Wel bedankt voor Uw vriendelijken brief van vanmiddag. Maar ik heb die evenmin begrepen als de quantentheorie.
Lorentz aan Ehrenfest1
Ook al was Ehrenfests rol als leermeester wellicht van groter belang dan die van onderzoeker, dat betekent allerminst dat zijn onderzoek onbetekenend of middelmatig was. Zijn voortdurende neiging tot zelfdepreciatie kan gemakkelijk leiden tot een onderwaardering van zijn onderzoeksresultaten. Het zal in dit hoofdstuk duidelijk worden dat Ehrenfest belangrijke bijdragen leverde aan de voornaamste onderzoeksgebieden in de moderne fysica. Die bijdragen hadden niet alleen de vorm van artikelen, maar moeten voor een belangrijk deel ook worden gezocht in correspondentie en discussie met andere fysici, zoals Bohr en Einstein. Ook op congressen en tijdens colloquia werd Ehrenfests kritische blik hooglijk gewaardeerd. Alvorens nader in te gaan op zijn uiteenlopende onderzoeksbijdragen, is het nuttig om een beeld te schetsen van de ontwikkeling van het vakgebied voorafgaand aan Ehrenfests komst naar Leiden. Daarna zullen diverse onderzoekswerkzaamheden de revue passeren, zoals Ehrenfests werk aan de statistische fysica, de vroege quantumtheorie, de speciale relativiteitstheorie, en de quantumstatistiek. Tot slot zal ik een algemene karakterisering en waardering geven van Ehrenfests bijdragen aan de fysica.
Natuurkunde rond 19002
Het is een veelgehoord cliché: de fysica zou rond 1900 door het merendeel van de fysici gezien zijn als een min of meer voltooid bouwwerk. Alle grote ontdekkingen zouden zijn gedaan. Lijnrecht tegenover deze opvatting staan historici die opperen dat rond 1890 juist een crisisstemming heerste onder toenmalige fysici. De grondslagen van het vakgebied waren veelvuldig onderwerp van debat. Recentelijk heeft onder anderen Suman Seth de stelling verdedigd dat er geen sprake was van een crisis. Feitelijke argumenten geeft hij daar niet voor, los van de constatering dat de grondslagendiscussies onder fysici gewoon onderdeel waren van de dagelijkse praktijk van de theoretische fysica in het fin de siècle.3 Wellicht ligt de waarheid, zoals gewoonlijk, ergens in het midden, zoals Joseph Rouse oppert; volgens hem coëxisteren episodes van ‘normal science’ en ‘crisis’ vaak gedurende lange tijd.4 Iets vergelijkbaars suggereert Seth overigens zelf ook, zij het voor de periode rond 1925.5 Dat de fysica rond 1890 drastisch begon te veranderen staat hoe dan ook buiten kijf.
Onderdeel van de toenmalige natuurkundige praktijk of niet, feit blijft dat fysici rond 1890 zich rekenschap dienden te geven van een aantal fundamentele ontwikkelingen. Maxwells veldentheorie van het elektromagnetisme gold na haar recente doorbraak nog niet als een voltooid geheel, maar werd gezien als een opwindend nieuw gebied voor onderzoek. De kinetische gastheorie, een ander deelgebied dat nog volop in ontwikkeling was, kampte met ernstige problemen van zowel empirische als theoretische aard. Die laatste problemen golden vooral de pogingen de theorie om te bouwen tot een ‘statische mechanica’ teneinde een moleculaire onderbouwing te leveren voor de succesvolle thermodynamica.
Daarnaast werden fysici in het laatste decennium van de eeuw geconfronteerd met een hele reeks nieuwe en moeilijk te duiden
2 Voor de beschrijving van de natuurkunde van 1890-1912 is veelvuldig gebruik gemaakt van Kragh, Quantum generations (1999).
