Hofkamp, Liselot, Educatief Ontwerpen, Wiskunde

1

EINDVERSLAG EDUCATIEF ONTWERPEN

Eindverslag Educatief Ontwerpen

Titel Wiskunde is relevant en leuk, dat is toch logisch?! Naam auteur(s) ir. Liselot Dikkers-Hofkamp

Studentnummer 12134988

Vakgebied Wiskunde

Doelgroep 4 VWO Wiskunde A

Variant Effectonderzoek

Opleiding Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam Links

Begeleider(s) Derk Pik, Laura Kubbe

Datum Juni 2019

Bibliografische referentie

Dikkers-Hofkamp, L. (2019). Wiskunde is relevant en leuk, dat is toch logisch?! Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA.

2

Samenvatting

Ontwerpvraagstuk

Leerlingen zien vaak het nut niet in van bètavakken. Zij ervaren het leertraject als een trein met voor alle schoolvakken afzonderlijke wagonnetjes waarvan de ramen geblindeerd zijn. Alleen de conducteur, in dit geval de docent, weet waar de reis naartoe gaat (Claxton, 1991). Daarom is het belangrijk dat leerlingen het nut inzien van wat zij moeten leren en door de context gemotiveerd raken om daadwerkelijk aan het werk te gaan (Dierdorp, Bakker, Eijkelhof, & Maanen, 2013). Ook zullen wiskundige denkactiviteiten het wiskundig denken bevorderen, waar onder andere het onderwerp Logisch redeneren (domein F uit het examenblad voor wiskunde C) zich uitstekend voor leent (Siersma, 2012).

Mijn ontwerpvraagstuk heb ik als volgt geformuleerd: ik wens leerlingen in de vierde klas een hogere nut en noodzaak van wiskunde in te laten zien (afhankelijke variabele) door een onderwerp te behandelen dat voor veel mensen niet direct op wiskunde lijkt (onafhankelijke variabele). Het onderwerp wiskundige logica kan hier goed voor ingezet worden.

Ontwerphypothese

Als ik de mate van relevantie die leerlingen in het vak wiskunde A voor 4VWO zien (probleem P) aanpak met een lessenserie gericht op betrokkenheid en participatie middels het onderwerp logisch redeneren (interventie X), dan verwacht ik dat deze leerlingen tijdens de les een hogere time-on-task laten zien (resultaat Y1), met meer plezier gaan werken aan hun taak (resultaat Y2) en nut en noodzaak van wiskunde A beter gaan inzien (resultaat Y3).

Omdat relevantie een breed begrip en zeer complex onderwerp is, gebruik ik de triangulatiemethode waarbij resultaten Y1, Y2 en Y3 alle drie kunnen bijdragen aan de probleemaanpak en mogelijk leiden tot het verhogen van relevantie die leerlingen in het vak wiskunde A voor 4VWO zien.

Ontwerpregels en lesmateriaal

Vanuit mijn ontwerphypothese heb ik ontwerpregels opgesteld met de volgende belangrijkste aspecten, die de basis vormen voor mijn lesontwerp:

- Ik wil inspelen op de belevingswereld van leerlingen en voorbeelden van raadsels levensecht uitvoeren om tot de verbeelding van leerlingen te spreken (context-based onderwijs) (Bennett, Lubben, & Hogarth, 2006). Ik wil leerlingen intensief in tweetallen laten werken zodat er discussie ontstaat en leerlingen lering kunnen halen uit de samenwerking (samenwerkend leren) (Volman, 2011). Hiermee verwacht een hogere time-on-task te realiseren.

- Ik wil complexe werkvormen gebruiken waarbij leerlingen een zelfevaluatie doen (bevordering van het zelfbeeld) (Middleton & Spanias, 1999), maar ook in tweetallen gaan reflecteren op hun denkmethoden (samenwerkend leren). Hiermee verwacht ik dat leerlingen met meer plezier aan hun taak gaan werken.

- Ik wil een open opdracht formuleren (wiskundige denkactiviteit) (Drijvers, van Streun, & Zwaneveld, 2016) waarbij leerlingen in werkgroepen aan de slag gaan en zelf hun onderwerp mogen kiezen (bevordering autonomie) (Woolfolk, Hughes, & Walkup, 2013). Verwachte uitkomst is dat leerlingen nut en noodzaak van wiskunde A beter gaan inzien.

Mijn ontworpen lessenserie ‘wiskundige logica’ kent de volgende inhoudelijke onderdelen: logische problemen kunnen analyseren en oplossen; logische symbolen (implicatie, negatie, exclusieve of, inclusieve of) kunnen lezen, begrijpen en toepassen; en paradoxen analyseren, begrijpen en kunnen vertalen naar logische symbolen. Als afsluiting van de lessenserie laat ik leerlingen in groepjes van vier een open opdracht uitvoeren door zelf een paradox te kiezen, deze te onderzoeken en in de afsluitende les op geheel eigen wijze te presenteren aan medeleerlingen.

3 Evaluatie/validatie

Door gestructureerd, systematisch en doelgericht leerlingen te observeren heb ik de time-on-task van leerlingen tijdens mijn les gemeten. Ik observeer acht willekeurig gekozen leerlingen, waarbij ik per leerling noteer of deze wel (on-task) of niet (off-task) bezig is met de door mij opgegeven taak. Dit doe ik volgens een betrouwbare voorgeschreven methode (Karweit & Slavin, 1982).

Naast de time-on-task observatie neem ik een vragenlijst af waarbij de intrinsieke waarde wordt gemeten die leerlingen toekennen aan het vak wiskunde, een manier om het plezier in het vak te meten (Pintrich & Groot, 1990). Een andere vragenlijst meet in hoeverre leerlingen nut en noodzaak inzien van wiskunde middels mastery approach, ofwel taakoriëntatie/relevantie voor wiskunde (Blok, 2004). Beide vragenlijsten gebruik ik op advies van prof. dr. Thea Peetsma, waarbij alle schalen een goede interne consistentie kennen, d.w.z. de vragenlijsten zijn valide en betrouwbaar.

Zowel de time-on-task observatie als de vragenlijsten heb ik uitgevoerd in een voor- en nameting en na afloop geanalyseerd.

Conclusie

Er kan geconcludeerd worden dat de ontworpen lessenserie een positieve bijdrage levert aan het probleem, zoals opgesteld in de ontwerphypothese. Naar aanleiding van de lessenserie laten leerlingen tijdens de les een sterke verbetering op time-on-task zien (resultaat Y1) en werken leerlingen over het algemeen met meer plezier aan hun taak (resultaat Y2). Echter, de mate van nut en noodzaak die de leerlingen ervaren voor wiskunde blijft gelijk (resultaat Y3). Doordat twee resultaten Y1 en Y2 positiever zijn en resultaat Y3 gelijk blijft, kan er geconcludeerd worden dat de lessenserie een positieve impact heeft op de mate van relevantie die leerlingen in het vak wiskunde A zien.

4

Inhoudsopgave

Eindverslag Educatief Ontwerpen ... 1

Samenvatting ... 2

Inhoudsopgave ... 4

1. Inleiding ... 5

2. Ontwerpvraagstuk: probleem & wens ... 5

3. Theoretische en empirische verkenning ... 6

3.1 Theoretische verkenning ... 6

3.2 Empirische verkenning ... 8

3.3 Verkenning van oplossingen ... 10

4. Ontwerphypothese en ontwerpregels ... 11 4.1 Ontwerphypothese ... 11 4.2 Ontwerpregels ... 11 5. Onderzoeksplan ... 12 6. Uitwerking ontwerplessen ... 14 6.1 Planning ... 14 6.2 Lesontwerp ... 14

7. Uitvoering van de ontwerplessen ... 16

8. Uitvoering van het onderzoek ... 18

9. Resultaten ... 19

10. Conclusies en discussie ... 22

11. Analytische terugblik ... 25

12. Literatuur ... 26

Bijlage I: Uitwerking van de vragenlijst voor empirische verkenning ... 28

Bijlage II: Lesplannen ‘Wiskundige logica’ ... 29

Bijlage III: Lesmateriaal ‘Wiskundige logica’ ... 39

Bijlage IV: Verzamelde data observaties ‘time-on-task’ ... 47

Bijlage V: Verzamelde data vragenlijsten ‘plezier’ en ‘nut en noodzaak’ ... 49

5

1. Inleiding

Sinds september 2017 geef ik wiskundeles op het Barlaeus Gymnasium. Afgelopen zomer en herfst was ik met zwangerschapsverlof voor mijn zoontje. Sinds januari 2019 sta ik weer met veel plezier voor de klas en geef ik les aan een tweede klas, twee derde klassen en een vierde klas wiskunde A.

Dit verslag beschrijft een lessenserie die ik heb ontworpen voor mijn vierde klas wiskunde A om nut en noodzaak van wiskunde te verduidelijken en meer plezier te beleven in het vak. De uitvoering van de lessenserie ga ik evalueren middels een effectonderzoek.

Het is een opdracht voor het vak Educatief Ontwerpen, een vak binnen de lerarenopleiding aan de Universiteit van Amsterdam, waar ik vorig jaar februari ben gestart als wiskundedocent in opleiding. Het verslag betreft een ontwerpnotitie als voorbereiding op de eindopdracht om een lessenserie uit te voeren die zich zal richten op de leerresultaten van leerlingen, hun leergedrag of hun leerervaringen.

