LRA-displaced people coming to the city

In document Exploring Primary Justice in South Sudan: Challenges, concerns, and elements that work (Page 53-58)

2. Eight case studies on primary justice

2.5 LRA-displaced people coming to the city

• Tutti i sottoinsiemi di cardinaltà n − 1

• L’insieme stesso A

Sappiamo ora calcolare questo valore, in quanto il numero di k-insiemi é dato proprio dal numero di combinazioni di k elementi di A. Possiamo quindi dire che il numero di sottoinsiemi di A `pari a:

n

Questo ci consente di calcolare il numero, ma non è pienamente soddisfacente, in quanto la formula non è di immediata valutazione. Avendo visto la biiezione dell’insieme delle parti di A con il numero di sequenze possibili con |A| bit, possiamo concludere il seguente risultato.

Proposizione 6.2.15.

Tornando alla regola di biiezione, essa agisce come una lente d’ingrandimento sulla capacità di contare: se uno determina la dimensione di un insieme, allora può determinare immediatamente le dimensioni di molti altri insiemi attraverso biiezioni.

Esempio 6.2.16. Consideriamo i due seguenti insiemi:

(A) tutti i modi di selezionare una dozzina di ciambelle tra 5 varietà disponibili;

(B) tutte le sequenze di 16 bit con esattamente 4 uni.

Un esempio di elemento di A è 00

Di sopra abbiamo disegnato ogni ciambella con uno 0 ed abbiamo lasciato uno spazio vuoto tra ogni diversa varietà. Quindi la selezione di sopra consiste di due ciambelle al cioccolato, nessuna ciambella al limone, sei ciambelle con lo zucchero, due alla fragola e due semplici. Adesso inseriamo un 1 in ognuno dei quattro spazi

00

Infatti questa è una sequenza di 16 bit in cui 1 appare esattamente 4 volte. Questo esempio suggerisce una biiezione dall’insieme A all’insieme B: una dozzina di ciambelle che consiste di sequenza di

c cioccolato, l limone, z zucchero, f fragola, s semplici

6. Calcolo Combinatorio

La sequenza risultante ha sempre 16 bits e esattamente 4 uni, ed è quindi un elemento di B. Inoltre questa funzione è una biiezione: ogni sequenza di bits in B viene esattamente da un solo ordine di dodici ciambelle. Quindi A ∼= B e, grazie alla regola di biiezione, |A| = |B|.

Più in generale vale che il numero di modi di selezionare z ciambelle quando sono disponibili g gusti è lo stesso del numero di sequenze con esattaente z zeri e g − 1 uni. Ponendo n = z + g − 1 e k = g − 1, abbiamo così che tale numero è dato da z+g−1g−1 .

Osserviamo, tra l’altro, che tale formula si applica anche al problema di ripartire z elementi in g insiemi: ad esempio, tutti i modi possibili di riporre z magliette in g cassetti.

Permutazioni

Quando si va in pizzeria con gli amici, ci chiediamo sempre “chi si siede vicino a chi?”, o, in altre parole, “in che ordine ci sediamo intorno al tavolo?”. Dato un insieme A, una permutazione di A è un ordinamento dei suoi elementi. Le permutazioni ci consentono di studiare problemi dove ci chiediamo, ad esempio, quanti modi diversi ci sono di ordinare un determinato insieme, come ad esempio il gruppo di amici in pizzeria.

Definizione 6.2.17. Dato un insieme finito A con |A| = n, una permutazione di A è una sequenza ordinata a1, . . . , an dove tutti e soli gli elementi di A appaiono esattamente una volta.

Una domanda naturale è: in quanti modi diversi ci possiamo sedere in torno al tavolo? Ovvero, quante permutazioni ha l’insieme A?

Supponiamo di fissare una sedia a capotavola come punto di partenza (e assumiamo che il numero di sedie sia uguale al numero di persone): chiaramente ci sono n possibili scelte per chi si siederà in quel posto. Una volta seduto il primo amico, chiunque esso sia, rimarranno n − 1 scelte per la seconda sedia, poi n − 3 per la terza, e così via, fino ad arrivare all’ultima sedia libera dove avremo 1 sola scelta, ovvero si dovra sedere l’ultimo amico rimasto in piedi.