3 Seth, ‘Crisis and the construction of modern theoretical physics’ (2007).
4 Rouse, Knowledge and power (1990) 34-35.
5 Seth houdt een overtuigend betoog dat er rond de opkomst van de
quantummechanica rond 1925 op verschillende plaatsen een ‘crisis’ werd ervaren die moest worden opgelost, en dat er op andere plaatsen (zoals in München) geen spoor van een crisis te vinden was.
ontdekkingen. Nadat Hertz het bestaan van elektromagnetische straling voor het eerst had aangetoond, ontdekte Röntgen de naar hem genoemde straling en Becquerel niet veel later de raadselachtige radioactiviteit. Dit laatste fenomeen dat gepaard bleek te gaan met verschillende soorten straling, leek zich aan alle bekende natuurwetten te onttrekken. In 1896 ontdekte Pieter Zeeman te Leiden de opsplitsing van spectraallijnen in aanwezigheid van een sterk magnetisch veld. Lorentz slaagde erin om Zeemans resultaten te verklaren aan de hand van zijn nieuwe elektronentheorie, een verfijning van Maxwells theorie. Kort daarop ‘ontdekte’ J.J. Thomson Lorentz’ elektron in zijn onderzoek naar kathodestraling. Ook worstelden fysici met het probleem van de samenstelling van de door een zogenaamd ‘zwart lichaam’6 uitgezonden elektromagnetische straling. Zowel langs experimentele als theoretische weg probeerden zij inzicht te krijgen in de spectrale verdeling van de uitgezonden energie.
Kortom, de natuurkunde was rond 1900 volop in beweging. Er leefde een ongewoon sterke interesse voor de grondslagen van de fysische theorieën. In wezen ging het om twee fundamentele vragen. De eerste vraag was die naar de ultieme bouwstenen van de wereld. Was alles opgebouwd uit atomen, energievormen, of wellicht elektrische ladingen, of waren al deze dingen niets anders dan lokale toestanden in de ongrijpbare ether? De tweede, hiermee samenhangende vraag betrof de fundamentele principes die het gedrag van deze ultieme substanties bepalen? Zijn dat de mechanicawetten, de energetische wetten, of de elektromagnetische wetten?
Volgens zogenaamde energeticisten als de chemicus Wilhelm Ostwald bestond de wereld niet uit materiële deeltjes, maar uit verschillende verschijningsvormen van energie en kon zelfs de mechanica worden gereduceerd tot de wetten die het gedrag van deze energievormen bepaalden. De fysicus Ludwig Boltzmann daarentegen zocht juist een verklaring voor waarneembare fysische processen in het bestaan van atomen die onderworpen waren aan de wetten van de mechanica. Op beide zienswijzen bestond nogal wat kritiek, maar het
6 Een ‘zwart lichaam’ is door Kirchhoff gedefinieerd als een lichaam dat alle invallende straling absorbeert, daar waar vrijwel alle bestaande objecten een deel van die straling weerkaatsen. Kirchhoff liet zien dat de spectrale verdeling van de uitgezonden energie van een dergelijk lichaam een universele functie is van de temperatuur van het lichaam en de frekwentie van de straling,
atoom had voor fysici uiteindelijk teveel voordelen om het zomaar aan de kant te zetten. Dat betekende echter niet dat het atoom als een niet verder reduceerbare bouwsteen van de werkelijkheid werd gezien en iets soortgelijks gold voor de wetten van de mechanica.
Vanaf de eeuwwisseling groeide het geloof dat het elektromagnetisme als onderbouwing kon dienen voor de mechanica en zelfs voor de gehele fysica. Het elektromagnetische wereldbeeld, zoals in 1900 werd uitgedragen door zijn exponent Wilhelm Wien, vond zijn oorsprong in Lorentz’ elektronentheorie. Materie zou zijn opgebouwd uit massaloze elektrische deeltjes, die echter wel een soort schijnmassa ontleenden aan de wisselwerking met hun eigen elektromagnetische veld.7 De elektrische deeltjes zelf werden veelal weer gezien als lokale vervormingen van de ether, die tevens de drager was van de elektrische velden. Dit beloftevolle programma wekte vooral onder Duitse fysici veel enthousiasme op, maar bleek uiteindelijk niet in de verwachte doorbraak te resulteren. Doorbraken kwamen er wel, maar uit een heel andere richting.
