In deze paragraaf bekijken we een toepassing van de vergelijking van Pell. Stel we hebben een voorraad even grote knikkers. Na enig puzzelen blijkt dat we de knikkers zowel in een driehoekig patroon als in een vierkant patroon kunnen neer leggen. Hoeveel knikkers hebben we gebruikt? E´en (triviale) oplossing is onmiddellijk duidelijk, 1 knikker. Maar zijn er meer mogelijkheden? Je vindt wellicht dat je met 36 knikkers dit ook kunt realiseren:
=
Figuur 4.1: D8 = V6
Het aantal knikkers in een vierkant patroon noemen we vierkantsgetallen Vn,
ofwel de kwadraten. Dus V1 = 1, V2 = 4, V3 = 9, V4= 16, V5= 25, V6 = 36, etc.
Het aantal knikkers in een driehoekig patroon noemen we driehoeksgetallen Dn. Merk op dat we de driehoeksgetallen vinden door opeenvolgende natuur-
lijke getallen op te tellen, te beginnen bij 1. Dus D1 = 1, D2 = 1 + 2 = 3,
D3 = 1 + 2 + 3 = 6, D4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10, D5 = 1 + 2 + · · · + 5 = 15,
D6= 1+2+· · ·+6 = 21, D7 = 1+2+· · ·+7 = 28, D8 = 1+2+· · ·+8 = 36, etc.
Wie zien dat D8 = V6. Met 36 knikkers kunnen we dus zowel een driehoekig
patroon als een vierkant patroon vullen!
We kunnen driehoeksgetallen uitrekenen met de formule Dn =
n(n + 1) 2 . Om alle oplossingen te vinden moeten we de vergelijking Vm= Dn oplossen. Dus,
m2= n(n + 1) 2 Deze vergelijking kunnen we herschrijven tot
4.4. OEFENINGEN 31
Ofwel een Pell vergelijking met N = 8. De kleinste oplossing is 32− 8 · 12 = 1,
corresponderend met m = 1, de triviale oplossing van 1 knikker. Alle andere oplossingen krijgen we door de machten van 3 +√8 uit te werken,
(3 +√8)2= 17 + 6√8 m2 = 62 = 36 (3 +√8)3= 99 + 35√8 m2 = 352 = 1225 (3 +√8)4= 577 + 204√8 m2 = 2042 = 41616
.. .
De conclusie is dat er oneindig veel oplossingen zijn om een aantal knikkers zowel in een driehoekig patroon als in een vierkant te leggen. Ook zien we dat de rij getallen zeer snel groeit. Je hebt dus ruim voldoende knikkers nodig als je ze daadwerkelijk wilt neerleggen!
4.4
Oefeningen
Oefening 4.4.1 Bekijk de opgave over Diophantus in de eerste paragraaf van dit hoofdstuk. Hoe oud was Diophantus?
Oefening 4.4.2 Bepaal de kleinste oplossing van de vergelijking x2− 2 · y2 = 1 Oefening 4.4.3 Bepaal enkele oplossingen van de vergelijking x2− 2 · y2 = 1 door te beginnen met de kleinste oplossing uit de vorige oefening. Laat zien dat de oplossingen die in de tekst vermeld staan ook voorkomen in deze rij oplossingen.
Oefening 4.4.4 (Lastig) Laat zien dat uit de afschattingen voor convergenten van een kettingbreuk,
p q − √ N < 1 2a0q2
de oplossingen van de vergelijking van Pell volgen.
Oefening 4.4.5 Laat zien dat uit de gelijkheid Vm = Dn de Pell vergelijking
(2n + 1)2− 8m2 = 1 volgt.
Oefening 4.4.6 (Lastig) De aantallen knikkers, die zowel in een driehoekig patroon als in een vierkant gelegd kunnen worden, kunnen we ook recursief bepalen. Stel namelijk dat xn+ yn
√
8 = (3 +√8)n. We interesseren ons voor
yn, want dat stelt de zijde m van het vierkant voor. Bepaal met behulp van de
kwadratische vergelijking (3 +√8)2 = 6(3 +√8) − 1 een recursie formule voor
yn+2. Laat tevens zien dat wanneer je start met y0= 0 en y1= 1 je de waarden
Tot slot enkele opgaven waarbij het getal l(N ), de periodelengte van de ket- tingbreuk van √N een rol speelt.