2. Ontwerpvraagstuk: probleem & wens

Wens: relevantie van wiskunde in de vierde klas wiskunde A sterker benadrukken en plezier verhogen Ik wens leerlingen in de vierde klas een hogere nut en noodzaak van wiskunde in te laten zien (afhankelijke variabele) door een onderwerp te behandelen dat voor veel mensen niet direct op wiskunde lijkt (onafhankelijke variabele). Het onderwerp wiskundige logica leent zich hier goed voor. Logica is een onderwerp binnen het vak wiskunde C, dat zeker niet zogenaamd simpel te noemen is. Middels dit onderwerp wil ik voor mijn leerlingen de relevantie van het vak wiskunde A vergroten en hen meer interesse en plezier te laten beleven, zoals wordt onderbouwd vanuit de literatuur (Woolfolk, Hughes, & Walkup, 2013).

Lage time-on-task bij vierde klas wiskunde A

De motivatie onder middelbare scholieren is een veelbesproken onderwerp, tevens een zeer breed begrip en complex om te specificeren. Juist daarom wil ik dit onderwerp onderzoeken, zodat ik en mogelijk ook mijn collega’s binnen school lering kunnen halen uit het onderzoek.

Lesgeven in de vierde klas kan heel leuk zijn, maar kan zeker ook moeizaam verlopen. In de twee jaar dat ik voor de klas heb gestaan heb ik ervaring opgedaan in het lesgeven aan tweedeklassers, derdeklassers en vierdeklassers. In mijn tweede en derde klassen gaat mijn aandacht voornamelijk naar het handhaven en het toepassen van een gedegen klassenmanagement. Geen vreemde situatie voor een beginnend docent met bijna dertig 13- of 14-jarigen in een lokaal.

Bij mijn vierde klassen, waar ik wiskunde A doceer, merk ik een beduidend andere sfeer met slechts 16 leerlingen in het lokaal. Het lijkt alsof leerlingen makkelijk zijn afgeleid, liever met andere vakken of zaken bezig zijn en weinig interesse tonen voor het vak. De productiviteit van de leerlingen is daarmee erg laag te noemen.

Beperkte interesse voor wiskunde A resulteert in kleine klassen en overstappers gedurende het jaar Wat verder opvalt op de school waar ik lesgeef is dat er beperkte interesse is voor wiskunde A. Er zijn zo’n 140 leerlingen per jaarlaag en vorig schooljaar startten er twee wiskunde A klassen met elk 16 leerlingen. Het huidige schooljaar is gestart met twee klassen van elk 13 leerlingen. De overige leerlingen uit de jaarlaag volgen allemaal wiskunde B. De wiskunde A klassen groeien over de jaren

6 substantieel doordat er gedurende het jaar leerlingen overstappen van wiskunde B, doorgaans wanneer zij een onvoldoende staan voor wiskunde B. Er kan geconcludeerd worden dat het animo om wiskunde B te starten vele malen groter is dan te starten bij wiskunde A.

Waarom kiest het overgrote deel van de leerlingen in eerste instantie wiskunde B, om er vervolgens achter te komen dat het toch niet bij hen past en overstapt naar wiskunde A? Leerlingen die in 5VWO het vak wiskunde A volgen, kunnen halverwege het jaar ervoor kiezen om wiskunde C te gaan volgen in plaats van wiskunde A. Leerlingen uit 4VWO vragen mij daarom weleens naar wiskunde C, waarbij er lacherig over het vak wordt gedaan omdat het zogenaamd veel te simpel zal zijn. Hoe komt het dat leerlingen op mijn school een onjuist beeld hebben van de verschillende wiskundevakken? Uit onderzoek blijkt dat leerlingen hun interesse en plezier voor een bepaald vak kunnen verhogen wanneer de relevantie van het betreffende vak sterker benadrukt wordt (Marzano & Pickering, 2016). Iets dat buiten mijn onderzoek valt maar een nuttige bijkomstigheid kan zijn is dat ik wens om vierde klas leerlingen een betere voorlichting te kunnen geven over aspecten binnen wiskunde C, zodat zij een gegronde en weloverwogen beslissing kunnen nemen wanneer zij voor de keuze tussen wiskunde A en C staan.

NB: Verder ben ik van plan derde klas leerlingen beter te informeren over de verschillen tussen wiskunde A en B, zodat zij hun keuze beter kunnen laten aansluiten bij hun competenties en interesses en zo het aantal overstappers te beperken. Deze toelichting voor derde klas leerlingen valt buiten dit onderzoek. Bij mijn huidige twee derde klassen heeft een derde van de leerlingen gekozen voor wiskunde A in hun pakket wanneer zij naar de vierde klas zullen overgaan. Dit aandeel ligt al een stuk hoger dan het aandeel waar de vierde klassen dit schooljaar mee gestart zijn (26 van de 140 leerlingen).

3. Theoretische en empirische verkenning

3.1 Theoretische verkenning

Het is niet nieuw dat leerlingen in het voortgezet onderwijs vaak niet het nut van bètavakken inzien omdat zij het leertraject vaak ervaren als een trein met voor alle schoolvakken afzonderlijke wagonnetjes waarvan de ramen geblindeerd zijn en alleen de conducteur weet waar de reis naartoe gaat, zoals (Claxton, 1991) ook al beschrijft in zijn boek. Daarom is het belangrijk dat leerlingen het nut inzien van wat zij moeten leren en door de context gemotiveerd raken om daadwerkelijk aan het werk te gaan (Dierdorp, Bakker, Eijkelhof, & Maanen, 2013).

Duidelijke aanwijzingen worden gegeven dat context-based onderwijs een bijdrage levert aan het betekenisvol maken van onderwijs (Bennett, Lubben, & Hogarth, 2006). Uit hun onderzoek blijkt dat de door hen onderzochte leerlingen, middels het meten van hun affectieve reacties en motivatie, het natuurwetenschappelijk onderwijs beter gingen begrijpen.

Bovendien is het streven naar slechts hogere leerprestaties beperkt en kan zelfs riskant zijn. Het is beperkt omdat het realiseren van leerprestaties slechts de buitenkant is van waar onderwijs voor is. Het gaat niet alleen om veel weten, maar ook om wat je met die kennis en vaardigheden kan en wil doen. Daarom is talentontwikkeling van leerlingen meer dan alleen het leveren van prestaties. Andere zeer belangrijke aspecten zijn zelfvertrouwen, creativiteit, doorzettingsvermogen, zelfstandigheid en nieuwsgierigheid ontwikkelen.

Vanuit literatuur blijkt dat het wekken van aandacht en creëren van betrokkenheid onder leerlingen essentieel is om de relevantie van een vak te vergroten. Met het wekken van de aandacht, een kortdurend verschijnsel, zal de leerling geïnteresseerd zijn voor een gedeelte van de les. Bij het creëren van betrokkenheid, dat langer duurt, reikt het verder dan een enkele les (Marzano & Pickering, 2016).

7 Om verhoging van betrokkenheid toe te passen op het schoolleven van leerlingen moet er niet alleen nadruk gelegd worden op leerprestaties bij de vooraanstaande vakken Nederlands, Engels en Wiskunde, maar juist ook op andere aspecten als cultuur en geschiedenis binnen alle verschillende vakken (Volman, 2011).

Volman spreekt over drie vormen van betrokkenheid:

1. Gedragsmatige betrokkenheid, de mate waarin een leerling met aandacht de les volgt. 2. Emotionele betrokkenheid, de mate waarin een leerling zich prettig voelt en met plezier werkt. 3. Cognitieve betrokkenheid, de mate waarin een leerling bereid is mentale inspanningen te

leveren.

Door de betrokkenheid van een leerling te vergroten kan de leermotivatie op microniveau verhoogd worden. Als oplossing geeft Volman dat leerlingen kennis moeten verwerven die van betekenis is, zowel vanuit het perspectief van de samenleving als betekenis voor henzelf.

Voortbordurend op Volman wordt ook door de Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (cTWO) onderschreven dat leerlingen de relevantie van wiskunde moeten kunnen ervaren binnen het gekozen profiel in de vierde klas. cTWO beschrijft in hun eindrapport, dat eind 2012 is overhandigd aan het Ministerie van OCW, dat binnen het vak wiskunde C contexten die passen in het profiel Cultuur & Maatschappij een belangrijke plaats innemen. De nadruk van dit vak ligt minder op het reproduceren van technieken en meer op de functie, de cultuurhistorische rol en de waarde van wiskunde in onze maatschappij. Met name in de domeinen F en G (respectievelijk Logisch redeneren en Vorm & Ruimte) kunnen leerlingen de relevantie van wiskunde ervaren binnen specifieke maatschappelijke, culturele en historische onderdelen. In het domein F, Logisch redeneren, worden logisch-wiskundige aspecten gekoppeld aan correctheid van redeneringen (Siersma, 2012).

Ook heeft de visie van cTWO ruim aandacht besteed aan uiteenlopende wiskundige denkactiviteiten, waarbij blijkt dat de nieuwe domeinen Logisch redeneren en Vorm & Ruimte zich hier uitstekend voor lenen. Het denken over wiskundige denkactiviteiten is van belang omdat ze betrekking hebben op onderwijsdoelen die verder gaan dan basisvaardigheden en zich richten op het ‘weten hoe’ en ‘weten waarom’, vindt ook (Drijvers, van Streun, & Zwaneveld, 2016).

Wiskundige denkactiviteiten zullen het wiskundig denken bevorderen, datgene wat in wiskundig onderwijs wordt nagestreefd. Om als wiskundeleraar het wiskundig denken optimaal te stimuleren worden verschillende aspecten onderscheiden om aandacht te geven; coachen van leerlingen, leerlingen (laten) reflecteren op en expliciteren van denkmethoden en leerlingen leren hun eigen aanpak te monitoren. Concreet kan gedacht worden aan het Engelse project Cognitive Acceleration through Science Education (CASE), ofwel een Denkles met altijd vijf onderdelen die verplicht doorlopen moeten worden (Drijvers, van Streun, & Zwaneveld, 2016).