In 1900 onderzocht Planck langs theoretische weg de spectrale samenstelling van de door een zwart lichaam uitgestraalde energie en kwam zo tot een resultaat dat goed strookte met de meest recente metingen. Die afleiding vereiste echter wel de merkwaardige aanname dat de energie van hypothetische resonatoren – verantwoordelijk voor de uitzending van de straling – gequantiseerd was in eindige energie-elementjes. Leek het hier aanvankelijk nog te gaan om een artefact van Plancks specifieke benadering, geleidelijk werd duidelijk dat energiequanta tamelijk hardnekkig waren en bovendien slechts een voorbode vormden van een heel nieuw soort fysica.
Een andere opmerkelijke ontwikkeling, waarvan het belang slechts zeer geleidelijk doordrong, voltrok zich door toedoen van Einstein. In 1905 liet Einstein zien dat de bestaande elektromagnetische theorie tot een vreemde asymmetrie leidde in de beschrijving van ten opzichte van elkaar bewegende magneten en geleiders. Die asymmetrie vertaalde zich niet in de verschijnselen. Dit werd door Einstein als een ernstige tekortkoming van de theorie gezien. Om die tekortkoming op te heffen introduceerde hij twee postulaten. Het relativiteitspostulaat zegt
7 Middels zelfinductie verzetten die velden zich tegen de verandering van beweging van de elektrische deeltjes en dat verzet manifesteert zich als een soort van traagheid oftewel (trage) massa.
dat in elk inertiaalstelsel dezelfde natuurwetten gelden. Het lichtpostulaat stelt dat de snelheid van het licht in vacuüm in alle inertiaalstelsels dezelfde constante waarde aanneemt, onafhankelijk van de snelheid van de lichtbron. Resultaat van deze postulaten is dat er geen voorkeursstelsel bestaat waarvan gezegd kan worden dat het in absolute rust verkeert. Volgens Einstein was daarmee de ether, die tot dan toe als grondslag voor een voorkeurstelsel kon dienen, overbodig geworden.
Einstein kwam op basis van zijn postulaten uit op dezelfde transformatieformules die Lorentz had geïntroduceerd voor de overgang naar een stelsel met een andere bewegingstoestand, namelijk de Lorentztransformaties, en hetzelfde gold voor de daaruit volgende Lorentzcontractie. De fysische betekenis van die formules mocht dan in Einsteins theorie volstrekt anders zijn dan in die van Lorentz, door de overeenkomst in de voorspellingen zagen veel fysici geen verschil tussen beide theorieën en sprak men veelal van de Lorentz-Einstein-theorie. Pas na enkele jaren drong geleidelijk het inzicht door dat Einsteins theorie afrekende met traditionele opvattingen over ruimte en tijd.
Ehrenfest studeerde van 1899 tot 1906, ten tijde van de hierboven besproken ontwikkelingen. Het werk dat hij publiceerde in de periode 1903-1912 behandelde een groot deel van de nieuwe natuurkunde. Van zijn hand verschenen in deze periode vijfentwintig artikelen, waarvan ruwweg een tiental artikelen op het gebied van de thermodynamica en statistische mechanica – in geen geval een afgerond en volledig begrepen gebied. Een vijftal artikelen behandelde de nieuwe en nog onbegrepen theorie van de spectrale verdeling van de door een zwart lichaam uitgestraalde energie. Een ander vijftal ging over de gloednieuwe relativiteitstheorie. Met zijn artikelen begaf Ehrenfest zich in de frontlinie van het theoretisch fysisch onderzoek. Ook in de jaren daarna bleef hij actief op het gebied van de meest fundamentele en vernieuwende onderwerpen binnen de theoretische fysica.
