Vediamo ora come determinare la semantica, cioè il valore di verità, di formule predicative su un certo alfabeto del primo ordine. La prima osservazione è che non tutte tali formule possono avere una semantica ben definita. Per esempio, interpretando in modo ovvio il simbolo di predicato

≤ come la relazione “minore o uguale” sui naturali, la formula x ≤ 0 non ha un valore di verità ben determinato: essa valetse sostituiamo x con 0, efse sostituiamo x con un qualunque altro naturale. Invece la semantica delle formule (∃x . x ≤ 0) e (∀x . x ≤ 0) è ben definita, perché le quantificazioni ∀x e ∃x indicano come deve essere sostituita x per determinare il valore di verità:

(∃x . x ≤ 0) valetperché c’è almeno un naturale minore o uguale a 0, mentre (∀x . x ≤ 0) valef perché non tutti i naturali sono minori o uguali a 0.

Definizione 8.7.1 (campo di azione, variabili legate e libere, formule aperte e chiuse). Il campo d’azione (o portata o scope) della quantificazione ∀x nella formula (∀x . P ) è l’intera formula P , e analogamente per la quantificazione esistenziale. Una specifica occorrenza di una variabile x in una formula P è detta legata se compare nella portata di una quantificazione ∀x o ∃x, altrimenti è detta libera. Una formula P è chiusa se ogni occorrenza di variabile in essa è legata, altrimenti è aperta. Invece una formula come x ≤ 0 viene detta aperta perché contiene una variabile, la x, che compare nella formula senza essere legata a un corrispondente quantificatore. Una variabile che non è legata a un quantificatore viene detta libera.

Esempio 8.7.2 (campo d’azione, formule aperte e chiuse). Nella formula seguente le parentesi graffe mostrano il campo d’azione dei due quantificatori. La formula è chiusa perché ogni occorrenza di variabile (le due x e la y) compare nel campo d’azione di un corrispondente quantificatore.

(∀x .

Invece la formula che segue è aperta, perché la seconda x non è nel campo di azione di un ∀x o ∃x.

(∀x . x > 0

Data una formula su un certo alfabeto A, per associarle un valore di verità dobbiamo fissare il significato dei simboli di costante, di funzione, di predicato e delle variabili che compaiono in essa, esattamente come per una formula proposizionale dovevamo fissare un valore di verità per ogni simbolo proposizionale. Per far questo fisseremo un dominio di interpretazione, cioè un insieme, e un’interpretazione dei simboli di costante come elementi del dominio, e dei simboli di funzione e di predicato come opportune funzioni o relazioni sul dominio. Le variabili verranno trattate diversamente, perchè il loro assegnamento a elementi del dominio può cambiare dinamicamente durante la valutazione della semantica di una formula, a differenza dell’interpretazione degli altri simboli che rimana fissa.

Quindi il concetto di interpretazione, già visto nel caso più semplice del calcolo proposizionale, viene arricchito nel modo seguente.

8.7. Interpretazioni e semantica delle formule predicative

Definizione 8.7.3 (interpretazione per alfabeto del primo ordine). Un’interpretazione I per un alfabeto del primo ordine A = (C, F , P, V) è una coppia I = (D, α) dove D è il dominio (di interpretazione) (un insieme di valori), mentre α è un’associazione costituita da tre componenti α = hαC, αF, αPi, dove:

• αC : C → D associa a ogni simbolo di costante in C un elemento del dominio;

• αF = {αFn}n∈N+ è una famiglia di funzioni, in cui αFn associa a ogni simbolo di funzione f ∈ Fn una funzione αFn(f ) : Dn→ D, cioè una funzione n-aria su D.

• αP = {αPn}n∈N è una famiglia di funzioni, dove

– αP0 associa a ogni simbolo di predicato di arietà zero un valore booleano, cioè αP0 : P0→ Bool.

– per ogni n ∈ N+, αPn associa a ogni simbolo di predicato A ∈ Pn un sottoinsieme αPn(A) ⊆ Dn.

Una volta fissata un’interpretazione per un alfabeto A possiamo utilizzarla per associare un valore di verità (la semantica) a ogni formula chiusa scritta con simboli in A.

Ma prima di vedere come si fa, introduciamo le interpretazioni per gli alfabeti dell’Esempio 8.5.4, in modo da poter poi presentare degli esempi. Nel caso degli alfabeti dei naturali, delle persone e degli insiemi queste interpretazioni associano ai vari simboli il significato standard che ci aspettiamo, ma sono comuque necessarie per collegare le entità sintattiche (i simboli degli alfabeti) con la corrispondente semantica definita sul dominio di interpretazione.

