n d i e n w i j h e t stelsel i n s t a n b - z o 8 r d i n a t e n geformuleerd hzc!den

d a n z o u d e n w i j nu m e t e e n s t e l s e l v a n 51 ( 2 4 + 2 7 1 v e r g e l i j k i n g e n e n 51 o n b e k e n d e n g e c o n f r o n t e e r d z i j n .

D e z e m a n i e r v a n o p t i m a l i s e r e n i s n i e t h e t s i m u l a t i e p r o g r a m m a IMP i n g e b o u w d , z o d a t w i j h i e r v a n g e e n r e s u l t a t e n k u n n e n l a t e n z i e n . V o o r t o e p a s s e n van = n a l y t i s c h gereedschap w a a r h i j men m e t d e hand d e v e r g e l i j k i n g e n o p g e s t e l d h e e f t e n d o o r d e c o m p u t e r l a a t o p l o s s e n , h e e f t m e n r e e d s o p l o s s i n g e n g e v o n d e n

( S u h and R a d c l i f f e , 1978; A n g e l e s , 1 9 8 2 ) . V o o r c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n w a a r b i j h e t o p s t e l l e n v a n d e v e r g e l i j k i n g e n v o o r w i l l e k e u r i g e s y s t e m e n a u t o m a t i s c h g e s c h i e d z i j n nog n a u w e l i j k s r e s u l t a t e n g e p u b l i c e e r d .

D E T - c o l l o q u i u m 1 9 8 2 - o c t - 2 0 _EJS 20 5 Slot A l s w i j d e z e v o o r d r a c h t s a m e n v a t t e n d a n k u n n e n w i j s t e l l e n d a t v o o r d e a n a l y s e v a n m e c h a n i s c h e s y s t e m e n in e e n 2- e n 3 - d i m e n s i o n a l e r u i m t e c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e a n a l y s e - g e r e e d s c h a p p e n b e s c h i k b a a r z i j n . Bij d e z e c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n b l i j k e n wij i n d e v o r m v a n d e

p

m a t r i x m e t p a r t i e e l a f g e l e i d e n o v e r e e n z i n v o l l e g r o o t h e i d t e b e s c h i k k e n w a a r m e e het k i n e m a t i s c h g e d r a g v a n e e n m e c h a n i s c h s y s t e e m g e k a r a k t e r i s e e r d k a n w o r d e n a l s m e d e s i m u l a t i e p r o b l e m e n o p g e l o s t k u n n e n w o r d e n . A a n het o p l o s s e n m.b.v. c o m p u t e r - g e o r i e n t e e r d e g e r e e d s c h a p p e n v a n h e t o p t i m a l i s e r i n g s p r o b l e e m w o r d t g e w e r k t . R e f e r e n t i e s A n g e l e s , J . 1 9 8 2 " S p a t i a l k i n e m a t i c c h a i n s " S p r i n g e r

-

V e r 1 a g , B e r l i n P a u i , B . î 9 7 9 " K i n e m a t i c s a n d d y n a m i c s o f p l a n a r m a c h i n e r y " P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N J . S u h , C.H. a n d R a d c l i f f e , C.W. 1 9 7 8 " K i n e m a t i c s a n d M e c h a n i s m s D e s i g n " tehn W i l e y a n d s o n s , N Y ; W i t t e n b u r g , J . 4977 " D y n a m i c s of s y s t e m s o f r i g i d b o d i e s " BG T e u b n e r , S t u t t g a r t