Intrinsiek gemotiveerde leerlingen voelen zich betrokken tot academische taken omdat ze er plezier in hebben. Zij menen dat leren belangrijk is voor hun zelfbeeld en zoeken naar leeractiviteiten die het plezier in leren doen toenemen. Wanneer leerlingen zich betrokken voelen tot een taak waarvoor ze intrinsiek gemotiveerd zijn tonen zij een aantal aspecten van pedagogisch gewenst gedrag zoals hogere time-on-task, doorzettingsvermogen tegenover falen, dieper behandelen en monitoren van begrip, selecteren van moeilijkere taken, meer creativiteit en het nemen van risico, selectie van diepere en efficiëntere uitvoering en leerstrategieën, en keuze van activiteit die niet gebaseerd is op extrinsieke beloning (Middleton & Spanias, 1999). Deze aspecten van pedagogisch gedrag worden bevestigd door (Boaler, 2016) wanneer open vraagstukken worden gegeven aan leerlingen, waarbij wiskundige denkactiviteiten belangrijker wordt gevonden dan leerprestaties (cijfers). Daarnaast wordt intrinsieke motivatie gekoppeld aan de perceptie van leerlingen op hun eigen competentie, of zij gemotiveerd zijn door nieuwsgierigheid of door leerprestaties.

Daarnaast geven persoonlijke interesses richting aan de keuzes van leerlingen die zij maken voor school(vakken) en studie. Interesse wordt beschouwd als de brug die cognitie, motivatie en

8 schoolprestaties verbindt (Hidi & Harackiewicz, 2000). Zo blijkt dat een leerling met een grote persoonlijke interesse betrokken is bij het leerproces en effectiever leergedrag vertoont vergeleken met een gemiddeld geïnteresseerde leerling (Krapp, 2002).

Als laatste kan samenwerkend leren bijdragen aan leerlingen zelf actief te laten zijn en zelf betekenis te laten geven aan hun eigen leren. Het leren ontwikkelt zich in de sociale context beter dan in de individuele context. Vanuit de maatschappij speelt de vraag naar sociaal en communicatief vaardige mensen. Binnen de strategie van samenwerkend leren wordt nadrukkelijk aandacht besteed aan de ontwikkeling van zulke vaardigheden bij leerlingen (Ebbens & Ettekoven, 2015).

De theoretische verkenning samenvattend wordt intrinsieke motivatie gekoppeld aan de perceptie van leerlingen op hun eigen competentie, of zij gemotiveerd zijn door nieuwsgierigheid of door leerprestaties. Daarnaast blijkt dat het creëren van betrokkenheid onder leerlingen essentieel is om de relevantie van een vak te vergroten. Ook vertelt de theorie dat intrinsiek gemotiveerde leerlingen zich meer betrokken voelen tot academische taken omdat zij er meer plezier in hebben.

Aanvullend zullen wiskundige denkactiviteiten het wiskundig denken bevorderen, waar onder andere het onderwerp Logisch redeneren (domein F uit het examenblad voor wiskunde C) zich uitstekend voor leent. Bij wiskundige denkactiviteiten kan gedacht worden aan complexere werkvormen zoals samenwerkend leren en leerlingen die reflecteren op (eigen) denkmethoden. Met het specifieke onderwerp Logisch redeneren kunnen leerlingen ook de relevantie van wiskunde ervaren binnen maatschappelijke, culturele en historische onderdelen.

3.2 Empirische verkenning

Prof. dr. Thea Peetsma, verbonden aan de faculteit der Maatschappij- en Gedragswetenschappen aan de Universiteit van Amsterdam, doet al decennialang onderzoek naar gemotiveerd gedrag en -inzet van leerlingen in het voortgezet onderwijs en is in 1992 gepromoveerd op een onderzoek met als titel Toekomst als motor?

Om in mijn klas onderzoek te doen naar gemotiveerd gedrag en -inzet gebruik ik, op advies van bovengenoemde, twee gerenommeerde vragenlijsten met goede interne consistentie die beide aspecten meet (Roede, 1989).

9 De mogelijke antwoorden van helemaal oneens tot helemaal eens zijn gescoord van 1 tot en met 5. Ik heb er bewust voor gekozen geen ontkennende items op te nemen in de vragenlijst omdat de interne consistentie dan daalt (Roede, 1989).

Deze vragenlijst heb ik zowel in mijn eigen klas afgenomen (klas 4wa1 met 13 respondenten, standaarddeviatie: 0,6 – 1,3) als de parallelklas 4VWO wiskunde A van mijn collega (klas 4wa2 met 18 respondenten, standaarddeviatie: 0,7 – 1,2), in bijlage I is de volledige tabel opgenomen.

Tabel 2: Gemiddelde scores van twee parallelklassen wiskunde A

Uit de tabel komt duidelijk naar voren dat de ‘inzet’ bij leerlingen in de parallelklas ruim anderhalve punt hoger wordt gescoord dan door de leerlingen in mijn klas. Mogelijk heeft dit te maken met de ruim twintig jaar ervaring van mijn collega, waardoor hij leerlingen makkelijker kan aansporen aan het werk te gaan.

Interessant voor dit onderzoek is de respons op het onderwerp ‘gedrag’. Zowel leerlingen in mijn klas als in de parallelklas spreken vergelijkbare wensen uit om iets te leren dat ze belangrijk vinden of iets nieuws betreft.

Naast de inzet en het gedrag van mijn leerlingen die ikzelf in mijn klassen waarneem, heb ik meerdere gesprekken gevoerd met mijn directe collega’s op school. Voornamelijk uit het gesprek met mijn collega van de parallelklas blijkt dat hij dezelfde observaties deelt als ik in mijn vierde klas 4VWO. Deze betreffende collega is de enige collega die de afgelopen jaren zowel aan wiskunde A- als B-leerlingen heeft lesgegeven in de vierde klas. Andere collega’s hebben de afgelopen jaren toevallig steeds óf wiskunde A óf wiskunde B gegeven.

Met deze collega heb ik uitvoerig gesproken over de verschillen tussen de wiskunde A- en B-klassen en diens leerlingen. Wat hem duidelijk opvalt is dat wiskunde B-leerlingen bewust gekozen hebben voor het vak, terwijl de meeste wiskunde A-leerlingen dit vak niet als eerste keuze hebben. Leerlingen zijn niet zomaar gemotiveerd om aan de slag te gaan, terwijl dat bij de wiskunde B-leerlingen een stuk vanzelfsprekender is om direct te starten met werken. Hij denkt dat het deels ook gestuurd wordt vanuit de ouders van leerlingen, waarbij de gedachte heerst dat je met wiskunde B je mogelijkheden voor vervolgopleidingen aanzienlijk vergroot. Dit is een enigszins verouderde gedachte dat

Leerlingen uit klas 4VWO wiskunde A Gem

id de ld e kl as 4 w a1 Ge m id de ld e kl as 4 w a2 INZET

Ik vind het leuk om in de klas iets te gaan doen voor wiskunde. 2,4 3,2 Als ik bij wiskunde tijdens de les een opdracht moet maken, begin ik er zonder uitstel aan. 2,2 3,6 Bij wiskunde werk ik hard tijdens de les. 2,2 3,8 Bij wiskunde zet ik mij tijdens de les in. 2,8 3,9 Bij wiskunde houd ik zonder moeite mijn aandacht bij de les. 2,4 3,3 GEDRAG

Ik ben tevreden als ik met wiskunde iets heb geleerd dat ik belangrijk vind. 3,8 3,7 Ik maak liever moeilijke opdrachten waar ik iets nieuws van leer, dan gemakkelijke opdrachten. 3,2 2,7 Ik vind het fijn wanneer ik met wiskunde iets heb geleerd dat ik belangrijk vind. 3,9 3,9 Als ik een opgave niet meteen snap, ga ik er juist extra mijn best voor doen. 3,2 3,3 Ik vind het fijn wanneer ik met wiskunde iets nieuws heb geleerd. 3,5 3,7

10 bijvoorbeeld te zien is bij de opleiding Geneeskunde die de toelatingseisen van behaalde examenvakken heeft aangepast van wiskunde B naar zowel wiskunde A als B.

Enkele leerlingen uit mijn klas heb ik gevraagd naar de beweegredenen van hun wiskundekeuze. Enkelen geven aan dat ze te lui zijn voor wiskunde B (deze zijn overgestapt van wiskunde B naar A), anderen zeggen dat wiskunde B te complex voor hen is. Een leerling geeft aan dat deze wiskundekeuze haar is geadviseerd in de derde klas, een ander geeft aan dat zijn moeder hem verplicht heeft wiskunde A te gaan doen (hij zit immers voor de tweede keer in 4VWO en stond vorig jaar voor wiskunde B een onvoldoende). Deze antwoorden van leerlingen geven aan dat de keuze voor wiskunde A inderdaad niet vanuit hun intrinsieke motivatie komt, maar excentriek of uit tweede keuze is genomen.

Mijn collega geeft tevens aan dat het programma van wiskunde A in de vierde klas verlicht is doordat veel stof verschoven is naar het vijfde jaar. Daartegenover is het wiskunde B-programma in de vierde klas juist verzwaard omdat stof uit de vijfde naar voren gehaald is. Het niveauverschil tussen wiskunde A en B in de vierde klas is daardoor enorm toegenomen.