Opvallend is zijn voorliefde voor de grondslagen van zijn vakgebied. Hij reageerde veelal op de bijdragen van anderen. Op glasheldere wijze liet hij dan zien waar problemen en paradoxen optraden. Hij streefde daarbij naar de meest simpele oplossing. Hij wilde voor zichzelf en anderen onduidelijkheden wegwerken en schiep op deze manier helderheid. Zowel in de statistische fysica, als bij de relativiteitstheorie en de opkomende quantumtheorie leverde hij essentiële bijdragen aan de verheldering en erkenning van deze theorieën. Hieronder zullen Ehrenfests voornaamste bijdragen aan de
relativiteitstheorie, de quantumtheorie, de dimensionaliteit van de ruimte, de quantumstatistiek en tenslotte de quantummechanica worden behandeld.
Relativiteitstheorie
Nadat in 1905 Einsteins speciale relativiteitstheorie het licht zag, was het zoals gezegd niet meteen duidelijk of en in hoeverre deze theorie verschilde van Lorentz’ elektronentheorie.8 Wat in ieder geval in beide theorieën problematisch was, was de gedeelde aanname dat bewegende elektronen konden deformeren. Ehrenfest liet op eenvoudige wijze zien dat een deformerend elektron – dat de vorm van een ellipsoïde zou aannemen – bij beweging niet stabiel zou kunnen zijn. Begon het elektron maar iets te deformeren, dan zou het nooit meer naar zijn oorspronkelijke vorm kunnen terugkeren. Anderen hadden geopperd dat er externe krachten voor nodig waren om een gedeformeerd elektron in een uniforme translatie te houden.9 Ehrenfest ging in een volgend artikel uit van een elektron met willekeurige, niet-ellipsoïde vorm, dat in principe wel kon deformeren. Zou een dergelijk elektron met een constante snelheid kunnen bewegen zonder dat daar externe krachten voor nodig waren? Was dat niet het geval, dan zou een andere hypothese in de relativiteitstheorie moeten worden geïntroduceerd, omdat anders het deformerend elektron een instrument kon leveren voor het bepalen van een absoluut ruststelsel. Was dat wel het geval, dan zou dat zonder extra aannamen uit Einsteins theorie af te leiden zijn.10
Einstein reageerde onmiddellijk op Ehrenfests artikel. Hij merkte onder andere op dat volgens de relativiteitstheorie voor de bepaling van de beweging van het elektron een theorie van de relativistische dynamica
8 De volgende paragraaf leunt zwaar op Klein, Paul Ehrenfest (1970), en op: Miller, Albert Einstein’s special theory of relativity (1981). Zie voor Ehrenfests rol in het onderzoek naar elektronen, de relativiteitstheorie en relativistische deformatieverschijnselen: Staley, Einstein’s generation (2008) 260-293.
9 Abraham, ‘Prinzipien der Dynamik des Elektrons’ (1903) 105-179.
10 P. Ehrenfest, ‘Zur Stabilitätsfrage bei den Bucherer-Langevin-Elektronen’,
Physikalische Zeitschrift 7 (1906) 302-303; CSP, 117-118; P. Ehrenfest, ‘Die
Translation deformierbarer Elektronen und der Flächensatz’, Annalen der Physik 23 (1907) 204 -205; CSP, 144 -145.