Oefening 4.4.7 Neem een aantal waarden van N en bepaal de kettingbreuk en een oplossing van de Pell-vergelijking. Maak een tabel met daarin de waarden N en l(N ).
Oefening 4.4.8 Het kan gebeuren dat N heel groot is en l(N ) heel klein. Dat zien we in deze opgave.
Bepaal de kettingbreuk van een willekeurig getal van de vorm √n2+ 1. (Hint:
vergelijk opgave 3.6.6). Zie je ook een oplossing van de Pell-vergelijking met N = n2+ 1?
Dezelfde vraag, maar nu voor getallen van de vorm √4n2+ 4.
Oefening 4.4.9 We kijken naar waarden van N waarvoor geldt dat l(N ) = 2. Kies a, b positief en geheel. Stel je wilt weten welk getal x = √N een kettingbreuk van de vorm [a, b, 2a, b, 2a, b, 2a, · · · ] heeft (als zo’n N bestaat). Laat zien dat geldt:
x = a + 1 b + 1
a + x
Los hieruit x op. Aan welke voorwaarde moet a, b voldoen zodat de gevonden x2 geheel is?
Hoofdstuk 5
Eindopdrachten
5.1
De Slag bij Hastings
Misschien heb je wel gehoord van het tapijt van Bayeux. In het Franse stadje Bayeux hangt een linnen doek (’tapijt’) van ongeveer 70 meter lang en 50 cm hoog, waarop net als bij een stripverhaal, 58 taferelen geborduurd zijn. Deze taferelen geven onder meer de slag bij Hastings in 1066 weer. In totaal heeft men op het tapijt onder andere 626 personen, 202 paarden, 41 schepen en 37 gebouwen geteld.
Op een latere datum is ook een boekje geschreven over die slag bij Hastings van 14 oktober 1066: de Carmen de Hastigae Proelio door Guy, Bisschop van Amiens. In dit boekje staat een bewering, welke we in deze opdracht in twijfel zullen trekken. Er staat:
Harold’s mannen stonden als gewoonlijk dicht samengedromd in 13 vierkanten van gelijke grootte, en wee de Noorman die het waagde in zulk een falanx te willen indringen. Maar toen Harold zelf op het slagveld verscheen, vormden de Saksen ´e´en gigantisch vierkant met hun Koning aan de top en stormden voor- waarts onder de strijdkreten ”Ut!”, ”Olicrosse!” en ”Godemitte!”.
De ”Saksen”(d.w.z. Harold’s mannen) zijn hier trouwens de ”Angelsaksen”die in de vijfde eeuw vanuit Duitsland naar Engeland migreerden.
Figuur 5.1: Ubi Harold dux Anglorum et sui milites equitant ad Bosham - Waar Harold, een Engelse graaf, en zijn soldaten naar Bosham rijden.
Opdracht 1
Als x het aantal manschappen op een rij in het grote vierkant en y dat in het kleine vierkant is, wat is dan het verband tussen x en y?
Als het goed is, heb je de vergelijking x2− 13y2 = 1 gevonden die de verge- lijking van Pell genoemd wordt, hoewel John Pell niets met de vergelijking te maken had. Door een misverstand schreef Euler de oplossingsmethode die door Brouncker was ontdekt, toe aan Pell.
Opdracht 2
Bepaal de kleinste oplossing van de vergelijking x2− 13y2 = 1.
Opdracht 3
laat zien dat de vergelijking x2− 13y2 = 1 equivalent is met de vergelijking (x + y√13)(x − y√13) = 1.
Opdracht 4
Bewijs dat de vergelijking x2− 13y2 = 1 oneindig veel oplossingen heeft. Opdracht 5
Hoe groot was volgens Guy, dus het leger van Harold minstens? Lijkt je dat re- alistisch? Om de laatste vraag te beantwoorden moet je eigenlijk de bevolkings- aantallen van Engeland uit de Middeleeuwen kennen. Zoek dat in betrouwbare bronnen op internet op.
Harold, de koning van Engeland verloor overigens de Slag tegen Willem van Normandi¨e · · ·
Op de webpagina die bij dit Zebradeeltje hoort, kun je meer informatie vinden over De Slag bij Hastings.