Om zijn wiskunde A-leerlingen te motiveren voor een onderwerp binnen de wiskunde A legt mijn collega graag een verband met het vak geschiedenis of filosofie, een vak dat de meeste leerlingen ook volgen en eerder als eerste keuze hebben dan wiskunde A. Door op deze manier hun interessegebieden te betrekken bij het vak wiskunde A merkt hij dat leerlingen makkelijker te motiveren zijn op het specifieke onderwerp, wat ook blijkt uit hun respons op de vragen bij ‘inzet’. Dit komt overeen met de theorie die besproken wordt in (Woolfolk, Hughes, & Walkup, 2013) over het verbeteren van de motivatie onder leerlingen; middels het vergroten van autonomie, het bevorderen van competentie, en het wekken van interesse door aan te sluiten op de belevingswereld van leerlingen.

3.3 Verkenning van oplossingen

Het probleem dat ik constateer tijdens mijn lessen is dat leerlingen bij het vak wiskunde A in 4VWO moeizaam zijn te motiveren om actief mee te doen met de les en de relevantie van het vak wiskunde moeilijk inzien. Dit probleem blijkt niet alleen voor te komen in mijn eigen klassen, maar wordt ook ervaren door mijn collega die lesgeeft aan de parallelklas wiskunde A in 4VWO en ook actuele ervaring heeft in het lesgeven aan wiskunde B-leerlingen.

Als interventie wil ik een lessenserie ontwerpen waarin ik een onderwerp behandel dat niet het meest voor de hand liggende wiskundige onderwerp is; het onderwerp Logisch redeneren. Dit onderwerp zal bijdragen aan het verhogen van de relevantie van wiskundige aspecten voor leerlingen (Siersma, 2012) en leent zich goed voor het vergroten van wiskundige denkactiviteiten (Drijvers, van Streun, & Zwaneveld, 2016). De keuze voor Logisch redeneren boven Vorm & Ruimte heb ik gemaakt omdat je dagelijks geconfronteerd wordt met logische beweringen, bijvoorbeeld op Twitter maar ook in kranten. Ik verwacht dat dit eerder tot de verbeelding van mijn leerlingen spreekt dan het onderwerp Vorm & Inhoud, waar mogelijk slechts een beperkt aantal (meer kunstzinnige) leerlingen in geïnteresseerd is.

Wiskundige denkactiviteiten waar ik me deze lessenserie op wil concentreren zijn complexere werkvormen zoals samenwerkend leren waarbij de onderlinge afhankelijkheid sterk aanwezig is en leerlingen laten reflecteren op hun denkmethoden. Middels deze hogere-orde doceervaardigheden verwacht ik dat de betrokkenheid onder leerlingen verhoogd zal worden.

Met behulp van de ontworpen lessenserie wil ik zowel de gedragsmatige, emotionele als cognitieve betrokkenheid vergroten. Om onderscheid te maken tussen deze verschillende vormen van betrokkenheid neem ik ze afzonderlijk op in de ontwerpregels. Met deze verhoogde betrokkenheid wil ik een hogere time-on-task onder leerlingen genereren (verbeterd leergedrag (Dierdorp, Bakker, Eijkelhof, & Maanen, 2013)) en wens ik dat de leerlingen het nut van wiskunde beter gaan inzien en met meer plezier de lessen zullen volgen (positievere leerervaring; (Middleton & Spanias, 1999)).

11

4. Ontwerphypothese en ontwerpregels

4.1 Ontwerphypothese

Als ik de mate van relevantie die leerlingen in het vak wiskunde A voor 4VWO zien (probleem P) aanpak met een lessenserie gericht op betrokkenheid en participatie middels het onderwerp logisch redeneren (interventie X), dan verwacht ik dat deze leerlingen tijdens de les een hogere time-on-task laten zien (resultaat Y1), met meer plezier gaan werken aan hun taak (resultaat Y2) en nut en noodzaak van wiskunde A beter gaan inzien (resultaat Y3).

Omdat het onderwerp relevantie een zeer complex onderwerp is, gebruik ik de triangulatiemethode waarbij resultaten Y1, Y2 en Y3 alle drie kunnen bijdragen aan de probleemaanpak en mogelijk leiden tot het verhogen van relevantie die leerlingen in het vak wiskunde A voor 4VWO zien.

4.2 Ontwerpregels

- Als ik interventie X wil ontwerpen voor de bevordering van het inzien van relevantie voor het vak wiskunde A bij leerlingen in 4VWO, dan wordt aanbevolen om de interventie het karakteristiek verhoging van gedragsmatige en cognitieve betrokkenheid van leerlingen (karakteristiek C1) te geven en dat te doen via strategieën als context-based onderwijs en samenwerkend leren met als verwachte uitkomst dat de leerlingen een hogere time-on-task laten zien (resultaat Y1) vanwege het argument dat leerlingen zich meer betrokken voelen bij de opdracht zoals mijn collega ervaart tijdens zijn lessen (Volman, 2011) (Ebbens & Ettekoven, 2015).

Oftewel: Ik wil lesmateriaal met instructie en opgaven ontwerpen dat inspeelt op de belevingswereld van leerlingen en voorbeelden van raadsels levensecht uitvoeren om tot de verbeelding van leerlingen te spreken (context-based onderwijs). Ik wil leerlingen intensief in tweetallen laten werken zodat er discussie ontstaat en leerlingen lering kunnen halen uit de samenwerking (samenwerkend leren).

- Als ik interventie X wil ontwerpen voor de bevordering van het inzien van relevantie voor het vak wiskunde A bij leerlingen in 4VWO, dan wordt aanbevolen om de interventie het karakteristiek stimuleren van participatie onder leerlingen (karakteristiek C2) te geven en dat te doen via strategieën als samenwerkend leren en bevordering van het zelfbeeld van leerlingen met als verwachte uitkomst dat leerlingen met meer plezier gaan werken aan hun taak (resultaat Y2) vanwege het argument dat leren belangrijk is voor het zelfbeeld (Middleton & Spanias, 1999).

Oftewel: Ik wil complexe werkvormen gebruiken waarbij leerlingen een zelfevaluatie doen (bevordering van het zelfbeeld), maar ook in tweetallen gaan reflecteren op hun denkmethoden (samenwerkend leren). Vervolgens wil ik over dit onderwerp een onderwijsleergesprek begeleiden (samenwerkend leren).

- Als ik interventie X wil ontwerpen voor de bevordering van het inzien van relevantie voor het vak wiskunde A bij leerlingen in 4VWO, dan wordt aanbevolen om de interventie het karakteristiek verhoging van de emotionele betrokkenheid van leerlingen te geven (karakteristiek C3) en dat te doen via strategieën als opdrachten vormgeven waar de nadruk ligt op de cultuurhistorische rol en waarde van wiskunde en wiskundige denkactiviteiten toevoegen met als verwachte uitkomst dat leerlingen nut en noodzaak van wiskunde A beter

12 gaan inzien vanwege het argument dat leerlingen zich meer richten op het ‘weten hoe’ en ‘weten waarom’ (Drijvers, van Streun, & Zwaneveld, 2016).

Oftewel: Ik wil een open opdracht formuleren (wiskundige denkactiviteit) waarbij leerlingen in werkgroepen aan de slag gaan en zelf hun onderwerp mogen kiezen (opdracht met nadruk op de waarde van wiskunde).

5. Onderzoeksplan

De lessenserie die ik heb ontworpen betreft uitgewerkte lesplannen voor vier lessen en nog twee aanvullende lessen voor de uitvoering van de groepsopdracht. De lessenserie zal ik uitvoeren in mijn vierde klas wiskunde A, bestaande uit 16 leerlingen.

Om de time-on-task van mijn leerlingen te analyseren zal ik ze observeren in een voor- en nameting. Door het observeren van enkele leerlingen wil ik gestructureerd, systematisch en doelgericht meten hoe hun time-on-task is en kan ik analyseren of dit het gehoopte verhoogde resultaat geeft (Karweit & Slavin, 1982). Het meten van time-on-task doe ik door acht willekeurig gekozen leerlingen ieder een minuut te observeren en na elke 30 seconde te turven of zij wel (on-task) of niet (off-task) bezig zijn met de door mij aangegeven taak.

Naast de time-on-task wil ik de leerervaring van leerlingen meten en analyseren. Aan de ene kant wil ik de mate van nut en noodzaak die leerlingen in wiskunde zien meten, anderzijds wil ik het plezier dat leerlingen hebben in wiskunde meten. Wederom gebruik ik vragenlijsten die ik heb ontvangen op advies van prof. dr. Thea Peetsma, waarbij alle schalen een goede interne consistentie kennen, d.w.z. de vragenlijsten zijn valide en betrouwbaar.

Mate van plezier voor het vak wiskunde

H el em aa l m ee o ne en s M ee o ne en s O ne en s / ee ns M ee e en s H el em aa l m ee e en s

Ik vind het belangrijk dat ik opgaven voor wiskunde leer maken.      Ik vind het belangrijk om de lesstof voor wiskunde te snappen.      Ik heb het liefst opgaven die uitdagend zijn, zodat ik nieuwe dingen kan

leren.     

Zelfs wanneer ik een proefwerk slecht maak, probeer ik te leren van

mijn fouten.     

Wat ik bij wiskunde leer, vind ik nuttig om te weten.     

Wat ik met wiskunde leer, spreekt mij aan.     

Wat ik bij wiskunde leer, vind ik interessant.     

Wat ik bij wiskunde leer, kan ik ook bij andere vakken gebruiken.     

Tabel 3: Vragenlijst om de mate van plezier voor het vak wiskunde te meten onder leerlingen

Bovenstaande vragenlijst meet de intrinsieke waarde die leerlingen toekennen aan het vak wiskunde, een manier om het plezier te meten (Pintrich & Groot, 1990).

13 Voor het meten van nut en noodzaak die leerlingen in wiskunde zien, zal ik dezelfde vragenlijst gebruiken als bij het empirische onderzoek op gemotiveerd gedrag.