Definizione 8.7.4 (esempi di interpretazioni).

1. Per l’alfabeto AT = (CT, FT, PT, VT) dell’Esempio 8.5.4 introduciamo l’interpretazione IT = (DT, αT) dove

• DT = {a, b, c}, quindi il dominio è finito;

• αT = hαTC, αTF, αTPi;

• αTC(k) = a;

• αTF(f ) = {a 7→ b, b 7→ c, c 7→ a};

• αTP(A) = {a, b};

• αTP(B) = {(a, a), (c, a), (c, b), (b, c)}.

Si noti che coerentemente con la convenzione adottata nell’Esempio 8.5.4, consideriamo αTF e αTP come delle funzioni e non come famiglie di funzioni. La loro definizione per ogni simbolo è consistente con la corrispondente arietà, che non è scritta esplicitamente ma si può ricavare dalla definizione dell’alfabeto. Infatti αTF(f ) : DT → DT è una funzione unaria, αTP(A) è un sottoinsieme di DT e αTP(B) è un sottoinsieme di D2T.

2. L’ interpretazione (standard) per l’alfabeto dei naturali AN= (CN, FN, PN, VN) è la coppia IN= (DN, αN) dove il dominio DNè costituito dall’insieme dei naturali N, mentre αN= hαNC, αNF, αPNi dove

• αNC : CN→ N associa a ogni simbolo di costante c ∈ CN(= N) se stessa;

• αNF associa a ogni simbolo di funzione in FN la corrispondente funzione sui naturali. Per esempio, αFN(succ) è la funzione successore che mappa ogni numero x su x + 1, quindi per esempio αNF(succ)(5) = 6; invece αNF(+) è l’addizione su naturali, quindi per esempio αNF(+)(3, 5) = 8, e così via.

• αNP associa a ogni simbolo di predicato in PN di arietà n la corrispondente proprietà sui naturali, cioè l’insieme di n-uple di naturali che la soddisfano. Per esempio, per tutti i naturali n, m ∈ N, (n, m) ∈ αNP(≤) se e solo se n è minore o uguale a m; mentre n ∈ αNP(primo) se e solo se n è un numero primo.

8. Cenni di Logica Matematica

3. L’interpretazione (standard) IP dell’alfabeto delle persone AP = (CP, FP, PP, VP) ha come dominio appunto l’insieme di tutte le persone. I simboli di costante, di funzione e di predicato sono associati nel modo ovvio a persone, a funzioni o a relazioni definite su persone. Per esempio, αPC(Aldo) è una determinata persona di nome Aldo; αPC(Joe Biden) è un politico americano, attualmente Presidente Eletto degli USA; αPF(padre) è la funzione che associa ogni persona al suo

padre naturale; e (p, q) ∈ αPP(fratelli) se e solo se le persone p e q sono fratelli.

4. Infine l’interpretazione (standard) dell’alfabeto degli insiemi ha come dominio un insieme che ha come elementi sia gli insiemi di nostro interesse (come N, Z, ecc.) che i loro elementi. I simboli di costante, di funzione e di predicato elencati nell’Esempio 8.5.4 sono associati in modo ovvio al corrispodente significato rispettando la usuale notazione matematica.

Semantica di termini e di formule predicative

Come nel caso del calcolo proposizionale, la semantica di una formula predicativa per una data interpretazione può essere definita in modo induttivo. Dobbiamo però considerare separatamente la categoria sintattica dei termini, visto che la loro semantica non è un booleano ma un elemento del dominio. Inoltre sia formule che termini possono in generale contenere variabili libere, per cui la semantica è parametrica rispetto a un assegnamento che associa a ogni variabile un elemento del dominio.

Definizione 8.7.5 (assegnamento). Dato un alfabeto A con insieme di variabili V e un’interpreta-zione I = hD, αi, un assegnamento è una funun’interpreta-zione parziale r : V → D.10

Dati un assegnamento r : V → D, una variable x ∈ V e un elemento d ∈ D, con r[x 7→ d]

denotiamo l’assegnamento così definito:

r[x 7→ d](y) =

 d se y = x r(y) altrimenti.

Se ∅ : V → D è la relazione vuota, scriveremo semplicemente [x 7→ d] per ∅[x 7→ d].