van starre lichamen vereist was.11 De relativiteitstheorie bleek dezelfde bewegingsvergelijking voor het bewegende elektron op te leveren als Lorentz’ theorie van het deformerende elektron, alleen wist Einstein dit voor elkaar te krijgen zonder aanvullende hypothese over de bouw of het gedrag van het elektron.12
Born ontwikkelde in 1909 een theorie voor relativistische starre lichamen, waarbij ieder volume-element van een star lichaam ongedeformeerd bleef in haar eigen ruststelsel. Datzelfde jaar publiceerde Ehrenfest een artikel, waarin hij liet zien dat de theorie een opzienbarende paradox opleverde.13 Ehrenfest beschouwde een cilinder met een eenparige rotatie om zijn as. Ieder element op de rand van een draaiende cilinder bezit een momentane snelheid loodrecht op de straal van de cilinder en zou dus contraheren. De totale omtrek van de cilinder neemt af. In radiale richting is er geen beweging, en er is dan ook geen Lorentzcontractie van cilinderelementen langs de straal van de cilinder. De straal zal dus niet afnemen. Dat was echter in tegenspraak met de vaste verhouding tussen cirkelomtrek en straal. Deze opmerkelijke paradox werd al snel de ‘Ehrenfestparadox’ genoemd.14
F. Noether rekende uit dat er inderdaad een Ehrenfestparadox bestond, maar had daar tien pagina’s rekenwerk voor nodig.15 Ehrenfests kraakheldere artikel was maar één pagina lang en bevatte vrijwel geen wiskunde. Hij legde hiermee enkele problemen in de relativiteitstheorie bloot, en lokte diverse reacties uit. Die varieerden van mogelijke oplossingen van de paradox, tot afwijzingen van de gehele relativiteitstheorie.16 Heersend onbegrip rond Einsteins theorie werd
11 A. Einstein, ‘Bemerkungen zu der Notiz von Hrn. Paul Ehrenfest: „Die Translation deformierbarer Elektronen und der Flächensatz“’, Annalen der Physik 23 (1907) 206-208; EP 2, 410-412.
12 Einstein, Mijn theorie (1997) 45.
13 P. Ehrenfest, ‘Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie’,
Physikalische Zeitschrift 10 (1909) 918; CSP, 154. Zie hierover tevens: Hollestelle, Honderd jaar Ehrenfestparadox (2009).
14 Vrijwel tegelijkertijd zagen Born en Einstein in dat een roterend star lichaam voor problemen zorgde: Born, ‘Über die Definition des starren Körpers’ (1910) 233-234; A. Einstein aan A. Sommerfeld, 29 september 1909. In: Eckert en Märker, Arnold Sommerfeld: Wissenschaftliche Briefwechsel Band 1: 1892-1918 (2000) 362-363.
15 Noether, ‘Zur Kinematik des Starren Körpers in der Relativtheorie’ (1910) 919-944.
16 Born, ‘Über die Definition starren Körpers’ (1910) 233-234, Planck, ‘Gleichförmige Rotation und Lorentz-Kontraktion’ (1910) 294, Abraham, ‘Die
aldus aan het licht gebracht. Volgens een aantal fysici en wiskundigen zou Ehrenfests paradox slechts onderstrepen dat metingen aan bewegende lichamen in Einsteins theorie slechts ‘schijnbare waarden’ opleverden, veroorzaakt door de manier van klokkenregulering en lengtemeting in Einsteins theorie.17 De Lorentzcontractie was volgens hen een subjectief, haast psychologisch fenomeen.
Ehrenfest reageerde met een aantal artikelen op Einsteins critici. Ook Einstein zelf mengde zich in de discussie.18 Dit luidde het begin in van de acceptatie van de relativiteitstheorie als een wezenlijke innovatie; na de toelichting van Ehrenfest en Einstein werd Einsteins theorie eindelijk gezien als fundamenteel verschillend van die van Lorentz. Dat dit onderscheid werd gemaakt was in grote mate te danken aan Ehrenfests scherpzinnige bijdragen.19 De Ehrenfestparadox werd overigens door Einstein zelf als hoogst problematisch gezien. De realisatie dat een waarnemer op de schijf de waargenomen effecten kan toeschrijven aan de schijnbare aanwezigheid van een gravitatieveld, zette Einstein op het spoor van de algemene relativiteitstheorie. De Ehrenfestparadox vormde zo een cruciale ‘missing link’ in Einsteins ontwikkeling van de algemene relativiteitstheorie.20
Quantumtheorie
Ehrenfest liep wederom vooraan toen in 1911 de quantumtheorie in de schijnwerpers kwam te staan. Vanaf 1905 was hij een van de zeer weinigen die actief werkten aan de hypothese van het quantum. De quantumhypothese was in 1900 min of meer per ongeluk geïntroduceerd door Max Planck. Planck hoopte een diepere verklaring te vinden voor
Bewegungsgleichungen eines Massenteilchens in der Relativtheorie’ (1910) 527-531.