Mate van nut en noodzaak inzien bij wiskunde

H el em aa l m ee o ne en s M ee o ne en s O ne en s / ee ns M ee e en s H el em aa l m ee e en s

Ik ben tevreden als ik met wiskunde iets heb geleerd dat ik belangrijk

vind.     

Ik maak liever moeilijke opdrachten waar ik iets nieuws van leer, dan

gemakkelijke opdrachten.     

Ik vind het fijn wanneer ik met wiskunde iets heb geleerd dat ik

belangrijk vind.     

Als ik een opgave niet meteen snap, ga ik er juist extra mijn best voor

doen.     

Ik vind het fijn wanneer ik met wiskunde iets nieuws heb geleerd.     

Tabel 4: Vragenlijst om de mate van nut en noodzaak die leerlingen zien van wiskunde te meten

De vragenlijst in tabel 4 meet in hoeverre leerlingen nut en noodzaak inzien van wiskunde middels mastery approach, ofwel taakoriëntatie/relevantie voor wiskunde (Blok, 2004).

Leerlingen geven antwoord op de vragen uit de vragenlijst, vervolgens geef ik de antwoorden een score van 1 tot 5. Door de mogelijkheid te geven van een middelste score, kan een leerling zich indien wenselijk ook neutraal uitspreken. Beide vragenlijsten zal ik afnemen in een voor- en nameting. Ook zal ik de overige vragenlijst die ik voor het empirisch onderzoek heb gebruikt nogmaals afnemen na het uitvoeren van mijn lessenserie zodat ik ook een nameting heb op de gemotiveerde inzet.

Ook wil ik de volgende vraag opnemen in de voor- en nameting: - Geef een top 3 van de vakken die jij het meest relevant vindt. - Geef een top 3 van de vakken die jij het minst relevant vindt.

Naar aanleiding van de uitkomsten van de vragenlijsten in de nameting wil ik enkele leerlingen interviewen. Ik zal twee interviews houden met steeds twee leerlingen om meer informatie te verkrijgen over hun ervaringen n.a.v. de lessenserie. De in totaal vier leerlingen zal ik selecteren aan de hand van verschillende criteria zodat een zo breed mogelijk spectrum van leerlingen vertegenwoordigd is. De criteria die ik zal hanteren zijn: werkt wel/niet actief tijdens les, heeft weinig/veel moeite met het verwerken van nieuwe wiskundige onderwerpen, behaalt hoge/lage resultaten bij een toets. Voorbeelden van vragen die ik mijn leerlingen wil stellen n.a.v. de lessenserie, zijn:

- In hoeverre heb je een ander beeld gekregen over wiskunde?

- Krijgt het vak wiskunde volgens jou een andere beoordeling in het kader van relevantie? - Hoe verhoudt wiskunde zich t.o.v. andere vakken?

De lessenserie over logisch redeneren wil ik starten met een pre-test bestaande uit enkele bekende logicavraagstukken om te kijken wat mijn leerlingen al weten en begrijpen van logisch redeneren. Enkele leerlingen zullen filosofie als keuzevak hebben en daarom eventueel al enige kennis hebben van logisch redeneren. Deze vraagstukken zal ik ook als post-test afnemen onder mijn leerlingen om

14 te kunnen toetsen wat ze inhoudelijk hebben geleerd. Mochten enkele leerlingen al enige voorkennis hebben opgedaan bij filosofie, of anderszins, dan kunnen zij in de post-test hun kennis toetsen op de wiskundige logica en het gebruik van logische symbolen. Achteraf wil ik leerlingen inzicht geven in hun gemaakte pre-test en post-test met enkele logicavraagstukken. Door hen in te laten zien in hoeverre ze zichzelf verbeterd hebben ten opzichte van de pre-test zal het zelfbeeld van de leerling verbeterd worden. Ik verwacht dat de pre-test laag wordt gescoord, dat leerlingen de vraagstukken niet correct kunnen beantwoorden. Na de lessenserie verwacht ik dat leerlingen zowel de vraagstukken kunnen beantwoorden, als dat zij een correct plan van aanpak en notatie kunnen toepassen.

6. Uitwerking ontwerplessen

6.1 Planning

In onderstaande tabel heb ik de planning opgenomen van het afnemen van (extra) voormetingen, het uitvoeren van de lessenserie en het afnemen van de nameting.

Datum Onderwerp Opmerking

8 april – 12 april Ontwerpnotitie inleveren 11 april deadline 15 april – 19 april - Vragenlijst relevantie en plezier

afnemen

- Time-on-task van leerlingen observeren

Voormeting

22 april – 3 mei Meivakantie op school

6 mei – 10 mei - Interventie lessenserie uitvoeren - Time-on-task van leerlingen

observeren

Nameting van time-on-task tijdens lessenserie

13 mei – 17 mei - Vragenlijst relevantie en plezier afnemen

- Post-test laten maken

- Nameting van mate relevantie en plezier in wiskunde

- Deze week staat in het

schoolrooster tevens een proefwerk gepland (post-test gebruiken?) 20 mei – 24 mei - Uitkomsten nameting analyseren

- Enkele leerlingen interviewen

Tabel 5: Planning van voormeting, lessenserie en nameting

6.2 Lesontwerp

De lessenserie kent het onderwerp logisch redeneren. Hier wordt een beknopte beschrijving van de lessenserie gegeven; de uitgebreide lesplannen zijn opgenomen in bijlage II, het ontworpen lesmateriaal in bijlage III. Binnen het vak wiskunde hebben leerlingen hier nog nooit eerder mee gewerkt. In 4VWO kunnen leerlingen het vak filosofie als keuzevak hebben. Er bestaat een mogelijkheid dat een dergelijk onderwerp over logisch redeneren bij filosofie al eens behandeld is. Toch ga ik ervan uit dat geen enkele leerling voorkennis heeft op het gebied van logisch redeneren, behalve de logica die je gebruikt door zelf logisch na te denken.

Vanuit de ontwerpregels moeten de volgende aspecten opgenomen worden in het lesontwerp: context-based onderwijs, samenwerkend leren, wiskundige denkactiviteiten, bevordering zelfbeeld, en nadruk op cultuurhistorische rol en waarde van wiskunde.

15 Tijdens mijn oriëntatie op het materiaal dat ik wil inzetten voor mijn lessenserie ben ik gestart met het doornemen van een boek dat ik heb gekregen van mijn WPB, met de titel Logica waar of onwaar (Berkelmans, 2005). Het boek geeft in een notendop een goed beeld van alle bestaande logica. Ik zal enkele raadsels uit het boek gebruiken als lesmateriaal.

Ook het lesmateriaal uit Getal & Ruimte VWO C, deel 4, Hoofdstuk 12, Logisch redeneren (Dijkhuis, et al., 2017) geeft een goede inventarisatie voor volgorde van leerstof en verschillende mogelijkheden. Les 1 – 6 mei

Opening: Starten met een pre-test bestaande uit twee wiskundige denkactiviteiten in de vorm van raadsels:

- De Wason-test met vier kaarten, een psychologische test in 1966 bedacht door cognitief psycholoog Peter Wason waarbij hij erachter kwam dat nog geen 10% van de ondervraagden het antwoord goed had.

- De paradox van de krokodil, een beroemde paradox uit de oudheid waarbij beide subjecten een logische redeneringen geven waardoor het leidt tot een paradox.

Leerdoel: Logische problemen kunnen analyseren en oplossen middels een stap-voor-stap aanpak. Leskern: Introductie geven over logisch redeneren uit de oudheid, de link naar het dagelijks leven en een koppeling naar de wiskundige waarde ervan om de cultuurhistorische rol van wiskunde aan te geven. Enkele raadsels (zoals verschillende kleuren petten, drie jongens met een blinddoek, drie dozen met lege, volle en lege/volle batterijen) fysiek voordoen middels het inzetten van leerlingen met gekleurde petten en blinddoeken. Levensecht voordoen bevordert context-based onderwijs en geeft betekenis aan de stof.

Afsluiting: Leerlingen omschrijven in tweetallen een mogelijke aanpak die ze hebben gebruikt bij het oplossen van de gemaakte opgaven. Vervolgens geef ik verschillende leerlingen het woord om hun aanpak te delen met de klas. Ik vraag naar aanvullingen van andere leerlingen.

Les 2 – 7 mei

Opening: Ophalen en terugkoppelen van omschreven aanpak bij de afsluiting van de vorige les. Leerdoel: Logische symbolen → en ¬ kunnen lezen, begrijpen en toepassen.

Leskern: Klassikaal voorbeeld bespreken om de symbolen → en ¬ te introduceren:

“Als je in Amsterdam woont, dan woon je in Nederland.” Deze bewering is waar. Toen ik in het buitenland woonde, heb ik vaak gehoord: “Als je in Nederland woont, dan woon je in Amsterdam.” Maar klopt dat wel? Enkele uitgedeelde opgaven uitvoeren om de symbolen → en ¬ te begrijpen en toe te passen. Andere voorbeelden zijn uitspraken van misschien wel de grootste ‘logicus’ Johan Cruijff. Bedenk in tweetallen een bewering die juist of onjuist is, de beweringen worden doorgegeven zodat ieder tweetal een andere bewering moet analyseren op juistheid. Middels samenwerkend leren zullen leerlingen zich meer betrokken voelen tot de opdracht en zullen ze meer plezier beleven (Middleton & Spanias, 1999).

Afsluiting: Klassikaal leerlingen het woord geven om hun bewering voor te lezen en toe te lichten. Vragen waarom de stelling juist of onjuist is en hoe je de bewering in logicataal kunt schrijven. De volgende les zullen we weer twee nieuwe symbolen uit de logicataal leren.