Definizione 8.7.6 (semantica dei termini). Data una interpretazione I = hD, αi e un assegnamento r : V → D, il valore rispetto ad I ed r di un termine è dato dalla funzione parziale11

[[_]]rI: Term → D definita per induzione strutturale come segue:

1. [[x]]rI = r(x) per ogni x ∈ V (il valore di una variable è determinato dalla sostituzione);

2. [[c]]rI = αC(c) per ogni c ∈ C (il valore di un simbolo di costante è determinato da αC);

3. Se f è un simbolo di funzione di arietà n e [[t1]]rI = d1, . . . , [[tn]]rI= dn, allora [[f (t1, . . . , tn)]]rI= αF(f )(d1, . . . , dn)

(si valutano ricorsivamente i sottotermini e si applica la funzione αF(f )).

Esempio 8.7.7 (da termini a elementi del dominio).

1. Consideriamo l’alfabeto AT dell’Esempio 8.5.4 e l’interpretazione IT = (DT, αT) della Definizione 8.7.4. Esempi di termini sono la variabile x, la costante k, f (k), e f (f (x)). Dato una assegnamento r : VT → DT = {a, b, c} tale che r(x) = b, i corrispondenti valori sono:

• [[x]]rI

T = r(x) = b (Definizione 8.7.6, clausola 1);

• [[k]]rIT = αTC(k) = a (Definizione 8.7.6, clausola 2);

10Ricordiamo che diversamente da una funzione, una funzione parziale è una relazione univalente ma non necessariamente totale (Definizione 2.5.23).

11Poiché r è una funzione parziale, [[t]]rI potrebbe non essere definito per un termine t. Per come useremo gli assegnamenti questo non può mai succedere, quindi per semplicità ignoriamo questa possibilità e consideriamo la funzione totale.

8.7. Interpretazioni e semantica delle formule predicative

[[f (k)]]rIT = αTF(f )([[k]]rIT) (Def. 8.7.6, cl. 3)

= αTF(f )(a) (Def. 8.7.6, cl. 2)

= b (Def. 8.7.4, punto 1)

[[f (f (x))]]rIT = αTF(f )([[f (x)]]rIT) (Def. 8.7.6, cl. 3)

= αTF(f )(αTF(f )([[x]]rIT)) (Def. 8.7.6, cl. 3)

= αTF(f )(αTF(f )(b)) (Def. 8.7.6, cl. 2)

= αTF(f )(c) (Def. 8.7.4, punto 1)

= a (Def. 8.7.4, punto 1)

2. Consideriamo ora l’alfabeto dei naturali AN. Esempi di termini sono 5, 7+x, e succ((y×4)/5).

Dato un assegnamento r : VN→ N tale che r(x) = 8 e r(y) = 3, i corrispondenti valori del dominio rispetto all’interpretazione standard IN e a r sono:

• [[5]]rI

N = αNC(5) = 5;

• [[7 + x]]rI

N = αNF(+)([[7]]rI

N, [[x]]rI

N) = αNF(+)(7, r(x)) = 7 + 8 = 15;

[[succ((y × 4)/5)]]rI

N = αNF(succ)([[(y × 4)/5]]rI

N) (Def. 8.7.6, clausola 3)

= αNF(succ)(([[y]]rI

N× [[4]]rI

N)/[[5]]rI

N) (Def. 8.7.6, cl. 3 e Def. 8.7.4, cl. 1)

= αNF(succ)((r(y) × 4)/5) (Def. 8.7.6, clausole 1 e 2)

= αNF(succ)((3 × 4)/5) (r(y) = 3 per ipotesi)

= αNF(succ)(2) (Calcolo (“/” è divisione intera))

= 2 + 1 = 3. (Def. 8.7.4, punto 2)

La semantica delle formule è definita anche essa per induzione strutturale in modo parametrico rispetto a una interpretazione e a un assegnamento. Se una formula è aperta, essa può assumere valori di verità diversi nella stessa interpretazione a seconda del valore che l’assegnamento associa alle variabili libere (si pensi semplicemente a primo(x) valutato nell’interpretazione INcon r(x) = 3 o r(x) = 6). Invece se una formula è chiusa, il suo valore in una interpretazione è univocamente determinato. Presentiamo prima la semantica delle formule generali e poi quella delle formule chiuse.