Esempio 6.2.18. Sia il nostro gruppo composto da Anna, Bruno, Ciro e Daniela, rappresentati dall’insieme A = {a, b, c, d}: le permutazioni di A sono 24. È tedioso ma facile verificare la proprietà andando ad enumerarle una ad una:

Possiamo impostare una regola ricorsiva come prima. Sia P (n) il numero di permutazioni di A, dove n = |A|. Ognuno degli n elementi di A può occupare la prima posizione, lasciando le rimanenti n − 1 agli altri elementi di A. Ora le rimanenti posizioni ospitano anch’esse una permutazione, ma questa volta con n − 1 elementi. La clausola ricorsiva è quindi:

P (n) = n · P (n − 1)

dove il caso base è P (1) = 1 perché c’è una sola permutazione, avendo un solo elemento.

Proposizione 6.2.19.

P (n) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 1 = n!

6.3. Sulle distanze in modo ricorsivo

Dimostrazione. Per induzione su n. Caso base: P (1) = 1! = 1. Passo induttivo: P (n) =

n · P (n − 1) = n · (n − 1)! = n!. 

Disposizioni

Ammettiamo ora che il ristorante non possa mettere tutti gli n amici allo stesso tavolo, ma solamente k di loro, facendo sedere i rimanenti in un’altra sala. In quanti modi diversi possiamo riempire il tavolo con k posti? Chiamiamo questo concetto le disposizioni di n elementi in k posti, note anche come k-permutazioni di n.

Definizione 6.2.20. Dato un insieme finito A con |A| = n e un intero k ≤ n, una disposizione degli elementi di A in k posti è una sequenza ordinata a1, . . . , ak dove esattamente k elementi di A appaiono esattamente una volta.

Esempio 6.2.21. Sia il nostro gruppo composto da Anna, Bruno, Ciro, Daniela, ed Enrico, rappresentati dall’insieme A = {a, b, c, d, e}, ed ammettiamo di avere un tavolo da 2 posti: ci sono 20 disposizioni di n = 5 elementi di A in k = 2 posti, come possiamo verificare:

• ab

Possiamo ricondurre le disposizioni alle combinazioni. Ogni combinazione rappresenta una scelta di k elementi: le disposizioni richiedono di indicare ulteriormente le k! permutazioni di quest’ultimi.

Quindi il numero di disposizioni è

Abbiamo visto la definizione di distanza nel Capitolo 4, nella Sezione 4.6. Possiamo definire la distanza d() su un grafo connesso G = (V, E) in modo ricorsivo:

• d(x, y) = 0, se x = y;

• d(x, y) = 1 + min{d(z, y) | z ∈ N (x)}, altrimenti.

L’idea alla base è che un path minimo che parte da x verso y 6= x, deve necessariamente passare da un suo vicino in N (x). Non sapendo quale sia questo vicino, consideriamo tutti i candidati in z ∈ N (x). Essendo il grafo connesso, z avrà un path verso y: se prendiamo il più breve tra tali cammini, otteniamo il path minimo da x a y aggiungendo l’arco xz a tale path da z a y. (In altre parole, l’idea di base è che se togliamo il primo arco di un path minimo, otteniamo ancora un path minimo.)

E’ possibile calcolare la distanza di tutti i nodi di G da un nodo target t usando questa logica;

Osserviamo che x è a distanza 1 da t se e solo se x e t sono vicini. Altrimenti, se x è a distanza k > 1 da t, x ha un vicino y ∈ N (x) a distanza esattamente k − 1 da t.

Possiamo quindi calcolare le distanze applicando l’induzione “a ritroso”:

• Applichiamo il caso base per conoscere tutti i nodi a distanza 1 da t.

• Se conosciamo tutti i nodi a distanza ≤ k da t, possiamo scoprire tutti i nodi a distanza k + 1 da t (sono tutti i nodi che non sono già a distanza ≤ k da t, ma hanno un vicino a distanza k da t).

6. Calcolo Combinatorio

6.4 Contare negli alberi

Sia T un albero con n nodi. Se n = 1, chiaramente ci sono zero archi. In generale, se n ≥ 2 cosa succede?

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