17 Zie bijvoorbeeld: Lewis en Tolman, ‘The principle of relativity, and non-newtonian mechanics’ (1909) 510-523; Von Ignatowsky, ‘Der starre Körper und das Relativitätsprinzip’ (1910) 607-630; Varičak, ‘Zum Ehrenfestschen
Paradoxon’ (1911) 169-170. Ook fysici als Van der Waals jr waren deze mening toegedaan.
18 Er treden wel degelijk spanningen op in de cylinder en het betreft dus geen psychologisch fenomeen.
19 Miller, Albert Einstein’s special theory of relativity (1981) 253.
20 Stachel, ‘The rigidly rotating disk as the “missing link” in the history of general relativity’ (1989) 48-62.
een eerder door hem voorgestelde uitdrukking voor de spectrale verdeling van een zwarte straler. Hij introduceerde daartoe de ‘resonator’, een eenvoudig model voor de emissie en absorptie van straling door materie. Planck beschouwde een zeer groot aantal trillende resonatoren in een afgesloten isotherme ruimte in thermisch evenwicht met elektromagnetische straling. Planck zocht vervolgens de meest waarschijnlijke verdeling van de energie over de resonatoren om aldus een uitdrukking te vinden voor de entropie van het systeem. Hij verdeelde daartoe de totale energie in een aantal energie-elementjes. Uit de entropie-uitdrukking volgde de gemiddelde energie van de resonatoren als functie van de frequentie en temperatuur en die hing weer op een eenvoudige manier samen met de energiedichtheid van de straling. Deze aanpak leverde de gezochte uitdrukking, maar alleen met de aanname dat de energie-elementjes een eindige grootte bezaten, evenredig aan de frequentie van de resonatoren en dus van de bijbehorende straling.
Aan dit resultaat hechtte hij in eerste instantie geen enkel belang. Zijn aandacht ging vooral uit naar twee nieuwe natuurconstanten die in het eindresultaat opdoken, tegenwoordig bekend als de constante van Boltzmann en de constante van Planck.21 Experimentele fysici bevestigden Plancks distributiewet, maar bekommerden zich niet om de achterliggende theorie. In de periode 1900-1910 werkten er al met al maar een zestal fysici serieus aan het probleem: Planck, Lorentz, Einstein, Ehrenfest, Jeans en Larmor.22 Lorentz was in 1901 de eerste na Planck die erover publiceerde. In 1903 toonde Lorentz aan dat de theorie van Planck bij grote golflengtes compatibel was met zijn eigen elektronentheorie, al waren de fundamentele aannames van beide theorieën verschillend. Lorentz merkte op dat de introductie van eindige energiehoeveelheden een essentieel onderdeel van de theorie van Planck leek te zijn.23
21 Kuhn, Black-body Theory and the Quantum Discontinuity (1978) ; Van Lunteren,
Geschiedenis van de moderne natuurkunde, 158-164.
22 Kragh, Quantum generations (1999) 65.
23 Lorentz, ‘The Theory of Radiation and the Second Law of Thermodynamics’ (1901) 436-450; Lorentz, ‘Boltzmann’s and Wien’s laws of radiation’ (1901) 607-620; Lorentz, ‘On the Emission and Absorption by Metals of Rays of Heat of Great Wave-Lengths’ (1903), in: Lorentz, Collected Papers III (1936) 155-176; Zie ook: Klein, Paul Ehrenfest (1970) 230-232.
Lorentz gaf college over stralingstheorie, net toen Paul Ehrenfest in de lente van 1903 zijn bezoek bracht aan Leiden. Ehrenfest las het werk van Planck en Lorentz, maar begon pas zelf aan het probleem te werken nadat hij zijn dissertatie had afgerond. In de periode 1905-1906 schreef hij een tweetal artikelen over Plancks stralingstheorie.24 Een van Ehrenfests conclusies was dat Plancks methode onvermijdelijk leidde naar de door Planck gevonden spectraalverdeling.25 Voor Plancks methode moest een extra aanname