Les 3 – 7 mei

Opening: Bespreken en herhalen van bedachte beweringen tijdens de afsluiting van de vorige les. Leerdoel: Logische symbolen → , ¬ , ∩ en ∪ kunnen lezen, begrijpen en toepassen.

Leskern: Klassikaal voorbeeld bespreken om de symbolen ∩ en ∪ te introduceren: Stel je hebt de volgende proposities:

z: Mark is ziek. s: Mark is op school.

Beschrijf de volgende uitspraken in Nederlandse zinnen. z ∩ s

16 z ∪ s

¬ z z → s

Enkele uitgedeelde opgaven in tweetallen maken. Een opgave gaat onder andere over Ajax of PSV die dit jaar kampioen wordt. Een zeer actuele vraag gezien de huidige stand in de Eredivisie waar PSV aan kop gaat met 2 punten verschil gevolgd door Ajax. De laatste Eredivisiewedstrijd staat gepland op 12 mei a.s., de zondag nadat ik de lessenserie heb uitgevoerd. Hopelijk wordt het kampioenschap pas op de laatste speeldag bepaald, zodat deze vraagstukken nog meer bijdragen aan het context-based onderwijs om meer betekenis te geven aan wat we leren (Bennett, Lubben, & Hogarth, 2006). Afsluiting: Neem een paar minuten de tijd om je eigen leerproces van deze les te evalueren. Wat heb ik geleerd? Op welk moment begreep ik het leerdoel? Wat kan ik met de zojuist geleerde stof doen? Bespreek dit vervolgens eerst in tweetallen, voordat we het klassikaal behandelen. Door te evalueren om te leren wordt de metacognitie van leerlingen versterkt en zal het zelfbeeld van leerlingen bevorderen (Woolfolk, Hughes, & Walkup, 2013).

Les 4 – 13 mei

Opening: Bespreek in tweetallen wat je is bijgebleven van de afsluiting van de vorige les, de manier waarop jij en je medeleerlingen de vorige les hebben geleerd.

Leerdoel: Paradoxen analyseren, begrijpen en kunnen vertalen naar logische symbolen.

Leskern: Klassikaal visuele paradoxen (optische illusies) met elkaar analyseren om vervolgens met elkaar te begrijpen wat een paradox inhoudt. Leerlingen gaan in groepjes van vier een paradox uitzoeken en uitwerken. Vorig jaar heb ik leerlingen zelf groepjes laten maken maar ging er te veel tijd op aan het vormen van de groepjes. Destijds had ik me voorgenomen om een volgende keer willekeurig groepjes te maken middels het trekken van lootjes.

De leerlingen mogen zelf bedenken hoe ze de paradox willen uitbeelden, middels een posters, een toneelstukje, of iets anders. Door op deze manier de autonomie bij leerlingen te leggen, zal de motivatie verhogen (Woolfolk, Hughes, & Walkup, 2013). Leerlingen krijgen nog een hele les om hun paradox uit te werken, de les erna zal ieder groepje een presentatie over hun paradox geven aan de klas. De leerlingen mogen elkaar beoordelen op complexiteit en originaliteit van de paradox, en op duidelijkheid en creativiteit van de presentatie. Iedere leerling is verantwoordelijk voor een van deze vier aspecten om onderlinge afhankelijkheid te waarborgen. Het winnende groepje krijgt een verrassing. Hiermee wil ik een competitie-element invoeren, maar niet een cijfer als excentrieke motivatie laten gelden. Tijdens een bespreking met mijn WPB vertelde ik dat ik vrees dat het beoordelen voor een cijfer de kern van het onderzoek zou kunnen afleiden.

Afsluiting: Klassikaal afsluiten middels onderwijsleergesprek. Ik stel de vraag of er een land bestaat waar de verkiezingsparadox plaatsvindt. Daarna de volgende vraag: komt deze paradox in bepaalde situaties ook voor in Nederland?

7. Uitvoering van de ontwerplessen

Tijdens de eerste les over wiskundige logica heb ik een raadsel levensecht uitgevoerd met behulp van drie leerlingen. Alle andere leerlingen probeerden hardop mee te denken wat het antwoord zou zijn van een volgende leerlingen waarvan de blinddoek wordt afgedaan. Ik hoorde ook geluiden van leerlingen die er juist niets van begrepen. Al met al was er veel positieve actie onder leerlingen met een goed werkklimaat tijdens de les.

Deze les heb ik de leerlingen ook de pre-test laten uitvoeren en inleveren. Sommige leerlingen waren duidelijk aan het worstelen met deze manier van vragen in vergelijking met het oplossen van wiskundige sommen.

17 De tweede les heb ik nieuwe symbolen uitgelegd die gebruikt worden bij propositielogica. Enkele leerlingen gaven aan de symbolen al te kennen vanuit hun filosofielessen. Voor hen was de les weinig uitdagend.

De derde les, volgens schema op dezelfde dag gepland, wilde ik weer twee nieuwe symbolen toelichten. Echter had ik verkeerd begrepen dat een studiemiddag voor het gehele docententeam al vanaf het vijfde uur in plaats van het zevende uur zou plaatsvinden. Hierdoor is les 3 voor mijn 4VWO klas verplaatst naar het eerstvolgende uur, een week later op maandag het vierde uur. Tijdens deze les bleek dat er meer leerlingen reeds ervaring hadden met het gebruik van symbolen uit de propositielogica dan ik een week eerder had begrepen. De meeste leerlingen vonden de opgaven makkelijk en waren reeds klaar met de opgaven terwijl het lesuur nog bezig was. Leerlingen kunnen de les mogelijk als minder relevant ervaren omdat het alleen maar herhaling is van kennis die ze al bij het vak filosofie hebben geleerd. Deze les had ik gepland om leerlingen een diepere zelfevaluatie te laten maken. Maar omdat ik merkte dat de meesten niet veel nieuws hadden geleerd die les, heb ik de zelfevaluatie en groepsreflectie achterwege gelaten. Dit kan invloed hebben op de resultaten omdat juist complexere werkvormen als zelfevaluatie en reflectie kan bijdragen aan dat leerlingen met meer plezier werken aan een taak.

Door de studiemiddag op dinsdag 7 mei is de vierde les ook automatisch doorgeschoven. Deze les vond plaats op dinsdagochtend het eerste uur, kennelijk een moeilijk uur voor vierdeklassers. Ook kwam mijn WPB meekijken in deze les en heb ik deze les opgenomen om de nameting op time-on-task uit te voeren. Mogelijk door deze samenloop van omstandigheden en vanwege het toeval waren er slechts negen van de zestien leerlingen aanwezig bij deze les.

Tijdens deze vierde les hebben leerlingen in tweetallen of individueel geleerd, terwijl ik voor ogen had om al in groepjes van vier te gaan werken, dezelfde groepjes waarmee de leerlingen hun paradox gaan uitwerken. Deze afwijking kan invloed hebben op het beoogde effect omdat groepswerkvormen bij kunnen dragen aan een hogere time-on-task door samenwerkend leren.

Ook wilde ik deze les een onderwijsleergesprek begeleiden over de nieuw geleerde term paradox. Echter kwam een gewenste waardevolle discussie niet echt van de grond omdat hiervoor een bepaalde kritieke massa benodigd is en daar niet voldoende leerlingen voor aanwezig waren. Dit kan het beoogde effect beïnvloeden doordat leerlingen minder nut en noodzaak van wiskunde A inzien. Vanwege het lage aantal aanwezigen heb ik het groepsvormen uitgesteld tot het volgende uur, dezelfde dag het vijfde uur, in de hoop dat daar meer leerlingen aanwezig zouden zijn. Dit bleek inderdaad het geval: ’s middags waren dertien van zestien leerlingen aanwezig.

Afwijkend aan mijn lesontwerp was ook het indelen van de groepjes. Waar ik me had voorgenomen groepjes in te delen door lootjes te trekken, gaven de leerlingen aan oud en wijs genoeg te zijn zelf groepjes van vier te maken. Dit kan een positief effect hebben op de resultaten aangezien leerlingen autonoom groepjes maken en het proces zelf kunnen bepalen. Dit kan bijdragen aan een grotere betrokkenheid onder leerlingen.

Voor de vijfde en zesde les heb ik geen lesplan geschreven omdat deze lessen respectievelijk in het teken staan van de groepsopdracht uitvoeren in de mediatheek en de groepsopdracht presenteren aan de klasgenoten. Tijdens de les waarin alle groepjes hun open opdracht (presentatie van een paradox) gingen presenteren, was ik erg onder de indruk geraakt. Ieder groepje had een bestaande paradox op geheel eigen wijze uitgebeeld. Een groep had een les voorbereid waarbij leerlingen opdrachten moesten maken met als leerdoel de verkiezingsparadox te begrijpen. Een andere groep liet aan de hand van een toneelstukje de klas zien waarom de kappersparadox zo ingewikkeld is. Weer een andere groep ging het complexe begrip oneindigheid uitleggen met behulp van Hilbert’s paradox of the Grand Hotel. Als laatste was er een groep dat zelf een filmpje heeft opgenomen en gemaakt waarin Zeno’s paradox van Achilles en de schildpad werd uitgebeeld door twee leerlingen. Tijdens deze les kreeg iedere leerling een beoordelingsformulier waarop ze de andere presentaties konden evalueren. Zo konden leerlingen elke groep op de vier verschillende aspecten waarderen. Leerlingen

18 zelf onderdeel maken van het evaluatieproces bevordert de autonomie. Het was een zeer leuke laatste les als afsluiting van mijn lessenserie over wiskundige logica.

Tijdens deze laatste les heb ik de vragenlijsten afgenomen voor de nameting.