Definizione 8.7.8 (Semantica della logica dei predicati (anche formule aperte)). Data una interpretazione I = (D, α) per un alfabeto A e una sostituzione r : V → D, il valore rispetto ad I ed r delle formule predicative è dato dalla funzione

[[_]]rI: Pred → Bool definita sulle formule per induzione strutturale come segue:

1. [[T]]rI=t e [[F]]rI=f;

2. Per ogni A ∈ P0, [[A]]rI = αP0(A).

3. Per ogni A ∈ Pn di arietà n > 0,

[[A(t1, . . . , tn)]]rI=

 t se ([[t1]]rI, . . . , [[tn]]rI) ∈ αPn(A) f altrimenti.

4. [[(P )]]rI= ([[P ]]rI) per ogni P ∈ Pred;

5. [[¬P ]]rI = ¬[[P ]]rI per ogni formula atomica P ;

6. [[P op Q]]rI= [[P ]]rIop [[Q]]rIper ogni connettivo op ∈ {∧, ∨, ⇒, ⇐, ⇔} e per ogni P, Q ∈ Pred.

8. Cenni di Logica Matematica

7. [[(∀x . P )]]rI=t se e solo se [[P ]]r[x7→d]I =t per ogni d ∈ D.

8. [[(∃x . P )]]rI=t se e solo se [[P ]]r[x7→d]I =t per almeno un d ∈ D.

Definizione 8.7.9 (Semantica della logica dei predicati (formule chiuse)). Data una interpretazione I = (D, α) per un alfabeto A = (C, F , P, V) e una formula chiusa P , usando la Definizione 8.7.8 il valore di P rispetto ad I è definito come

[[P ]]I = [[P ]]I dove ∅ : V → D è la relazione vuota.

Vediamo qualche esempio di valutazione della semantica di formule chiuse senza e con quantificatori.

Esempio 8.7.10 (semantica di formule chiuse senza quantificatori). Consideriamo l’interpretazione standard dei naturali IN, e vediamo la semantica di alcune formule chiuse senza quantificatori (e quindi senza variabili).

• Mostriamo che [[0 ≤ 1]]IN =t: [[0 ≤ 1]]IN = [[0 ≤ 1]]I

N (Def. 8.7.9)

= ([[0]]I

N, [[1]]I

N) ∈ αIPN(≤) (Def. 8.7.8, clausola 3)

= (0, 1) ∈ αIPN(≤) (Def. 8.7.6, clausola 2)

= 0 ≤ 1 (Def. 8.7.4, punto 2)

= t

• Mostriamo che [[pari(2) ⇒ primo(2)]]I

N =t: [[pari(2) ⇒ primo(2)]]I

N

= [[pari(2) ⇒ primo(2)]]I

N (Def. 8.7.9)

= [[pari(2)]]I

N ⇒ [[primo(2)]]I

N (Def. 8.7.8, clausola 6)

= ([[2]]I

N ∈ αIPN(pari)) ⇒ ([[2]]I

N ∈ αIPN(primo)) (Def. 8.7.8, clausola 3)

= (2 ∈ αIPN(pari)) ⇒ (2 ∈ αIPN(primo)) (Def. 8.7.6, clausola 2)

= tt (Def. 8.1.6)

= t

Esempio 8.7.11 (semantica di formule chiuse con quantificatori). Consideriamo l’alfabeto AT

dell’Esempio 8.5.4 e l’interpretazione IT = (DT, αT) della Definizione 8.7.4. Valutiamo la semantica della formula

Φ = (∀z . A(f (z))) ∨ (∀y . (∃x . B(x, y) ∧ A(x)))

In questo caso particolare, poichè il dominio DT = {a, b, c} è finito, possiamo gestire i quantificatori molto facilmente, valutando il quantificatore universale come una congiunzione e quello esistenziale come una disgiunzione. Mostriamo che la formula è falsa nell’interpretazione data.

Per prima cosa valutiamo [[A(f (z))]][z7→b]I

T . Abbiamo:

[[A(f (z))]][z7→b]IT

= [[f (z)]][z7→b]IT ∈ αTP(A) (Def. 8.7.8, clausola 3)

= αTF(f )([[z]][z7→b]IT ) ∈ αTP(A) (Def. 8.7.6, clausola 3)

= αTF(f )(b) ∈ αTP(A) (Def. 8.7.6, clausola 1)

= c ∈ {a, b} = f (Def. 8.7.4, punto 1)

(8.12)

In document University of Groningen Selection, preservation and evaluation of lungs from donors after circulatory death Van De Wauwer, Caroline (Page 55-58)

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