8. Uitvoering van het onderzoek

Wat betreft de voormeting heb ik verschillende momenten gebruikt om de vragenlijsten af te nemen en de time-on-task te meten. Allereerst gebruik ik de data van een ingevulde vragenlijst die ik heb gebruikt voor mijn empirisch onderzoek. Deze vragenlijst, met de onderwerpen gemotiveerde inzet en gemotiveerd gedrag, heb ik eind maart afgenomen bij dertien van mijn leerlingen. De data voor gemotiveerd gedrag zal ik tevens gebruiken als voormeting van de interventie van mijn educatief ontwerp.

De video opgenomen voor mijn voormeting om time-on-task te meten heb ik gefilmd op maandag 15 april. Op maandag ben ik ingeroosterd in het tekenlokaal, een lokaal waar vier tot zes leerlingen op hoge krukken aan grote tafels zitten, wat een rommelige sfeer met zich mee kan brengen. De faciliteiten zijn dermate ingericht dat het geven van een normale les enigszins vermoeilijkt wordt; het beamerscherm hangt over het whiteboard heen waardoor je die niet tegelijkertijd kunt gebruiken, daarnaast gaat het oprollen van het beamerscherm zeer moeizaam. De rommelige sfeer die het lokaal van zichzelf heeft, kan een negatieve impact hebben op de time-on-task.

Daarnaast was dit de laatste les voor de meivakantie en zal de dag erna het klassentoernooi van start gaan, een jaarlijks evenement waar alle klassen en dit jaar ook een lerarenteam tegen elkaar strijden om te befaamde titel. Ieder jaar zijn de vierde klassen verantwoordelijk voor de organisatie van het klassentoernooi. Tijdens deze opgenomen les was men makkelijk afgeleid door de spanning en sensatie voor de start van het klassentoernooi.

Zowel het tekenlokaal als de laatste dag voor het klassentoernooi kunnen impact hebben op de time-on-task in de voormeting en een vertekend beeld geven wanneer voor- en nameting met elkaar worden vergeleken.

Omdat het klassentoernooi al eerder startte dan ik had gedacht heb ik mijn laatste vragenlijst voor de voormeting moeten uitstellen tot de eerste les van de interventie. Idealiter had ik de vragenlijst afgenomen voor de meivakantie zodat het geen onderdeel zou zijn van de interventie. Nu ben ik na de meivakantie, op maandag 6 mei, direct gestart met het afnemen van de vragenlijst voor mijn voormeting, waarna ik de les zoals ontworpen heb vervolgd. Tijdens deze eerste les heb ik ook de pre-test met twee vragen afgenomen zoals in mijn lesplan stond.

Wat betreft de nameting heb ik tijdens de laatste les toen alle groepjes hun presentaties gaven de laatste vijf minuten benut om de vragenlijst voor de nameting af te nemen. Deze les was op maandag 20 mei, waarbij leerlingen tijdens het invullen van de vragenlijst zich duidelijk afvroegen waarom ze deze vragenlijst nog een keer moesten invullen, want dat hadden ze onlangs toch al gedaan. Ik vertelde ze dat het een voor- en een nameting betreft zodat ik een mogelijk effect kan meten van de lessenserie over wiskundige logica. Uit de reacties van leerlingen blijkt dat de voor- en nameting wellicht wat dicht op elkaar zaten. Dat kan mogelijk effect hebben wanneer de data met elkaar vergeleken wordt waarbij er nauwelijks effect te zien is.

In hoofdstuk 5 beschrijf ik dat ik de ‘gemotiveerde inzet’ uit de empirische verkenning als voormeting wil gebruiken, en deze vragenlijst ook als nameting wil laten uitvoeren als leuke extra uitkomsten. Echter aangezien mijn ontwerphypothese niet ingaat op ‘gemotiveerde inzet’ heb ik besloten geen resultaten te verzamelen over deze vragenlijst en daarom deze achterwege te laten voor de nameting.

De nameting voor time-on-task heb ik met videocamera opgenomen op dinsdag 14 mei het eerste uur. Naast het feit dat er slechts negen leerlingen aanwezig waren, kwam mijn WPB kijken in de les.

19 Leerlingen waren daardoor vrij stil en individueel aan het werk. Iedereen heeft het werk binnen het lesuur afgekregen, wat niet representatief is voor een gemiddelde les. Dit kan een overdreven positief effect hebben op de time-on-task van de nameting.

Tijdens de eerste les van mijn interventie heb ik een pre-test afgenomen om een beeld te krijgen van de kennis die leerlingen al hebben over wiskundige logica. Toen ik aan het einde van mijn interventie dezelfde post-test ging afnemen, gaven leerlingen het commentaar dat ze deze vragen pas nog hadden gemaakt. Ik had gehoopt dat ze met een nieuwe blik naar de vragen zouden kijken, nu ze meer ervaring hebben met logica. In plaats daarvan namen ze de post-test niet serieus. De resultaten van de pre- en post-test kan ik daarom helaas niet meenemen in dit onderzoek.

9. Resultaten

Door gestructureerd, systematisch en doelgericht leerlingen te observeren heb ik de time-on-task van leerlingen tijdens mijn les gemeten. Omdat ik zelf de lessen geef, heb ik mijn voormeting- en nameting lessen opgenomen en via de video mijn leerlingen geobserveerd op on-task en off-task uitvoering. Ik observeer acht willekeurig gekozen leerlingen, waarbij ik per leerling na 30 seconde en 60 seconde noteer of deze wel (on-task) of niet (off-task) bezig is met de door mij opgegeven taak. Nadat ik alle acht leerlingen tweemaal heb geobserveerd volgt een volgende cyclus, in totaal zal ik gedurende vijf cycli observeren.

In de grafiek hieronder zijn de resultaten weergegeven van het percentage on-task observaties ten opzichte van het geheel aantal observaties. De eerste drie sets aan kolommen geven de on-task naar lesfase weer waarbij voormeting en nameting naast elkaar is weergegeven. De laatste set kolommen geeft de percentages on-task tijdens voormeting en nameting over de gehele les weer. In bijlage IV zijn de tabellen met verzamelde data van observaties op time-on-task te zien.

Grafiek 1: Percentage on-task activiteit van leerlingen tijdens voormeting en nameting, uitgezet per lesfase

50,00% 33,33% 0,00% 38,24% 66,67% 80,00% 54,17% 68,75% 0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00% 70,00% 80,00% 90,00% 100,00%

Instructie/Klassikaal Werken/Tweetallen Nabespreking/Klassikaal Totale les

Pe rc en ta ge o n-ta sk [% ] Lesfase/Werkvorm Voormeting 15/04/2019 Nameting 14/05/2019

20 In grafiek 1 is duidelijk te zien dat voor elke lesfase de nameting hoger scoort op percentage on-task dan tijdens de voormeting. Bijvoorbeeld tijdens de lesfase ‘werken’ was in de voormeting een derde van de leerlingen bezig met hun taak tegenover tachtig procent tijdens de nameting.

Uit de grafiek is op te maken dat de time-on-task van leerlingen aanzienlijk is gestegen tijdens de nameting als je dit vergelijkt met de voormeting.

In de tabel hieronder zijn de gemiddelde scores op de vragenlijsten betreffende de onderwerpen ‘mate van plezier voor het vak wiskunde’ en ‘mate van nut en noodzaak inzien bij wiskunde’ weergegeven, zowel voor de voormeting als nameting. De vragenlijsten inclusief antwoorden van leerlingen, gemiddelde scores en standaarddeviaties voor zowel voormeting als nameting zijn in bijlage V opgenomen.

Leerlingen uit klas 4wa1 G

em id de ld e vo or m et in g 06 /0 5/ 20 19 G em id de ld e na m et in g 20 /0 5/ 20 19 To en am e of a fn am e

Mate van plezier voor het vak wiskunde

Ik vind het belangrijk dat ik opgaven voor wiskunde leer maken. 2,8 3,4 0,60 Ik vind het belangrijk om de lesstof voor wiskunde te snappen. 3,3 3,9 0,54 Ik heb het liefst opgaven die uitdagend zijn, zodat ik nieuwe dingen kan leren. 2,6 3,6 0,98 Zelfs wanneer ik een proefwerk slecht maak, probeer ik te leren van mijn fouten. 3,1 3,3 0,17 Wat ik bij wiskunde leer, vind ik nuttig om te weten. 2,7 3,1 0,46

Wat ik met wiskunde leer, spreekt mij aan. 2,6 2,7 0,10

Wat ik bij wiskunde leer, vind ik interessant. 3,0 3,1 0,13

Wat ik bij wiskunde leer, kan ik ook bij andere vakken gebruiken. 2,9 3,6 0,71

Mate van nut en noodzaak inzien bij wiskunde

Ik ben tevreden als ik met wiskunde iets heb geleerd dat ik belangrijk vind. 3,8 3,7 -0,16 Ik maak liever moeilijke opdrachten waar ik iets nieuws van leer, dan gemakkelijke

opdrachten. _{3,2 3,1 -0,17}

Ik vind het fijn wanneer ik met wiskunde iets heb geleerd dat ik belangrijk vind. 3,9 3,7 -0,24 Als ik een opgave niet meteen snap, ga ik er juist extra mijn best voor doen. 3,2 3,3 0,02 Ik vind het fijn wanneer ik met wiskunde iets nieuws heb geleerd. 3,5 3,6 0,16

Tabel 6: Gemiddelde scores van leerlingen tijdens voormeting (d.d. 06/05/2019) en nameting (d.d. 20/05/2019)

Uit tabel 6 is op te maken dat de gemiddelde score op ‘mate van plezier voor het vak wiskunde’ voor elke vraag stijgt wanneer de nameting wordt vergeleken met de voormeting. Daartegenover, voor ‘mate van nut en noodzaak inzien bij wiskunde’ blijven de gemiddelde scores veelal gelijk, of dalen zelfs hier en daar iets.

21 De twee vragen met de grootste stijging zijn:

- Ik heb het liefst opgaven die uitdagend zijn, zodat ik nieuwe dingen kan leren. - Wat ik bij wiskunde leer, kan ik ook bij andere vakken gebruiken.

Gevolgd door drie vragen die min of meer een gelijke stijging laten zien: - Ik vind het belangrijk dat ik opgaven voor wiskunde leer maken. - Ik vind het belangrijk om de lesstof voor wiskunde te snappen. - Wat ik bij wiskunde leer, vind ik nuttig om te weten.

Een overzicht van de meest en minst relevante vakken volgens mijn leerlingen is gegeven in respectievelijk grafiek 2 en grafiek 3, zie hieronder. Ik heb het vak op nummer 1 een score van 3 gegeven, gevolgd door nummer 2 met een score van 2 en als laatste het derde vak met een score van 1. Dit geldt zowel voor de meest als minst relevante vakken. Om een eerlijk beeld te geven van de totale scores en omdat bij beide metingen een verschillend aantal leerlingen heeft meegedaan, heb ik de scores uitgedrukt in percentage van het totale aantal uitgegeven punten, zie bijlage VI voor de verzamelde data van meest en minst relevante vakken. Omdat ik de leerlingen vraag naar hun top 3, beschrijf ik de resultaten ook in de vorm van een ranglijst.

Grafiek 2: Meest relevante vakken volgens leerlingen uit 4wa1, gegeven in percentage van het totaal

Tijdens de voormeting scoren leerlingen de vakken Engels, geschiedenis en economie als meest relevant, op de voet gevolgd door maatschappijleer, filosofie en wiskunde. Wiskunde komt samen met filosofie in de voormeting op een gedeelde vijfde plek. Tijdens de nameting zijn Engels, geschiedenis en filosofie als meest relevante vakken genoemd. Gevolgd door economie en Nederlands. Wiskunde en maatschappijleer hebben een gedeelde zesde plek als meest relevante vakken.

Wiskunde kreeg in de voormeting een hogere plek in de lijst van meest relevante vakken vergeleken met de nameting. Een andere opvallende waarde is dat filosofie aanzienlijk steeg (naar de top 3) in de ranglijst van meest relevante vakken.

0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% Aardrijkskunde (demografie) Economie Engels Filosofie Geschiedenis Lichamelijke Opvoeding Maatschappijleer Muziek Nederlands Scheikunde Wiskunde Totale score in % M ee st re le va nt e va kk en

22

Grafiek 3: Minst relevante vakken volgens leerlingen uit 4wa1, gegeven in percentage van het totaal

Uit de voormeting komen Grieks, Frans en lichamelijke opvoeding duidelijk als minst relevante vakken naar voren, gevolgd door Latijn, Duits en Nederlands. Bij de nameting worden dezelfde vakken als top 3 van minst relevant genoemd, weliswaar in een andere volgorde; lichamelijke opvoeding, Frans en daarna Grieks. Op plek 4, 5 en 6 voor minst relevante vakken komen Latijn, Duits en tekenen te staan. Goed om te vermelden dat wiskunde überhaupt niet wordt genoemd in de top 3 van minst relevante vakken.

Naar aanleiding van de verzamelde gegevens uit voor- en nameting heb ik twee interviews gehouden met in totaal vier verschillende leerlingen. Zoals eerder omschreven in hoofdstuk 5 heb ik deze leerlingen geselecteerd op actieve/niet-actieve werkhouding, goede/minder goede resultaten, weinig/veel moeite met verwerking van wiskundige onderwerpen.

De geïnterviewde leerlingen waren het er unaniem over eens dat het onderwerp wiskundige logica een welkome afwisseling is van de gangbare wiskundestof. Men vindt de stof uit het boek vaak droog en daardoor vrij saai. Een leerling geeft aan dat er veel herkenning is vanuit andere vakken. Een andere leerling vindt het opvallend dat dit onderwerp geen getallensommen betreft, en dat het daardoor niet op wiskunde lijkt. Zij geeft wel aan dat ze het wat abstract vindt. Een leerling zegt door het onderwerp wiskundige logica breder te denken en hiermee analytische vaardigheden te ontwikkelen. Wiskunde kan hierdoor meer ondersteuning bieden voor andere vakken en draagt bij aan de algemene ontwikkeling.

Een laatste leerling voegt nog toe dat de opgaven in het lesmateriaal aan de makkelijke kant waren, of dat er te weinig opgaven waren. Hij zegt dat hij het onderwerp niet per se relevant vindt. Maar een les starten met een raadsel vindt hij een leuke verandering en zou hij best vaker terug willen zien.

10. Conclusies en discussie

Om een conclusie te kunnen trekken over mijn onderzoek zal ik eerst de ontwerphypothese herhalen waarna ik vervolgens stapsgewijs de resultaten Y1, Y2 en Y3 zal bespreken.

0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% Aardrijkskunde Duits Economie Engels Filosofie Frans Geschiedenis Grieks Latijn Lichamelijke Opvoeding Maatschappijleer Natuurkunde Nederlands Techniek Tekenen Totale score in % M in st re le va nt e va kk en

23 Als ik de mate van relevantie die leerlingen in het vak wiskunde A voor 4VWO zien (probleem P) aanpak met een lessenserie gericht op betrokkenheid en participatie middels het onderwerp logisch redeneren (interventie X), dan verwacht ik dat deze leerlingen tijdens de les een hogere time-on-task laten zien (resultaat Y1), met meer plezier gaan werken aan hun taak (resultaat Y2) en nut en noodzaak van wiskunde A beter gaan inzien (resultaat Y3).

Resultaat Y1: Time-on-task

De time-on-task is in de nameting aanzienlijk gestegen ten opzichte van voormeting.

Deze stijging kan veroorzaakt zijn door het raadsel dat ik tijdens de eerste les met behulp van leerlingen levensecht heb uitgebeeld. Tijdens deze les merkte ik dat het uitbeelden van dit voorbeeld positief werd ontvangen door leerlingen. Daarnaast vertelt een leerling in het interview dat het onderwerp wiskundige logica bij kan dragen aan de algemene ontwikkeling en daarmee inspeelt op de belevingswereld van de leerling.

Echter, het grote verschil tussen voor- en nameting kan ook veroorzaakt zijn door het moment en de locatie tijdens de voormeting. Een wiskundeles geven in een tekenlokaal met de bijbehorende faciliteiten brengt een rommelige sfeer met zich mee. De voormeting vond plaats op de laatste maandag voor de meivakantie, wat tevens de laatste dag voor het jaarlijkse klassentoernooi was. Aangezien de vierdeklassers verantwoordelijk zijn voor de organisatie van het klassentoernooi bracht dit veel onrust in de les (Teitler, 2017). Daartegenover vond de nameting plaats tijdens een eerste uur, kwam mijn WPB meekijken in de les en waren slechts negen van de zestien leerlingen aanwezig. Ik verwacht dat deze factoren juist hebben bijgedragen aan een les met nauwelijks ordeproblemen en een rustige en serieuze werksfeer.

Aldus kan de enorme stijging in time-on-task een enigszins vertekend beeld weergeven. Echter, wanneer zowel de voor- als nameting meer in de buurt zou komen van een gemiddelde les verwacht ik dat de time-on-task, weliswaar niet zo overduidelijk als in dit onderzoek, maar alsnog wel was gestegen.

Resultaat Y2: Mate van plezier voor het vak wiskunde

De gemiddelde score op elke vraag uit de vragenlijst betreffende ‘mate van plezier voor het vak wiskunde’ is in de nameting duidelijk gestegen ten opzichte van de voormeting, met twee vragen als grootste uitschieters: ‘Ik heb het liefst opgaven die uitdagend zijn, zodat ik nieuwe dingen leer’ en ‘wat ik bij wiskunde leer, kan ik ook bij andere vakken gebruiken’.

Deze stijging is mogelijk te wijten aan de koppeling van wiskundige logica met het vak filosofie die ik vaak heb benadrukt. Het bleek dat deze klas veel filosofieleerlingen kent, dus veel leerlingen kregen een andere kijk op wiskunde door deze meer filosofische manier van wiskundig denken. Dit komt ook overtuigend naar voren bij de ranglijst van meest relevante vakken; het vak filosofie maakt een goede stijging in de nameting vergeleken met de voormeting. Weliswaar stijgt wiskunde niet in deze ranglijst, maar wellicht is de stijging van filosofie te danken aan het onderwerp wiskundige logica. Vakoverstijgende componenten, zoals hier wordt omschreven tussen wiskunde en filosofie, kunnen bijdragen aan de ontwikkeling van het cognitieve schema van leerlingen (Drijvers, van Streun, & Zwaneveld, 2016).

De positieve impact op mate van plezier kan ook komen doordat geïnterviewde leerlingen aangaven dat ze het lesmateriaal een leuke en zeer aangename afwisseling vonden op het wiskundeboek. Ook bleek uit het interview dat er geen getallensommen waren, waardoor het onderwerp minder op wiskunde lijkt.

Een leerling die ik heb geïnterviewd gaf aan dat de opgaven weinig uitdagend voor hem waren, wat in tegenspraak is met de grootste stijger uit de vragenlijst. Echter dezelfde leerling vertelt dat hij de raadsels uit het lesmateriaal heel leuk en uitdagend vond, hij zal elke les wel willen starten met een raadsel.

Samenvattend kan er gesteld worden dat de interventie ‘wiskundige logica’ een positieve impact heeft gehad op de mate van plezier voor het vak wiskunde, mits we ervan uit kunnen gaan dat de gebruikte vragenlijst dit correct meet, zoals onderbouwd in (Pintrich & Groot, 1990).